الرياضيات · الكتاب 2 · الصفوف 10–12

رياضيات المرحلة الثانوية

رياضيات المرحلة الثانوية · الصفوف 10–12

35المتغيرات العشوائية المتصلة

أزمنة الانتظار، والقياسات الفيزيائية، والنسب: كثير من المقادير العشوائية تأخذ متصلًا من القيم، ولا قيمة مفردة لها احتمال موجب. وعندئذٍ تُحسب الاحتمالات بتكامل كثافة. ويدرس هذا الفصل التوزيعات المنتظم والأسي والطبيعي، ويستعمل القانون الطبيعي لتكميم تذبذبات الاستطلاعات والعينات.

35.1 كثافات الاحتمال

تعريف 35.1 (الكثافة والمتغير العشوائي المتصل)

كثافة الاحتمال على فترة II هي دالة متصلة غير سالبة ff على II حيث ∫If(t)  ⁣dt=1\int_I f(t)\,\dd t = 1 (ويُفهم التكامل على II غير المحدودة نهايةً لتكاملات على فترات محدودة متنامية). ويكون للمتغير العشوائي XX الكثافة ff إذا كان من أجل كل a≤ba \leq b في II:

P(a≤X≤b)=∫abf(t)  ⁣dt.\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

فالاحتمالات مساحات تحت منحنى الكثافة. وخاصة P(X=a)=∫aaf=0\P(X = a) = \int_a^a f = 0 من أجل كل قيمة مفردة aa: فلا تحمل الاحتمال إلا الفترات، ويكون P(a≤X≤b)=P(a<X<b)\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b).

تعريف 35.2 (الأمل الرياضي والتباين)

من أجل XX ذي الكثافة ff على II:

E(X)=∫It f(t)  ⁣dt,V(X)=∫I(t−E(X))2f(t)  ⁣dt=E(X2)−E(X)2.\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

وتبقى قواعد الفصلين 14–15 (خطية الأمل الرياضي، وجمعية التباين من أجل المتغيرات المستقلة، ومتراجحة بيينيمي–تشيبيشيف) صالحة؛ وبراهينها، بالتكاملات محل المجاميع، مقبولة في هذا المستوى.

35.2 التوزيع المنتظم

تعريف 35.3 (التوزيع المنتظم)

يتبع XX التوزيع المنتظم U[a, b]\mathcal U\intcc ab إذا كانت كثافته ثابتة، f(t)=1b−af(t) = \frac{1}{b-a} على [a, b]\intcc{a}{b}. وعندئذٍ يكون من أجل [c, d]⊆[a, b]\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab، P(c≤X≤d)=d−cb−a\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}: أي احتمال يتناسب مع الطول.

قضية 35.4

إذا كان X∼U[a, b]X \sim \mathcal U\intcc ab، فإن E(X)=a+b2\E(X) = \dfrac{a+b}{2} و V(X)=(b−a)212\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}.

برهان. E(X)=∫abtb−a ⁣dt=b2−a22(b−a)=a+b2\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}. وأما التباين، فإن E(X2)=b3−a33(b−a)=a2+ab+b23\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}، و

V(X)=a2+ab+b23−(a+b)24=4a2+4ab+4b2−3a2−6ab−3b212=(b−a)212.\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 التوزيع الأسي

تعريف 35.5 (التوزيع الأسي)

من أجل λ>0\lambda > 0، يتبع XX التوزيع الأسي E(λ)\mathcal E(\lambda) إذا كانت كثافته على [0, +∞)\intco{0}{+\infty} هي

f(t)=λ e−λt.f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

وعندئذٍ P(X≤x)=1−e−λx\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x} و P(X>x)=e−λx\P(X > x) = \eu^{-\lambda x} من أجل x≥0x \geq 0.

قضية 35.6

إذا كان X∼E(λ)X \sim \mathcal E(\lambda): E(X)=1λ\E(X) = \dfrac{1}{\lambda} و V(X)=1λ2\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}.

برهان. بالتكامل بالتجزئة على [0, A]\intcc{0}{A}:

∫0At λe−λt ⁣dt=[−t e−λt]0A+∫0Ae−λt ⁣dt=−Ae−λA+1−e−λAλ→A→+∞1λ,\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

باستعمال Ae−λA→0A\eu^{-\lambda A} \to 0 (المبرهنة 23.4). ويعطي تكامل ثانٍ بالتجزئة أن E(X2)=2λ2\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}، ومنه V(X)=2λ2−1λ2\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}. ∎

مبرهنة 35.7 (انعدام الذاكرة)

إذا كان X∼E(λ)X \sim \mathcal E(\lambda)، فإنه من أجل كل s,t≥0s, t \geq 0:

PX>s ⁣(X>s+t)=P(X>t).\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

فالتوزيع الأسي هو قانون الأعمار بلا شيخوخة (النوى المشعّة، لا المصابيح الكهربائية).

برهان.

PX>s ⁣(X>s+t)=P(X>s+t)P(X>s)=e−λ(s+t)e−λs=e−λt=P(X>t).\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

الكثافة الأسية - x (وهنا = 1): مساحة الذيل وراء t (بالأحمر) هي - t، ويقول انعدام الذاكرة إن كل ذيل يبدو كالتوزيع كله مكبَّرًا.
الكثافة الأسية λe−λx\lambda\eu^{-\lambda x} (وهنا λ=1\lambda = 1): مساحة الذيل وراء tt (بالأحمر) هي e−λt\eu^{-\lambda t}، ويقول انعدام الذاكرة إن كل ذيل يبدو كالتوزيع كله مكبَّرًا.

35.4 التوزيع الطبيعي

تعريف 35.8 (التوزيع الطبيعي)

يتبع XX التوزيع الطبيعي المعياري N(0,1)\mathcal N(0, 1) إذا كانت كثافته على R\R هي

φ(t)=12π e−t2/2\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

(وهي منحنى الجرس). وبوجه أعم، X∼N(μ,σ2)X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2) إذا كان X−μσ∼N(0,1)\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)؛ وعندئذٍ E(X)=μ\E(X) = \mu و V(X)=σ2\V(X) = \sigma^2.

الكثافة الطبيعية: نحو 68.3\% من الكتلة يقع ضمن من المتوسط، و 95.4\% ضمن 2، و 99.7\% ضمن 3.
الكثافة الطبيعية: نحو 68.3%68.3\% من الكتلة يقع ضمن σ\sigma من المتوسط، و 95.4%95.4\% ضمن 2σ2\sigma، و 99.7%99.7\% ضمن 3σ3\sigma.

ملاحظة 35.9

العامل 12π\frac{1}{\sqrt{2\pi}} يجعل المساحة الكلية 11 — وهو حساب شهير (تكامل غاوس) يُجرى في الجامعة. ولا توجد صيغة ابتدائية للمقدار ∫φ\int \varphi: فالاحتمالات الطبيعية تُقرأ من جداول أو آلات حاسبة.

مبرهنة 35.10 (دي موافر–لابلاس، مقبولة)

لتكن Xn∼B(n,p)X_n \sim \mathcal B(n, p) ولتكن Zn=Xn−npnp(1−p)Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} (وهي الثنائية المعيَّرة). عندئذٍ يكون من أجل كل a≤ba \leq b،

P(a≤Zn≤b)→n→+∞∫abφ(t)  ⁣dt.\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

وهذه النتيجة مقبولة في هذا المستوى. وهي تفسّر الظهور الكوني لمنحنى الجرس: فالتوزيع الثنائي ذو nn الكبير طبيعي تقريبًا — وكذلك (بمبرهنة النهاية المركزية، في الجامعة) أي مجموع لآثار صغيرة مستقلة كثيرة.

طريقة 35.11 (مجال التذبذب عند 95%95\%)

بما أن متغيرًا طبيعيًا يقع ضمن 1.961.96 انحرافًا معياريًا من متوسطه باحتمال 0.950.95، فإنه من أجل nn كبير يحقق تواتر Fn=XnnF_n = \frac{X_n}{n} لعينة B(n,p)\mathcal B(n,p)

P(p−1.96p(1−p)n≤Fn≤p+1.96p(1−p)n)≈0.95.\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .
  • مجال التذبذب (للاختبار): إذا وضع pp مدَّعى التواتر الملاحَظ خارج هذا المجال، فارفض الادعاء عند المستوى 5%5\%.
  • مجال الثقة (للتقدير): المجال المبسَّط [Fn−1n, Fn+1n]\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right] يحوي pp باحتمال لا يقل عن 0.950.95 (باستعمال 1.96p(1−p)≤11.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1، انظر التمرين 34.8).

مثال 35.12

استطلاع شمل n=1000n = 1000 ناخب يعطي مرشحًا 52%52\%. ومجال الثقة 52%±11000≈52%±3.2%52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\% ما زال يحوي 50%50\%: فالاستطلاع وحده لا يثبت أن المرشح متقدم.

35.5 تمارين

تمرين 35.1 ★

تمر حافلة كل 1515 دقيقة؛ ويصل مسافر في لحظة عشوائية منتظمة. وليكن X∼U[0, 15]X \sim \mathcal U\intcc{0}{15} زمن الانتظار. احسب P(X≤5)\P(X \leq 5) و P(4≤X≤10)\P(4 \leq X \leq 10) و E(X)\E(X) و σ(X)\sigma(X).

حل

حل التمرين 35.1.

P(X≤5)=515=13\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13؛ P(4≤X≤10)=615=25\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25؛ E(X)=152=7.5\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5 min؛ σ(X)=1512=532≈4.3\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3 min.

تمرين 35.2 ★

تحقق من أن f(t)=38t2f(t) = \frac{3}{8}t^2 كثافة على [0, 2]\intcc{0}{2}، ثم احسب E(X)\E(X) و P(X≥1)\P(X \geq 1) من أجل متغير XX له هذه الكثافة.

حل

حل التمرين 35.2.

f≥0f \geq 0 و ∫0238t2  ⁣dt=38[t33]02=38×83=1\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1: إذن كثافة.

E(X)=∫0238t3  ⁣dt=38×164=32,P(X≥1)=∫1238t2  ⁣dt=8−18=78.\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

تمرين 35.3 ★

عمر مكوّن إلكتروني (بالسنوات) يتبع E(0.2)\mathcal E(0.2).

  1. احسب العمر المأمول و P(X>5)\P(X > 5).
  2. عمل المكوّن 33 سنوات أصلًا. فما احتمال أن يعمل 55 سنوات أخرى على الأقل؟
حل

حل التمرين 35.3.

1. E(X)=10.2=5\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5 سنة؛ و P(X>5)=e−0.2×5=e−1≈0.37\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37.

2. بانعدام الذاكرة (المبرهنة 35.7)، PX>3 ⁣(X>8)=P(X>5)=e−1≈0.37\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37: فسنوات الخدمة الثلاث لا تغيّر شيئًا.

تمرين 35.4 ★★

نصف عمر ذرة مشعّة عمرها يتبع E(λ)\mathcal E(\lambda) هو الوسيط mm: P(X>m)=12\P(X > m) = \frac12. عبّر عن mm بدلالة λ\lambda وقارنه بالأمل الرياضي. فأيهما أكبر، ولماذا يكون ذلك معقولًا من أجل توزيع غير متناظر؟

حل

حل التمرين 35.4.

P(X>m)=e−λm=12\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12 يعطي m=ln⁡2λ≈0.69λm = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}، وهو أصغر من E(X)=1λ\E(X) = \frac1\lambda. فللكثافة الأسية ذيل أيمن طويل: إذ تجرّ بضعة أعمار طويلة غير نموذجية المتوسط فوق الوسيط، وهو القيمة التي يتجاوزها نصف المجتمع. (وهذا هو نصف العمر في المثال 23.9: فنصف الذرات ينجو منه، مع أن العمر الوسطي أطول.)

تمرين 35.5 ★★

أطوال في مجتمع تتبع N(175, 72)\mathcal N(175,\ 7^2) (بالسنتيمتر). وباستعمال قاعدة 6868–9595–99.799.7، قدّر نسبة السكان الذين يتراوح طولهم بين 168168 و 182182 cm، وفوق 189189 cm، ودون 154154 cm.

حل

حل التمرين 35.5.

168=μ−σ168 = \mu - \sigma و 182=μ+σ182 = \mu + \sigma: أي نحو 68%68\%. و 189=μ+2σ189 = \mu + 2\sigma: وفوقه يقع نصف الباقي 100−95.4=4.6%100 - 95.4 = 4.6\%، أي نحو 2.3%2.3\%. و 154=μ−3σ154 = \mu - 3\sigma: أي نحو 100−99.72=0.15%\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%.

تمرين 35.6 ★★

آلة تملأ أكياسًا مكتوبًا عليها 500500 g؛ والكتلة المعبَّأة تتبع N(μ, 42)\mathcal N(\mu,\ 4^2). وتقتضي الأنظمة ألا يزيد عدد الأكياس التي تزن دون 500500 g على 2.5%2.5\%. وباستعمال قاعدة 95%95\%، ما أدنى ضبط للمقدار μ\mu يمتثل لذلك؟

حل

حل التمرين 35.6.

P(X<500)≤2.5%\P(X < 500) \leq 2.5\% يعني أن 500500 يجب أن يجلس على بعد انحرافين معياريين على الأقل تحت المتوسط (فالتوزيع الطبيعي يترك 2.3%≈2.5%2.3\% \approx 2.5\% تحت μ−2σ\mu - 2\sigma؛ ومع الثابت الاصطلاحي 1.961.96 يكون الاستدلال مطابقًا):

μ−2σ≥500  ⟺  μ≥500+8=508 g.\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

فيجب ضبط الآلة على 508508 g وسطيًا — وثمن الضمانة هو 88 g من المنتج “المجاني” في كل كيس.

تمرين 35.7 ★★

حجر نرد يُدَّعى أنه غير مغشوش يُرمى 12001200 مرة فيُظهر ستة 260260 مرة (كما في التمرين 34.7).

  1. احسب مجال التذبذب عند 95%95\% لتواتر الأوجه الستة من أجل حجر غير مغشوش على 12001200 رمية.
  2. فهل التواتر الملاحَظ داخله؟ وقارن قوة هذا الاستنتاج بتحليل بيينيمي–تشيبيشيف.
حل

حل التمرين 35.7.

1. مع p=16p = \frac16 و n=1200n = 1200: p(1−p)n=5/361200≈0.0108\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108، إذن مجال التذبذب عند 95%95\% هو

16±1.96×0.0108≈[0.146, 0.188].\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

2. التواتر الملاحَظ 2601200≈0.217\frac{260}{1200} \approx 0.217 يقع بعيدًا خارجه: إذن تُرفض فرضية عدم الغش عند المستوى 5%5\%. و الانحراف نحو 4.64.6 انحرافًا معياريًا — وهو، في تقريب طبيعي، احتمال من رتبة 10−610^{-6}، وهو أحسم بكثير من الحاصرة ≤4.6%\leq 4.6\% التي أعطتها متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف (التمرين 34.7).

تمرين 35.8 ★★★

قبل انتخاب، سيقدّر استطلاع يشمل nn شخصًا نتيجة pp لمرشح بواسطة التواتر الملاحَظ FnF_n.

  1. بمجال الثقة في الطريقة 35.11، أي حجم عينة يضمن هامشًا قدره ±2\pm 2 نقطة؟
  2. يفصل بين المرشحين في الواقع 11 نقطة. فسّر لماذا لا يستطيع أي استطلاع واقعي أن يحسم الفائز حسمًا موثوقًا، مهما أُحسن إجراؤه.
حل

حل التمرين 35.8.

1. الهامش 1n≤0.02\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02 يقتضي n≥2500n \geq 2500 شخصًا.

2. للتمييز بين نتيجتين تفصل بينهما 11 نقطة، يجب أن يكون الهامش دون 0.50.5 نقطة بكثير، مما يقتضي n≥(10.005)2=40 000n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000 بالصيغة المبسَّطة — وهذا غير عملي أصلًا لمعظم الاستطلاعات. والأسوأ أن الهامش الإحصائي لا يفسّر إلا خطأ المعاينة؛ أما الانحيازات المنهجية (العينات غير الممثِّلة، وعدم الاستجابة، والتحولات في اللحظة الأخيرة) فلا تنكمش مع نمو nn وتتجاوز عادةً نقطة واحدة. فسباق فارقه 11 نقطة قريب جدًا فعلًا بحيث لا يُحسم.

تمرين 35.9 ★★★

ليكن للمتغير XX الكثافة ff على [a, b]\intcc ab وليكن Y=αX+βY = \alpha X + \beta حيث α>0\alpha > 0.

  1. بيّن أن P(c≤Y≤d)=P(c−βα≤X≤d−βα)\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)، واستنتج أن للمتغير YY الكثافة g(y)=1αf(y−βα)g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right).
  2. استنتج أنه إذا كان Z∼N(0,1)Z \sim \mathcal N(0,1)، فإن μ+σZ\mu + \sigma Z له الكثافة 1σ2π e−(y−μ)2/(2σ2)\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)} — وهي الكثافة الطبيعية العامة.
حل

حل التمرين 35.9.

1. بما أن α>0\alpha > 0، فإن c≤αX+β≤d  ⟺  c−βα≤X≤d−βαc \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}، إذن

P(c≤Y≤d)=∫(c−β)/α(d−β)/αf(t)  ⁣dt.\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

والتعويض y=αt+βy = \alpha t + \beta (أي بقراءة المساحة في المتغير yy، حيث t=y−βαt = \frac{y - \beta}{\alpha} و  ⁣dt= ⁣dyα\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}) يحوّل هذا إلى ∫cd1αf(y−βα) ⁣dy\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y: فالدالة g(y)=1αf(y−βα)g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right) كثافة للمتغير YY.

2. مع f=φf = \varphi و α=σ\alpha = \sigma و β=μ\beta = \mu:

g(y)=1σ φ ⁣(y−μσ)=1σ2π exp⁡(−(y−μ)22σ2),g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

وهي إذن كثافة المتغير N(μ,σ2)=μ+σ N(0,1)\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1).

35.6 مسألة: في انتظار الحافلة، وقياس الجمهور

مسألة 35.1

مسألة نهاية الأسبوع — ثلاث كثافات تدير العالم: الجهل التام، والانتظار بلا ذاكرة، وجرس الأسباب الصغيرة الكثيرة؛ زائد المفارقة التي تجعل حافلتك متأخرة دائمًا

لماذا تبدو حافلتك دائمًا أطول انتظارًا مما يعد به جدول المواعيد؟ ولماذا يكون القسم الذي يجلس فيه التلميذ الوسطي أكبر من القسم الوسطي؟ ولماذا يكون لأصدقائك أصدقاء أكثر منك؟ قطعة ماكرة واحدة من الرياضيات — المعاينة المنحازة بالطول — تجيب عن الثلاثة، وهي تعيش في هذا الفصل، بين التوزيعات المنتظم والأسي والطبيعي (التعريف 35.3 و التعريف 35.5 و التعريف 35.8). وتشغّل مسألة الكتاب الأخيرة هذه الكثافات الثلاث وتنتهي حيث تشير السلسلة كلها: إلى منحنى الجرس.

الجزء الأول — ثلاث شخصيات.

  1. تصل حافلة في لحظة عشوائية منتظمة خلال 3030 دقيقة القادمة. احسب P(الانتظار≤10)\P(\text{الانتظار} \leq 10)، و الانتظار المأمول، و σ\sigma (القضية 35.4).
  2. تحقق من أن f(x)=2xf(x) = 2x على [0, 1]\intcc{0}{1} كثافة، واحسب E(X)\E(X) و P(X>12)\P\left(X > \frac12\right).
  3. تصل مكالمات هاتفية إلى خط مساعدة تدفقًا بلا ذاكرة: وانتظار المكالمة التالية أسي بمتوسط 1010 دقائق. احسب P(T>15)\P(T > 15) والانتظار الوسيط — ولماذا يكون الوسيط أقل من المتوسط؟
  4. وقد انتظرت 2020 دقيقة أصلًا. فكم يساوي P(T>35∣T>20)\P(T > 35 \mid T > 20) (المبرهنة 35.7)؟ فسّر في جملة واحدة.
  5. طابق كل انتظار بنموذجه الصحيح — منتظم، أو أسي، أو لا هذا ولا ذاك: (أ) نقرة عداد غايغر؛ (ب) مترو يمر كل 88 دقائق، ووصولك غير متزامن؛ (ج) المكالمة التالية على خط المساعدة؛ (د) عطب مصباح كهربائي يبلى. برّر (د) بمبرهنة انعدام الذاكرة.

الجزء الثاني — الجرس في العمل. (استعمل معالم التوزيع الطبيعي: 68 %68\,\% ضمن σ\sigma، و 95 %95\,\% ضمن 2σ2\sigma، و 99.7 %99.7\,\% ضمن 3σ3\sigma.)

  1. أطوال البالغين تتبع تقريبًا N(172, 8)\mathcal N(172,\ 8) (بالسنتيمتر). فما النسب الواقعة في [164, 180]\intcc{164}{180} و [156, 188]\intcc{156}{188} و [148, 196]\intcc{148}{196}؟
  2. قدّر نسبة من يزيد طولهم على 190190 cm (بالدرجة المعيارية أولًا؛ ثم بجدول أو آلة حاسبة).
  3. درجات الذكاء معايَرة على N(100,15)\mathcal N(100, 15). فأي نسبة تسجّل فوق 130130 — وهي نحو شخص واحد من كم؟
  4. آلة تقطع براغي أطوالها N(50, 0.1)\mathcal N(50,\ 0.1) mm والمواصفة هي [49.8, 50.2]\intcc{49.8}{50.2}. فما الحصة المرفوضة؟ وتحتفي الصناعة بعمليات “ستة سيغما”، التي تجلس مواصفاتها عند ±6σ\pm 6\sigma: فماذا يشتري ذلك، ولماذا تسعى المصانع وراءه؟
  5. مبرهنة دي موافر–لابلاس (المبرهنة 35.10): من أجل 100100 رمية لقطعة نقد غير مغشوشة، قرّب P(45≤صورة≤55)\P(45 \leq \text{صورة} \leq 55) (مع تصحيح الاتصال: ±0.5\pm 0.5؛ و σ=5\sigma = 5). فأي آلة خشبية في المسألة 19.1 تملّسها هذه المبرهنة إلى منحنى؟
  6. انطلاقًا من التمرين 35.8: يحتاج هامش ±2\pm 2 نقطة إلى نحو n=2 400n = 2\,400. احسب العينة اللازمة من أجل ±0.5\pm 0.5 نقطة — واختم، في جملة واحدة، لماذا لا يستطيع أي استطلاع أن يحسم بأمانة سباقًا يفصل بينه نقطة واحدة.

الجزء الثالث — مفارقة الحافلة.

  1. تصل الحافلات تدفقًا بلا ذاكرة متوسط فجوته 1010 دقائق. وتبلغ أنت الموقف في لحظة كيفية. ويقول الحدس إن الانتظار المأمول 55 دقائق (أي نصف فجوة). فماذا تقول مبرهنة انعدام الذاكرة بدل ذلك؟
  2. شخّص الحدس بجدول مواعيد لعبة: فجوات تتناوب 55 و 1515 دقيقة (ومتوسط الفجوة 1010). احسب احتمال أن يقع وصول عشوائي منتظم في فجوة طويلة، ثم الانتظار المأمول الحقيقي — وسمِّ الجاني: فالوصولات تعاين الفجوات باحتمال يتناسب مع طولها.
  3. وفي التدفق عديم الذاكرة، للفجوة التي تقع فيها طول مأمول قدره 2020 دقيقة — أي ضعف الفجوة النموذجية (فالزمن إلى الوراء حتى الحافلة السابقة والزمن إلى الأمام حتى التالية كلاهما أسي بمتوسط 1010). وفّق بين هذا والسؤال 12 وصُغ مفارقة المعاينة في جملة واحدة.
  4. اللسعة نفسها على اليابسة: جامعة فيها تسعة أقسام من 1010 طلاب وقسم من 110110. احسب متوسط حجم القسم، ثم حجم القسم الذي يعيشه الطالب الوسطي. فأي عدد سيقتبسه الكتيّب، وأيهما حقيقة الطلاب المعيشة؟
  5. ومفارقة الصداقة — “لأصدقائك، وسطيًا، أصدقاء أكثر منك” — هي الرياضيات نفسها. قل في جملة واحدة ما الذي يلعب دور الفجوة الطويلة.

الجزء الرابع — إغلاق الكتاب.

  1. المحاكاة، جسر الممارسين: إذا كان UU منتظمًا على (0, 1)\intoo{0}{1}، فبيّن أن T=−10ln⁡UT = -10\ln U أسي بمتوسط 1010 (بحساب P(T>t)\P(T > t)). فكل محاكاة انتظار عشوائي في الصناعة تعمل بهذه الحيلة ذات السطر الواحد.
  2. وصفة قديمة عند مبرمجي الألعاب تبني جرسًا: اجمع اثني عشر متغيرًا منتظمًا مستقلًا على [0, 1]\intcc{0}{1} ثم اطرح 66. أعطِ متوسط المجموع وتباينه، وفسّر — ولوح غالتون في يدك — لماذا تكون النتيجة طبيعية تقريبًا.
  3. الأسواق تنهار أشد مما يسمح به الجرس: فقد وُصف انهيار سنة 1987 بأنه “حادثة 25σ25\sigma”، وهذه احتمالها في ظل الطبيعية نحو 10−13710^{-137}. فما الاستنتاج الصحيح — عن العالم، أم عن النموذج؟ (جملة واحدة، وهي عقيدة الإحصائي.)
  4. الخاتمة، ووداع الكتاب: الشخصيات الثلاث في سطر واحد لكل منها — المنتظم (جهل داخل حدود)، والأسي (خطر بلا ذاكرة)، و الطبيعي (مجموع أسباب صغيرة كثيرة)؛ ومفارقة المعاينة لسعةً للفصل؛ وقوس السلسلة كلها — من عدّ علب العصير في الكتاب السابق إلى منحنى الجرس الذي يقيس كل جمهور — والكتب الجامعية تنتظر حيث تتسلم النهايات والتكاملات ومبرهنة النهاية المركزية الراية.
حل

حل المسألة 35.1.

1. P(الانتظار≤10)=1030=13\P(\text{الانتظار} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13؛ و E=15\E = 15 min؛ و σ=3012≈8.7\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7 min.

2. ∫012x  ⁣dx=1\int_0^1 2x\,\dd x = 1: إذن كثافة. و E(X)=∫012x2  ⁣dx=23\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23؛ و P(X>12)=∫1/212x  ⁣dx=1−14=34\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34.

3. P(T>15)=e−15/10≈0.22\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22. والوسيط: e−m/10=12\eu^{-m/10} = \frac12: أي m=10ln⁡2≈6.9m = 10\ln 2 \approx 6.9 min — وهو أقل من المتوسط 1010 لأن ذيل التوزيع الأسي الأيمن الطويل (الانتظارات الضخمة النادرة) يجرّ المتوسط إلى الأعلى بينما يترك الوسيط عند الانتظار “النموذجي”.

4. بانعدام الذاكرة، P(T>35∣T>20)=P(T>15)≈0.22\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22: فالعشرون دقيقة التي مضت لا تشتري شيئًا — إذ لا يشيخ التدفق.

5. (أ) أسي (فالتفكك الإشعاعي هو النموذج الذي اختُرع من أجله انعدام الذاكرة)؛ (ب) منتظم على [0, 8]\intcc{0}{8} (وهو جدول مواعيد بإزاحة عشوائية)؛ (ج) أسي؛ (د) لا هذا ولا ذاك: فالمصباح البالي أرجح عطبًا في الساعة القادمة من الجديد، إذن P(T>s+t∣T>s)<P(T>t)\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t): فالبلى يناقض مبرهنة انعدام الذاكرة.

6. 68 %68\,\% و 95 %95\,\% و 99.7 %99.7\,\%: وهي المجالات المعلَمية الثلاثة.

7. z=190−1728=2.25z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25: فالذيل الأعلى ≈1.2 %\approx 1.2\,\%.

8. z=2z = 2: أي نحو 2.3 %2.3\,\% — ونحو شخص واحد من 4444.

9. تجلس المواصفة عند ±2σ\pm 2\sigma: فينجح نحو 95.4 %95.4\,\% ويُرفض 4.6 %4.6\,\% — وهذا مدمّر على نطاق واسع. وعند ±6σ\pm 6\sigma يهبط معدل الفشل إلى نحو جزأين في المليار: فستة سيغما تشتري حق الإنتاج الضخم بلا فحص ضخم.

10. σ=5\sigma = 5؛ ومع تصحيح الاتصال، P≈P(∣Z∣≤5.55)=P(∣Z∣≤1.1)≈0.73\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73. وتملّس المبرهنة لوح غالتون في المسألة 19.1: فيصير درج الخانات جرسًا متصلًا.

11. n≈1.962×0.250.0052≈38 400n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400 شخصًا — وعند ذلك الحجم تقزّم الأخطاء غير المعاينية (الإطار، والرفض، والكذب) الهامش: فسباق فارقه نقطة واحدة وراء قدرة الاستطلاع الأمين، ولهذا تقول المعاهد الجادة عندئذٍ “أقرب من أن يُحسم”.

12. بانعدام الذاكرة: من لحظة وصولك، يكون الانتظار المتبقي أسيًا بمتوسط 1010 — أي 1010 دقائق كاملة، لا 55. وعبارة “متوسط الفجوة 1010” في جدول المواعيد مضلِّلة: فانتظارك له التوزيع نفسه الذي لفجوة كاملة.

13. تحطّ الوصولات العشوائية بالتناسب مع طول الفجوة: P(فجوة طويلة)=1520=34\P(\text{فجوة طويلة}) = \frac{15}{20} = \frac34. والانتظار المأمول: 34×152+14×52=5.625+0.625=6.25\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25 min — أي أكثر من الساذج 55، مع أن متوسط الفجوة 1010. والجاني: المعاينة المنحازة بالطول — فالفجوات الطويلة تصطاد ركابًا أكثر.

14. الانتظاران إلى الوراء وإلى الأمام أسيان كلاهما بمتوسط 1010 (فانعدام الذاكرة يسري في الاتجاهين من لحظة وصولك): فالفجوة التي تحويك متوسطها 2020 دقيقة — أي ضعف الفجوة النموذجية. ومفارقة المعاينة في جملة واحدة: الفترة التي تصادف أن تعاينها ليست فترة نموذجية، لأنك كنت أرجح وقوعًا في فترة كبيرة.

15. القسم الوسطي: 9×10+11010=20\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20 طالبًا. والمتوسط الذي يعيشه الطالب: 90×10+110×110200=13 000200=65\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000} {200} = 65 طالبًا. والكتيّب يطبع 2020؛ وثلاثة من كل خمسة طلاب يجلسون في القسم ذي 110110 طلاب ويعيشون العدد 6565.

16. يظهر الأشخاص المشهورون في قوائم أصدقاء كثيرة، فتكون معاينة “صديق” منحازة بالطول نحو الاجتماعيين — فأصدقاؤك مسحوبون من الفجوات الطويلة في جدول المواعيد الاجتماعي.

17. من أجل t≥0t \geq 0: P(T>t)=P(−10ln⁡U>t)=P(U<e−t/10)=e−t/10\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}: أي بالضبط دالة بقاء التوزيع الأسي — فلوغاريتم واحد يحوّل ضجيج الحاسوب المنتظم إلى أي زمن انتظار.

18. لكل متغير منتظم المتوسط 12\frac12 والتباين 112\frac{1}{12}: فلمجموع اثني عشر منها المتوسط 66 والتباين 11 — إذن تخرج الوصفة بمتوسط 00 وتباين 11. اثنتا عشرة دفعة صغيرة مستقلة مجموعة: أي آلية غالتون، وببركة مبرهنة دي موافر–لابلاس يكون المدرَّج التكراري جرسي الشكل للعين أصلًا.

19. عن النموذج: فالأسواق ليست مجاميع أسباب صغيرة مستقلة كثيرة — فالذعر يربط كل شيء (وهو درس سنة 2008 في المسألة السابقة) و ينتج ذيولًا سمينة لا تملكها أي كثافة طبيعية. وحين تهمس المعطيات بالعدد 10−13710^{-137}، تجيب عقيدة الإحصائي: النموذج هو المرفوض، لا اليوم.

20. المنتظم: كل المواضع سواء، وهو قول أمين “لا أعرف إلا الحدود”. والأسي: الخطر الذي لا يشيخ — التفككات، والوصولات، والنقرات. والطبيعي: جرس الأسباب الصغيرة المستقلة الكثيرة الديمقراطي — الأطوال، والأخطاء، والمتوسطات. واللسعة: ما تعاينه منحاز بكيفية اصطدامك به — الحافلات، والأقسام، والأصدقاء. وأما القوس: فالطفل الذي عدّ علب العصير في الكتاب السابق قد قاس، بعد عشرة مجلدات من المسائل، الجمهور بمنحنى؛ وإبسيلون، والتكامل، ومبرهنة النهاية المركزية تنتظر في الكتب الجامعية لتفسّر لماذا يقرع الجرس لكل شيء.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد