Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

5Dinâmica relativística

Em 1964, William Bertozzi filmou elétrons disparados por um acelerador linear: cada pulso recebia uma energia medida, e sua velocidade era cronometrada ao longo de $8.4\,\mathrm{m}$ de voo. Newton previa que elétrons de $15\,\mathrm{MeV}$ deveriam voar a oito vezes a velocidade da luz; o cronômetro dizia $0.9999c$ e se recusava a ir além, por mais forte que se empurrassem os elétrons. A cinemática nos disse, no capítulo anterior, que $c$ é um limite; a dinâmica deve agora explicar o que acontece com o empurrão — para onde vai o trabalho quando a velocidade não cresce mais. A resposta reorganiza a mecânica em torno de um novo momento e de uma nova energia, unidos na equação mais famosa da física: a energia armazenada é massa, a massa é energia residente, $E = mc^2$ . Este capítulo constrói a dinâmica e depois a põe a trabalhar onde ela vive todo dia — decaimentos radioativos, colisões de partículas e os aceleradores que transformam movimento em matéria nova.

5.1 Momento e energia, reconstruídos

Observação 5.1 (Por que $m\vect v$ teve de sair)

O momento clássico $m\vect v$ se conserva em todo referencial se as velocidades se transformarem à maneira de Galileu. Elas não se transformam assim (Proposição 4.10): uma colisão que conserva $\sum m\vect v$ num referencial deixa de conservá-lo em outro, de modo que o momento antigo não pode ser uma lei da natureza — no máximo, a sombra de uma, a baixas velocidades. O conserto é medir a velocidade com o relógio próprio da partícula: $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ se transforma de modo limpo, e $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ acaba por se conservar em todos os referenciais de uma vez.

Definição 5.2 (Momento e energia relativísticos)

Uma partícula de massa $m$ e velocidade $\vect v$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) carrega o momento e a energia

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

Em repouso, $E_0 = mc^2$ : a energia de repouso. A energia cinética é o que o movimento acrescenta, $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ , que para $v \ll c$ se reduz ao familiar $\tfrac12 mv^2$ (expanda $\gamma$ ). Em todo processo isolado, o $\vect p$ total e a $E$ total — energias de repouso incluídas — se conservam.

Teorema 5.3 (A relação energia–momento)

Para qualquer partícula,

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

a combinação $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ tem o mesmo valor em todo referencial — ela é, para a energia e o momento, o que o intervalo é para o tempo e o espaço. Dois regimes: a baixa velocidade, $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ; a alta energia ( $E \gg mc^2$ ), $E \approx pc$ e $v \to c$ : empurrar mais forte acrescenta energia e momento, e quase nenhuma velocidade.

Demonstração. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ; e $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . A invariância de referencial decorre de $m$ e $c$ serem independentes do referencial. ∎

Proposição 5.4 (Partículas sem massa)

Uma partícula de massa nula tem $E = pc$ e se move exatamente a $c$ em todo referencial; não pode ser desacelerada, apenas desviada para o vermelho. O fóton é o caso padrão: $E = h\nu$ e $p = h\nu/c = h/\lambda$ — as relações de Planck–Einstein do volume do primeiro ano, vistas agora como o canto $m = 0$ da mecânica.

Demonstração. Faça $m = 0$ no Teorema 5.3: $E = pc$ e $v = pc^2/E = c$ . ∎

À esquerda: o experimento da “velocidade limite” de Bertozzi — as velocidades medidas dos elétrons (pontos) seguem a curva relativística e saturam em c, enquanto a reta de Newton passa adiante. À direita: a hipérbole energia–momento; seu deslocamento em p = 0 é a energia de repouso, e sua assíntota é o E = pc do fóton. — À esquerda: o experimento da “velocidade limite” de Bertozzi — as velocidades medidas dos elétrons (pontos) seguem a curva relativística e saturam em $c$ , enquanto a reta de Newton passa adiante. À direita: a hipérbole energia–momento; seu deslocamento em $p = 0$ é a energia de repouso, e sua assíntota é o $E = pc$ do fóton.

Exemplo 5.5 (Ordens de grandeza)

A física de partículas conta a energia em elétron-volts e as massas em $\mathrm{MeV}/c^2$ : elétron $0.511$ , próton $938.3$ , múon $105.7$ , píon $139.6$ . Um elétron de energia cinética $1\,\mathrm{MeV}$ tem $\gamma = 2.96$ e $v = 0.94c$ — já plenamente relativístico, e é por isso que a eletrônica permanece clássica ( $\mathrm{eV}$ ) e a física nuclear não ( $\mathrm{MeV}$ ). Um próton de $6.8\,\mathrm{TeV}$ do LHC tem $\gamma = 7250$ e fica atrás de um fóton por apenas $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

5.2 A massa é energia residente

Teorema 5.6 (Equivalência massa–energia)

A massa de um corpo é a energia total do seu conteúdo, dividida por $c^2$ , medida no referencial em que ele repousa: aqueça um corpo, dê corda à sua mola, excite seus átomos, e ele pesa mais de $\Delta E/c^2$ ; ligue suas partes entre si e ele pesa menos, da energia de ligação sobre $c^2$ — o defeito de massa. Reciprocamente, a energia de repouso pode ser liberada: sempre que as massas finais somam menos que as iniciais, a diferença $\Delta m\,c^2$ emerge como energia cinética ou radiação.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 5.7 (O balanço de $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : um grama de diferença de massa são $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ , a energia de uma cidade pequena por um dia. As ligações químicas (alguns eV por molécula) deslocam as massas em partes em $10^{10}$ — para sempre impesáveis, e é por isso que a química nunca percebeu. A ligação nuclear as desloca em quase $1\%$ : o hélio pesa $0.7\%$ menos que seus quatro ingredientes de hidrogênio, e essa fração que falta, escoando do Sol como luz, lhe custa $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ a cada segundo — quatro milhões de toneladas de sol. A aniquilação acerta a conta inteira: um elétron que encontra um pósitron nada deixa senão dois fótons de $511\,\mathrm{keV}$ cada, o sinal com que os tomógrafos PET observam um cérebro vivo.

Observação 5.8 (O que significa “conversão”)

Nada material “se transforma” em energia: a energia total esteve conservada o tempo todo. O que muda é a sua residência — da energia de repouso, que pesa, para a energia cinética e a radiação, que voam. O enunciado profundo de $E = mc^2$ é que a própria inércia é um conteúdo de energia: uma caixa de gás quente resiste mais à aceleração que a mesma caixa fria.

5.3 Colisões e decaimentos

Definição 5.9 (Quadrimomento e massa invariante)

Reúna a energia e o momento de uma partícula em seu quadrimomento $P = (E/c, \vect p)$ . Para um sistema de partículas, some componente a componente: $E_{\text{tot}} = \sum E_i$ , $\vect p_{\text{tot}} = \sum\vect p_i$ . A massa invariante $M$ do sistema é definida por

M^2c^4 = E_{\text{tot}}^2 - \|\vect p_{\text{tot}}\|^2c^2 :

o mesmo número em todo referencial, igual à energia total (dividida por $c^2$ ) no referencial do centro de momento, onde $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ . Note que $M$ excede a soma das massas das partes sempre que estas se movem umas em relação às outras — dois fótons que se afastam têm $M > 0$ , embora nenhum deles tenha massa.

Método 5.10 (Resolver uma colisão relativística)

(1) Escreva a conservação do quadrimomento: $E$ e $\vect p$ juntos, nunca um só. (2) Calcule o invariante $E^2 - p^2c^2$ do conjunto que for conveniente — ele pode ser avaliado no referencial mais fácil e usado em qualquer outro. (3) Limiares: uma reação é possível quando a massa invariante do estado inicial alcança a soma das massas de repouso do estado final. (4) Decaimentos em repouso: os momentos dos produtos são opostos e iguais; as energias seguem só das massas. (5) Só no fim, se for pedido, converta em velocidades por $v = pc^2/E$ .

Exemplo 5.11 (A assinatura do píon)

Um píon carregado em repouso decai, $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (com o neutrino efetivamente sem massa). A conservação do momento põe os produtos em sentidos opostos com $p$ igual; a conservação da energia se lê $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . Resolvendo:

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

de modo que todo múon vindo de um píon que decai em repouso nasce com exatamente $4.1\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética — uma linha monoenergética, cuja observação (Powell, 1947) foi o modo como a massa do píon foi pesada pela primeira vez. Os decaimentos de dois corpos sempre produzem linhas assim; os de três corpos as espalham em espectros, que foi precisamente como se suspeitou pela primeira vez do neutrino no decaimento nuclear $\beta$ .

Proposição 5.12 (Limiares: a tirania do alvo fixo)

Para criar novas partículas, só a energia do centro de momento, $Mc^2$ , está disponível. Um feixe de energia $E$ que atinge um alvo de massa $m_{\text{t}}$ em repouso fornece

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

a energia útil só cresce como $\sqrt E$ — o resto se desperdiça empurrando os destroços para a frente. Dois feixes idênticos que colidem de frente fornecem $Mc^2 = 2E$ : tudo aproveitável. Essa única fórmula é a razão de as máquinas de fronteira serem colisores (Problema 5.1).

Demonstração. Avalie $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ no laboratório: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ , com $p$ o momento do feixe; expanda e use $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . Para o colisor, $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ e $Mc^2 = E_{\text{tot}}$ . ∎

Fazer matéria a partir de movimento: num alvo fixo, a conservação do momento obriga os produtos a continuar voando, e a energia útil do centro de momento só cresce como √ E; numa colisão frontal, ela vale os 2E inteiros. — Fazer matéria a partir de movimento: num alvo fixo, a conservação do momento obriga os produtos a continuar voando, e a energia útil do centro de momento só cresce como $\sqrt E$ ; numa colisão frontal, ela vale os $2E$ inteiros.

5.4 A força e as máquinas

Proposição 5.13 (Equação de movimento relativística)

A lei de Newton sobrevive na forma

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

Um campo magnético, sempre perpendicular a $\vect v$ , não altera energia alguma e curva a trajetória num círculo de raio

r = \frac{p}{qB}

— a mesma fórmula do volume do primeiro ano, com o $p$ relativístico. Mas a frequência de circulação $qB/\gamma m$ agora cai à medida que a partícula ganha energia: o empurrão de frequência fixa do cíclotron sai do compasso na escala do MeV, e as máquinas de alta energia — os síncrotrons — em vez disso elevam seu campo e sua frequência em sincronia com $\gamma$ , mantendo o feixe num único anel.

Demonstração parcial. A lei da força é a definição de dinâmica coerente com o novo momento ( $\dd E/\dd t$ decorre de $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). Quanto ao círculo: $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ com $|\vect p|$ constante significa que o vetor momento gira à taxa $qvB/p$ , de modo que o raio vale $v/(qvB/p) = p/qB$ . ∎

Exemplo 5.14 (Ler o LHC como um exercício)

Prótons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ em dipolos de $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : $p \approx E/c$ (ultrarrelativístico), logo $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — e, de fato, o raio de curvatura magnética do anel é $2.8\,\mathrm{km}$ , sendo os $27\,\mathrm{km}$ de circunferência quase todos de ímãs. As colisões frontais fornecem $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ; alcançar isso num alvo fixo exigiria um feixe de $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ — cem vezes o alcance de qualquer máquina já construída. Foi a fórmula do colisor, e não ímãs mais fortes, que comprou a fronteira moderna de energia.

Partículas carregadas atravessando uma câmara de nuvens. Traços como estes — que se enrolam em campos magnéticos e aparecem aos pares — transformaram E = mc2 de fórmula em contabilidade diária: o pósitron foi descoberto numa fotografia assim. — Partículas carregadas atravessando uma câmara de nuvens. Traços como estes — que se enrolam em campos magnéticos e aparecem aos pares — transformaram $E = mc^2$ de fórmula em contabilidade diária: o pósitron foi descoberto numa fotografia assim.

5.5 Exercícios

Exercício 5.1 ★

Um elétron ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) se move a $0.99c$ . Calcule $\gamma$ , seu momento em $\mathrm{MeV}/c$ e suas energias total e cinética. As mesmas perguntas para um próton ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) de energia cinética $1\,\mathrm{GeV}$ .

Solução

Solução de Exercício 5.1.

Elétron: $\gamma = 7.09$ ; $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ , logo $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ ; $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ , $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . Próton: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ , $\gamma = 2.07$ , $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = pc/E = 0.875$ .

Exercício 5.2 ★

(a) Quanta energia dorme num grama de matéria? (b) A explosão de Hiroshima liberou cerca de $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ : que diferença de massa é essa? (c) O Sol irradia $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ : quanta massa ele perde por segundo, e que fração de seus $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ em dez bilhões de anos? (d) A bateria do seu telefone armazena $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : de quanto um telefone carregado é mais pesado?

Solução

Solução de Exercício 5.2.

(a) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (b) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — a bomba converteu menos de um grama. (c) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; em $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ , cerca de $0.07\%$ do Sol. (d) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — real e para sempre impesável.

Exercício 5.3 ★

(a) Que momento o feixe de um ponteiro laser de $5\,\mathrm{mW}$ carrega por segundo, e que força o ponteiro sente? (b) Que força a luz do Sol ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) exerce sobre uma vela solar perfeitamente refletora de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ? (c) A partir do repouso, com que velocidade uma nave-vela de $10\,\mathrm{kg}$ se move depois de um mês? (d) Por que a cauda de poeira de um cometa aponta para longe do Sol?

Solução

Solução de Exercício 5.3.

(a) $p = P/c$ por segundo: força de recuo $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ . (b) A reflexão dobra a transferência: $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (c) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; após $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lenta no começo, mas o motor nunca fica sem combustível. (d) O momento da luz solar (com o vento solar) empurra a poeira continuamente para fora: a cauda escoa para longe do Sol, e não atrás do cometa.

Exercício 5.4 ★

Prática com unidades. (a) Mostre que $\mathrm{MeV}/c^2$ é uma unidade de massa e converta a massa do elétron em quilogramas. (b) Quanto vale $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ em $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ? (c) O quadrado de uma massa invariante resulta em $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (em unidades com $c = 1$ ): que energia de centro de momento é essa? (d) Por que os físicos de partículas fazem $c = 1$ , e o que um leitor precisa reinserir para obter números no SI?

Solução

Solução de Exercício 5.4.

(a) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (b) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ de energia de centro de momento. (d) Com $c = 1$ , energia, momento e massa compartilham uma só unidade e toda fórmula se livra dos seus $c$ ; para voltar ao SI, reinsira a única potência de $c$ que acerta as dimensões.

Exercício 5.5 ★★

Os elétrons de Bertozzi tinham energias cinéticas de $0.5$ , $1$ , $4.5$ e $15\,\mathrm{MeV}$ . (a) Calcule a previsão de Newton $v^2 = 2E_k/m$ para cada uma, em unidades de $c^2$ . (b) Calcule o $v^2/c^2$ relativístico. (c) O tempo de voo dele sobre $8.4\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{MeV}$ : o que marcou o relógio, e o que Newton teria previsto? (d) A energia dos elétrons também foi medida calorimetricamente — pelo calor no impacto: por que esse passo era o verdadeiro ponto do experimento?

Solução

Solução de Exercício 5.5.

(a) $2E_k/mc^2$ : $1.96$ , $3.9$ , $17.6$ , $59$ — absurdos a partir do primeiro. (b) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : $0.74$ , $0.89$ , $0.990$ , $0.9989$ . (c) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ; os $7.7c$ de Newton teriam dado $3.7\,\mathrm{ns}$ . (d) O calorímetro provou que os elétrons de fato levavam os $15\,\mathrm{MeV}$ inteiros até o alvo: a energia estava toda lá e, ainda assim, a velocidade havia parado de crescer — o trabalho passa a comprar momento e energia, não velocidade.

Exercício 5.6 ★★

O píon carregado decai em repouso: $\pi^+ \to \mu^+\nu$ , $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ , $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ , $m_\nu \approx 0$ . (a) Mostre que $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ e avalie-o. (b) A energia cinética e a velocidade do múon. (c) A energia do neutrino. (d) Em voo a $\gamma_\pi = 50$ , quais são as energias máxima e mínima do múon de decaimento no laboratório (decaimento para a frente e para trás)?

Solução

Solução de Exercício 5.6.

(a) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ; isole a raiz e eleve ao quadrado: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (b) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (c) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (d) Fazendo o impulso de Lorentz: $E_{\text{lab}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ com $\beta \approx 1$ : entre $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ e $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

Exercício 5.7 ★★

Massa invariante em ação. (a) Dois fótons de $200\,\mathrm{MeV}$ cada voam a $60^\circ$ um do outro: calcule a massa invariante do par. (b) Um píon neutro ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) decai em dois fótons: qual é a massa invariante do par de fótons, em qualquer referencial? (c) Explique como um experimento “descobre” uma partícula na forma de uma protuberância na distribuição de massa invariante de seus produtos de decaimento. (d) Dois fótons de energias iguais voam exatamente paralelos: massa invariante? O que isso diz sobre o referencial de repouso de um feixe de luz?

Solução

Solução de Exercício 5.7.

(a) Para dois quanta sem massa, $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (b) Exatamente $m_{\pi^0}$ — a massa invariante é a massa da partícula, em qualquer referencial. (c) Calcule $M$ para cada par de fótons do evento: os pares aleatórios se espalham suavemente, mas as verdadeiras filhas de uma partícula se acumulam na massa dela — a protuberância. (d) $\theta = 0$ : $M = 0$ ; um feixe paralelo de luz não tem referencial de repouso — ele se move a $c$ como um todo, como cada um de seus fótons.

Exercício 5.8 ★★

Contabilidade do LHC (prótons de $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (a) $\gamma$ e o déficit de velocidade $c - v$ (use $c - v \approx c/2\gamma^2$ ). (b) A frequência de revolução no anel de $27\,\mathrm{km}$ e o número de voltas por segundo. (c) A energia armazenada num feixe de $3 \times 10^{14}$ prótons, em quilogramas de TNT ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ). (d) O equivalente em massa da energia cinética dos dois feixes, em microgramas — matéria prestes a ser feita.

Solução

Solução de Exercício 5.8.

(a) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ; $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : onze mil voltas por segundo. (c) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ de TNT — num feixe fino como um fio de cabelo. (d) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : o estoque de trabalho da matéria por vir.

Exercício 5.9 ★★

Fótons que colidem. (a) Mostre que um único fóton no vácuo não pode decair num par elétron–pósitron, por mais energético que seja (use o invariante). (b) Contra um segundo fóton de energia $\epsilon$ , de frente, mostre que a criação de pares exige $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Um fóton de $511\,\mathrm{keV}$ precisa de que parceiro? E um raio X de $50\,\mathrm{keV}$ ? (d) O universo está preenchido pela luz das estrelas e pela radiação cósmica de fundo em micro-ondas: o que (b) prevê para o alcance dos raios $\gamma$ de TeV pelo espaço intergaláctico?

Solução

Solução de Exercício 5.9.

(a) A massa invariante de um fóton é $0$ ; a de um par $e^+e^-$ é ao menos $2m_{\text{e}}c^2$ . O invariante não pode mudar num decaimento isolado: proibido. (Equivalentemente: em nenhum referencial o momento se equilibra.) (b) De frente, $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ; a criação de pares exige $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ , isto é, $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (c) Outro fóton de $511\,\mathrm{keV}$ ; para $50\,\mathrm{keV}$ , um parceiro de $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (d) Um fóton de TeV encontra o limiar de $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ na luz estelar comum: o próprio céu absorve os raios $\gamma$ de TeV ao longo de distâncias cosmológicas — o universo não é transparente em todas as energias.

Exercício 5.10 ★★★

Compton, por quadrimomentos. Um fóton de comprimento de onda $\lambda$ atinge um elétron em repouso e é espalhado no ângulo $\theta$ . (a) Escreva a conservação do quadrimomento e isole o invariante do elétron final. (b) Deduza

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(c) Avalie $h/m_{\text{e}}c$ e o desvio máximo; por que o efeito é invisível com a luz visível, mas decisivo para os raios X? (d) O que a medida de Compton, em 1923, estabeleceu sobre a luz que o efeito fotoelétrico não estabelecera?

Solução

Solução de Exercício 5.10.

(a) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ; eleve ambos os lados ao quadrado (invariantes): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (b) Com $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ , $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ e $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ : $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ , o que em comprimentos de onda ( $E = hc/\lambda$ ) é o desvio enunciado. (c) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ , no máximo $4.9\,\mathrm{pm}$ : uma parte em $10^5$ da luz visível (invisível), vários por cento de um raio X de $100\,\mathrm{pm}$ (medido). (d) Que um fóton colide como uma bola de bilhar — carregando um momento $h/\lambda$ trocado em eventos individuais, e não apenas energia em pedaços.

Exercício 5.11 ★★★

O fim do espectro dos raios cósmicos. O universo se banha em fótons de micro-ondas de energia típica $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . Um próton de energia $E$ que atinge um deles de frente pode ser excitado à ressonância $\Delta$ ( $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ ), perdendo energia a cada vez. (a) Mostre que a condição de limiar é aproximadamente $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ . (b) Calcule o $E$ de limiar. (c) Acima dele, o universo é opaco aos prótons além de uns $100\,\mathrm{Mly}$ : o que isso prevê para o espectro observado dos raios cósmicos (o corte de Greisen–Zatsepin–Kuzmin)? (d) Já se registraram raios cósmicos de $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ — as partículas “Oh-My-God”: o que a existência delas exige de suas fontes?

Solução

Solução de Exercício 5.11.

(a) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ de frente (com o próton ultrarrelativístico); limiar em $M = m_\Delta$ . (b) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ para o fóton médio — a cauda térmica da radiação de fundo em micro-ondas leva o corte efetivo a $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (c) Os prótons acima do corte perdem energia para o $\Delta$ em $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : o espectro deveria terminar perto de $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ para fontes distantes — a supressão GZK observada. (d) Suas fontes precisam ser, ao mesmo tempo, aceleradores extraordinários e cosmicamente próximas — dentro do nosso superaglomerado — e isso é parte da razão de sua origem ainda ser caçada.

Exercício 5.12 ★★★

O foguete de fótons. Um foguete de massa inicial $m_{\text{i}}$ emite seu jato de exaustão como um feixe de luz colimado e alcança a velocidade $\beta c$ . (a) Conservando energia e momento entre o começo e o fim, mostre que

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

a exponencial da rapidez — a equação de Tsiolkovski relativística com o melhor jato possível. (b) Qual a razão de massas para alcançar $0.9c$ ? E para alcançar $0.9c$ e parar no destino? (c) O feixe tem de ser produzido de algum modo: com aniquilação matéria–antimatéria de eficiência perfeita, quantos quilogramas de antimatéria por quilograma de carga útil para a viagem de ida a $0.9c$ ? (d) A produção mundial de antiprótons é de nanogramas por ano: conclua, numa frase, sobre os foguetes de fótons.

Solução

Solução de Exercício 5.12.

(a) Energia: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ; momento: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . Elimine $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (b) $\sqrt{19} = 4.4$ ; acelerar e frear eleva isso ao quadrado: $19$ . (c) A massa consumida $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ tem de ser combustível aniquilado, metade dele antimatéria: $1.7\,\mathrm{kg}$ de antimatéria por quilograma entregue (só ida, sem frenagem). (d) Com nanogramas por ano de produção mundial, os foguetes de fótons continuam sendo aritmética, não engenharia.

A descoberta da antimatéria (Carl D. Anderson, 1932, domínio público): um único pósitron subindo pela placa de chumbo da câmara de nuvens, curvando-se no sentido errado para um elétron e apertado demais para um próton — o balanço de E = mc2 flagrado correndo ao contrário. — A descoberta da antimatéria (Carl D. Anderson, 1932, domínio público): um único pósitron subindo pela placa de chumbo da câmara de nuvens, curvando-se no sentido errado para um elétron e apertado demais para um próton — o balanço de $E = mc^2$ flagrado correndo ao contrário.

5.6 Problema: Fabricar matéria — o antipróton e o Bevatron

Problema 5.1

Problema de fim de semana — como a conservação do momento pôs preço no antimundo

As equações de Dirac exigiam, desde 1931, que o próton tivesse um gêmeo espelhado de carga oposta. Fabricar um significava comprar sua energia de repouso com energia de feixe — e a conservação do momento fixou o preço. Este problema calcula esse preço, projeta a máquina que o pagou e acompanha a descoberta de 1955. Dados: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ; a carga e o número bariônico (prótons e nêutrons $+1$ , antiprótons $-1$ ) se conservam em toda reação.

Parte I — O ferramental do quadrimomento.

Para uma partícula, mostre que $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ a partir das definições de $E$ e $\vect p$ .
Para um sistema, por que $E_{\text{tot}}^2 - p_{\text{tot}}^2c^2$ é o mesmo em todos os referenciais, e a que ele é igual no referencial do centro de momento?
Um feixe de prótons de energia $E$ atinge um próton em repouso: mostre que $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
Verifique os dois limites: a baixa energia, $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ; a alta energia, $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — a lei da raiz quadrada.
Uma reação só é permitida se $Mc^2$ alcançar a soma das massas de repouso dos produtos, com todos os produtos em repouso no referencial do centro de momento no limiar: justifique esta última cláusula.
Por que a energia cinética dos produtos no laboratório jamais pode ser recuperada para a criação de partículas num alvo fixo?

Parte II — O preço do antipróton.

Em colisões $p + p$ , a reação mais barata que produz um antipróton $\bar p$ tem de produzir também um próton extra: escreva-a e justifique com a carga e o número bariônico.
Mostre que o limiar exige $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
Deduza a energia de feixe necessária $E = 7m_{\text{p}}c^2$ e a energia cinética $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ; avalie $T$ .
No limiar, que fração da energia cinética do feixe de fato se tornou massa de repouso nova (dela, $2m_{\text{p}}c^2$ )? Onde está o resto?
Num colisor frontal $p$ – $p$ , que energia cinética por feixe a mesma reação exigiria? Compare os dois projetos.
Em 1954 não existia colisor algum (os feixes eram finos demais para se acertarem): que fato prático impôs a escolha do alvo fixo, e quanto isso custou em energia de feixe?

Parte III — Projetar o Bevatron. A máquina construída em Berkeley alcançou $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — confortavelmente acima do limiar — com campos dipolares de $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

Calcule a energia total e o momento do feixe na energia máxima.
Calcule o raio de curvatura $r = p/qB$ e compare com os $15.2\,\mathrm{m}$ da máquina.
Calcule a velocidade do próton e a frequência de revolução no anel de $2\pi r$ .
Na injeção, os prótons chegam com $10\,\mathrm{MeV}$ de energia cinética: calcule sua velocidade e explique por que a frequência de aceleração tinha de varrer durante cada ciclo (que duas grandezas mudam quando $E$ cresce?).
Com cerca de $1.5\,\mathrm{kV}$ ganhos por volta, quantas voltas e quanto tempo dura um ciclo de aceleração?
O nome “Bevatron” veio de BeV, bilhões de elétron-volts: diga numa linha que física fixou a cifra de projeto de $6$ e pouco BeV.

Parte IV — A descoberta, 1955.

Um ímã curva cada candidato num círculo: explique por que isso seleciona as partículas por momento ( $r = p/qB$ ), e não por energia ou velocidade — e por que um feixe selecionado em momento ainda mistura espécies.
O feixe sobre um alvo de cobre produzia torrentes de píons negativos ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ), entre os quais se escondiam alguns antiprótons. O espectrômetro selecionava negativos de momento $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : calcule a velocidade de um antipróton e a de um píon nesse momento.
Ao longo do percurso de voo de $12\,\mathrm{m}$ , calcule os dois tempos de voo: de que resolução temporal a descoberta precisava?
Uma segunda assinatura, independente, usava contadores Cherenkov, que disparam apenas acima de um limiar de velocidade: qual partícula foi arranjada para dispará-los, e por que a redundância importa para uma descoberta?
Chamberlain e Segrè contaram cerca de um antipróton para cada $44\,000$ píons: por que o argumento do limiar garantia que a taxa seria minúscula mesmo acima do limiar?
Um antipróton acaba por encontrar um próton e se aniquila: quanta energia é liberada por evento, e tipicamente sob que forma?
Resuma o resultado central: a conservação do quadrimomento pôs no antipróton o preço de $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ num alvo fixo; um síncrotron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ e $15\,\mathrm{m}$ o pagou, e o antimundo tornou-se fato de laboratório — o Prêmio Nobel de 1959.

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. $E_{\text{tot}}$ e $\vect p_{\text{tot}}$ se transformam como o $E$ e o $\vect p$ de uma só partícula (são somas), de modo que a mesma álgebra dá um invariante; onde $\vect p_{\text{tot}} = \vect 0$ ele é o quadrado da energia total: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ dá $M = 2m_{\text{p}}$ ; $E \gg m_{\text{p}}c^2$ dá $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. Qualquer movimento relativo dos produtos acrescenta energia cinética no referencial do centro de momento, acima das massas de repouso deles; o $Mc^2$ mínimo — o limiar — os deixa todos em repouso relativo. 6. O momento total no laboratório, $\vect p_{\text{tot}} \neq \vect 0$ , tem de sobreviver à colisão: os produtos estão condenados a se mover, e sua energia cinética fica trancada fora da fabricação de massa. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : carga $+2 \to +2$ ; número bariônico $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . Fabricar $\bar p$ sozinho, ou com menos que um bárion extra completo, viola uma das duas. 8. Quatro massas de próton em repouso relativo: $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : $E = 7m_{\text{p}}c^2$ , $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. Massa de repouso nova: $2m_{\text{p}}c^2$ num total de $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — um terço; os outros dois terços seguem voando como energia cinética dos produtos, protegidos pela conservação do momento. 11. De frente, $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ por feixe — seis vezes menos que o feixe de alvo fixo, e doze vezes menos de energia cinética total. 12. Os feixes dos anos 1950 eram tênues demais para colidir uns com os outros de modo útil; um alvo sólido oferece $10^{22}$ prótons por centímetro cúbico. O preço: $5.6\,\mathrm{GeV}$ em vez de $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ; $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — a máquina tal como foi construída. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ; órbita $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. A $10\,\mathrm{MeV}$ , $\beta = 0.145$ : $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . À medida que a energia sobe, a velocidade (e portanto $f$ ) e o momento (e portanto o campo necessário a raio fixo) mudam ambos: campo e radiofrequência têm de subir juntos — o truque que define o síncrotron. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ voltas; a uma frequência média da ordem do megahertz, um ciclo de aceleração da ordem de um a dois segundos. 18. O limiar do antipróton, $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ , mais margem: a contabilidade deste problema é literalmente aquilo para que a energia — e o nome — da máquina foram escolhidos. 19. $r = p/qB$ não contém massa alguma: o ímã curva igualmente momentos iguais, qualquer que seja a partícula — de modo que o feixe selecionado ainda mistura píons, káons e (raramente) antiprótons, todos a $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.79$ . $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ , $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ; $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : a diferença de $11\,\mathrm{ns}$ exigia cronometragem em nanossegundos — disponível, por pouco, em 1955. 22. Os contadores foram ajustados para disparar com os píons rápidos e ficar escuros para os antiprótons lentos (um veto de velocidade); com uma agulha de $1$ em $44000$ , só duas assinaturas independentes (tempo de voo e limiar Cherenkov) podiam excluir falsificações por coincidência. 23. Logo acima do limiar, os produtos nascem quase em repouso relativo: a reação quase não tem espaço de fases, ao passo que a produção de píons, muito acima do seu limiar, é copiosa — a raridade era garantida pela mesma cinemática que fixou o preço. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ por aniquilação, tipicamente em um punhado de píons que decaem adiante em fótons, múons e neutrinos. 25. A conservação do quadrimomento pôs no antipróton o preço de $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ num alvo fixo; o Bevatron de $6.2\,\mathrm{GeV}$ e $15.1\,\mathrm{m}$ o pagou; o tempo de voo e um veto Cherenkov acharam uma partícula do antimundo para cada $44000$ impostores — e o Prêmio Nobel de 1959 certificou o balanço.

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