Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

6Eletromagnetismo covariante

Um fio de cobre conduz dez ampères. Seus elétrons derivam a um décimo de milímetro por segundo — mais devagar que um caracol — e o fio é eletricamente neutro com precisão fantástica. Ainda assim, uma carga que se move ao lado dele sente uma atração mensurável. Vista do referencial próprio dessa carga, a explicação “magnética” evapora: a carga está em repouso, e uma carga em repouso não sente força magnética alguma. O que a puxa, nesse referencial, é um campo elétrico — conjurado pela própria relatividade, porque a contração dos comprimentos desequilibra, em uma parte em $10^{24}$ , as duas correntes de carga do fio. O magnetismo é a eletricidade vista de um assento em movimento. Este capítulo reescreve o eletromagnetismo do volume do segundo ano na linguagem dos três capítulos anteriores: quadrivetores para a carga e o potencial, um único tensor antissimétrico que mantém $\vect E$ e $\vect B$ juntos, e as quatro equações de Maxwell reduzidas a duas linhas que se leem do mesmo modo em todo referencial inercial. Além da elegância, o proveito é física em funcionamento: como os campos se transformam, por que o campo de uma carga rápida se achata num disco e por que a luz de um elétron relativístico varre para a frente como um farol — o princípio das fontes de luz síncrotron que hoje radiografam proteínas e baterias.

6.1 Quadrivetores para a carga e a corrente

Definição 6.1 (Quadrivetores)

Um quadrivetor é uma quádrupla $a^\mu = (a^0, \vect a)$ , $\mu = 0, 1, 2, 3$ , cujas componentes se misturam sob um impulso de Lorentz exatamente como $(ct, \vect r)$ se misturam:

a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad a'^{2,3} = a^{2,3}

para um impulso a $\beta c$ ao longo de $x$ . Dois quadrivetores quaisquer dão o produto escalar invariante $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$ , o mesmo número em todo referencial — o padrão por trás de $c^2t^2 - x^2$ e de $E^2 - p^2c^2$ . A posição $(ct, \vect r)$ e o quadrimomento $(E/c, \vect p)$ são os dois que já temos; o eletromagnetismo fornece agora mais três: corrente, potencial e vetor de onda.

Proposição 6.2 (A quadricorrente e a conservação da carga)

A densidade de carga $\rho$ e a densidade de corrente $\vect\jmath$ formam a quadricorrente

J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) :

uma nuvem de carga de densidade própria $\rho_0$ que se move com $\vect u$ tem $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — a densidade cresce por $\gamma_u$ porque o volume da nuvem se contrai, ao passo que a própria carga é invariante (um fato experimental decisivo: átomos com elétrons internos velozes permanecem exatamente neutros). A conservação da carga é o enunciado invariante

\frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 ,

a equação da continuidade do volume do segundo ano, agora visivelmente a mesma lei para todos os observadores.

Demonstração parcial. A nuvem em movimento: uma caixa de volume próprio $V_0$ contém a carga $\rho_0 V_0$ ; no laboratório a caixa está contraída a $V_0/\gamma_u$ , logo $\rho = \gamma_u\rho_0$ , e $\vect\jmath = \rho\vect u$ pela definição de densidade de corrente. Que $(\rho c, \vect\jmath)$ se transforme então como quadrivetor decorre de ele ser igual a $\rho_0/c$ vezes a quadrivelocidade $\gamma_u(c, \vect u)$ , ela própria um quadrivetor por construção. A invariância da carga é um dado experimental. ∎

6.2 Um só tensor para os dois campos

Definição 6.3 (Quadripotencial e tensor do campo)

Os potenciais do volume do segundo ano se reúnem no quadripotencial

A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) ,

e os campos mensuráveis $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ , $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ são as seis componentes independentes de um único arranjo antissimétrico, o tensor do campo eletromagnético

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} .

$\vect E$ e $\vect B$ não são dois campos, mas seis faces de um mesmo objeto; qual delas um observador chama de “elétrica” depende do movimento do observador.

Teorema 6.4 (Maxwell, de forma covariante)

As quatro equações de Maxwell do volume do segundo ano são a forma em componentes de dois enunciados independentes do referencial: o par com fontes (Gauss e Ampère–Maxwell) é

\sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu ,

e o par sem fontes (ausência de monopolos, Faraday) é a identidade que garante que $F$ deriva de um quadripotencial. A força de Lorentz é $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — a lei da força, magnética inclusa, numa só linha. Como os dois lados de cada equação se transformam do mesmo modo, a teoria de Maxwell não precisa de correção alguma para ser relativística: foi a primeira peça acabada da relatividade, nascida em 1865.

Demonstração parcial. Expanda a componente $\nu = 0$ : $\sum_i\partial_i(E_i/c) = \mu_0\rho c$ , isto é, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (usando $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$ ). A componente $\nu = 1$ reúne $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y) = \mu_0 j_x$ : a componente $x$ de Ampère–Maxwell. As demais componentes repetem o padrão; o par sem fontes é a igualdade das derivadas segundas cruzadas de $A^\mu$ (verificada no Exercício 6.3). Que $F^{\mu\nu}$ se transforme como um tensor (de dois índices) — cada índice como um quadrivetor — é admitido; suas consequências são a próxima proposição. ∎

6.3 Como os campos se transformam

Proposição 6.5 (Transformação dos campos)

Para um impulso de velocidade $\vect v = v\,\vect e_x$ : as componentes ao longo do movimento ficam intactas, as transversais se misturam,

E'_x = E_x , \qquad E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad E'_z = \gamma(E_z + vB_y) ,

B'_x = B_x , \qquad B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) .

De modo compacto, transversalmente ao impulso: $\vect E' = \gamma(\vect E + \vect v\wedge\vect B)_\perp$ e $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect v\wedge\vect E/c^2)_\perp$ . Um $\vect B$ puro num referencial é $\vect E$ e $\vect B$ em outro: os campos são um único fenômeno.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 6.6 (Magnetismo a partir de um fio neutro)

Um fio neutro conduz corrente: rede positiva em repouso, elétrons em deriva. Para uma carga de prova que se move ao lado, passe ao referencial dela: as duas correntes de carga se contraem de modo diferente (têm velocidades diferentes), o fio adquire a carga linear líquida $\lambda' = -\gamma vI/c^2$ , e seu campo elétrico radial puxa a carga exatamente com a força que o laboratório chamava de $q\vect v\wedge\vect B$ . O magnetismo é a aparência do termo de segunda ordem $v u/c^2$ da relatividade quando $10^{28}$ cargas elementares por metro conspiram: cada efeito é fantasticamente pequeno, mas o fio é neutro com precisão ainda maior, de modo que o desequilíbrio minúsculo é a história inteira (Problema 6.1).

Uma força, duas contabilidades. Laboratório: a corrente do fio neutro cria B, e a carga em movimento sente q v B. Referencial da carga: a rede positiva agora se move e se contrai, e os elétrons (mais lentos ali) se espalham; o fio tem carga líquida e é o E' dele que puxa. Mesmo experimento, mesmo desfecho. — Uma força, duas contabilidades. Laboratório: a corrente do fio neutro cria $\vect B$ , e a carga em movimento sente $q\vect v\wedge\vect B$ . Referencial da carga: a rede positiva agora se move e se contrai, e os elétrons (mais lentos ali) se espalham; o fio tem carga líquida e é o $\vect E'$ dele que puxa. Mesmo experimento, mesmo desfecho.

Exemplo 6.7 (O campo achatado de uma carga rápida)

Transforme o campo de Coulomb de uma carga para o referencial em que ela se move com $\gamma \gg 1$ : o campo longitudinal não muda, enquanto o transversal é multiplicado por $\gamma$ . O campo, antes esférico, achata-se num disco de abertura angular $\sim 1/\gamma$ em torno do plano que passa pela carga — acompanhado, transversalmente ao movimento, por um anel magnético $B' = vE'/c^2$ . Para um observador parado, a passagem de um próton do LHC ( $\gamma \approx 7000$ ) é uma bofetada sub-picossegundo de $\vect E$ e $\vect B$ quase cruzados: quase um pulso de luz — a razão de os feixes rápidos falarem com a matéria do jeito que os fótons falam.

O campo elétrico de uma carga pontual, em repouso e a alta velocidade: o impulso de Lorentz multiplica as componentes transversais por e deixa as longitudinais intactas, espremendo o campo num disco perpendicular ao movimento. — O campo elétrico de uma carga pontual, em repouso e a alta velocidade: o impulso de Lorentz multiplica as componentes transversais por $\gamma$ e deixa as longitudinais intactas, espremendo o campo num disco perpendicular ao movimento.

6.4 Invariantes, luz e o efeito farol

Proposição 6.8 (Os dois invariantes do campo)

A partir de $F^{\mu\nu}$ podem-se construir exatamente dois escalares independentes:

E^2 - c^2B^2 \qquad\text{e}\qquad \vect E\cdot\vect B ,

os mesmos em todo referencial inercial. Consequências: se $E > cB$ em algum lugar (com $\vect E\cdot\vect B = 0$ ), algum referencial vê ali um campo puramente elétrico; se $E < cB$ , algum referencial o vê puramente magnético; e uma onda plana de luz, com $E = cB$ e $\vect E\perp\vect B$ , tem os dois invariantes nulos — é luz em todo referencial: nenhum impulso pode transformá-la num campo estático, apenas desviá-la para o vermelho. Não se pode alcançar uma onda de luz; a pergunta de adolescente de Einstein se responde a si mesma em dois invariantes.

Demonstração parcial. Verifique a invariância sob o impulso padrão por substituição direta da Proposição 6.5 (Exercício 6.6); que não exista um terceiro invariante independente é admitido. Para a onda: $E = cB$ e a ortogonalidade anulam os dois; um referencial com campo estático exigiria um invariante não nulo. ∎

Proposição 6.9 (Quadrivetor de onda, Doppler e aberração)

A frequência e a direção de uma onda plana formam o quadrivetor nulo $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ , $\|\vect k\| = \omega/c$ . Transformá-lo dá de uma vez a fórmula relativística do efeito Doppler do Capítulo 4 e a aberração das direções:

\cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} .

Lida ao contrário, uma fonte que irradia isotropicamente em seu referencial de repouso concentra, no laboratório, metade de sua luz no cone dianteiro $\theta \lesssim 1/\gamma$ : é o efeito farol. Um elétron que gira a $\gamma \sim 10^4$ num anel de armazenamento varre um holofote de raios X de $0.1\,\mathrm{mrad}$ ao redor do anel — a luz síncrotron que abastece as linhas de cristalografia de proteínas.

Demonstração parcial. A fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ conta as cristas de onda que passam por eventos — um invariante — de modo que $k^\mu$ tem de se transformar como quadrivetor. Aplique o impulso a $(\omega/c, k\cos\theta, k\sin\theta, 0)$ : a componente temporal dá o efeito Doppler, e a razão das componentes espaciais dá a fórmula da aberração. Impondo $\theta' = 90^\circ$ (o raio lateral no referencial da fonte): $\cos\theta = \beta$ , isto é, $\theta \approx 1/\gamma$ para $\gamma \gg 1$ — metade da esfera se dobra dentro do cone dianteiro. ∎

A aberração dobra a radiação de uma fonte rápida num cone dianteiro de semiabertura 1/: o efeito farol, e o princípio de funcionamento das fontes de luz síncrotron. — A aberração dobra a radiação de uma fonte rápida num cone dianteiro de semiabertura $\sim 1/\gamma$ : o efeito farol, e o princípio de funcionamento das fontes de luz síncrotron.

Método 6.10 (Trabalhar de modo covariante)

(1) Identifique os quadrivetores em jogo ( $x^\mu$ , $P^\mu$ , $J^\mu$ , $A^\mu$ , $k^\mu$ ) e prefira seus produtos invariantes às componentes. (2) Para transformar campos, separe as componentes ao longo e transversalmente ao impulso e aplique a Proposição 6.5. (3) Verifique os dois invariantes antes e depois — o detector de erros mais rápido do assunto. (4) Quando um problema magnético parecer misterioso, viaje com a carga: no referencial dela só $\vect E'$ age. (5) Confie em Maxwell: as equações nunca precisam de “correções” relativísticas, apenas de uma leitura relativística.

Uma aurora: cargas do vento solar guiadas pelo campo magnético da Terra até a atmosfera polar. O que um observador chama de condução magnética, outro chama de aceleração elétrica — os campos se misturam sob as transformações deste capítulo.

6.5 Exercícios

Exercício 6.1 ★

(a) Aplique a $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (em unidades de um certo $a_0$ ) um impulso de $\beta = 0.6$ : calcule $a'^\mu$ e verifique que $a\cdot a$ não muda. (b) Mostre que a soma de dois quadrivetores é um quadrivetor. (c) O $(c, \vect v)$ de uma partícula é um quadrivetor? E $\gamma(c, \vect v)$ ? (d) Por que “o campo elétrico” sozinho não faz parte de quadrivetor algum?

Solução

Solução de Exercício 6.1.

(a) $\gamma = 1.25$ : $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$ , $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$ ; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$ . (b) A transformação é linear e, portanto, se distribui sobre somas. (c) $(c, \vect v)$ : não — sua componente “temporal” é a mesma para todas as partículas, enquanto a mistura exige o contrário; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$ : sim, um quadrivetor dividido pelo invariante $\dd\tau$ . (d) As três componentes de $\vect E$ se misturam com as de $\vect B$ , e não com escalar algum: os campos preenchem um tensor de dois índices, não um quadrivetor.

Exercício 6.2 ★

Um fio de cobre de seção $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ conduz $10\,\mathrm{A}$ ; a densidade de elétrons de condução é $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (a) Calcule a velocidade de deriva. (b) Escreva $J^\mu$ para o fluido de elétrons e para a rede. (c) Verifique a equação da continuidade para cada um. (d) O fio é neutro: quanto vale $J^\mu$ para o fio inteiro, e que componente sobrevive?

Solução

Solução de Exercício 6.2.

(a) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Rede: $(nec, \vect 0)$ ; elétrons: $(-nec, -ne\vect u)$ — a densidade de corrente deles, $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ , aponta contra a sua deriva, e essa é a direção da corrente convencional. (c) Ambas são estáticas e uniformes: todos os termos se anulam. (d) Total: $(0, \vect\jmath)$ com $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — uma corrente pura sem carga, a configuração que torna sutil a relatividade do fio.

Exercício 6.3 ★

(a) A partir da matriz de $F^{\mu\nu}$ , diga que componentes dão $E_y$ e $B_x$ . (b) Escreva $F^{\mu\nu}$ para um campo uniforme puro $\vect B = B\vect e_z$ e para o campo de uma onda plana ( $\vect E = E\vect e_y$ , $\vect B = (E/c)\vect e_z$ ). (c) Verifique nas componentes que $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ reproduz $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ para $\mu\nu = 12$ . (d) Por que $F$ precisa ser antissimétrico para que a força $qF^{\mu\nu}u_\nu$ não realize trabalho no referencial próprio da partícula?

Solução

Solução de Exercício 6.3.

(a) $E_y$ : $F^{20} = E_y/c$ ; $B_x$ : $F^{32} = B_x$ . (b) Para $\vect B = B\vect e_z$ , apenas $F^{12} = -B$ e $F^{21} = +B$ ; para a onda, $F^{20} = E/c$ , $F^{12} = -E/c$ (e os parceiros antissimétricos). (c) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$ : confere com a matriz. (d) A taxa de variação da energia da partícula é $\propto F^{0\nu}u_\nu$ ; no referencial de repouso $u_\nu = (c, \vect 0)$ e a antissimetria faz $F^{00} = 0$ : uma força que jamais pode realizar trabalho sobre uma partícula em repouso — a propriedade que define a parte magnética.

Exercício 6.4 ★

Um capacitor de placas paralelas em repouso mantém $\vect E = E_0\vect e_y$ , sem $\vect B$ . Dê $\vect E'$ e $\vect B'$ num referencial que se move (a) ao longo de $\vect e_y$ (perpendicular às placas); (b) ao longo de $\vect e_x$ (paralelo às placas), e interprete o $\vect B'$ que aparece como o campo das cargas superficiais em movimento; (c) verifique os invariantes no caso (b); (d) no caso (b), as placas também se contraem: que grandezas ( $\sigma$ ? $E'$ ? a separação das placas?) mudam, e de modo coerente com o quê?

Solução

Solução de Exercício 6.4.

(a) Impulso ao longo do campo: componentes longitudinais intactas, $\vect E' = E_0\vect e_y$ , $\vect B' = \vect 0$ . (b) Impulso ao longo de $\vect e_x$ : $E'_y = \gamma E_0$ , $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — as placas passam a escoar como correntes superficiais $\pm\sigma'v$ , e duas lâminas de corrente opostas envolvem exatamente um campo desses. (c) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$ ; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$ : os dois se preservam. (d) As placas se contraem ao longo de $x$ , logo $\sigma' = \gamma\sigma$ , coerente com $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$ ; a separação, transversal ao impulso, fica intacta.

Exercício 6.5 ★★

A fem de movimento unificada. Uma haste condutora desliza com $\vect v$ sobre trilhos através de um $\vect B$ uniforme. (a) Contabilidade do laboratório: que força empurra os elétrons ao longo da haste, e que fem resulta? (b) Contabilidade no referencial da haste: que campo os empurra, e de onde ele vem na Proposição 6.5? (c) Mostre que as duas fem coincidem em ordem $v/c$ . (d) A regra do fluxo de Faraday, do volume do primeiro ano, cobria tanto o caso “circuito em movimento” quanto “campo variável” com uma só fórmula: o que a relatividade diz sobre por que essa unificação tinha de funcionar?

Solução

Solução de Exercício 6.5.

(a) A força magnética $-e\vect v\wedge\vect B$ empurra os elétrons ao longo da haste: fem $= vBL$ . (b) No referencial da haste, ela está em repouso — nenhuma força magnética sobre cargas paradas — mas a transformação entrega $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ : é um campo elétrico honesto que faz o trabalho. (c) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$ em ordem $v/c$ . (d) Tinha de funcionar porque a fem “de movimento” e a fem “de transformador” são um só fenômeno lido em dois referenciais: a regra do fluxo é a covariância vestida de 1831 — o artigo de Einstein de 1905 abre exatamente com essa assimetria entre o ímã e o condutor.

Exercício 6.6 ★★

(a) Usando a Proposição 6.5, verifique por cálculo direto que $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ para um impulso ao longo de $x$ . (b) Verifique que $\vect E'\cdot\vect B' = \vect E\cdot\vect B$ . (c) Uma região contém $\vect E$ e $\vect B$ perpendiculares, com $E = 2cB$ : encontre o referencial de campo puramente elétrico (direção e velocidade). (d) Por que nenhum referencial pode tornar o campo de uma onda plana de luz puramente elétrico ou puramente magnético?

Solução

Solução de Exercício 6.6.

(a) As componentes $x$ ficam intactas; para as transversais, $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$ ; os termos cruzados se cancelam e os quadrados reúnem $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ vezes a combinação não transformada. (b) A mesma contabilidade sobre $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ . (c) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$ : impulso ao longo de $\vect E\wedge\vect B$ a $v = c^2B/E = c/2$ ; ali $B' = 0$ e o campo que sobra é $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ — cujo quadrado dá o invariante, como deve ser. (d) Uma onda de luz tem os dois invariantes nulos: todo referencial precisa reproduzir $E' = cB' \perp$ , jamais um campo puro.

Exercício 6.7 ★★

Campos cruzados. No laboratório, $\vect E = E\vect e_y$ e $\vect B = B\vect e_z$ com $E < cB$ . (a) Mostre que o referencial que se move com $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ vê um campo puramente magnético. (b) Descreva o movimento de uma carga solta em repouso, visto desse referencial e de volta no laboratório (uma cicloide que deriva a $v_{\text{d}}$ ). (c) O filtro de velocidades do volume do primeiro ano deixava passar sem desvio as partículas de velocidade $E/B$ : deduza isso de novo, numa linha, a partir de (a). (d) O que acontece, qualitativamente, quando $E > cB$ — e por que o truque do referencial de deriva se torna então impossível?

Solução

Solução de Exercício 6.7.

(a) Com $v_{\text{d}} = E/B$ : $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$ ; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$ : campo puramente magnético, um pouco enfraquecido. (b) Ali: um círculo a $qB'/\gamma m$ ; de volta ao laboratório: esse círculo mais a deriva uniforme — uma cicloide que rasteja a $E/B$ perpendicularmente aos dois campos, a trajetória das cargas num magnétron. (c) Uma partícula que se move exatamente a $v_{\text{d}}$ está em repouso no referencial de deriva, onde o único campo é magnético e ela nada sente: não é desviada. (d) Para $E > cB$ a deriva necessária excederia $c$ : não existe tal referencial; em vez disso existe um referencial de $E$ puro (exercício anterior), e a carga é acelerada sem limite ao longo do campo.

Exercício 6.8 ★★

O quadrivetor de onda $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ . (a) Mostre que exigir a invariância da fase obriga $k^\mu$ a se transformar como quadrivetor. (b) Deduza a fórmula longitudinal do efeito Doppler a partir de sua componente temporal. (c) Deduza a fórmula da aberração. (d) Aberração da luz das estrelas: a Terra orbita a $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; por que ângulo a posição aparente de uma estrela varre ao longo de um ano? (Bradley mediu $20.5''$ em 1728 — a primeira prova direta de que a Terra se move.)

Solução

Solução de Exercício 6.8.

(a) A fase $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ conta eventos de passagem de crista, um número invariante; ela é igual a $k^\mu x_\mu$ , e a invariância do produto para todo $x^\mu$ obriga $k^\mu$ a se transformar como quadrivetor. (b) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$ com $k_x = (\omega/c)\cos\theta$ ; para $\theta = 0$ , $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ . (c) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$ : a fórmula enunciada. (d) $\beta = 10^{-4}$ : $20.5''$ ; ao longo de um ano a posição aparente varre uma elipse desse semieixo angular — a aberração de Bradley.

Exercício 6.9 ★★

Uma carga $q$ se move com $\vect v = v\vect e_x$ constante, $\gamma \gg 1$ . (a) Transformando o campo de Coulomb, mostre que, no plano transversal que passa pela carga, o campo é amplificado a $\gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ à distância $b$ , enquanto à frente e atrás ele é esmagado por $1/\gamma^2$ . (b) Mostre que um observador parado à distância $b$ vê um pulso de campo de duração $\sim b/\gamma v$ . (c) Para um próton do LHC que passa a $b = 1\,\mathrm{cm}$ : campo máximo e duração do pulso. (d) Em que sentido preciso esse pulso é “quase luz”? (Verifique $E' \approx cB'$ e os invariantes.)

Solução

Solução de Exercício 6.9.

(a) No referencial de repouso, Coulomb; o impulso multiplica as componentes transversais por $\gamma$ (no plano transversal, $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ ), ao passo que o campo ao longo do movimento, avaliado à frente ou atrás a uma distância $r$ do laboratório, corresponde a uma distância $\gamma r$ no referencial de repouso: reduzido por $1/\gamma^2$ . (b) O disco de largura angular $1/\gamma$ passa com velocidade $v$ : duração $\sim (b/\gamma)/v$ . (c) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , durando $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ . (d) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ e os dois invariantes são $O(1/\gamma^2)$ : localmente indistinguível de um pulso de luz — a base da descrição por “fótons equivalentes” das colisões de cargas rápidas.

Exercício 6.10 ★★★

Perseguir uma onda de luz. Uma onda plana tem $\vect E = E_0\vect e_y \cos(\omega(t - x/c))$ , $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t - x/c))$ . Um observador a persegue com $\beta$ . (a) Transforme os campos: mostre que $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ e $B'_0 = E'_0/c$ . (b) Mostre que a frequência se transforma pelo mesmo fator: a onda continua onda, desviada para o vermelho, com $E' = cB'$ sempre. (c) O que acontece com a densidade de energia da onda (proporcional a $E^2$ ) e com o número de fótons? (d) Conclua: o que exigiria “viajar ao lado de um feixe de luz”, e qual invariante o proíbe?

Solução

Solução de Exercício 6.10.

(a) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$ , e $B'_z = E'_y/c$ pela mesma álgebra. (b) A fase se transforma pelo mesmo fator Doppler: a mesma onda nula, mais vermelha e mais fraca. (c) A densidade de energia cai com o quadrado do fator Doppler; o número de fótons não muda — cada $h\nu$ de fóton carrega o fator inteiro. (d) “Viajar ao lado” significa o fator $\to 0$ quando $\beta \to 1$ : a onda nunca se torna estática porque seus invariantes são nulos — não há referencial em que a luz fique parada, que é onde a relatividade deste livro começou.

Exercício 6.11 ★★★

A luz síncrotron e a morte das máquinas circulares de elétrons. Uma carga ultrarrelativística num círculo de raio $r$ irradia a potência $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (admitido — a fórmula de Larmor do volume do segundo ano, com o impulso de Lorentz aplicado). (a) Mostre que a energia perdida por volta é $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$ . (b) LEP: elétrons a $100\,\mathrm{GeV}$ com $r = 3.1\,\mathrm{km}$ : calcule $\gamma$ e o $\Delta E$ por volta — que fração da energia do feixe é recomprada a cada volta? (c) LHC: prótons a $6.8\,\mathrm{TeV}$ , no mesmo túnel: calcule o $\Delta E$ por volta e compare. (d) Explique, com o fator $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ , por que o sucessor dos elétrons é um colisor linear ou um anel muito maior, e por que os anéis de prótons sobrevivem.

Solução

Solução de Exercício 6.11.

(a) Por volta, $\Delta E = P \times 2\pi r/c$ : o resultado enunciado. (b) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$ : $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ por volta — três por cento da energia do feixe reinjetados a cada volta; os clístrons do LEP eram o maior transmissor de rádio da Terra. (c) Prótons: $\gamma = 7250$ , com $\gamma^4$ menor por $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ : cerca de $5\,\mathrm{keV}$ por volta — desprezível. (d) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$ : a energias iguais o elétron irradia $10^{13}$ vezes mais; daí os colisores lineares (irradia-se uma vez, não a cada volta) ou anéis gigantescos para elétrons, ao passo que os anéis de prótons escalam sem dor até $27\,\mathrm{km}$ .

Exercício 6.12 ★★★

O cíclotron relativístico. Uma carga num $\vect B$ uniforme, a velocidade relativística. (a) A partir de $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ com $E$ constante, mostre que a órbita é um círculo percorrido com $\omega = qB/\gamma m$ : a frequência de cíclotron cai com a energia. (b) Um cíclotron clássico empurra a $\omega_0 = qB/m$ fixo: mostre que, após $N$ voltas com $\gamma - 1$ crescendo linearmente até seu valor final $\Gamma$ , o escorregamento de fase acumulado atinge um quarto do período da radiofrequência quando $\Gamma \approx 1/2N$ ; para $N = 100$ voltas, que energia cinética de próton é essa, e como ela se compara ao teto histórico dos cíclotrons clássicos (uns $20\,\mathrm{MeV}$ , conquistados com margem e tensão extras)? (c) Existem dois remédios: elevar a frequência (sincrocíclotron) ou moldar $B(r)$ para crescer como $\gamma$ (cíclotron isócrono): explique cada um numa frase. (d) O cíclotron isócrono do PSI entrega prótons de $590\,\mathrm{MeV}$ : por que fator seu campo na borda supera o campo central?

Solução

Solução de Exercício 6.12.

(a) $|\vect p|$ é constante (não há trabalho); $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$ gira $\vect p$ à taxa $qvB/p = qB/\gamma m$ . (b) Escorregamento por volta $2\pi(\gamma - 1)$ ; com $\gamma - 1$ crescendo linearmente até $\Gamma$ , o escorregamento total é $\approx \pi N\Gamma$ ; um quarto de período é $\pi/2$ : $\Gamma \approx 1/2N$ . Para $N = 100$ : $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$ , $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — a escala certa; as máquinas reais o esticaram até $\sim20\,\mathrm{MeV}$ com tensões altas nos dês (menos voltas). (c) Sincrocíclotron: baixe a radiofrequência durante cada pulso para acompanhar $qB/\gamma m$ . Cíclotron isócrono: deixe $B(r)$ crescer $\propto\gamma(r)$ , de modo que a razão nunca mude e o feixe permaneça contínuo. (d) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$ : o campo na borda tem de superar o campo central por esse fator.

6.6 Problema: Magnetismo a passo de caracol

Problema 6.1

Problema de fim de semana — como um desequilíbrio de $10^{-24}$ faz girar todo motor

Os elétrons derivam por um fio de lâmpada mais devagar que o mel escorre, e o $v^2/c^2$ dessa deriva vale $10^{-24}$ — e, ainda assim, a força magnética que ela produz levanta carros em ferros-velhos. Este problema faz a contabilidade completa em dois referenciais para um fio retilíneo e uma carga em movimento, e encontra a relatividade escondida em todo eletroímã. Dados: fio de cobre, seção $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ , corrente $I = 10\,\mathrm{A}$ , densidade de elétrons de condução $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; carga de prova $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ à distância $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ , movendo-se paralelamente ao fio com $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (uma velocidade de feixe iônico, para manter os números visíveis); $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ .

Parte I — A contabilidade no laboratório.

Calcule a velocidade de deriva $u$ dos elétrons e $u^2/c^2$ .
Modele o fio como duas cargas lineares superpostas: a rede $+\lambda$ em repouso e os elétrons $-\lambda$ em deriva a $u$ , com $I = \lambda u$ . Calcule $\lambda$ .
Calcule $B$ na posição da carga e a força magnética $F = qvB$ sobre ela — direção incluída, para $v$ paralelo à corrente convencional $I$ (lembre: correntes paralelas se atraem).
Por que não há força elétrica alguma no laboratório?
O campo elétrico do mesmo fio se ele carregasse uma carga líquida de apenas um elétron em excesso por metro: compare a força que ele exerceria sobre $q$ com a força magnética da questão 3 e conclua com que precisão a “neutralidade” precisa ser medida antes de o magnetismo poder ser atribuído.
Uma carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : a força da questão 3 é mensurável? (Compare com o peso de um grão de areia, $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ .)

Parte II — Trocando de assento. Passe ao referencial da carga de prova (velocidade $v$ ao longo do fio).

Nesse referencial, quais são as velocidades da rede e dos elétrons (que derivam em sentido oposto a $I$ e por isso ganham velocidade neste impulso — componha-as corretamente)?
Integrada sobre a seção do fio, a quadricorrente por unidade de comprimento é $(c\lambda_{\text{tot}}, I, 0, 0)$ , com $\lambda_{\text{tot}} = 0$ aqui. Transforme-a e mostre que a carga linear do fio no novo referencial é

$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$
Avalie $\lambda'$ , em coulombs por metro e em cargas de elétron por metro. Qual das duas correntes ficou mais densa, e por quê (contraia cada uma separadamente, se preferir)?
Calcule o campo elétrico $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ na carga e a força elétrica $qE'$ sobre ela.
Compare $qE'$ com o $qvB$ do laboratório da Parte I e explique o fator residual $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (a lei de transformação de qual quadrivetor relaciona as forças?).
Nesse referencial há também um campo magnético (o fio continua conduzindo corrente): por que ele não exerce força aqui?

Parte III — A moral dos números.

O desequilíbrio relativo $|\lambda'|/\lambda$ : calcule-o e escreva-o como $\gamma_v vu/c^2$ .
Como um efeito da ordem de $10^{-19}$ da carga do fio pode produzir uma força macroscópica? (Que número enorme ele multiplica?)
Dois fios paralelos com $10\,\mathrm{A}$ cada, a $1\,\mathrm{cm}$ : calcule a força por metro e confira contra o valor de definição $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ newtons por metro.
Um eletroímã são dez mil voltas desta mesma história: estime o campo de uma bobina de $10^{4}\,$ espiras por metro conduzindo $10\,\mathrm{A}$ (fórmula do solenoide do volume do primeiro ano) e a força por centímetro quadrado que ele exerce sobre o ferro ( $\sim B^2/2\mu_0$ ).
Se a relatividade fosse desligada ( $c \to \infty$ na transformação), o que restaria de $\lambda'$ , da força de $B$ , dos motores e dos ímãs de ferro-velho?
Por que a carga de prova em repouso perto do fio não sente nada, ainda que os elétrons desfilem ao lado dela? (Que cancelamento a protege, e com que exatidão?)

Parte IV — Além do fio.

O volume do segundo ano deduzia os campos magnéticos da lei de Ampère, com as correntes como fontes dadas. O que este capítulo acrescenta a essa contabilidade — o que é o campo magnético, visto deste problema?
Os ímãs de ferro não têm bateria: o que faz o papel da corrente no magnetismo permanente (uma frase; a resposta microscópica honesta é quântica e espera cinco capítulos)?
Um único feixe de elétrons no vácuo (sem rede): um observador que o acompanha o vê atrair ou repelir a si mesmo mais do que um observador de laboratório? Reconcilie as contabilidades dos dois referenciais para a autoconstrição de um feixe.
Torne quantitativo o último ponto: mostre que dois feixes paralelos de mesma carga que se movem juntos com $\beta$ se repelem com uma força líquida (repulsão elétrica menos atração magnética) reduzida exatamente por $1/\gamma^2$ em relação ao valor em repouso — e diga qual contabilidade torna o fator evidente.
A energia de uma lâmpada chega a quase $c$ , enquanto seus elétrons derivam um metro por hora: o que de fato transporta a energia ao longo do fio (lembre o vetor de Poynting do volume do segundo ano)?
Estime $vu/c^2$ para os elétrons deste problema e uma carga de prova de pedestre ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): mesmo aí, a força é mensurável em primeira ordem com uma agulha de bússola — quem demonstrou que uma corrente desvia uma bússola, e em que ano?
Resuma o resultado central: um fio neutro de $10\,\mathrm{A}$ , observado de um assento que se move a $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , carrega $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ de carga relativística — e esse erro de contabilidade da ordem de $10^{-24}$ , devido à contração dos comprimentos, multiplicado por $10^{28}$ elétrons, é a força magnética inteira do laboratório.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $u^2/c^2 = 6 \times 10^{-24}$ . 2. $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — catorze quilocoulombs por metro em cada corrente. 3. $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , dirigida para o fio (correntes paralelas se atraem). 4. As duas cargas lineares se cancelam exatamente: $\lambda_{\text{tot}} = 0$ , nenhum campo em ordem zero. 5. Um elétron em excesso por metro: $E = 2k\lambda_1/d = 2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , força $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — $10^8$ vezes menor que a força magnética. O fio poderia esconder cem milhões de elétrons avulsos por metro antes que a eletrostática rivalizasse com o magnetismo: atribuir a força a $\vect B$ é seguro. 6. $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ são vinte pesos de grão de areia: facilmente mensurável. 7. Rede: $-v$ . Elétrons (que derivam a $u$ em sentido oposto a $I$ , isto é, oposto ao impulso): velocidade $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — mais rápidos que a rede. 8. $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{tot}} - vI/c^2) = -\gamma_v vI/c^2$ . 9. $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} = -1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : cerca de $7 \times 10^7$ elétrons em excesso por metro. A corrente de elétrons, mais rápida neste referencial, é a mais densa — cada corrente se contrai pelo seu próprio $\gamma$ . 10. $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times 1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , apontando para o fio; força $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , atrativa. 11. Idêntica a $qvB$ a menos do fator $\gamma_v = 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ : exatamente a lei de transformação de uma força transversal (a quadriforça), $F_{\text{rep}} = \gamma F_{\text{lab}}$ . 12. O fio continua conduzindo uma corrente (maior), e por isso $\vect B' \neq 0$ — mas nossa carga está em repouso aqui, e um campo magnético só agarra cargas em movimento. 13. $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$ . 14. Ele multiplica $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ cargas elementares por metro: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22} \approx 7 \times 10^{7}$ elétrons por metro — macroscópico. A matéria é tão enormemente carregada que sua neutralidade é o fio de uma navalha; a relatividade inclina a navalha. 15. $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — a fórmula que um dia definiu o ampère. 16. $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times 10 = 0.13\,\mathrm{T}$ ; pressão magnética $B^2/2\mu_0 \approx 6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$ : carros inteiros pendurados em relatividade integrada. 17. $c \to \infty$ mata $\lambda'$ e, com ele, a força, a parte magnética do campo, os motores, os dínamos e os guindastes de ferro-velho: o magnetismo não tem existência não relativística. 18. Em repouso, a carga vê o fio neutro do laboratório: as duas correntes se cancelam com a precisão com que a matéria é neutra — conhecida experimentalmente com exatidão fantástica — e força alguma age. 19. Que a imagem das “fontes dadas” era a fatia, num único referencial, de um só tensor: $\vect B$ é a parte do campo eletromagnético que o movimento de um dado observador atribui a correntes, e não a cargas. 20. O spin do elétron: cada elétron é um ímã elementar (uma “corrente” intrínseca e quântica), e o ferro é a matéria em que eles se alinham — o Capítulo 12 e o Capítulo 22 retomam isso. 21. No referencial de repouso do feixe a repulsão é puramente coulombiana e máxima; no laboratório, a atração magnética das correntes paralelas quase a cancela. Sem contradição: a força transversal do laboratório é a do referencial de repouso dividida por $\gamma$ , e a dinâmica mais lenta (dilatação do tempo) completa a contabilidade. 22. Força líquida no laboratório $= qE_{\text{lab}} - qvB_{\text{lab}} = (1 - \beta^2)qE_{\text{lab}} = F_{\text{Coulomb}}/\gamma^2$ , conforme a transformação; no referencial de repouso o fator é transparente: eletrostática pura, com a expansão observada através de um tempo dilatado. 23. O vetor de Poynting: a energia escoa pelos campos em torno dos condutores a quase $c$ , com os elétrons apenas a ordenando; o cobre do fio é um guia, não um cano. 24. $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — e, ainda assim, Ørsted viu sua bússola girar ao lado de um fio em 1820: o multiplicador de $10^{22}$ cargas já estava em ação um século antes que alguém pudesse nomeá-lo. 25. Um fio neutro de $10\,\mathrm{A}$ , visto de $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , carrega $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ : a diferença de contabilidade de $10^{-16}$ devida à contração dos comprimentos, multiplicada por $10^{23}$ cargas por metro, é a força magnética — todo o magnetismo é a relatividade auditada a passo de caracol.

Termos definidos neste capítulo

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