Mathematics · الكتاب 2 · Grades 10–12

رياضيات المرحلة الثانوية

رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

24الدوال المثلثية

تحوّل الدالتان cos⁡\cos و sin⁡\sin هندسة الدائرة إلى تحليل. وإذ تُعرَّفان بلفّ المستقيم الحقيقي حول دائرة الوحدة، فهما النموذج الأصلي للدوال الدورية، ومشتقتاهما تجعلانهما حلَّين لمعادلة التذبذبات y′′=−yy'' = -y.

24.1 دائرة الوحدة

تعريف 24.1 (جيب التمام والجيب)

لتكن C\mathcal{C} الدائرة التي نصف قطرها 1 ومركزها مبدأ نظام متعامد ومتجانس. وأرفق بكل عدد حقيقي tt النقطة M(t)M(t) التي نبلغها بلفّ طول ∣t∣\abs{t} على C\mathcal{C} انطلاقًا من النقطة I(1,0)I(1,0)، في الاتجاه المباشر إذا كان t≥0t \geq 0 وفي الاتجاه المعاكس فيما عدا ذلك. عندئذٍ يكون cos⁡t\cos t و sin⁡t\sin t إحداثيَي M(t)M(t):

M(t)=(cos⁡t,sin⁡t).M(t) = (\cos t, \sin t).

وبما أن محيط الدائرة 2π2\pi، لا تتغير النقطة M(t)M(t) عندما يزيد tt بمقدار 2π2\pi؛ وبما أن M(t)M(t) تقع على دائرة الوحدة:

قضية 24.2 (المتطابقات الأساسية)

من أجل كل t∈Rt \in \R وكل k∈Zk \in \Z:

cos⁡2t+sin⁡2t=1,cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t,\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,
cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

برهان. المتطابقة الأولى هي معادلة دائرة الوحدة؛ وأما الأخريات فتعبّر عن تناظرات الدائرة: فالنقطة M(−t)M(-t) هي نظيرة M(t)M(t) بالنسبة إلى المحور xx، و M(π−t)M(\pi - t) بالنسبة إلى المحور yy، و M(π2−t)M(\frac\pi2 - t) بالنسبة إلى المستقيم y=xy = x. ∎

والقيم الواجب حفظها عن ظهر قلب:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

قضية 24.3 (صيغ الجمع)

من أجل كل a,b∈Ra, b \in \R:

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

وخاصة cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a و sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a.

برهان. المتجهتان u→=(cos⁡a,sin⁡a)\vect{u} = (\cos a, \sin a) و v→=(cos⁡b,sin⁡b)\vect{v} = (\cos b, \sin b) متجهتان واحديتان تصنعان زاوية a−ba - b؛ وجداؤهما السلّمي يساوي cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a \sin b (بالإحداثيات) و ∥u→∥ ∥v→∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b) (بالهندسة) معًا، وهذه هي الصيغة الثالثة. وتعويض −b-b محل bb يعطي الأولى؛ وتنتج صيغتا الجيب باستعمال sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac\pi2 - x). أما صيغتا الضعف فهما الحالة b=ab = a مقرونة بالمتطابقة cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1. ∎

24.2 الدراسة التحليلية

مبرهنة مساعدة 24.4 (النهاية الأساسية)

lim⁡t→0sin⁡tt=1وlim⁡t→0cos⁡t−1t=0.\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{و}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

برهان. من أجل 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2}، قارن ثلاث مساحات في دائرة الوحدة: المثلث OIM(t)OIM(t)، والقطاع الدائري OIM(t)OIM(t)، والمثلث القائم ذي القاعدة OIOI والارتفاع tan⁡t\tan t:

sin⁡t2≤t2≤tan⁡t2.\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
المساحات الثلاث المتداخلة: المثلث OIM (بالأزرق، ومساحته t/2)، والقطاع الدائري (المحدود بالقوس الأحمر، ومساحته t/2)، والمثلث القائم ذو الارتفاع t (بالبرتقالي، ومساحته t/2).
المساحات الثلاث المتداخلة: المثلث OIMOIM (بالأزرق، ومساحته sin⁡t2\frac{\sin t}{2})، والقطاع الدائري (المحدود بالقوس الأحمر، ومساحته t2\frac{t}{2})، والمثلث القائم ذو الارتفاع tan⁡t\tan t (بالبرتقالي، ومساحته tan⁡t2\frac{\tan t}{2}).

المتراجحة الأولى تعطي sin⁡tt≤1\frac{\sin t}{t} \leq 1؛ والثانية تعطي cos⁡t≤sin⁡tt\cos t \leq \frac{\sin t}{t}. ولما t→0+t \to 0^+، يكون cos⁡t→1\cos t \to 1 (بالاتصال)، وتعطي مبرهنة الحصر sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1؛ وتمدّد الزوجية ذلك إلى t→0t \to 0. وأما النهاية الثانية،

cos⁡t−1t=cos⁡2t−1t(cos⁡t+1)=−sin⁡tt⋅sin⁡tcos⁡t+1→t→0−1⋅02=0.\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

مبرهنة 24.5 (مشتقتا الجيب وجيب التمام)

الدالتان sin⁡\sin و cos⁡\cos قابلتان للاشتقاق على R\R، مع

(sin⁡)′=cos⁡,(cos⁡)′=−sin⁡.(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

وبوجه أعم، (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) و (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b).

برهان. حسب صيغ الجمع،

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x cos⁡h−1h+cos⁡x sin⁡hh→h→0sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x,\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

باستعمال المبرهنة المساعدة 24.4. والحساب من أجل cos⁡\cos مطابق، وتنتج الصورة العامة من قاعدة السلسلة. ∎

قضية 24.6 (التغيرات)

على [0, π]\intcc{0}{\pi}، تتناقص cos⁡\cos من 11 إلى −1-1. وعلى [−π2, π2]\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}، تتزايد sin⁡\sin من −1-1 إلى 11. والدالتان دوريتان دورهما 2π2\pi ومجموعة قيمهما [−1, 1]\intcc{-1}{1}؛ و cos⁡\cos زوجية، و sin⁡\sin فردية.

برهان. على (0, π)\intoo{0}{\pi}، (cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0 لأن ترتيب النقطة M(t)M(t) موجب هناك؛ وبالمثل (sin⁡)′=cos⁡>0(\sin)' = \cos > 0 على (−π2, π2)\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}. وتأتي الدورية والزوجية من القضية 24.2. ∎

منحنيا (بالأزرق) و (بالأحمر).
منحنيا cos⁡\cos (بالأزرق) و sin⁡\sin (بالأحمر).

طريقة 24.7 (حل cos⁡x=a\cos x = a و sin⁡x=a\sin x = a)

من أجل a∈[−1, 1]a \in \intcc{-1}{1}، أوجد حلًا خاصًا α\alpha (من جدول القيم أو بآلة حاسبة). عندئذٍ تكون كل الحلول:

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ أو x=−α+2kπ,k∈Z;\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ أو } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ أو x=π−α+2kπ,k∈Z.\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ أو } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

وأما المتراجحات، فحدّد أقواس الحلول على دائرة الوحدة واقرأ الفترات داخل دور واحد.

مثال 24.8

حل cos⁡x=12\cos x = \frac12 في (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: حل خاص هو π3\frac\pi3، إذن الحلول هي x=π3x = \frac\pi3 و x=−π3x = -\frac\pi3. وفي R\R كلها: x=±π3+2kπx = \pm\frac\pi3 + 2k\pi، حيث k∈Zk \in \Z.

24.3 تمارين

تمرين 24.1 ★

احسب cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3} و sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6} و cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4} و sin⁡(−π3)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) باستعمال متطابقات القضية 24.2.

حل

حل التمرين 24.1.

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12.

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12.

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}.

sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}.

تمرين 24.2 ★

اشتق f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^2 x و g(x)=cos⁡(3x)+xsin⁡xg(x) = \cos(3x) + x\sin x و h(x)=sin⁡x2+cos⁡xh(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}.

حل

حل التمرين 24.2.

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xf'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x (بقاعدة السلسلة).

g′(x)=−3sin⁡(3x)+sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x (بقاعدتي السلسلة والجداء).

بقاعدة خارج القسمة:

h′(x)=cos⁡x (2+cos⁡x)−sin⁡x (−sin⁡x)(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2.h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

تمرين 24.3 ★

حل في (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}، ثم في R\R:

(أ) sin⁡x=32;(ب) cos⁡(2x)=22.\text{(أ) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(ب) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
حل

حل التمرين 24.3.

(أ) حل خاص للمعادلة sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} هو π3\frac\pi3. والحلول العامة: x=π3+2kπx = \frac\pi3 + 2k\pi أو x=π−π3+2kπ=2π3+2kπx = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. وفي (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{π3,2π3}x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}.

(ب) cos⁡2x=22=cos⁡π4\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4 يعطي 2x=±π4+2kπ2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi، إذن x=±π8+kπx = \pm\frac\pi8 + k\pi. وفي (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}: x∈{−7π8,−π8,π8,7π8}x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}.

تمرين 24.4 ★★

باستعمال صيغ الجمع، احسب القيمة المضبوطة للمقدارين cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} و sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}. (إرشاد: π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}.)

حل

حل التمرين 24.4.

مع a=π3a = \frac\pi3 و b=π4b = \frac\pi4:

cos⁡π12=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=12⋅22+32⋅22=2+64,\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
sin⁡π12=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=32⋅22−12⋅22=6−24.\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

تمرين 24.5 ★★

حل في [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} المتراجحة 2sin⁡2x−sin⁡x−1≥02\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0. (إرشاد: حلّل التربيعية في sin⁡x\sin x إلى عوامل.)

حل

حل التمرين 24.5.

ضع s=sin⁡xs = \sin x: فيكون 2s2−s−1=(2s+1)(s−1)≥02s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0 إذا وفقط إذا كان s≤−12s \leq -\frac12 أو s=1s = 1.

و sin⁡x=1\sin x = 1 يعطي x=π2x = \frac\pi2. وأما sin⁡x≤−12\sin x \leq -\frac12: فعلى دائرة الوحدة، هو القوس الواقع تحت المستقيم الأفقي y=−12y = -\frac12، وهو في [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} يساوي x∈[7π6, 11π6]x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}}. ومنه

S={π2}∪[7π6, 11π6].S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

تمرين 24.6 ★★

احسب النهايات

lim⁡x→0sin⁡3xx,lim⁡x→01−cos⁡xx2,lim⁡x→+∞xsin⁡1x.\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
حل

حل التمرين 24.6.

sin⁡3xx=3 sin⁡3x3x→3⋅1=3\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 (بالتركيب مع u=3x→0u = 3x \to 0).

وباستعمال 1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x}:

1−cos⁡xx2=(sin⁡xx) ⁣211+cos⁡x→x→01⋅12=12.\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

وبالتعويض u=1x→0+u = \frac1x \to 0^+: xsin⁡1x=sin⁡uu→1x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1.

تمرين 24.7 ★★

ادرس الدالة f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x على [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}: التغيرات و القيم الحدية. وبيّن أن ff متزايدة على R\R مع أن f′f' تنعدم عند عدد لانهائي من النقط.

حل

حل التمرين 24.7.

f′(x)=1−sin⁡x≥0f'(x) = 1 - \sin x \geq 0 من أجل كل xx، مع المساواة بالضبط عندما يكون sin⁡x=1\sin x = 1، أي x=π2+2kπx = \frac\pi2 + 2k\pi. وعلى [0, 2π]\intcc{0}{2\pi}، تتزايد ff من f(0)=1f(0) = 1 إلى f(2π)=2π+1f(2\pi) = 2\pi + 1 (وصفر f′f' عند π2\frac{\pi}{2} معزول، فالتزايد تام حتى)؛ والقيمة الصغرى 11 عند 00، والعظمى 2π+12\pi + 1 عند 2π2\pi. وعلى R\R، يكون f′≥0f' \geq 0 في كل مكان مع أصفار معزولة فقط، إذن ff متزايدة (تمامًا) حسب المبرهنة 22.7، مع أن f′f' تنعدم عند كل π2+2kπ\frac\pi2 + 2k\pi.

تمرين 24.8 ★★★

لتكن f(x)=Acos⁡x+Bsin⁡xf(x) = A\cos x + B \sin x مع (A,B)≠(0,0)(A,B) \neq (0,0).

  1. بيّن أنه يمكن كتابة ff على الصورة f(x)=Rcos⁡(x−φ)f(x) = R\cos(x - \varphi) حيث R=A2+B2R = \sqrt{A^2 + B^2} ومع φ\varphi مناسب.
  2. استنتج القيمتين العظمى والصغرى للدالة ff، ثم حل cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1 في (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}.
حل

حل التمرين 24.8.

1. ليكن R=A2+B2>0R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0. فالنقطة (AR,BR)\left(\frac AR, \frac BR\right) تقع على دائرة الوحدة، إذن يوجد φ\varphi حيث cos⁡φ=AR\cos\varphi = \frac AR و sin⁡φ=BR\sin\varphi = \frac BR. عندئذٍ

Rcos⁡(x−φ)=R(cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ)=Acos⁡x+Bsin⁡x=f(x).R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. وبما أن مجموعة قيم cos⁡\cos هي [−1, 1]\intcc{-1}{1}، فللدالة ff قيمة عظمى RR و قيمة صغرى −R-R. ومن أجل cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x: يكون A=B=1A = B = 1 و R=2R = \sqrt2 و φ=π4\varphi = \frac\pi4، فتصير المعادلة 2cos⁡(x−π4)=1\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1، أي cos⁡(x−π4)=22\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}، مما يعطي x−π4=±π4+2kπx - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi: وفي (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi}، x∈{0,π2}x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}.

تمرين 24.9 ★★★

بيّن أن sin⁡\sin و cos⁡\cos تحققان كلتاهما المعادلة التفاضلية y′′=−yy'' = -y. وبالعكس، لتكن yy حلًا للمعادلة y′′=−yy'' = -y حيث y(0)=ay(0) = a و y′(0)=by'(0) = b؛ بيّن أن y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin. (إرشاد: اعتبر g=(y−acos⁡−bsin⁡)g = (y - a\cos - b\sin) و“الطاقة” E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2.)

حل

حل التمرين 24.9.

(sin⁡)′′=(cos⁡)′=−sin⁡(\sin)'' = (\cos)' = -\sin و (cos⁡)′′=(−sin⁡)′=−cos⁡(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos: فكلتاهما تحقق y′′=−yy'' = -y.

ولتكن g=y−acos⁡−bsin⁡g = y - a\cos - b\sin. عندئذٍ g′′=−gg'' = -g (بخطية الاشتقاق)، و g(0)=y(0)−a=0g(0) = y(0) - a = 0 و g′(0)=y′(0)−b=0g'(0) = y'(0) - b = 0. ضع E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2. عندئذٍ

E′=2gg′+2g′g′′=2gg′−2g′g=0,E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

إذن EE ثابتة تساوي E(0)=0E(0) = 0. ومجموع مربعين ينعدم تطابقيًا يفرض g=0g = 0، ومنه y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin.

24.4 مسألة: سرّ النواس

مسألة 24.1

مسألة نهاية الأسبوع — نهاية هندسية واحدة تشغّل مشتقتَي الجيب وجيب التمام، ومنهما ينبع كل التذبذب: النوابض، والنواسات، والضربات، والمتر الذي كاد يكون

كل ساعة دقّت يومًا، وكل وتر رنّ يومًا، يطيع الرياضيات نفسها: قوة إرجاع تتناسب مع الإزاحة، ومنه المعادلة y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y، ومنها جيوب التمام. وفي أساس ذلك كله تجلس نهاية تبدو بريئة، sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 — وُعِد بها في الكتاب السابق، واستعملتها المبرهنة 24.5، ويُبرهن عليها هنا برسم. وتتسلق هذه المسألة من تلك النهاية إلى تأرجح نواس طوله متر واحد، وتفسّر لماذا لم يُعرَّف المتر بها إلا بشعرة.

الجزء الأول — النهاية الأساسية.

  1. أحمِ نفسك عدديًا: احسب sin⁡xx\frac{\sin x}{x} من أجل x=0.1x = 0.1 و x=0.01x = 0.01 (بالراديان!).
  2. الحصر، على دائرة الوحدة مع 0<x<π20 < x < \frac\pi2: عبّر بالهندسة الابتدائية عن مساحات (أ) المثلث ذي الرؤوس OO و A(1,0)A(1,0) ونقطة الدائرة M(cos⁡x,sin⁡x)M(\cos x, \sin x)؛ (ب) القطاع الدائري OAMOAM؛ (ج) المثلث القائم OATOAT حيث T(1,tan⁡x)T(1, \tan x).
  3. استنتج من حصر المساحات sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x، ثم cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1، ثم اختم بمبرهنة الحصر أن lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 (والزوجية تعالج x<0x < 0).
  4. استنتج lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12 (بالضرب في المرافق).
  5. فسّر لماذا تكون هذه النهاية محرّك المبرهنة 24.5 (ما هو sin⁡′(0)\sin'(0)؟)، ولماذا تسدّ أيضًا دينًا قديمًا: بأي معنى تكون الراديانات وحدة الزوايا الوحيدة التي تصح من أجلها sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos بلا ثابت؟

الجزء الثاني — الحركة التوافقية.

  1. تحقق بقاعدة السلسلة من أن y(t)=Rcos⁡(ωt−φ)y(t) = R\cos(\omega t - \varphi) تحقق y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y.
  2. كتلة على نابض تطيع y′′=−4yy'' = -4y، حيث y(0)=3y(0) = 3 و y′(0)=8y'(0) = 8. وبقبول (انطلاقًا من التمرين 24.9) أن كل الحلول هي Acos⁡2t+Bsin⁡2tA\cos 2t + B\sin 2t، حدّد AA و BB.
  3. أعد كتابة الحل على الصورة Rcos⁡(2t−φ)R\cos(2t - \varphi) (التمرين 24.8): وأعطِ السعة RR، و الدور، والطور φ\varphi (بثلاثة أرقام عشرية).
  4. في أي لحظة تمر الكتلة أول مرة بوضع التوازن y=0y = 0؟
  5. النواس: كرة على خيط طوله LL تطيع بالضبط θ′′=−gLsin⁡θ\theta'' = -\frac gL \sin\theta — وهي غير قابلة للحل بالدوال الابتدائية. ومن أجل التأرجحات الصغيرة، عوّض θ\theta محل sin⁡θ\sin\theta (والجزء الأول يبرّر ذلك!) واستنتج الدور T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac Lg}. احسب TT من أجل L=1L = 1 m (حيث g=9.81g = 9.81): وهو اكتشاف غاليليو الشهير — فعلى أي مقدار لا تتعلق الصيغة؟
  6. نواس الثانية: أي طول يعطي T=2T = 2 s بالضبط؟ لقد ترددت أكاديمية العلوم الفرنسية سنة 1791 بين هذا الطول وبين جزء من عشرة ملايين من ربع خط الزوال لتعريف المتر — فبكم مليمترًا يختلف المرشحان؟

الجزء الثالث — صيغ الجمع في العمل.

  1. بيّن بصيغ الجمع (القضية 24.3) أن cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x و sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x: فالاشتقاق الدائري ربع دورة — وتحقق من الاتساق مع المبرهنة 24.5.
  2. استخرج متطابقة تحويل الجداء إلى مجموع cos⁡acos⁡b=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right) والتخطيط cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (وسيشكرك فصل التكامل).
  3. الضربات: استخرج sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2}، وطبّقها على شوكتين رنانتين عند 440440 و 444444 Hz: فأي نغمة تسمعها الأذن، وكم نبضة في الثانية؟ (وهكذا تُدوزَن الأوركسترات.)
  4. استخرج متطابقة الزاوية الثلاثية cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x (بكتابة 3x=2x+x3x = 2x + x). وبوضع x=20∘x = 20^\circ، أي معادلة تكعيبية يجب أن يحققها cos⁡20∘\cos 20^\circ؟ (وكون هذه التكعيبية غير قابلة للحل بالجذور التربيعية وحدها هو بالضبط سبب هزيمة تثليث الزاوية للمسطرة والفرجار طوال ألفي سنة — والحكاية الكاملة محكية في الكتب الجامعية.)
  5. تيار متناوب مقداره I(t)=3cos⁡(100πt)+33sin⁡(100πt)I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t). أعد كتابته على الصورة Rcos⁡(100πt−φ)R\cos(100\pi t - \varphi): فما التيار الأعظمي والطور؟

الجزء الرابع — العالم المتذبذب.

  1. الأدوار: ما (أصغر) دور للدالة sin⁡2t\sin^2 t (استعمل السؤال 13)؟ وما دور sin⁡(2t)+sin⁡(3t)\sin(2t) + \sin(3t)؟
  2. النواس الحقيقي يُخمَّد: y(t)=e−t/10cos⁡(2πt)y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t). صِف الحركة، واحسب قيمة الغلاف عند t=10t = 10 (فيظهر صديق قديم، المسألة 23.1)، وسمِّ الفصل الذي تُحل فيه المعادلات ذات الحلول كهذه.
  3. لماذا تحكم الجيوب وجيوب التمام كل اهتزاز؟ أعطِ قاموس الفيزياء إلى الرياضيات في جملتين (قوة إرجاع تتناسب مع الإزاحة →\rightarrow أي معادلة →\rightarrow أي حلول)، وقل ماذا يسهم به التمرين 24.9 في هذا الادعاء.
  4. الخاتمة: قوس الفصل في أربع خطوات — نهاية هندسية واحدة، ومشتقتان، ومعادلة تفاضلية واحدة، وكل التذبذب. وأما النجمة الأمينة: فمن أجل التأرجحات الواسعة يتضمن دور النواس الحقيقي تكاملًا إهليلجيًا، يُحسب بسرعة البرق بواسطة …المتوسط الحسابي الهندسي عند غاوس، تحلية المسألة 20.1. فخيوط السلسلة تعقد نفسها بنفسها.
حل

حل المسألة 24.1.

1. 0.99833…0.99833\ldots و 0.99998…0.99998\ldots: أي زحفًا نحو 11.

2. المثلث OAMOAM: القاعدة 11 والارتفاع sin⁡x\sin x: فمساحته sin⁡x2\frac{\sin x}{2}. والقطاع OAMOAM: وهو جزء x2π\frac{x}{2\pi} من قرص الوحدة: فمساحته x2\frac x2. والمثلث OATOAT: القاعدة 11 والارتفاع tan⁡x\tan x: فمساحته tan⁡x2\frac{\tan x}{2}.

3. المثلث يجلس داخل القطاع الجالس داخل المثلث الكبير: sin⁡x2<x2<tan⁡x2\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}، أي sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x. ومن sin⁡x<x\sin x < x: sin⁡xx<1\frac{\sin x}{x} < 1؛ ومن x<tan⁡x=sin⁡xcos⁡xx < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}، بالضرب في cos⁡xx>0\frac{\cos x}{x} > 0: cos⁡x<sin⁡xx\cos x < \frac{\sin x}{x}. ولما x→0+x \to 0^+، يكون cos⁡x→1\cos x \to 1: فبالحصر، sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1؛ و sin⁡xx\frac{\sin x}{x} زوجية، إذن النهاية من الجهتين هي 11.

4. 1−cos⁡xx2=1−cos⁡2xx2(1+cos⁡x)=(sin⁡xx)211+cos⁡x→1×12\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12.

5. sin⁡′(0)=lim⁡h→0sin⁡h−0h=1\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1: فاشتقاق الجيب وجيب التمام كله ينبع من هذه النهاية الواحدة. ولو قيست الزوايا بالدرجات، لكانت النهاية π180\frac{\pi}{180}، ولجرّت كل مشتقة ذلك الثابت: فالراديانات هي بالضبط الوحدة التي تجعل تحليل التذبذب نظيفًا.

6. y′=−Rωsin⁡(ωt−φ)y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi)، و y′′=−Rω2cos⁡(ωt−φ)=−ω2yy'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y.

7. ω=2\omega = 2. و y(0)=A=3y(0) = A = 3؛ و y′(0)=2B=8y'(0) = 2B = 8: إذن B=4B = 4: y=3cos⁡2t+4sin⁡2ty = 3\cos 2t + 4\sin 2t.

8. R=9+16=5R = \sqrt{9 + 16} = 5؛ والدور 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi؛ والطور φ=arctan⁡43≈0.927\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927: y=5cos⁡(2t−0.927)y = 5\cos(2t - 0.927).

9. 5cos⁡(2t−φ)=05\cos(2t - \varphi) = 0 أول مرة عندما يكون 2t−φ=π22t - \varphi = \frac\pi2: t=π/2+0.9272≈1.25t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25 s.

10. مع sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta: θ′′=−gLθ\theta'' = -\frac gL \theta: أي توافقية بالمقدار ω=gL\omega = \sqrt{\frac gL}، ودورها T=2πω=2πLgT = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}. ومن أجل L=1L = 1: T≈2.006T \approx 2.006 s. والدور لا يتعلق بالسعة (من أجل التأرجحات الصغيرة) — وهو تساوي الأزمنة عند غاليليو، وهي الواقعة التي تجعل ساعات النواس ممكنة.

11. L=g(T2π)2=9.81π2≈0.994L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994 m: فنواس الثانية أقصر من متر خط الزوال بنحو 66 mm. وقد اختارت الأكاديمية خط الزوال (لأن الثقالة تتغير من مكان إلى مكان، فتخون النواس)؛ ولو كان gg أكبر بشعرة، لكان مترنا يدقّ.

12. cos⁡(x+π2)=cos⁡xcos⁡π2−sin⁡xsin⁡π2=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x؛ sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x. إذن اشتقاق الجيب يعطي الجيب منزاحًا ربع دورة (أي cos⁡\cos)، ومرة أخرى (−sin⁡-\sin)، ومرة أخرى، فنعود إلى البيت في أربع خطوات: فالاشتقاق يدير الدائرة.

13. بجمع نشرَي cos⁡(a∓b)\cos(a \mp b): cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)=2cos⁡acos⁡b\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b. ومع a=b=xa = b = x: 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x، أي cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.

14. مع p=p+q2+p−q2p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2} و qq نظيرتها، بالنشر والجمع: sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}. ومن أجل 440440 و 444444 Hz: نغمة عند 442442 Hz تُعدَّل شدتها بالمقدار cos⁡(2π⋅2t)\cos(2\pi \cdot 2t) — فتبلغ الشدة ذروتها 44 مرات في الثانية (وهي القيمة المطلقة للغلاف): أي أربع ضربات في الثانية، تتلاشى حين تتفق الشوكتان.

15. cos⁡3x=cos⁡2xcos⁡x−sin⁡2xsin⁡x=(2cos⁡2x−1)cos⁡x−2sin⁡2xcos⁡x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x. وعند x=20∘x = 20^\circ: cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac12، إذن يحقق c=cos⁡20∘c = \cos 20^\circ المعادلة 8c3−6c−1=08c^3 - 6c - 1 = 0 — وهي تكعيبية لا حل لها بالجذور التربيعية: فإنشاء 20∘20^\circ، أي تثليث 60∘60^\circ، خارج قدرة المسطرة والفرجار.

16. R=9+27=6R = \sqrt{9 + 27} = 6؛ tan⁡φ=333=3\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3: φ=π3\varphi = \frac\pi3: I(t)=6cos⁡(100πt−π3)I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right): فالتيار الأعظمي 66 أمبير، وتأخر الطور 60∘60^\circ.

17. sin⁡2t=1−cos⁡2t2\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}: فالدور π\pi. و sin⁡2t\sin 2t دورها π\pi، و sin⁡3t\sin 3t دورها 2π3\frac{2\pi}{3}: فيتكرر المجموع بعد أصغر مضاعف مشترك، أي 2π2\pi.

18. تذبذب دوره 11 داخل الغلاف المنكمش ±e−t/10\pm\eu^{-t/10}: فكل تأرجحة أدنى بنحو 10 %10\,\%. وعند t=10t = 10 يكون الغلاف e−1≈0.368\eu^{-1} \approx 0.368 — أي ثابت المسألة 23.1 مرة أخرى. والمعادلات ذات الحلول المخمَّدة كهذه (y′′+ay′+by=0y'' + a y' + b y = 0) تُحل في فصل المعادلات التفاضلية.

19. قوة تسحب راجعةً بالتناسب مع الإزاحة تعطي y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y؛ ويبيّن التمرين 24.9 أن حلول تلك المعادلة هي بالضبط تراكيب cos⁡\cos و sin⁡\sin — فالوجود بالعرض، والوحدانية بالتمرين: فلا خيار للاهتزاز إلا أن يكون جيبيًا.

20. نهاية واحدة (sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1، بحصر المساحات)، ومشتقتان (sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos و cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin)، ومعادلة واحدة (y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y)، وعالم من الساعات والأوتار والتيارات والمدّ. وأما النجمة: فمن أجل التأرجحات الواسعة، T=4Lg⋅π/2M(1,cos⁡(θ0/2))T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))} — والمتوسط الحسابي الهندسي في المسألة 20.1 يحسب التكامل الإهليلجي في حفنة تكرارات: فمذكّرة غاوس ونواس غاليليو على بعد صيغة واحدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد