Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

15Teoria do espalhamento

Quase tudo o que sabemos do pequeno foi aprendido atirando coisas contra ele e olhando o que ricocheteia. Rutherford descobriu o núcleo contando lampejos de partículas alfa numa tela de sulfeto de zinco; cinquenta anos depois, o mesmo experimento, feito com elétrons de energia mais alta, encontrou quarks dentro do próton; entre um e outro, e desde então, toda seção de choque da física nuclear, de partículas, atômica e da matéria condensada foi lida pela teoria deste capítulo. A linguagem é a seção de choque — uma área de alvo efetiva; o objeto quântico é a amplitude de espalhamento, cuja aproximação de Born diz algo inesquecível: um alvo difuso é sondado no espaço de Fourier, ângulo a ângulo. Em baixa energia as ondas parciais assumem o comando, colapsando todo potencial complicado num único número — o comprimento de espalhamento — que hoje ajusta gases quânticos ultrafrios; e onde um projétil pode se demorar num estado quase ligado, a seção de choque salta em ressonâncias, a espectroscopia daquilo que, de outro modo, seria invisível.

15.1 Seções de choque

Definição 15.1 (Seção de choque)

Envie um feixe uniforme de fluxo $\Phi$ (partículas por unidade de área por segundo) sobre uma única partícula-alvo. A taxa de projéteis espalhados no ângulo sólido $\dd\Omega$ em torno da direção $(\theta, \varphi)$ define a seção de choque diferencial,

\dd\dot N = \Phi\,\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\,\dd\Omega ,

e sua integral $\sigma = \int(\dd\sigma/\dd\Omega)\,\dd\Omega$ é a seção de choque total: a área que o alvo efetivamente apresenta. Para uma lâmina fina com $n$ alvos por unidade de volume, um feixe se atenua como $\eu^{-n\sigma x}$ : as seções de choque se medem contando o que emerge. Unidades: a física nuclear usa o barn, $1\,\mathrm{b} = 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ — mais ou menos o tamanho geométrico de um núcleo de urânio, “grande como um celeiro” para um nêutron.

O experimento de espalhamento: uma onda plana que entra, uma onda esférica que sai e um detector no ângulo contando. O padrão angular das contagens é a física do alvo. — O experimento de espalhamento: uma onda plana que entra, uma onda esférica que sai e um detector no ângulo $\theta$ contando. O padrão angular das contagens é a física do alvo.

15.2 A amplitude e a aproximação de Born

Teorema 15.2 (Estados de espalhamento e amplitude)

Para uma partícula de energia $E = \hbar^2k^2/2m$ que encontra um potencial localizado $V(\vect r)$ , o estado estacionário de espalhamento se comporta a grande distância como

\psi(\vect r) \;\longrightarrow\; \eu^{\iu kz} + f(\theta)\,\frac{\eu^{\iu kr}}{r} ,

uma onda plana incidente mais uma onda esférica emergente modulada pela amplitude de espalhamento $f(\theta)$ (um comprimento), e

\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = |f(\theta)|^2 .

Demonstração parcial. O decaimento em $1/r$ torna finito o fluxo emergente através de qualquer esfera grande; calculando as correntes de probabilidade (Proposição 7.2) dos dois termos, a corrente radial emergente por ângulo sólido é $(\hbar k/m)|f|^2$ contra o fluxo incidente $\hbar k/m$ : a razão é a definição de $\dd\sigma/\dd\Omega$ . Que existam soluções com essa forma assintótica é admitido. ∎

Teorema 15.3 (Aproximação de Born)

Para um potencial fraco (ou um projétil rápido), a teoria de perturbações de primeira ordem em $V$ dá

f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int V(\vect r)\,\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}\,\dd^3r , \qquad \vect q = \vect k - \vect k' , \quad q = 2k\sin\frac\theta2 :

a amplitude é, a menos de constantes, a transformada de Fourier do potencial avaliada na transferência de momento $\hbar\vect q$ . Os experimentos de espalhamento são analisadores de Fourier da matéria: os ângulos pequenos leem comprimentos de onda longos (a estrutura grosseira), e os grandes, os detalhes finos — a razão mais profunda de “mais energia” significar “distâncias menores”.

Demonstração parcial. Esta é a regra de ouro de Fermi (Teorema 13.5) aplicada entre ondas planas $\ket{\vect k} \to \ket{\vect k'}$ : o elemento de matriz é $\int V\eu^{\iu(\vect k - \vect k')\cdot\vect r}\dd^3r$ , a densidade de estados finais fornece os fatores cinemáticos, e a contabilidade (admitida) os reúne em $f$ . A elasticidade dá $|\vect k'| = |\vect k|$ , donde $q = 2k\sin(\theta/2)$ pelo triângulo isósceles de $\vect k, \vect k'$ . ∎

Exemplo 15.4 (De Yukawa a Rutherford)

Para o potencial de Coulomb blindado $V = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi \varepsilon_0 r}\,\eu^{-r/a}$ , a integral de Born é elementar (Exercício 15.5) e, quando o raio de blindagem $a \to \infty$ ,

\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = \Big(\frac{Q_1Q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\Big)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} :

a seção de choque de Rutherford. Por uma coincidência exclusiva do $1/r$ , o cálculo clássico, a aproximação de Born e a resposta quântica exata concordam todos — e é por isso que Rutherford, calculando classicamente em 1911, obteve a fórmula certa e, da verificação dela lampejo a lampejo, o núcleo (Problema 15.1).

15.3 Ondas parciais e o comprimento de espalhamento

Teorema 15.5 (Defasagens)

Para um potencial central, decomponha o estado de espalhamento em momentos angulares: cada onda parcial $l$ deixa a região do potencial com sua oscilação radial deslocada de uma fase $\delta_l(k)$ — a atração a adianta, a repulsão a atrasa — e a amplitude observável se remonta como

f(\theta) = \frac1k\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,\eu^{\iu\delta_l} \sin\delta_l\,P_l(\cos\theta) , \qquad \sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l .

Em baixa energia, a intuição clássica ( $l \sim kb$ para o parâmetro de impacto $b$ ) diz que só $l = 0$ penetra: o espalhamento fica isotrópico e um único número governa,

f \to -a , \qquad \sigma \to 4\pi a^2 ,

em que $a = -\lim_{k\to0}\delta_0/k$ é o comprimento de espalhamento. Seja qual for sua complexidade interna, um alvo em baixa energia é o seu comprimento de espalhamento — a grande simplificação sobre a qual roda a física dos átomos frios.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Uma onda parcial deixa a região de interação com a oscilação deslocada: a defasagem _0. Tudo o que um detector pode saber sobre um potencial central a uma dada energia é a lista dessas defasagens. — Uma onda parcial deixa a região de interação com a oscilação deslocada: a defasagem $\delta_0$ . Tudo o que um detector pode saber sobre um potencial central a uma dada energia é a lista dessas defasagens.

Exemplo 15.6 (Nêutron encontra próton)

Os nêutrons lentos se espalham nos prótons com $\sigma \approx 20.4\,\mathrm{b}$ — uma área quarenta vezes o tamanho geométrico do dêuteron. A explicação: a colisão de baixa energia é onda $s$ pura, com dois canais de spin, cujos comprimentos de espalhamento medidos, $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ (tripleto) e $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ (singleto), são ambos muito maiores que o alcance de $2\,\mathrm{fm}$ da força. Um $|a|$ grande significa um estado quase em energia zero: o dêuteron mal ligado do tripleto (Exemplo 7.9) e, no singleto, um parceiro “virtual” que por pouco não se liga — fracasso escrito no $a_{\text{s}} < 0$ . Um enigma de vinte barns, resolvido por dois estados ligados por um triz (Exercício 15.7).

15.4 Ressonâncias

Proposição 15.7 (Ressonâncias de Breit–Wigner)

Se o projétil pode ser capturado temporariamente num estado quase ligado de energia $E_{\text{R}}$ e vida média $\tau = \hbar/\Gamma$ , a defasagem correspondente varre $\pi/2$ e a seção de choque parcial dispara:

\sigma_l(E) \approx \frac{4\pi}{k^2}\,(2l+1)\, \frac{\Gamma^2/4}{(E - E_{\text{R}})^2 + \Gamma^2/4} ,

um pico lorentziano de largura $\Gamma$ no teto que a onda pode alcançar (o “limite de unitariedade” $4\pi(2l+1)/k^2$ ). Lida ao contrário, uma ressonância numa seção de choque é a descoberta de um estado: sua posição é um nível de energia, e sua largura, uma vida média. Quase todo o zoológico de partículas do Capítulo 26 foi descoberto como saliências assim.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Duas faces da defasagem. À esquerda: um estado quase ligado varre por π/2 — um pico de Breit–Wigner cuja largura é uma vida média. À direita: o efeito Ramsauer–Townsend — no argônio, _0 passa por π perto de 1\, eV e o átomo fica quase transparente aos elétrons: interferência destrutiva como antirressonância. — Duas faces da defasagem. À esquerda: um estado quase ligado varre $\delta$ por $\pi/2$ — um pico de Breit–Wigner cuja largura é uma vida média. À direita: o efeito Ramsauer–Townsend — no argônio, $\delta_0$ passa por $\pi$ perto de $1\,\mathrm{eV}$ e o átomo fica quase transparente aos elétrons: interferência destrutiva como antirressonância.

Método 15.8 (Ler um problema de espalhamento)

(1) Cinemática primeiro: $k$ e a faixa acessível de $q$ , $0 \le q \le 2k$ — que escalas de estrutura são visíveis? (2) Rápido e fraco: Born — transforme o potencial por Fourier; verifique a pequenez. (3) Lento: ondas parciais, em geral só a $s$ ; pense em comprimento de espalhamento e espere $\sigma = 4\pi a^2$ (para partículas idênticas bosônicas: $8\pi a^2$ ). (4) Picos em $\sigma(E)$ : ajuste Breit–Wigner e informe um nível e uma vida média; vales: uma fase que passa por $\pi$ . (5) Alvos estendidos: multiplique a amplitude pontual pelo fator de forma — a transformada de Fourier da densidade (Exercício 15.12).

O primeiro laboratório de espalhamento: um microscópio de latão apontado para uma tela de sulfeto de zinco, contando um tênue lampejo verde por partícula que chega. A partir de contagens assim, ângulo a ângulo, Rutherford pesou o caroço do átomo. — O primeiro laboratório de espalhamento: um microscópio de latão apontado para uma tela de sulfeto de zinco, contando um tênue lampejo verde por partícula $\alpha$ que chega. A partir de contagens assim, ângulo a ângulo, Rutherford pesou o caroço do átomo.

15.5 Exercícios

Exercício 15.1 ★

Um feixe de prótons de $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ ( $6.2 \times 10^{12}$ prótons/s) e seção de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ atravessa uma folha de ouro de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). (a) A densidade superficial de alvos. (b) Com $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ por núcleo, que fração do feixe se espalha? (c) A taxa num detector de ângulo sólido $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ , caso o espalhamento fosse isotrópico. (d) Por que “seção de choque” é uma propriedade bem definida do par (projétil, alvo, energia), e não do alvo sozinho?

Solução

Solução de Exercício 15.1.

(a) $nt = 5.9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-2}$ . (b) $nt\sigma = 5.9 \times 10^{22} \times 10^{-27} = 5.9 \times 10^{-5}$ . (c) Taxa espalhada $6.2 \times 10^{12} \times 5.9 \times 10^{-5} = 3.7 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; em $10^{-3}/4\pi$ da esfera: $2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s}^{-1}$ . (d) A “área” codifica a interação e o comprimento de onda: o mesmo núcleo de ouro apresenta áreas diferentes a alfas, elétrons e nêutrons, e em energias diferentes.

Exercício 15.2 ★

Esferas rígidas clássicas de raios $R_1, R_2$ : (a) mostre que $\sigma = \pi(R_1 + R_2)^2$ . (b) Para as moléculas do ar ( $R \approx 0.15\,\mathrm{nm}$ , $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), o livre caminho médio $1/n\sigma$ : avalie e compare com o valor da teoria cinética do volume do primeiro ano. (c) Por que uma esfera rígida clássica não mostra estrutura angular ( $\dd\sigma/\dd\Omega$ constante — aceite ou demonstre)? (d) Que característica do espalhamento quântico por esfera rígida (Exercício 15.6) não tem contrapartida clássica?

Solução

Solução de Exercício 15.2.

(a) Centros mais próximos que $R_1 + R_2$ colidem: $\sigma = \pi(R_1 + R_2)^2$ . (b) $\sigma \approx 2.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$ : $\ell = 1/n\sigma \approx 0.14\,\text{µ}\mathrm{m}$ — a escala da teoria cinética (o $\sqrt2$ do movimento relativo a refina). (c) Uma esfera rígida reflete uniformemente em ângulo cada anel de parâmetro de impacto: isotrópica no limite clássico. (d) A seção de choque com fator quatro em baixa energia — pura difração ondulatória, que nenhuma lógica clássica de sombra sobrevive.

Exercício 15.3 ★

Transferência de momento. (a) Desenhe o triângulo de $\vect k$ , $\vect k'$ e deduza $q = 2k\sin(\theta/2)$ . (b) Para alfas de $5.5\,\mathrm{MeV}$ ( $k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ ): a faixa de $q$ com $\theta \in [0, \pi]$ e a menor estrutura resolúvel, $\sim 1/q_{\max}$ . (c) Para elétrons de $500\,\mathrm{MeV}$ ( $k \approx E/\hbar c$ ): o mesmo. (d) Extraia a moral que liga a energia do feixe ao poder do microscópio.

Solução

Solução de Exercício 15.3.

(a) Triângulo isósceles de ângulo no ápice $\theta$ : $q = 2k\sin(\theta/2)$ . (b) $q$ vai de $0$ a $2k = 2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ : estruturas até $\sim5 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ estão, em princípio, codificadas (a barreira de Coulomb, na prática, mantém as alfas do lado de fora). (c) $k = E/\hbar c = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$ : resolução de $\sim2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ — dentro do próton. (d) Resolução $\sim 1/q_{\max} \sim \hbar/p$ : comprar energia é comprar uma régua mais curta.

Exercício 15.4 ★

A partir do Teorema 15.2: (a) verifique que $|f|^2$ tem dimensões de área por ângulo sólido; (b) mostre que o fluxo espalhado através de uma esfera vale $\Phi\sigma$ ; (c) por que $f$ é, em geral, complexa (que lei de conservação a fase dela guarda)? (d) Enuncie o teorema óptico $\sigma_{\text{tot}} = (4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ e seu significado (a onda dianteira precisa ser depletada exatamente daquilo que se espalha para longe).

Solução

Solução de Exercício 15.4.

(a) $f$ é um comprimento; $|f|^2$ , uma área — por esferorradiano, por construção. (b) Integre $(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ sobre a esfera: $\Phi\sigma$ . (c) Conservação da probabilidade: a onda emergente tem de interferir destrutivamente com o feixe dianteiro para pagar pelo que se espalha; essa contabilidade mora na fase de $f$ . (d) O teorema óptico enuncia exatamente essa auditoria de sombra: remoção total $=$ déficit de interferência para a frente.

Exercício 15.5 ★★

Born para Yukawa. Com $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$ : (a) faça a integral de Born (a parte angular primeiro, depois $\int_0^ \infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$ ) para obter $f = -\dfrac{2mg} {\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$ . (b) Faça $\mu \to 0$ com $g = Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ e recupere Rutherford. (c) Por que a seção de choque total de Rutherford diverge, e que ingrediente físico (a blindagem pelos elétrons atômicos) restaura uma resposta finita? (d) Na física de partículas, a forma de Yukawa com $\mu = m_\pi c/\hbar$ modela a força nuclear: calcule seu alcance $1/\mu$ para $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$ .

Solução

Solução de Exercício 15.5.

(a) A integral angular dá $4\pi\sin(qr)/qr$ ; então, como $\int_0^\infty\eu^{-\mu r}\sin(qr)\,\dd r = q/(q^2 + \mu^2)$ , obtém-se $f = -2mg/\hbar^2(q^2 + \mu^2)$ . (b) $\mu \to 0$ : $|f|^2 = (2mg/\hbar^2q^2)^2$ ; com $q = 2k\sin(\theta/2)$ e $E = \hbar^2k^2/2m$ , essa é a fórmula de Rutherford. (c) A divergência em $\theta \to 0$ integra a infinito: toda partícula que passa é desviada um pouco pela força de alcance infinito; na matéria, os elétrons atômicos blindam o núcleo além de $\sim10^{-10}\,\mathrm{m}$ e cortam a divergência. (d) $\hbar/m_\pi c = 197.3/140 = 1.4\,\mathrm{fm}$ — o alcance da força nuclear, previsto a partir da massa do píon.

Exercício 15.6 ★★

A esfera rígida quântica (raio $a$ ), onda $s$ : do lado de fora, $u_0 = \sin(kr + \delta_0)$ com $u_0(a) = 0$ . (a) Mostre que $\delta_0 = -ka$ . (b) Mostre que $\sigma \to 4\pi a^2$ quando $k \to 0$ : quatro vezes a sombra geométrica. (c) Dê a explicação ondulatória do fator (a difração não tem sombra nítida em comprimento de onda longo). (d) Em alta energia a resposta tende a $2\pi a^2$ — ainda o dobro do geométrico (difração de sombra): por que nunca simplesmente $\pi a^2$ ?

Solução

Solução de Exercício 15.6.

(a) $\sin(ka + \delta_0) = 0$ , com a menor escolha: $\delta_0 = -ka$ . (b) $\sigma = (4\pi/k^2)\sin^2(ka) \to 4\pi a^2$ . (c) Em $\lambda \gg a$ , a onda sente a esfera como um defeito pontual e se reconstrói por difração em volta dela — “sombra” é um conceito de comprimento de onda curto, e a resposta ondulatória conta a superfície inteira, $4\pi a^2$ . (d) Mesmo em comprimentos de onda curtos, remover um disco de onda exige preenchimento por difração — a própria sombra espalha ( $\pi a^2$ de bloqueio $+$ $\pi a^2$ de difração de sombra).

Exercício 15.7 ★★

Os vinte barns do hidrogênio. Nêutrons lentos não polarizados sobre prótons amostram o canal tripleto com peso $3/4$ e o singleto com $1/4$ : $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 + a_{\text{s}}^2)$ . (a) Avalie com $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ e $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ e compare com os $20.4\,\mathrm{b}$ medidos. (b) Que canal domina, apesar do seu peso estatístico menor? (c) Relacione o tamanho e o sinal de $a_{\text{t}}$ com a ligação quase nula do dêuteron; o que $a_{\text{s}} < 0$ diz sobre o sistema singleto? (d) Por que a água é um moderador tão eficaz dos nêutrons de reator — e por que essa seção de choque importa para isso?

Solução

Solução de Exercício 15.7.

(a) $\pi(3 \times 5.4^2 + 23.7^2)\,\mathrm{fm}^{2} = \pi \times 649 \,\mathrm{fm}^{2} = 20.4\,\mathrm{b}$ — o valor medido. (b) O singleto: seu enorme $|a_{\text{s}}|$ supera o peso de $1/4$ . (c) $a_{\text{t}}$ grande e positivo: um estado ligado real (o dêuteron) logo abaixo do limiar; $a_{\text{s}}$ grande e negativo: um nível “virtual” logo acima — quase um segundo dêuteron que a natureza se recusou a ligar. (d) Os núcleos do hidrogênio são os parceiros de momento mais bem casados com os nêutrons (massas iguais), e vinte barns de espalhamento elástico por próton fazem da água um moderador soberbamente compacto.

Exercício 15.8 ★★

Ramsauer–Townsend. Modele o átomo de argônio, para um elétron que chega, como um poço quadrado atrativo de alcance $R = 0.2\,\mathrm{nm}$ . (a) Dentro, o número de onda é $K = \sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$ : o casamento pode fazer a onda externa emergir com $\delta_0 = \pi$ exatamente — quanto vale então a seção de choque de onda $s$ ? (b) Por que o átomo se torna quase invisível nessa energia, embora o poço seja forte? (c) Estime o $V_0$ que põe a transparência perto de $E = 1\,\mathrm{eV}$ (faça o poço conter meio comprimento de onda: $KR \approx \pi$ ). (d) Por que o hélio e o neônio não mostram o efeito em energias comparáveis (os poços deles são rasos demais para $\delta_0$ chegar a $\pi$ ) — e o que a mera existência do efeito prova sobre as ondas de matéria?

Solução

Solução de Exercício 15.8.

(a) $\sigma_0 = (4\pi/k^2)\sin^2\pi = 0$ : a onda $s$ sai exatamente como se nenhum átomo estivesse ali. (b) A onda é fortemente distorcida por dentro, mas emerge com um número inteiro de meias ondas a mais: nenhum desvio de fase observável, nenhum espalhamento — interferência destrutiva das ondículas espalhadas. (c) $KR \approx \pi$ com $E \ll V_0$ : $V_0 \approx \pi^2\hbar^2/2mR^2 \approx 9\,\mathrm{eV}$ — um poço de escala atômica. (d) Os poços mais rasos deles nunca fazem a fase percorrer $\pi$ em energias de eV. O efeito é inimitável classicamente: uma janela transparente numa atração forte só existe para ondas.

Exercício 15.9 ★★

Para uma amplitude puramente de onda $s$ , $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/ k$ : (a) calcule $\sigma$ ; (b) calcule $(4\pi/k)\operatorname{Im} f(0)$ e verifique o teorema óptico; (c) mostre que a seção de choque máxima de onda $s$ é $4\pi/k^2$ (o limite de unitariedade) e avalie-a para nêutrons térmicos ( $k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ) em barns; (d) por que uma ressonância nunca pode empurrar $\sigma_0$ além desse teto, por mais forte que seja a interação?

Solução

Solução de Exercício 15.9.

(a) $\sigma = 4\pi\sin^2\delta_0/k^2$ . (b) $\operatorname{Im}f(0) = \sin^2\delta_0/k$ : $(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0) = \sigma$ — verificado. (c) $\sin^2\delta_0 \le 1$ : teto $4\pi/k^2 \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2} = 10^{8}$ barns para nêutrons térmicos — sobra espaço mesmo acima dos absorvedores mais monstruosos (os milhões de barns do xenônio-135). (d) O teto é a unitariedade: uma onda não pode remover mais fluxo do que a interferência permite; a intensidade satura o seno, jamais o excede.

Exercício 15.10 ★★★

Uma ressonância de nêutrons. O urânio-238 exibe uma famosa ressonância para nêutrons em $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ , com largura total $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$ . (a) Calcule a vida média da ressonância. (b) Calcule $4\pi/k^2$ nessa energia, em barns, e compare com o pico medido de $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (a diferença é o fator de ramificação entre os canais elástico e de captura — comente). (c) A largura em unidades de temperatura: por que o alargamento Doppler dessa ressonância com a temperatura do combustível importa para a estabilidade do reator (que sinal de realimentação)? (d) Em duas frases: como ressonâncias assim fazem do $^{238}$ U um absorvedor de nêutrons na faixa epitérmica, e por que isso é central ao projeto de um reator.

Solução

Solução de Exercício 15.10.

(a) $\tau = \hbar/\Gamma = 6.58 \times 10^{-16}/0.027 = 2.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — longa nas escalas de tempo nucleares: um núcleo composto que “esquece” sua formação. (b) $4\pi/k^2 \approx 3.9 \times 10^{5}$ b; os $2.3 \times 10^{4}$ b observados são o teto vezes a fração de ramificação do canal de entrada ( $\Gamma_n/\Gamma \sim 0.06$ ) — as ressonâncias vendem ingressos por larguras parciais. (c) $\Gamma/k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ : aquecer o combustível alarga a ressonância por efeito Doppler, capturando mais nêutrons durante a moderação — a absorção cresce com a temperatura, uma realimentação negativa pronta, embutida no próprio urânio. (d) Entre as energias térmicas e as rápidas, a floresta de ressonâncias do $^{238}$ U devora nêutrons; a geometria do combustível e os moderadores são projetados para passar os nêutrons por ela, e sua realimentação Doppler é um pilar da segurança dos reatores.

Exercício 15.11 ★★★

Os átomos frios vivem de um número só. (a) Para bósons idênticos, a seção de choque de baixa energia vale $8\pi a^2$ (interferência de troca construtiva — aceite): avalie para o rubídio com $a = 100\,a_0$ . (b) A $T = 100\,\mathrm{nK}$ , verifique que $ka \ll 1$ (calcule $k$ a partir de $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$ , com $m = 1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ): o gás realmente esquece tudo, menos $a$ . (c) Perto de uma ressonância de “Feshbach”, um campo magnético arrasta um nível molecular através da energia zero e $a$ diverge e muda de sinal, exatamente como no Exemplo 15.6: o que acontece então com as interações do gás, à vontade do experimentador? (d) Por que essa sintonizabilidade — intensidade de interação num botão — é um instrumento de sonho para um físico (nomeie um uso: fabricar moléculas, simular matéria fortemente acoplada, colapsar condensados)?

Solução

Solução de Exercício 15.11.

(a) $a = 5.3\,\mathrm{nm}$ : $\sigma = 8\pi a^2 = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$ . (b) $k = \sqrt{2mk_{\text{B}}T}/\hbar \approx 6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $ka \approx 0.03 \ll 1$ . (c) O gás pode ser ajustado de ideal ( $a \approx 0$ ) a fortemente repulsivo, e daí a atrativo e instável — as interações como um botão experimental. (d) Varrer a ressonância emparelha átomos em moléculas; em $a \to \infty$ o gás fica tão fortemente acoplado quanto a matéria de estrela de nêutrons, em forma de bancada — simulação quântica por comprimento de espalhamento.

Exercício 15.12 ★★★

Fatores de forma: pesar nuvens de carga. Para uma densidade de carga estendida $\rho(\vect r)$ , a amplitude de Born multiplica a resposta pontual por $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r} \dd^3r/Q$ . (a) Mostre que $F(0) = 1$ . (b) Expanda para $q$ pequeno: $F \approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$ : medir o decaimento a $q$ baixo pesa $\langle r^2\rangle$ . (c) O espalhamento elétron–próton se ajusta com $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$ : que medida independente do Problema 11.1 (o hidrogênio muônico) a confere cruzadamente, e por que o desacordo histórico entre as duas (“o enigma do raio do próton”) foi levado tão a sério? (d) Em $q \gg 1/r_{\text{p}}$ , o fator de forma elástico colapsa, mas o espalhamento duro persiste sobre constituintes pontuais: diga numa frase o que a versão profundamente inelástica do experimento de Rutherford, em 1968, encontrou dentro do próton.

Solução

Solução de Exercício 15.12.

(a) $F(0) = \int\rho/Q = 1$ . (b) Expanda a exponencial; o termo linear tem média nula, e o quadrático dá $-q^2\langle r^2\rangle/6$ . (c) O deslocamento de Lamb do hidrogênio muônico (Problema 11.1) pesa o mesmo $\langle r^2\rangle$ por um método inteiramente diferente; o desacordo entre eles, no nível de $4\%$ (0,877 contra $0.841\,\mathrm{fm}$ ), implicava ou sistemáticas sutis ou física nova — daí uma década de novas medidas (sistemáticas, na maior parte, como acabou se decidindo). (d) O próton é uma nuvem mole com grãos duros dentro: quarks — o argumento de Rutherford, um nível abaixo.

15.6 Problema: Os contadores de lampejos que acharam o núcleo

Problema 15.1

Problema de fim de semana — o espalhamento de Rutherford, da geometria aos quarks

Em 1909, Geiger e Marsden ficaram sentados no escuro contando lampejos de cintilação: partículas alfa disparadas através de folha de ouro, algumas poucas quicando quase para trás — “como se um projétil tivesse ricocheteado num lenço de papel”. A análise que Rutherford fez dessas contagens, em 1911, criou o átomo nuclear. Este problema a refaz. Dados: energia da alfa $E = 5.5\,\mathrm{MeV}$ , carga $z = 2$ ; ouro $Z = 79$ , espessura da folha $t = 0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , densidade atômica $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $k_C = 1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ .

Parte I — Uma alfa, um núcleo.

Na imagem do pudim de passas (carga espalhada pelo átomo, $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), estime o desvio máximo que um único átomo poderia dar a uma alfa de $5.5\,\mathrm{MeV}$ (campo de uma esfera difusa: $\theta \sim$ força $\times$ tempo / momento $\sim 2Zze^2k_C/(E\cdot10^{-10}\,\mathrm{m})$ , em radianos). Algum acúmulo de empurrões assim poderia mandar alfas para trás?
Deixe agora a carga ser pontual. Escreva a distância de máxima aproximação $d_0$ para uma colisão frontal (toda a energia cinética convertida em energia coulombiana) e avalie-a.
O que uma taxa mensurável de espalhamento quase para trás implica, portanto, de imediato sobre quão concentrada é a carga positiva do átomo?
Para um parâmetro de impacto $b$ qualquer, a órbita clássica dá $\tan(\theta/2) = d_0/2b$ (admitido — a hipérbole do capítulo de gravitação do volume do primeiro ano, com repulsão): verifique os limites em $b \to 0$ e $b \to \infty$ .
Calcule o parâmetro de impacto que espalha uma alfa por mais de $90^\circ$ , e a fração das alfas que atravessam a folha e chegam a essa distância de algum núcleo ( $n t\,\pi b^2$ ).
Geiger e Marsden encontraram cerca de 1 alfa em 8000 desviada além de $90^\circ$ : compare.

Parte II — A seção de choque.

As alfas com parâmetro de impacto em $[b, b + \dd b]$ se espalham em $[\theta, \theta + \dd\theta]$ : de $\dd\sigma = 2\pi b\,|\dd b|$ e da relação orbital, deduza

$\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = \Big(\frac{d_0}{4}\Big)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} .$
Verifique que isso coincide com a resposta de Born/quântica do Exemplo 15.4 (reescreva $d_0$ em função de $E$ ).
Avalie $\dd\sigma/\dd\Omega$ em $\theta = 30^\circ$ , $60^\circ$ e $120^\circ$ (em barns por esferorradiano).
As contagens de Geiger e Marsden, em 1913, a geometria fixa, escalam como $1{:}\,\sin^{-4}(\theta/2)$ : calcule a razão de contagens prevista entre $30^\circ$ e $120^\circ$ e note que os dados deles seguiram razões assim ao longo de cinco ordens de grandeza de taxa.
Por que o $Z^2$ da mesma fórmula permite ao experimento pesar a carga nuclear — e como ajustes assim ajudaram a fixar $Z$ (ouro: 79) como o número atômico?
O $1/E^2$ : o que acontece com todo o padrão angular quando a energia da alfa é dobrada?

Parte III — O tamanho do núcleo.

Máxima aproximação no ângulo $\theta$ : $d(\theta) = \tfrac{d_0}2[1 + 1/\sin(\theta/2)]$ (admitido). Avalie-a para $\theta = 180^\circ$ e $60{}^{\circ}$ .
Enquanto $d(\theta)$ exceder o raio nuclear, a fórmula de carga pontual vale: que limite superior para o tamanho do núcleo de ouro os pontos a $180^\circ$ verificados por Rutherford estabeleceram?
Com projéteis de energia mais alta, as contagens a grande ângulo caem abaixo de Rutherford: o que esse desvio sinaliza (que força nova, a que distância)?
O espalhamento moderno de elétrons dá raios nucleares $R \approx r_0A^{1/3}$ com $r_0 = 1.2\,\mathrm{fm}$ : avalie para o ouro ( $A = 197$ ) e compare com o seu limite.
O $A^{1/3}$ : o que ele diz sobre a densidade da matéria nuclear (constante? crescente?) — um fato sobre o qual o Capítulo 25 vai construir.
Por que o modelo do pudim de passas (cego à carga) morreu deste experimento, e não da espectroscopia?

Parte IV — Os netos de Rutherford.

Liste a tabela exata de tradução entre 1911 e 1968: alfa $\to$ feixe de elétrons, átomo de ouro $\to$ próton, núcleo $\to$ quarks — o que fez o papel dos “eventos inesperados a grande ângulo” no SLAC?
Por que os elétrons são a sonda mais limpa (que complicação do espalhamento alfa–núcleo eles não têm)?
Em linguagem de Born: o espalhamento elástico a $q$ alto mede o colapso do fator de forma (uma nuvem mole), ao passo que as taxas profundamente inelásticas permaneceram grandes e quase pontuais: enuncie a conclusão que se tirou.
Um arco de século em três linhas: dê (energia da sonda, distância resolvida) para as alfas de 1911 ( $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ), o SLAC de 1968 ( $20\,\mathrm{GeV}$ , $\sim10^{-16}\,\mathrm{m}$ ) e o LHC (escala de TeV, $\sim10^{-19}\,\mathrm{m}$ ) — usando a regra “resolução $\sim \hbar c/(qc)$ ”.
Os nêutrons, sem carga, só se espalham nos núcleos (e nos momentos magnéticos): nomeie duas coisas que o espalhamento de nêutrons, por isso, mapeia em materiais e que os raios X veem mal (átomos leves, como o hidrogênio; ordem magnética).
As seções de choque de descoberta no LHC são medidas em femtobarns ( $10^{-43}\,\mathrm{m}^{2}$ ): do barn ao femtobarn vão quinze ordens de grandeza — o que isso diz sobre quão raras são as colisões interessantes, e por que a luminosidade (o fluxo entregue) é tão preciosa quanto a energia?
Resuma o resultado central: uma lei em $\sin^{-4}(\theta/2)$ , verificada lampejo a lampejo, colocou $99.98\%$ da massa do átomo num volume $10^{-14}$ do tamanho dele — e o mesmo experimento, repetido cada vez mais forte, nunca parou de encontrar a camada seguinte.

Solução

Solução de Problema 15.1.

1. $\theta \sim 8 \times 10^{-4}$ rad por átomo; mesmo uma caminhada aleatória por $10^4$ camadas atômicas acumula só alguns graus: o espalhamento para trás é impossível no pudim. 2. $E = k_CzZe^2/d_0$ : $d_0 = k_CzZe^2/E = 4.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ — quarenta femtômetros. 3. Que toda a carga positiva cabe dentro de $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ : dez mil vezes menor que o átomo. 4. $b \to 0$ : $\theta \to 180^\circ$ ; $b \to \infty$ : $\theta \to 0$ — ricochetes frontais, roçadas distantes. 5. $\theta > 90^\circ$ exige $b < d_0/2 = 2.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ : fração $nt\,\pi b^2 \approx 3 \times 10^{-5}$ — uma alfa em trinta mil, para esta folha. 6. A mesma ordem do uma em oito mil de Geiger e Marsden (as folhas deles eram mais espessas): os ricochetes “impossíveis” chegam exatamente com a frequência que um núcleo pontual exige. 7. $\dd\sigma = 2\pi b|\dd b|$ com $b = (d_0/2)\cot(\theta/2)$ : $|\dd b/\dd\theta| = (d_0/4)/\sin^2( \theta/2)$ , e $\dd\Omega = 2\pi\sin\theta\,\dd\theta$ ; ao montar tudo, os cancelamentos de $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ deixam $(d_0/4)^2\sin^{-4}(\theta/2)$ . 8. $d_0/4 = k_CzZe^2/4E = Q_1Q_2/16\pi\varepsilon_0E$ : o resultado de Born — a coincidência do $1/r$ . 9. $(d_0/4)^2 = 1.06\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ : $236$ , $17$ e $1.9\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ em $30^\circ$ , $60^\circ$ e $120^\circ$ . 10. $(\sin60^\circ/\sin15^\circ)^4 \approx 125$ : as contagens deles acompanharam razões assim ao longo de cinco décadas de taxa — a lei, não uma tendência. 11. A taxa escala como $Z^2$ a geometria fixa: comparar folhas calibra a própria carga nuclear, alimentando a identificação de $Z$ com o número atômico. 12. Toda taxa cai por um fator quatro; a forma angular fica intacta — uma assinatura experimental limpa do $1/E^2$ . 13. $d(180^\circ) = d_0 = 41\,\mathrm{fm}$ ; $d(60^\circ) = (d_0/2)(1 + 2) = 62\,\mathrm{fm}$ . 14. A fórmula valeu nos maiores ângulos: o núcleo de ouro é menor que $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ . 15. O projétil começa a tocar o núcleo: a força forte de curto alcance (e a absorção) entra em cena em distâncias femtométricas — o desvio mede a borda nuclear. 16. $R = 1.2 \times 197^{1/3} = 7.0\,\mathrm{fm}$ — confortavelmente dentro do limite de Rutherford. 17. Volume $\propto A$ : a matéria nuclear tem densidade fixa ( $\sim2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) — os núcleos são gotas de um líquido incompressível, a imagem de partida do Capítulo 25. 18. A espectroscopia interrogava os elétrons; só um projétil que penetra o átomo poderia testemunhar onde ficam a carga positiva e a massa. 19. Elétrons de $20$ GeV espalhados em ângulos e com perdas de energia improvavelmente grandes — eventos duros demais para um próton mole: o ricochete de Rutherford, reencenado. 20. Os elétrons não sentem a força forte e não têm subestrutura conhecida: uma sonda pontual que lê só a carga, sem nada da compositura da própria alfa. 21. O colapso do fator de forma elástico diz que o próton é uma nuvem difusa; a persistência do espalhamento inelástico duro diz que a nuvem contém constituintes pontuais — os quarks (pártons). 22. 1911: $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ; SLAC: $\hbar c/q \sim 0.2\,\mathrm{fm} = 2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ ; LHC: $\sim2 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}$ — cinco ordens de grandeza de régua em um século. 23. As posições do hidrogênio (no gelo, nos polímeros, nas proteínas) e as estruturas magnéticas (antiferromagnetos, espirais de spin) — ambas quase invisíveis aos raios X, ambas o feijão com arroz dos nêutrons. 24. Os processos que valem a pena descobrir ocorrem uma vez a cada $10^{15}$ encontros comuns: só uma luminosidade colossal transforma femtobarns em eventos por ano — projetar um colisor é aritmética de seção de choque. 25. Uma lei em $\sin^{-4}(\theta/2)$ , conferida lampejo a lampejo, concentrou a massa do átomo em $10^{-14}$ do volume dele; levado a $q$ cada vez maior, o mesmo experimento encontrou o tamanho do núcleo, depois seus constituintes, e continua procurando.

Termos definidos neste capítulo

Seção de choque

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