23Sólidos cristalinos

Solução de Exercício 23.1.

(a) sc: $8\times\tfrac18 = 1$; bcc: $8\times\tfrac18 + 1 = 2$; fcc: $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$. (b) Diagonal $a\sqrt3 = 4r$: $r = a\sqrt3/4$. (c) Diagonal de face $a\sqrt2 = 4r$: $r = a\sqrt2/4$. (d) $0.68$ e $0.74$: a ligação metálica, cega à direção, quer empacotamento máximo, daí as estruturas fcc (ou as hexagonais, igualmente densas) do cobre, do alumínio, da prata e do ouro.

Solução de Exercício 23.2.

(a) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$. (b) 12 — a coordenação do empacotamento compacto. (c) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ (Exemplo 23.2). (d) $n = 4/a^3 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, e assim um micrômetro cúbico guarda $8.5\times10^{10}$ átomos — por isso a metalurgia dos chips é estatística, não carpintaria.

Solução de Exercício 23.3.

(a) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$: $\theta_1 = 15.8^\circ$. (b) $n \le 2d/\lambda = 3.66$: três ordens. (c) $\sin\theta \le 1$ obriga $n\lambda \le 2d$; o $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ da luz visível é mil vezes longo demais — espaçamento algum de planos cristalinos consegue difratá-la. (d) O $\sin\theta$ cai 1 %: $\theta_1 \to 15.7^\circ$. Um difratômetro é um belo termômetro — e é por este deslocamento que a expansão térmica se mede na escala atômica.

Solução de Exercício 23.4.

(a) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$. (b) Maior $d$, menor ângulo: (100). (c) A família octaédrica (111) — na estrutura do diamante, as folhas dela se emparelham em camadas duplas fortemente ligadas, com intervalos largos e pouco ligados entre elas: o plano do clivador. (d) Cada grão reflete no mesmo $\theta$, mas num azimute aleatório: os raios refletidos se abrem em cones de semiângulo $2\theta$, cortando o detector em anéis.

Solução de Exercício 23.5.

(a) A interferência precisa de diferenças de caminho da ordem de $\lambda$; os espaçamentos são de ângstrons, e portanto o $\lambda$ também tem de ser. (b) $E = hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$. (c) $p = h/\lambda$, $V = p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (a relatividade tira alguns por cento) — a tensão de trabalho de um microscópio eletrônico. (d) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$: os nêutrons à temperatura ambiente já nascem prontos para difratar. Eles espalham nos núcleos, e não nas nuvens eletrônicas — e assim veem o hidrogênio com clareza e carregam um momento magnético que mapeia a ordem magnética, ambos quase invisíveis aos raios X.

Solução de Exercício 23.6.

(a) Quatro pares por célula de volume $a^3$. (b) $N_{\text{A}} = 4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,) \approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$. (c) $N_{\text{A}} \propto a^{-3}$: um erro de 0,1 % em $a$ é de 0,3 % em $N_{\text{A}}$. (d) O método conta átomos supondo que toda célula esteja cheia e idêntica: vacâncias, impurezas e contornos de mosaico erram todos a contagem — daí as esferas de silício fanaticamente perfeitas da redefinição do quilograma.

Solução de Exercício 23.7.

(a) Cada íon vê $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ em unidades de $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ (fator 2: os dois lados), atrativo. (b) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$; $\times1.7476 = 8.93\,\mathrm{eV}$. (c) Minimizar mata $1/9$ da atração: $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$. (d) A um por cento dos $7.9\,\mathrm{eV}$: uma rede de cargas pontuais mais um expoente de rigidez explicam todo o orçamento de um sólido iônico — a mecânica quântica se esconde dentro do $r_0$ e do expoente.

Solução de Exercício 23.8.

(a) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$, 1,5 % acima dos $3.76\,\text{Å}$ medidos (cada átomo também sente os doze vizinhos dele, apertando o poço). (b) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$: a escala certa para $84\,\mathrm{K}$. (c) A energia de ponto zero do hélio, $\hbar\omega/2$, num poço tão raso rivaliza com o próprio poço: o cristal se sacode até se desfazer, e o hélio fica líquido em $T = 0$ a menos que seja espremido. (d) Profundidade de $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ contra $\sim3.6\,\mathrm{eV}$ por ligação covalente: um fator trezentos em energia é toda a distância entre a geada e o diamante.

Solução de Exercício 23.9.

(a) $ka \ll 1$: $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) = a\sqrt{K/m}\,k$. (b) Estique uma célula de $\delta$: tensão $\sim K\delta/a^2$, deformação $\delta/a$, e assim $E \sim K/a$, ou seja, $K \sim Ea$. (c) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $v = a\sqrt{K/m} \approx 4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — os $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ medidos com 10 %, a partir de uma mola adivinhada do módulo de Young. (d) $v = a\sqrt{K/m}$: ligações rígidas para cima, átomos leves para cima — o diamante maximiza os dois, daí som a $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\Theta_{\text{D}} \approx 2200\,\mathrm{K}$.

Solução de Exercício 23.10.

(a) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$ em $k = \pi/a$. (b) $u_n \propto (-1)^n$: cada átomo em antifase com os dois vizinhos — uma onda estacionária, com a energia balançando no lugar. (c) Com $\lambda = 2a$, as ondas espalhadas para trás por átomos sucessivos diferem em caminho por exatamente um comprimento de onda: a condição de Bragg ao longo da própria cadeia. A rede reflete a vibração dela mesma, as ondas para a frente e para trás se travam no padrão estacionário, e a onda viajante não consegue seguir. (d) $\omega_{\text{max}} = 2\sqrt{K/m} \approx 3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, ou seja, $\sim5\,\mathrm{THz}$: o infravermelho distante — as vibrações de rede e a luz infravermelha se encontram na mesma oitava, o fato por trás do próximo exercício.

Solução de Exercício 23.11.

(a) No modo óptico, as sub-redes $+$ e $-$ se movem em sentidos opostos: um dipolo elétrico oscilante, exatamente o que uma onda de luz agarra. (b) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$ com $\mu = 2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$: $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — o infravermelho distante (a banda reststrahlen medida do sal fica em $61\,\text{µ}\mathrm{m}$: a oitava certa, para um modelo de duas molas). (c) Nessa banda, a ressonância do próprio cristal absorve e reflete de novo a onda: o sal transparente vira um espelho opaco. (d) Um átomo por célula significa que não há segunda sub-rede contra a qual bater: um só ramo, sem lacuna.

Solução de Exercício 23.12.

(a) $N$ átomos $\times$ 3 direções de deslocamento = $3N$ osciladores, e assim o espectro linear é cortado quando já contou $3N$ modos: é isso que define $k_{\text{D}}$. (b) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx 350\,\mathrm{K}$ — os $343\,\mathrm{K}$ calorimétricos, a partir de uma velocidade do som e de uma densidade. (c) A reta perde o achatamento na borda da zona: Debye conta demais as frequências altas, e por isso o ajuste sofre nas temperaturas intermediárias; a lei $T^3$ (só ondas longas) está a salvo. (d) Os dois dizem que o espectro termina quando o comprimento de onda chega ao espaçamento atômico — um modo por átomo, vestido ora como vetor de onda de corte, ora como temperatura de corte.