رياضيات المرحلة الثانوية · الصفوف 10–12

6المتجهات

تشفّر المتجهة انتقالًا: اتجاهًا وطولًا، أيًّا كانت نقطة الانطلاق. وتعطي المتجهات براهين نظيفة لوقائع هندسية، وتردّها، متى دخلت الإحداثيات الصورة، إلى حسابات صغيرة. وستكون أداة أساسية في الفصل 7، ثم لاحقًا من أجل الجداء السلّمي في الفصل 16.

6.1 الانسحابات والمتجهات

تعريف 6.1 (المتجهة)

إذا أُعطيت نقطتان $A$ و $B$ ، فإن المتجهة $\vect{AB}$ تمثّل الانتقال من $A$ إلى $B$ : ولها اتجاه (اتجاه المستقيم $(AB)$ ، مع جهة السير عليه، من $A$ نحو $B$ ) و طول (المسافة $AB$ ، ويُكتب أيضًا $\norm{\vect{AB}}$ ). وتكون متجهتان متساويتين إذا شفّرتا الانتقال نفسه: فالكتابة $\vect{AB} = \vect{CD}$ تعني أن تطبيق الانتقالين على أي نقطة يعطي النتيجة نفسها.

قضية 6.2 (المتجهات المتساوية ومتوازيات الأضلاع)

تتحقق $\vect{AB} = \vect{CD}$ بالضبط عندما يكون $ABDC$ (بهذا الترتيب!) متوازي أضلاع، وقد يكون مفلطحًا — أي، بصورة مكافئة، عندما يكون للقطعتين $[AD]$ و $[BC]$ المنتصف نفسه.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

متجهتان متساويتان AB = CD: الاتجاه نفسه، والجهة نفسها، والطول نفسه. والرباعي ABDC متوازي أضلاع. — متجهتان متساويتان $\vect{AB} = \vect{CD}$ : الاتجاه نفسه، والجهة نفسها، والطول نفسه. والرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع.

ترميز 6.3

كثيرًا ما تُسمّى المتجهة بحرف واحد، $\vec u$ أو $\vec v$ ، عندما لا تهم النقطتان الطرفيتان. والمتجهة المعدومة $\vec 0 = \vect{AA}$ هي الانتقال الذي لا يحرّك شيئًا. ومقابل المتجهة $\vect{AB}$ هو $\vect{BA}$ : الطول نفسه والجهة المعاكسة. ونكتب $\vect{BA} = -\vect{AB}$ .

6.2 جمع المتجهات

تعريف 6.4 (مجموع متجهتين)

المجموع $\vec u + \vec v$ هو الانتقال الناتج عن إنجاز $\vec u$ ثم $\vec v$ .

مبرهنة 6.5 (علاقة شال)

من أجل أي ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ :

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

برهان. الانتقال من $A$ إلى $B$ ، ثم من $B$ إلى $C$ ، انتقال ينقل $A$ إلى $C$ : أي أنه الانتقال الذي تشفّره $\vect{AC}$ . ∎

ملاحظة 6.6 (قاعدة متوازي الأضلاع)

لجمع متجهتين مرسومتين من النقطة نفسها، $\vect{AB} + \vect{AC}$ ، أتمّ متوازي الأضلاع $ABDC$ : فالمجموع هو القطر $\vect{AD}$ . وفعلًا $\vect{AC} = \vect{BD}$ ، إذن $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ حسب علاقة شال.

رسمان للمجموع: رأسًا إلى ذيل (علاقة شال، إلى اليسار) و قاعدة متوازي الأضلاع (إلى اليمين).

مثال 6.7 (التبسيط بعلاقة شال)

بسّط $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ : تسلسل الانتقالات يعطي $\vect{MQ}$ . وبسّط $\vect{AB} - \vect{AC}$ : أعد كتابة الفرق مجموعًا مع المتجهة المقابلة،

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 ضرب متجهة في عدد

تعريف 6.8 (الضرب في عدد)

لتكن $\vec u$ متجهة غير معدومة وليكن $k$ عددًا حقيقيًا. للمتجهة $k\vec u$ اتجاه $\vec u$ نفسه، وطولها $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ ، وجهتها جهة $\vec u$ إذا كان $k > 0$ ، والجهة المعاكسة إذا كان $k < 0$ . ومن أجل $k = 0$ ، $0\vec u = \vec 0$ .

تعريف 6.9 (الاستقامية)

تكون المتجهتان $\vec u$ و $\vec v$ مستقيميتين إذا كان لهما الاتجاه نفسه، أي إذا كانت $\vec v = k \vec u$ من أجل عدد حقيقي $k$ ما (أو كانت إحداهما $\vec 0$ ).

ملاحظة 6.10

الاستقامية هي لغة المتجهات للتوازي والاستقامة:

يكون المستقيمان $(AB)$ و $(CD)$ متوازيين بالضبط عندما تكون $\vect{AB}$ و $\vect{CD}$ مستقيميتين؛
وتكون النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة بالضبط عندما تكون $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ مستقيميتين.

6.4 إحداثيات المتجهات

تعريف 6.11 (إحداثيات متجهة)

في نظام إحداثيات، إحداثيات المتجهة $\vect{AB}$ هي العددان اللذان يصفان الانتقال:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

فالمتجهة $\vec u\,(a, b)$ تنقل كل نقطة $a$ وحدة أفقيًا و $b$ وحدة شاقوليًا.

قضية 6.12 (الحساب بالإحداثيات)

لتكن $\vec u\,(a, b)$ و $\vec v\,(c, d)$ ، وليكن $k \in \R$ .

تتحقق $\vec u = \vec v$ بالضبط عندما $a = c$ و $b = d$ ؛
إحداثيات $\vec u + \vec v$ هي $(a + c,\ b + d)$ ؛
إحداثيات $k\vec u$ هي $(ka,\ kb)$ ؛
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (في نظام متعامد ومتجانس).

برهان. تعيد النقاط 1–3 صياغة ما تفعله الانتقالات، إحداثيًا إحداثيًا: فمثلًا إنجاز $\vec u$ ثم $\vec v$ ينقل نقطة أفقيًا بمقدار $a$ ثم $c$ ، أي بمقدار $a + c$ إجمالًا. أما النقطة 4 فهي صيغة المسافة في المبرهنة 5.4 مطبقة على قطعة تمثّل $\vec u$ . ∎

مبرهنة 6.13 (محك الاستقامية)

تكون المتجهتان $\vec u\,(a, b)$ و $\vec v\,(c, d)$ مستقيميتين إذا وفقط إذا

ad - bc = 0 .

برهان. إذا كانت $\vec v = k\vec u$ ، فإن $c = ka$ و $d = kb$ ، إذن $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ . ويصح الشيء نفسه إذا كانت $\vec u = k \vec v$ أو إذا كانت إحدى المتجهتين معدومة.

وبالعكس، لنفترض أن $ad - bc = 0$ مع $\vec u \neq \vec 0$ ، وليكن مثلًا $a \neq 0$ (والحالة $b \neq 0$ مماثلة). ضع $k = \frac{c}{a}$ ؛ عندئذٍ $c = ka$ ، وتعطي $ad = bc = b(ka)$ ، بعد القسمة على $a \neq 0$ ، أن $d = kb$ . إذن $\vec v = k\vec u$ . ∎

مثال 6.14

هل المتجهتان $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec v\,(-6, 4)$ مستقيميتان؟ احسب $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ : نعم، وفعلًا $\vec v = -2\vec u$ . أما من أجل $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec w\,(1, 5)$ : $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : فليستا مستقيميتين.

طريقة 6.15 (الاستقامة والتوازي)

للبرهان على أن ثلاث نقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة:

احسب إحداثيات $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ ؛
تحقق من المحك $ad - bc = 0$ في المبرهنة 6.13؛
استنتج: المتجهتان مستقيميتان وتشتركان في النقطة $A$ ، إذن النقط الثلاث على استقامة واحدة.

والحساب نفسه مع $\vect{AB}$ و $\vect{CD}$ يبرهن على أن المستقيمين $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان.

مثال 6.16

لتكن $A(1, 2)$ و $B(3, 5)$ و $C(7, 11)$ . عندئذٍ $\vect{AB}\,(2, 3)$ و $\vect{AC}\,(6, 9)$ ، و $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : إذن النقط على استقامة واحدة (وفي الواقع $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

نقط على استقامة واحدة: المتجهة AC مضاعف سلّمي للمتجهة AB. — نقط على استقامة واحدة: المتجهة $\vect{AC}$ مضاعف سلّمي للمتجهة $\vect{AB}$ .

6.5 تمارين

تمرين 6.1 ★

بسّط مستعملًا علاقة شال:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

حل

حل التمرين 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (شال).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ .

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ .

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ .

تمرين 6.2 ★

لتكن $A(2, 1)$ و $B(5, 3)$ و $C(-1, 4)$ . احسب إحداثيات $\vect{AB}$ و $\vect{BC}$ و $\vect{AC}$ ، وتحقق على الإحداثيات من أن $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ .

حل

حل التمرين 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ؛ $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ؛ $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ . تحقق: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ ، إحداثيًا إحداثيًا.

تمرين 6.3 ★

لتكن $\vec u\,(2, -3)$ و $\vec v\,(-1, 4)$ . أعطِ إحداثيات $\vec u + \vec v$ و $3\vec u$ و $2\vec u - \vec v$ ، واحسب $\norm{\vec u}$ .

حل

حل التمرين 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ .

$3\vec u = (6, -9)$ .

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ .

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ .

تمرين 6.4 ★

في كل حالة، قل هل $\vec u$ و $\vec v$ مستقيميتان:

\text{(أ) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(ب) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(ج) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

حل

حل التمرين 6.4.

(أ) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : مستقيميتان ( $\vec v = \frac32 \vec u$ ).

(ب) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : مستقيميتان ( $\vec v = -2\vec u$ ).

(ج) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$ : ليستا مستقيميتين.

تمرين 6.5 ★

لتكن $A(0, 2)$ و $B(4, 0)$ و $C(6, 3)$ . أوجد إحداثيات النقطة $D$ التي تجعل $ABCD$ متوازي أضلاع، أي التي تحقق $\vect{AB} = \vect{DC}$ .

حل

حل التمرين 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ ، و $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ . ويعطي الشرط $\vect{AB} = \vect{DC}$ أن $6 - x_D = 4$ و $3 - y_D = -2$ ، إذن $D(2, 5)$ .

تمرين 6.6 ★★

لتكن $A(-2, 1)$ و $B(1, 3)$ و $C(4, -1)$ .

احسب إحداثيات النقطة $M$ التي تحقق $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
ما نوع الرباعي $ABMC$ ؟ برّر.

حل

حل التمرين 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ و $\vect{AC}\,(6, -2)$ ، إذن $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ و $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ .

2. حسب قاعدة متوازي الأضلاع، تعني $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ أن $ABMC$ متوازي أضلاع (فالنقطة $M$ هي الرأس الرابع المقابل للرأس $A$ ). ويمكن التحقق: $\vect{AB}\,(3,2)$ و $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ متساويتان.

تمرين 6.7 ★★

لتكن $A(1, -1)$ و $B(4, 1)$ و $C(10, 5)$ . هل النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة؟ والسؤال نفسه من أجل $A(0, 3)$ و $B(2, 2)$ و $C(8, -1)$ .

حل

حل التمرين 6.7.

الثلاثي الأول: $\vect{AB}\,(3, 2)$ و $\vect{AC}\,(9, 6)$ ؛ $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : على استقامة واحدة ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ ).

الثلاثي الثاني: $\vect{AB}\,(2, -1)$ و $\vect{AC}\,(8, -4)$ ؛ $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : على استقامة واحدة أيضًا ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ ).

تمرين 6.8 ★★

لتكن $A(1, 2)$ و $B(5, 4)$ و $C(6, 1)$ و $D(2, -1)$ . بيّن أن $(AB)$ و $(CD)$ متوازيان، ثم أن $ABCD$ متوازي أضلاع. وأي تحقق يستلزم الآخر؟

حل

حل التمرين 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ و $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : فالمتجهتان متساويتان، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع، وبوجه خاص $(AB) \parallel (CD)$ . وخاصية متوازي الأضلاع هي الأقوى: فهي تستلزم التوازي (استقامية المتجهتين)، لا العكس.

تمرين 6.9 ★★

ليكن $ABC$ مثلثًا، ولتكن $I$ النقطة المعرَّفة بالعلاقة $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ . مع $A(0,0)$ و $B(6, 3)$ و $C(2, 5)$ (حتى تبقى الحسابات بسيطة):

احسب إحداثيات $I$ ؛
لتكن $J$ بحيث $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ؛ احسب إحداثيات $J$ ؛
بيّن أن $(IJ)$ يوازي $(AC)$ .

حل

حل التمرين 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ ، إذن $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ و $I(4, 2)$ .

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ ، إذن $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ و $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ .

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ و $\vect{AC}\,(2, 5)$ . ومحك الاستقامية:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

فالمتجهتان مستقيميتان، إذن $(IJ)$ يوازي $(AC)$ . (فكلٌّ من $I$ و $J$ يقع على ثلث الطريق من الضلع نحو $B$ : أي أن المثلث الصغير $IBJ$ تصغير للمثلث $ABC$ .)

تمرين 6.10 ★★★

ليكن $ABCD$ رباعيًا كيفيًا، ولتكن $I$ و $J$ و $K$ و $L$ منتصفات $[AB]$ و $[BC]$ و $[CD]$ و $[DA]$ . مستعملًا الإحداثيات $A(x_A, y_A)$ وغيرها، بيّن أن $\vect{IJ} = \vect{LK}$ ، واستنتج أن منتصفات أضلاع أي رباعي تشكّل متوازي أضلاع.

حل

حل التمرين 6.10.

المنتصفات هي

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

والإحداثي الأول للمتجهتين:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

والحساب نفسه ينجح من أجل الإحداثي الثاني. إذن $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (وكلاهما يساوي $\frac12\vect{AC}$ )، فيكون $IJKL$ متوازي أضلاع، أيًّا كان شكل الرباعي $ABCD$ .

6.6 مسألة: جبر الأسهم

مسألة 6.1

مسألة نهاية الأسبوع — تمارين شال، ومركز الثقل معادًا برهانه في سطرين، والقوى في توازن: ما المتجهات في الحقيقة

برهن الكتاب السابق على أن متوسطات المثلث تلتقي عند ثلثي طولها — بمتوازي أضلاع بارع مخبّأ داخل المثلث (مسألة نهاية الأسبوع عن مركز الثقل في الكتاب السابق). وتعيد المتجهات برهانه في سطرين، وتعطي التلاقي مجانًا. وذلك ما يخدمه هذا الجبر الجديد: فالمبرهنات تصير حسابات بالأسهم. تمرّن هذه المسألة على الحساب (وعلى شال قبل كل شيء)، وتقدّم البرهان ذا السطرين، وتوسّع فارينيون (التمرين 6.10)، وتنتهي حيث وُلدت المتجهات: عند القوى والسرعات.

الجزء الأول — تمارين شال.

بسّط مستعملًا علاقة شال (المبرهنة 6.5): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ؛ $\vect{MA} - \vect{MB}$ ؛ $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
حيلة المبدأ: بيّن أنه من أجل أي نقطة $O$ ، $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
برهن على التوصيفين التاليين لمنتصف $[AB]$ ، وليكن $I$ :

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{و}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{من أجل أي } O .$
مستعملًا $\vect{AB} = \vect{DC}$ ، أعد إيجاد الرأس الرابع $D$ لمتوازي الأضلاع $ABCD$ حيث $A(-1, 2)$ و $B(3, 4)$ و $C(6, 0)$ — وقارن بجواب حيلة المنتصف في المسألة 5.1.
إضافة متجهة ثابتة $\vec u$ إلى كل نقطة من المستوي تنجز أي تحويل — ذاك الذي اكتُشف بمرآتين في مسألة نهاية الأسبوع عن المرآتين في الكتاب السابق وبنصفي دورة في مسألة نهاية الأسبوع عن أنصاف الدورات في الكتاب السابق؟ احسب صورة $(1, 2)$ بالتحويل $\vec u = (3, -1)$ .

الجزء الثاني — مركز الثقل، برهان ثالث. نعرّف النقطة $G$ من المثلث $ABC$ بالشرط الأنيق

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

مستعملًا حيلة المبدأ، بيّن أن هذا الشرط يحدد $G$ تحديدًا وحيدًا: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ من أجل أي $O$ — إذن إحداثيات $G$ هي متوسطات إحداثيات الرؤوس (وقد رأت ذلك مسألة نهاية الأسبوع عن مركز الثقل في الكتاب السابق عدديًا).
برهن على $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ ، ثم، بكتابة $K$ لمنتصف $[BC]$ ، على $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ . واستنتج: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — أي مبرهنة الثلثين، معادًا برهانها.
لماذا يمر المتوسطان من $B$ ومن $C$ بالنقطة $G$ نفسها دون أي حساب إضافي؟ قارن بين البراهين الثلاثة المتاحة لهذه المبرهنة — متوازي الأضلاع المخبّأ في الكتاب السابق، والإحداثيات، والمتجهات — في جملة واحدة لكل منها.
تحقق عددي: $A(1, 1)$ و $B(5, 2)$ و $C(3, 6)$ . احسب $G$ ، ثم $K$ ، ثم تحقق من $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ بمحك الاستقامية (المبرهنة 6.13).
تقرأ الفيزياء $G$ نقطةَ توازن لثلاث كتل متساوية عند الرؤوس. ضاعف الكتلة عند $A$ (الكتل $2, 1, 1$ ): فتصير نقطة التوازن $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ . احسب $G'$ من أجل مثلث السؤال 9 وقارن موضعه بموضع $G$ .

الجزء الثالث — الاستقامية في العمل.

هل $\vec u(3, -2)$ و $\vec v(-6, 4)$ مستقيميتان؟ وماذا عن $\vec w(2, 5)$ و $\vec z(4, 9)$ ؟ قرّر بمحك المحدد.
هل النقط $A(1, 2)$ و $B(3, 5)$ و $C(7, 11)$ على استقامة واحدة؟
ما بعد فارينيون (التمرين 6.10): في أي رباعي $ABCD$ ، يصل المتوسطان الثنائيان بين منتصفات الأضلاع المتقابلة ( $[IK]$ و $[JL]$ ). مستعملًا متجهات الموضع ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ ، وغيرها)، بيّن أن للمتوسطين الثنائيين المنتصف نفسه، ومتجهة موضعه $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ : أي مركز ثقل الرباعي.
طاليس في سطر واحد: $M$ و $N$ هما النقطتان المعرَّفتان بالعلاقتين $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ و $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . احسب $\vect{MN}$ بدلالة $\vect{BC}$ واستنتج التوازي والنسبة.
عمّم السؤال 14 على نسبة كيفية $k$ ، وبيّن في جملة واحدة كيف يستوعب حساب المتجهات مبرهنة المنتصفين ومبرهنة طاليس دفعة واحدة.

الجزء الرابع — القوى والسرعات.

يدفع تيار قاربًا بسرعة $3$ كم/سا نحو الشرق بينما يجدّف بسرعة $4$ كم/سا نحو الشمال. أعطِ متجهة السرعة المحصلة وطويلتها، وصف المسار الفعلي. (يظهر ثلاثي قديم جدًّا.)
تؤثر ثلاث قوى في حلقة: $\vec u(2, 1)$ و $\vec v(-3, 2)$ و $\vec w(1, -3)$ . احسب المحصلة. ماذا تفعل الحلقة؟ ولماذا يكون مجموع الأسهم على أي مضلع مغلق مساويًا دائمًا $\vec 0$ (شال)؟
تؤثر قوتان $\vec u(4, -1)$ و $\vec v(-1, 3)$ في خطّاف. ما القوة الثالثة التي تبقيه في توازن؟
يعبر سابح نهرًا متجهًا مباشرة إلى الضفة المقابلة بسرعة $2$ م/ثا؛ ويجري التيار بسرعة $1.5$ م/ثا. أعطِ السرعة المحصلة وطويلتها. وعرض النهر $50$ م: كم يستغرق العبور، وكم ينزاح السابح مع التيار؟
الخاتمة: كائن واحد في ثلاثة أثواب — سهم انتقال، وزوج إحداثيات، وقوة أو سرعة. اذكر المبرهنات الكلاسيكية الثلاث التي أعادت هذه المسألة برهانها بجبر المتجهات، وسمِّ المقدار الهندسي الوحيد الذي لا تستطيع متجهات هذا الفصل قياسه — فالأداة التي تعالج ذلك تأتي مع الجداء السلّمي، في السنة المقبلة.

حل

حل المسألة 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ؛ $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ؛ $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (بإعادة ترتيب المجموع الثالث).

2. $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ حسب شال.

3. تكون $I$ منتصف $[AB]$ بالضبط عندما $\vect{IA} = -\vect{IB}$ ، أي $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ . عندئذٍ، من أجل أي $O$ : $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ ، إذن $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — والعكس صحيح.

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ ، و $D$ تحقق $\vect{DC} = \vect{AB}$ : $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — وهي $D$ نفسها في المسألة 5.1، لكن أسرع بسطر.

5. الانسحاب ذو المتجهة $\vec u$ — وهو بالضبط التحويل الناتج عن مرآتين متوازيتين أو نصفي دورة. وصورة $(1, 2)$ : هي $(4, 1)$ .

6. بنشر كل $\vect{GX}$ على صورة $\vect{GO} + \vect{OX}$ : $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ ، إذن $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : فهي نقطة واحدة لا غير، إحداثياتها متوسطات إحداثيات الرؤوس الثلاثة.

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ ، ومنه $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ . وتعطي صيغة المنتصف (السؤال 3، منظورًا إليها من $A$ ) $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ . وبالمقارنة: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — إذن تقع $G$ على المتوسط $[AK]$ ، على ثلثي الطريق من $A$ .

8. يعامل الشرط المعرِّف النقط $A$ و $B$ و $C$ معاملة واحدة، إذن يضع الحساب نفسه انطلاقًا من $B$ أو من $C$ النقطةَ $G$ نفسها على ثلثي هذين المتوسطين: فالتلاقي لا يكلّف شيئًا. أما برهان متوازي الأضلاع فكان بارعًا لكنه خاص بالمسألة؛ والإحداثيات تحسب لكنها تحجب؛ أما المتجهات فتُظهر التناظر وتجعل البرهان سطرين.

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ؛ $K(4, 4)$ ؛ و $\vect{AG} = (2, 2)$ و $\vect{AK} = (3, 3)$ : المحدد $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ ، إذن مستقيميتان، وفعلًا $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ .

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : مشدودة من $G(3,3)$ نحو الرأس المضاعف $A(1,1)$ ، كما ينبغي لنقطة توازن.

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : مستقيميتان ( $\vec v = -2\vec u$ ). و $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : ليستا مستقيميتين.

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ و $\vect{AC} = (6, 9)$ : المحدد $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : على استقامة واحدة.

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ و $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ ، إذن متجهة موضع منتصف $[IK]$ هي $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — والحساب من أجل $[JL]$ يعطي المتجهة نفسها تمامًا. فالمتوسطان الثنائيان (وكذلك، حسب فارينيون، قطرا متوازي الأضلاع $IJKL$ ) يتقاسمان هذا المركز: أي مركز ثقل الرباعي.

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : إذن $(MN) \parallel (BC)$ و $MN = \frac13 BC$ .

15. من أجل $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ و $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ : $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — أي سطر واحد يحوي مبرهنة المنتصفين ( $k = \frac12$ ) و مبرهنة طاليس (من أجل أي $k$ ): فالنسبة تمر عبر الطرح دون أن تُمسّ.

16. المحصلة $(3, 4)$ ، وطويلتها $\sqrt{9 + 16} = 5$ كم/سا: فالقارب يسير فعليًا نحو الشمال الشرقي مائلًا إلى الشمال، على وتر المثلث $3$ – $4$ – $5$ .

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : فالحلقة تبقى في مكانها — إنه التوازن. وعلى مضلع مغلق $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ ، تطوي علاقة شال المجموع إلى $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ : فالدوران حول المضلع يعيدك إلى نقطة البداية.

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ .

19. المحصلة $(1.5,\ 2)$ ، وطويلتها $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ م/ثا. والعبور: $50$ م بسرعة $2$ م/ثا عرضيًا: أي $25$ ثا؛ والانزياح: $1.5 \times 25 = 37.5$ م مع التيار.

20. أُعيد برهانه في نهاية الأسبوع هذه: مبرهنة ثلثي مركز الثقل (السؤال 7)، ومركز المتوسطين الثنائيين عند فارينيون (السؤال 13)، وطاليس والمنتصفان (السؤالان 14–15). أما ما تعجز عنه الأسهم حتى الآن فهو قياس الزوايا (ومن ثم الأطوال في اتجاهات كيفية) — والجداء السلّمي في السنة المقبلة هو الأداة الناقصة بالضبط.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد