رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

33المتغيرات العشوائية والتوزيع الثنائي

يرفق المتغير العشوائي عددًا بكل إمكانية من إمكانيات تجربة: ربحًا، أو عددًا، أو مدة. وأمله الرياضي هو متوسط القيم التي ينتجها على المدى الطويل، وتباينه يقيس تبددها. ونجم هذا الفصل هو التوزيع الثنائي، الذي يعدّ النجاحات في تجارب مستقلة مكرَّرة. وقد لُقيت المتغيرات العشوائية والتوزيع الثنائي أول مرة في الفصول 18 و19؛ ويراجعهما هذا الفصل و يعمّقهما، وأدوات التوافيق في الفصل 27 صارت الآن متاحة.

33.1 المتغيرات العشوائية المتقطعة

تعريف 33.1 (المتغير العشوائي وتوزيعه)

المتغير العشوائي على مجموعة إمكانيات منتهية $\Omega$ هو دالة $X \colon \Omega \to \R$ . و توزيعه (أو قانونه) هو معطى قيمه الممكنة $x_1, \dots, x_k$ والاحتمالات

p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .

تعريف 33.2 (الأمل الرياضي والتباين والانحراف المعياري)

الأمل الرياضي للمتغير $X$ هو

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,

وتباينه وانحرافه المعياري هما

\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

قضية 33.3 (صيغة كونيغ–هويغنز)

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$ .

برهان. اكتب $m = \E(X)$ وانشر:

\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2) = \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere

∎

قضية 33.4 (التحويل التآلفي)

من أجل $a, b \in \R$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad \V(aX + b) = a^2\,\V(X) .

برهان. الأولى إعادة ترتيب للمجموع المعرِّف. وأما الثانية، فإن $aX + b$ ينحرف عن متوسطه بمقدار $a(X - \E(X))$ ، والتربيع يضرب في $a^2$ . ∎

مثال 33.5 (الألعاب العادلة)

لعبة تكلّف $2$ أورو؛ يُرمى فيها حجر نرد، ويقبض اللاعب القيمة الظاهرة إن كانت $5$ على الأقل، ولا شيء فيما عدا ذلك. ويأخذ الربح $G$ القيم $-2$ (باحتمال $\frac46$ ) و $3$ ( $\frac16$ ) و $4$ ( $\frac16$ ):

\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .

فيخسر اللاعب وسطيًا $17$ سنتًا في كل لعبة: أي إن اللعبة غير مواتية (كما هو حال معظم الألعاب الحقيقية).

33.2 تجارب برنولي والتوزيع الثنائي

تعريف 33.6 (توزيع برنولي)

تجربة برنولي هي تجربة لها إمكانيتان، النجاح (باحتمال $p$ ) والفشل (حيث $q = 1 - p$ ). ويتبع مؤشر النجاح $X$ ( $X = 1$ عند النجاح و $0$ عند الفشل) توزيع برنولي $\mathcal B(p)$ :

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .

(وفعلًا $\E(X) = p$ و $\E(X^2) = p$ ، وتعطي صيغة كونيغ–هويغنز أن $\V(X) = p - p^2$ .)

تعريف 33.7 (التوزيع الثنائي)

كرّر تجربة برنولي $n$ مرة على نحو مستقل، وليكن $X$ العدد الكلي للنجاحات. عندئذٍ يكون توزيع $X$ هو التوزيع الثنائي $\mathcal B(n, p)$ .

ثلاث تجارب برنولي: بالضبط 32 = 3 من المسارات 23 تعطي نجاحين (بالأحمر)، كل منها باحتمال p2(1-p)، إذن (X = 2) = 3p2(1-p). — ثلاث تجارب برنولي: بالضبط $\binom{3}{2} = 3$ من المسارات $2^3$ تعطي نجاحين (بالأحمر)، كل منها باحتمال $p^2(1-p)$ ، إذن $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$ .

مبرهنة 33.8

إذا كان $X \sim \mathcal B(n, p)$ ، فإنه من أجل $0 \leq k \leq n$ :

\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .

برهان. لمتتالية محدَّدة من النتائج فيها $k$ نجاحًا و $n-k$ فشلًا الاحتمال $p^k(1-p)^{n-k}$ بالاستقلال؛ وعدد هذه المتتاليات هو عدد طرائق وضع النجاحات $k$ بين التجارب $n$ ، أي $\binom nk$ (الفصل 27). وبالجمع على المتتاليات نجد الصيغة — وتؤكد مبرهنة ثنائي الحد أن $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$ .

وأما الأمل الرياضي، فباستعمال $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ (التمرين 27.7):

\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k} = np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} = np\,(p + q)^{n-1} = np .

ويُبرهن على صيغة التباين بالمثل بواسطة المتطابقة $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ ، مما يعطي $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ ، ومنه $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$ . (وأما البرهان البنيوي — وهو تباين مجموع متغيرات مستقلة — فيأتي مع المبرهنة 34.4.) ∎

التوزيع B(20, 0.3): المتوسط np = 6، والانحراف المعياري √npq 2.05. — التوزيع $\mathcal B(20, 0.3)$ : المتوسط $np = 6$ ، والانحراف المعياري $\sqrt{npq} \approx 2.05$ .

طريقة 33.9 (التعرف على وضعية ثنائية)

تحقق من المكونات الثلاثة قبل أن تكتب $X \sim \mathcal B(n,p)$ : عدد ثابت $n$ من التجارب؛ وإمكانيتان في كل تجربة باحتمال النجاح نفسه $p$ ؛ واستقلال التجارب (بالمعاينة مع الإرجاع، أو من مجتمع كبير). ثم استعمل

\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n

من أجل “نجاح واحد على الأقل”، وآلة حاسبة أو جداول تراكمية من أجل $\P(X \leq k)$ العامة.

مثال 33.10

كم مرة يجب أن يُرمى حجر نرد ليكون احتمال الحصول على ستة $99\%$ على الأقل؟ مع $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ : $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ يعني $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$ ، أي $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$ : أي ابتداءً من $n = 26$ رمية.

33.3 تمارين

تمرين 33.1 ★

متغير عشوائي $X$ يأخذ القيم $-1, 0, 2, 5$ بالاحتمالات $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$ . احسب $\E(X)$ و $\V(X)$ و $\sigma(X)$ .

حل

حل التمرين 33.1.

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$ . و $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$ ، إذن بصيغة كونيغ–هويغنز $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ و $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$ .

تمرين 33.2 ★

اختبار متعدد الخيارات فيه $10$ أسئلة، لكل منها $4$ خيارات، واحد منها صحيح. ويجيب تلميذ عشوائيًا بانتظام وعلى نحو مستقل. وليكن $X$ عدد الأجوبة الصحيحة.

أعطِ توزيع $X$ و $\E(X)$ و $\sigma(X)$ .
احسب $\P(X = 0)$ و $\P(X = 5)$ و $\P(X \geq 1)$ .

حل

حل التمرين 33.2.

1. الأسئلة $10$ تجارب برنولي مستقلة حيث $p = \frac14$ : $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$ ، و $\E(X) = 2.5$ ، و $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875} \approx 1.37$ .

2. $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$ ؛

\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5 \approx 0.058; \quad \P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .

تمرين 33.3 ★

تؤمّن شركة تأمين $n = 400$ زبونًا؛ ويقدّم كل منهم مطالبة خلال السنة باحتمال $p = 0.05$ ، على نحو مستقل. وليكن $X$ عدد المطالبات. حدّد توزيع $X$ واحسب أمله الرياضي و انحرافه المعياري.

حل

حل التمرين 33.3.

تجارب متماثلة مستقلة: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$ ، إذن $\E(X) = 20$ مطالبة و

\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .

تمرين 33.4 ★★

في لعبة المثال 33.5، يريد المنظّم لعبة عادلة ( $\E(G) = 0$ ) بتغيير سعر الدخول $c$ . أوجد $c$ . واحسب تباين الربح في هذه النسخة العادلة؛ فهل “العادل” هو نفسه “الخالي من الخطر”؟

حل

حل التمرين 33.4.

المبلغ المقبوض $P$ يحقق $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$ ، إذن السعر العادل هو $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ أورو. والربح العادل $G = P - \frac{11}6$ يأخذ القيم $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ بالاحتمالات $\frac46, \frac16, \frac16$ :

\V(G) = \E(G^2) = \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

فللعبة العادلة ربح وسطي معدوم لكن نتائجها تظل تتذبذب: فالعادل ليس خاليًا من الخطر.

تمرين 33.5 ★★

لاعبة كرة سلة تسجّل الرميات الحرة باحتمال $0.7$ . وترمي $8$ مرات (والرميات مستقلة). احسب احتمال أن تسجّل: $6$ بالضبط؛ و $6$ على الأقل؛ ومرة واحدة على الأقل. وما العدد الأرجح من التسجيلات؟

حل

حل التمرين 33.5.

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$ .

\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;

\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8) \approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8 \approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$ . والمنوال: $(n+1)p = 6.3$ ، إذن القيمة الأرجح هي $k^* = 6$ (التمرين 33.7).

تمرين 33.6 ★★

تعرف شركة طيران أن كل مسافر حجز يحضر باحتمال $0.9$ ، على نحو مستقل. ولرحلة $100$ مقعد وتبيع الشركة $104$ تذكرة. عبّر، باستعمال توزيع ثنائي، عن احتمال أن يحضر مسافرون أكثر من المقاعد، وقدّر ذلك عدديًا باستعمال آلة حاسبة (وأعطِ العبارة المضبوطة).

حل

حل التمرين 33.6.

عدد المسافرين الحاضرين هو $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ ؛ و يكون الحجز زائدًا عندما $X \geq 101$ :

\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k} \approx 0.006 .

فبيع تذاكر أكثر من المقاعد بنسبة $4\%$ يسبّب حادثة في نحو $0.6\%$ فقط من الرحلات — وهذا هو اقتصاد الحجز الزائد.

تمرين 33.7 ★★

ليكن $X \sim \mathcal B(n, p)$ . بيّن أن

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},

واستنتج أن التوزيع يتزايد حتى $k^* = \floor{(n+1)p}$ ويتناقص بعدها (وهو منوال التوزيع الثنائي).

حل

حل التمرين 33.7.

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p} = \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},

باستعمال $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$ . وهذه النسبة $\geq 1$ إذا وفقط إذا كان $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ إذا وفقط إذا كان $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ إذا وفقط إذا كان $k \leq (n+1)p - 1$ . إذن تتزايد الاحتمالات تمامًا ما دام $k + 1 \leq (n+1)p$ وتتناقص بعدها: فالقيمة العظمى تُبلَغ عند $k^* = \floor{(n+1)p}$ (وتتقاسمها مع $k^* - 1$ عندما يكون $(n+1)p$ عددًا صحيحًا).

تمرين 33.8 ★★★

(سان بطرسبورغ مروَّضةً.) تُرمى قطعة نقد غير مغشوشة حتى تظهر الصورة، لكن $10$ مرات على الأكثر. وليكن $N$ عدد الرميات المستعملة، و يقبض اللاعب $2^N$ أورو إذا ظهرت الصورة، و $0$ فيما عدا ذلك.

أعطِ توزيع $N$ مقصورًا على الإمكانيات الرابحة: $\P(\text{أول صورة عند الرمية } k) = 2^{-k}$ من أجل $1 \leq k \leq 10$ ، وتحقق من الاحتمال الكلي للربح.
احسب المدفوع المأمول. وماذا سيصير لولا سقف الرميات $10$ ؟

حل

حل التمرين 33.8.

1. أول صورة عند الرمية $k$ يعني $k-1$ ظهرًا ثم صورة: باحتمال $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$ ، من أجل $1 \leq k \leq 10$ . والاحتمال الكلي للربح $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (فلا تُخسر اللعبة إلا عند عشرة أظهر متتالية).

2. المدفوع المأمول:

\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ أورو}.

ولولا السقف، لتباعد المجموع $\sum_{k\geq1} 1$ : فيكون المدفوع المأمول لانهائيًا، مع أن اللعبة تدفع دائمًا تقريبًا مبلغًا صغيرًا — وهي مفارقة سان بطرسبورغ الشهيرة، التي تبيّن أن الأمل الرياضي وحده لا يقيس قيمة لعبة.

33.4 مسألة: الرحلة ذات الحجز الزائد

مسألة 33.1

مسألة نهاية الأسبوع — شركات الطيران تبيع مقاعد أكثر مما تملك، والمصانع تقبل دفعات بالكاد فحصتها، و التوزيع الثنائي يحكّم بينهما

شركة طيران فيها $100$ مقعد تبيع بسرور $105$ تذكرة: فنحو $10\,\%$ من المسافرين لا يحضرون أبدًا، والمقاعد الفارغة لا تكسب شيئًا. فإلى أي حد تستطيع الشركة أن تدفع قبل أن يأكل المسافرون المُنزَلون الربح؟ يجيب التوزيع الثنائي (المبرهنة 33.8) بدقة الرقم العشري — و الآلة نفسها تفحص دفعات المصانع، وتسعّر اليانصيبات، و تبقي المؤمّنين قادرين على الدفع. قرارات تحت التكرار: هذه هي وظيفة التوزيع الثنائي اليومية.

الجزء الأول — التمكّن.

أعطِ جدول التوزيع الكامل لعدد $X$ من الأوجه الستة في ثلاث رميات لحجر نرد.
احسب $\E(X)$ و $V(X)$ (التعريف 33.2).
كشك يتقاضى $1$ أورو مقابل ثلاث رميات ويدفع $2$ أورو عن كل ستة تظهر. احسب الربح المأمول: فهل اللعبة عادلة؟
تدرَّب على قائمة التحقق (الطريقة 33.9): هل عدد القلوب في $5$ أوراق تُسحب بدون إرجاع ثنائي؟ وماذا لو كان مع الإرجاع؟ برّر.
من أجل $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : أعطِ $\E(X)$ و $\sigma(X)$ ، ثم $\E(S)$ و $\sigma(S)$ من أجل النتيجة $S = 5X - 10$ (القضية 33.4).

الجزء الثاني — الرحلة ذات الحجز الزائد. المقاعد: $100$ . والتذاكر المبيعة: $105$ . ويحضر كل حامل تذكرة باحتمال $0.9$ ، على نحو مستقل؛ وليكن $X$ عدد الحاضرين.

النمذجة: برّر $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ بقائمة التحقق — واعترف بأضعف نقطة في النموذج (فهل عدم الحضور مستقل فعلًا؟ فكّر في المجموعات والعواصف).
احسب $\E(X)$ و $\sigma(X)$ .
يحدث الإنزال عندما يكون $X \geq 101$ : اكتب $\P(X \geq 101)$ مجموعًا صريحًا من خمسة حدود ثنائية.
قدّر المجموع (بآلة حاسبة): فما نسبة الرحلات التي ترى مسافرًا مُنزَلًا واحدًا على الأقل؟
المال: تجلب التذاكر الخمس الزائدة $5 \times 200 = 1\,000$ أورو؛ ويكلّف كل مسافر مُنزَل $800$ أورو تعويضًا. احسب العدد المأمول للمسافرين المُنزَلين، $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ ، والتعويض المأمول، ثم الحكم على السياسة.
التصميم: يتسامح المنظّم مع $\P(\text{الإنزال}) < 5\,\%$ . وباختبار $n = 105, 106, 107, \dots$ تذكرة، أوجد أكبر $n$ مسموح به.
اختصار الجرس: من أجل $n = 105$ ، احسب الدرجة المعيارية لعتبة الإنزال، $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ ، وقارن التقدير الخام “نحو $2\sigma$ ، أي نحو $2$ – $3\,\%$ في الذيل الأعلى” بجوابك المضبوط. (والمنحنى وراء هذا الاختصار هو نجم الفصول التالية.)

الجزء الثالث — بوابة المصنع. تُقبل دفعة من القطع إذا احتوت عينة من $20$ قطعة على قطعة معيبة واحدة على الأكثر.

إذا كان معدل العيب الحقيقي $2\,\%$ (وهي دفعة نزيهة)، فاحسب احتمال القبول.
وإذا كان المعدل $10\,\%$ (وهي دفعة رديئة)، فاحسبه من جديد.
سمِّ خطري الإجراء (الدفعة النزيهة المرفوضة؛ والدفعة الرديئة المقبولة)، واقرأ قيمتيهما من السؤالين 13–14، وقل ما التغيير الوحيد الذي يحسّن كليهما معًا — وبأي ثمن.
وراء التحسين: بيّن أن تواتر العيب الملاحَظ $\frac Xn$ في عينة حجمها $n$ له انحراف معياري $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ، ثم اختم بكيفية تحسّن الدقة مع حجم العينة (وهو صديق قديم: $\frac{1}{\sqrt n}$ الذي رأيناه من قبل).

الجزء الرابع — الألعاب واليانصيبات والاحتياطيات.

لعبة سان بطرسبورغ المسقوفة في التمرين 33.8 مدفوعها المأمول $10$ أورو. قارنها في فقرة واحدة بالمفارقة غير المسقوفة التي لقيناها في المسألة 18.1: فما الذي يروّضه السقف بالضبط، وما السعر العادل الآن؟
يانصيب خيري يبيع $200$ تذكرة بسعر $2$ أورو؛ و الجوائز: سلة قيمتها $100$ أورو وسلتان قيمة كل منهما $50$ أورو. احسب الربح المأمول للتذكرة وهامش اليانصيب؛ وقارنه بهامش بيت الروليت الأوروبي البالغ $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . فلماذا يفلت اليانصيب بفعلته؟
مؤمّن يحمل $1\,000$ عقد مستقل: احتمال المطالبة $0.01$ لكل منها، وحجم المطالبة $10\,000$ أورو، و القسط $130$ أورو. احسب الربح السنوي المأمول و الانحراف المعياري لمجموع المطالبات. وقارن العددين: فما الذي تفرضه المقارنة على المؤمّنين الحقيقيين أن يحتفظوا به؟
الخاتمة — التوزيع الثنائي حكمًا للقرارات: قائمة التعرف؛ والبوصلة $\E \pm \sigma$ ؛ واحتمالات الذيول ثمنًا للخطر؛ والتحذيران القائمان (الاستقلال ادعاء نمذجة، وأن الذيول النادرة، لا المتوسطات، هي التي تسبّب الخراب). جملة واحدة لكل بند، مع الإشارة: قانون الأعداد الكبيرة ومنحنى الجرس، في الفصول التالية، يكملان كتاب قواعد الحكم.

حل

حل المسألة 33.1.

1. $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$ : $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$ ، $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$ ، $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$ ، $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$ .

2. $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$ ؛ $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$ .

3. المدفوع المأمول $2\,\E(X) = 1$ أورو في مواجهة رهان قدره $1$ أورو: فالربح $0$ — أي عادلة تمامًا (وهو أمر نادر).

4. بلا إرجاع تكون السحبات مرتبطة (إذ تتعلق حظوظ الورقة الثانية بالأولى): إذن ليس ثنائيًا — فخانة الاستقلال في قائمة التحقق تسقط. وأما مع الإرجاع: فعدد ثابت $n = 5$ ، واحتمال ثابت $p = \frac14$ ، وسحبات مستقلة: إذن ثنائي.

5. $\E(X) = 6$ و $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$ . و $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$ ؛ و $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$ .

6. عدد ثابت $n = 105$ من التجارب (وهي التذاكر)، وكل منها حضور أو عدم حضور بالاحتمال نفسه $p = 0.9$ ، مفترضًا فيها الاستقلال: إذن ثنائي. وأما الاعتراف: فالأسر تفوّت الرحلات معًا والعواصف تفرّغ طائرات بكاملها — فالاستقلال هو قفزة إيمان النموذج، وحالات عدم الحضور المترابطة تجعل الذيول أسمن مما يعد به التوزيع الثنائي.

7. $\E(X) = 94.5$ ؛ و $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{9.45} \approx 3.07$ .

8. $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105} \binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$ .

9. $\approx 0.0167$ : أي نحو رحلة واحدة من ستين تُنزل أحدًا أصلًا.

10. $\E(\text{المُنزَلين}) \approx 0.023$ مسافر في الرحلة الواحدة: فالتعويض المأمول $\approx 19$ أورو — في مواجهة $1\,000$ أورو من الدخل الإضافي. فالحجز الزائد بخمس تذاكر مربح بصورة ساحقة؛ ولهذا تفعله كل شركة طيران.

11. من جدول احتمالات الذيول: $n = 105$ : $1.7\,\%$ ؛ و $n = 106$ : $4.0\,\%$ ؛ و $n = 107$ : $8.1\,\%$ . فأكبر بيع ممتثل هو $n = 106$ تذكرة.

12. $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$ : فالعتبة تقع على بعد انحرافين معياريين فوق المتوسط، وقاعدة منحنى الجرس التقريبية (“الذيل الأعلى $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$ ”) تحطّ قريبًا من القيمة المضبوطة $1.7\,\%$ — فالمنحنى الأملس الذي يظلّل التوزيع الثنائي هو بطل الفصول القادمة.

13. $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19} \approx 0.94$ : فالدفعة النزيهة تمر في $94\,\%$ من الحالات.

14. $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19} \approx 0.39$ : فالدفعة الرديئة ما زالت تتسلل في $39\,\%$ من الحالات.

15. خطر المنتج: دفعة جيدة مرفوضة ( $\approx 6\,\%$ )؛ وخطر المستهلك: دفعة رديئة مقبولة ( $\approx 39\,\%$ ). وعينة أكبر (مع عتبة قبول متناسبة) تقلّص كليهما — بثمن مزيد من الفحص: فللجودة خط ميزانية.

16. $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ : فالانحراف المعياري $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . ربّع حجم العينة، ينتصف الضجيج: وهو قانون $\frac{1}{\sqrt n}$ في مجالات التذبذب التي رأيناها من قبل، مبرهَنًا عليه الآن.

17. يحدّ السقف المدفوع عند $2^{10} = 1024$ أورو، فتسهم كل جولة من الجولات العشر بمقدار $1$ أورو بالضبط من الأمل الرياضي: أي $\E = 10$ . أما الأمل الرياضي اللانهائي للعبة غير المسقوفة فقد جاء كله من مدفوعات نادرة ندرة فلكية وضخمة ضخامة فلكية؛ والسقف يعترف بأن لا مصرف يدفع $2^{50}$ أورو. وسعر تذكرة عادل للعبة المسقوفة: $10$ أورو — وفجأةً لا مفارقة عند أحد.

18. الجائزة المأمولة للتذكرة الواحدة: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ أورو في مواجهة تذكرة سعرها $2$ أورو: فالهامش $50\,\%$ — أي ثمانية عشر ضعف هامش الروليت البالغ $2.7\,\%$ . ويفلت اليانصيب بفعلته لأن لاعبيه يتبرعون عن علم: و“الخسارة” هي المقصد.

19. المطالبات المأمولة: $1\,000 \times 0.01 \times 10\,000 = 100\,000$ ؛ والأقساط $130\,000$ : فالربح المأمول $30\,000$ أورو. والانحراف المعياري لمجموع المطالبات: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99} \approx 31\,500$ أورو — فسنة سيئة عادية واحدة تلتهم الربح المأمول كله. ومن هنا الاحتياطيات الرأسمالية، وإعادة التأمين، والمحافظ الأكبر بكثير من ألف عقد: فالمؤمّنون يعيشون على قانون الأعداد الكبيرة ويحتفظون باحتياطيات في مواجهة بطئه.

20. قائمة التحقق أولًا — عدد ثابت $n$ ، و $p$ نفسه، و استقلال مدَّعى — وإلا فلا توزيع ثنائي أصلًا. ثم أبحر بالبوصلة $\E \pm \sigma$ : فالمتوسطات تحدّد الموضع، والانحرافات تحذّر. ثم سعّر الذيول: فالإنزال، والدفعات الرديئة، والسنوات المدمّرة كلها تعيش وراء $2\sigma$ . والتحذيران: الاستقلال وعد النمذجة لا وعد العالم؛ والأمل الرياضي يتجاهل بالضبط ما يدمّرك. وأما صفحات كتاب القواعد الناقصة — بأي سرعة تستقر التواترات، وأي شكل تأخذه التذبذبات — فهي الفصلان التاليان.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد