Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

19Estatística quântica

Os elétrons de condução do cobre formam um gás mil vezes mais denso que o ar — e ainda assim quase nada acrescentam à capacidade térmica do cobre, escândalo que assombrou a física clássica por cinquenta anos. Uma nuvem de átomos de rubídio, resfriada a cem bilionésimos de kelvin, desaba de repente num único estado quântico com dez mil átomos de profundidade. Uma estrela morta com a massa do Sol e o tamanho da Terra se recusa a encolher mais, sustentada por nada além do princípio de exclusão. Os três casos são o mesmo capítulo da física: o que acontece com um gás quando $n\lambda_T^3 \sim 1$ e as fórmulas de ocupação do Capítulo 18 se afastam de Boltzmann. Os férmions constroem mares — frios, rígidos, pressurizados; os bósons constroem condensados — gregários, coerentes, superfluidos. Entre a maioria silenciosa do mar de Fermi e a debandada do condensado está a maior parte da física moderna da matéria condensada e das baixas temperaturas, e o destino das estrelas.

19.1 Gases de ocupações

Proposição 19.1 (A maquinaria do gás quântico)

Para partículas sem interação numa caixa, as somas sobre níveis viram integrais sobre a densidade de estados da Proposição 7.5 (por estado de spin, $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

com $\bar n$ a ocupação de Fermi–Dirac ou de Bose–Einstein. A primeira equação fixa $\mu(T, n)$ ; a segunda entrega a termodinâmica. No limite diluído $n\lambda_T^3 \ll 1$ , as duas estatísticas desabam sobre Boltzmann e o gás clássico volta; os regimes quânticos começam onde os pacotes de onda se tocam.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

19.2 O mar de Fermi

Teorema 19.2 (O gás de Fermi degenerado)

Em $T = 0$ , os férmions preenchem todos os níveis até a energia de Fermi

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{spin } \tfrac12) ,

com energia média $\tfrac35 E_{\text{F}}$ por partícula e a pressão de degenerescência

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

uma pressão no zero absoluto, de origem puramente quântica — a rigidez do gás de elétrons de todo metal e o sustento das estrelas mortas. Em $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ , só os elétrons a menos de $\sim k_{\text{B}}T$ da superfície deste mar de Fermi podem responder a qualquer coisa: a fração $\sim T/T_{\text{F}}$ é a chave-mestra do comportamento metálico.

Demonstração parcial. Preencha $g(\epsilon)$ até $E_{\text{F}}$ : inverter $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ dá o $E_{\text{F}}$ enunciado (Exercício 7.8); $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ sai de mais uma integral. Pressão: comprimir a caixa eleva todos os níveis como $V^{-2/3}$ , e portanto $E \propto V^{-2/3}$ e $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — com $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ , a lei enunciada. ∎

O mar de Fermi em T T_ F: a ocupação é um degrau ligeiramente borrado. Os elétrons profundos não podem espalhar, absorver nem responder — todos os estados acessíveis estão tomados; toda a física metálica acontece na fina casca térmica da superfície. — O mar de Fermi em $T \ll T_{\text{F}}$ : a ocupação é um degrau ligeiramente borrado. Os elétrons profundos não podem espalhar, absorver nem responder — todos os estados acessíveis estão tomados; toda a física metálica acontece na fina casca térmica da superfície.

Exemplo 19.3 (O escândalo da capacidade térmica, resolvido)

Classicamente, o elétron livre por átomo do cobre acrescentaria $\tfrac32 k_{\text{B}}$ à capacidade térmica — $50\%$ acima de Dulong–Petit. Medido: cerca de $1\%$ à temperatura ambiente. O mar explica: com $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , só a fração $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ dos elétrons pode ser excitada termicamente, cada um por $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(o coeficiente de Sommerfeld exato; Exercício 19.12). Linear em $T$ , ela fica enterrada sob o $T^3$ da rede às temperaturas ordinárias, mas domina abaixo de alguns kelvins — exatamente como acham os calorímetros, resolvendo de um golpe o enigma dos elétrons que carregam corrente, mas não capacidade térmica.

Exemplo 19.4 (Estrelas sustentadas pela exclusão)

Uma anã branca (Exercício 14.11) equilibra a gravidade contra a pressão de degenerescência eletrônica. Como $P \propto n^{5/3}$ enrijece mais depressa do que crescem as exigências da gravidade quando a estrela encolhe, existe um raio de equilíbrio para qualquer massa modesta — com a escala inquietante $R \propto M^{-1/3}$ : as anãs mais pesadas são menores. Espremidos mais, os elétrons ficam relativísticos, a lei de pressão amolece para $n^{4/3}$ , e o equilíbrio falha numa massa única, o limite de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (Problema 19.1) — passado ele, colapso para uma estrela de nêutrons: um mar de Fermi de nêutrons à densidade nuclear, a mesma física a $10^{14}$ vezes a densidade.

19.3 A debandada de Bose

Teorema 19.5 (Condensação de Bose–Einstein)

Para um gás de $N$ bósons conservados, os estados excitados podem guardar no máximo $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ partículas (a integral de $g\bar n_{\text{BE}}$ no teto $\mu \to 0$ dela). Abaixo da temperatura crítica

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(equivalentemente } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

o excedente não tem para onde ir senão o único estado fundamental: uma população macroscópica

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

se condensa num só estado quântico — matéria comportando-se como uma única função de onda gigante. Prevista por Einstein em 1925 a partir da estatística de fótons de Bose; realizada em rubídio diluído em 1995 a $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (Nobel de 2001), anunciada pela reveladora distribuição de velocidades bimodal: uma nuvem térmica com uma agulha de condensado de velocidade nula subindo do centro dela.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: abaixo de T_ c a população do estado fundamental fica macroscópica. À direita: a assinatura de 1995 — solta e fotografada, a nuvem mostra uma distribuição térmica larga com um pico estreito de velocidade nula: um estado quântico, visível a uma câmera. — À esquerda: abaixo de $T_{\text{c}}$ a população do estado fundamental fica macroscópica. À direita: a assinatura de 1995 — solta e fotografada, a nuvem mostra uma distribuição térmica larga com um pico estreito de velocidade nula: um estado quântico, visível a uma câmera.

Exemplo 19.6 (O hélio, superfluido veterano)

O $^4$ He líquido (bosônico) se transforma em $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ num superfluido: viscosidade nula através dos capilares mais finos, escoamento em filme pelas paredes do recipiente, efeitos de fonte e circulação quantizada em unidades de $h/m$ — a fase macroscópica de um condensado em ação, deslocada da previsão do gás ideal ( $3.1\,\mathrm{K}$ para a densidade do hélio) pelas interações, mas inconfundivelmente o mesmo fenômeno. O $^3$ He fermiônico não consegue condensar sozinho: os átomos dele têm primeiro de emparelhar (como os elétrons de um supercondutor, Capítulo 24) em bósons compostos — e a superfluidez de fato chega, mas a $2.6\,\mathrm{mK}$ , mil vezes mais frio: dois isótopos, uma lição — a estatística é destino.

Método 19.7 (Que estatística, que regime)

(1) Calcule $n\lambda_T^3$ primeiro: $\ll1$ significa Boltzmann, e o capítulo 17 basta. (2) Férmions degenerados: pense em $E_{\text{F}}$ e $T/T_{\text{F}}$ ; as respostas (capacidade térmica, suscetibilidade, espalhamento) carregam o fator $T/T_{\text{F}}$ ou amostram apenas a superfície de Fermi. (3) Bósons degenerados: compare $T$ com $T_{\text{c}}$ ; abaixo dele, separe o gás em condensado mais nuvem térmica. (4) Pressões: a rigidez fermiônica $n^{5/3}$ (ou $n^{4/3}$ relativística) contra o que quer que aperte. (5) Partículas compostas: conte os férmions constituintes para escolher a estatística — e lembre que o emparelhamento pode converter uma estatística na outra.

Um supercondutor levitando ao afastar as linhas de campo de um ímã: abaixo da temperatura crítica dele, o fluido eletrônico se condensa num único estado quântico macroscópico — física da degenerescência, segurando um disco no ar.

19.4 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Calcule $E_{\text{F}}$ e $T_{\text{F}}$ para (a) o cobre ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (b) o sódio ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (c) o $^3$ He líquido ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ); (d) ordene contra a temperatura ambiente e comente quem é degenerado e quando.

Solução

Solução de Exercício 19.1.

(a) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (b) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (c) Com $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (valor de gás ideal; as interações o abaixam). (d) Elétrons de metal: degenerados a toda temperatura terrestre; $^3$ He: só abaixo de alguns kelvins; $T = 300\,\mathrm{K}$ nunca chega perto da escala de Fermi de um metal.

Exercício 19.2 ★

(a) Mostre que $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ em $T = 0$ . (b) Calcule a velocidade quadrática média dos elétrons no cobre. (c) Essa velocidade corresponde classicamente a que temperatura? (d) Por que um metal frio contém elétrons movendo-se a um centésimo da velocidade da luz sem irradiar essa energia embora?

Solução

Solução de Exercício 19.2.

(a) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ , a partir de $g \propto \sqrt\epsilon$ . (b) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; valor quadrático médio $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (d) Não há para onde ir: todos os estados inferiores estão cheios, e por isso nenhum fóton pode ser emitido e colisão alguma pode freá-los — velocidade sem calor, por exclusão.

Exercício 19.3 ★

Pressão de degenerescência dos elétrons do cobre: (a) avalie $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ em pascals e em atmosferas. (b) Por que o metal não explode (o que puxa de volta)? (c) Essa pressão resiste à compressão: relacione com a baixa compressibilidade dos metais. (d) Estime o módulo de compressão $K \sim \tfrac53 P$ e compare com os $140\,\mathrm{GPa}$ medidos do cobre.

Solução

Solução de Exercício 19.3.

(a) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ atmosferas. (b) A atração de Coulomb da rede de íons: o metal é a trégua entre as duas (Exercício 19.11). (c) Comprimir eleva $E_{\text{F}}$ abruptamente ( $n^{2/3}$ ): os metais resistem. (d) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ contra os $140\,\mathrm{GPa}$ medidos: metade da rigidez do cobre é pura exclusão.

Exercício 19.4 ★

Limiares de BEC. (a) Calcule $T_{\text{c}}$ para o rubídio-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) a $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (b) Para o mesmo $n$ , que $T_{\text{c}}$ teriam átomos de hidrogênio? (c) Por que os experimentos usam gases diluídos a nanokelvins em vez de gases densos a milikelvins (o que acontece quimicamente a alta densidade e baixa temperatura)? (d) Verifique a regra de consistência $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ nos seus números do rubídio.

Solução

Solução de Exercício 19.4.

(a) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — o condensado do JILA apareceu a $170\,\mathrm{nK}$ : mesma física, densidade de pico um pouco mais baixa. (b) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (c) A alta densidade e frio assim, todo gás que não seja hidrogênio polarizado em spin solidifica; colisões de três corpos formam moléculas. O truque é um gás diluído e metaestável, frio o bastante para que $\lambda_T$ compense a diluição. (d) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , como a regra exige.

Exercício 19.5 ★★

Duas capacidades térmicas. Num metal, $C = \gamma T + \beta T^3$ (elétrons; rede). (a) Usando o Exemplo 19.3 e o termo de rede à moda de Debye $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ , estime a temperatura de cruzamento para o cobre ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (b) A $300\,\mathrm{K}$ , a parcela eletrônica em porcentagem. (c) E a $0.1\,\mathrm{K}$ ? (d) Por que os experimentadores traçam $C/T$ contra $T^2$ , e o que entregam o intercepto e a inclinação dessa reta?

Solução

Solução de Exercício 19.5.

(a) $\gamma T = \beta T^3$ em $T^2 = \gamma/\beta$ : para o cobre, $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (b) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (c) A $0.1\,\mathrm{K}$ o termo de rede desabou como $T^3$ : os elétrons carregam $\sim10^3$ vezes mais — a calorimetria vira espectroscopia eletrônica. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ é uma reta em $T^2$ : o intercepto $\gamma$ mede a densidade de estados no nível de Fermi, e a inclinação $\beta$ , a temperatura de Debye — dois números por metal, de um só gráfico.

Exercício 19.6 ★★

Uma anã branca de uma massa solar ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) e raio terrestre ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ), com um elétron por dois núcleons. (a) Calcule $n_{\text{e}}$ e $E_{\text{F}}$ (fórmula não relativística). (b) Compare $E_{\text{F}}$ com $m_{\text{e}}c^2$ e com $k_{\text{B}}T$ aos $10^{7}\,\mathrm{K}$ do interior: justifique “frio” e “quase relativístico” ao mesmo tempo. (c) Compare a pressão de degenerescência $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ com a estimativa de pressão gravitacional $\sim GM^2/R^4$ : mesma ordem? (d) O que acontece qualitativamente com cada lado do equilíbrio se $M$ cresce?

Solução

Solução de Exercício 19.6.

(a) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (b) Metade da energia de repouso do elétron (à beira do relativístico), e ainda assim trezentas vezes $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ): incandescente e quanticamente frio ao mesmo tempo. (c) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ contra $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : a mesma ordem — a estrela é exatamente esse equilíbrio. (d) Mais massa: o lado da gravidade cresce como $M^2$ , e a estrela tem de encolher ( $R \propto M^{-1/3}$ ), levando $E_{\text{F}}$ rumo ao amolecimento relativístico.

Exercício 19.7 ★★

Matéria de nêutrons. Uma estrela de nêutrons empacota $M = 1.4\,M_\odot$ em $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (a) Calcule a densidade de nêutrons e compare com a densidade nuclear ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (b) Calcule $E_{\text{F}}$ para os nêutrons (não relativístico; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) e verifique quão relativísticos eles são. (c) Por que os elétrons da estrela desapareceram (decaimento beta inverso: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — o que fez o $E_{\text{F}}$ dos elétrons pagar por isso)? (d) Uma colher de chá dessa matéria pesa quanto?

Solução

Solução de Exercício 19.7.

(a) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : cerca do dobro da densidade nuclear — um núcleo do tamanho de uma cidade. (b) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , um décimo de $m_{\text{n}}c^2$ : a relatividade está batendo à porta. (c) A energia de Fermi dos elétrons subiu acima do custo de $0.78\,\mathrm{MeV}$ de $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : a captura ficou lucrativa, e a estrela trocou os elétrons e prótons dela por nêutrons. (d) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : uma colher de chá mais pesada que uma cordilheira.

Exercício 19.8 ★★

Bósons sem número. (a) Os fótons têm sempre $\mu = 0$ : por que eles não podem sofrer a condensação do Teorema 19.5 (o que o gás faz em vez disso quando resfriado)? (b) Que lei de conservação os átomos de rubídio têm e falta aos fótons? (c) Em 2010 um BEC de fótons foi feito, numa cavidade cheia de corante onde os fótons termalizam e o número deles fica efetivamente fixo: que ingrediente a cavidade de corante restituiu? (d) Fônons num cristal: condensação ou não, e por quê?

Solução

Solução de Exercício 19.8.

(a) Resfriar uma cavidade simplesmente remove fótons (as paredes os absorvem): sem número a conservar, o $\mu$ fica preso em zero e excedente algum jamais se acumula no modo fundamental — o gás escurece em vez de condensar. (b) O número de átomos se conserva em toda escala de tempo de laboratório. (c) O corante absorve e reemite fótons repetidamente sem perdê-los na escala de tempo da termalização: um número de fótons efetivamente conservado (e uma massa efetiva vinda da cavidade) — e a condensação de fato aparece. (d) Fônons: criados e destruídos à vontade, $\mu = 0$ : sem condensação — o “gás de fônons” de um cristal apenas congela.

Exercício 19.9 ★★

Os dois isótopos do hélio. (a) Calcule o $T_{\text{c}}$ de gás ideal do $^4$ He líquido ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) e compare com $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (b) Por que a concordância é apenas grosseira (o que “ideal” ignora num líquido)? (c) O $^3$ He, a quase a mesma densidade, permanece normal até milikelvins: enuncie o obstáculo e a saída que a natureza encontrou. (d) Verificação da lógica composta: um par de $^3$ He contém um número par de férmions — bóson; o $^6$ Li guarda $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ férmions: classifique-o e nomeie os célebres experimentos de gases frios que exploram exatamente esse contraste Li–Li.

Solução

Solução de Exercício 19.9.

(a) $T_{\text{c}}^{\text{ideal}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ contra o $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ medido. (b) O hélio líquido é denso e fortemente interagente: “ideal” descarta as interações que deslocam (e remodelam) a transição. (c) Os átomos de $^3$ He são férmions: sem emparelhamento não há condensação; as interações atrativas ligam pares à la Cooper apenas abaixo de $2.6\,\mathrm{mK}$ , e o líquido emparelhado então superflui. (d) Nove férmions: o $^6$ Li é um férmion (enquanto o $^7$ Li é um bóson) — o par de isótopos do lítio permite a um mesmo laboratório estudar um mar de Fermi e um condensado no mesmo forno.

Exercício 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ com honestidade. (a) Escreva $N_{\text{exc}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ em $\mu = 0$ e reduza-a, com $x = \beta\epsilon$ , a $N_{\text{exc}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (b) Dado que $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ , obtenha o teto e o $T_{\text{c}}$ . (c) Deduza a fração condensada $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ . (d) Por que o mesmo argumento não produz condensação alguma numa caixa bidimensional (como muda $g( \epsilon)$ , e o que acontece com a convergência da integral)?

Solução

Solução de Exercício 19.10.

(a) Substitua $g \propto \sqrt\epsilon$ e ponha o $\beta$ para fora. (b) O valor da integral dá $N_{\text{exc}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; impor $N_{\text{exc}} = N$ define $T_{\text{c}}$ . (c) Abaixo de $T_{\text{c}}$ , $N_{\text{exc}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; o resto é $N_0$ . (d) Em duas dimensões, $g(\epsilon)$ é constante e $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ diverge no fundo: os estados excitados podem sempre absorver todo mundo — nenhuma população macroscópica no estado fundamental, a $T > 0$ algum.

Exercício 19.11 ★★★

Por que os metais se mantêm coesos. Modele um metal como elétrons de densidade $n$ (custo de energia de Fermi $\propto n^{2/3}$ por elétron) atraídos por um fundo iônico neutralizante (ganho de Coulomb por elétron $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (a) Escreva a energia por elétron $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ e mostre que ela tem mínimo. (b) Mostre que o espaçamento eletrônico de equilíbrio é da ordem de $a_0$ — as densidades metálicas não são acidentes. (c) Estime a escala de energia coesiva no mínimo, em eV. (d) Que papel a pressão de degenerescência desempenha neste estado ligado (o que detém o colapso de Coulomb)?

Solução

Solução de Exercício 19.11.

(a) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ em $n^{1/3} = B/2A$ : um mínimo genuíno. (b) Com $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ e $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ , o espaçamento de equilíbrio $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : os metais são densos porque o raio de Bohr manda. (c) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — coesão de um elétron-volt, como se mede. (d) A pressão de degenerescência é a metade repulsiva da trégua: sem ela, o termo de Coulomb esmagaria a rede até um ponto — o volume da matéria é de Pauli.

Exercício 19.12 ★★★

A casca de Sommerfeld, quantificada. (a) Argumente: de $N$ elétrons, só $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ficam na casca ativa, cada um guardando energia extra $\sim k_{\text{B}}T$ : deduza $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ a menos de uma constante. (b) Com $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ , recupere $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ (a constante exata é $\pi^2/2$ ). (c) A mesma lógica de casca dá a suscetibilidade de spin de Pauli, independente da temperatura: só os elétrons da casca podem virar — mas a casca cresce como $T$ enquanto cada contribuição cai como $1/T$ : mostre o cancelamento. (d) Enuncie a moral geral dos férmions degenerados: toda resposta é a clássica vezes $\sim T/T_{\text{F}}$ , ou o análogo dela restrito à superfície.

Solução

Solução de Exercício 19.12.

(a) Elétrons ativos: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; energia de cada um: $\sim k_{\text{B}}T$ ; derive $E_{\text{extra}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (b) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ dá $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — o $\pi^2/2$ exato substitui o 3. (c) Spins viráveis $\propto T$ ; cada um contribui com alinhamento $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : os $T$ se cancelam — a suscetibilidade de Pauli é plana onde a de Curie (Exercício 17.11) cai como $1/T$ : um diagnóstico de degenerescência. (d) Os férmions degenerados respondem só na superfície deles: multiplique qualquer resposta clássica por $\sim T/T_{\text{F}}$ , ou restrinja-a à casca de Fermi.

O primeiro condensado de Bose–Einstein (NIST/JILA, 1995, domínio público): distribuições de velocidade de átomos de rubídio à medida que o gás esfria, da esquerda para a direita — a colina térmica desaba no pico do condensado, setenta anos depois da previsão.

19.5 Problema: a anã branca mais pesada possível

Problema 19.1

Problema de fim de semana — o limite de Chandrasekhar e as velas que ele acendeu

Em 1930, aos dezenove anos, Subrahmanyan Chandrasekhar calculou no navio para a Inglaterra que a degenerescência eletrônica só sustenta uma estrela morta até uma massa definida. O resultado — resistido com amargor por Eddington — é a base das estrelas de nêutrons, dos buracos negros e das “velas-padrão” de supernova que revelaram o universo em aceleração. Este problema o constrói por escalas. Dados: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; um elétron por $\mu_e = 2$ núcleons; $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

Parte I — O equilíbrio de duas energias. Para uma estrela de massa $M$ e raio $R$ , trate as energias por unidade de massa por escalas.

Energia gravitacional: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — lembre a origem dela.
Contagem de elétrons $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ e densidade $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : escreva a escala da energia de Fermi não relativística em função de $M$ e $R$ .
Mostre que a energia cinética (de degenerescência) total escala como $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
Minimize $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ em $R$ e mostre que o raio de equilíbrio é $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ .
Leia a escala $R \propto M^{-1/3}$ : as anãs mais pesadas são menores. Por que isso já cheira a encrenca?
Avalie $R$ para $M = 1\,M_\odot$ e compare com os $\approx5800\,\mathrm{km}$ medidos de Sirius B.

Parte II — A relatividade puxa o chão embora.

Quando $R$ encolhe, $E_{\text{F}}$ cresce: estime a densidade em que $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ e a região de massa de anã correspondente.
No regime ultrarrelativístico, a energia de cada elétron é $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : mostre que a energia cinética vira $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ .
As duas energias escalam agora como $1/R$ : conclua que o equilíbrio deixa de selecionar um raio — compare os dois coeficientes em vez disso.
Impondo $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ , deduza o número crítico de elétrons e a massa

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
Avalie a razão adimensional $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ — um dos grandes números puros da física — e depois $M_{\text{Ch}}$ em massas solares (o tratamento exato dá $1.4\,M_\odot$ ).
Interprete a fórmula: que três constantes conspiram, e por que um limite quântico para uma estrela carrega $\hbar$ ?

Parte III — Além do limite.

Uma anã empurrada para além de $M_{\text{Ch}}$ (acreção de uma companheira): o que a sustenta em seguida, e a que escala de raio (troque $m_{\text{e}}$ por $m_{\text{n}}$ e $\mu_e$ por 1 no raio da Parte I)?
Mostre que o limite relativístico da própria estrela de nêutrons é da mesma ordem de $M_{\text{Ch}}$ — a natureza concede só um adiamento de fator dois (máximo observado $\approx 2.2\,M_\odot$ ). O que espera adiante?
Durante o colapso para estrela de nêutrons, libera-se $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ de energia gravitacional: avalie isso para $M = 1.4\,M_\odot$ , $R = 11\,\mathrm{km}$ , e compare com toda a produção do Sol em $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
Quase tudo isso sai como neutrinos em segundos: que observação de 1987 confirmou este quadro de modo espetacular?
O ricochete do caroço em colapso e o empurrão dos neutrinos arrancam o envelope: uma supernova por colapso de caroço. Distinga-a, em uma frase cada, da supernova termonuclear (tipo Ia) de uma anã branca que se acende no limiar de Chandrasekhar.
Por que a detonação a uma massa universal torna as supernovas de tipo Ia quase idênticas — e, portanto, úteis como velas-padrão?

Parte IV — As velas e o cosmo.

O brilho aparente de uma vela-padrão dá a distância dela: enuncie a lógica do inverso do quadrado e por que padrão é a palavra decisiva.
Em 1998, duas equipes acharam supernovas de tipo Ia distantes mais fracas do que o esperado: enuncie a inferência (expansão acelerando — energia escura) e por que a confiabilidade da vela era o ponto crucial.
Liste a cadeia deste problema em uma linha: Pauli $\to$ pressão de degenerescência $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ explosões uniformes $\to$ aceleração cósmica.
Eddington escarneceu do resultado (“uma estrela cometendo absurdos”); Chandrasekhar recebeu o Nobel cinquenta e três anos depois: o que o episódio ensina sobre seguir as equações para além das conclusões confortáveis?
O espectro de Sirius B em 1915 implicava uma tonelada por centímetro cúbico — “absurdo” até que Fowler, poucos meses depois da estatística de Fermi de 1926, explicou a estrela como um gás degenerado: enuncie por que o enigma era insolúvel num ano e rotineiro no seguinte.
Levantamentos de milhares de anãs brancas acham massas agrupadas perto de $0.6\,M_\odot$ e nenhuma acima de $\approx1.4\,M_\odot$ : que duas previsões deste problema esse único histograma confirma?
Resuma o resultado nomeado: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — três constantes da natureza fixando a anã branca mais pesada possível, a massa de gatilho das explosões calibradas do universo.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. A energia liberada ao montar a estrela a partir de matéria dispersa — negativa, e mais profunda quanto mais compacta. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. Minimizar $A/R^2 - B/R$ dá $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — acrescentar massa encolhe a estrela, e assim a densidade e o $E_{\text{F}}$ crescem sem limite: o sustento não relativístico vive de crédito. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — a ordem certa ao lado dos $5800\,\mathrm{km}$ de Sirius B (nossa análise por escalas descartou fatores da ordem de alguns). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ em $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , ou seja, $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : o regime das anãs mais pesadas. 8. Cada elétron: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; total: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. Com os dois termos $\propto 1/R$ , o raio some: a estabilidade se decide por o coeficiente cinético superar ou não o gravitacional — um critério puramente de massa. 10. Iguale: $N_{\text{e,crit}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , e $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,crit}}$ : a fórmula enunciada. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — o cálculo exato afina a ordem de grandeza para $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (a pressão é quântica), $c$ (o amolecimento relativístico dela), $G$ (o adversário): um número do tamanho de uma estrela construído com três constantes microscópicas — a mecânica quântica legislando para objetos de $10^{57}$ partículas. 13. A degenerescência de nêutrons, a um raio menor por $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ (vezes a contabilidade do $\mu_e$ ): quilômetros — a estrela de nêutrons. 14. As mesmas três constantes, com $m_{\text{n}}$ em toda parte, dão a mesma escala de massa: as estrelas de nêutrons param perto de $2\,M_\odot$ ; além disso, lei de pressão alguma vence — um buraco negro. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : várias centenas de vezes toda a produção de dez bilhões de anos do Sol, liberada em segundos. 16. A supernova 1987A: duas dúzias de neutrinos, chegando horas antes de a luz aumentar, carregando exatamente a energia prevista — o colapso ouvido diretamente. 17. Colapso de caroço: o caroço de ferro de uma estrela massiva implode para além de todo piso de pressão; o envelope é arrancado. Tipo Ia: uma anã branca alimentada até o limiar acende o carbono dela num clarão termonuclear que desliga a estrela inteira. 18. Mesma massa de gatilho, mesmo combustível, mesma energia liberada: curvas de luz quase idênticas — bombas calibradas. 19. Conhecido o brilho absoluto, o brilho observado dá a distância pelo inverso do quadrado; sem o “padrão”, a escada desaba. 20. Fraca demais quer dizer longe demais: a expansão vem acelerando — energia escura, apoiada em termos de evidência na uniformidade das velas (daí o cuidado com a física delas). 21. Princípio de exclusão $\to$ pressão de degenerescência $\to$ uma massa-limite universal $\to$ explosões padronizadas $\to$ a aceleração medida do universo. 22. Siga a matemática aonde quer que ela leve: o comportamento “absurdo” das estrelas além do limite acabou sendo estrelas de nêutrons e buracos negros — ambos hoje catalogados aos milhares. 23. Em 1915, física conhecida alguma permitia à matéria uma tonelada por centímetro cúbico; em 1926, a estatística de Fermi–Dirac fez disso o estado padrão de qualquer gás frio e denso: a observação esperou pela estatística, não o contrário. 24. Que as anãs existem de modo estável ao longo de uma faixa de massas (o ramo $R(M)$ ), e que o ramo termina em $1.4\,M_\odot$ : as duas coisas estão desenhadas naquele histograma. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : três constantes fixam a anã branca mais pesada — e com isso a massa de gatilho das velas-padrão que pesaram o destino do universo.