رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

5الهندسة التحليلية

كانت فكرة ديكارت الكبرى أن يصف النقط بأزواج من الأعداد، فيحوّل مسائل الهندسة إلى حسابات. وبصيغتين اثنتين فقط — صيغة المنتصف وصيغة المسافة — يمكن البرهان على أن مثلثًا متساوي الساقين، أو أن رباعيًا متوازي أضلاع، أو أن ثلاث نقط على استقامة واحدة، دون رسم أي مستقيم مساعد.

5.1 الإحداثيات في المستوي

تعريف 5.1 (نظام الإحداثيات)

يتألف نظام الإحداثيات في المستوي من مبدأ $O$ ومحورين مدرّجين يمران به: المحور الأفقي $x$ والمحور الشاقولي $y$ . وعندئذٍ يكون لكل نقطة $M$ زوج وحيد من الإحداثيات $(x, y)$ : هما فاصلتها $x$ وترتيبها $y$ . ويكون النظام متعامدًا ومتجانسًا إذا كان المحوران متعامدين ويحملان وحدة الطول نفسها. وكل الأنظمة في هذا الفصل متعامدة ومتجانسة.

تُحدَّد كل نقطة من المستوي بعددين: الفاصلة أولًا (أفقيًا)، ثم الترتيب (شاقوليًا).

5.2 منتصف قطعة

قضية 5.2 (صيغة المنتصف)

لتكن $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ . إحداثيات منتصف القطعة $[AB]$ ، وليكن $I$ ، هي

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

برهان. لننظر في الإحداثيات الأفقية. عند الانتقال من $A$ إلى $B$ ، تتغير الفاصلة بمقدار $x_B - x_A$ ؛ إذن فاصلة النقطة الواقعة في منتصف الطريق هي

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

أي متوسط الفاصلتين. وينطبق الحساب نفسه على التراتيب. ∎

مثال 5.3

من أجل $A(-1, 4)$ و $B(5, -2)$ ، يكون منتصف $[AB]$

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

وتعمل الصيغة في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا كانت $A(-1, 4)$ والمنتصف $I(2, 1)$ ، فإن $B$ تحقق $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ و $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ ، إذن $x_B = 5$ و $y_B = -2$ : أي أن النقطة $B$ هي نظيرة $A$ بالنسبة إلى $I$ .

5.3 المسافة بين نقطتين

مبرهنة 5.4 (صيغة المسافة)

في نظام متعامد ومتجانس، المسافة بين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ هي

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

برهان. لتكن $C$ النقطة $(x_B, y_A)$ : لها ارتفاع $A$ نفسه وفاصلة $B$ نفسها، إذن للمثلث $ACB$ زاوية قائمة في $C$ . وضلعا القائمة أفقي وشاقولي، وطولاهما $AC = \abs{x_B - x_A}$ و $CB = \abs{y_B - y_A}$ . وحسب مبرهنة فيثاغورس،

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

وبأخذ الجذر التربيعي (والطرفان غير سالبين) نحصل على الصيغة. ∎

صيغة المسافة هي مبرهنة فيثاغورس مطبقة على المثلث القائم ACB المبني على ضلع أفقي وضلع شاقولي. — صيغة المسافة هي مبرهنة فيثاغورس مطبقة على المثلث القائم $ACB$ المبني على ضلع أفقي وضلع شاقولي.

مثال 5.5

من أجل $A(1, 1)$ و $B(5, 3)$ :

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

وتُترك المسافات عادةً على صورتها المضبوطة (بجذر تربيعي)؛ ولا نقرّب إلا في النهاية إذا لزم جواب عشري.

ملاحظة 5.6

لا يهم ترتيب النقطتين: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ . لكن لا تنسَ التربيع! فالمسافة ليست $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ .

5.4 استعمال الصيغتين في الهندسة

طريقة 5.7 (طبيعة مثلث)

إذا أُعطيت ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ بإحداثياتها:

احسب مربعات الأطوال الثلاثة $AB^2$ و $AC^2$ و $BC^2$ بصيغة المسافة (فالاحتفاظ بالمربعات يجنّبك الجذور)؛
إذا تساوى مربعا طولين $\Rightarrow$ فالمثلث متساوي الساقين؛
وإذا كان أكبر مربعات الأطوال مساويًا لمجموع الآخرين، فالمثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل للضلع الأطول، حسب عكس مبرهنة فيثاغورس.

مثال 5.8

لتكن $A(0, 1)$ و $B(4, 3)$ و $C(2, -3)$ . عندئذٍ

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

أولًا، $AB^2 = AC^2$ ، إذن $AB = AC$ : فالمثلث متساوي الساقين في $A$ . وعلاوة على ذلك $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ ، إذن يكون المثلث كذلك قائم الزاوية في $A$ حسب عكس مبرهنة فيثاغورس.

طريقة 5.9 (التعرّف على متوازي الأضلاع)

يكون الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع بالضبط عندما يكون لقطريه $[AC]$ و $[BD]$ المنتصف نفسه. إذن: احسب المنتصفين بصيغة المنتصف وقارن بينهما.

مثال 5.10

لتكن $A(-1, 0)$ و $B(2, 2)$ و $C(5, 1)$ و $D(2, -1)$ . منتصف $[AC]$ هو $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ ؛ ومنتصف $[BD]$ هو $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ . وهما متطابقان، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.

الرباعي ABCD متوازي أضلاع لأن لقطريه المنتصف نفسه I(2, 1/2). — الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع لأن لقطريه المنتصف نفسه $I(2, \frac12)$ .

5.5 تمارين

تمرين 5.1 ★

لتكن $A(2, 5)$ و $B(-4, 1)$ . احسب إحداثيات منتصف $[AB]$ والمسافة $AB$ .

حل

حل التمرين 5.1.

المنتصف: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ . المسافة:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

تمرين 5.2 ★

لتكن $A(3, -2)$ و $I(1, 2)$ . أوجد إحداثيات النقطة $B$ التي تجعل $I$ منتصف $[AB]$ .

حل

حل التمرين 5.2.

كون $I$ منتصف $[AB]$ يعني $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ و $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ ، إذن $x_B = -1$ و $y_B = 6$ : أي $B(-1, 6)$ .

تمرين 5.3 ★

أي النقط $P(4, 1)$ و $Q(-3, 2)$ و $R(0, -5)$ أقرب إلى المبدأ $O(0,0)$ ؟ أجب بمسافات مضبوطة.

حل

حل التمرين 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ؛ $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ؛ $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ . وبما أن $13 < 17 < 25$ ، والجذر التربيعي متزايد، فإن $Q$ هي الأقرب إلى المبدأ.

تمرين 5.4 ★

علّم النقط $A(1, 2)$ و $B(5, 4)$ و $C(7, 0)$ على ورق مرسوم، ثم بيّن بالحساب أن المثلث $ABC$ متساوي الساقين. وهل هو قائم الزاوية؟

حل

حل التمرين 5.4.

مربعات الأطوال:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

نجد $AB = BC$ : فالمثلث متساوي الساقين في $B$ . وعلاوة على ذلك $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : فحسب عكس مبرهنة فيثاغورس يكون قائم الزاوية في $B$ أيضًا.

تمرين 5.5 ★★

لتكن $A(-2, 1)$ و $B(1, 3)$ و $C(4, 1)$ و $D(1, -1)$ .

بيّن أن $ABCD$ متوازي أضلاع.
احسب $AB$ و $BC$ . هل $ABCD$ معيّن (كل أضلاعه متساوية)؟
احسب $AC$ و $BD$ . هل $ABCD$ مستطيل (قطراه متساويان)؟

حل

حل التمرين 5.5.

1. منتصف $[AC]$ : $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ؛ ومنتصف $[BD]$ : $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ . والمنتصف نفسه: إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ و $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : إذن $AB \neq BC$ ، وليس معيّنًا.

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ و $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : إذن $AC \neq BD$ ، وليس مستطيلًا. إذن $ABCD$ متوازي أضلاع عادي.

تمرين 5.6 ★★

الدائرة التي مركزها $\Omega(2, 1)$ ونصف قطرها $5$ هي مجموعة كل النقط التي تبعد $5$ عن $\Omega$ . أي النقط $A(5, 5)$ و $B(-1, -3)$ و $C(6, 2)$ تقع على هذه الدائرة؟ وأيها داخلها؟ وأيها خارجها؟

حل

حل التمرين 5.6.

احسب مربعات المسافات إلى $\Omega(2,1)$ وقارنها بالمقدار $5^2 = 25$ :

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

النقطتان $A$ و $B$ على الدائرة؛ و $C$ داخلها ( $17 < 25$ ).

تمرين 5.7 ★★

لتكن $A(1, 1)$ و $B(7, 5)$ . أوجد كل نقط $M(x, 0)$ من المحور $x$ المتساوية البعد عن $A$ و $B$ . (اكتب $MA^2 = MB^2$ وحل بالنسبة إلى $x$ .)

حل

حل التمرين 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ و $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ . وبوضع $MA^2 = MB^2$ :

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

فالنقطة الوحيدة هي $M(6, 0)$ .

تمرين 5.8 ★★

لتكن $A(0, 3)$ و $B(4, 1)$ .

احسب إحداثيات منتصف $[AB]$ ، وليكن $I$ .
بيّن أن $M(2, 2) = I$ ، ثم تحقق بحساب $MA$ و $MB$ من أن $M$ متساوية البعد عن $A$ و $B$ .
أوجد نقطة ثانية، على المحور $y$ ، متساوية البعد عن $A$ و $B$ .

حل

حل التمرين 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

2. النقطة $M(2,2)$ هي فعلًا $I$ . و $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ و $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : فالمنتصف متساوي البعد عن الطرفين، كما هو متوقع.

3. نبحث عن $N(0, y)$ تحقق $NA^2 = NB^2$ :

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

إذن $y = -2$ : أي النقطة $N(0, -2)$ .

تمرين 5.9 ★★

أُعطيت النقط $A(-1, -1)$ و $B(3, 1)$ و $C(11, 5)$ . احسب $AB$ و $BC$ و $AC$ ، واستنتج أن $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة. (تكون ثلاث نقط على استقامة واحدة بالضبط عندما تكون أكبر المسافات الثلاث مساويةً لمجموع الأخريين.)

حل

حل التمرين 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

عندئذٍ $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : فمتراجحة المثلث صارت مساواة، إذن تقع $B$ على القطعة $[AC]$ — أي أن النقط الثلاث على استقامة واحدة.

تمرين 5.10 ★★★

لتكن $A(a, 0)$ و $B(0, b)$ حيث $a, b > 0$ ، وليكن $I$ منتصف $[AB]$ . بيّن بالحساب أن $OI = IA = IB$ ، حيث $O$ هو المبدأ. (وهذا يبرهن على مبرهنة كلاسيكية: في مثلث قائم، يكون منتصف الوتر متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة.)

حل

حل التمرين 5.10.

منتصف $[AB]$ هو $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ . عندئذٍ

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

و $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ كذلك. فمربعات المسافات الثلاثة متساوية، إذن $OI = IA = IB$ : أي أن منتصف وتر المثلث القائم $OAB$ متساوي البعد عن الرؤوس الثلاثة (وهو مركز دائرته المحيطة).

5.6 مسألة: جسر ديكارت — معادلات الدوائر وكيف تعرف أين أنت

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — الدائرة تصير معادلة، والمبرهنات القديمة تصير حسابات، وثلاث منارات تحدّد نقطة: التموضع بالمسافات جبريًا

سنة 1637 بنى رينيه ديكارت جسرًا بين قارتين: فصار كل منحنى هندسي معادلة، وصار كل سؤال هندسي حسابًا. تعبر هذه المسألة الجسر في الاتجاهين — فتشتق معادلة الدائرة من صيغة المسافة (المبرهنة 5.4)، وتعيد برهان المبرهنات الكلاسيكية في ثلاثة أسطر من الجبر، وتنتهي حيث يحمل الجسر أكبر حركة اليوم: حساب موضع من إشارات المسافة، وهو قلب التموضع العالمي مستويًا.

الجزء الأول — الدائرة تنال معادلة.

تقع النقطة $M(x, y)$ على الدائرة التي مركزها $\Omega(2, 1)$ ونصف قطرها $5$ بالضبط عندما $\Omega M = 5$ . ربّع هذا الشرط لتحصل على معادلة الدائرة:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
اختبر الانتماء: أي النقط $A(5, 5)$ و $B(6, 4)$ و $D(4, 4)$ تقع على الدائرة، وأيها داخلها، وأيها خارجها؟
دائرة متنكرة: أتمّ المربعات (المسألة 2.1) في

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

وأعطِ مركزها ونصف قطرها.
افعل الشيء نفسه مع $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . ماذا تكشف الصورة المكتملة؟ وبيّن المحك: متى تصف $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ دائرة، أم نقطة وحيدة، أم لا شيء البتة؟
قاطع دائرة السؤال 3 بالمستقيم الأفقي $y = 3$ : عوّض وحل. كم نقطة تحصل عليها، وما الاسم الهندسي لمستقيم كهذا؟

الجزء الثاني — مبرهنات قديمة في ثلاثة أسطر.

مبرهنة الدائرة في الكتاب السابق (زاوية قائمة في كل نصف دائرة)، معادًا برهانها جبريًا: ليكن $A(-r, 0)$ و $B(r, 0)$ طرفي قطر ولتكن $M(x, y)$ نقطة كيفية من الدائرة $x^2 + y^2 = r^2$ . احسب $MA^2 + MB^2$ واختم بعكس مبرهنة فيثاغورس أن الزاوية $\widehat{AMB}$ قائمة.
مبرهنة المتوسط: من أجل $A(-a, 0)$ و $B(a, 0)$ (فيكون منتصف $[AB]$ هو المبدأ $I$ )، بيّن أنه من أجل كل نقطة $M(x, y)$ :

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
استنتج المحل الهندسي للنقط $M$ التي تحقق $MA^2 + MB^2 = 26$ عندما $AB = 6$ : أي منحنى، وأي مركز، وأي نصف قطر؟
محل هندسي آخر: $A(0,0)$ و $B(3,0)$ ؛ أوجد كل النقط التي تحقق $MA = 2\,MB$ . (ربّع، وانشر، وأتمّ المربعات: تظهر دائرة شهيرة — عرفها أبولونيوس دون إحداثيات.)
في جملة أو جملتين: ماذا يغيّر جسر ديكارت في كيفية برهان المبرهنات؟ قارن السؤال 6 ببرهان المستطيل في مبرهنة الدائرة في الكتاب السابق (زاوية قائمة في كل نصف دائرة).

الجزء الثالث — ثلاث منارات تجدك. موضعك $M(x, y)$ مجهول. تقيس المنارة $P(0, 0)$ بعدك فتجده $5$ ؛ وتقيسه المنارة $Q(6, 0)$ فتجده $5$ أيضًا.

اكتب معادلتي الدائرتين، واطرح إحداهما من الأخرى، وراقب المربعات تتلاشى: أي معادلة بسيطة تبقى؟ اجمعها مع إحدى الدائرتين لتجد الموضعين المرشحين.
تقيس منارة ثالثة $R(0, 8)$ بعدك فتجده $5$ . احسب بعدها عن كل مرشح وقرّر أين أنت.
فسّر لماذا يعطي طرح معادلتي دائرتين دائمًا معادلة مستقيم (أي الحدود تتلاشى؟)، وما ذلك المستقيم هندسيًا عندما تتقاطع الدائرتان في نقطتين.
يعمل التموضع بالأقمار الصناعية فعليًا في الفضاء وبساعات غير مضبوطة: فيعطي كل قمر (عبر زمن انتقال الإشارة) مسافةً واحدة، أي كرة واحدة. كم مجهولًا لدى المستقبِل (الموضع وخطأ ساعته هو)، ولماذا يصغي التموضع العالمي إذن إلى أربعة أقمار على الأقل؟
الدقة: لنفترض أن بعد المنارة $P$ هو في الحقيقة $5.1$ بدل $5$ (مع بقاء كل شيء آخر). أعد طرح السؤال 11 لتجد $x$ الجديد، وقدّر كم انتقل التقدير. (قارن بأفكار ميزانية الخطأ في المسألة 1.1.)

الجزء الرابع — عدة المساح.

أقصر طريق إلى الماء: مخيّم في $A(1, 5)$ ، وحظيرة في $B(7, 3)$ ، ونهر مستقيم على المحور $y = 0$ . للانتقال من $A$ إلى النهر ثم إلى $B$ بأقل مشي: اعكس $B$ بالنسبة إلى النهر إلى $B'$ ، وأوجد أين تقطع القطعة $[AB']$ النهر. أعطِ نقطة القطع والطول الكلي الأصغري. (والفكرة هي تمرين ارتداد البلياردو في الكتاب السابق، وقد صارت الآن قابلة للحساب تمامًا.)
أكّد الأصغرية على منافس: احسب الطريق الكلي عبر $Q(3, 0)$ وتحقق من أنه يخسر أمام جوابك.
صنّف الرباعي $A(1,1)$ و $B(4,2)$ و $C(5,5)$ و $D(2,4)$ تصنيفًا كاملًا: متوازي أضلاع؟ معيّن؟ مستطيل؟ مربع؟ (الطريقة 5.9 و الطريقة 5.7 — وقارن القطرين أيضًا.)
من أجل $A(-1, 2)$ و $B(3, 4)$ و $C(6, 0)$ ، أوجد $D$ بحيث يكون $ABCD$ متوازي أضلاع (حيلة منتصف القطر في مسألة نهاية الأسبوع عن أنصاف الدورات في الكتاب السابق، بالصيغ الآن).
الخاتمة: ثلاث أدوات — صيغة المنتصف، وصيغة المسافة، وطرح معادلتي دائرتين. سمِّ لكل منها نوع السؤال الذي حسمته في هذه المسألة، وبيّن ما يضيفه الفصلان التاليان إلى العدة (الاتجاهات والميول: المتجهات ومعادلات المستقيمات).

حل

حل المسألة 5.1.

1. $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ حسب صيغة المسافة (المبرهنة 5.4) — والتربيع غير مؤذٍ، لأن الطرفين موجبان.

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : على الدائرة. $B$ : $16 + 9 = 25$ : عليها أيضًا. $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : داخلها.

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ و $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ ، إذن تُكتب المعادلة $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ : المركز $(3, -2)$ ونصف القطر $5$ .

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : ومجموع مربعين ليس سالبًا أبدًا — فلا نقطة تحققها: المجموعة خالية. وبوجه عام، تصف $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ دائرة نصف قطرها $\sqrt c$ إذا كان $c > 0$ ، والنقطة الوحيدة $(h, k)$ إذا كان $c = 0$ ، وتصف المجموعة الخالية إذا كان $c < 0$ .

5. من أجل $y = 3$ : $(x - 3)^2 + 25 = 25$ ، إذن $(x - 3)^2 = 0$ : أي النقطة الوحيدة $(3, 3)$ . نقطة تماس واحدة: فالمستقيم مماس للدائرة.

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (باستعمال $x^2 + y^2 = r^2$ ). وبما أن $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ ، فإن المثلث $AMB$ يحقق $MA^2 + MB^2 = AB^2$ : أي أنه قائم الزاوية في $M$ (عكس مبرهنة فيثاغورس) — ثلاثة أسطر، كما وُعد.

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ ، و $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ . إذن المتطابقة مبرهنة.

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ يعطي $MI^2 = 4$ : أي الدائرة التي مركزها المنتصف $I$ ونصف قطرها $2$ .

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ ، أي $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ ، أو $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ : وبإتمام المربع، $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — أي الدائرة التي مركزها $(4, 0)$ و نصف قطرها $2$ (دائرة أبولونيوس ذات النسبة $2$ ).

10. يحوّل الجسر الإنشاءات إلى حسابات: فلا مستطيل مساعد ولا مناقشة حالات — نشر واحد وتسقط المبرهنة. والثمن: أن الحسابات تحمل بصيرة هندسية أقل؛ فالبرهان الكلاسيكي يبيّن لماذا، والبرهان الجبري يبيّن أن — والرياضي المحترف يحتفظ بكليهما.

11. $x^2 + y^2 = 25$ و $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ . وبالطرح: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ ، أي $12x - 36 = 0$ : فيكون $x = 3$ . ثم $9 + y^2 = 25$ : فيكون $y = \pm 4$ . والمرشحان $(3, 4)$ و $(3, -4)$ .

12. من $(3, 4)$ إلى $R(0, 8)$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ — مطابق. ومن $(3, -4)$ : $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — خطأ. إذن أنت في $(3, 4)$ .

13. تحمل المعادلتان المقدار $x^2 + y^2$ نفسه (أو بمعاملات متساوية بعد النشر): فالطرح يلغي المربعات ويترك معادلة من الدرجة الأولى — أي مستقيمًا. وعندما تلتقي الدائرتان مرتين، يمر ذلك المستقيم بنقطتي اللقاء: إنه مستقيم الوتر المشترك.

14. أربعة مجاهيل: الإحداثيات الثلاثة زائد خطأ ساعة المستقبِل (وهي ساعة رخيصة تصححها الرياضيات). ويعطي كل قمر معادلة واحدة، فتعطي أربعة أقمار أربع معادلات لأربعة مجاهيل — وتحسّن الأقمار الإضافية الدقة.

15. يعطي الطرح الآن $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ : أي أن خطأ $10$ سم في مسافة واحدة نقل التقدير نحو $8$ سم هنا. فالأخطاء تنتشر عبر كل صيغة — إنه تحذير حساب الفترات في المسألة 1.1، بالإحداثيات هذه المرة.

16. النقطة $B' (7, -3)$ . وميل المستقيم $(AB')$ هو $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ ويقطع $y = 0$ في $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ : فاشرب عند $P(4.75,\ 0)$ . والطول الأصغري: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

17. عبر $Q(3, 0)$ : $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ . إذن يفوز المستقيم المنعكس.

18. منتصفا القطرين: $[AC]$ : $(3, 3)$ ؛ و $[BD]$ : $(3, 3)$ — متساويان: فهو متوازي أضلاع. والأضلاع: $AB = \sqrt{10} = AD$ : فهو معيّن. والقطران: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : فليس مستطيلًا، وبالتالي ليس مربعًا. الحكم: معيّن، ولا شيء أكثر.

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : عندئذٍ يتقاسم $[AC]$ و $[BD]$ المنتصف $\left(\frac52, 1\right)$ .

20. صيغة المنتصف: متوازيات الأضلاع والمراكز (السؤالان 18 و 19). صيغة المسافة: الدوائر، والمحال الهندسية، وطبائع المثلثات، وأقصر الطرق (الأسئلة 1–9 و 16). وطرح معادلتي دائرتين: المستقيم الذي يحدد الموضع (الأسئلة 11–15). وما ينقص العدة: جبر نظيف للاتجاهات — المتجهات — وللميول — معادلات المستقيمات والجمل: والفصلان التاليان يقدمان ذلك بالضبط.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

نظام الإحداثيات

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد