Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

27Astrofísica

Todo capítulo deste livro vinha ensaiando para este. As estrelas são bolas de gás autogravitantes regidas pela hidrostática do volume do primeiro ano, acesas pelo tunelamento do Capítulo 25 e brilhando pela lei de Planck do Capítulo 20; as estrelas mortas são os gases de Fermi degenerados do Capítulo 19 do tamanho de cidades; e o próprio universo é um sistema térmico em resfriamento cuja foto de bebê — a radiação de fundo em micro-ondas — é o corpo negro mais perfeito já medido. Este capítulo de fecho reúne o volume inteiro no maior laboratório possível: como as estrelas vivem, como morrem, o que deixam para trás e como o universo em expansão que as contém começou como física que já fizemos.

27.1 Uma estrela é um equilíbrio

Proposição 27.1 (Equilíbrio hidrostático)

Uma estrela nem desaba nem se dispersa: em cada raio, o gradiente de pressão carrega o peso do gás acima. Para a massa $m(r)$ dentro do raio $r$ ,

\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

Estimado para todo o Sol, $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ e, pela lei dos gases ideais, $T_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K}$ (Exercício 27.1) — precisamente a temperatura em que os prótons do Exercício 25.11 começam a tunelar. Isso não é coincidência, e sim um termostato: uma estrela tem de se contrair e esquentar até o núcleo dela acender, e a fusão então segura o equilíbrio por milhões a bilhões de anos. As estrelas têm capacidade térmica negativa — perdem energia, contraem, ficam mais quentes (Exercício 27.5) — e é por isso que a gravidade sempre vence no fim.

Demonstração. Uma casca $[r, r + \dd r]$ de área $A$ sente a pressão $P(r)A$ vinda de baixo, $P(r + \dd r)A$ de cima, e o peso $g\rho A\,\dd r$ com $g = Gm(r)/r^2$ (só a massa interior puxa, pelo teorema de Gauss para a gravidade). O equilíbrio dos três dá a equação enunciada. ∎

Uma estrela, desenhada como o diagrama de corpo livre dela. A fusão alimenta a pressão que carrega o próprio peso da estrela; as duas forças negociam por dez bilhões de anos — e todo destino estelar deste capítulo é o que acontece quando uma delas fica sem argumentos.

27.2 As vidas das estrelas

Definição 27.2 (O diagrama de Hertzsprung–Russell)

Trace as estrelas por temperatura superficial (as quentes à esquerda, por convenção) contra luminosidade, ambas vindas das leis do corpo negro do Capítulo 20, e elas se recusam a se espalhar: noventa por cento se amontoam na sequência principal, a faixa diagonal das queimadoras de hidrogênio, ordenadas puramente pela massa — mais pesada significa mais quente e desproporcionalmente mais brilhante ( $L \propto M^{3.5}$ ), e portanto de vida mais curta ( $t \propto M/L \propto M^{-2.5}$ : Exercício 27.4). Fora da faixa vivem as exceções e os finais do gráfico: as gigantes frias, porém enormes (canto superior direito), e as anãs brancas quentes, porém minúsculas (canto inferior esquerdo) — porque, a temperatura fixa, por $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , a luminosidade é uma medida de tamanho. O diagrama HR não é um mapa de espécies, e sim de idades: o ponto de uma estrela vaga por ele à medida que o combustível dela se esgota.

O diagrama de Hertzsprung–Russell. A sequência principal é a faixa que queima hidrogênio, uma escada de massas lida do alto à esquerda (azuis, esbanjadoras, mortas em milhões de anos) até a base à direita (vermelhas, frugais, sobrevivendo ao universo até aqui). As gigantes e as anãs brancas não são esquisitices, e sim capítulos: a mesma estrela visita as três regiões.

Observação 27.3 (Como as estrelas envelhecem e o que deixam)

Quando o hidrogênio do núcleo se esgota, a lógica do termostato se repete: o núcleo se contrai e esquenta, o hélio acende (fundindo-se em carbono e oxigênio), o envelope incha cem vezes — uma gigante vermelha. Uma estrela como o Sol para por aí: ela solta o envelope e se aposenta como anã branca. Uma estrela acima de $\approx8M_\odot$ continua acendendo combustíveis novos em cascas de cebola até o núcleo ser de ferro — o cume da Proposição 25.2, do qual fusão alguma devolve energia. O núcleo morto desaba num segundo; o ricochete e a enxurrada de neutrinos explodem a estrela: uma supernova, que por um instante ofusca a galáxia dela, forja os elementos além do ferro por captura de nêutrons e espalha tudo nas nuvens que constroem a próxima geração de estrelas e planetas. O cálcio dos seus ossos e o ferro do seu sangue fizeram este caminho (Problema 27.1): a química é astrofísica reciclada.

27.3 Os cadáveres: a matéria nos limites dela

Proposição 27.4 (Anãs brancas e estrelas de nêutrons)

O que segura uma estrela que não queima mais? A mecânica quântica. Uma anã branca é uma massa solar de carbono e oxigênio escorada pela pressão de degenerescência eletrônica dela — a pressão de Fermi a $T = 0$ do Capítulo 19 — no tamanho da Terra e a uma tonelada por colher de chá. O sustento de Pauli tem um teto: acima da massa de Chandrasekhar $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ , os elétrons ficam relativísticos e a pressão perde a corrida (um resultado que enunciamos, não deduzimos). Além dele, os elétrons são esmagados dentro dos prótons e se forma uma estrela de nêutrons: degenerescência de nêutrons mais repulsão nuclear segurando $\sim1.4\,M_\odot$ em uma dúzia de quilômetros à densidade nuclear da Definição 25.1 — um núcleo do tamanho de uma cidade, girando até milissegundos e emitindo feixe como um farol (um pulsar). E além de cerca de $3\,M_\odot$ nada conhecido resiste: a estrela cai para dentro do raio em que a fuga exige a velocidade da luz,

R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ por massa solar}) ,

um buraco negro — a palavra final da gravidade, e a soleira da relatividade geral, um volume além deste.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Uma massa solar, quatro tamanhos. A pressão térmica segura o Sol; a degenerescência eletrônica, a anã branca; a de nêutrons, a estrela de nêutrons; nada segura o buraco negro. Cada passo multiplica a gravidade superficial por uns dez mil — e a física necessária para ficar de pé sobre ela.

27.4 O universo em expansão

Definição 27.5 (A lei de Hubble e o começo quente)

Toda galáxia distante se afasta, a uma velocidade proporcional à distância:

v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ por megaparsec} .

Isso não é uma explosão para dentro do espaço, e sim uma expansão do espaço — rode ao contrário e tudo já foi denso e quente: $1/H_0 \approx 14$ bilhões de anos atrás (Exercício 27.9). O universo primitivo é este livro repassado em alta velocidade. Com um segundo, ele é uma sopa de partículas de $\mathrm{MeV}$ (Capítulo 26); nos primeiros minutos, o Capítulo 25 corre solto e congela um quarto de hélio em massa — previsto por um fator de Boltzmann, observado em toda parte (Exercício 27.11). Aos 380 000 anos e $3000\,\mathrm{K}$ , a equação de Saha (Proposição 18.5) deixa os elétrons enfim se assentarem sobre os prótons; a névoa se dissipa, e essa luz espalhada pela última vez — esticada por um fator mil pela expansão — chega hoje como a radiação cósmica de fundo em micro-ondas: um espectro de Planck a $2.725\,\mathrm{K}$ (Capítulo 20), a fotografia mais antiga que existe. O que a imagem também mostra: as galáxias giram e se agrupam como se guiadas por matéria escura que detector algum capturou, e a expansão acelera sob uma energia escura que ninguém explicou — os noventa e cinco por cento do orçamento que este livro ainda não sabe escrever.

A lei de Hubble: velocidade de recessão contra distância, com cada ponto uma galáxia (velocidades vindas de desvios Doppler, ; distâncias, de velas-padrão). A inclinação é H_0; o inverso dela é, grosso modo, a idade do universo. — A lei de Hubble: velocidade de recessão contra distância, com cada ponto uma galáxia (velocidades vindas de desvios Doppler, Capítulo 4; distâncias, de velas-padrão). A inclinação é $H_0$ ; o inverso dela é, grosso modo, a idade do universo.

Um aglomerado aberto: esbanjadoras branco-azuladas e anãs alaranjadas frugais, nascidas juntas, envelhecendo a ritmos muito diferentes — o diagrama de Hertzsprung–Russell, fotografado.

27.5 Exercícios

Exercício 27.1 ★

O Sol, estimado. $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $R = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . (a) Estime $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4$ . (b) Com a densidade média e a lei dos gases ideais ( $P = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}$ ), estime $T_{\text{c}}$ . (c) Compare com o limiar de ignição de $10^7\,\mathrm{K}$ do Exercício 25.11. (d) Por que essa concordância é um termostato, e não uma coincidência?

Solução

Solução de Exercício 27.1.

(a) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — dez bilhões de atmosferas. (b) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — grosseiro, uma ordem acima dos $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ verdadeiros, mas a escala está certa. (c) Bem no limiar do tunelamento. (d) Uma protoestrela se contrai e esquenta até o núcleo acender, e então para de contrair: toda bola de gás massiva o bastante tem de chegar à ignição — a estrela se sintoniza no termostato nuclear.

Exercício 27.2 ★

Pesando a luz. (a) A partir da constante solar $1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ a $d = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , calcule $L_\odot$ . (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calcule a temperatura superficial. (c) Confira o máximo de Wien contra o amarelo-esverdeado visível do Sol. (d) Que lei de que capítulo cada passo usou?

Solução

Solução de Exercício 27.2.

(a) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ . (b) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$ . (c) Wien: $\lambda_{\text{máx}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — o olho evoluiu sobre o máximo do Sol. (d) Fluxo pelo inverso do quadrado (primeiro ano); Stefan–Boltzmann e Wien: o corpo negro do Capítulo 20, deduzido da estatística dos fótons.

Exercício 27.3 ★

Lendo o diagrama. Sirius B: $T \approx 25\,000\,\mathrm{K}$ , $L \approx 0.026\,L_\odot$ ; Betelgeuse: $T \approx 3500\,\mathrm{K}$ , $L \approx 10^5\,L_\odot$ . (a) Situe as duas no diagrama HR. (b) A partir de $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ , calcule cada raio em unidades solares. (c) Betelgeuse no Sistema Solar: que planetas ficam dentro dela? (d) O que tem de estar segurando Sirius B?

Solução

Solução de Exercício 27.3.

(a) Sirius B: bem à esquerda, bem embaixo; Betelgeuse: bem à direita, bem em cima. (b) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$ : Sirius B, $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ um raio terrestre; Betelgeuse, $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$ . (c) Mercúrio, Vênus, Terra e Marte orbitariam dentro dela. (d) Do tamanho da Terra e com massa solar: só a pressão de degenerescência eletrônica (Capítulo 19) — Sirius B é a anã branca clássica.

Exercício 27.4 ★

Viva rápido, morra jovem. Com $L \propto M^{3.5}$ e tempo de vida $t \propto M/L$ , e os dez bilhões de anos do Sol: (a) o tempo de vida de uma estrela de $10\,M_\odot$ ; (b) o de uma anã vermelha de $0.5\,M_\odot$ — compare com a idade do universo; (c) por que as estrelas mais pesadas, com mais combustível, morrem antes? (d) O que a brevidade das vidas massivas implica sobre onde (numa galáxia) ocorrem as supernovas?

Solução

Solução de Exercício 27.4.

(a) $10\,\text{Gyr}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (b) $0.5^{-2.5} \approx 5.7$ : cerca de 57 bilhões de anos — toda anã vermelha que já nasceu ainda está queimando. (c) A luminosidade cresce como $M^{3.5}$ , mas o tanque só como $M$ : os ricos queimam a fortuna deles mais rápido do que a depositam. (d) As estrelas massivas morrem em poucos milhões de anos após o nascimento — antes de vagar para qualquer lugar: as supernovas detonam dentro dos braços espirais de formação estelar que as fizeram.

Exercício 27.5 ★★

A termodinâmica estranha da gravidade. Para uma bola de gás autogravitante, o teorema do virial (Capítulo 1) dá energia total $E = -K$ (menos a energia cinética/térmica). (a) Deduza: irradiar energia embora deixa a estrela mais quente — uma capacidade térmica negativa. (b) Estime a energia gravitacional $GM^2/R$ do Sol. (c) Ao $L_\odot$ de hoje, por quanto tempo só a contração poderia tê-lo alimentado (o tempo de Kelvin–Helmholtz)? (d) A geologia data a Terra em 4,5 bilhões de anos: enuncie o paradoxo do século XIX e a resolução nuclear dele.

Solução

Solução de Exercício 27.5.

(a) $E = -K$ : irradiar torna o $E$ mais negativo, e assim o $K$ — ou seja, a temperatura — sobe: a assinatura termodinâmica da gravidade. (b) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$ . (c) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$ . (d) O Sol de Kelvin não podia ter mais que dezenas de milhões de anos, enquanto os vermes de Darwin e as rochas de Lyell exigiam bilhões: a resolução foi um combustível que ninguém conhecia — o Capítulo 25, setenta anos antes da hora.

Exercício 27.6 ★★

Anatomia de uma anã branca. Tome $M = 1\,M_\odot$ a $R = R_{\text{Terra}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . (a) Calcule a densidade média e a massa de uma colher de chá ( $5\,\mathrm{mL}$ ). (b) Calcule a gravidade superficial. (c) A pressão de degenerescência do Capítulo 19 escala como $n^{5/3}$ , e a exigência da gravidade como $M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3}$ : mostre que isso implica o bizarro $R \propto M^{-1/3}$ — as anãs mais pesadas são menores. (d) Explique fisicamente por que empilhar massa encolhe a estrela, e o que isso anuncia na massa de Chandrasekhar.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

(a) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : uma colher de chá de nove toneladas. (b) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — trezentas mil gravidades terrestres. (c) $n \propto M/R^3$ : a degenerescência fornece $P \propto M^{5/3}/R^5$ , e a gravidade exige $P \propto M^2/R^4$ ; igualando, $R \propto M^{-1/3}$ . (d) Mais peso pede mais pressão de Fermi, que só a compressão fornece — e assim a massa encolhe a estrela; a espiral tem um muro: uma vez que os elétrons ficam relativísticos, a lei de pressão amolece para $n^{4/3}$ , o equilíbrio falha em qualquer raio, e $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ é a beira do penhasco.

Exercício 27.7 ★★

Anatomia de uma estrela de nêutrons. (a) À densidade nuclear $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , calcule o raio que segura $1.4\,M_\odot$ . (b) O núcleo pré-colapso girava uma vez a cada 25 dias a $R \sim 10^5\,\mathrm{km}$ : use a conservação do momento angular para estimar o período final de rotação. (c) Calcule a gravidade superficial. (d) O congelamento de fluxo amplifica o campo magnético como $B \propto 1/R^2$ (Capítulo 22): a partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ estelares, que campo superficial resulta, e por que os pulsares emitem em feixe?

Solução

Solução de Exercício 27.7.

(a) $V = M/\rho_{\text{nuc}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$ : $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — um núcleo com linha do horizonte. (b) $\omega \propto 1/R^2$ : aceleração de $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$ , e assim 25 dias encolhem para ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ : território de pulsar. (c) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : uma montanha daqui seria milímetros lá. (d) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — e o eixo magnético, desalinhado do eixo de rotação, canaliza a emissão de rádio pelos polos dele: o feixe varre como um farol, e chamamos os clarões de pulsar.

Exercício 27.8 ★★

O ponto sem retorno. (a) Deduza $R_{\text{s}} = 2GM/c^2$ da condição newtoniana de velocidade de escape $v_{\text{esc}} = c$ (a dedução honesta precisa da relatividade geral; a resposta, notoriamente, concorda). (b) Avalie para o Sol e para a Terra. (c) O buraco negro central da Galáxia: $M = 4\times10^6\,M_\odot$ — calcule $R_{\text{s}}$ e compare com a distância Sol–Mercúrio ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). (d) Mostre que a densidade média dentro de $R_{\text{s}}$ cai como $1/M^2$ — um buraco negro grande o bastante é menos denso que a água: o que isso diz sobre as intuições de “esmagamento”?

Solução

Solução de Exercício 27.8.

(a) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ dá $R = 2GM/c^2$ . (b) Sol: $3.0\,\mathrm{km}$ ; Terra: $8.9\,\mathrm{mm}$ — comprima um dos dois para dentro disso e a luz não consegue sair. (c) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ : um quinto da órbita de Mercúrio — e observam-se estrelas chicoteando em volta dele. (d) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$ : um buraco de $10^8\,M_\odot$ é menos denso que a água. Nada precisa ser “esmagado” no horizonte — ele é um ponto sem retorno, não uma superfície de rocha.

Exercício 27.9 ★★★

Aritmética de Hubble. $H_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por Mpc; $1\, \text{Mpc} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ . (a) Converta $H_0$ ao SI. (b) Calcule $1/H_0$ em anos. (c) Uma galáxia a $200\,\mathrm{Mpc}$ : a velocidade de recessão dela e o fator pelo qual o comprimento de onda da luz dela se esticou (Doppler de $z$ pequeno, Capítulo 4). (d) Por que $1/H_0$ é só aproximadamente a idade do universo — o que a taxa de expansão andou fazendo nesse meio-tempo?

Solução

Solução de Exercício 27.9.

(a) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (b) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ bilhões de anos. (c) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $z \approx v/c \approx 0.047$ : os comprimentos de onda chegam esticados em 5 %. (d) A taxa não foi constante — desacelerada pela matéria no começo, acelerada pela energia escura desde então: que $1/H_0$ ainda caia a menos de um bilhão de anos dos 13,8 verdadeiros é uma coincidência cósmica menor.

Exercício 27.10 ★★★

A luz mais antiga. A CMB é um corpo negro a $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) Calcule o comprimento de onda de máximo dela (Capítulo 20) e justifique o “micro-ondas”. (b) Ela foi emitida como luz de $3000\,\mathrm{K}$ : que fator de expansão a esticou, e por que $3000\,\mathrm{K}$ (lembre Saha, Proposição 18.5)? (c) A densidade de fótons dela é $\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3}$ : compare com a densidade de bárions, $\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ , e enuncie a razão fóton-bárion. (d) Uma verificação clássica de mesa: alguns por cento da estática de uma TV analógica fora de sintonia eram a CMB — por que uma antena, apontada para onde for, a recebe?

Solução

Solução de Exercício 27.10.

(a) $\lambda_{\text{máx}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$ : micro-ondas, como anunciado. (b) Esticada por $3000/2.725 \approx 1100$ — o universo é mil e cem vezes maior em toda direção desde então. A recombinação espera até $3000\,\mathrm{K}$ , bem abaixo de $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ , porque o balanço de Saha (Proposição 18.5) está inclinado por dois bilhões de fótons por bárion: a cauda ionizante mantém o hidrogênio despedaçado muito depois do que a energética ingênua diz. (c) Cerca de $1.6\times10^{9}$ fótons por bárion — o universo é, em contagem, quase só luz. (d) A CMB não é um lugar, e sim o céu inteiro: toda linha de visada termina na névoa do último espalhamento, e assim toda antena, apontada para onde for, a recebe.

Exercício 27.11 ★★★

Um quarto de hélio, de um fator de Boltzmann. Por volta de $t \sim 1\,\mathrm{s}$ , $T \sim 10^{10}\,\mathrm{K}$ ( $k_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}$ ), as reações fracas ao congelarem deixaram a razão nêutron-próton no valor de Boltzmann dela (Capítulo 17). (a) Com $\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV}$ , calcule $n/p$ no congelamento. (b) O decaimento de nêutrons nos primeiros minutos a aparou para $\approx1/7$ : mostre que ligar cada sobrevivente em $^4$ He dá uma fração de massa de hélio de $2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\%$ . (c) Diga por que esse número, medido em estrelas de toda parte, é evidência poderosa do começo quente. (d) Por que a cozinha primordial parou no hélio (com traços de lítio), deixando o carbono e todo o resto para a Observação 27.3?

Solução

Solução de Exercício 27.11.

(a) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$ . (b) Com $n/p = 1/7$ : 14 prótons para cada 2 nêutrons; os 2 nêutrons agarram 2 prótons num $^4$ He (massa 4), deixando 12 prótons sozinhos: $4/16 = 25\,\%$ em massa. (c) Estrela alguma teve tempo de transformar em hélio um quarto de tudo; achar esse piso no gás mais antigo e mais pobre em metais é o universo primitivo quente pego em flagrante — um fator de Boltzmann escrito no céu. (d) Não existe núcleo estável em $A = 5$ nem em $8$ , e a densidade e a temperatura estavam caindo em minutos: a ponte para o carbono (três hélios de uma vez) só se abre nos núcleos densos e pacientes das gigantes vermelhas.

Exercício 27.12 ★★★

A matéria que falta. A velocidade de rotação de uma galáxia espiral fica plana em $v = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ até $r = 50\,\mathrm{kpc}$ ( $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ ), bem além da borda visível dela. (a) Para uma órbita circular, mostre que $M(r) = v^2r/G$ . (b) Avalie em $50\,\mathrm{kpc}$ , em massas solares. (c) As estrelas e o gás visíveis totalizam $\sim5\times10^{10}\,M_\odot$ : que fração fica explicada? (d) A expectativa kepleriana além da borda visível é $v \propto r^{-1/2}$ (o padrão do Sistema Solar): o que a planura implica sobre como a massa invisível se distribui?

Solução

Solução de Exercício 27.12.

(a) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$ . (b) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$ . (c) Grosso modo um décimo: noventa por cento da galáxia não brilha nem absorve. (d) Um $v$ plano significa $M(r) \propto r$ — a massa invisível continua se acumulando bem além do disco visível, um halo escuro estendido (densidade $\sim1/r^2$ ) em que a galáxia luminosa é só o caroço aceso.

Uma antena de ondas milimétricas sob a Via Láctea: a galáxia que ela escuta, pairando acima dela. A radioastronomia achou a radiação cósmica de fundo em micro-ondas — o chiado a 2.7\, K que acabou sendo o começo. — Uma antena de ondas milimétricas sob a Via Láctea: a galáxia que ela escuta, pairando acima dela. A radioastronomia achou a radiação cósmica de fundo em micro-ondas — o chiado a $2.7\,\mathrm{K}$ que acabou sendo o começo.

A nebulosa do Caranguejo (NASA, ESA, J. Hester e A. Loll, domínio público): os destroços da supernova de 1054, ainda em expansão, com o farol de milissegundos de uma estrela de nêutrons no coração dela — o problema de fim de semana, fotografado nove séculos depois.

27.6 Problema: a noite em que a estrela morreu

Problema 27.1

A noite em que a estrela morreu. Em 23 de fevereiro de 1987, uma supergigante azul da Grande Nuvem de Magalhães — $d \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ — virou a SN 1987A, a supernova mais próxima em quatro séculos. Horas antes de qualquer telescópio vê-la brilhar, três detectores subterrâneos contaram duas dúzias de neutrinos. Você vai reconstruir aquela noite a partir de primeiros princípios.

Parte I — A estrela que existia.

A progenitora pesava ${\sim}20\,M_\odot$ . Usando a escala do Exercício 27.4, estime o tempo de vida dela e compare com o do Sol.
No último dia dela, a estrela era uma cebola: cascas de H, He, C, O e Si em torno de um núcleo de ferro. Por que cada combustível seguinte exige um núcleo mais quente?
Por que a sequência para, em definitivo, no ferro? (Proposição 25.2.)
O núcleo inerte de ferro cresce rumo a $1.4\,M_\odot$ . O que há de especial nesse número, e que pressão falha ali?
A queima do silício sustenta a estrela por cerca de um dia: o que isso diz sobre como o relógio de uma estrela acelera rumo ao fim?
Uma vez que o sustento por pressão falha, quanto tempo dura aproximadamente a queda livre, para um núcleo de densidade $\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ( $t \sim 1/\sqrt{G\rho}$ )?

Parte II — O clarão de neutrinos.

O núcleo ( $M \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) desaba até $R \approx 12\,\mathrm{km}$ : calcule a energia gravitacional liberada, $E \sim GM^2/R$ .
Compare com a luz de um bilhão de sóis brilhando por um mês ( $L \sim 10^{9}L_\odot$ por $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ ): mostre que os fótons são erro de arredondamento — para onde vão os 99 %, e por que só os neutrinos conseguem escapar de pronto de um núcleo em colapso?
Espalhe $E \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ por uma esfera de raio $1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}$ : calcule a fluência de energia na Terra.
Com $\sim15\,\mathrm{MeV}$ por neutrino, calcule a fluência de número (neutrinos por $\mathrm{m}^{2}$ ).
Um detector guarda $2000\,\mathrm{t}$ de água: ${\sim}1.5\times10^{32}$ prótons livres. Com uma probabilidade de interação por próton de $\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2}$ por antineutrino (dada), estime a contagem esperada — e compare com os onze que um detector registrou.
Os neutrinos venceram a luz por horas. Explique os dois relógios: o que atrasa os fótons (onde o aumento de brilho nasce, de fato?) e o que a quase simultaneidade diz sobre a massa e a velocidade do neutrino?
Vinte e cinco neutrinos contados: diga, em uma frase cada, duas coisas que eles confirmaram sobre a teoria das supernovas.

Parte III — O que resta.

Calcule a densidade média do remanescente de $12\,\mathrm{km}$ e $1.4\,M_\odot$ e compare com a densidade nuclear da Definição 25.1.
O núcleo progenitor girava uma vez a cada 30 dias a $R \sim 10^{5}\,\mathrm{km}$ : estime o período do remanescente.
O campo magnético dele, congelado no fluxo, é amplificado por $(R_0/R)^2$ : a partir de $10^{-2}\,\mathrm{T}$ , calcule o campo superficial.
Explique o farol: o que varre, o que emite em feixe e por que o pulsar do Caranguejo (nascido em 1054, cronicado como uma “estrela visitante” diurna) ainda pisca trinta vezes por segundo.
Se o remanescente tivesse passado de ${\sim}3\,M_\odot$ : calcule $R_{\text{s}}$ para $3\,M_\odot$ e diga o destino dele.
A temporização dos pulsares é estável a $10^{-15}$ : cite um uso físico de um relógio tão bom, girando no céu.

Parte IV — O que isso significa.

O oxigênio que você respira e o ferro do seu sangue: trace a biografia de cada átomo em duas frases, do hidrogênio do Big Bang à sua corrente sanguínea.
As supernovas de tipo Ia (anãs brancas empurradas para além de $M_{\text{Ch}}$ ) detonam todas na mesma massa, e portanto com quase o mesmo brilho. Explique por que isso as torna velas-padrão, e como o diagrama da Definição 27.5 é construído a partir delas.
Em 1998, supernovas Ia distantes saíram mais fracas do que a reta de Hubble prevê: enuncie a conclusão que ganhou o Nobel de 2011.
Estime que distância a luz da SN 1987A havia percorrido quando chegou, em anos — e note o que acontecia na Terra quando ela partiu.
Os neutrinos da LMC atravessaram você também (todos os que estavam vivos naquele dia). Grosso modo, quantos cruzaram cada ser humano ( ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ )? Alguém sentiu (Exercício 26.10)?
Feche o livro-caixa do livro em quatro linhas: uma estrela equilibrada por dez milhões de anos pelo tunelamento; um colapso pago em neutrinos; um cadáver sustentado por Pauli; e os destroços — inclusive o leitor — ainda cavalgando a expansão de Hubble.

Solução

Solução de Problema 27.1.

1. $t \sim 10\,\text{Gyr}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}$ : o Sol viverá duas mil vidas dessas. 2. Os núcleos mais pesados carregam mais carga: barreiras de Coulomb mais altas precisam de núcleos mais quentes para que as chances de tunelamento (Exercício 25.8) acompanhem. 3. O ferro está no topo da curva $B/A$ : fundi-lo custa energia — a escada de combustíveis da fornalha termina em cinza. 4. A massa de Chandrasekhar: o máximo que a pressão de degenerescência eletrônica consegue carregar; o núcleo é uma anã branca crescida dentro de uma estrela viva, e em $1.4\,M_\odot$ o sustento dele falha. 5. Hidrogênio: milhões de anos; hélio: centenas de milênios; silício: um dia — cada etapa paga menos por quilograma enquanto a estrela, cada vez mais quente, gasta (sobretudo em neutrinos) cada vez mais rápido: o relógio enlouquece logaritmicamente. 6. $t \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}$ : o núcleo some por baixo da estrela em um décimo de segundo. 7. $E \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ . 8. O espetáculo de fótons é $10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J}$ — uma parte em dez mil. O resto sai como neutrinos: a matéria nuclear em colapso é opaca a todo o resto, mas (Capítulo 26) quase transparente às partículas da própria força fraca, que drenam a energia em segundos. 9. $E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ . 10. A $15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ cada: ${\sim}6\times10^{14}$ neutrinos por metro quadrado — por cada metro quadrado da Terra. 11. $6\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9$ : o detector registrou onze — um acerto em cheio de ordem de grandeza para uma estrela que morreu há 160 000 anos. 12. Os neutrinos deixam o núcleo no colapso; a luz só nasce quando a onda de choque irrompe pelo envelope da estrela, horas depois. Que os dois tenham chegado na mesma noite após 160 milênios de voo limita o neutrino à velocidade da luz com partes em $10^{9}$ — e a massa dele a quase nada. 13. O orçamento de energia ( $\sim10^{46}\,\mathrm{J}$ , 99 % em neutrinos) e a duração do surto de ${\sim}10$ segundos — os dois bateram com o núcleo em colapso da teoria, promovendo o mecanismo de supernova do quadro-negro à observação. 14. $\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : densidade nuclear — a colher de chá da Definição 25.1, agora do tamanho de uma cidade. 15. Aceleração de $(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}$ : 30 dias $\to$ ${\sim}40\,\mathrm{ms}$ . 16. $B \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — cem milhões de tesla-metros de fluxo, conservados dentro de um selo postal. 17. O eixo magnético, inclinado em relação ao eixo de rotação, emite rádio em feixe pelos polos dele; o feixe varre o céu como um farol. O remanescente do Caranguejo — a estrela visitante de 1054 — ainda gira trinta vezes por segundo, com um milênio de frenagem mal começado. 18. $R_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km}$ — da ordem da própria estrela: sem pressão alguma para argumentar, o colapso segue através do horizonte e o remanescente é um buraco negro. 19. Redes desses relógios são detectores de ondas gravitacionais com abertura galáctica (e os melhores laboratórios da relatividade: as órbitas de pulsares binários decaem exatamente como a radiação gravitacional prevê). 20. O oxigênio dele foi fundido na casca de uma estrela massiva e lançado fora por uma supernova; o ferro foi forjado no próprio fim explosivo; os dois vagaram pelas nuvens interestelares, juntaram-se à nebulosa solar, à Terra, ao mar, à cadeia alimentar — e ao leitor. O hidrogênio do Big Bang, porém: esse é seu desde sempre. 21. Mesma massa de detonação $\to$ mesmo brilho intrínseco $\to$ o brilho aparente dá a distância: uma vela de potência conhecida visível a bilhões de anos-luz — a régua que desenha a ponta distante do diagrama de Hubble. 22. A expansão está acelerando: alguma “energia escura” empurra o universo para fora — o Nobel de 2011, e a maior fatura em aberto da física. 23. $50\,\mathrm{kpc} \approx 163000$ anos-luz: a luz partiu enquanto o Homo sapiens deixava a África pela primeira vez. 24. $6\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13}$ por cada ser humano vivo — e, com as chances do Exercício 26.10, nem uma pessoa em um milhão interagiu com um só deles: o clarão que ofuscou uma galáxia atravessou a humanidade sem ser sentido. 25. Uma estrela equilibrada dez milhões de anos sobre prótons que tunelam; um colapso de um décimo de segundo pago em $10^{46}$ joules de neutrinos; o princípio de Pauli segurando o cadáver à densidade nuclear; e os destroços espalhados — oxigênio, ferro, leitor — ainda cavalgando a expansão de Hubble, num universo cuja foto de bebê é uma curva de Planck. A física, completa por ora: volume encerrado.

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