25Física nuclear

Solução de Exercício 25.1.

(a) $^{12}$C: $6, 6, 12$; $^{14}$C: $6, 8, 14$; $^{235}$U: $92, 143, 235$; $^{238}$U: $92, 146, 238$. (b) Os carbonos; os urânios. (c) A química é a nuvem eletrônica, fixada pelo $Z$; a estabilidade é o equilíbrio $N$–$Z$ lá dentro. (d) Isóbaros — conectados pelo decaimento $\beta^-$: $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$, a batida do relógio do radiocarbono.

Solução de Exercício 25.2.

(a) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: o $A$ se cancela. (b) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — um bilhão de toneladas numa colher de chá. (c) $(R/R_{\text{át}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$: o átomo é espaço vazio com um grãozinho pesado. (d) Volume $\propto A$ significa que cada núcleon reivindica um espaço fixo e só se liga aos vizinhos que toca: a força satura no alcance do $\mathrm{fm}$.

Solução de Exercício 25.3.

(a) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$: $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$. (b) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$. (c) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$: seis ordens de grandeza — e é por isso que o combustível nuclear supera o químico por um milhão. (d) O $\alpha$ é um pacote pré-montado e excepcionalmente barato: emiti-lo exporta quatro núcleons com um desconto de pechincha de $28.3\,\mathrm{MeV}$, que núcleon algum sozinho consegue igualar.

Solução de Exercício 25.4.

(a) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$. (b) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$: um curie, por construção — o próprio grama dos Curie. (d) Três meias-vidas: $0.125\,\mathrm{g}$ de rádio (o resto agora é radônio e as filhas dele, marchando rumo ao chumbo).

Solução de Exercício 25.5.

(a) Volume $+882$; superfície $-261$; Coulomb $-0.711\times676/3.83 = -126$; assimetria $-23.7\times16/56 = -6.8$ ($\mathrm{MeV}$). (b) Com o emparelhamento $+12/\sqrt{56} = +1.6$: $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$, $B/A = 8.76$ contra os $8.79$ medidos — três por mil de erro, a partir de uma gota líquida. (c) Volume contra superfície$+$Coulomb: o cruzamento das taxas de crescimento deles é o que esculpe o máximo no ferro. (d) Coulomb é de longo alcance: todo próton repele todos os outros, $\propto Z^2$, enquanto a força forte, que satura, só paga $\propto A$ — a derrota final dos pesos-pesados.

Solução de Exercício 25.6.

(a) O $\partial/\partial Z$ dos termos de Coulomb e de assimetria dá $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$; resolva. (b) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$: a escolha da natureza em $A = 101$ é o rutênio, $Z = 44$. (c) Sem Coulomb, $Z^* = A/2$: duas escadas de Fermi (Capítulo 19), mais baratas quando cheias até a mesma altura. (d) O assento no vale do fragmento é $Z^* \approx 41$: cinco prótons a menos — uma cascata de cinco decaimentos $\beta^-$ o traz de volta, cada um convertendo um nêutron e emitindo um elétron e um antineutrino.

Solução de Exercício 25.7.

(a) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ anos: uma fogueira do fim da era do gelo. (b) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$: $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — uma dúzia de decaimentos por minuto por grama, a taxa de contagem de trabalho de todo laboratório de datação. (c) Depois de nove meias-vidas, a atividade afunda abaixo do fundo: o relógio ainda anda, mas não dá mais para lê-lo. (d) As rochas nunca respiraram carbono atmosférico; os relógios delas são os primordiais — urânio–chumbo, potássio–argônio — com meias-vidas de bilhões de anos.

Solução de Exercício 25.8.

(a) Os $8.78\,\mathrm{MeV}$ do $\alpha$ estão bem abaixo da borda de $26\,\mathrm{MeV}$: classicamente ele não pode nem sair nem ter entrado — e ainda assim a meia-vida é de $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$. (b) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$: razão $\approx 5\times10^{23}$. (c) A taxa de tunelamento é $\eu^{-2G}$, com o expoente de Gamow $\propto Z/\sqrt E$: reduzir o $E$ à metade eleva o $2G$ em cerca de cinquenta e cinco unidades, e $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — a reta escandalosa de Geiger–Nuttall, de uma só exponencial. (d) Os prótons solares também tunelam: a temperatura do núcleo tem de ser alta o bastante para que a cauda de Maxwell vezes o fator de Gamow sustente a queima — mesmo penhasco, escalado pelo outro lado.

Solução de Exercício 25.9.

(a) A partição move ${\sim}235$ núcleons de $7.6\,$ a ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ de ligação: $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$. (b) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ núcleos: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ toneladas de petróleo — por quilograma. (c) $3\,\mathrm{GW}$ térmicos por um ano são $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$: cerca de $1.2\,\mathrm{t}$ de $^{235}$U. (d) Os dois fragmentos positivos se afastam num salto sob a própria repulsão de Coulomb, carregando ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética que vira calor em poucos micrômetros — um reator é uma chaleira cuja chama é recuo eletrostático.

Solução de Exercício 25.10.

(a) $10^4$ gerações: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — de megawatts a dezenas de gigawatts dentro de um segundo; motor algum move uma barra tão rápido. (b) Com $k - 1 < \beta$, a cadeia não consegue se reproduzir só com nêutrons prontos: cada passo de crescimento espera os retardatários de ${\sim}10\,\mathrm{s}$, e assim o tempo de geração efetivo é de uma fração de segundo ou mais. (c) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$: meio por cento por segundo — território de barra e operador. (d) Levar o $k - 1$ para além do $\beta$ pôs o reator no relógio pronto de $10^{-4}\,\mathrm{s}$: eles perderam o período de graça dos nêutrons atrasados que torna os reatores dirigíveis.

Solução de Exercício 25.11.

(a) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de massa pura; vazão de hidrogênio $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — seiscentos milhões de toneladas por segundo. (b) Hidrogênio queimável ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$: $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ bilhões de anos — o Sol está de meia-idade. (c) Barreira de ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ contra $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$: um déficit de mil vezes — só os prótons mais rápidos da cauda de Maxwell, tunelando (Exercício 25.8), chegam a fundir; e por isso o Sol queima por bilhões de anos em vez de explodir. (d) A cinza é $^4$He — estável, com o contentamento duplamente mágico; não há fragmentos ricos em nêutrons para decair por $\beta$ durante séculos.

Solução de Exercício 25.12.

(a) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$: $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ núcleos — $2.6\,\mathrm{ng}$. Medicina por nanograma. (b) Seis horas sobrevivem ao exame, mas não ao fim de semana: a dose se desliga sozinha; um $\gamma$ puro de $140\,\mathrm{keV}$ deixa o corpo rumo à câmera sem o pedágio de $\alpha$/$\beta$ que queima tecido. (c) Elétron e pósitron em repouso se aniquilam em dois fótons de $511\,\mathrm{keV}$, um de costas para o outro (energia e momento, Capítulo 5): cada par em coincidência define uma reta que passa pelo tumor, e milhares de retas o triangulam — tomografia por lei de conservação. (d) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ aquecem o tecido meio milikelvin — termicamente um gole de água morna; mas, entregues como ${\sim}10^{17}$ ionizações por quilograma, cada uma cortando ligações químicas da escala do $\mathrm{eV}$, isso é quimicamente letal para uma célula em divisão. Os joules medem calor; os grays medem sabotagem.