Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

10Momento angular quântico

Aponte um radiotelescópio para um trecho escuro do céu e sintonize-o em $115\,\mathrm{GHz}$ : aparece uma linha brilhante e fina como uma agulha — moléculas de monóxido de carbono, dez kelvins acima do zero absoluto, descendo um degrau de uma escada de estados rotacionais. Seu giro, como tudo o que roda na mecânica quântica, é quantizado duas vezes: o módulo do momento angular só pode valer $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ , e sua componente em qualquer eixo escolhido, só $m\hbar$ . Este capítulo deduz essa dupla quantização — uma vez algebricamente, a partir dos comutadores herdados dos colchetes de Poisson do Capítulo 2, e outra vez concretamente, como os harmônicos esféricos que dão forma a todo orbital atômico. A álgebra nos entregará mais do que pedimos: ela permite valores semi-inteiros que nenhum movimento orbital pode realizar, uma vaga que a natureza preenche dois capítulos adiante com o spin. No caminho encontramos as escadas rotacionais das moléculas — as linhas milimétricas com que os astrônomos pesam o gás frio das galáxias — e os momentos magnéticos pelos quais o momento angular se mostrou desdobrado pela primeira vez.

10.1 A álgebra da rotação

Definição 10.1 (Operadores de momento angular)

O momento angular orbital é o operador $\hat{\vect L} = \hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$ , componente a componente $\hat L_z = \hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ e cíclicas. A partir de $[\hat x, \hat p_x] = \iu\hbar$ :

[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z \quad\text{(e cíclicas)} , \qquad [\hat L^2, \hat L_z] = 0 :

as componentes são mutuamente incompatíveis — nenhum estado tem duas delas bem definidas — mas o quadrado total é compatível com qualquer uma delas: o par $(\hat L^2, \hat L_z)$ é a escolha padrão de rótulos. Esses comutadores são exatamente $\iu\hbar$ vezes os colchetes de Poisson calculados no Exemplo 2.12: o dicionário de Dirac em ação.

Teorema 10.2 (O espectro, só a partir da álgebra)

Sejam $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ quaisquer três operadores hermitianos que obedeçam às relações de comutação acima. Então os autovalores conjuntos de $(\hat J^2, \hat J_z)$ são

\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad \hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,

em que $j$ é um inteiro ou semi-inteiro não negativo: $2j + 1$ valores de $m$ para cada $j$ . Os operadores de escada $\hat J_\pm = \hat J_x \pm \iu\hat J_y$ deslocam $m$ de $\pm1$ com $j$ fixo:

\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .

Demonstração parcial. $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$ : agir com $\hat J_\pm$ desloca o autovalor de $\hat J_z$ de $\pm\hbar$ , a $\hat J^2$ fixo (que comuta com tudo o que se constrói a partir dos $\hat J_i$ ). A norma $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ (calculada a partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ ) tem de permanecer não negativa: a escada precisa, portanto, terminar acima em algum $m_{\max}$ com $m_{\max}(m_{\max}+1) = j(j+1)$ , isto é, $m_{\max} = j$ , e abaixo em $m_{\min} = -j$ . Subir de $-j$ até $+j$ em passos unitários obriga $2j$ a ser um inteiro não negativo. A notação $j(j+1)\hbar^2$ para o autovalor fica assim justificada a posteriori. ∎

Observação 10.3 (Uma vaga no catálogo)

A álgebra permite $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — escadas com um número par de degraus. O movimento orbital, como mostraremos a seguir, usa só os inteiros. A natureza, porém, nada desperdiça: o próprio elétron carrega $j = \tfrac12$ , sem órbita alguma por trás (Capítulo 12); a álgebra aqui deduzida, inalterada, governará o magnetismo atômico, os spins nucleares e o qubit.

10.2 Momento angular orbital: os harmônicos esféricos

Proposição 10.4 (Harmônicos esféricos)

Em coordenadas esféricas, $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$ , e as autofunções conjuntas de $(\hat L^2, \hat L_z)$ sobre a esfera são os harmônicos esféricos $Y_l^m(\theta, \varphi)$ :

\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad \hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,

com $l = 0, 1, 2, \dots$ inteiro — a univocidade de $\eu^{\iu m\varphi}$ obriga $m$ inteiro e, portanto, $l$ inteiro. Os primeiros, a menos de normalização: $Y_0^0 = \text{const}$ (a forma $s$ , uma esfera); $Y_1^0 \propto \cos\theta$ e $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (as formas $p$ , dois lóbulos); $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ e suas parceiras (a família $d$ ). Paridade: $Y_l^m(-\vect r$ direção $) = (-1)^l\,Y_l^m$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Diagramas polares de |Y_lm( )| (seção num plano que contém o eixo z; a forma completa é a figura de revolução). Esses esqueletos angulares, independentes de qualquer potencial, vestirão todo átomo no . — Diagramas polares de $|Y_l^m(\theta)|$ (seção num plano que contém o eixo $z$ ; a forma completa é a figura de revolução). Esses esqueletos angulares, independentes de qualquer potencial, vestirão todo átomo no Capítulo 11.

Exemplo 10.5 (O rotor rígido e sua escada)

Uma molécula diatômica que gira com momento de inércia $I$ tem $\hat H = \hat L^2/2I$ : energias

E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) , \qquad J = 0, 1, 2, \dots

cada uma com degenerescência $(2J+1)$ . A absorção de fótons obedece a $\Delta J = \pm1$ , e por isso as frequências de absorção são $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ : um pente de linhas igualmente espaçadas — a assinatura pela qual um espectro rotacional se reconhece à primeira vista. Para o monóxido de carbono, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ : a linha fundamental cai em $115\,\mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ ), a linha de trabalho da radioastronomia milimétrica (Problema 10.1).

10.3 Potenciais centrais, completados

Teorema 10.6 (Separação em qualquer potencial central)

Para $V(r)$ , os estados estacionários podem ser tomados como

\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,

em que $u$ resolve a equação radial unidimensional

-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) + \frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .

O problema angular fica resolvido de uma vez por todas pelos $Y_l^m$ ; cada $l$ acrescenta a barreira centrífuga repulsiva $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — a versão quântica do potencial efetivo do Exemplo 1.12 — e todo nível de $l$ dado tem degenerescência $(2l+1)$ , porque nenhuma força central pode se importar com a orientação do eixo $z$ . O truque da onda $s$ da Proposição 7.8 era a linha $l = 0$ deste teorema.

Demonstração parcial. O laplaciano se separa como $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) - \hat L^2/\hbar^2r^2$ (admitido; é o enunciado de que $\hat L^2$ é a parte angular de $-\hbar^2\Delta$ ). Insira $\psi = (u/r)Y_l^m$ e use o autovalor de $\hat L^2$ : obtém-se a equação enunciada. A degenerescência decorre de $\hat H$ comutar com os três $\hat L_i$ , cujos operadores de escada movem $m$ sem mudar a energia. ∎

Potenciais radiais efetivos do problema de Coulomb: a barreira centrífuga 2l(l+1)/2mr2 isola a origem por uma muralha quando l 1. Só os estados s tocam o núcleo — com consequências que vão dos espectros atômicos à captura eletrônica radioativa. — Potenciais radiais efetivos do problema de Coulomb: a barreira centrífuga $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ isola a origem por uma muralha quando $l \ge 1$ . Só os estados $s$ tocam o núcleo — com consequências que vão dos espectros atômicos à captura eletrônica radioativa.

10.4 Momentos magnéticos: o momento angular tornado visível

Proposição 10.7 (Momento magnético orbital e efeito Zeeman)

Uma partícula de carga $q$ e massa $m$ com momento angular orbital $\hat{\vect L}$ carrega o momento magnético

\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;

para o elétron, a unidade natural é o magnéton de Bohr $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (compare com o Exercício 7.5). Num campo $B\vect e_z$ , a energia $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ desloca cada nível de $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (a carga do elétron é negativa): um nível de $l$ dado se desdobra em suas $2l + 1$ componentes — o efeito Zeeman, a primeira exibição direta da quantização de $m$ , e a razão pela qual $m$ se chama número quântico magnético. Em $B = 1\,\mathrm{T}$ o desdobramento vale $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : pequeno ao lado das energias ópticas, mas facilmente resolvido como um deslocamento de linhas espectrais — e, lido ao contrário, um magnetômetro: o desdobramento Zeeman das linhas da luz solar mapeia os campos magnéticos das manchas solares.

Demonstração parcial. Classicamente, uma carga em órbita é uma espira de corrente: $\mu = IA = (qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$ ; o enunciado operatorial o herda (e decorre do acoplamento com $\hat{\vect A}$ da Proposição 1.16). O deslocamento de energia é teoria de perturbações de primeira ordem, antecipada aqui e justificada no Capítulo 13. ∎

“Quantização espacial” para l = 2: o vetor momento angular tem comprimento √l(l+1)\, = √6\,, mas só pode oferecer ao eixo z as cinco projeções m — nunca o seu comprimento inteiro: como as componentes são incompatíveis, L jamais pode estar exatamente ao longo de eixo algum. — “Quantização espacial” para $l = 2$ : o vetor momento angular tem comprimento $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ , mas só pode oferecer ao eixo $z$ as cinco projeções $m\hbar$ — nunca o seu comprimento inteiro: como as componentes são incompatíveis, $\vect L$ jamais pode estar exatamente ao longo de eixo algum.

Método 10.8 (Momento angular na prática)

(1) Rotule os estados por $(l, m)$ — ou por $(j, m)$ , para a álgebra abstrata — e nunca peça duas componentes ao mesmo tempo. (2) Elementos de matriz: use as fórmulas da escada; $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ . (3) Potencial central: cite os $Y_l^m$ e resolva apenas a equação radial com a barreira centrífuga. (4) Energias rotacionais: $BJ(J+1)$ , com linhas em $2B(J+1)$ — extraia $B$ e, com ele, comprimentos de ligação, a partir do espaçamento igual. (5) Questões magnéticas: converta momentos angulares em momentos magnéticos a $\mu_{\text{B}}$ por $\hbar$ , e energias a $\mu_{\text{B}}B$ por unidade de $m$ .

10.5 Exercícios

Exercício 10.1 ★

(a) Deduza $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ a partir dos comutadores canônicos. (b) Mostre que $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$ . (c) Mostre que $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : o que $\hat L_z$ gera? (d) Por que as três componentes não admitem base comum de autovetores — exceto para um estado particular (qual)?

Solução

Solução de Exercício 10.1.

(a) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat p_z]$ : só sobrevivem os termos que compartilham um par $\hat z, \hat p_z$ , o que dá $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$ . (b) $[\hat L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x, \hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$ : os quatro termos se cancelam aos pares. (c) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$ : $\hat L_z$ gera rotações em torno de $z$ — tanto de operadores quanto de estados. (d) Que duas componentes sejam simultaneamente bem definidas obriga (pelo comutador) a terceira a ser bem definida, com valor nulo para as três: só $l = 0$ consegue isso.

Exercício 10.2 ★

Para $l = 1$ , na base $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$ : (a) escreva a matriz de $\hat L_z$ ; (b) use a fórmula da escada para escrever $\hat L_+$ e $\hat L_-$ ; (c) monte $\hat L_x$ e verifique que seus autovalores são $\hbar, 0, -\hbar$ ; (d) um estado com $L_x = +\hbar$ é medido ao longo de $z$ : dê as probabilidades dos três resultados.

Solução

Solução de Exercício 10.2.

(a) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ . (b) $\hat L_+ = \hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$ , e $\hat L_-$ é sua transposta. (c) $\hat L_x = \dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$ : polinômio característico $\lambda(\lambda^2 - \hbar^2)$ . (d) O autovetor de $L_x = +\hbar$ é $\tfrac12(1, \sqrt2, 1)$ : probabilidades $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ para $m = +1, 0, -1$ .

Exercício 10.3 ★

Monóxido de carbono: comprimento de ligação $0.113\,\mathrm{nm}$ , massa reduzida $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . (a) Calcule $I$ e $B = \hbar^2/2I$ em meV. (b) A frequência e o comprimento de onda da linha $J = 1 \leftarrow 0$ . (c) As duas linhas seguintes. (d) Uma astrônoma mede o espaçamento do pente com cinco algarismos: que grandeza molecular ela obtém, e com que precisão?

Solução

Solução de Exercício 10.3.

(a) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$ . (b) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$ . (c) $231\,\mathrm{GHz}$ e $346\,\mathrm{GHz}$ . (d) O espaçamento dá $B$ e, com ele, $I = \mu r_0^2$ : o comprimento de ligação de uma molécula a anos-luz de distância, com aproximadamente metade da precisão relativa do espaçamento.

Exercício 10.4 ★

Uma partícula está num estado de $l = 2$ . (a) Liste os resultados possíveis de medir $L_z$ . (b) O menor ângulo entre $\vect L$ e o eixo $z$ , usando $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$ : avalie-o. (c) Por que o ângulo nunca pode ser nulo? (d) Mostre que o ângulo mínimo tende a zero quando $l \to \infty$ : os vetores clássicos recuperados.

Solução

Solução de Exercício 10.4.

(a) $m\hbar$ com $m = -2 \dots 2$ . (b) $\cos\theta = 2/\sqrt6$ : $\theta = 35.3^\circ$ . (c) O alinhamento perfeito tornaria $L_x = L_y = 0$ bem definidos junto com $L_z$ — o que os comutadores proíbem, exceto no caso trivial $l = 0$ . (d) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$ : para $l$ grande, o cone se fecha sobre o eixo e a seta clássica retorna.

Exercício 10.5 ★★

A parte angular de $-\hbar^2\Delta$ é $\hat L^2$ , com

\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta (\sin\theta\,\partial_\theta) + \frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .

(a) Verifique que $Y_1^0 \propto \cos\theta$ tem, para $\hat L^2$ , o autovalor $2\hbar^2$ . (b) Verifique o mesmo para $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\, \eu^{\pm\iu\varphi}$ , bem como seus autovalores de $\hat L_z$ . (c) Confira as paridades. (d) Por que $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ sem calcular integral alguma?

Solução

Solução de Exercício 10.5.

(a) Sem dependência em $\varphi$ , o operador dá $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta)) = 2\hbar^2\cos\theta$ . (b) O mesmo cálculo com o fator $\eu^{\pm\iu\varphi}$ : autovalor $2\hbar^2$ ; $\hat L_z$ dá $\pm\hbar$ . (c) $\cos\theta$ e $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu \varphi}$ mudam de sinal sob $\vect r \to -\vect r$ ( $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ ): paridade $-1 = (-1)^1$ . (d) Eles são autovetores do operador hermitiano $\hat L_z$ com autovalores diferentes.

Exercício 10.6 ★★

Que linha rotacional é a mais brilhante? A população do nível $J$ é $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$ . (a) Explique os dois fatores. (b) Mostre que o máximo fica perto de $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ . (c) Para o CO a $10\,\mathrm{K}$ (uma nuvem escura) e a $300\,\mathrm{K}$ : que linhas dominam? (d) Invertendo: uma escada de CO observada com pico em $J = 7$ denuncia que temperatura?

Solução

Solução de Exercício 10.6.

(a) $2J + 1$ estados dividem o nível (degenerescência); o fator de Boltzmann tributa a energia dele. (b) Maximize o produto: $\dd/\dd J = 0$ dá $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$ , o $J_{\max}$ enunciado. (c) A $10\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 0.8$ , de modo que $J = 1$ domina e brilham as linhas de $115\,\mathrm{GHz}$ e $230\,\mathrm{GHz}$ ; a $300\,\mathrm{K}$ : $J_{\max} \approx 7$ . (d) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/ k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — um termômetro rotacional.

Exercício 10.7 ★★

Efeito Zeeman normal. Uma linha espectral em $500\,\mathrm{nm}$ vem de uma transição $l = 2 \to l = 1$ num campo $B = 2\,\mathrm{T}$ ; ignore o spin (o que vale para estados “singleto” especiais). (a) Esboce os níveis desdobrados. (b) Com a regra de seleção $\Delta m = 0, \pm1$ , mostre que aparecem apenas três posições de linha, em $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$ . (c) Calcule o desdobramento em GHz e em picômetros de comprimento de onda. (d) A maioria das linhas reais se desdobra em mais de três componentes (Zeeman “anômalo”): de que ingrediente faltante, carregado pelo próprio elétron, isso foi evidência histórica?

Solução

Solução de Exercício 10.7.

(a) O nível superior se desdobra em cinco e o inferior em três, todos com o mesmo espaçamento $\mu_{\text{B}}B$ . (b) Com espaçamentos iguais, $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ e $\Delta m \in \{0, \pm1\}$ : apenas três posições. (c) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ , de modo que em $B = 2\,\mathrm{T}$ o desdobramento vale $28\,\mathrm{GHz}$ , isto é, $\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — resolvível desde as redes de difração de Zeeman, em 1896. (d) O spin do próprio elétron, com seu fator anômalo $g \approx 2$ : os padrões “anômalos” foram as impressões digitais do spin antes que o spin tivesse nome (Capítulo 12).

Exercício 10.8 ★★

A muralha centrífuga. Para o hidrogênio ( $V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$ ), escreva $U_{\text{eff}}$ para $l = 1$ em unidades de $E_{\text{I}}$ e $a_0$ . (a) Localize seu mínimo e o valor dele. (b) Mostre que $U_{\text{eff}} > 0$ para $r < \dots$ — encontre o raio dentro do qual a barreira domina. (c) Compare $|\psi|^2$ perto de $r = 0$ para os estados $s$ e $p$ ( $u \sim r^{l+1}$ , admitido): que estados “tocam” o núcleo? (d) A captura eletrônica — um núcleo que engole um dos elétrons do seu átomo — ocorre esmagadoramente a partir das camadas $s$ : explique numa frase.

Solução

Solução de Exercício 10.8.

Nas unidades enunciadas, $U_{\text{eff}} = -2/x + l(l+1)/x^2$ . (a) Para $l = 1$ : mínimo em $x = 2$ ( $r = 2a_0$ ), de profundidade $-E_{\text{I}}/2$ . (b) $U_{\text{eff}} > 0$ para $x < 1$ : dentro de um raio de Bohr, a muralha vence. (c) $\psi \sim r^l$ perto da origem: só os estados $l = 0$ têm densidade não nula em $r = 0$ . (d) Capturar um elétron exige densidade eletrônica no núcleo: os elétrons $s$ , os únicos não barrados pela muralha centrífuga, são os engolidos.

Exercício 10.9 ★★

Em $\ket{l, m}$ : (a) mostre que $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat L_y\rangle = 0$ ; (b) mostre que $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$ ; (c) verifique a relação de incerteza $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2 |\langle\hat L_z\rangle|$ no estado esticado $m = l$ ; (d) interprete a imagem do “cone” da figura à luz de (a) e (b).

Solução

Solução de Exercício 10.9.

(a) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ muda $m$ : os elementos diagonais se anulam. (b) Por simetria, os dois quadrados transversais são iguais, e sua soma vale $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$ . (c) Em $m = l$ : $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2 \,l\hbar$ : igualdade — o estado esticado é tão alinhado quanto a álgebra permite. (d) O cone: $L_z$ bem definido, médias transversais nulas, dispersões transversais iguais — um vetor de comprimento e projeção definidos, democraticamente borrado em azimute.

Exercício 10.10 ★★★

Bandas de vibração–rotação. Uma transição vibracional no infravermelho ( $\hbar\omega_0$ ) de uma diatômica muda $J$ de $\pm1$ ao mesmo tempo. (a) Mostre que as linhas de absorção caem em $h\nu = \hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (o ramo $R$ , de $J \to J+1$ ) e $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (o ramo $P$ , $J \to J-1$ ), com $J \ge 1$ . (b) Por que há uma lacuna exatamente em $\hbar\omega_0$ ? (c) Esboce a banda: dois pentes ladeando uma linha central ausente, com a intensidade de cada linha seguindo o Exercício 10.6. (d) A banda de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ do Problema 9.1 tem exatamente esta anatomia: o que fixa sua largura total e, portanto, as “asas” que tornam eficaz o dióxido de carbono acrescentado?

Solução

Solução de Exercício 10.10.

(a) Contabilidade de energia com $E_J = BJ(J+1)$ : $J \to J + 1$ acrescenta $2B(J+1)$ ; $J \to J - 1$ subtrai $2BJ$ . (b) $\Delta J = 0$ é proibido, e os dois ramos começam em $\pm 2B$ : nada cai na frequência vibracional pura. (c) Dois pentes de espaçamento $2B$ ladeando uma lacuna, com intensidades que crescem até $J_{\max}$ e depois caem. (d) A largura da banda é a extensão povoada dos pentes, que cresce como $\sqrt{T}$ : essas asas termicamente povoadas são precisamente onde uma banda de efeito estufa saturada continua absorvendo.

Exercício 10.11 ★★★

Termine a álgebra. (a) A partir de $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$ , calcule $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ e os coeficientes da escada. (b) Mostre que, se a escada não terminasse, alguma norma ficaria negativa: exiba o estado culpado. (c) Conclua que $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ tem de ser um inteiro não negativo e enumere os $j$ permitidos. (d) Onde exatamente o argumento deixa de excluir os semi-inteiros — e que exigência adicional (a univocidade sobre a esfera) os exclui somente para o movimento orbital?

Solução

Solução de Exercício 10.11.

(a) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm \ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$ . (b) Subir além de $m = j$ daria $j(j+1) - j(j+1) = 0$ e, um passo adiante, normas negativas: a cadeia precisa conter o estado do topo, que é aniquilado. (c) O topo e o fundo diferem por um número inteiro de passos unitários: $2j \in \mathbb N$ , ou seja, $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (d) A álgebra nunca usa funções de onda; só a exigência de que $\eu^{\iu m\varphi}$ seja unívoca no círculo obriga $m$ a ser inteiro — condição que prende o movimento orbital e deixa os momentos angulares intrínsecos (de spin) livres para serem semi-inteiros.

Exercício 10.12 ★★★

Einstein–de Haas: o momento angular é mecânico. Um cilindro de ferro (raio $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , densidade $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , densidade atômica $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) pende de um fio de torção; inverter sua magnetização vira cerca de um $\hbar$ de momento angular por átomo. (a) Pela conservação, a barra tem de recuar: calcule o momento angular por unidade de volume transferido. (b) Com o momento de inércia da barra $\tfrac12 M a^2$ , mostre que a barra adquire $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ e avalie esse valor. (c) O experimento de 1915 acionava a inversão na ressonância do fio para acumular os empurrõezinhos: estime a amplitude de oscilação depois de $Q \sim 100$ inversões ressonantes, tomando o seu $\omega$ por empurrão. (d) A razão medida entre momento magnético e momento angular deu o dobro da previsão orbital $e/2m_{\text{e}}$ : o que esse fator dois anunciava?

Solução

Solução de Exercício 10.12.

(a) $n\hbar$ por unidade de volume. (b) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2) = 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/ (7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — invisível de uma só vez. (c) Inverter em compasso com a ressonância do fio acumula $\sim Q$ empurrões: $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , oscilações de miliradianos com período de segundos — visíveis com um espelho e um feixe de luz, como Einstein e de Haas viram. (d) A razão giromagnética medida foi $e/m_{\text{e}}$ , o dobro do valor orbital $e/2m_{\text{e}}$ : o magnetismo do ferro não vem de correntes orbitais, mas do spin do elétron, cujo $g \approx 2$ os próximos capítulos explicam.

10.6 Problema: Pesar galáxias a 2,6 milímetros

Problema 10.1

Problema de fim de semana — monóxido de carbono, radioastronomia e o universo frio

Quase toda a matéria formadora de estrelas de uma galáxia é hidrogênio molecular frio — e ele é invisível: o H $_2$ , simétrico, não tem dipolo nem linhas rotacionais às temperaturas das nuvens frias. A solução da astronomia é a sua companheira fiel. Uma molécula de CO para cada $10^{4}$ de H $_2$ , com sua escada de $115\,\mathrm{GHz}$ , acende toda nuvem molecular do céu. Dados: para o CO, $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ ( $B = 0.238\,\mathrm{meV}$ ); comprimento de ligação $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$ ; massa reduzida $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ; $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ vale $0.862\,\mathrm{meV}$ .

Parte I — O rotor quântico.

A partir de $\hat H = \hat L^2/2I$ , dê as energias $E_J$ e suas degenerescências.
Verifique $B = \hbar^2/2I$ para o CO, a partir de $r_0$ e $\mu$ .
Com a regra de seleção $\Delta J = \pm1$ , deduza as frequências de absorção $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ e liste as três primeiras.
Por que as linhas são igualmente espaçadas — e o que um espaçamento medido entrega ao astrônomo (através de $I$ )?
Calcule o comprimento de onda da linha fundamental e explique por que observá-la exige sítios altos e secos (o que absorve as ondas milimétricas na nossa própria atmosfera — lembre-se da vizinha da molécula do Problema 9.1, a água)?
O fóton da linha $1 \to 0$ carrega $\hbar$ de momento angular: por que $\Delta J = \pm1$ não é mera regra prática, mas uma lei de conservação?

Parte II — Por que CO e não H $_2$ .

O H $_2$ é homonuclear: diga por que ele não emite radiação dipolar rotacional alguma.
O H $_2$ também é leve: calcule a constante rotacional do H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ , $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) e a energia da sua primeira transição acessível; compare com o $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ : mesmo por portas de trás quadrupolares, o H $_2$ frio conseguiria irradiar?
O primeiro degrau do CO custa $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ contra $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : a escada está viva a $10\,\mathrm{K}$ ?
Calcule a razão de populações $n_1/n_0$ a $10\,\mathrm{K}$ (degenerescência incluída).
Perto de que $J$ a população tem pico a $10\,\mathrm{K}$ (use $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ )?
Resuma numa frase o pacto do negócio: o que o CO fornece e o que é preciso supor sobre a razão CO/H $_2$ .

Parte III — Ler o céu.

A linha de uma nuvem chega em $115.156\,\mathrm{GHz}$ em vez dos $115.271\,\mathrm{GHz}$ de laboratório: calcule a velocidade da nuvem ao longo da linha de visada, e o sentido dela.
A linha é alargada por efeito Doppler devido a movimentos internos de $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : calcule a largura de linha em MHz e compare com a largura térmica esperada a $10\,\mathrm{K}$ ( $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}} \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): o que domina o alargamento?
Mapear o desvio Doppler do CO pelo disco de uma galáxia espiral fornece sua curva de rotação $v(r)$ . As curvas permanecem planas muito além do disco visível: lembre (volume do primeiro ano, gravitação) o que $v(r)$ deveria fazer em torno de uma massa concentrada no centro e diga o que essa planura implica.
A razão entre o brilho da linha $2\to1$ e o da $1\to0$ mede as populações dos níveis: que única grandeza física da nuvem ela entrega?
O ALMA resolve CO em galáxias cuja luz partiu quando o universo era jovem; a frequência observada da linha $1 \to 0$ de uma galáxia de “desvio para o vermelho $z = 1$ ” chega com metade do seu valor de repouso — em que frequência, e (lembrando o Exemplo 4.13) o que a esticou?
A partir de uma luminosidade medida na linha do CO, os astrônomos anunciam massas de nuvens em massas solares: liste a cadeia de conversões (fótons da linha $\to$ contagem de CO $\to$ massa de H $_2$ ) e o elo mais fraco.

Parte IV — Os berçários frios.

Os núcleos de formação estelar ficam a $10\,\mathrm{K}$ : pela lei de Wien, seu brilho térmico tem pico perto de $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — invisível para todo telescópio óptico. Numa frase: por que a escada rotacional é o único termômetro e a única balança que um núcleo desses oferece?
O nível $J = 1$ fica $5.5\,\mathrm{K}$ (em unidades de temperatura) acima do estado fundamental: por que isso faz da linha $1\to0$ um termômetro primoroso precisamente no regime de $10\,\mathrm{K}$ (e não, digamos, de uma linha óptica em $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ )?
Por que um núcleo em colapso acaba deixando de ser visível em CO ( $1\to0$ ) — considere o que a alta densidade e a poeira fazem à linha e à sua fuga.
As nuvens moleculares também mostram linhas de NH $_3$ , HCN e dezenas de outras, cada uma com seu $B$ e seu dipolo: o que a riqueza desse “dial de rádio químico” permite aos astrônomos desembaraçar?
O céu inteiro brilha a $2.7\,\mathrm{K}$ (a radiação cósmica de fundo em micro-ondas): o que acontece com o contraste das linhas de CO de uma nuvem quando a temperatura dela se aproxima de $2.7\,\mathrm{K}$ , e por que esse é um piso rígido para este termômetro?
Uma antena milimétrica precisa manter sua forma com precisão de cerca de $\lambda/20$ : calcule essa tolerância em $115\,\mathrm{GHz}$ e compare com a tolerância que um espelho óptico ( $500\,\mathrm{nm}$ ) precisa cumprir — por que as antenas de doze metros do ALMA puderam ser construídas a céu aberto?
Resuma o resultado central: uma escada $BJ(J+1)$ com $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , povoada a dez kelvins e lida em $2.6\,\mathrm{mm}$ , é como se medem a massa, a temperatura, a velocidade e a rotação do universo frio — e a evidência de matéria escura em torno das galáxias espirais.

Solução

Solução de Problema 10.1.

1. $E_J = BJ(J+1)$ , com degenerescência $2J + 1$ . 2. $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ : $B = \hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ , isto é, $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — a constante medida. 3. $115$ , $231$ e $346\,\mathrm{GHz}$ . 4. $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ cresce linearmente: linhas consecutivas diferem pela constante $2B$ . O espaçamento dá $I$ e, com ele, o comprimento de ligação — química estrutural por rádio. 5. $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$ . O vapor de água atmosférico devora as ondas milimétricas; daí o Atacama, o Mauna Kea e o Polo Sul — altos, frios e secos. 6. O fóton é uma partícula de spin $1$ que carrega $\hbar$ : a conservação do momento angular total obriga o $J$ da molécula a mudar de uma unidade. 7. Sua distribuição de carga é simétrica em todo ângulo de rotação: nenhum dipolo oscilante, nenhuma linha dipolar — camuflagem perfeita. 8. $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx 7.6\,\mathrm{meV}$ ; as transições quadrupolares fracas da molécula simétrica exigem $\Delta J = 2$ , ao custo de $6B \approx 46\,\mathrm{meV}$ — cinquenta vezes o $k_{\text{B}}T$ a $10\,\mathrm{K}$ : o hidrogênio frio não consegue irradiar de modo algum. 9. $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : as colisões mantêm povoados os primeiros degraus — a escada funciona exatamente onde as nuvens vivem. 10. $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$ : o nível emissor está bem abastecido. 11. $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$ : a população tem pico em $J = 1$ . 12. O CO entrega os fótons; convertê-los em massa total de gás repousa sobre uma abundância CO/H $_2$ suposta — mensageiro luminoso, resgate calibrado. 13. $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$ : $v = c\,\Delta\nu/\nu \approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , afastando-se (frequência reduzida) — velocidades orbitais galácticas. 14. Os $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ cobrem $1.5\,\mathrm{MHz}$ ; o movimento térmico a $10\,\mathrm{K}$ dá apenas $\sim40\,\mathrm{kHz}$ : a largura é turbulência, não temperatura — as larguras de linha mapeiam o tempo interno de uma nuvem. 15. Em torno de uma massa central, $v \propto 1/\sqrt r$ deveria cair (Kepler); a planura medida significa que a massa englobada continua crescendo com o raio — matéria invisível envolvendo o disco luminoso: matéria escura. 16. A razão de populações, isto é, a temperatura de excitação do gás. 17. Em $57.6\,\mathrm{GHz}$ : a expansão cósmica dobrou todo comprimento de onda em voo — o desvio para o vermelho cosmológico ao qual o último capítulo deste livro volta. 18. Fluxo de fótons $\to$ luminosidade em CO (é preciso a distância) $\to$ contagem de CO (modelo de excitação) $\to$ massa de H $_2$ (o “fator X” de CO para H $_2$ : o elo mais fraco, calibrado localmente e exportado com cautela). 19. Um núcleo a $10\,\mathrm{K}$ não emite nada que um telescópio óptico possa ver; suas linhas rotacionais são, ao mesmo tempo, seu único termômetro, velocímetro e balança. 20. Um termômetro é sensível onde o espaçamento entre níveis é $\sim k_{\text{B}}T$ : um espaçamento de $5.5\,\mathrm{K}$ responde fortemente entre $5$ e $50$ K, ao passo que um nível óptico de $2\,\mathrm{eV}$ não seria povoado por nada. 21. A linha satura (fica opticamente espessa) e, pior, o CO se congela sobre os grãos de poeira no gás mais denso e mais frio: os astrônomos passam a isotopólogos mais raros ( $^{13}$ CO, C $^{18}$ O) e a outras moléculas. 22. Cada espécie precisa da sua própria densidade e temperatura para brilhar: juntas, elas tomografam a nuvem — os envoltórios externos em CO, os núcleos densos em NH $_3$ e HCN. 23. Uma linha é vista em contraste com o fundo cósmico; à medida que a temperatura do gás se aproxima de $2.7\,\mathrm{K}$ , sua excitação se equilibra com o fundo e o contraste desaparece: nenhuma nuvem mais fria pode ser lida assim. 24. $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ contra $25\,\mathrm{nm}$ do trabalho óptico: cinco mil vezes mais tolerante — e é por isso que antenas milimétricas de doze metros ficam ao relento no deserto, enquanto os espelhos ópticos vivem em cúpulas. 25. Uma escada $BJ(J+1)$ com $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ , viva a dez kelvins e lida em $2.6\,\mathrm{mm}$ , mede a massa, a temperatura, a turbulência e a rotação do universo frio — e suas curvas de rotação planas são uma exposição permanente a favor da matéria escura.

Termos definidos neste capítulo

Operadores de momento angular

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