26Física de partículas

Solução de Exercício 26.1.

(a) uud: $\tfrac23 + \tfrac23 - \tfrac13 = +1$; udd: $\tfrac23 - \tfrac13 - \tfrac13 = 0$. (b) $\tfrac23 + \tfrac13 = +1$ (o antidown carrega $+\tfrac13$). (c) $\pi^- = \bar{\text{u}}\text{d}$; $\Delta^{++} =$ uuu ($3\times\tfrac23 = +2$ — o estado cuja estatística ajudou a forçar a invenção da cor). (d) O campo de glúons esticado armazena energia $\propto$ comprimento; muito antes de um quark ficar livre, a energia armazenada supera $2m_{\text{q}}c^2$ e a corda estala num par novo: você arranca um méson, nunca um quark nu.

Solução de Exercício 26.2.

(a) Léptons: e$^-$, $\nu_\mu$, $\mu^-$; bárions: p, n; méson: $\pi^+$. (b) Só os hádrons: $\pi^+$, p, n. (c) Estáveis sozinhos: e$^-$, p e os neutrinos (o nêutron livre vive quinze minutos; o $\mu$ e o $\pi$ morrem em microssegundos ou menos). (d) Os neutros: $\nu_\mu$ e n.

Solução de Exercício 26.3.

(a) Permitido — decaimento $\beta^-$ padrão (o nêutron livre o faz, $T_{1/2} \approx 10\,\mathrm{min}$). (b) Proibido pela energia: os produtos pesam mais que o próton livre (dentro de um núcleo, a energia de ligação pode pagar, e o decaimento $\beta^+$ ligado acontece). (c) Proibido: número bariônico $1 \to 0$ (e número leptônico $0 \to -1$). (d) Proibido pelo número leptônico de família: a muonicidade sumiria e a eletronicidade apareceria — jamais observado, e caçado precisamente por isso.

Solução de Exercício 26.4.

(a) $6\times0.938 \approx 5.6\,\mathrm{GeV}$. (b) Energia cinética de $m_{\text{p}}c^2 \approx 0.94\,\mathrm{GeV}$ por feixe ($\sqrt s = 4m_{\text{p}}c^2$ de frente). (c) Cerca de $3:1$: a conservação do momento condena a maior parte da energia de alvo fixo a um movimento inútil dos destroços para a frente — os feixes frontais gastam tudo. (d) A máquina de 1955 foi projetada para vencer com folga mínima o limiar de $5.6\,\mathrm{GeV}$: os orçamentos de aceleradores são escritos em massa invariante, e o antipróton chegou no prazo.

Solução de Exercício 26.5.

(a) $c\tau = 660\,\mathrm{m}$. (b) Um alcance dilatado de ${\sim}15\,\mathrm{km}$ precisa de $\gamma \sim 23$: $E = \gamma m_\mu c^2 \sim 2.4\,\mathrm{GeV}$ — exatamente a escala cósmica. (c) No referencial dele, o múon vive os singelos $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ enquanto a atmosfera passa correndo, contraída a ${\sim}650\,\mathrm{m}$: mesma sobrevivência, outro livro-caixa. (d) Número bariônico: não há bárion leve o bastante, e o múon é um lépton; o decaimento dele tem de mudar sabor, o que só a força fraca faz — daí microssegundos senhoriais em vez de yoctossegundos de força forte.

Solução de Exercício 26.6.

(a) $\text{d} \to \text{u} + \text{e}^- + \bar\nu_{\text{e}}$: carga $-\tfrac13 = \tfrac23 - 1 + 0$; número bariônico $\tfrac13 = \tfrac13$; número de família eletrônica $0 = 1 - 1$. (b) Um decaimento de dois corpos fixa a energia do elétron; o contínuo observado significava ou que a conservação de energia falhava (Bohr chegou a considerar) ou que um terceiro corpo invisível dividia o orçamento — o neutrino de Pauli, detectado vinte e cinco anos depois. (c) $\hbar/m_{\text{W}}c = 197/80400 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{fm}$ — um milésimo de um próton. (d) Em baixas energias, a interação tem de vencer uma distância que o mediador pesado dela torna absurdamente curta, e por isso as amplitudes são minúsculas; perto de $100\,\mathrm{GeV}$ o W é acessível e a força “fraca” mostra a verdadeira força eletrofraca dela.

Solução de Exercício 26.7.

(a) A força forte conserva a estranheza, e por isso ela só consegue fazer o $+1$ e o $-1$ juntos: um káon com o híperon dele. (b) Treze ordens de grandeza lentos demais para a força forte: a força fraca, única quebradora de sabor, assina o atestado de óbito. (c) $10^{13}$: um segundo contra trezentos mil anos. (d) O nascimento copioso dizia “forte”; a morte relutante dizia “não forte” — só um novo número conservado, feito aos pares pela força forte e quebrado pela fraca, concilia os dois: a contabilidade foi a descoberta.

Solução de Exercício 26.8.

(a) No referencial de repouso do par, o momento total é nulo: um fóton nunca pode ter momento nulo, e dois de costas um para o outro podem — a conservação escreve a geometria do PET. (b) $E = mc^2 = 0.002\times(3\times10^8)^2 = 1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$: dois gramas de aniquilação superam um quilograma de urânio fissionado. (c) De isótopos $\beta^+$ feitos em cíclotron — o $^{18}$F, embutido em glicose: a própria química do corpo põe a fonte de pósitrons nas células mais famintas. (d) Um combustível que custa um milhão de vezes o que rende, e sem minas naturais: a antimatéria é uma calibração de detector e um motor de contador de histórias, não uma fonte de energia.

Solução de Exercício 26.9.

(a) O potencial de Higgs é um poço duplo (um chapéu mexicano): o ponto simétrico $\phi = 0$ é um cume, e o vácuo rolou para a borda — o estado fundamental do universo quebrou a própria simetria, exatamente como o ímã que escolhe o norte. (b) A escolha quebra só parte da simetria: a combinação que sobrevive é o eletromagnetismo, e por isso o mediador dele — o fóton — fica com massa nula, enquanto o W e o Z, mediadores das direções quebradas, comem a rigidez correspondente como massa. (c) A oscilação radial do parâmetro de ordem — no ímã, a flutuação de $|m|$ em torno do valor de equilíbrio dele perto de $T_{\text{c}}$. (d) Nos primeiros $10^{-11}$ segundos do universo (Capítulo 27): acima da temperatura eletrofraca, toda partícula era sem massa e as duas forças eram uma só.

Solução de Exercício 26.10.

(a) Cada $26.7\,\mathrm{MeV}$ $= 4.28 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}$ entrega dois neutrinos: fluxo $= 2\times1360/4.28\times10^{-12} \approx 6.4 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Por uma unha do polegar: $6\times10^{10}$ por segundo. Passagens de uma vida inteira pelo seu corpo de ${\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}$ e $0.3\,\mathrm{m}$ de espessura, ao longo de ${\sim}2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: cerca de $5\times10^{22}$, vezes $10^{-22}\,\mathrm{m}^{-1}\times0.3\,\mathrm{m}$: da ordem de um — um único neutrino solar tocará você na vida inteira. (c) Os $\nu_{\text{e}}$ que faltavam tinham oscilado em $\nu_\mu$ e $\nu_\tau$ no caminho; a oscilação exige diferenças de massa, e portanto os neutrinos têm massa — a primeira rachadura de laboratório no Modelo Padrão de neutrinos sem massa. (d) A montanha filtra todo o resto: só os neutrinos passam, e assim quilômetros de rocha transformam o céu mais barulhento no laboratório mais silencioso.

Solução de Exercício 26.11.

(a) $\gamma = 6.8\times10^{12}/9.38\times10^{8} \approx 7250$: $1 - v/c \approx 1/2\gamma^2 \approx 10^{-8}$ — três metros por segundo aquém da luz. (b) $\lambda \approx hc/E \approx 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{fm}$: trinta milésimos do raio de um próton — território de quarks. (c) $13.6\,\text{TeV}/938\,\text{MeV} \approx 14500$ massas de próton — se tudo isso fosse conversível. (d) A energia fixa, $\gamma_{\text{e}}/\gamma_{\text{p}} = m_{\text{p}}/m_{\text{e}} \approx 1836$, e assim as perdas do elétron são $1836^4 \sim 10^{13}$ piores: prótons para os anéis de força bruta, elétrons (limpos, pontuais) para a precisão em energia mais baixa.

Solução de Exercício 26.12.

(a) $3\times10^{20}\times1.6\times10^{-19} \approx 48\,\mathrm{J}$: uma bola de tênis sacada com força — num só próton. (b) $\gamma \approx 3\times10^{11}$; os $10^{5}$ anos-luz da Galáxia se contraem a ${\sim}10$ segundos-luz: ele atravessa a Via Láctea, pelo relógio dele, em segundos. (c) No referencial do próton, as micro-ondas mansas da CMB chegam desviadas para o azul, virando raios $\gamma$ energéticos o bastante para arrancar píons dele: acima do limiar, o próprio universo é um absorvedor, e prótons assim têm de ser locais. (d) Uma partícula dessas por quilômetro quadrado por século, de espécie desconhecida, apontada por ninguém: as $10^{9}$ colisões por segundo do LHC, de feixes conhecidos a energia conhecida, compram uma estatística e um controle que presente cósmico algum iguala.