Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

12Spin e sistemas de dois níveis

Em 1922, Stern e Gerlach enviaram um feixe de átomos de prata através de um ímã assimétrico, esperando ou nenhum desvio ou um borrão contínuo. O feixe se dividiu limpamente em dois. Nenhum momento angular orbital consegue isso: $2l + 1$ é sempre ímpar. Os átomos anunciavam uma posse nova e puramente quântica — o spin, um momento angular intrínseco de $j = \tfrac12$ , o degrau semi-inteiro que a álgebra do Capítulo 10 mantinha pronto e que as órbitas jamais poderiam usar. O spin duplica todo estado eletrônico (completando a contagem por trás da tabela periódica), carrega o magnetismo do ferro e do próton e é o sistema de dois níveis mais limpo que a natureza oferece: a física deste capítulo faz funcionar o aparelho de ressonância magnética de todo hospital, o relógio de césio que define o segundo, o sussurro de vinte e um centímetros com que se mapeiam galáxias, e o qubit.

12.1 O experimento que o encontrou

Exemplo 12.1 (Stern–Gerlach)

Um momento magnético $\vect\mu$ num campo não homogêneo sente a força $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$ : o desvio mede $\mu_z$ . Expectativa clássica: momentos orientados ao acaso, um leque contínuo. Expectativa quântica para momentos orbitais: $2l + 1$ manchas — uma, três, cinco, sempre um número ímpar. Observado para a prata (e para o hidrogênio): duas manchas, simétricas, e nada entre elas. A componente medida assume exatamente dois valores — a assinatura de $j = \tfrac12$ , proibida às órbitas, e a exibição direta da quantização: o aparelho é um dispositivo de medida de uma componente do spin, e o feixe se divide nos dois autovalores dela.

O experimento de Stern–Gerlach: um campo não homogêneo puxa momentos opostos para lados opostos, transformando o ímã num aparelho de medida de uma componente do spin. Os átomos de prata caem em duas manchas — um observável de dois valores, flagrado em ação.

Definição 12.2 (Spin um meio)

O elétron (e o próton, o nêutron, os quarks) carrega um momento angular intrínseco com $j = \tfrac12$ : um espaço de estados bidimensional gerado por $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (autoestados de $\hat S_z$ com $\pm\hbar/2$ ), sobre o qual

\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\; \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

— as matrizes de Pauli, que realizam a álgebra do momento angular na menor casa possível. Um estado geral $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ é um espinor. O momento magnético do elétron é

\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} , \qquad g \approx 2 :

o dobro da taxa orbital por unidade de momento angular — a anomalia que Einstein e de Haas haviam medido (Exercício 10.12) e que a equação de Dirac mais tarde preveria. O spin não é a rotação de coisa alguma: nenhum raio, nenhuma “bolinha girando” sobrevive ao exame — ele é intrínseco, como a carga.

Exemplo 12.3 (Filtros de Stern–Gerlach em cadeia)

Selecione o feixe de $S_z = +\hbar/2$ e meça $S_z$ de novo: todos os átomos respondem $+$ . Meça $S_x$ em vez disso: metade e metade — o estado $\ket\uparrow$ é a superposição $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$ . Agora guarde o feixe de $S_x = +$ e meça $S_z$ mais uma vez: metade e metade de novo — a medida de $S_x$ apagou o $S_z$ antes bem definido. Três ímãs bastam para exibir a incompatibilidade, o colapso e a regra de Born; esta cadeia é o Exemplo 8.7 realizado com átomos.

12.2 A esfera de Bloch

Proposição 12.4 (Spin ao longo de um eixo qualquer)

Para a direção unitária $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ , o operador $\vect n\cdot\hat{\vect\sigma}$ tem autovalores $\pm1$ , com

\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow + \eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .

Todo espinor puro é $\ket{+\vect n}$ para exatamente uma direção: o espaço de estados se aplica sobre uma esfera — a esfera de Bloch — com os estados ortogonais em antípodas (note os meios ângulos: são as direções opostas, e não as perpendiculares, que dão estados ortogonais). As rotações da esfera são exatamente as evoluções que um campo magnético gera: a geometria de toda manipulação de qubit já realizada.

Demonstração parcial. Diagonalize a matriz $2\times2$ $\vect n\cdot\vect\sigma = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\ \sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$ : traço $0$ , determinante $-1$ , autovalores $\pm1$ ; o espinor dado se verifica por substituição (identidades de meio ângulo). Antípodas: $\theta \to \pi - \theta$ , $\varphi \to \varphi + \pi$ dá $\braket{+\vect n'}{+\vect n} = 0$ . ∎

A esfera de Bloch: todo estado de spin 1/2 é um ponto; os polos são ,, o equador abriga as superposições em partes iguais e os estados ortogonais ficam em antípodas. Os campos magnéticos giram a esfera — o painel de controle do qubit. — A esfera de Bloch: todo estado de spin $\tfrac12$ é um ponto; os polos são $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ , o equador abriga as superposições em partes iguais e os estados ortogonais ficam em antípodas. Os campos magnéticos giram a esfera — o painel de controle do qubit.

12.3 Spin num campo: precessão e ressonância

Proposição 12.5 (Precessão de Larmor)

Num campo estático $\vect B_0 = B_0\vect e_z$ , a hamiltoniana $\hat H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ separa os dois níveis por $\hbar\omega_0$ e faz o spin médio precessar em torno do campo:

\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} = \gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad \omega_0 = |\gamma|B_0 ,

com a razão giromagnética $\gamma$ ( $\mu = \gamma S$ ). O vetor de Bloch gira em torno de $z$ a $\omega_0$ , com o ângulo em relação ao campo congelado — exatamente a imagem clássica do giroscópio, aqui exata porque os comutadores são lineares. Para o elétron: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$ ; para o próton (momento de $2.79$ magnétons nucleares): $\gamma_p/2\pi = 42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — a placa de identificação de todo aparelho de ressonância magnética.

Demonstração. Aplique a Proposição 8.12 com $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ : os comutadores dão $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ e $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ , que se reúnem no produto vetorial enunciado. ∎

Proposição 12.6 (Ressonância magnética)

Acrescente um pequeno campo $B_1$ que gira no plano transversal com frequência $\omega$ . No referencial que gira com ele, $B_0$ fica efetivamente reduzido a $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$ ; na ressonância ( $\omega = \omega_0$ ) só $B_1$ sobrevive, e o spin precessa em torno dele à frequência de Rabi $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ : partindo de $\ket\uparrow$ , a probabilidade de ter virado é

\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .

Um pulso de duração $\pi/\Omega_1$ (um “pulso $\pi$ ”) inverte o spin; metade dele (um “pulso $\pi/2$ ”) o deita no plano equatorial, onde ele precessa a $\omega_0$ e, por indução de Faraday, transmite sua frequência a qualquer bobina próxima. Fora da ressonância, a amplitude do vaivém colapsa como $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 + (\omega - \omega_0)^2]$ : a resposta é agudamente seletiva — uma ressonância — e é isso que torna os spins endereçáveis, espécie por espécie e, com um gradiente de campo, lugar por lugar (Problema 12.1).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: as oscilações de Rabi — na ressonância o spin vira por completo e periodicamente; dessintonizado, só em parte e mais depressa. À direita: entre os pulsos, o spin médio precessa em torno de B_0 na frequência de Larmor, irradiando sua nota para a bobina receptora. — À esquerda: as oscilações de Rabi — na ressonância o spin vira por completo e periodicamente; dessintonizado, só em parte e mais depressa. À direita: entre os pulsos, o spin médio precessa em torno de $\vect B_0$ na frequência de Larmor, irradiando sua nota para a bobina receptora.

Exemplo 12.7 (Estrutura hiperfina e a linha de 21 cm)

No estado fundamental do hidrogênio, os spins do elétron e do próton interagem pelos seus momentos magnéticos: os quatro estados de spin se separam num tripleto e num singleto afastados por apenas $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ — o desdobramento hiperfino, com $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ e $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$ . A transição é absurdamente lenta (uma virada a cada dez milhões de anos), mas a Galáxia contém $10^{66}$ átomos de hidrogênio: a linha de 21 cm é brilhante o bastante para ter mapeado os braços espirais, o empenamento do disco e — por seus desvios Doppler — as curvas de rotação planas que argumentam a favor da matéria escura. A mesma física, no estado fundamental do césio, separa níveis por exatamente $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ : desde 1967, a definição do segundo é uma virada hiperfina de spin, contada uma a uma (Exercício 12.12).

Método 12.8 (Ofício dos dois níveis)

(1) Escreva qualquer hamiltoniana de dois níveis em matrizes de Pauli: $\hat H = \epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — então o vetor de Bloch precessa em torno de $\vect h$ a $2|\vect h|/\hbar$ ; todo o resto é geometria. (2) Autoestados ao longo de $\vect n$ : use os meios ângulos. (3) Problemas de ressonância: passe ao referencial girante; na ressonância, só $B_1$ resta. (4) Pulsos: $\pi/2$ para iniciar um sinal de precessão, $\pi$ para inverter (e para refocalizar — o eco de spin). (5) Escalas de energia: $\mu_{\text{B}}B$ para elétrons ( $58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ ), três ordens menos para núcleos — radiofrequências, espectroscopia sem kelvins.

Um aparelho de ressonância magnética: um campo supercondutor alinha os spins dos prótons do corpo, pulsos de rádio os inclinam, e a precessão de Larmor deles é lida de volta bobina a bobina — a física de dois níveis deste capítulo, fotografando um joelho.

12.4 Exercícios

Exercício 12.1 ★

(a) Verifique $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ e $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$ . (b) Deduza $[\hat S_x, \hat S_y] = \iu\hbar\hat S_z$ : a álgebra do momento angular em dimensão dois. (c) Mostre que $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ e verifique $j(j+1)$ para $j = \tfrac12$ . (d) Mostre que toda matriz hermitiana $2\times2$ é uma combinação real de $\mathbb 1$ e das três $\sigma_i$ .

Solução

Solução de Exercício 12.1.

(a) Multiplicação direta. (b) $[\hat S_x, \hat S_y] = (\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$ . (c) $\hat S^2 = (\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$ : de fato, $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$ . (d) $\{\mathbb 1, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$ geram as quatro dimensões reais das matrizes hermitianas $2\times2$ ( $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ com $a, \vect b$ reais).

Exercício 12.2 ★

(a) Encontre os autoestados normalizados de $\sigma_x$ e de $\sigma_y$ . (b) Um spin preparado em $\ket{+x}$ é medido ao longo de $z$ : quais as probabilidades dos resultados? (c) E ao longo de $y$ ? (d) Confira as duas com a imagem de Bloch (que ângulos $\theta, \varphi$ ?).

Solução

Solução de Exercício 12.2.

(a) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$ ; $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$ . (b) Metade e metade. (c) Metade e metade de novo: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 = |1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$ . (d) $\ket{+x}$ : equador em $\varphi = 0$ ; medir ao longo de $z$ ou de $y$ projeta sobre polos a $90^\circ$ — sempre $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$ .

Exercício 12.3 ★

Três ímãs de Stern–Gerlach em cadeia, com eixos $z$ , depois $\vect n$ no ângulo $\theta$ do plano $xz$ , e $z$ de novo; o feixe $+$ é guardado a cada vez. (a) Probabilidade de sobreviver ao segundo ímã. (b) De sobreviver aos três. (c) Avalie em $\theta = 90^\circ$ e compare com o Exemplo 12.3. (d) Para que $\theta$ a sobrevivência aos três ímãs é máxima, e que resposta do Exercício 8.5 isso ecoa?

Solução

Solução de Exercício 12.3.

(a) $\cos^2(\theta/2)$ . (b) $\cos^2(\theta/2) \times \cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$ . (c) $\theta = 90^\circ$ : $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ , o número da cadeia de polarizadores. (d) Trivialmente $\theta = 0$ ; a lição de verdade é que as medidas intermediárias suaves custam menos — o limite de passos pequenos do Exercício 8.5, em que muitas pequenas rotações passam o estado adiante com perda evanescente.

Exercício 12.4 ★

Calcule a separação dos níveis $2|\mu|B$ e a frequência de ressonância num campo de $1\,\mathrm{T}$ para (a) o elétron ( $g = 2$ ); (b) o próton ( $\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ , $\mu_{\text{N}} = e\hbar/2m_{\text{p}}$ ); (c) compare os dois com o $k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ : quão polarizados estão os spins eletrônicos e nucleares à temperatura ambiente? (d) Que faixas do espectro a RPE e a RMN habitam, portanto?

Solução

Solução de Exercício 12.4.

(a) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 28\,\mathrm{GHz}$ . (b) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B = 0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$ : $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$ . (c) Contra $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$ : polarização eletrônica de $\sim2 \times 10^{-3}$ e protônica de $\sim3 \times 10^{-6}$ — os conjuntos térmicos de spins estão quase perfeitamente embaralhados. (d) A RPE: micro-ondas; a RMN: rádio — três ordens de grandeza de distância, uma só física.

Exercício 12.5 ★★

Deduza a precessão de Larmor: com $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$ , (a) calcule $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t$ e $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ a partir dos comutadores; (b) resolva para $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ com o spin inicial ao longo de $x$ ; (c) mostre que $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ e o ângulo com $\vect B_0$ são constantes; (d) por que a imagem dos autoestados de energia (dois níveis estacionários) e a imagem da precessão (um vetor que gira) descrevem a mesma física — que estado é que precessa?

Solução

Solução de Exercício 12.5.

(a) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ , $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma B_0\langle\hat S_x\rangle$ , $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$ . (b) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ , $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (com o sinal conforme o de $\gamma$ ). (c) As duas coisas são evidentes em (b). (d) O estado é uma superposição dos dois autoestados de energia; sua fase relativa avança a $\omega_0$ , e essa fase que gira é a precessão — níveis estacionários e vetor que gira são as duas leituras de uma só evolução de dois níveis.

Exercício 12.6 ★★

(a) Verifique que o $\ket{+\vect n}$ da Proposição 12.4 é o autovetor alegado. (b) Mostre que estados antípodas são ortogonais. (c) Onde ficam, na esfera, os autoestados de $\sigma_x$ e de $\sigma_y$ ? (d) Uma porta “NÃO” de qubit leva $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$ : que rotação da esfera é essa, e que pulso da Proposição 12.6 a executa?

Solução

Solução de Exercício 12.6.

(a) Substitua e use as identidades de meio ângulo. (b) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 + \eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 = \cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 - \sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$ . (c) No equador, em $\varphi = 0, \pi$ ( $\sigma_x$ ) e $\varphi = \pm\pi/2$ ( $\sigma_y$ ). (d) Uma rotação de $180^\circ$ em torno de qualquer eixo equatorial — o pulso $\pi$ da ressonância magnética é a porta NÃO do qubit.

Exercício 12.7 ★★

O referencial girante, honestamente. Com $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z + B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$ : (a) explique por que passar ao referencial que gira a $\omega$ em torno de $z$ substitui $B_0$ por $B_0 - \omega/\gamma$ e congela $B_1$ ; (b) na ressonância, descreva o movimento do vetor de Bloch no referencial girante; (c) deduza a duração do pulso $\pi$ para um próton com $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; (d) esboce o que um observador no referencial do laboratório vê durante esse pulso (duas rotações encaixadas).

Solução

Solução de Exercício 12.7.

(a) No referencial girante a excitação fica parada, ao passo que a rotação do referencial subtrai $\omega/\gamma$ do campo estático efetivo (a mesma contabilidade de uma força de inércia em referencial girante). (b) Só $B_1$ sobrevive: o vetor de Bloch precessa em torno do eixo transversal (fixo) de $B_1$ a $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — viradas regulares. (c) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{ MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$ . (d) Uma espiral rápida que fecha o cone: precessão a $128\,\mathrm{MHz}$ em torno de $z$ , com nutação lenta descendente a $426\,\mathrm{Hz}$ — um saca-rolhas de mil voltas, de polo a polo.

Exercício 12.8 ★★

A linha de 21 cm. (a) Verifique que $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ dá $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ e $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) O estado excitado vive $10^{7}\,\mathrm{yr}$ : que largura de linha é essa, e por que as larguras observadas ( $\sim$ kHz e acima) são puramente Doppler? (c) A borda do disco de uma galáxia se afasta a $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ em relação ao centro dela: calcule a extensão em frequência do seu perfil de 21 cm. (d) Por que a linha de 21 cm rastreia o gás atômico neutro, ao passo que o CO (Problema 10.1) rastreia o gás molecular — e por que os astrônomos precisam dos dois?

Solução

Solução de Exercício 12.8.

(a) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} = 1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$ . (b) $\Delta \nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$ : completamente desprezível — toda largura observada é movimento. (c) $\Delta\nu = \nu\,(2v/c) = 1420\,\text{MHz} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx 2\,\mathrm{MHz}$ : o perfil de dois chifres de um disco em rotação. (d) A de 21 cm fala onde o hidrogênio é atômico (morno, difuso); o CO fala onde o hidrogênio se emparelhou no invisível H $_2$ (frio, denso): juntos, eles inventariam todo o meio interestelar de uma galáxia.

Exercício 12.9 ★★

O nitrogênio da molécula de amônia tunela através do plano dos H $_3$ : as duas configurações de “guarda-chuva” se misturam em estados simétrico e antissimétrico separados por $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (o dubleto de inversão do volume do segundo ano). (a) Justifique tratar a amônia como sistema de dois níveis. (b) A frequência e o comprimento de onda da transição. (c) No maser (1954), moléculas selecionadas por estado atravessam uma cavidade ressonante e amplificam essa micro-onda: que condição de população o feixe de entrada precisa satisfazer, e em que ela difere da térmica? (d) O que o maser de amônia demonstrou três anos antes do laser óptico do volume do segundo ano?

Solução

Solução de Exercício 12.9.

(a) Duas configurações acopladas por tunelamento: em baixa energia o espaço é bidimensional — a amônia é um spin $\tfrac12$ disfarçado. (b) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda = 1.25\,\mathrm{cm}$ . (c) O feixe precisa chegar com o estado superior superpovoado (selecionado por deflexão eletrostática) — inversão de população, inatingível termicamente, pois Boltzmann sempre favorece o nível de baixo. (d) A amplificação estimulada por inversão de população — o princípio de funcionamento do laser, demonstrado primeiro em frequências de micro-ondas.

Exercício 12.10 ★★★

Acoplamento spin–órbita, estimado. No referencial de repouso do elétron, é o núcleo que gira em torno dele: o elétron fica num campo magnético $B_{\text {int}}$ . (a) A partir do Exercício 11.10(d), tome $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ para o hidrogênio em $n = 2$ e estime o deslocamento de nível $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$ : compare com a escala de estrutura fina do Exercício 11.11. (b) A linha D do sódio é desdobrada de $0.6\,\mathrm{nm}$ em $589\,\mathrm{nm}$ : converta em meV e num campo interno. (c) Por que o desdobramento cresce abruptamente com $Z$ (o campo interno escala, grosso modo, como $Z^4$ sobre $n^3$ )? (d) Os estados são rotulados pelo $j = l \pm \tfrac12$ total: conte os estados de um nível $p$ e verifique que nenhum se perdeu.

Solução

Solução de Exercício 12.10.

(a) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — a escala $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ do Exercício 11.11: a estrutura fina é o spin encontrando o campo do movimento. (b) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/ \lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$ : um campo interno $\Delta E/2\mu_{ \text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$ . (c) O campo interno cresce como $Z^4$ (a carga nuclear ao cubo no campo, e mais uma vez no raio da órbita): os átomos pesados têm uma estrutura fina que se vê com um espectroscópio de bolso. (d) $j = \tfrac32$ : quatro estados; $j = \tfrac12$ : dois — seis ao todo, exatamente $2 \times (2l + 1)$ para $l = 1$ .

Exercício 12.11 ★★★

Dois spins juntos. Para duas partículas de spin $\tfrac12$ , o spin total é $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$ . (a) Mostre que os quatro estados produto se reorganizam num tripleto ( $S = 1$ : $\ket{\uparrow\uparrow}$ , $(\ket{\uparrow\downarrow} + \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ , $\ket{\downarrow\downarrow}$ ) e num singleto ( $S = 0$ : $(\ket{\uparrow\downarrow} - \ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ ) — verifique as contagens de $S_z$ e, para os dois estados do meio, o efeito de $\hat S^2$ (use $\hat S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2$ e $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat S_{2z}$ ). (b) Qual dos quatro é emaranhado — não escrevível como produto? (c) O par hiperfino do hidrogênio (Exemplo 12.7) é exatamente esse tripleto/singleto: qual está mais alto em energia, dado que a linha é emitida em 21 cm? (d) Os spins do singleto são perfeitamente anticorrelacionados ao longo de todo eixo: meça um deles em qualquer $\vect n$ e o outro responde o oposto. Por que essa correlação, por mais impressionante que seja, não transmite sinal algum?

Solução

Solução de Exercício 12.11.

(a) Contagens de $S_z$ : $+\hbar, 0, 0, -\hbar$ ; agir com $\hat S^2$ (pela identidade da escada) sobre a combinação simétrica dá $2\hbar^2$ ( $S = 1$ ), e sobre a antissimétrica dá $0$ ( $S = 0$ ). (b) Só o singleto (e o estado do meio do tripleto) não pode ser escrito como produto — o singleto é o par maximamente emaranhado. (c) Emissão significa que o tripleto está acima: a configuração de spins paralelos é a mais energética, por $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ . (d) Cada observador, sozinho, vê resultados perfeitamente aleatórios; a correlação só aparece quando as duas listas são reunidas — nenhuma estatística local muda, e por isso nada se propaga (o argumento da Observação 8.8).

Exercício 12.12 ★★★

O relógio que define o segundo. O desdobramento hiperfino do estado fundamental do césio vale exatamente $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ (por definição do segundo). Num relógio de fonte atômica, os átomos recebem um pulso $\pi/2$ , voam livremente por $T = 0.5\,\mathrm{s}$ e recebem um segundo pulso $\pi/2$ ; a fração transferida oscila como $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ com a dessintonia $\delta$ (as franjas de Ramsey — aceite isso). (a) Explique em linguagem de Bloch o que cada pulso $\pi/2$ e o voo livre fazem. (b) A largura da franja central. (c) Com uma relação sinal-ruído que permita dividir o centro da franja por $10^4$ , que exatidão relativa de frequência resulta? (d) Por que os relógios ópticos (transições de petahertz) batem os de micro-ondas com a mesma capacidade de divisão de franja — e por que fator, grosso modo?

Solução

Solução de Exercício 12.12.

(a) O primeiro $\pi/2$ deita o vetor de Bloch no equador; durante $T$ ele precessa no $\nu_0$ próprio do átomo, enquanto o oscilador local gira a $\nu$ : a diferença de ângulo acumulada vale $2\pi\delta T$ ; o segundo $\pi/2$ converte essa fase numa população — um interferômetro no tempo. (b) $\Delta\delta \sim 1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$ . (c) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx 10^{-14}$ — um segundo em três milhões de anos. (d) A mesma divisão absoluta de franja sobre uma portadora $10^5$ vezes mais alta ganha $10^5$ em exatidão relativa: daí os relógios ópticos de estrôncio e de itérbio em $10^{-18}$ , e uma redefinição pendente do segundo.

12.5 Problema: Ver por dentro do corpo

Problema 12.1

Problema de fim de semana — imagem por ressonância magnética, do spin ao exame

Dois terços de um ser humano são água; toda molécula de água carrega dois prótons, cada um deles um ímã de spin $\tfrac12$ . Ponha uma pessoa num campo forte, faça cócegas nos prótons na frequência de Larmor deles e escute: isso é a imagem por ressonância magnética, física de spin como medicina. Dados: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ ; $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$ ; densidade de prótons do tecido $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_{\text{B}}T$ a $310\,\mathrm{K}$ vale $26.7\,\mathrm{meV}$ ; $h = 4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$ .

Parte I — Os spins no ímã.

Calcule a frequência de Larmor a $3.0\,\mathrm{T}$ e a energia do fóton $h\nu$ em eV.
Calcule o desequilíbrio de população entre os dois níveis do próton, $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
Só esse excesso — partes por milhão — contribui para o sinal: quantos prótons “úteis” há por centímetro cúbico de tecido?
Por que a polarização térmica é tão débil aqui, enquanto o feixe de Stern–Gerlach se dividia por completo? (O que cada experimento mede: autovalores de um átomo isolado ou uma média térmica?)
Dobrar $B_0$ faz o quê ao sinal (dois efeitos: a polarização e a fem induzida em frequência mais alta)? Por que os hospitais pagam por ímãs maiores?
O ímã é supercondutor e fica sempre ligado: por que um cilindro de oxigênio de aço solto na sala é um projétil letal (que força do Exemplo 12.1 age sobre ele)?

Parte II — Pulsos e ecos.

Uma bobina transversal aplica $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ em ressonância: calcule a frequência de Rabi e as durações dos pulsos $\pi/2$ e $\pi$ .
Depois do pulso $\pi/2$ , o que a magnetização faz, e o que a lei de Faraday induz na bobina receptora (em que frequência)?
O sinal transversal decai com a constante de tempo $T_2$ (os spins se desfasam nos campos uns dos outros e nas inomogeneidades locais); a magnetização longitudinal se recompõe com $T_1$ (a energia escoa para o tecido). Valores típicos: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ , $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . Por que o tempo de coerência nunca pode exceder muito o tempo de relaxação de energia (o que toda virada que troca energia faz com a fase)?
O eco de spin: depois do pulso $\pi/2$ e de um atraso $\tau$ , aplica-se um pulso $\pi$ e, em $2\tau$ , os spins desfasados se realinham e o sinal volta. Explique o truque com corredores de pista mandados dar meia-volta.
Que decaimento o eco desfaz — o desfasamento por inomogeneidades estáticas do campo ou o devido a campos moleculares flutuantes — e por que só esse?
Tecidos diferentes têm $T_1$ e $T_2$ diferentes (gordura: $T_1$ curto; água e líquidos: longo; muitos tumores: $T_2$ mais longo que o do tecido hospedeiro). Numa frase: como o cronometrar da sequência de pulsos transforma tempos de relaxação em contraste de imagem?

Parte III — Do sinal à imagem.

Superponha um gradiente $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ ao longo de $z$ : a frequência de Larmor passa a depender da posição. Calcule $\dd\nu/\dd z$ em kHz por milímetro.
Um pulso de radiofrequência conformado que contenha só a banda $\nu_0 \pm 1\,\mathrm{kHz}$ excita que fatia do corpo? (Seleção de fatia.)
Durante a leitura, um gradiente ao longo de $x$ faz cada coluna da fatia transmitir a sua própria frequência: que operação matemática transforma o sinal temporal recebido num perfil espacial (lembre o ferramental de Fourier do volume do segundo ano)?
Estime a informação total do exame: uma imagem de $256 \times 256$ com 12 bits, e por que adquiri-la linha a linha (um eco por linha, com tempo de repetição $\sim T_1$ ) faz um exame durar minutos.
O paciente ouve batidas altas: o que está batendo mecanicamente (pense nas bobinas de gradiente que chaveiam dentro do campo de $3\,\mathrm{T}$ — que força)?
A imagem por raios X contrasta a densidade eletrônica; a ressonância magnética contrasta a densidade de prótons e a relaxação: por que a ressonância é a ferramenta de escolha para tecidos moles e para o cérebro, e que dose ionizante ela entrega?

Parte IV — Os outros empregos do spin.

Os químicos fazem o mesmo experimento com resolução de $10\,\mathrm{ppm}$ : as nuvens eletrônicas blindam ligeiramente cada núcleo, deslocando sua ressonância (o “deslocamento químico”). Por que isso transforma a RMN numa impressão digital molecular?
A ressonância magnética funcional mapeia o pensamento: a hemoglobina desoxigenada é paramagnética e encurta o $T_2^*$ local. Trace a cadeia que vai da atividade neural ao brilho da imagem.
A mesma física de Larmor com o momento do elétron opera a $84\,\mathrm{GHz}$ em $3\,\mathrm{T}$ : por que a ressonância eletrônica é inútil dentro de um ser humano, mas preciosa para estudar radicais e defeitos?
Compare a energia do fóton do item 1 com as energias típicas das ligações químicas: justifique a expressão “não ionizante” e contraste com um fóton de raios X de $60\,\mathrm{keV}$ .
A polarização de dez partes por milhão pode ser aumentada: o gás xenônio polarizado por laser alcança polarização da ordem de um e é inalado para produzir imagens dos espaços aéreos do pulmão. Por qual fator, grosso modo, sobe o sinal por núcleo, e por que a baixa densidade do gás ainda torna o truque necessário?
Um único spin de elétron numa armadilha de silício parecida com um transistor já é lido e acionado como qubit exatamente com os pulsos deste capítulo: nomeie as duas propriedades do spin (o tamanho do seu espaço de Hilbert; a fraqueza do seu acoplamento ao ruído) que o recomendam.
Resuma o resultado central: uma precessão de spin a $128\,\mathrm{MHz}$ , uma polarização térmica de dez partes por milhão, dois relógios de relaxação e três gradientes de campo bastam para fotografar em fatias um cérebro vivo — as duas manchas de Stern e Gerlach, crescidas até virar um hospital.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$ ; $h\nu = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . 2. $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2 \times 0.0267) \approx 10^{-5}$ : dez partes por milhão. 3. $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx 7 \times 10^{17}$ prótons portadores de sinal por centímetro cúbico — débeis por spin, poderosos em número. 4. Stern–Gerlach mediu cada átomo e o separou por autovalor; a ressonância magnética escuta uma média térmica de $10^{23}$ spins, e Boltzmann mantém essa média a microvolts do zero. 5. A polarização $\propto B_0$ e a fem induzida $\propto \omega \propto B_0$ : sinal aproximadamente $\propto B_0^2$ — o argumento a favor de $3\,\mathrm{T}$ contra $1.5\,\mathrm{T}$ , e das máquinas de pesquisa de $7\,\mathrm{T}$ . 6. Um ferromagneto no gradiente de fuga sente $F = \mu\,\partial B/\partial z$ escalado a quilogramas de ferro: centenas de newtons surgindo numa porta — a razão da blindagem e das listas de verificação. 7. $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$ : pulso $\pi/2$ de $0.59\,\mathrm{ms}$ , pulso $\pi$ de $1.2\,\mathrm{ms}$ . 8. Ela precessa no plano transversal a $127.7\,\mathrm{MHz}$ ; o fluxo da magnetização que gira, através da bobina, induz (Faraday) uma fem de rádio exatamente nessa frequência — o sinal bruto da ressonância. 9. Toda virada que troca energia também torna aleatória a fase do spin virado: o que quer que cause $T_1$ contribui para $T_2$ , e o desfasamento ainda tem canais próprios — a coerência morre primeiro. 10. Em $\tau$ todo corredor dá meia-volta: os mais rápidos, que estão mais à frente, têm agora mais caminho de volta; em $2\tau$ todos cruzam a linha de partida lado a lado — o desfasamento se rebobina e o eco soa. 11. Só a parte estática: um spin que manteve uma frequência constante (ainda que errada) refaz sua fase exatamente; os campos moleculares flutuantes mudam entre as duas metades e não se rebobinam — o decaimento deles é o verdadeiro $T_2$ , específico do tecido. 12. Amostre cedo e com frequência (TR curto, TE curto) e o $T_1$ curto da gordura brilha; espere muito e ecoe tarde e os líquidos de $T_2$ longo é que reluzem: os ajustes de relógio da sequência escolhem que constante de relaxação pinta a imagem. 13. $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times 0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$ . 14. A fatia em que a frequência de Larmor local cai na banda: espessura $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx 1.2\,\mathrm{mm}$ — uma fatia selecionada. 15. Uma transformada de Fourier: a frequência rotula a posição, de modo que o espectro do eco é a projeção da fatia. 16. $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$ ; a uma linha codificada por tempo de repetição da ordem de $T_1$ , $256$ linhas custam minutos — por isso se pede aos pacientes que fiquem parados. 17. As bobinas de gradiente conduzem correntes chaveadas de escala quiloampère dentro de $3\,\mathrm{T}$ : a força de Laplace as martela contra os suportes a cada chaveamento — a trilha sonora de metralhadora de todo exame. 18. Os raios X sombreiam a densidade eletrônica — osso contra ar — e depositam dose ionizante; a ressonância lê a densidade de prótons e dois relógios de relaxação, que diferem ricamente entre os tecidos moles: cérebro, cartilagem e tumores, todos iguais para os raios X, são distintos para os spins, com dose ionizante nula. 19. Cada ambiente químico blinda seu próton em algumas partes por milhão: os prótons de uma molécula se apresentam como um pente resolvido de linhas deslocadas — determinação de estrutura num tubo. 20. A atividade aumenta o fluxo sanguíneo e a oxigenação locais; a desoxi-hemoglobina paramagnética se dilui; o $T_2^*$ local se alonga; o voxel clareia segundos depois do pensamento. 21. A $84\,\mathrm{GHz}$ o tecido é opaco (as micro-ondas milimétricas mal penetram a pele) e a relaxação eletrônica é de microssegundos — inútil in vivo, mas perfeita para contar radicais e defeitos em materiais e em dosimetria. 22. $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ contra ligações de eV: dez milhões de vezes fraca demais para quebrar o que quer que seja — não ionizante; um único fóton de raios X de $60\,\mathrm{keV}$ carrega $10^{11}$ vezes mais. 23. De $10^{-5}$ à ordem de um: um ganho de $\sim10^5$ por núcleo — necessário porque o gás inalado é milhares de vezes mais diluído que os prótons da água. 24. Um spin $\tfrac12$ é um sistema de dois níveis perfeito (sem níveis de fuga), e se acopla ao ruído de carga apenas fracamente, por momentos magnéticos: coerência longa num material industrial. 25. Uma precessão de $128\,\mathrm{MHz}$ , uma polarização de $10^{-5}$ , dois relógios de relaxação e três gradientes: a física do spin fotografando um cérebro vivo, fatia a fatia, com dose ionizante nula — as duas manchas de prata de 1922, crescidas até virar um departamento de hospital.

Termos definidos neste capítulo

Spin um meio

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