رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

13المتتاليات: مدخل أول

المتتالية قائمة أعداد تنتجها قاعدة: الأرصدة المتعاقبة لحساب توفير، أو أحجام مجتمع سنة بعد سنة. يدرس هذا الفصل العائلتين المهيمنتين على التطبيقات — المتتاليات الحسابية التي تنمو بخطوات متساوية، و المتتاليات الهندسية التي تنمو بنسب متساوية. أما النظرية الصارمة للنهايات فتُطوَّر في الفصل 20.

13.1 تعريف متتالية

تعريف 13.1 (المتتالية)

المتتالية $(u_n)$ ترفق بكل عدد صحيح $n \geq 0$ (أو $n \geq 1$ ) عددًا حقيقيًا $u_n$ ، هو حدها ذو الدليل $n$ . ويمكن إعطاء متتالية

صراحةً، بعبارة تعطي $u_n$ بدلالة $n$ : مثلًا $u_n = n^2 + 1$ ؛
أو بالتراجع، بحدها الأول وقاعدة للانتقال من كل حد إلى الذي يليه: مثلًا $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

مثال 13.2

من أجل $u_n = n^2 + 1$ : نجد $u_0 = 1$ و $u_1 = 2$ و $u_2 = 5$ و $u_{10} = 101$ مباشرةً. ومن أجل $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$ : نجد $u_1 = 5$ و $u_2 = 9$ و $u_3 = 17$ — فكل حد يحتاج إلى سابقه؛ وبلوغ $u_{10}$ يستلزم عشر خطوات (أو عبارة عامة، انظر التمرين 13.11).

13.2 المتتاليات الحسابية

تعريف 13.3 (المتتالية الحسابية)

تكون متتالية حسابية ذات أساس $d$ إذا كان كل حد يُنتَج من الحد السابق بإضافة $d$ :

u_{n+1} = u_n + d \quad \text{من أجل كل } n.

وبصورة مكافئة: الفرق $u_{n+1} - u_n$ ثابت ويساوي $d$ .

مبرهنة 13.4 (الحد العام)

إذا كانت $(u_n)$ حسابية حدها الأول $u_0$ وأساسها $d$ ، فإن

u_n = u_0 + n\,d \quad \text{من أجل كل } n \geq 0, \qquad\text{وبوجه أعم } u_n = u_p + (n - p)\,d .

برهان. للانتقال من $u_0$ إلى $u_n$ ، تُطبَّق القاعدة “أضف $d$ ” $n$ مرة: فخطوة واحدة تعطي $u_1 = u_0 + d$ ، وخطوتان تعطيان $u_2 = u_0 + 2d$ ، وبعد $n$ خطوة يكون كل تطبيق قد أسهم بمقدار $d$ واحد، إذن $u_n = u_0 + nd$ . (وتُجعل عبارة “وهكذا” صارمة بالتراجع في الفصل 20.) وتنتج الصيغة العامة بعدّ الخطوات $n - p$ من $u_p$ إلى $u_n$ . ∎

مبرهنة 13.5 (مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية)

من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$ :

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

وبوجه أعم، يساوي مجموع حدود متتالية حسابية متعاقبة

(\text{عدد الحدود}) \times \frac{\text{الحد الأول} + \text{الحد الأخير}}{2}.

برهان. اكتب المجموع $S$ مرتين، والثانية بترتيب معكوس، ثم اجمع عمودًا عمودًا:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

فهناك $n$ عمودًا، ومجموع كل عمود $n + 1$ ، إذن $2S = n(n+1)$ . ومن أجل متتالية حسابية عامة ينجح الاقتران نفسه: الأول $+$ الأخير $=$ الثاني $+$ ما قبل الأخير $= \dots$ ، لأن التقدم خطوة إلى الأمام عند الطرف الأيسر ( $+d$ ) يعوّضه التراجع خطوة عند الطرف الأيمن ( $-d$ ). ∎

مثال 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ . ومجموع الأعداد الفردية $1 + 3 + \dots + 99$ ( $50$ حدًّا) هو $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ .

13.3 المتتاليات الهندسية

تعريف 13.7 (المتتالية الهندسية)

تكون متتالية هندسية ذات أساس هندسي $q \neq 0$ إذا كان كل حد يُنتَج من الحد السابق بالضرب في $q$ :

u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{من أجل كل } n.

وبصورة مكافئة، عندما لا ينعدم أي حد: تكون النسبة $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ ثابتة وتساوي $q$ .

مبرهنة 13.8 (الحد العام)

إذا كانت $(u_n)$ هندسية حدها الأول $u_0$ وأساسها $q$ ، فإن

u_n = u_0\, q^n \quad \text{من أجل كل } n \geq 0, \qquad\text{وبوجه أعم } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

برهان. عدّ الخطوات نفسه المستعمل في المبرهنة 13.4: فمن $u_0$ إلى $u_n$ ، تُطبَّق القاعدة “اضرب في $q$ ” $n$ مرة، فتسهم بالعامل $q^n$ . ∎

مبرهنة 13.9 (المجموع الهندسي)

من أجل كل عدد حقيقي $q \neq 1$ وكل عدد صحيح $n \geq 0$ :

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

برهان. ليكن $S = 1 + q + \dots + q^n$ . اضرب في $q$ : $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ . ثم اطرح:

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

لأن كل حد وسيط يظهر مرة في كل مجموع فيتلاشى. ومنه $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ ، وبالقسمة على $1 - q \neq 0$ نحصل على الصيغة. ∎

مثال 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : فمضاعفة حبات الأرز على مربعات رقعة شطرنج تغمر أي مخزن قبل المربع $64$ بكثير، حيث يكون المجموع $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ .

الخطوات المتساوية في مواجهة النسب المتساوية: المتتالية الحسابية (u_n+1 = u_n + 0.9، بالأزرق) تتبع مستقيمًا، والمتتالية الهندسية (u_n+1 = 1.2\,u_n، بالأحمر) تتبع منحنى أسيًا يتجاوز نموها في النهاية. — الخطوات المتساوية في مواجهة النسب المتساوية: المتتالية الحسابية ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ ، بالأزرق) تتبع مستقيمًا، والمتتالية الهندسية ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ ، بالأحمر) تتبع منحنى أسيًا يتجاوز نموها في النهاية.

طريقة 13.11 (التعرّف على نوع متتالية)

احسب $u_{n+1} - u_n$ وبسّطه. فإذا كانت النتيجة ثابتًا $d$ ، كانت المتتالية حسابية. وإلا فاحسب $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (والحدود غير معدومة) وبسّط: فثابت $q$ يعني أنها هندسية. وإذا لم يكن أي منهما ثابتًا، فالمتتالية ليست من النوعين — ولا تستنتج أبدًا من الحدود الأولى وحدها.

مثال 13.12

من أجل $u_n = 3 \times 5^n$ : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ من أجل كل $n$ : فهي هندسية أساسها $5$ . ومن أجل $u_n = n^2$ : لدينا $u_1 - u_0 = 1$ لكن $u_2 - u_1 = 3$ ، و $\frac{u_1}{u_0}$ ليست معرَّفة أصلًا — فليست حسابية ولا هندسية.

13.4 الرتابة

تعريف 13.13 (المتتالية الرتيبة)

تكون المتتالية $(u_n)$ متزايدة إذا كان $u_{n+1} \geq u_n$ من أجل كل $n$ ، ومتناقصة إذا كان $u_{n+1} \leq u_n$ من أجل كل $n$ .

طريقة 13.14 (دراسة الرتابة)

ادرس إشارة $u_{n+1} - u_n$ . ومن أجل المتتاليات ذات الحدود الموجبة، يمكن بدلًا من ذلك مقارنة $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ بالعدد $1$ .

مثال 13.15

تكون المتتالية الحسابية متزايدة عندما $d \geq 0$ ( $u_{n+1} - u_n = d$ )، ومتناقصة عندما $d \leq 0$ . وتكون المتتالية الهندسية ذات $u_0 > 0$ و $q > 1$ متزايدة: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ؛ وتكون متناقصة عندما $u_0 > 0$ و $0 < q < 1$ .

13.5 السلوك على المدى الطويل، بصورة غير رسمية

ماذا يحدث للحد $u_n$ عندما يصير $n$ كبيرًا جدًّا؟ من أجل متتالية حسابية أساسها $d > 0$ ، تتجاوز الحدود $u_0 + nd$ أي عدد ثابت في النهاية. ومن أجل متتالية هندسية أساسها $0 < q < 1$ ، تنكمش الحدود $u_0 q^n$ نحو $0$ : فالضرب المتكرر في $0.9$ مثلًا يفتّ أي قيمة انطلاق. ومن أجل $q > 1$ تنفجر الحدود، كما في المثال 13.10.

ملاحظة 13.16

يمكن جعل هذه العبارات دقيقة تمامًا — “تبقى الحدود في النهاية ضمن أي مسافة معطاة من $0$ ” — والبرهان عليها. وتلك هي نظرية النهايات، وهي الموضوع الافتتاحي في الفصل 20.

13.6 تمارين

تمرين 13.1 ★

من أجل كل متتالية، احسب $u_1$ و $u_2$ و $u_3$ :

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

حل

حل التمرين 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ و $u_2 = \frac23$ و $u_3 = \frac34$ .

$u_0 = 5$ و $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ و $u_2 = 37$ و $u_3 = 109$ .

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ و $u_2 = 2$ و $u_3 = -3$ .

تمرين 13.2 ★

المتتالية $(u_n)$ حسابية حيث $u_0 = 7$ و $d = -3$ . احسب $u_{10}$ و $u_{25}$ . والمتتالية $(v_n)$ حسابية حيث $v_3 = 11$ و $v_8 = 26$ . أوجد أساسها و $v_0$ .

حل

حل التمرين 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ و $u_{25} = 7 - 75 = -68$ .

ومن أجل $(v_n)$ : يعطي $v_8 = v_3 + 5d$ أن $26 = 11 + 5d$ ، إذن $d = 3$ ؛ ثم $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ .

تمرين 13.3 ★

المتتالية $(u_n)$ هندسية حيث $u_0 = 5$ و $q = 2$ . احسب $u_8$ . والمتتالية $(v_n)$ هندسية ذات حدود موجبة، و $v_2 = 12$ و $v_4 = 48$ . أوجد أساسها و $v_0$ .

حل

حل التمرين 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ .

ومن أجل $(v_n)$ : يعطي $v_4 = v_2\, q^2$ أن $48 = 12 q^2$ ، إذن $q^2 = 4$ و $q = 2$ (فالحدود موجبة). عندئذٍ $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ .

تمرين 13.4 ★

احسب

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

حل

حل التمرين 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ .

المجموع $4 + 7 + \dots + 61$ حسابي أساسه $d = 3$ و عدد حدوده $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ : فالمجموع $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ .

والمجموع $1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ هندسي أساسه $q = \frac12$ وعدد حدوده $11$ : $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ .

تمرين 13.5 ★

حدّد هل كل متتالية حسابية أم هندسية أم لا هذه ولا تلك:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

حل

حل التمرين 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : حسابية أساسها $d = 4$ .

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : هندسية أساسها $q = \frac23$ .

$w_0 = 0$ و $w_1 = 2$ و $w_2 = 6$ : فالفرقان $2$ و $4$ مختلفان، إذن ليست حسابية؛ و $\frac{w_1}{w_0}$ ليست معرَّفة أصلًا، والنسبتان $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : فلا هذه ولا تلك.

تمرين 13.6 ★★

في مسرح $20$ صفًّا: $16$ مقعدًا في الصف الأول، وفي كل صف مقعدان أكثر من الصف الذي قبله. كم مقعدًا في الصف الأخير؟ وفي المسرح كله؟

حل

حل التمرين 13.6.

أحجام الصفوف حسابية: الحد الأول $16$ والأساس $2$ . وفي الصف الأخير (العشرين) $16 + 19 \times 2 = 54$ مقعدًا. والمجموع $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ مقعدًا.

تمرين 13.7 ★★

يتضاعف مجتمع من البكتيريا كل ساعة؛ وعند الظهر يوجد $500$ بكتيريا. فكم عددها في الساعة 8 مساءً؟ وبعد كم ساعة كاملة يتجاوز عددها المليون لأول مرة؟ (حل بتجريب قوى $2$ المتعاقبة.)

حل

حل التمرين 13.7.

بعد $n$ ساعة يكون عدد المجتمع $500 \times 2^n$ . وفي الساعة 8 مساءً، $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ بكتيريا. ونحتاج إلى $500 \times 2^n > 10^6$ ، أي $2^n > 2000$ : وبما أن $2^{10} = 1024$ و $2^{11} = 2048$ ، يتجاوز العدد المليون لأول مرة بعد $11$ ساعة كاملة، أي في الساعة 11 مساءً.

تمرين 13.8 ★★

كل شهر، يودع مدّخر $100$ يورو في حساب يدفع فائدة $0.2\%$ شهريًا على الرصيد القائم (وتُقيَّد الفائدة قبل الإيداع مباشرة). وليكن $c_n$ الرصيد بعد الإيداع $n$ مباشرة، فيكون $c_1 = 100$ و $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ . احسب $c_2$ و $c_3$ ، وفسّر لماذا لا تكون $(c_n)$ حسابية ولا هندسية.

حل

حل التمرين 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ و $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ . والفرقان $c_2 - c_1 = 100.20$ و $c_3 - c_2 \approx 100.40$ غير متساويين، إذن $(c_n)$ ليست حسابية؛ والنسبتان $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ و $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ غير متساويتين أيضًا، إذن ليست هندسية. (وتُحل علاقات التراجع المختلطة من نوع “اضرب ثم أضف” كهذه بحيلة المتتالية المساعدة في التمرين 13.11.)

تمرين 13.9 ★★

ادرس رتابة المتتاليتين

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

حيث $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . (ومن أجل $(v_n)$ ، قارن $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ بالعدد $1$ .)

حل

حل التمرين 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : سالب من أجل $n \leq 3$ ، وموجب من أجل $n \geq 4$ . إذن تتناقص $(u_n)$ حتى $u_4 = 16 - 32 = -16$ ، ثم تتزايد: فهي ليست رتيبة.

وللمتتالية $(v_n)$ حدود موجبة و

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

وهو $> 1$ من أجل $n \leq 1$ ، و $= 1$ من أجل $n = 2$ ، و $< 1$ من أجل $n \geq 3$ : إذن تتزايد المتتالية حتى $v_2 = v_3 = \frac92$ ، ثم تتناقص.

تمرين 13.10 ★★

مجموع الحدود $n$ الأولى لمتتالية حسابية حدها الأول $u_0 = 3$ وأساسها $d = 4$ يساوي $903$ . أوجد $n$ . (كوّن معادلة تربيعية في $n$ واستعمل الفصل 10.)

حل

حل التمرين 13.10.

الحدود $n$ الأولى هي $u_0, \dots, u_{n-1}$ ، حيث $u_0 = 3$ و $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ . ومجموعها

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

إذن $2n^2 + n - 903 = 0$ . وهنا $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ ، و $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (ويُرفض الجذر السالب). تحقق: $21 \times 43 = 903$ .

تمرين 13.11 ★★★

ليكن $u_0 = 3$ و $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

احسب $u_1, u_2, u_3$ وخمّن عبارة للحد $u_n$ .
ليكن $v_n = u_n - 1$ . بيّن أن $(v_n)$ هندسية، وأعطِ أساسها وحدها الأول.
استنتج عبارة صريحة للحد $u_n$ وتحقق من تخمينك.

حل

حل التمرين 13.11.

1. $u_1 = 5$ و $u_2 = 9$ و $u_3 = 17$ : فكل حد يزيد بواحد على $4, 8, 16$ ، مما يوحي بالعبارة $u_n = 2^{n+1} + 1$ .

2. بوضع $v_n = u_n - 1$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $2$ وحدها الأول $v_0 = u_0 - 1 = 2$ .

3. ومنه $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ و $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ ، وهذا يؤكد التخمين. (والعدد $1$ المطروح في $v_n$ هو النقطة الثابتة للعلاقة $x \mapsto 2x - 1$ ؛ وتعود الفكرة نفسها من أجل $u_{n+1} = au_n + b$ في الفصل 20.)

13.7 مسألة: برج براهما وأرانب فيبوناتشي

مسألة 13.1

مسألة نهاية الأسبوع — علاقتا تراجع أسطوريتان: البرج الذي ينهي العالم، والمتتالية التي تنمو مثل الذهب، والحيلة المساعدة التي تروّض القروض

تحكم متتاليتان فولكلور الرياضيات. إحداهما تعدّ حركات برج براهما — أربعة وستون قرصًا ذهبيًا يقول الأسطورة إن نقلها سينهي العالم. والأخرى تعدّ أرانب فيبوناتشي وتخبئ النسبة الذهبية. وليست أي منهما حسابية ولا هندسية — وكلتاهما تستسلم لأسلحة هذا الفصل: علاقات التراجع، والمجاميع الهندسية (المبرهنة 13.9)، وحيلة المتتالية المساعدة في التمرين 13.11، التي تحسب قرضك العقاري أيضًا.

الجزء الأول — برج براهما. الأحجية: $n$ قرصًا متناقصة الحجم مكدسة على الوتد أ؛ انقل الكومة كلها إلى الوتد ج، قرصًا واحدًا في كل مرة، دون وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر أبدًا (ويمكن للوتد ب أن يساعد). وليكن $h_n$ عدد الحركات الأصغري.

العب (بقطع نقدية) وسجّل $h_1$ و $h_2$ و $h_3$ .
فسّر الاستراتيجية وراء علاقة التراجع $h_{n+1} = 2h_n + 1$ : ماذا يجب أن يحدث قبل تحرك القرص الأكبر وبعده؟
حل علاقة التراجع بحيلة التمرين 13.11: ضع $v_n = h_n + 1$ ، وبيّن أن $(v_n)$ هندسية، واستنتج $h_n = 2^n - 1$ .
لبرج الأسطورة $64$ قرصًا، وينقل الرهبان قرصًا واحدًا في الثانية. مستعملًا $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ ، قدّر زمن النقل بالسنوات (والسنة نحو $3 \times 10^7$ ثانية؛ قارن المثال 13.10، وهو المارد نفسه في قصة أخرى). فهل ينبغي أن نقلق؟
لماذا لا تستطيع أي استراتيجية أن تتفوق على $2^n - 1$ حركة؟ برهن على أن أي حل يخضع للمتراجحة $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ : ماذا يجب أن يصح بشأن الأقراص $n$ العليا قبل تحرك القرص السفلي وبعده مباشرة؟

الجزء الثاني — فيبوناتشي. نعرّف $F_1 = F_2 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ (فكل حد مجموع الحدين اللذين قبله — وهي قاعدة عدّ الأوزان في الكتاب السابق، مع اسمها الأوروبي الآن).

اذكر $F_1$ حتى $F_{12}$ .
بيّن أن $(F_n)$ ليست حسابية ولا هندسية، لكنها متزايدة تمامًا ابتداءً من $n = 2$ (الطريقة 13.14 وعلاقة التراجع).
برهن على متطابقة المجموع

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

بالتلسكوب: اكتب كل $F_k$ على صورة $F_{k+2} - F_{k+1}$ وراقب المجموع ينهار. وتحقق منها من أجل $n = 6$ .
برهن على متطابقة المربعات $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ ، بالتلسكوب مع $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ . وتحقق من أجل $n = 4$ . (وصورةً: مربعات أضلاعها $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ تبلّط مستطيلًا — وهو هيكل حلزون فيبوناتشي الشهير.)
تقول متطابقة كاسيني إن $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ . تحقق منها من أجل $n = 4, 5, 6$ — وتعرّف على محرك حيلة المربع المتلاشي في مسألة المساحات في الكتاب السابق.
بيّن انطلاقًا من علاقة التراجع أن $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : فمتتالية فيبوناتشي تتضاعف على الأقل كل خطوتين — أي أنها تنمو بسرعة لا تقل عن سرعة متتالية هندسية أساسها $\sqrt2$ .
احسب النسب $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ من أجل $n = 3$ إلى $10$ (بثلاثة أرقام عشرية). وبقبول أنها تستقر على نهاية $L$ ، مرّر العلاقة $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ إلى النهاية وحل: أي عدد من المسألة 2.1 تعبده الأرانب؟

الجزء الثالث — الحيلة المساعدة، في المصرف.

عمّم التمرين 13.11: من أجل $u_{n+1} = a\,u_n + b$ حيث $a \neq 1$ ، ضع $\ell = \frac{b}{1 - a}$ (وهي النقطة الثابتة). بيّن أن $v_n = u_n - \ell$ هندسية أساسها $a$ ، واستنتج $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .
قرض: $10\,000$ يورو بفائدة $1\,\%$ شهريًا، يُسدَّد بمبلغ $300$ يورو شهريًا، فيخضع الدين للعلاقة $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ . طبّق السؤال 13 (والنقطة الثابتة أولًا!) للحصول على عبارة صريحة للحد $d_n$ .
بالحاسبة، أوجد أول شهر يُسدَّد فيه الدين كاملًا، والمبلغ الكلي المسدَّد. فكم كلّف الاقتراض نفسه؟
مدينة عدد سكانها $50\,000$ تنمو بنسبة $2\,\%$ سنويًا وتستقبل $1\,000$ وافد فوق ذلك: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ . أعطِ العبارة الصريحة وعدد السكان بعد $10$ سنوات.

الجزء الرابع — العائلتان الملكيتان.

احسب $1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ (المبرهنة 13.5 — وهو مجموع غاوس الصغير في الكتاب السابق، رسميًا الآن)، و $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (المبرهنة 13.9).
احسب مجموع المتتالية الحسابية $7, 12, 17, \dots, 502$ (وكم عدد حدودها؟).
خطة ادخار: $100$ يورو تُودَع كل شهر، وتربح $0.5\,\%$ شهريًا؛ وبعد الإيداع $n$ يكون الرصيد $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ . احسب الرصيد بعد $5$ سنوات ( $n = 60$ ).
الخاتمة — عدة مروّض المتتاليات: الوصف الصريح في مواجهة الوصف بالتراجع؛ والعائلتان الملكيتان و صيغتا مجموعهما؛ والمتتالية المساعدة التي تحوّل علاقات التراجع التآلفية إلى هندسية؛ وفيبوناتشي، وهو أول المواطنين خارج العائلتين، مروَّضًا اليوم بالمتطابقات ومنتظرًا المصفوفات (في السنة الأخيرة) والنهايات لأسره الكامل. جملة واحدة لكل بند.

حل

حل المسألة 13.1.

1. $h_1 = 1$ و $h_2 = 3$ و $h_3 = 7$ .

2. لتحريك القرص الأكبر، يجب أولًا أن تهاجر الأقراص $n$ التي فوقه إلى الوتد الاحتياطي ( $h_n$ حركة)؛ ثم يعبر القرص الكبير (حركة واحدة)؛ ثم يجب أن تعود الأقراص $n$ لتصعد فوقه ( $h_n$ حركة): $h_{n+1} = 2h_n + 1$ .

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : هندسية أساسها $2$ مع $v_1 = 2$ ، إذن $v_n = 2^n$ و $h_n = 2^n - 1$ .

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ ثانية؛ وبالقسمة على $3 \times 10^7$ ثانية في السنة: نحو $6 \times 10^{11}$ سنة — أي ستمئة مليار سنة، أي أربعين ضعف عمر الكون. فيمكن للرهبان أن يأخذوا استراحات قهوة.

5. في أي حل مشروع، انظر في أول حركة للقرص السفلي: ففي تلك اللحظة يجب أن تجلس الأقراص $n$ الأخرى كلها على الوتد الوحيد المتبقي (وذلك يستلزم $h_n$ حركة على الأقل)، وبعد آخر حركة للقرص السفلي يجب أن تعود كلها فوقه ( $h_n$ حركة أخرى على الأقل): إذن يحتاج أي حل إلى $2h_n + 1$ حركة على الأقل. فعلاقة التراجع أرضية كما هي سقف: أي أن $2^n - 1$ أمثلي.

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ .

7. ليست حسابية (إذ $2 - 1 = 1$ لكن $3 - 2 = 1$ و $5 - 3 = 2$ : فالفروق تتغير)؛ وليست هندسية (إذ $\frac21 = 2$ لكن $\frac32 = 1.5$ ). وهي متزايدة: فمن أجل $n \geq 2$ ، $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ .

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ ، إذن

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

ومن أجل $n = 6$ : $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ .

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ؛ والجمع يتلسكب إلى $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ (مع $F_0 = 0$ ): إذن مجموع المربعات هو $F_n F_{n+1}$ . ومن أجل $n = 4$ : $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ .

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ؛ و $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ؛ و $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : أي $\pm 1$ بالتناوب. وهذا الفرق بمقدار واحد بين $F_{n+1} F_{n-1}$ و $F_n^2$ هو بالضبط وحدة المربع المكسوبة أو المفقودة عند الساحر: فتقطيع مربع $F_n \times F_n$ إلى قطع يُعاد تركيبها مستطيلًا $F_{n+1} \times F_{n-1}$ لا بد أن يخلق وحدة أو يبتلعها — إنها الشظية.

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (فالمتتالية متزايدة): أي مضاعفة على الأقل كل دليلين — فالنمو لا يقل عن نمو متتالية هندسية أساسها $\sqrt2$ لكل دليل.

12. $1.5$ ؛ $1.667$ ؛ $1.6$ ؛ $1.625$ ؛ $1.615$ ؛ $1.619$ ؛ $1.618$ ؛ $1.618$ . وإذا كان $r_n \to L$ : فمن $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ ، وبالقسمة على $F_{n+1}$ : $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ ، إذن $L = 1 + \frac1L$ ، أي $L^2 = L + 1$ : ومنه $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ ، وهي النسبة الذهبية في المسألة 2.1. فالأرانب تتكاثر بالذهب.

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ؛ وبما أن $\ell = a\ell + b$ ، فإن هذا يساوي $a(u_n - \ell) = a v_n$ : أي هندسية أساسها $a$ . ومنه $v_n = a^n v_0$ و $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ .

14. النقطة الثابتة: يعطي $\ell = 1.01\ell - 300$ أن $\ell = 30\,000$ . إذن $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ .

15. يستلزم $d_n \leq 0$ أن $1.01^n \geq 1.5$ : $1.01^{40} \approx 1.489$ ، و $1.01^{41} \approx 1.504$ : إذن الدفعة $41$ تسدد الدين (وهي أصغر قليلًا من $300$ ). والمبلغ الكلي المسدَّد: أقل بقليل من $41 \times 300 = 12\,300$ يورو — أي أن اقتراض $10\,000$ كلّف نحو $2\,300$ يورو من الفوائد.

16. النقطة الثابتة $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ ، إذن $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ . وبعد $10$ سنوات: $1.02^{10} \approx 1.219$ : أي $p_{10} \approx 71\,900$ نسمة.

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ؛ و $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ .

18. من $7$ إلى $502$ بخطوة $5$ : $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ حدًّا؛ والمجموع $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ .

19. الرصيد $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1} {1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ يورو — منها $6\,000$ مودعة ونحو $977$ مربوحة: فالمجاميع الهندسية هي لغة المصرف الأم.

20. تجيب العبارات الصريحة عن “ما $u_{1000}$ ” فورًا؛ أما علاقات التراجع فتصف كيف تتطور الجمل فعلًا — والفن هو تحويل الثانية إلى الأولى. فالمتتاليات الحسابية تجمع، والهندسية تضرب، ولكل عائلة صيغة مجموع (اقتران غاوس؛ وحيلة المضاعفة). و حيلة النقطة الثابتة والمتتالية المساعدة تحوّل كل علاقة تراجع تآلفية إلى هندسية — فسقطت القروض والمجتمعات و البرج أمامها. أما فيبوناتشي فلا يخضع لأي من العائلتين، ومع ذلك أمسكت المتطابقات التلسكوبية بمجاميعه ومربعاته؛ أما صورته الكاملة (عبارة مضبوطة، والنهاية الذهبية) فتنتظر أدوات أقوى.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد