Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

24Elétrons nos sólidos

O cobre conduz eletricidade um milhão de bilhões de bilhões de vezes melhor que o quartzo — a faixa mais larga de qualquer propriedade física, comandada por materiais que, de um jeito ou de outro, parecem blocos cinzentos. O andaime do capítulo anterior não explica nada disso; os elétrons despejados nele explicam tudo. Este capítulo percorre as três investidas do século sobre o problema, cada uma herdando os escombros da anterior: o fliperama clássico de Drude (1900), que acerta a lei de Ohm e erra escandalosamente a capacidade térmica; o gás de Fermi de Sommerfeld, que é o Capítulo 19 descontando o cheque dele; e a percepção de Bloch de que uma onda eletrônica numa rede periódica sofre reflexão de Bragg como qualquer outra onda — abrindo lacunas de banda que separam todos os sólidos em metais, isolantes e os filhos do meio, de lacuna estreita, os semicondutores, sobre os quais toda a era eletrônica se ergue. O capítulo termina dentro de um painel solar.

24.1 O metal de fliperama de Drude

Proposição 24.1 (A condutividade de Drude)

Trate os elétrons de valência de um metal como um gás clássico, de densidade $n$ , que ricocheteia em obstáculos a cada $\tau$ segundos. Um campo $\vect E$ acelera cada um entre as colisões; a velocidade de deriva média é $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ , minúscula ao lado do movimento térmico. A densidade de corrente $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}}$ obedece então à lei de Ohm localmente, $\vect j = \sigma\vect E$ , com

\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .

O $\sigma$ medido do cobre exige $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — e as duas glórias do modelo vêm daí: ele explica por que os resistores esquentam (o trabalho do campo é termalizado a cada colisão) e prevê a lei de Wiedemann–Franz, a de que $\kappa/\sigma T$ é a mesma constante para todos os metais — os elétrons carregam carga e calor (Exercício 24.5).

Demonstração. Entre as colisões, $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$ ; recomeçando do zero a cada colisão, a velocidade média adquirida num tempo médio $\tau$ é $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ . Então $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$ . ∎

O quadro de Drude: um elétron ricocheteia a 106\, m/ s, enquanto o campo superpõe uma deriva de frações de milímetro por segundo (). A lei de Ohm cai no colo; os fracassos do modelo ensinaram ainda mais. — O quadro de Drude: um elétron ricocheteia a $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , enquanto o campo superpõe uma deriva de frações de milímetro por segundo (Exercício 24.2). A lei de Ohm cai no colo; os fracassos do modelo ensinaram ainda mais.

Observação 24.2 (O resgate de Sommerfeld)

O gás de Drude deveria acrescentar $\tfrac32k_{\text{B}}$ por elétron à capacidade térmica de um metal; o experimento acha cem vezes menos. O Capítulo 19 já absolveu os elétrons: eles são um gás de Fermi degenerado, com $T_{\text{F}} \sim 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , e só a casca térmica a menos de $k_{\text{B}}T$ da superfície de Fermi pode responder — ao calor e ao espalhamento. A repetição de Drude por Sommerfeld com estatística de Fermi–Dirac guarda a fórmula da condutividade (com o $\tau$ agora o tempo de vida dos elétrons da superfície de Fermi, cujos $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ são $v_{\text{F}}$ , e não a velocidade térmica), conserta a capacidade térmica na fatia $T/T_{\text{F}}$ medida e até repara a constante numérica de Wiedemann–Franz. Um mistério sobrevive a todo modelo de elétrons livres: por que o quartzo não conduz nada.

24.2 Bloch: a rede fala

Teorema 24.3 (Estados de Bloch e lacunas de banda)

Num potencial periódico perfeito, os estados estacionários são ondas de Bloch $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ — ondas planas vestidas com a periodicidade $u_k$ da própria rede — que se propagam sem espalhamento: um cristal perfeito tem resistência nula, e a resistência real vem das imperfeições (vibrações, impurezas). Mas nem toda energia sobrevive. Em $k = \pi/a$ o comprimento de onda do elétron é $2a$ : a condição de Bragg na própria rede (o Teorema 23.6 fez a mesma descoberta para o som). As ondas refletida e incidente formam dois padrões estacionários — carga acumulada sobre os íons (energia menor) ou entre eles (maior) — e assim a parábola do elétron livre $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ se rasga: um intervalo de energias proibidas, a lacuna de banda $E_{\text{g}}$ , separa uma banda preenchida de estados permitidos da seguinte. A identidade eletrônica de um cristal é a escada de bandas e lacunas dele.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

O elétron quase livre. Longe da borda da zona, o elétron mal nota a rede; em k = π/a, a reflexão de Bragg dele mesmo parte a parábola e proíbe as energias da lacuna. As ondas sonoras fizeram exatamente isto no capítulo anterior — mesma rede, mesma interferência, novo inquilino. — O elétron quase livre. Longe da borda da zona, o elétron mal nota a rede; em $k = \pi/a$ , a reflexão de Bragg dele mesmo parte a parábola e proíbe as energias da lacuna. As ondas sonoras fizeram exatamente isto no capítulo anterior — mesma rede, mesma interferência, novo inquilino.

Definição 24.4 (Metais, isolantes, semicondutores)

Preencha as bandas com os elétrons do cristal, dois por estado (Capítulo 14), dos mais frios primeiro. Se a banda ocupada mais alta estiver parcialmente cheia, uma energia infinitesimal já desloca elétrons para um movimento líquido: um metal (sódio: um elétron de valência, meia banda; os metais divalentes conduzem por bandas que se sobrepõem). Se ela estiver exatamente cheia, com uma lacuna larga acima, empurrão pequeno algum rearranja o que quer que seja: um isolante (diamante, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ). Se a lacuna for pequena — $1.12\,\mathrm{eV}$ no silício — a agitação térmica iça alguns elétrons para o outro lado, cada um deixando embaixo uma lacuna móvel: um semicondutor, cuja contagem de portadores $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ dobra a cada poucos graus. Daí a grande divisão: os metais conduzem pior quando aquecidos (mais vibrações em que espalhar) e os semicondutores, melhor (exponencialmente mais portadores) — uma troca de sinal que identifica a classe de um material numa única medida.

O preenchimento das bandas decide tudo. Uma banda parcialmente cheia conduz; uma banda cheia sob uma lacuna larga não pode; uma lacuna estreita deixa a temperatura (ou a luz, ou a dopagem) negociar — toda a utilidade do semicondutor é a condutividade dele ser ajustável. — O preenchimento das bandas decide tudo. Uma banda parcialmente cheia conduz; uma banda cheia sob uma lacuna larga não pode; uma lacuna estreita deixa a temperatura (ou a luz, ou a dopagem) negociar — toda a utilidade do semicondutor é a condutividade dele ser *ajustável*.

24.3 Projetando a lacuna: dopagem e junção

Definição 24.5 (Dopagem)

Substitua um átomo de silício em um milhão por fósforo (cinco elétrons de valência): quatro ligações ficam satisfeitas e o quinto elétron, ligado por meros $45\,\mathrm{meV}$ (Exercício 24.10), está livre à temperatura ambiente. Esses doadores fazem um semicondutor tipo n, com condução por elétrons; o boro (três elétrons) é um aceitador, que agarra um elétron de ligação e libera uma lacuna móvel — um elétron que falta, que se move, responde a campos e carrega carga positiva tão genuinamente quanto uma bolha carrega empuxo: o tipo p. A dopagem faz a densidade de portadores — e portanto a condutividade — oscilar por seis ordens de grandeza à vontade: o botão que transforma areia em circuito.

Proposição 24.6 (A junção p–n)

Junte o tipo p ao tipo n. Os elétrons transbordam rumo às lacunas e as aniquilam perto da interface, expondo uma zona de depleção de dopantes ionizados fixos, cuja camada dupla constrói um campo interno — equilíbrio na tensão de barreira $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e) \ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx 0.7\,\mathrm{V}$ no silício. A junção então retifica: a polarização direta baixa a barreira e a corrente cresce como $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$ ; a polarização reversa a levanta e só flui uma fuga $I_0$ :

I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .

Essa assimetria é o diodo — e, nas variantes dele, o LED (os pares que se recombinam emitem fótons da energia da lacuna), a célula solar (os fótons da energia da lacuna criam pares que o campo de barreira varre para fora: Problema 24.1) e, dobrada em sanduíches, o transistor: o interruptor de que um chip moderno imprime centenas de bilhões.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

A lei do diodo. A tensão direta é paga exponencialmente; a tensão reversa só compra a fuga I_0. Uma junção retifica; duas fazem um transistor; um metro quadrado delas, ao sol, faz uma usina. — A lei do diodo. A tensão direta é paga exponencialmente; a tensão reversa só compra a fuga $I_0$ . Uma junção retifica; duas fazem um transistor; um metro quadrado delas, ao sol, faz uma usina.

Uma pastilha de silício acabada: centenas de chips, cada um com bilhões de junções, impressos num único cristal dopado — a teoria de bandas como a receita de manufatura mais consequente do século XX.

24.4 Exercícios

Exercício 24.1 ★

O cobre de Drude. $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , resistividade $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Calcule (a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho$ ; (b) o livre caminho médio usando a velocidade de Fermi $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) esse caminho em constantes de rede ( $a = 3.61\,\text{Å}$ ); (d) explique por que um voo tão longo já sugere que os próprios íons não fazem o espalhamento.

Solução

Solução de Exercício 24.1.

(a) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ . (b) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$ . (c) Cerca de 110 constantes de rede. (d) Um elétron que navega por uma centena de íons sem espalhar não pode estar ricocheteando nos próprios íons — a rede tem de ser transparente para ele, exatamente o que o teorema de Bloch (Teorema 24.3) prova mais tarde.

Exercício 24.2 ★

O caracol no fio. Um fio de cobre de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ carrega $10\,\mathrm{A}$ . (a) Calcule a velocidade de deriva. (b) Quanto tempo um elétron levaria para atravessar um cabo de abajur de $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Por que a lâmpada acende instantaneamente mesmo assim? (d) Compare $v_{\text{d}}$ com $v_{\text{F}}$ e comente o fliperama de Drude.

Solução

Solução de Exercício 24.2.

(a) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — menos de um milímetro por segundo. (b) Cerca de 23 minutos. (c) O campo se estabelece ao longo do fio quase à velocidade da luz e põe todo o mar de elétrons a derivar de uma vez: os marchadores são lentos, a ordem de marchar não é. (d) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : a condução é um viés imperceptível sobre um movimento quântico violento, não um escoamento clássico calmo.

Exercício 24.3 ★

Separando por bandas. Classifique, com a regra do preenchimento de bandas: (a) sódio (um elétron de valência); (b) magnésio (dois — e ainda assim um metal: o que as bandas dele têm de fazer?); (c) diamante ( $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ); (d) silício ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) — e diga, para cada um, o sinal de $\dd\rho/\dd T$ .

Solução

Solução de Exercício 24.3.

(a) Banda semipreenchida: metal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (b) Dois elétrons preencheriam exatamente a banda dele — o magnésio conduz porque a banda cheia dele se sobrepõe à próxima, vazia: metal, $\dd\rho/\dd T > 0$ . (c) Banda cheia, lacuna de $5.5\,\mathrm{eV}$ : isolante (formalmente $\dd\rho/\dd T < 0$ , mas essencialmente sem portadores para contar). (d) Semicondutor: $\dd\rho/\dd T < 0$ , a troca de sinal exponencial que denuncia a classe.

Exercício 24.4 ★

Lacunas e fótons. (a) Que comprimento de onda de fóton corresponde à lacuna do silício, e em que região espectral o silício fica transparente? (b) O mesmo para o diamante: por que ele é claro no visível? (c) Um LED de nitreto de gálio tem $E_{\text{g}} = 3.4\,\mathrm{eV}$ : que borda de cor isso fixa, e por que os LEDs azuis precisaram deste material? (d) Por que um LED vermelho morre escuro em vez de brilhar fracamente em branco quando sobrecarregado?

Solução

Solução de Exercício 24.4.

(a) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : o silício é transparente no infravermelho além disso — e é por isso que as câmeras infravermelhas podem ter lentes de silício. (b) $225\,\mathrm{nm}$ , no ultravioleta: fóton visível algum pode ser absorvido, e por isso o diamante é claro como água. (c) $365\,\mathrm{nm}$ : uma lacuna larga o bastante para o azul ( $2.8\,\mathrm{eV}$ ) existe nos nitretos e em quase mais nada prático — o LED azul esperou décadas pelo crescimento de materiais. (d) A lacuna dele fixa o fóton dele: sobrecarregar acrescenta calor, não largura de lacuna, e o diodo cozinha no escuro — a cor de um LED é uma constante do material, não um ajuste de brilho.

Exercício 24.5 ★★

Wiedemann–Franz. (a) A partir do $\kappa = 400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ e do $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ do cobre a $300\,\mathrm{K}$ , calcule $\kappa/\sigma T$ . (b) Compare com o valor de Sommerfeld $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 = 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (c) Explique em uma frase por que um só tipo de portador amarra as duas condutividades. (d) Panelas de cozinha e os cabos delas: use a lei para explicar as escolhas de material de uma cozinha.

Solução

Solução de Exercício 24.5.

(a) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ . (b) A dez por cento de $L$ . (c) Os mesmos elétrons da superfície de Fermi carregam a carga e o calor, e assim o tempo de espalhamento deles se cancela na razão. (d) A panela de aço conduz calor à comida porque os elétrons dela se movem; o cabo de madeira, isolante nos dois sentidos, mantém esses elétrons — e o calor — longe da sua mão.

Exercício 24.6 ★★

A absolvição da capacidade térmica. (a) Drude prevê $\tfrac32nk_{\text{B}}$ dos elétrons: com o $n$ do cobre, que fração isso acrescentaria ao $3nk_{\text{B}}$ da rede (um elétron de condução por átomo)? (b) O Capítulo 19 dá, em vez disso, $C_{\text{el}} \sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$ : avalie a supressão $T/T_{\text{F}}$ a $300\,\mathrm{K}$ ( $T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (c) Por que o termo eletrônico mesmo assim vence nas temperaturas do hélio líquido (lembre o $T^3$ da rede)? (d) Que medida, traçada como $C/T$ contra $T^2$ , desembaraça os dois?

Solução

Solução de Exercício 24.6.

(a) Cinquenta por cento a mais — flagrantemente ausente do experimento. (b) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : o termo eletrônico fica estrangulado abaixo de um por cento. (c) O $T^3$ da rede desaba mais depressa que o $T$ dos elétrons: abaixo de alguns kelvins, os elétrons “desprezíveis” são tudo o que resta. (d) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : o intercepto $\gamma$ pesa os elétrons, e a inclinação $\beta$ , a rede — um gráfico, os dois inquilinos.

Exercício 24.7 ★★

A superfície de Fermi encontra a zona. (a) Para o cobre, calcule o comprimento de onda de Fermi $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ com $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$ . (b) Compare com $2a$ : quão perto a superfície de Fermi está da condição de Bragg? (c) Explique fisicamente por que as duas ondas estacionárias em $k = \pi/a$ (carga sobre os íons contra carga entre eles) têm de diferir em energia. (d) Que fato experimental do Exercício 24.1 o teorema do não espalhamento de Bloch finalmente explica?

Solução

Solução de Exercício 24.7.

(a) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$ . (b) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : a mesma ordem — a superfície de Fermi do cobre chega perto da fronteira da zona, e a física que abre a lacuna acontece nas energias que importam. (c) Uma onda estacionária acumula a carga dela sobre os íons positivos (energia eletrostática menor), e a outra, entre eles (maior): mesmo comprimento de onda, duas energias — a lacuna. (d) O caminho livre de 110 constantes de rede: as ondas de Bloch não espalham numa rede perfeita, e assim só sobram vibrações e impurezas para resistir.

Exercício 24.8 ★★

O termômetro exponencial. O silício intrínseco tem $n_{\text{i}} \propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ . (a) Calcule a razão de densidades de portadores entre $400\,\mathrm{K}$ e $300\,\mathrm{K}$ . (b) Esboce daí a resistência de um termistor contra a temperatura e contraste-a com a de um fio de platina. (c) Por que o fator 2 no expoente (o que é criado aos pares?). (d) Estime a temperatura em que a eletrônica de silício falha porque os portadores intrínsecos afogam uma dopagem de $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ ( $n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ).

Solução

Solução de Exercício 24.8.

(a) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$ . (b) A resistência do termistor despenca exponencialmente — uma curva íngreme e sensível; a da platina sobe suave e linearmente (mais fônons). Um é um termômetro por contagem de portadores; o outro, por espalhamento. (c) Os portadores nascem em pares elétron–lacuna, e o equilíbrio $np = n_{\text{i}}^2$ reparte o custo da lacuna entre os dois — daí o $E_{\text{g}}/2$ . (d) O $n_{\text{i}}$ chega a $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ perto de $760\,\mathrm{K}$ : a dopagem se afoga e o circuito esquece o projeto dele. Os dispositivos reais desistem antes — as fugas reversas deles, que dobram a cada dez kelvins, se comportam mal primeiro.

Exercício 24.9 ★★

Aritmética da dopagem. O silício tem $5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ átomos. (a) Um fósforo por milhão de átomos de silício: que densidade de portadores, e que razão com $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ ? (b) Por que fator uma ppm de sujeira mudou a condutividade? (c) Explique por que a fabricação de semicondutores primeiro purifica a partes por bilhão antes de dopar de propósito. (d) Estime a distância média entre doadores e compare com a órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$ do Exercício 24.10.

Solução

Solução de Exercício 24.9.

(a) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — cinco milhões de vezes o $n_{\text{i}}$ . (b) O mesmo fator $\sim5\times10^6$ : um grãozinho por milhão de átomos manda sozinho na condutividade. (c) Porque uma ppm acidental faria o mesmo sem convite: só um cristal puro a ppb tem uma condutividade que pertence ao projetista. (d) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$ , dez vezes a órbita de $2.4\,\mathrm{nm}$ : os doadores são hidrogênios isolados; aumente a dopagem cem vezes e as órbitas se tocam — uma banda de impurezas e, no fim, um metal.

Exercício 24.10 ★★★

O doador como átomo de hidrogênio. O quinto elétron do fósforo orbita o íon $+e$ dele dentro do silício: blinde o Coulomb por $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ (Capítulo 22) e alivie o elétron até a massa de banda efetiva dele, $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$ . (a) Reescale os resultados do hidrogênio do Capítulo 11: mostre que $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/ \varepsilon_{\text{r}}^2$ e avalie. (b) Compare com $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ : os doadores estão ionizados? (c) Reescale o raio de Bohr do mesmo modo. (d) A órbita cobre dezenas de células da rede: explique por que isso justifica, de modo autoconsistente, usar $\varepsilon_{\text{r}}$ e $m^*$ afinal.

Solução

Solução de Exercício 24.10.

(a) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (o valor medido do fósforo, $45\,\mathrm{meV}$ , mantém a escala honesta). (b) Comparável a $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ : essencialmente todos os doadores estão ionizados à temperatura ambiente — a premissa da Definição 24.5. (c) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ . (d) Uma órbita que cobre dezenas de células vê o cristal como um meio liso — que é precisamente a condição sob a qual um $\varepsilon_{\text{r}}$ de volume e um $m^*$ médio de banda são legítimos: a aproximação se certifica sozinha.

Exercício 24.11 ★★★

Números da junção. Um diodo de silício tem $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $T = 300\,\mathrm{K}$ . (a) Calcule $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/ n_{\text{i}}^2)$ . (b) Pela lei do diodo, calcule a razão das correntes em $+0.5\,\mathrm{V}$ e $-0.5\,\mathrm{V}$ . (c) Por que o $I_0$ — e portanto a fuga reversa — mais ou menos dobra a cada $10\,\mathrm{K}$ ? (d) Uma ponte de quatro diodos assim transforma CA em CC: esboce em palavras a ideia do circuito.

Solução

Solução de Exercício 24.11.

(a) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . (b) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : razão $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — o diodo é uma via de mão única com oito dígitos. (c) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : a mesma exponencial do Exercício 24.8, daí a duplicação da regra de bolso. (d) Os quatro diodos formam um losango: a cada meio ciclo, o par que estiver diretamente polarizado guia a corrente pela carga no mesmo sentido — CA na entrada, CC acidentada na saída.

Exercício 24.12 ★★★

Projetando a lacuna solar. (a) Os fótons abaixo de $E_{\text{g}}$ passam direto; a energia de fóton acima de $E_{\text{g}}$ se perde como calor em picossegundos. Explique o compromisso resultante na escolha de $E_{\text{g}}$ . (b) O ótimo perto de $1.3\,\mathrm{eV}$ limita a eficiência de junção única a cerca de um terço (Shockley–Queisser): onde fica o silício ( $1.12\,\mathrm{eV}$ )? (c) Por que as pilhas em tandem (uma célula de lacuna larga sobre uma de lacuna estreita) superam o limite? (d) Por que um painel solar quente é um painel pior? (Duas razões honestas do capítulo: o $I_0$ da lei do diodo e o leve encolhimento da lacuna com o $T$ .)

Solução

Solução de Exercício 24.12.

(a) Estreite a lacuna e mais fótons a vencem, mas cada um entrega apenas a pequena energia da lacuna; alargue-a e cada fóton paga mais, mas menos se qualificam: colheita $\times$ tensão tem máximo no meio. (b) Logo abaixo do ótimo de $1.3\,\mathrm{eV}$ : o teto ideal do silício é de $\sim30\,\%$ — perto o bastante para que a barateza dele vença. (c) A célula de cima, de lacuna larga, pega o azul em alta tensão e passa o vermelho para a célula de lacuna estreita embaixo: cada fóton é colhido perto da energia dele, a termalização encolhe e o teto da pilha sobe rumo aos quarenta. (d) O calor eleva o $I_0$ exponencialmente, arrastando para baixo a tensão de circuito aberto $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ ; e a própria lacuna se estreita um pouco, trocando tensão por corrente que ela não recupera por inteiro.

Réplica do primeiro transistor (Bell Laboratories, 1947, domínio público): dois contatos de ouro pressionados sobre uma lasca de germânio. A primeira máquina da teoria de bandas — e, por descendência, todas as outras.

24.5 Problema: o referendo do telhado

Problema 24.1

O referendo do telhado. O seu vizinho está decidindo se cobre a casa dele com painéis fotovoltaicos e nomeou você, o físico, como árbitro. O painel candidato: silício, $2\,\mathrm{m}^{2}$ , sessenta células em série, com $400\,\mathrm{W}$ nominais sob os $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ padrão da luz solar de meio-dia.

Parte I — A luz do Sol encontra a lacuna.

A luz solar é grosso modo um espectro térmico a $5800\,\mathrm{K}$ (Capítulo 20): calcule em eV a energia dos fótons do máximo dela (Wien).
A lacuna do silício é de $1.12\,\mathrm{eV}$ : qual é o maior comprimento de onda que uma célula de silício consegue colher?
Cerca de um quinto da potência do Sol chega em fótons abaixo da lacuna. O que acontece com ela no painel?
Um fóton verde de $2.5\,\mathrm{eV}$ é absorvido: quanto da energia dele sobrevive como energia de par elétron–lacuna, e para onde vai o resto, e com que rapidez?
Combine os itens 3 e 4 no veredito do espectro: cerca de metade da potência incidente some antes de qualquer eletrônica começar. Enuncie os dois canais de perda em uma frase cada.
Por que um fóton precisa de $\ge E_{\text{g}}$ , afinal — o que proíbe absorver dois fótons de meia lacuna em rápida sucessão no silício comum?

Parte II — A junção como motor.

Cada célula é uma junção p–n. Explique em três frases como o campo de barreira da zona de depleção transforma um par criado em corrente externa — que portador vai para que lado, e por que eles não se recombinam simplesmente.
Com $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , calcule $V_{\text{bi}}$ a $300\,\mathrm{K}$ .
Uma célula em operação entrega cerca de $0.6\,\mathrm{V}$ . Sessenta em série: qual é a tensão de operação do painel?
A partir dos $400\,\mathrm{W}$ nominais, deduza a corrente de operação.
Estime o fluxo de fótons (fótons por segundo) que o painel absorve de modo útil, tomando $\sim2\,\mathrm{eV}$ por fóton absorvido, e compare com o fluxo de elétrons que a sua corrente implica: que fração dos fótons absorvidos rende um elétron coletado?
A eficiência nominal: $400\,\mathrm{W}$ a partir de $2000\,\mathrm{W}$ incidentes. Concilie os 20 % com a “metade perdida antes da eletrônica” da Parte I: para onde vão os trinta pontos restantes?
Por que a célula entrega $0.6\,\mathrm{V}$ e não o $1.12\,\mathrm{V}$ inteiro da lacuna? (Nomeie o culpado na lei do diodo.)

Parte III — Telhados reais.

Um meio-dia de inverno sem nuvens na latitude $50^\circ$ entrega luz a $30^\circ$ de elevação. Calcule o fator geométrico em relação à incidência normal num painel horizontal.
A ficha técnica do painel lista $-0.4\,\%/\text{K}$ de saída: um painel de telhado preto chega a $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ no verão. Quanto do valor nominal sobrevive?
Explique a perda por temperatura com o Exercício 24.12(d).
Uma chaminé sombreia uma célula das sessenta. Por que isso pode estrangular toda a série — e o que a própria natureza de diodo da célula faz com a pobre célula sombreada?
Os fabricantes ligam um diodo de desvio em cada sub-série: explique a função dele em uma frase.
Na média dos dias e do tempo, o telhado rende $15\,\%$ da potência nominal. Estime a energia anual do painel de $400\,\mathrm{W}$ , em quilowatt-hora.

Parte IV — O veredito.

A $0.25\,\mathrm{euros}$ por kWh, quanto o painel rende por ano? Com um custo instalado de $300\,\mathrm{euros}$ , qual é o tempo de retorno?
O painel levou aproximadamente $500\,\mathrm{kWh}$ para ser fabricado (o silício é purificado por fusão): quanto tempo até ele ter pago a própria energia?
O seu vizinho pergunta por que o painel não pode ser “simplesmente pintado de preto” para pegar o quinto abaixo da lacuna. Responda com teoria de bandas em duas frases.
Ele pergunta em seguida por que não empilhar embaixo um segundo painel de lacuna menor: responda com o Exercício 24.12(c) — e nomeie o empecilho prático.
Trinta anos depois, o painel desbotou para 85 % do valor nominal dele. Que vilões microscópicos deste capítulo (lembre o que limita o $\tau$ , e o que as junções temem) envelhecem plausivelmente uma célula?
Entregue o resumo do árbitro em quatro linhas: a física da lacuna fixa a colheita, a junção a converte, a fiação em série e a temperatura a tributam, e o livro-caixa — energia e euros — fecha a favor do painel.

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. $\lambda_{\text{máx}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ : cerca de $2.5\,\mathrm{eV}$ . 2. $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 3. Ela atravessa as células (não há estado final em que absorver) e termina como calor no substrato — aquecendo o telhado, não os fios. 4. Os $1.12\,\mathrm{eV}$ sobrevivem como o par; o excesso de $1.4\,\mathrm{eV}$ escoa para os fônons em picossegundos — mais depressa do que qualquer circuito poderia interceptar. 5. A transparência abaixo da lacuna ( $\sim20\,\%$ da potência) e a termalização acima dela ( $\sim30\,\%$ ): o espectro é taxado pela metade antes de a junção ver um único elétron. 6. A absorção é um salto quântico de um só fóton que precisa de um estado final real; em meia lacuna não há nenhum em que pausar, e os eventos de dois fótons são desprezíveis nas densidades de fótons da luz solar. 7. Os pares criados na zona de depleção ou perto dela sentem o campo de barreira: os elétrons são varridos para o lado n, e as lacunas para o lado p, e o campo os separa mais depressa do que eles conseguem se encontrar para recombinar — a carga se acumula até que um circuito externo a alivie como corrente. 8. $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . 9. $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$ . 10. $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$ . 11. No painel inteiro, a luz acima da lacuna é de $\sim1400\,\mathrm{W}$ a $\sim2\,\mathrm{eV}$ cada: $4\times10^{21}$ fótons por segundo — mas as sessenta células estão em série, e assim os $11\,\mathrm{A}$ (um fluxo de elétrons $I/e \approx 7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) passam por cada célula, cuja parcela de fótons é $4\times10^{21}/60 \approx 7\times10^{19}$ por segundo: quase todo fóton absorvido rende um elétron coletado. A eficiência quântica é excelente; as perdas são energéticas, não numéricas. 12. Depois dos 50 % do espectro, a célula paga o déficit de tensão ( $0.6/1.12 \approx 54\,\%$ ) e alguns pontos de reflexão e recombinação: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$ , aparados até os 20 % nominais. 13. A fuga $I_0$ : a tensão de circuito aberto $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ para onde a fotocorrente e a fuga do diodo se equilibram — cerca de $0.6\,\mathrm{V}$ , bem aquém da lacuna. 14. $\sin30^\circ = 0.5$ : metade do valor nominal de meio-dia só pela geometria — antes das nuvens. 15. $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$ : $-16\,\%$ , deixando $\approx335\,\mathrm{W}$ — os dias mais ensolarados não são os melhores dias por watt. 16. O calor infla o $I_0$ exponencialmente, e a tensão de circuito aberto — a repreensão de um logaritmo — cai uma fração de por cento por kelvin; a lacuna ligeiramente encolhida termina o serviço. 17. A fiação em série impõe uma corrente comum: a célula sombreada, que não gera nada, é levada à polarização reversa pelas cinquenta e nove colegas dela e dissipa a potência delas como ponto quente — a série se estrangula até a célula mais fraca. 18. O diodo de desvio dá à corrente um caminho direto em volta da sub-série sombreada, sacrificando a tensão dele em vez da saída do painel inteiro. 19. $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx 530\,\mathrm{kWh}$ por ano. 20. $\approx130\,\mathrm{euros}$ por ano: retorno em cerca de $300/130 \approx 2.5$ anos, e depois duas décadas de lucro. 21. $500/530 \approx$ um ano: o painel paga a energia de fabricação dele mais ou menos tão rápido quanto o preço. 22. O preto não é uma escolha, e sim uma estrutura de bandas: a absorção precisa de um estado vazio uma energia de fóton acima de um cheio, e abaixo da lacuna o silício simplesmente não tem nenhum a oferecer — a tinta não acrescenta estados. 23. Empilhe em cima uma célula de lacuna larga para pegar o azul em alta tensão e passar o vermelho adiante: o tandem bate o teto de junção única. O empecilho: a pilha em série tem de casar correntes (e preços) entre as camadas. 24. Tudo o que encurta o $\tau$ e envenena junções: defeitos criados por UV e impurezas que se difundem para dentro espalham e aprisionam portadores, a umidade corrói contatos e os pontos quentes envelhecem os diodos — a lenta entropia de um cristal a quem se pede sentar ao sol por trinta anos. 25. A lacuna colhe metade do Sol; a junção transforma pares em $36\,\mathrm{V}$ de corrente ordenada; as séries, a sombra e o calor do verão cobram o quinhão deles; e a $\sim530\,\mathrm{kWh}$ por ano contra um retorno energético de um ano e monetário de três, o árbitro decide: cubra o telhado.

Termos definidos neste capítulo

Ver todos os 431 termos do glossário