رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

30المصفوفات والبيانات

المصفوفة جدول مستطيلي من الأعداد، يُجمع ويُضرب بقواعد مصمَّمة بحيث يمثّل جبر المصفوفات تركيب التحويلات الخطية. وتحل المصفوفات الجمل الخطية، وتقود المتتاليات التراجعية المقترنة، وتعدّ المسالك في الشبكات — وهي الرياضيات وراء محركات البحث وخوارزميات أقصر مسار.

30.1 جبر المصفوفات

تعريف 30.1 (المصفوفة)

المصفوفة ذات القياس $m \times n$ جدول من الأعداد الحقيقية فيه $m$ سطرًا و $n$ عمودًا: $A = (a_{ij})$ ، حيث $a_{ij}$ هو المدخل في السطر $i$ والعمود $j$ . وتُجمع مصفوفتان لهما القياس نفسه مدخلًا مدخلًا، و $\lambda A = (\lambda a_{ij})$ .

تعريف 30.2 (جداء المصفوفات)

لتكن $A$ ذات القياس $m \times n$ ولتكن $B$ ذات القياس $n \times p$ . الجداء $AB$ هو المصفوفة ذات القياس $m \times p$ التي مدخلها $(i,j)$ هو

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

(وهي قاعدة “السطر $i$ من $A$ مضروبًا في العمود $j$ من $B$ ”).

مثال 30.3

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}$ ، بينما $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 6\end{pmatrix}$ : فضرب المصفوفات ليس تبديليًا.

قضية 30.4 (قواعد جبر المصفوفات)

كلما جعلت القياسات الجداءات ذات معنى:

(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC,

ومصفوفة الوحدة $I_n$ (وفيها الواحدات على القطر والأصفار في ما عداه) تحقق $I_m A = A I_n = A$ من أجل $A$ ذات القياس $m \times n$ .

برهان. كلها تحققات مدخلًا مدخلًا انطلاقًا من التعريف 30.2؛ وأما التجميعية، وهي الوحيدة غير التافهة، فترجع إلى تبادل مجموعين منتهيين: $\bigl((AB)C\bigr)_{ij} = \sum_l \left(\sum_k a_{ik}b_{kl}\right) c_{lj} = \sum_k a_{ik} \left(\sum_l b_{kl} c_{lj}\right) = \bigl(A(BC)\bigr)_{ij}$ . ∎

تعريف 30.5 (المقلوب)

تكون مصفوفة مربعة $A$ من القياس $n$ قابلة للقلب إذا وُجدت مصفوفة $B$ حيث $AB = BA = I_n$ ؛ وتكون $B$ عندئذٍ وحيدة، وتُكتب $A^{-1}$ .

قضية 30.6 (مقلوب مصفوفة $2\times2$ )

لتكن $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ وليكن $\det A = ad - bc$ (وهو المحدد). عندئذٍ تكون $A$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $\det A \neq 0$ ، ويكون عندئذٍ

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.

برهان. يعطي حساب مباشر $A \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix} A = (ad - bc) I_2$ ؛ فإذا كان $ad - bc \neq 0$ ، فاقسم. وبالعكس، إذا كان $ad - bc = 0$ ، كان عمودا $A$ متناسبين، وكذلك عمودا $AB$ من أجل أي $B$ ؛ لكن عمودَي $I_2$ ليسا متناسبين، إذن لا يمكن لأي $B$ أن تحقق $AB = I_2$ . ∎

طريقة 30.7 (الجمل الخطية)

الجملة $\begin{cases} ax + by = e\\ cx + dy = f \end{cases}$ هي المعادلة المصفوفية $AX = Y$ حيث $X = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ و $Y = \begin{pmatrix} e \\ f\end{pmatrix}$ . وإذا كان $\det A \neq 0$ ، فحلها الوحيد هو $X = A^{-1}Y$ . ويعالج الشكلانية نفسها $n$ معادلة ذات $n$ مجهولًا.

30.2 قوى المصفوفات والمتتاليات التراجعية

تعريف 30.8

من أجل مصفوفة مربعة $A$ و $k \in \N$ ، $A^k = A \times \dots \times A$ ( $k$ عاملًا)، مع $A^0 = I$ .

طريقة 30.9 (الحالتان القطرية-زائد-عديمة القوة والقابلة للقطرنة)

طريقتان معياريتان لحساب $A^k$ :

إذا كان $A = \lambda I + N$ حيث $N^2 = 0$ ، فإن مبرهنة ثنائي الحد (وهي صالحة هنا لأن $I$ و $N$ متبادلتان) تنطوي إلى حدين: $A^k = \lambda^k I + k \lambda^{k-1} N$ .
وإذا وُجدت $P$ قابلة للقلب حيث $A = PDP^{-1}$ و $D$ قطرية، فإن $A^k = P D^k P^{-1}$ ، وتُحسب $D^k$ مدخلًا مدخلًا. (وإيجاد $P$ كهذه بصورة منهجية هو نظرية القطرنة، المطوَّرة في الجامعة؛ وفي هذا المستوى تُعطى $P$ .)

مثال 30.10 (متتاليتان مقترنتان)

لتكن $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ و $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ . وبوضع $X_n = \begin{pmatrix} u_n\\ v_n \end{pmatrix}$ و $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ ، نجد $X_{n+1} = AX_n$ ، إذن $X_n = A^n X_0$ . والمتتاليتان المساعدتان $s_n = u_n + v_n$ و $d_n = u_n - v_n$ تحققان $s_{n+1} = 4s_n$ و $d_{n+1} = 2d_n$ ، إذن $s_n = 4^n s_0$ و $d_n = 2^n d_0$ و

u_n = \frac{4^n(u_0+v_0) + 2^n(u_0-v_0)}{2}, \qquad v_n = \frac{4^n(u_0+v_0) - 2^n(u_0-v_0)}{2}.

(ووراء الكواليس: $(1,1)$ و $(1,-1)$ اتجاها متجهتين ذاتيتين للمصفوفة $A$ .)

30.3 البيانات والمسالك

تعريف 30.11 (البيان ومصفوفة الجوار)

يتكوّن البيان من رؤوس $1, 2, \dots, n$ وحواف تصل أزواجًا معينة من الرؤوس (أزواجًا مرتبة في حالة البيان الموجَّه). ومصفوفة جواره هي المصفوفة $M$ ذات القياس $n \times n$ حيث $m_{ij} = 1$ إذا وُجدت حافة من $i$ إلى $j$ ، و $0$ فيما عدا ذلك. والمسلك ذو الطول $k$ من $i$ إلى $j$ هو متتالية من $k$ حافة متعاقبة تقود من $i$ إلى $j$ .

M = pmatrix 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 pmatrix بيان موجَّه ومصفوفة جواره (): m_ij = 1 بالضبط عندما توجد حافة من i إلى j. — $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ بيان موجَّه ومصفوفة جواره (التمرين 30.6): $m_{ij} = 1$ بالضبط عندما توجد حافة من $i$ إلى $j$ .

مبرهنة 30.12 (عدّ المسالك)

عدد المسالك ذات الطول $k$ من الرأس $i$ إلى الرأس $j$ هو المدخل $(i,j)$ في $M^k$ .

برهان. بالتراجع على $k$ . ومن أجل $k = 1$ هذا هو تعريف $M$ . ولنفترض الادعاء من أجل $k$ . فالمسلك ذو الطول $k+1$ من $i$ إلى $j$ هو مسلك طوله $k$ من $i$ إلى رأس ما $l$ ، متبوعًا بحافة من $l$ إلى $j$ ؛ وبمبدأي الجمع والضرب، يكون عددها

\sum_{l=1}^{n} \bigl(M^k\bigr)_{il}\, m_{lj} = \bigl(M^{k+1}\bigr)_{ij}. \qedhere

∎

مثال 30.13

من أجل بيان المثلث ( $3$ رؤوس، وكل الأزواج موصولة)، $M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\end{pmatrix}$ و $M^2 = \begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2\end{pmatrix}$ : فمن كل رأس يوجد $2$ من المسالك ذات الطول $2$ عائدة إليه (عبر أي من الجارين) و $1$ إلى كل رأس آخر.

30.4 تمارين

تمرين 30.1 ★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . احسب $A + B$ و $AB$ و $BA$ و $A^2$ .

حل

حل التمرين 30.1.

A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad AB = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

ولاحظ أن $AB \neq BA$ .

تمرين 30.2 ★

حدّد هل المصفوفات التالية قابلة للقلب، واحسب مقلوباتها حيث توجد:

A = \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

حل

حل التمرين 30.2.

$\det A = 6 - 5 = 1 \neq 0$ : $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . و $\det B = 12 - 12 = 0$ : إذن $B$ ليست قابلة للقلب.

تمرين 30.3 ★

حل بقلب المصفوفة الجملة $\begin{cases} 2x + 5y = 1\\ x + 3y = 2 . \end{cases}$

حل

حل التمرين 30.3.

الجملة هي $AX = Y$ حيث $A$ كما في التمرين 30.2 و $Y = \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$ :

X = A^{-1}Y = \begin{pmatrix} 3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7\\ 3\end{pmatrix}: \qquad x = -7,\ y = 3 .

تمرين 30.4 ★★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I + N$ حيث $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

تحقق من أن $N^2 = 0$ ومن أن $I$ و $N$ متبادلتان.
استنتج $A^k$ من أجل كل $k \in \N$ وتحقق من الصيغة من أجل $k=2$ بحساب مباشر.

حل

حل التمرين 30.4.

1. $N^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$ ، و $I$ تتبادل مع كل مصفوفة.

2. وبما أن الحدين متبادلان، تنطبق مبرهنة ثنائي الحد وتنعدم كل الحدود التي تحوي $N^2$ :

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.

وللتحقق من أجل $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 4&4\\0&4\end{pmatrix}$ ، وتعطي الصيغة $2^2 = 4$ و $2 \times 2 = 4$ . ✓

تمرين 30.5 ★★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ولتكن $F_n$ متتالية فيبوناتشي ( $F_0 = 0$ و $F_1 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ). بيّن بالتراجع أنه من أجل $n \geq 1$ ،

A^n = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},

واستنتج المتطابقة $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . (إرشاد: المحددات تُضرب: $\det(MN) = \det M \det N$ ، ويمكنك التحقق من ذلك من أجل المصفوفات $2\times2$ .)

حل

حل التمرين 30.5.

بالتراجع. من أجل $n = 1$ : $A^1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_0 & F_1\\ F_1 & F_2\end{pmatrix}$ . ولنفترض الصيغة من أجل $n$ ؛ عندئذٍ

A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n-1} + F_n\\ F_{n+1} & F_n + F_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_n & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_{n+2}\end{pmatrix}.

والمتطابقة. من أجل المصفوفات $2\times2$ ، يبيّن النشر أن $\det(MN) = \det M \det N$ ؛ ومنه $\det(A^n) = (\det A)^n = (-1)^n$ ، و $\det A^n = F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2$ . (وهذه هي متطابقة كاسيني.)

تمرين 30.6 ★★

بيان موجَّه على الرؤوس $\{1, 2, 3\}$ له الحواف $1\to2$ و $2\to3$ و $3\to1$ و $1\to3$ .

اكتب مصفوفة الجوار $M$ واحسب $M^2$ و $M^3$ .
كم مسلكًا طوله $3$ يذهب من $1$ إلى $1$ ؟ اسردها.

حل

حل التمرين 30.6.

1. بترتيب الرؤوس $1, 2, 3$ :

M = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 0&0&1\\ 1&0&0\end{pmatrix}, \quad M^2 = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&1\end{pmatrix}, \quad M^3 = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&0&1\\ 1&0&1 \end{pmatrix}.

2. $\bigl(M^3\bigr)_{11} = 1$ : أي مسلك مغلق واحد بالضبط طوله $3$ عند الرأس $1$ ، وهو $1 \to 2 \to 3 \to 1$ . (فالمسلك $1 \to 3 \to 1$ طوله $2$ فقط، و $1 \to 3$ ثم $3\to1$ ثم $1\to3$ ينتهي عند $3$ .)

تمرين 30.7 ★★

شركة لتشارك السيارات تنقل مركبات بين مدينتين $A$ و $B$ . وفي كل أسبوع، تبقى $80\%$ من السيارات في $A$ في $A$ وتنتقل $20\%$ إلى $B$ ؛ وتنتقل $30\%$ من السيارات في $B$ إلى $A$ وتبقى $70\%$ . وليكن $a_n, b_n$ نسبتي الأسطول في كل مدينة.

اكتب $X_{n+1} = MX_n$ حيث $X_n = \begin{pmatrix} a_n\\ b_n\end{pmatrix}$ وحدّد $M$ .
أوجد نسبتي التوازن (بحل $MX = X$ مع $a + b = 1$ ).
بيّن أن $c_n = a_n - 0.6$ تحقق $c_{n+1} = 0.5\,c_n$ ، ثم اختم بأن توزيع الأسطول يتقارب إلى التوازن.

حل

حل التمرين 30.7.

1. $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3b_n$ و $b_{n+1} = 0.2a_n + 0.7b_n$ : $M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7\end{pmatrix}$ .

2. $MX = X$ يعطي $0.8a + 0.3b = a$ ، أي $0.3b = 0.2a$ ، إذن $b = \frac23 a$ ؛ ومع $a + b = 1$ : $a = 0.6$ و $b = 0.4$ .

3. باستعمال $b_n = 1 - a_n$ : $a_{n+1} = 0.8a_n + 0.3(1 - a_n) = 0.5a_n + 0.3$ ، إذن

c_{n+1} = a_{n+1} - 0.6 = 0.5a_n + 0.3 - 0.6 = 0.5(a_n - 0.6) = 0.5\,c_n .

ومنه $c_n = 0.5^n c_0 \to 0$ : أي $a_n \to 0.6$ و $b_n \to 0.4$ ، مهما كان التوزيع الابتدائي.

تمرين 30.8 ★★★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ و $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

احسب $P^{-1}$ ، ثم $D = P^{-1}AP$ ، وتحقق من أن $D$ قطرية.
استنتج صيغة مغلقة للمقدار $A^n$ وقارن بالنتيجة في المثال 30.10.

حل

حل التمرين 30.8.

1. $\det P = -2$ ، إذن $P^{-1} = -\frac12\begin{pmatrix} -1 & -1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . ثم

AP = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = P^{-1}AP = \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&2\\4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

2. من $A = PDP^{-1}$ ، يعطي تراجع مباشر $A^n = PD^nP^{-1}$ حيث $D^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$ ، إذن

A^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n\\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\cdot \frac12\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 4^n + 2^n & 4^n - 2^n\\ 4^n - 2^n & 4^n + 2^n\end{pmatrix}.

وتطبيق $A^n$ على $X_0 = \begin{pmatrix} u_0\\v_0\end{pmatrix}$ يعيد بالضبط صيغ المثال 30.10.

30.5 مسألة: المصفوفة التي تعرف فيبوناتشي (و الطقس)

مسألة 30.1

مسألة نهاية الأسبوع — مصفوفة $2 \times 2$ واحدة تحمل فيبوناتشي كلها، ومصفوفة ماركوف تتنبأ بطقس المدى الطويل، ومتجهة ذاتية تساوي مليار دولار

المصفوفة آلة تأكل حالة وتعيد الحالة التالية — ومنه فإن قواها تحمل مستقبلات كاملة. وتفتتح هذه المسألة بالمصفوفة المدهشة التي تسرد قواها أعداد فيبوناتشي (وتبرهن على متطابقاتها في سطر واحد لكل منها)، ثم تشغّل الطقس سلسلةَ ماركوف حتى حالته المستقرة، و تختم بالمتجهة الذاتية التي بُني عليها محرك بحث (المبرهنة 30.12 و الطريقة 30.9).

الجزء الأول — التمكّن.

مع $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ : احسب $AB$ و $BA$ . فما الحكم على التبديلية؟
اقلب $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 5 & 3\end{pmatrix}$ (القضية 30.6) واستعمل المقلوب لحل $2x + y = 4$ و $5x + 3y = 7$ .
لتكن $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : احسب $N^2$ ، واستنتج $(I + N)^n = I + nN$ من أجل كل $n$ .
بيان المثلث (ثلاثة رؤوس، وكل الأزواج موصولة): اكتب مصفوفة جواره $A$ ، واحسب $A^3$ ، وفسّر مدخلات القطر (المبرهنة 30.12).
من أجل $D = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & \frac12 \end{pmatrix}$ : أعطِ $D^n$ وسلوكها لما $n \to \infty$ .

الجزء الثاني — مصفوفة فيبوناتشي. لتكن $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ولتكن $F_1 = F_2 = 1, F_3 = 2, \dots$ أعداد فيبوناتشي في المسألة 13.1.

احسب $F^2$ و $F^3$ و $F^4$ وخمّن الصورة العامة للمصفوفة $F^n$ بدلالة أعداد فيبوناتشي.
برهن على التخمين $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ بالتراجع.
خذ محددي الطرفين (فمحدد الجداء هو جداء المحددين — وتحقق من ذلك من أجل المصفوفات $2 \times 2$ إن لم تره من قبل): واستنتج متطابقة كاسيني $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ — وهي محرّك المربع المتلاشي، مبرهَنًا عليه في سطر واحد.
انطلاقًا من $F^{m+n} = F^m F^n$ ، اقرأ المدخلين في أعلى اليمين واستخرج صيغة الجمع

$F_{m+n} = F_{m+1} F_n + F_m F_{n-1} .$

وتحقق منها من أجل $m = n = 3$ .
استنتج من صيغة الجمع (بالتراجع على $k$ ) أن $F_n$ يقسم $F_{kn}$ ، وتحقق من ذلك على $F_3 \mid F_6$ و $F_3 \mid F_9$ .
لحساب $F_{100}$ ، لا يلزم ضرب $100$ مصفوفة: فربّع تكرارًا ( $F^2, F^4, F^8, \dots$ ) ثم ركّب. فكم ضربًا مصفوفيًا يكفي، وأي حيلة ضرب قديمة من الكتاب السابق هي هذه، وقد رُقّيت إلى المصفوفات؟

الجزء الثالث — آلة الطقس. في مدينة ما: بعد يوم مشمس، يكون التالي مشمسًا باحتمال $0.8$ ؛ وبعد يوم ممطر، يكون مشمسًا باحتمال $0.4$ . رمّز توزيع اليوم بعمود $\binom{p_{\text{شمس}}}{p_{\text{مطر}}}$ والتطور بالعلاقة

M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4\\ 0.2 & 0.6 \end{pmatrix}.

تحقق من أن مجموع كل عمود من $M$ يساوي $1$ ، وقل لماذا يجب أن تملك أي آلة طقس هذه الخاصية.
اليوم مشمس. احسب التنبؤ من أجل الغد و من أجل بعد الغد.
أوجد الحالة المستقرة: أي التوزيع $v$ الذي يحقق $Mv = v$ (ومجموع مدخلاته $1$ ). فما نسبة الأيام المشمسة على المدى الطويل؟
انطلق من يوم ممطر، $\binom01$ ، وطبّق $M$ أربع مرات، متتبعًا المسافة إلى الحالة المستقرة عند كل خطوة. فبأي معامل تنكمش الفجوة في كل خطوة — وأي نوع من التقارب هذا؟
ترتيب الصفحات مصغَّرًا: ثلاث صفحات، بالوصلات $A \to B$ و $A \to C$ و $B \to C$ و $C \to A$ . ويتبع متصفح عشوائي وصلة خارجة مختارة عشوائيًا بانتظام. اكتب مصفوفة الانتقال، وأوجد الحالة المستقرة، ثم رتّب الصفحات.
فسّر الترتيب: لماذا تنال $C$ درجة عالية مثل $A$ مع أنها تتلقى وصلات من صفحات أقل — فماذا تقيس الحالة المستقرة فعلًا؟ (ويضيف ترتيب الصفحات الحقيقي معامل تخميد من أجل الطرق المسدودة والقفزات؛ أما فكرة المتجهة الذاتية فهي هذه بالضبط.)

الجزء الرابع — أرباح القطرنة.

مقداران مقترنان يطيعان $u_{n+1} = 3u_n + v_n$ و $v_{n+1} = u_n + 3v_n$ ، أي المصفوفة $A$ في التمرين 30.8. وباستعمال قطرنة ذلك التمرين ( $D = \operatorname{diag}(4, 2)$ )، أعطِ الصيغة المغلقة للمقدار $u_n$ عندما $u_0 = 1$ و $v_0 = 0$ ، وتحقق منها في مواجهة الحساب المباشر من أجل $n = 1, 2, 3$ .
في جملة أو جملتين: ماذا تفعل القطرنة بجملة مقترنة — وبأي معنى تكون الحالة المستقرة لسلسلة ماركوف في السؤال 14 حكاية متجهة ذاتية أيضًا؟
الخاتمة — أوجه المصفوفة الثلاثة في نهاية هذا الأسبوع: مسك الدفاتر (الجمل والمقلوبات)، والتوافيق (المسالك والوصلات معدودةً بالقوى)، والتطور (فيبوناتشي، والطقس، والشبكة — مستقبلات تُقرأ من الاتجاهات الذاتية). جملة واحدة لكل وجه، مع الإشارة إلى الأمام: الجبر الخطي في الكتب الجامعية يجعل كل وجه من هذه الأوجه نظرية.

حل

حل المسألة 30.1.

1. $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ و $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ : فضرب المصفوفات ليس تبديليًا — إذ تبادل $B$ الأعمدة عند الضرب من اليمين، والسطور عند الضرب من اليسار.

2. المحدد $6 - 5 = 1$ : فالمقلوب $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2\end{pmatrix}$ . وبتطبيقه على $\binom{4}{7}$ : $x = 12 - 7 = 5$ و $y = -20 + 14 = -6$ .

3. $N^2 = 0$ . عندئذٍ $(I + N)^n = I + nN$ بالتراجع: $(I + nN)(I + N) = I + (n+1)N + nN^2 = I + (n+1)N$ .

4. $A = \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}$ ، ومدخلات قطر $A^3$ تساوي $2$ : فمن كل رأس، يوجد بالضبط مسلكان مغلقان طولهما $3$ (وهما المثلث مسلوكًا في اتجاه عقارب الساعة أو عكسه) — أي مبرهنة العدّ في العمل.

5. $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 2^{-n} \end{pmatrix}$ : فاتجاه ينفجر والآخر يموت — فالمصائر القطرية متتاليات هندسية مستقلة.

6. $F^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ و $F^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ و $F^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}$ : ففيبوناتشي في كل مكان؛ والتخمين كما صيغ.

7. إذا كان $F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix}$ ، فإن

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix} :

وهي الوراثة؛ وأما الحالة الابتدائية $n = 1$ فهي $F$ نفسها، باستعمال الاصطلاح $F_0 = 0$ (الذي يمدّد العلاقة التراجعية إلى الوراء).

8. $\det F = -1$ ، إذن $\det(F^n) = (\det F)^n = (-1)^n$ ؛ ومباشرةً $\det(F^n) = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2$ : أي كاسيني، في سطر واحد. (وقاعدة جداء المحددات من أجل المصفوفات $2 \times 2$ نشرٌ لطيف في خمس دقائق.)

9. أعلى يمين $F^m F^n$ : $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ ؛ وأعلى يمين $F^{m+n}$ : هو $F_{m+n}$ . ومن أجل $m = n = 3$ : $F_4 F_3 + F_3 F_2 = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8 = F_6$ .

10. من أجل $k = 1$ : بديهي. وإذا كان $F_n \mid F_{kn}$ ، فإن صيغة الجمع مع $m = kn$ : $F_{(k+1)n} = F_{kn+1}F_n + F_{kn}F_{n-1}$ : فالحدان مضاعفان للعدد $F_n$ . إذن $F_n \mid F_{kn}$ من أجل كل $k$ : وللتحقق $F_3 = 2$ يقسم $F_6 = 8$ و $F_9 = 34$ .

11. $F^{100} = F^{64} F^{32} F^4$ : أي سبعة تربيعات ( $F^2, F^4, \dots, F^{64}$ ) زائد تركيبين — تسعة ضروب بدل تسعة وتسعين. وهي حيلة جدول المضاعفة عند الكتبة المصريين القدماء، مرفوعةً من الأعداد إلى المصفوفات: اكتب $100$ بالثنائي، واضرب المضاعفات التي تحتاج إليها.

12. $0.8 + 0.2 = 1$ و $0.4 + 0.6 = 1$ : فالغد لا بد أن يكون طقسًا ما — فكل عمود توزيع احتمالي كامل، ومنه فالاحتمالات محفوظة.

13. الغد: $\binom{0.8}{0.2}$ . وبعد الغد: $M\binom{0.8}{0.2} = \binom{0.72}{0.28}$ .

14. $Mv = v$ حيث $v = \binom{s}{r}$ و $s + r = 1$ : فإن $0.8s + 0.4r = s$ يعطي $0.4r = 0.2s$ ، أي $s = 2r$ : $v = \binom{2/3}{1/3}$ . فعلى المدى الطويل، يومان من كل ثلاثة مشمسان — مهما كان شكل اليوم.

15. من $\binom01$ : مركّبات الشمس $0.4$ و $0.56$ و $0.624$ و $0.6496$ ؛ والفجوات إلى $\frac23$ : $0.267$ و $0.107$ و $0.043$ و $0.017$ — فكل خطوة تضرب الفجوة في $0.4$ بالضبط (وهي القيمة الذاتية الثانية للآلة): أي تقارب هندسي إلى الحالة المستقرة.

16. الأعمدة (من $A$ و $B$ و $C$ ): $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ \frac12 & 0 & 0\\ \frac12 & 1 & 0\end{pmatrix}$ . والحالة المستقرة: $v_A = v_C$ و $v_B = \frac{v_A}{2}$ و $v_C = \frac{v_A}{2} + v_B$ ؛ ومجموعها $1$ : $v = \left(\frac25, \frac15, \frac25\right)$ . والترتيب: $A$ و $C$ متعادلتان في الأول، و $B$ أخيرة.

17. تتلقى $C$ كل حركة $B$ ونصف حركة $A$ ، وهي تصبّ كل شيء عائدًا إلى $A$ : فالحالة المستقرة تقيس أين يقضي المتصفح وقته، لا كم وصلة تشير إليه — فوصلة واحدة من صفحة رائجة ترجح عدة وصلات من صفحات مهجورة. وذلك الترجيح التراجعي هو بالضبط الفكرة المؤسِّسة لغوغل؛ ويعالج التخميد مصائد العناكب والطرق المسدودة.

18. $A^n = P D^n P^{-1}$ يعطي $u_n = \frac{4^n + 2^n}{2}$ (و $v_n = \frac{4^n - 2^n}{2}$ ). وللتحقق: $u_1 = 3$ و $u_2 = 10$ و $u_3 = 36$ ؛ ومباشرةً: $(1,0) \to (3,1) \to (10,6) \to (36, 28)$ : فهما متطابقان.

19. تغيّر القطرنة الإحداثيات إلى إحداثيات تتفكك فيها الجملة المقترنة إلى متتاليات هندسية مستقلة — فكل قيمة ذاتية تجري سباقها. والحالة المستقرة لسلسلة ماركوف هي المتجهة الذاتية للقيمة الذاتية $1$ ، ومعدل تقارب السؤال 15 هو القيمة الذاتية التالية: فآلة الطقس كانت حكاية ذاتية منذ البداية.

20. مسك الدفاتر: فالجملة معادلة مصفوفية واحدة، تُحل بمقلوب واحد. والتوافيق: فقوى مصفوفة الجوار تعدّ المسالك والوصلات والاتصالات. والتطور: فقوى الآلة تحمل الحالات إلى مصائرها، و الاتجاهات الذاتية (اتجاه فيبوناتشي الذهبي، والحالة المستقرة للطقس، ومتجهة ترتيب الشبكة) هي المصائر. والجبر الخطي، في الكتب الجامعية، هو علم هذا بالضبط.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد