Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

20Fótons e fônons

A teoria quântica nasceu no assunto deste capítulo. Em 1900, o espectro dos corpos incandescentes recusou-se a obedecer à física clássica — pior, a física clássica previa energia infinita nos comprimentos de onda curtos, a “catástrofe do ultravioleta” — e o remédio desesperado de Planck, energia em pacotes de $h\nu$ , acabou sendo a chave-mestra do século. Com a maquinaria já montada — a contagem de modos do Capítulo 7, a termodinâmica de osciladores do Capítulo 17 — a lei de Planck sai em meia página: um gás de fótons, um oscilador ocupado à Bose por modo da cavidade. A mesma meia página, com som no lugar da luz, é a teoria dos sólidos de Debye e a capacidade térmica $T^3$ que o modelo de Einstein perdeu. E enchendo cada centímetro cúbico do universo está a obra-prima do assunto: a radiação cósmica de fundo em micro-ondas a 2,725 kelvins, o corpo negro mais perfeito já medido — a radiação térmica do próprio universo jovem, ainda chegando.

20.1 A lei de Planck, deduzida

Teorema 20.1 (O espectro do corpo negro)

Uma cavidade à temperatura $T$ sustenta modos eletromagnéticos — ondas estacionárias contadas exatamente como na Proposição 7.5, em dobro pela polarização:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

Cada modo é um oscilador quântico que guarda, em equilíbrio, $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ fótons (Exercício 17.5; ou, o que dá no mesmo, bósons a $\mu = 0$ ). A energia por volume e por frequência é, portanto,

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

a lei de Planck (1900). As consequências dela, todas conforme medidas: o máximo em $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (a lei do deslocamento de Wien do volume do segundo ano, agora deduzida); o fluxo total de uma superfície negra $\Phi = \sigma T^4$ , com

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(Stefan–Boltzmann, com a constante dela agora construída de $h$ , $c$ e $k_{\text{B}}$ ); e a densidade de fótons $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ por metro cúbico.

Demonstração parcial. Multiplique a contagem de modos por $h\nu\,\bar n$ . A integral da energia total, com $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ e $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (admitida), dá $u_{\text{tot}} = aT^4$ e, com o fator de fluxo padrão $c/4$ , o $\sigma$ enunciado. A lei de Wien é a maximização do Exercício 20.1. A baixa frequência ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ), cada modo carrega $k_{\text{B}}T$ — Rayleigh–Jeans, correto no rádio, catastrófico se estendido a todo $\nu$ : o corte de Planck é a licença da equipartição (Teorema 17.5) sendo revogada modo a modo. ∎

Espectros de Planck a três temperaturas (cada um reescalado a uma altura comparável: as áreas verdadeiras crescem como T4). A reta clássica de Rayleigh–Jeans acompanha o flanco de baixa frequência e então dispara rumo à catástrofe do ultravioleta; o pedágio h de Planck fecha os modos de alta frequência e curva a curva para baixo. — Espectros de Planck a três temperaturas (cada um reescalado a uma altura comparável: as áreas verdadeiras crescem como $T^4$ ). A reta clássica de Rayleigh–Jeans acompanha o flanco de baixa frequência e então dispara rumo à catástrofe do ultravioleta; o pedágio $h\nu$ de Planck fecha os modos de alta frequência e curva a curva para baixo.

Exemplo 20.2 (Três termômetros)

O Sol ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): máximo em $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — nossos olhos evoluíram sobre o máximo dele. Um corpo a $310\,\mathrm{K}$ : máximo perto de $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , irradiando $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de cada metro quadrado de pele (por misericórdia, a sala irradia de volta; Exercício 20.2). O universo ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): máximo perto de $1.9\,\mathrm{mm}$ , na forma em frequência ( $160\,\mathrm{GHz}$ ), com $411$ fótons por centímetro cúbico — a radiação cósmica de fundo em micro-ondas, o grande exemplo deste capítulo (Problema 20.1).

Proposição 20.3 (Termodinâmica da luz)

O gás de fótons tem densidade de energia $u = aT^4$ ( $a = 4\sigma/c$ ), pressão

P = \frac u3 ,

densidade de entropia $\tfrac43 aT^3$ e número de fótons $\propto T^3$ . Consequências: uma caixa cheia de radiação em expansão adiabática esfria como $T \propto 1/L$ — os fótons do universo em expansão esfriaram de $3000$ K aos $2.725$ K de hoje por um fator de estiramento $\approx1100$ mantendo um espectro de Planck perfeito; e nas estrelas massivas o crescimento em $T^4$ deixa a pressão de radiação rivalizar com a pressão do gás, fixando um limite superior às massas estelares (Capítulo 27).

Demonstração parcial. $P = u/3$ : um gás isotrópico de partículas à velocidade $c$ entrega um terço da densidade de energia dele como pressão (o fator $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , como na teoria cinética do volume do primeiro ano). A entropia sai de $\dd U = T\dd S - P\dd V$ aplicado a $U = aT^4V$ . Adiabática: $S \propto T^3V$ constante dá $T \propto V^{-1/3}$ . ∎

20.2 Fônons: o acabamento de Debye

Teorema 20.4 (O modelo de Debye)

As vibrações de um cristal são ondas elásticas quantizadas exatamente como a luz: os fônons, três polarizações à velocidade do som $c_{\text{s}}$ , contados como fótons, mas com o total limitado a $3N$ modos — o limite que define a temperatura de Debye

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

A capacidade térmica interpola entre as duas leis clássicas:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(Dulong--Petit)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

a lei $T^3$ que a calorimetria de baixa temperatura exigia e a frequência única de Einstein não conseguia dar (Exercício 17.6). A razão é a mesma da luz: por mais frio que esteja o cristal, existem quanta sonoros de comprimento de onda longo arbitrariamente baratos, e a contagem deles, à moda dos fótons, dá o $T^3$ à moda dos fótons.

Demonstração parcial. Repita a conta dos fótons com $c \to c_{\text{s}}$ , três polarizações e o total de modos $\int g\,\dd\nu = 3N$ fixando o corte. Em $T \ll \theta_{\text{D}}$ o corte é invisível e a integral de energia $T^4$ dá $C \propto T^3$ ; em $T$ alto, cada um dos $3N$ modos carrega $k_{\text{B}}T$ . A integral completa de interpolação fica admitida. ∎

Capacidade térmica de um cristal: os dois modelos alcançam Dulong–Petit, mas a baixa temperatura a curva de frequência única de Einstein morre exponencialmente, enquanto os fônons baratos de longo comprimento de onda de Debye sustentam o T3 medido — a região de T baixo é pura “física de fótons” com som. — Capacidade térmica de um cristal: os dois modelos alcançam Dulong–Petit, mas a baixa temperatura a curva de frequência única de Einstein morre exponencialmente, enquanto os fônons baratos de longo comprimento de onda de Debye sustentam o $T^3$ medido — a região de $T$ baixo é pura “física de fótons” com som.

Exemplo 20.5 (Os fônons são partículas de verdade)

Os fônons espalham nêutrons e raios X com conservação de energia e de momento (cristalino) — as curvas de dispersão medidas $\omega(\vect k)$ do Capítulo 23 são a espectroscopia deles. Eles carregam calor: a condutividade térmica de um isolante é o $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ de um gás de fônons, e o diamante — rígido, leve, puro — conduz cinco vezes mais que o cobre à temperatura ambiente, só por fônons (Exercício 20.12). E eles se extinguem a baixa temperatura como $T^3$ , e é por isso que os engenheiros criogênicos falam de cristais que ficam “acusticamente silenciosos”.

Método 20.6 (Ofício do gás de radiação)

(1) Conte modos ( $\propto\nu^2$ por polarização em 3D); ocupe-os com $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ ; integre — espere energias em $T^4$ e contagens e capacidades em $T^3$ . (2) Máximos por Wien; totais por Stefan; $k_{\text{B}}T$ clássico por modo só abaixo de $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ . (3) Para sólidos, limite os modos a $3N$ ( $\theta_{\text{D}}$ ); a forma de Einstein para os modos do ramo óptico, a de Debye para os acústicos. (4) Radiação adiabática: $T \propto V^{-1/3}$ . (5) Confira as duas constantes do ofício: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ e $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ .

Uma casa vista por uma câmera térmica: cada superfície irradia o espectro de Planck dela, e a câmera lê a temperatura direto do infravermelho — Stefan, Boltzmann e Wien auditando a conta do aquecimento.

20.3 Exercícios

Exercício 20.1 ★

(a) A partir da lei de Planck na forma em comprimento de onda, mostre que o máximo obedece a $\lambda_{\max}T =$ const. (a equação transcendente pode ser citada: $x = 4.965$ ). (b) Calcule os comprimentos de onda de máximo para o Sol, um filamento a $2700\,\mathrm{K}$ , um corpo a $310\,\mathrm{K}$ e o céu a $2.725\,\mathrm{K}$ . (c) Qual dos quatro o olho humano amostra bem, e que fração da produção de um filamento é visível (estime: pequena)? (d) Por que as “câmeras infravermelhas” são a ferramenta certa para pessoas e edifícios?

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(a) Impor $\dd u/\dd\lambda = 0$ dá $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ . (b) $0.50$ , $1.07$ e $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ , e $1.06\,\mathrm{mm}$ . (c) Só o do Sol; um filamento tem máximo no infravermelho próximo e entrega apenas alguns por cento da potência dele como luz — a ineficiência que o aposentou. (d) Pessoas e edifícios “brilham” em dez micrômetros: os imageadores térmicos são câmeras para o segundo máximo.

Exercício 20.2 ★

Orçamentos radiativos. (a) Uma pessoa ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , pele a $306\,\mathrm{K}$ ) numa sala a $293\,\mathrm{K}$ : potência líquida irradiada $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ . (b) Compare com o metabolismo de $100\,\mathrm{W}$ do corpo: por que toleramos isso (as roupas, e a sala irradiando de volta)? (c) A Terra absorve luz solar sobre $\pi R^2$ e irradia sobre $4\pi R^2$ : deduza $T_{\text{eff}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ com $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e albedo $A = 0.30$ , e avalie. (d) A média de superfície medida é de $288\,\mathrm{K}$ : nomeie o mecanismo da diferença de $33\,\mathrm{K}$ (Problema 9.1).

Solução

Solução de Exercício 20.2.

(a) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ . (b) O fluxo de retorno da sala já está dentro da diferença; as roupas inserem superfícies intermediárias mornas — a radiação é um livro-caixa de mão dupla. (c) $T_{\text{eff}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ . (d) O bônus de $33\,\mathrm{K}$ é o efeito estufa: o cobertor infravermelho do Problema 9.1, quantificado no Exercício 20.9.

Exercício 20.3 ★

Contando fótons. (a) Com $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ por metro cúbico: a densidade de fótons do fundo a $2.725\,\mathrm{K}$ . (b) Luz solar na Terra: a partir de $\Phi_\odot$ e de uma energia média por fóton $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ , calcule o fluxo de fótons por metro quadrado por segundo. (c) Uma lâmpada incandescente de $60\,\mathrm{W}$ (5% visível): fótons visíveis por segundo. (d) Por que “contar fótons” é rotina para os astrônomos, mas absurdo para aquecedores?

Solução

Solução de Exercício 20.3.

(a) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ por cm $^3$ . (b) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ fótons por metro quadrado por segundo. (c) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ por segundo. (d) Os sinais astronômicos chegam um fóton de cada vez — taxas que um contador resolve; os $10^{22}$ por segundo de um aquecedor são um contínuo para qualquer detector.

Exercício 20.4 ★

A catástrofe e a cauda dela. (a) Mostre que a equipartição clássica ( $k_{\text{B}}T$ por modo) dá $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ , divergente ao ser integrada. (b) Onde a lei de Planck se reduz a ela? (c) Os radioastrônomos medem a CMB em $1.4\,\mathrm{GHz}$ : verifique que $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ ali e justifique o hábito deles de “temperatura de antena”, citando intensidades em kelvins. (d) No máximo de $160\,\mathrm{GHz}$ da CMB, avalie $h\nu/k_{\text{B}}T$ : o máximo é clássico?

Solução

Solução de Exercício 20.4.

(a) $k_{\text{B}}T$ por modo vezes a contagem de modos $\nu^2$ : integrado, infinito — a catástrofe. (b) Para $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ . (c) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : bem dentro da cauda clássica, onde a intensidade $\propto T$ — daí a “temperatura de brilho” em kelvins. (d) $2.8$ : o máximo fica onde o desconto quântico de Planck age em cheio.

Exercício 20.5 ★★

Pressão de radiação. (a) Deduza $P = u/3$ da isotropia (ou aceite o fator cinético) e avalie a pressão da luz solar na órbita da Terra; compare com a pressão atmosférica. (b) Dentro do Sol ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): calcule $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ e compare com a pressão do gás, $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ . (c) A pressão de radiação cresce como $T^4$ , e a do gás como $T$ : mostre por que estrelas suficientemente massivas (e portanto mais quentes) se tornam dominadas pela radiação e instáveis — o teto de Eddington perto de $\sim100\,M_\odot$ . (d) Lasers: um feixe de $1\,\mathrm{kW}$ focalizado para empurrar — que força? Por que os “raios tratores” ficam nos filmes enquanto as pinças ópticas (gradientes, piconewtons) são ferramentas reais?

Solução

Solução de Exercício 20.5.

(a) Para o feixe solar direcionado, $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : onze ordens abaixo da atmosfera — as velas só funcionam porque o espaço subtrai todo o resto. (b) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : menos de uma parte em mil da pressão do gás — o Sol é sustentado pelo gás. (c) $P_{\text{rad}}/P_{\text{gas}} \propto T^3/n$ : as estrelas mais massivas queimam mais quentes, e a enxurrada em $T^4$ acaba rivalizando com o aperto da gravidade sobre o gás — a instabilidade luminosa limita as estrelas perto de $\sim100\,M_\odot$ . (d) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : os raios tratores continuam ficção; as pinças usam gradientes de campo sobre objetos microscópicos, onde reinam os piconewtons (Problema 16.1).

Exercício 20.6 ★★

O estiramento do universo. A CMB foi emitida na recombinação ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , terreno do Exercício 18.12) e chega a $2.725\,\mathrm{K}$ . (a) De $T \propto 1/a$ , tire o fator de estiramento de todos os comprimentos desde a emissão. (b) Mostre que um espectro de Planck continua sendo de Planck sob estiramento uniforme de todos os comprimentos de onda (o que acontece com $T$ ?). (c) O máximo emitido (luz alaranjada visível!) chega onde? (d) Por que o céu é, então, escuro ao olho e ainda assim ofuscante para um receptor de micro-ondas?

Solução

Solução de Exercício 20.6.

(a) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . (b) O $\lambda$ de todo modo estica pelo mesmo fator: a forma $\nu^3$ se aplica sobre si mesma com $T \to T/(1+z)$ — uma curva de Planck não pode ser desplanckizada pela expansão. (c) O máximo vermelho-escuro de $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ chega em $1.06\,\mathrm{mm}$ . (d) O mesmo céu é vazio em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ e saturado num milímetro: a escuridão é uma afirmação sobre comprimento de onda.

Exercício 20.7 ★★

Temperaturas de Debye a partir do som. (a) Avalie $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ para o cobre ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) e compare com os $343\,\mathrm{K}$ calorimétricos. (b) Diamante: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : calcule e compare com $\approx2200\,\mathrm{K}$ . (c) Chumbo: mole e pesado — explique o $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ dele em uma frase. (d) Enuncie a regra que liga a rigidez de um sólido, a massa atômica e a temperatura de congelamento quântico dele.

Solução

Solução de Exercício 20.7.

(a) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ contra os $343\,\mathrm{K}$ ajustados: escala certa (uma média correta sobre as velocidades longitudinal e transversal fecha a diferença). (b) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — concordando: o diamante é o caso extremo. (c) Velocidade do som baixa (mole) e átomos pesados empurram os dois o $\theta_{\text{D}}$ para baixo: a rede do chumbo é clássica quase de imediato. (d) À moda de $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ : rígido e leve congela tarde; mole e pesado congela cedo.

Exercício 20.8 ★★

Cobre a um kelvin. (a) Usando $C = \gamma T + \beta T^3$ com o $\gamma$ do Exemplo 19.3 e o coeficiente $T^3$ de Debye para $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ : calcule os dois termos por mol a $1\,\mathrm{K}$ . (b) Qual vence, e por quanto? (c) A que temperatura eles se cruzam? (d) Por que este regime é a janela do calorimetrista para a densidade eletrônica de estados?

Solução

Solução de Exercício 20.8.

(a) Eletrônico: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ dá $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; rede: $1944R\dots$ — o termo $T^3$ de Debye dá $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . (b) Os elétrons, por uma ordem de grandeza. (c) Perto de $3\,\mathrm{K}$ (Exercício 19.5). (d) Abaixo do cruzamento, o intercepto medido de $C/T$ é $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ : um experimento de termômetro e aquecedor lê a densidade de estados da superfície de Fermi.

Exercício 20.9 ★★

Efeito estufa de uma camada. Ponha a superfície (temperatura $T_s$ ) sob uma fina camada atmosférica (temperatura $T_a$ ) transparente à luz solar, mas opaca ao infravermelho térmico. (a) Escreva o balanço de energia da camada (absorve $\sigma T_s^4$ , irradia $2\sigma T_a^4$ ) e o da superfície (absorve a luz solar $S$ mais $\sigma T_a^4$ ). (b) Mostre que $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{eff}}$ , onde $\sigma T_{\text{eff}}^4 = S$ . (c) Com $T_{\text{eff}} = 255\,\mathrm{K}$ : avalie $T_s$ e compare com $288\,\mathrm{K}$ (a atmosfera real é um cobertor parcial e de várias camadas). (d) Conecte com o Problema 9.1: que física molecular torna a camada opaca no infravermelho e ainda assim transparente no visível?

Solução

Solução de Exercício 20.9.

(a) Camada: absorve $\sigma T_s^4$ , emite $2\sigma T_a^4$ (as duas faces): $T_s^4 = 2T_a^4$ . Superfície: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ . (b) Elimine $T_a$ : $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , ou seja, $T_s = 2^{1/4}T_{\text{eff}}$ . (c) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — ultrapassando os $288\,\mathrm{K}$ reais porque o cobertor real é parcial e em camadas. (d) Os quanta vibracionais dos gases-traço triatômicos: transparentes em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , opacos em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — a molécula do Problema 9.1.

Exercício 20.10 ★★★

A constante de Stefan do zero. (a) Monte $u_{\text{tot}} = \int u(\nu)\dd\nu$ com $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ e o $\pi^4/15$ dado, obtendo $u = aT^4$ com $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ . (b) O fluxo de uma superfície negra é $c\,u/4$ (aceite o quarto geométrico): forme $\sigma$ e avalie-o numericamente a partir de $h$ , $c$ e $k_{\text{B}}$ . (c) Compare com $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ . (d) Inversão histórica: Planck ajustou a lei dele a espectros e extraiu tanto $h$ quanto $k_{\text{B}}$ (e daí o número de Avogadro) em 1900 — enuncie por que a curva do corpo negro fixa duas constantes ao mesmo tempo.

Solução

Solução de Exercício 20.10.

(a) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ . (b–c) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — de três constantes, em cheio. (d) A forma da curva fixa $h/k_{\text{B}}$ (através de $h\nu/k_{\text{B}}T$ ) e a escala absoluta dela fixa $k_{\text{B}}^4/h^3$ : duas equações, duas constantes — Planck leu $h$ e $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ de um único ajuste, anos antes dos grãos de Perrin.

Exercício 20.11 ★★★

Os A e B de Einstein (1917). Átomos de dois níveis (energias $0, h\nu_0$ ; populações $N_1, N_2$ ) ficam numa radiação de densidade espectral $u(\nu_0)$ . Taxa de absorção: $B_{12}uN_1$ ; emissão estimulada: $B_{21}uN_2$ ; espontânea: $AN_2$ . (a) Escreva o balanço de equilíbrio. (b) Exija que a razão de Boltzmann $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ e o $u$ de Planck valham ao mesmo tempo para todo $T$ : deduza $B_{12} = B_{21}$ e

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(c) Interprete: por que o equilíbrio térmico obriga a emissão espontânea a existir e fixa a taxa dela a partir da estimulada? (d) O $\nu^3$ : conecte com os tempos de vida do Exercício 13.8 e com o motivo de o laser ser difícil em frequências de raios X.

Solução

Solução de Exercício 20.11.

(a) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ . (b) Resolva para $u$ : $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; igualar a forma de Planck para todo $T$ obriga $B_{12} = B_{21}$ e $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ . (c) Sem o $A$ , balanço algum é possível contra a lei de Planck: o próprio equilíbrio exige que os átomos excitados decaiam sem estímulo, a uma taxa amarrada à estimulada — Einstein previu a emissão espontânea a partir da termodinâmica, uma década antes de a mecânica quântica deduzi-la. (d) $A \propto \nu^3$ : os estados ultravioleta decaem em nanossegundos (Exercício 13.8), e por isso as inversões são ruinosamente caras nos comprimentos de onda curtos — o problema do laser de raios X.

Exercício 20.12 ★★★

Diamante, a super-rodovia dos fônons. Condutividade térmica de um isolante: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ por volume, com $\ell$ o livre caminho médio do fônon. (a) Para o diamante a $300\,\mathrm{K}$ ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , ou seja, parcialmente congelado; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): calcule $\kappa$ e compare com os $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ do cobre. (b) Por que o $\ell$ é tão longo no diamante (rígido, leve, isotopicamente limpo — o que espalha fônons?). (c) O diamante isotopicamente purificado quase dobra o $\kappa$ : o que isso revela sobre o espalhamento de fônons pela desordem de massa isotópica? (d) Dois usos: espalhadores de calor na eletrônica; e por que um diamante parece frio ao lábio — explique a sensação.

Solução

Solução de Exercício 20.12.

(a) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : cinco vezes o cobre. (b) Rígido e leve significa fônons rápidos; uma rede pura, perfeita e leve oferece pouco para espalhá-los — o $\ell$ alcança milhares de constantes de rede. (c) Até a diferença de massa dos átomos de $^{13}$ C espalha fônons de modo mensurável: a desordem isotópica é uma resistência genuína, removida pela purificação. (d) Espalhadores de calor sob chips de potência; e o calor do lábio foge tão depressa que um diamante verdadeiro parece espantosamente frio — o teste do toque do joalheiro é uma medida de fônons.

Todo o céu em micro-ondas (NASA/WMAP, domínio público): a radiação de Planck a 2.7\, K do fundo cósmico, mapeada. O mosqueado é de uma parte em 105 — as sementes das galáxias, impressas no corpo negro deste capítulo. — Todo o céu em micro-ondas (NASA/WMAP, domínio público): a radiação de Planck a $2.7\,\mathrm{K}$ do fundo cósmico, mapeada. O mosqueado é de uma parte em $10^5$ — as sementes das galáxias, impressas no corpo negro deste capítulo.

20.4 Problema: a luz mais antiga

Problema 20.1

Problema de fim de semana — lendo a radiação cósmica de fundo

Aponte um receptor de ondas milimétricas para qualquer pedaço do céu e ele reporta o mesmo sinal: um espectro de Planck a $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ , mais liso que qualquer fornalha que a humanidade já construiu. É o clarão da recombinação do universo (Exercício 18.12), esticado por um fator mil e cem, e ele carrega o censo do cosmo. Dados: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; densidade de bárions hoje $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; densidade crítica $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Parte I — O espectro.

Calcule o comprimento de onda de máximo (Wien) da CMB e a densidade de fótons dela por centímetro cúbico.
Calcule a densidade de energia dela, em $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ e em $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ , e a fração equivalente em massa da densidade crítica.
O espectro do COBE (1990) reproduziu Planck em algumas partes em $10^4$ — a plateia aplaudiu o gráfico. Por que um espectro termicamente perfeito vindo do céu vazio é tão difícil de explicar por qualquer coisa que não um passado quente e denso?
Na emissão, esses mesmos fótons formavam um corpo negro a $3000\,\mathrm{K}$ : verifique o fator de estiramento $1 + z = T_{\text{antes}}/T_0$ .
Por que o universo ficou transparente exatamente àquela temperatura (lembre que equilíbrio do Capítulo 18 se desligou)?
O céu noturno é escuro (o paradoxo de Olbers da velha astronomia): em que sentido preciso ele é na verdade brilhante — em que comprimento de onda e temperatura?

Parte II — O censo.

Calcule a razão fóton-bárion $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ .
Esse número — cerca de dois bilhões de fótons por próton — é um dos dados fundamentais da cosmologia: enuncie o que ele mede sobre a assimetria matéria–antimatéria (lembre o Exercício 18.12: os fótons são em sua maioria produtos de aniquilação).
Compare a densidade de energia da CMB com a da luz das estrelas ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ na média do universo): que luz domina o cosmo?
A CMB supera, em fótons, tudo o que as estrelas já brilharam: por que isso faz do universo primitivo um universo “dominado pela radiação”, e o que assumiu depois (as escalas $T^4$ contra $T^3$ diante do $a^{-3}$ da matéria)?
Estime a época da igualdade matéria–radiação: com a densidade de radiação escalando como $(1+z)^4$ e a de matéria como $(1+z)^3$ , e com a razão de hoje $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ , ache $z_{\text{eq}}$ .
Os neutrinos se desacoplaram antes e esfriaram um pouco mais (perderam o reaquecimento pela aniquilação $e^+e^-$ do Exercício 18.12): a previsão $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — avalie-a e maravilhe-se com a previsão de um mar de neutrinos a $1.95\,\mathrm{K}$ que ninguém ainda detectou diretamente.

Parte III — As anisotropias.

A CMB é $3.4\,\mathrm{mK}$ mais quente numa direção e mais fria na oposta: interprete pela física Doppler do Capítulo 4 e extraia a nossa velocidade ( $\Delta T/T = v/c$ ).
Removido esse dipolo, restam ondulações de $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ (COBE 1992, depois WMAP e Planck): o que elas mapeiam em $z = 1100$ ?
Aquelas sementes de densidade de $10^{-5}$ cresceram até virar galáxias: por que a gravidade amplifica sobredensidades (qual instabilidade), e por que o crescimento precisou da igualdade matéria–radiação para começar de verdade?
O tamanho da ondulação mais forte (cerca de um grau no céu) é um comprimento de onda acústico — som no plasma fóton–bárion (o gás deste capítulo mais as ondas do Capítulo 3!): o que fixa a escala dele (a distância que o som percorre antes da recombinação)?
Medir esse ângulo contra a escala física conhecida triangula a geometria do universo: enuncie o resultado (plana, com precisão de por cento).
O monopolo de $2.7\,\mathrm{K}$ , o dipolo de $3\,\mathrm{mK}$ e as ondulações de $10^{-5}$ : ordene o que cada um ensinou (um passado quente; o nosso movimento; as sementes e a geometria de tudo).

Parte IV — A herança.

Penzias e Wilson acharam o sinal em 1965 como ruído de antena que não saía (depois de despejar os pombos): por que um excesso isotrópico e independente da estação a $3\,\mathrm{K}$ era inexplicável como fonte local ou galáctica?
Cerca de $1\%$ da estática de uma televisão analógica fora de sintonia era este sinal: reflita em uma frase.
A CMB atravessa aglomerados de galáxias e é levemente chutada para frequências mais altas pelos elétrons quentes (o efeito Sunyaev–Zel’dovich): por que isso torna os aglomerados visíveis como sombras em baixa frequência, e qual é a virtude especial de uma sombra dessas (independente da distância)?
A fronteira de hoje caça a polarização da CMB atrás da marca das ondas gravitacionais primordiais: que capítulos deste livro essa descoberta casaria (a polarização do Capítulo 6 e as ondas da gravidade)?
Calcule o fluxo de fótons da CMB através do seu corpo ( $n_\gamma c/4$ por unidade de área, com seção de choque do corpo $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): quantas relíquias do Big Bang atravessam você por segundo?
A CMB seleciona um referencial de repouso (aquele em que o dipolo se anula): explique por que isso não contradiz a relatividade — que tipo de referencial é preferido pelo conteúdo material, e não pelas leis?
Resuma o resultado nomeado: uma curva de Planck a $2.725$ kelvins enchendo o céu — $411$ fótons por centímetro cúbico, dois bilhões por bárion, máximo em $160\,\mathrm{GHz}$ — é o recibo térmico do começo quente: a física estatística como pedra fundamental da cosmologia.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ fótons por cm $^3$ . 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; equivalente em massa $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : cerca de $5\times10^{-5}$ da crítica. 3. Um espectro térmico exige que emissor e radiação tenham se equilibrado — impossível para qualquer coleção de estrelas, poeira ou plasmas somados ao longo de linhas de visada diferentes; só um universo que já foi ele mesmo uma cavidade quente e opaca serve. 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ . 5. O equilíbrio de Saha passou para os átomos neutros: os elétrons livres sumiram, o espalhamento Thomson cessou e os fótons voam intocados desde então. 6. Brilhante nos comprimentos de onda milimétricos, a $2.725\,\mathrm{K}$ : o céu de Olbers está em chamas — o desvio para o vermelho tirou o incêndio do visível. 7. $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ fótons por bárion. 8. Os fótons são as cinzas da aniquilação matéria–antimatéria; os bárions são o excesso de um por bilhão que sobreviveu: o $\eta$ mede a assimetria primordial — ainda inexplicada. 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ contra $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : a luz relíquia ofusca, em densidade de energia, tudo o que as estrelas já emitiram. 10. A radiação se dilui como $a^{-4}$ (número $a^{-3}$ , com cada fóton esticado por $a^{-1}$ ), e a matéria como $a^{-3}$ : no começo a radiação mandava; a matéria ultrapassou na igualdade, deixando a estrutura crescer. 11. $1 + z_{\text{eq}} \approx 3400$ . 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : um fundo cósmico de neutrinos previsto, o cheque não descontado mais audacioso da física térmica. 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : o movimento do Sistema Solar através do referencial relíquia. 14. As ondulações de temperatura (e portanto de densidade e velocidade) do universo aos 380 000 anos de idade: uma fotografia das sementes. 15. As manchas sobredensas puxam mais forte e crescem (a instabilidade gravitacional); antes da igualdade, a pressão de radiação as fazia ricochetear — o crescimento esperou a matéria mandar. 16. A distância que o som ( $c/\sqrt3$ no fluido fóton–bárion) percorreu até a recombinação — o horizonte sonoro, uma régua acústica enterrada no céu. 17. O ângulo bate com a geometria de um universo plano com cerca de um por cento: retas paralelas, cosmicamente, seguem paralelas. 18. Monopolo: o começo quente. Dipolo: os nossos $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Ondulações: a origem da estrutura e a geometria do espaço — cada casa decimal, uma descoberta. 19. Era igual em toda direção, de dia e de noite, no verão e no inverno, sem pombos: nada local, galáctico ou instrumental é tão isotrópico — só o próprio céu. 20. Um chiado em todo aparelho fora de sintonia: o Big Bang esteve na televisão o tempo todo. 21. Os elétrons quentes dos aglomerados chutam por Compton os fótons da CMB para cima em frequência: abaixo do cruzamento, o aglomerado remove fótons — uma silhueta cuja profundidade independe da distância, deixando os levantamentos achar aglomerados a qualquer desvio para o vermelho. 22. As ondas gravitacionais primordiais torceriam a polarização da CMB em “modos B”: as ondas da relatividade lidas em luz espalhada por Thomson — dois fios deste livro atados. 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : cerca de $10^{16}$ fótons do Big Bang atravessam você por segundo, sem que você sinta. 24. É um referencial escolhido pelo conteúdo (aquele em que a radiação é isotrópica), e não pelas leis: a relatividade proíbe apenas referenciais preferidos pelas leis — mover-se através da CMB é detectável; mover-se através do espaço-tempo, não. 25. Uma curva de Planck a $2.725\,\mathrm{K}$ em toda linha de visada — $411$ fótons por centímetro cúbico, $10^9$ por bárion, ondulações em $10^{-5}$ : o corpo negro da física estatística, promovido a documento fundador da cosmologia.