Mathematics · الكتاب 2 · Grades 10–12

رياضيات المرحلة الثانوية

رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

14حساب المثلثات: دائرة الوحدة

يبدأ حساب المثلثات في المثلثات القائمة، لكن موطنه الحقيقي هو دائرة الوحدة، حيث يصير جيب التمام والجيب دالتين لعدد حقيقي كيفي. يركّب هذا الفصل الراديان، ولفّ المستقيم الحقيقي حول الدائرة، والقيم المضبوطة الواجب حفظها، و التناظرات التي تولّد كل المتطابقات الكلاسيكية. أما دراسة cos⁡\cos و sin⁡\sin دالتين — تغيرات ومشتقات — فتجري في الفصل 24.

14.1 الراديان واللفّ

تعريف 14.1 (الراديان)

لتكن C\mathcal C الدائرة التي نصف قطرها 11 ومركزها المبدأ OO، ولتكن I(1,0)I(1, 0). قياس زاوية مركزية في C\mathcal C بوحدة الراديان هو طول القوس الذي تقطعه على C\mathcal C. وبما أن محيط الدائرة الكاملة 2π2\pi:

360∘=2π راد,180∘=π راد,1 راد=180∘π≈57.3∘.360^\circ = 2\pi \text{ راد}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ راد}, \qquad 1 \text{ راد} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

طريقة 14.2 (التحويل)

الدرجات والراديانات متناسبة: اضرب في π180\frac{\pi}{180} للانتقال من الدرجات إلى الراديانات، وفي 180π\frac{180}{\pi} في الاتجاه الآخر. فمثلًا 60∘=60×π180=π360^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}، و 3π4=3×180∘4=135∘\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ.

تعريف 14.3 (لفّ المستقيم على الدائرة)

نرفق بكل عدد حقيقي tt النقطة M(t)M(t) من C\mathcal C التي نبلغها بالسير مسافة ∣t∣\abs t على الدائرة انطلاقًا من II، في الاتجاه المباشر إذا كان t≥0t \geq 0، وفي الاتجاه المعاكس إذا كان t<0t < 0. وبما أن المحيط 2π2\pi، يبلغ العددان tt و t+2kπt + 2k\pi (حيث k∈Zk \in \Z) النقطة نفسها: M(t+2kπ)=M(t)M(t + 2k\pi) = M(t).

مثال 14.4

M(0)=IM(0) = I؛ و M ⁣(π2)=(0,1)M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)، وهي أعلى نقطة في الدائرة؛ و M(π)=(−1,0)M(\pi) = (-1, 0)؛ و M ⁣(−π2)=(0,−1)M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)؛ و M ⁣(9π4)=M ⁣(π4+2π)=M ⁣(π4)M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

14.2 جيب التمام والجيب

تعريف 14.5 (جيب التمام والجيب)

من أجل كل عدد حقيقي tt، يكون جيب التمام و الجيب للعدد tt هما إحداثيَي النقطة M(t)M(t) من دائرة الوحدة:

M(t)=(cos⁡t, sin⁡t).M(t) = (\cos t,\ \sin t).
دائرة الوحدة: العدد الحقيقي t، ملفوفًا في الاتجاه المباشر انطلاقًا من I، يحط عند النقطة M(t) التي تعرّف إحداثياها t و t.
دائرة الوحدة: العدد الحقيقي tt، ملفوفًا في الاتجاه المباشر انطلاقًا من II، يحط عند النقطة M(t)M(t) التي تعرّف إحداثياها cos⁡t\cos t و sin⁡t\sin t.

قضية 14.6 (الخواص الأولى)

من أجل كل t∈Rt \in \R و k∈Zk \in \Z:

−1≤cos⁡t≤1,−1≤sin⁡t≤1,cos⁡2t+sin⁡2t=1,-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,
cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t.\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

برهان. تقع M(t)M(t) على دائرة الوحدة، إذن يقع إحداثياها بين −1-1 و 11، وهما يحققان معادلة الدائرة x2+y2=1x^2 + y^2 = 1، وهي المتطابقة cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2 t + \sin^2 t = 1. أما الدورية فتعيد صياغة M(t+2kπ)=M(t)M(t + 2k\pi) = M(t) (التعريف 14.3). ∎

مثال 14.7

إذا كان sin⁡t=35\sin t = \frac35 و t∈[π2, π]t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi} (الربع الثاني)، فإن cos⁡2t=1−925=1625\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}، إذن cos⁡t=±45\cos t = \pm\frac45؛ وفي الربع الثاني تكون الفاصلة سالبة، ومنه cos⁡t=−45\cos t = -\frac45.

والقيم الواجب حفظها عن ظهر قلب:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

ملاحظة 14.8

وسيلة للحفظ: تُقرأ الجيوب 02,12,22,32,42\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}، وجيوب التمام هي القائمة نفسها معكوسة.

14.3 الزوايا المرتبطة

قضية 14.9 (الزوايا المرتبطة)

من أجل كل t∈Rt \in \R:

cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π+t)=−cos⁡t,sin⁡(π+t)=−sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

برهان. يعبّر كل سطر عن تناظر من تناظرات الدائرة.

فالنقطة M(−t)M(-t) هي نظيرة M(t)M(t) بالنسبة إلى المحور xx: فالفاصلة لا تتغير، والترتيب يغيّر إشارته.

والنقطة M(π−t)M(\pi - t) هي نظيرة M(t)M(t) بالنسبة إلى المحور yy: فالسير إلى الوراء من π\pi بمقدار tt يحط في مقابل (أفقيًا) السير إلى الأمام من 00 بمقدار tt. فالفاصلة تغيّر إشارتها، والترتيب لا يتغير.

والنقطة M(π+t)M(\pi + t) تقابل M(t)M(t) قطريًا (نصف دورة): فيغيّر الإحداثيان إشارتيهما.

والنقطة M ⁣(π2−t)M\!\left(\frac\pi2 - t\right) هي نظيرة M(t)M(t) بالنسبة إلى المستقيم القطري y=xy = x، الذي يبدّل الإحداثيين. ∎

النقط المرتبطة الأربع: M(-t) تقابل M(t) بالنسبة إلى المحور x، و M(π - t) بالنسبة إلى المحور y، و M(π + t) تقابلها قطريًا. وكل متطابقة في تُقرأ على هذا الرسم.
النقط المرتبطة الأربع: M(−t)M(-t) تقابل M(t)M(t) بالنسبة إلى المحور xx، و M(π−t)M(\pi - t) بالنسبة إلى المحور yy، و M(π+t)M(\pi + t) تقابلها قطريًا. وكل متطابقة في القضية 14.9 تُقرأ على هذا الرسم.

مثال 14.10

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12، و sin⁡7π6=sin⁡(π+π6)=−sin⁡π6=−12\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12. وجدول القيم الخمس، موسَّعًا بالتناظرات، يغطي الدائرة كلها.

14.4 حل المعادلات المثلثية

مبرهنة 14.11 (المعادلتان cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos a و sin⁡t=sin⁡a\sin t = \sin a)

من أجل عددين حقيقيين tt و aa:

cos⁡t=cos⁡a  ⟺  t=a+2kπ أو t=−a+2kπ(k∈Z),\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{أو}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),
sin⁡t=sin⁡a  ⟺  t=a+2kπ أو t=π−a+2kπ(k∈Z).\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{أو}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

برهان. تتساوى فاصلتا نقطتين من دائرة الوحدة بالضبط عندما تكونان متساويتين أو نظيرتين إحداهما للأخرى بالنسبة إلى المحور xx؛ وحسب القضية 14.9، نظيرة M(a)M(a) هي M(−a)M(-a). إذن cos⁡t=cos⁡a\cos t = \cos a يعني M(t)=M(a)M(t) = M(a) أو M(t)=M(−a)M(t) = M(-a)، أي t=±at = \pm a إلى حد مضاعف للعدد 2π2\pi. وبالمثل، تساوي الترتيبين يعني تساوي النقطتين أو تناظرهما بالنسبة إلى المحور yy، ونظيرة M(a)M(a) هي M(π−a)M(\pi - a). ∎

طريقة 14.12 (حل cos⁡t=c\cos t = c على فترة)

  1. أوجد زاوية واحدة aa تحقق cos⁡a=c\cos a = c، من جدول القيم المعروفة.
  2. اكتب الحلول العامة t=±a+2kπt = \pm a + 2k\pi (المبرهنة 14.11).
  3. اختر الأعداد الصحيحة kk التي تحط داخل الفترة المطلوبة، واذكر الحلول.

وافعل الشيء نفسه من أجل sin⁡t=c\sin t = c مع t=a+2kπt = a + 2k\pi أو t=π−a+2kπt = \pi - a + 2k\pi.

مثال 14.13

حل cos⁡t=12\cos t = \frac12 على (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}. أحد حلول cos⁡a=12\cos a = \frac12 هو a=π3a = \frac{\pi}{3}. والحلول العامة هي t=π3+2kπt = \frac\pi3 + 2k\pi و t=−π3+2kπt = -\frac\pi3 + 2k\pi. وداخل (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}، لا يسهم سوى k=0k = 0: t∈{−π3, π3}t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}.

وحل sin⁡t=−22\sin t = -\frac{\sqrt2}{2} على [0, 2π)\intco{0}{2\pi}. إحدى الزوايا هي a=−π4a = -\frac\pi4؛ والحلول هي t=−π4+2kπt = -\frac\pi4 + 2k\pi و t=π+π4+2kπ=5π4+2kπt = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi. وفي [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=7π4t = \frac{7\pi}{4} (من k=1k = 1) و t=5π4t = \frac{5\pi}{4}.

حل t = 1/2: يقطع المستقيم الشاقولي x = 1/2 (بالبرتقالي) دائرة الوحدة في نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى المحور x — ومن هنا عائلتا الحلول t = ± π3 + 2kπ.
حل cos⁡t=12\cos t = \frac12: يقطع المستقيم الشاقولي x=12x = \frac12 (بالبرتقالي) دائرة الوحدة في نقطتين متناظرتين بالنسبة إلى المحور xx — ومن هنا عائلتا الحلول t=±π3+2kπt = \pm\frac\pi3 + 2k\pi.

14.5 تمارين

تمرين 14.1 ★

حوّل إلى الراديان: 30∘30^\circ و 45∘45^\circ و 120∘120^\circ و 270∘270^\circ. وحوّل إلى الدرجات: π5\frac{\pi}{5} و 5π6\frac{5\pi}{6} و 7π4\frac{7\pi}{4} و 2π9\frac{2\pi}{9}.

حل

حل التمرين 14.1.

إلى الراديان: 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6} و 45∘=π445^\circ = \frac{\pi}{4} و 120∘=2π3120^\circ = \frac{2\pi}{3} و 270∘=3π2270^\circ = \frac{3\pi}{2}.

وإلى الدرجات: π5=36∘\frac{\pi}{5} = 36^\circ و 5π6=150∘\frac{5\pi}{6} = 150^\circ و 7π4=315∘\frac{7\pi}{4} = 315^\circ و 2π9=40∘\frac{2\pi}{9} = 40^\circ.

تمرين 14.2 ★

علّم على دائرة الوحدة النقط M(t)M(t) من أجل

t=2π3,t=−π4,t=17π6,t=−7π2,t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

بعد ردّ كل قيمة إلى قيمة في (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} بترديد 2π2\pi.

حل

حل التمرين 14.2.

القيمتان 2π3\frac{2\pi}{3} و −π4-\frac{\pi}{4} موجودتان أصلًا في (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: في الربع الثاني والربع الرابع على الترتيب.

17π6−2π=5π6\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}: في الربع الثاني، قريبًا من المحور xx السالب.

−7π2+4π=π2-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}: أعلى نقطة في الدائرة، (0,1)(0, 1).

تمرين 14.3 ★

مستعملًا الجدول والزوايا المرتبطة، أعطِ القيم المضبوطة للمقادير

cos⁡3π4,sin⁡5π6,cos⁡(−π3),sin⁡4π3,cos⁡11π6.\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .
حل

حل التمرين 14.3.

cos⁡3π4=cos⁡(π−π4)=−cos⁡π4=−22\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡(−π3)=cos⁡π3=12\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12.

sin⁡4π3=sin⁡(π+π3)=−sin⁡π3=−32\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

cos⁡11π6=cos⁡(−π6+2π)=cos⁡π6=32\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}.

تمرين 14.4 ★

علمًا أن cos⁡t=513\cos t = \frac{5}{13} حيث t∈(−π2, 0)t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}، احسب sin⁡t\sin t بالضبط.

حل

حل التمرين 14.4.

sin⁡2t=1−cos⁡2t=1−25169=144169\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}، إذن sin⁡t=±1213\sin t = \pm\frac{12}{13}. وعلى (−π2, 0)\intoo{-\frac\pi2}{0} (الربع الرابع) يكون الترتيب سالبًا: sin⁡t=−1213\sin t = -\frac{12}{13}.

تمرين 14.5 ★★

بسّط، من أجل أي عدد حقيقي xx:

A=cos⁡(π+x)+cos⁡(−x)+sin⁡(π2−x)−cos⁡x,B=sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)+sin⁡(−x).A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .
حل

حل التمرين 14.5.

مستعملين القضية 14.9:

A=(−cos⁡x)+cos⁡x+cos⁡x−cos⁡x=0,A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,
B=sin⁡x+(−sin⁡x)+(−sin⁡x)=−sin⁡x.B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

تمرين 14.6 ★★

حل على (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}:

cos⁡t=32,sin⁡t=12,cos⁡t=−1.\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .
حل

حل التمرين 14.6.

cos⁡t=32\cos t = \frac{\sqrt3}{2}: أحد الحلول π6\frac\pi6، إذن t=±π6t = \pm\frac\pi6 (فالانسحابات بمقدار 2kπ2k\pi تخرج من الفترة).

sin⁡t=12\sin t = \frac12: t=π6t = \frac\pi6 أو t=π−π6=5π6t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}.

cos⁡t=−1\cos t = -1: النقطة الوحيدة ذات الفاصلة −1-1 هي M(π)M(\pi)، إذن t=πt = \pi.

تمرين 14.7 ★★

حل على [0, 2π)\intco{0}{2\pi}:

sin⁡t=−32,cos⁡t=0,2sin⁡t+1=0.\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .
حل

حل التمرين 14.7.

sin⁡t=−32\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}: انطلاقًا من a=−π3a = -\frac\pi3، تكون العائلتان −π3+2kπ-\frac\pi3 + 2k\pi و π+π3+2kπ\pi + \frac\pi3 + 2k\pi؛ وفي [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=4π3t = \frac{4\pi}{3} و t=5π3t = \frac{5\pi}{3}.

cos⁡t=0\cos t = 0: t=π2t = \frac\pi2 و t=3π2t = \frac{3\pi}{2}.

و 2sin⁡t+1=02\sin t + 1 = 0 يعني sin⁡t=−12\sin t = -\frac12: انطلاقًا من a=−π6a = -\frac\pi6، في [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: t=7π6t = \frac{7\pi}{6} و t=11π6t = \frac{11\pi}{6}.

تمرين 14.8 ★★

حل على R\R المعادلة cos⁡2t=cos⁡t\cos 2t = \cos t. (استعمل المبرهنة 14.11 مع a=ta = t، وناقش عائلتَي الحلول.)

حل

حل التمرين 14.8.

حسب المبرهنة 14.11، تعني cos⁡2t=cos⁡t\cos 2t = \cos t أن 2t=t+2kπ2t = t + 2k\pi أو 2t=−t+2kπ2t = -t + 2k\pi، أي t=2kπt = 2k\pi أو t=2kπ3t = \frac{2k\pi}{3} (حيث k∈Zk \in \Z). والعائلة الأولى محتواة في الثانية (بأخذ kk من مضاعفات 33)، إذن مجموعة الحلول هي

S={2kπ3:k∈Z}S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

— أي، على الدائرة، النقط الثلاث M(0)M(0) و M ⁣(2π3)M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) و M ⁣(4π3)M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).

تمرين 14.9 ★★

بيّن أنه من أجل كل عدد حقيقي xx،

(cos⁡x+sin⁡x)2+(cos⁡x−sin⁡x)2=2.\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .
حل

حل التمرين 14.9.

بنشر المربعين واستعمال cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1:

(cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x)+(cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x)=1+1=2.(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

تمرين 14.10 ★★

تتدحرج عجلة نصف قطرها 3030 سم دون انزلاق. بأي زاوية (بالراديان ثم بالدرجات) تدور عندما تتقدم الدراجة 1.51.5 م؟ وكم تتقدم الدراجة خلال دورة كاملة للعجلة؟

حل

حل التمرين 14.10.

التدحرج دون انزلاق يعني أن طول القوس يساوي المسافة المقطوعة: فيعطي rθ=150r\theta = 150 سم أن θ=15030=5\theta = \frac{150}{30} = 5 راد =5×180π≈286.5∘= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ. وتقدّم الدورة الكاملة الدراجةَ بمقدار المحيط 2π×30=60π≈188.52\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5 سم، أي نحو 1.881.88 م.

تمرين 14.11 ★★★

حل على (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} المتراجحة cos⁡t≤12\cos t \leq \frac12. (ارسم دائرة الوحدة، وعلّم المنطقة التي تكون فيها الفاصلة لا تتجاوز 12\frac12، واقرأ فترة قيم tt.)

حل

حل التمرين 14.11.

على دائرة الوحدة، النقطتان اللتان فاصلتهما 12\frac12 بالضبط هما M ⁣(±π3)M\!\left(\pm\frac\pi3\right). والنقط التي فاصلتها لا تتجاوز 12\frac12 تشكّل القوس الواقع يسار المستقيم الشاقولي x=12x = \frac12، المقطوع عندما يسير tt من π3\frac\pi3 إلى π\pi، أو من −π-\pi إلى −π3-\frac\pi3. ومنه، على (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}:

S=(−π, −π3]∪[π3, π].S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(والطرفان ±π3\pm\frac\pi3 مُدرَجان لأن المتراجحة واسعة.)

14.6 مسألة: العجلة الدوارة والمدّ

مسألة 14.1

مسألة نهاية الأسبوع — الراديان مسافةً مدحرجة، ودائرة الوحدة ساعةً رئيسية لكل ظاهرة دورية

تحملك عجلة دوارة حول دائرة؛ ويحمل المدّ ماء الميناء صعودًا وهبوطًا على الدائرة الرياضية نفسها. فكل ظاهرة دورية — العجلات، والمدّ، والصوت، والفصول — تقرأ جدولها على دائرة وحدة هذا الفصل (التعريف 14.5)، وتخبر معادلات الطريقة 14.12 بالأوقات بالضبط. تحوّل هذه المسألة، وتلفّ، وتنمذج، وتحل — وتحسم في الطريق لماذا يقيس الرياضيون الزوايا بالراديان.

الجزء الأول — الراديان، المسافة المدحرجة.

  1. حوّل إلى الراديان: 30∘30^\circ و 135∘135^\circ و 300∘300^\circ؛ وإلى الدرجات: 3π4\frac{3\pi}{4} و 5π6\frac{5\pi}{6} (الطريقة 14.2).
  2. جوهر الراديان: القوس ذو الزاوية tt (بالراديان) على دائرة نصف قطرها rr طوله بالضبط r tr\,t. فأي قوس تقطعه زاوية قدرها 22 راديان على دائرة نصف قطرها 33 م؟ (فلا π\pi في أي مكان — وهذا هو المقصود.)
  3. تتدحرج عجلة نصف قطرها 3030 سم مسافة 11 كم دون انزلاق. فبكم راديانًا دارت، وكم دورة كاملة يمثّل ذلك؟
  4. علّم على دائرة الوحدة واحسب بالضبط: cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} و sin⁡(−π4)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) و cos⁡19π6\cos\frac{19\pi}{6} (ورُدّ بترديد 2π2\pi أولًا؛ القضية 14.9).
  5. زاوية t∈(π2, π)t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi} تحقق sin⁡t=35\sin t = \frac35. مستعملًا cos⁡2t+sin⁡2t=1\cos^2 t + \sin^2 t = 1 والربع، أوجد cos⁡t\cos t و tan⁡t\tan t.

الجزء الثاني — العجلة الدوارة. لعجلة عملاقة نصف قطر 6060 م، ومحورها على ارتفاع 6565 م عن الأرض، وتدور دورة كاملة كل 3030 دقيقة. تصعد عند أخفض نقطة في اللحظة t=0t = 0 (بالدقائق)، فيخضع ارتفاعك للعلاقة

h(t)=65−60cos⁡ ⁣(πt15).h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).
  1. برّر العبارة: تحقق من الزاوية المقطوعة بعد tt دقيقة، ومن الارتفاع عند t=0t = 0، وفسّر إشارة الطرح.
  2. احسب ارتفاعك عند t=7.5t = 7.5 و t=15t = 15 و t=20t = 20 دقيقة (بقيم مضبوطة).
  3. في أي لحظة تكون لأول مرة على ارتفاع 9595 م؟ (حل h(t)=95h(t) = 95 مستعملًا الطريقة 14.12.)
  4. خلال أي فترة زمنية من الجولة تكون على ارتفاع 9595 م على الأقل — وكم يدوم ذلك إجمالًا؟ (قارن التمرين 14.11.)
  5. أين يتغير الارتفاع أسرع ما يكون؟ قارن الصعود خلال الدقيقة الأولى (h(1)−h(0)h(1) - h(0)) بالصعود بين الدقيقتين 77 و 88، وصُغ الملاحظة (أما الأداة التي تجعلها مضبوطة — مشتقة الجيبية — فتصل في السنة الأخيرة).
  6. دور المهندس: صمّم عبارة ارتفاع عجلة ارتفاعها الأعظمي 4040 م، وارتفاعها الأصغري 44 م، ودورها 1212 دقيقة، والصعود من الأسفل عند t=0t = 0.

الجزء الثالث — المدّ وتناظرات الدائرة. في ميناء، يكون عمق الماء بالمتر، بعد tt ساعة من منتصف الليل،

d(t)=7+3sin⁡ ⁣(πt6).d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).
  1. أعطِ العمقين الأعظمي والأصغري، واللحظتين اللتين يحدثان فيهما أول مرة، ودور المدّ.
  2. تحتاج سفينة شحن إلى 8.58.5 م من الماء. حل d(t)≥8.5d(t) \geq 8.5 على [0, 12)\intco{0}{12}: في أي نافذة يمكنها الدخول، وكم تدوم النافذة؟ ومتى تُفتح النافذة التالية؟
  3. استنتج من جديد متطابقتين من متطابقات الزوايا المرتبطة انطلاقًا من تناظرات الدائرة مباشرة — sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t (المقابلة بالنسبة إلى المحور الشاقولي) و cos⁡(π+t)=−cos⁡t\cos(\pi + t) = -\cos t (نصف دورة) — وبيّن المتطابقة التكميلية cos⁡(π2−t)=sin⁡t\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t.
  4. الزوجية (بمفردات المسألة 11.1): صنّف sin⁡\sin و cos⁡\cos و t↦sin⁡t+t3t \mapsto \sin t + t^3 زوجية أو فردية، مع براهين من سطر واحد انطلاقًا من الدائرة.
  5. حل على [0, 2π)\intco{0}{2\pi}: 2sin⁡2t−sin⁡t−1=02\sin^2 t - \sin t - 1 = 0. (وهي معادلة تربيعية متنكرة: حلّلها إلى عوامل كما في المسألة 10.1، ثم اقرأ الدائرة.)

الجزء الرابع — زاوية الرياضي.

  1. كم درجة يساوي راديان واحد؟ ثم فخّ الحاسبة: أيهما أكبر، sin⁡(1)\sin(1) (في نمط الراديان) أم sin⁡(1∘)\sin(1^\circ) — وبأي معامل تقريبًا؟ وما المغزى بشأن ضبط الحاسبة؟
  2. حل cos⁡t=sin⁡t\cos t = \sin t على [0, 2π)\intco{0}{2\pi}، مستعملًا الدائرة (فأين تتساوى الفاصلة والترتيب؟).
  3. من أجل الزوايا الصغيرة، يكاد القوس وجيبه يتطابقان: قارن sin⁡(0.1)\sin(0.1) بالعدد 0.10.1 (بخمسة أرقام عشرية)، و أعطِ الخطأ النسبي. وهذا “تقريب الزاوية الصغيرة” يوجّه السفن والنواسات؛ أما المبرهنة وراءه (sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1) فنجمة في فصل النهايات في السنة الأخيرة.
  4. الخاتمة — دائرة الوحدة ساعةً رئيسية، جملة واحدة لكل بند: الراديان يحوّل الزوايا إلى أعداد أمينة (فالقوس == نصف القطر ×\times الزاوية)؛ وجيب التمام والجيب هما ظل عقرب الساعة وارتفاعه؛ وتناظرات الدائرة هي المتطابقات؛ وحل cos⁡t=c\cos t = c يقرأ الأوقات على الساعة؛ وكل ظاهرة دورية — عجلة، ومدّ، وصوت — هي هذه الساعة في ثوب.
حل

حل المسألة 14.1.

1. 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6}؛ 135∘=3π4135^\circ = \frac{3\pi}{4}؛ 300∘=5π3300^\circ = \frac{5\pi}{3}. و 3π4=135∘\frac{3\pi}{4} = 135^\circ؛ 5π6=150∘\frac{5\pi}{6} = 150^\circ.

2. الطول r t=3×2=6r\,t = 3 \times 2 = 6 م. فالراديان يجعل طول القوس جداءً بسيطًا — أما الدرجات فتجرّ π180\frac{\pi}{180} إلى كل صيغة.

3. عدد الراديانات المقطوعة =المسافةنصف القطر=10000.30≈3 333= \frac{\text{المسافة}} {\text{نصف القطر}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333 راد؛ وبالقسمة على 2π2\pi: نحو 530530 دورة كاملة.

4. cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12؛ و sin⁡(−π4)=−22\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}؛ و 19π6−2π=7π6\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}، إذن cos⁡19π6=cos⁡7π6=−32\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}.

5. cos⁡2t=1−925=1625\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}؛ وفي الربع الثاني يكون جيب التمام سالبًا: cos⁡t=−45\cos t = -\frac45، و tan⁡t=3/5−4/5=−34\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34.

6. في tt دقيقة تدور العجلة t30×2π=πt15\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}. وعند t=0t = 0: h=65−60=5h = 65 - 60 = 5 م — وهي منصة الصعود في الأسفل (ارتفاع المحور ناقص نصف القطر). وإشارة الطرح تضعك تحت المحور عندما تكون الزاوية المقطوعة 00.

7. h(7.5)=65−60cos⁡π2=65h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65 م (ارتفاع المحور)؛ و h(15)=65+60=125h(15) = 65 + 60 = 125 م (القمة)؛ و h(20)=65−60cos⁡4π3=65+30=95h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95 م.

8. يعطي 65−60cos⁡πt15=9565 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95 أن cos⁡πt15=−12\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12: فالحل الأول πt15=2π3\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}، أي t=10t = 10 دقائق.

9. cos⁡πt15≤−12\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12 من أجل πt15∈[2π3, 4π3]\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}، أي t∈[10, 20]t \in \intcc{10}{20}: أي عشر دقائق من الجولة فوق 9595 م، متناظرة حول القمة عند t=15t = 15.

10. الدقيقة الأولى:

h(1)−h(0)=60(1−cos⁡π15)≈1.3 م.h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ م}.

وبين الدقيقتين 77 و 88:

60(cos⁡7π15−cos⁡8π15)≈12.5 م60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ م}

— أي نحو عشرة أضعاف. فالارتفاع يتغير أسرع ما يكون عند المرور بمستوى المحور ويتباطأ قرب الأسفل والقمة: فالجيبية شديدة الانحدار في وسطها، مسطحة عند طرفيها.

11. نصف القطر =40−42=18= \frac{40 - 4}{2} = 18 م، والمحور عند 4+18=224 + 18 = 22 م، والدور 1212 دقيقة: h(t)=22−18cos⁡(πt6)h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right).

12. القيمة العظمى 7+3=107 + 3 = 10 م عندما sin⁡πt6=1\sin\frac{\pi t}{6} = 1: أول مرة عند t=3t = 3 (الساعة 3 صباحًا)؛ والقيمة الصغرى 44 م أول مرة عند t=9t = 9؛ والدور 2ππ/6=12\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 ساعة.

13. sin⁡πt6≥12\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12 من أجل πt6∈[π6, 5π6]\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}: t∈[1, 5]t \in \intcc{1}{5} — أي نافذة من أربع ساعات من الساعة 1 صباحًا إلى 5 صباحًا، تُفتح من جديد بعد دور واحد، t∈[13, 17]t \in \intcc{13}{17} (من 1 ظهرًا إلى 5 عصرًا).

14. المقابلة بالنسبة إلى المحور الشاقولي ترسل النقطة ذات الزاوية tt إلى النقطة ذات الزاوية π−t\pi - t، محافظةً على الترتيب: sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t. ونصف الدورة حول المركز يرسل tt إلى π+t\pi + t، فيغيّر إشارتي الإحداثيين: cos⁡(π+t)=−cos⁡t\cos(\pi + t) = -\cos t. والمقابلة بالنسبة إلى القطر تبدّل الفاصلة والترتيب: cos⁡(π2−t)=sin⁡t\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t — وهي “التمام” في الزوايا المتتامة.

15. sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t) = -\sin t: فردية (بتناظر منحنيها بنصف دورة)؛ و cos⁡(−t)=cos⁡t\cos(-t) = \cos t: زوجية (بالمرآة). و sin⁡t+t3\sin t + t^3 مجموع دالتين فرديتين: فهي فردية.

16. بالتحليل إلى عوامل: (2sin⁡t+1)(sin⁡t−1)=0(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0: فالمعادلة sin⁡t=1\sin t = 1 تعطي t=π2t = \frac\pi2؛ و sin⁡t=−12\sin t = -\frac12 يعطي t=7π6t = \frac{7\pi}{6} و t=11π6t = \frac{11\pi}{6}. إذن ثلاثة حلول على الدائرة.

17. الراديان الواحد =180π≈57.3∘= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ. إذن sin⁡(1)≈0.841\sin(1) \approx 0.841 بينما sin⁡(1∘)≈0.0175\sin(1^\circ) \approx 0.0175: أي بمعامل يقارب 5050. والمغزى: تحقق من ضوء النمط قبل الوثوق بأي عرض مثلثي.

18. تتساوى الفاصلة والترتيب على القطر: t=π4t = \frac\pi4 و t=5π4t = \frac{5\pi}{4}.

19. sin⁡(0.1)=0.09983…\sin(0.1) = 0.09983\ldots مقابل 0.10.1: فالخطأ النسبي نحو 0.17 %0.17\,\%. فمن أجل الزوايا الصغيرة يعانق الوتر القوس — والنهاية في السنة الأخيرة sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1 هي بالضبط هذه الملاحظة وقد صارت مبرهنة.

20. الراديان: الزاوية == القوس على دائرة الوحدة، فتُحسب الزوايا كما تُحسب الأطوال. وجيب التمام والجيب: إحداثيا عقرب الساعة — ظله على الأرض وارتفاعه على الجدار. وتناظرات الدائرة: كتالوغ المتطابقات كله، مقروءًا على المرايا وأنصاف الدورات. ومعادلات cos⁡t=c\cos t = c: جدول مواعيد الساعة، والدائرة تعرض كل الحلول دفعة واحدة. والأثواب: ارتدت العجلة 65−60cos⁡65 - 60\cos، وارتدى المدّ 7+3sin⁡7 + 3\sin — الساعة نفسها والرياضيات نفسها.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد