رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

15المتجهات والمستقيمات في المستوي

تشفّر المتجهات الانتقالات؛ والمستقيمات مساراتها. والأداة الجديدة الأساسية في هذا الفصل هي المحدد، وهو عدد مفرد يقرر هل متجهتان مستقيميتان — ومن هناك ينتج معادلات المستقيمات ويحسم مسائل الاستقامة والتوازي بالحساب الخالص. وتمتد الأفكار نفسها إلى الفضاء في الفصل 31.

15.1 المتجهات: تذكير

تعريف 15.1 (المتجهة والإحداثيات)

تمثّل المتجهة $\vec u$ انتقالًا: فكل الأسهم ذات الاتجاه والجهة والطول نفسها تمثّل المتجهة نفسها. وفي نظام إحداثيات، تسجّل $\vec u\,(x, y)$ الانتقال ( $x$ أفقيًا و $y$ شاقوليًا)؛ ومن أجل النقطتين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ ،

\vect{AB}\,\bigl(x_B - x_A,\ y_B - y_A\bigr).

وتُجمع المتجهات إحداثيًا إحداثيًا، وللمتجهة $\lambda\vec u$ الإحداثيات $(\lambda x, \lambda y)$ .

قضية 15.2 (المنتصف)

لمنتصف القطعة $[AB]$ ، وليكن $M$ ، الإحداثيات $\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

برهان. تتميز $M$ بالعلاقة $\vect{AM} = \frac12\vect{AB}$ : وإحداثيًا إحداثيًا، $x_M - x_A = \frac12(x_B - x_A)$ ، إذن $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ ، و بالمثل من أجل $y_M$ . ∎

15.2 الاستقامية والمحدد

تعريف 15.3 (المتجهتان المستقيميتان)

تكون متجهتان مستقيميتين إذا كانت إحداهما مضاعفًا سلّميًا للأخرى: $\vec v = \lambda \vec u$ من أجل $\lambda \in \R$ ما (أو $\vec u = \vec 0$ ). وهندسيًا: لهما الاتجاه نفسه، أو إحداهما معدومة.

تعريف 15.4 (المحدد)

محدد المتجهتين $\vec u\,(x, y)$ و $\vec v\,(x', y')$ هو

\det(\vec u, \vec v) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = x y' - x' y .

مبرهنة 15.5 (محك الاستقامية)

تكون المتجهتان $\vec u$ و $\vec v$ مستقيميتين إذا وفقط إذا كان $\det(\vec u, \vec v) = 0$ .

برهان. ( $\Rightarrow$ ) إذا كانت $\vec v = \lambda\vec u$ ، فإن $x' = \lambda x$ و $y' = \lambda y$ ، إذن $\det(\vec u, \vec v) = x(\lambda y) - (\lambda x)y = 0$ ؛ وإذا كانت $\vec u = \vec 0$ ، فالمحدد معدوم بداهةً.

( $\Leftarrow$ ) لنفترض أن $xy' - x'y = 0$ و $\vec u \neq \vec 0$ ، وليكن مثلًا $x \neq 0$ (والحالة $y \neq 0$ متناظرة). ضع $\lambda = \frac{x'}{x}$ . عندئذٍ $x' = \lambda x$ بالإنشاء، وتعطي العلاقة $xy' = x'y = \lambda x y$ ، بعد القسمة على $x \neq 0$ ، أن $y' = \lambda y$ . ومنه $\vec v = \lambda \vec u$ . ∎

مثال 15.6

$\vec u\,(3, -2)$ و $\vec v\,(-6, 4)$ : $\det = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0$ ، إذن مستقيميتان (وفعلًا $\vec v = -2\vec u$ ). و $\vec u\,(3, -2)$ و $\vec w\,(2, 1)$ : $\det = 3 + 4 = 7 \neq 0$ ، فليستا مستقيميتين.

طريقة 15.7 (استقامة ثلاث نقط)

تكون $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كانت $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ مستقيميتين: فاحسب المتجهتين وتحقق من $\det\bigl(\vect{AB}, \vect{AC}\bigr) = 0$ .

15.3 المعادلات الديكارتية للمستقيمات

تعريف 15.8 (متجهة التوجيه)

متجهة التوجيه لمستقيم $d$ هي أي متجهة غير معدومة $\vec u$ تكون $\vect{AB}$ مستقيمية مع $\vec u$ من أجل كل نقطتين $A, B$ من $d$ .

مبرهنة 15.9 (المعادلة الديكارتية)

للمستقيم ذي متجهة التوجيه $\vec u\,(-b, a)$ معادلة على الصورة

ax + by + c = 0 \qquad (a, b) \neq (0, 0).

وبالعكس، تصف كل معادلة كهذه مستقيمًا متجهة توجيهه $\vec u\,(-b, a)$ .

برهان. ليمر $d$ بالنقطة $A(x_A, y_A)$ وليكن توجيهه $\vec u\,(-b, a)$ . تقع النقطة $M(x, y)$ على $d$ بالضبط عندما تكون $\vect{AM}$ مستقيمية مع $\vec u$ ، أي (المبرهنة 15.5)

0 = \det\bigl(\vect{AM}, \vec u\bigr) = (x - x_A)\,a - (-b)(y - y_A) = ax + by - (a x_A + b y_A),

وهي معادلة على الصورة المعلنة مع $c = -(a x_A + b y_A)$ . وبالعكس، فإن حلول $ax + by + c = 0$ مع، مثلًا، $b \neq 0$ هي النقط $\left(x, -\frac{a x + c}{b}\right)$ : فطرح اثنتين منها يبيّن أن كل وتر مستقيمي مع $(-b, a)$ ، ويوجد حل دائمًا — فهو المستقيم المار به والموجَّه بالمتجهة $(-b, a)$ . ∎

طريقة 15.10 (المستقيم المار بنقطتين)

لإيجاد معادلة المستقيم $(AB)$ : احسب متجهة التوجيه $\vect{AB}\,(x_B - x_A, y_B - y_A)$ ؛ وطابقها مع $(-b, a)$ ، أي خذ $a = y_B - y_A$ و $b = -(x_B - x_A)$ ؛ ثم حدّد $c$ بتعويض إحداثيات $A$ .

مثال 15.11

المستقيم المار بالنقطتين $A(1, 2)$ و $B(4, 3)$ : $\vect{AB}\,(3, 1)$ ، إذن $a = 1$ و $b = -3$ ، والمعادلة $x - 3y + c = 0$ . وبتعويض $A$ : $1 - 6 + c = 0$ ، إذن $c = 5$ . والمعادلة: $x - 3y + 5 = 0$ . وتحقق بالنقطة $B$ : $4 - 9 + 5 = 0$ .

ملاحظة 15.12

عندما $b \neq 0$ ، يمكن حل المعادلة بالنسبة إلى $y$ : فتصير $y = mx + p$ حيث الميل $m = -\frac ab$ . والصورة الديكارتية $ax + by + c = 0$ أعم: فهي تغطي أيضًا المستقيمات الشاقولية ( $b = 0$ ) التي لا ميل لها.

المستقيم x - 3y + 5 = 0 في ، ومتجهة توجيهه u = AB (بالأحمر، وهي هنا مضروبة في 1/2)، والنقطتان المستعملتان لبناء المعادلة. — المستقيم $x - 3y + 5 = 0$ في المثال 15.11، ومتجهة توجيهه $\vec u = \vect{AB}$ (بالأحمر، وهي هنا مضروبة في $\frac12$ )، والنقطتان المستعملتان لبناء المعادلة.

15.4 التمثيل الوسيطي

تعريف 15.13 (التمثيل الوسيطي)

المستقيم المار بالنقطة $A(x_A, y_A)$ وتوجيهه $\vec u\,(\alpha, \beta)$ هو مجموعة النقط

M\bigl(x_A + t\alpha,\ y_A + t\beta\bigr), \qquad t \in \R .

والعدد $t$ هو الوسيط: فكل قيمة له تنتج نقطة واحدة من المستقيم، كأننا نسير عليه بسرعة ثابتة $\vec u$ .

مثال 15.14

المستقيم في المثال 15.11 هو أيضًا $\{(1 + 3t,\ 2 + t) : t \in \R\}$ : إذ $t = 0$ يعطي $A$ ، و $t = 1$ يعطي $B$ . وبحذف $t$ (إذ $t = y - 2$ ، فيكون $x = 1 + 3(y-2)$ ) نستعيد $x - 3y + 5 = 0$ .

15.5 الأوضاع النسبية لمستقيمين

قضية 15.15 (متوازيان أم متقاطعان)

يكون مستقيمان متجهتا توجيههما $\vec u$ و $\vec v$ متوازيين إذا وفقط إذا كان $\det(\vec u, \vec v) = 0$ . وبصيغة المعادلات: يكون $d : ax + by + c = 0$ و $d' : a'x + b'y + c' = 0$ متوازيين إذا وفقط إذا كان $ab' - a'b = 0$ . أما المستقيمان غير المتوازيين فيلتقيان في نقطة واحدة بالضبط.

برهان. التوازي يعني استقامية التوجيهين، وهذا هو المبرهنة 15.5؛ ومع $\vec u\,(-b, a)$ و $\vec v\,(-b', a')$ ، يكون المحدد $(-b)a' - (-b')a = ab' - a'b$ . وإذا لم يكن المستقيمان متوازيين، فإن حل المعادلتين في آنٍ واحد (بالتعويض أو بالتركيب) يقود إلى حل وحيد: فالجملة تتصرف كجملة $2 \times 2$ ذات محدد غير معدوم. ∎

طريقة 15.16 (تقاطع مستقيمين)

حل جملة المعادلتين: اعزل مجهولًا في إحدى المعادلتين وعوّضه في الأخرى، أو ركّب المعادلتين لحذف أحد المجهولين. وتحقق دائمًا من النقطة الناتجة في كلتا المعادلتين.

مثال 15.17

قاطع $d: x - 3y + 5 = 0$ و $d': 2x + y - 4 = 0$ . من $d'$ : $y = 4 - 2x$ . وبالتعويض في $d$ :

x - 3(4 - 2x) + 5 = 0 \iff x - 12 + 6x + 5 = 0 \iff 7x = 7 \iff x = 1,

ثم $y = 2$ . إذن يلتقي المستقيمان في $(1, 2)$ . وتحقق في $d$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

15.6 تمارين

تمرين 15.1 ★

إذا أُعطيت $A(2, -1)$ و $B(5, 3)$ و $C(-1, 1)$ ، احسب إحداثيات $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ و $\vect{AB} + \vect{AC}$ و $2\vect{AB} - 3\vect{AC}$ ، ومنتصف $[BC]$ .

حل

حل التمرين 15.1.

$\vect{AB}\,(3, 4)$ و $\vect{AC}\,(-3, 2)$ و $\vect{AB} + \vect{AC}\,(0, 6)$ و $2\vect{AB} - 3\vect{AC}\,(6 + 9,\ 8 - 6) = (15, 2)$ . ومنتصف $[BC]$ هو $\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ .

تمرين 15.2 ★

هل المتجهتان مستقيميتان؟

\vec u\,(4, -6) \text{ و } \vec v\,(-2, 3); \qquad \vec u\,(2, 5) \text{ و } \vec v\,(3, 7); \qquad \vec u\,(0, 3) \text{ و } \vec v\,(0, -8).

حل

حل التمرين 15.2.

$\det = 4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0$ : مستقيميتان (وفعلًا $\vec v = -\frac12 \vec u$ ).

$\det = 2 \times 7 - 3 \times 5 = -1 \neq 0$ : ليستا مستقيميتين.

$\det = 0 \times (-8) - 0 \times 3 = 0$ : مستقيميتان (فكلتاهما شاقولية).

تمرين 15.3 ★

أوجد معادلة ديكارتية للمستقيم المار بالنقطة $A(2, 1)$ وتوجيهه $\vec u\,(3, -1)$ ، ثم للمستقيم المار بالنقطتين $B(0, 4)$ و $C(2, 0)$ .

حل

حل التمرين 15.3.

بالمرور بالنقطة $A(2,1)$ والتوجيه $(3, -1)$ : تعطي مطابقة $(-b, a) = (3, -1)$ أن $a = -1$ و $b = -3$ ، إذن $-x - 3y + c = 0$ ؛ وبتعويض $A$ : $-2 - 3 + c = 0$ ، فيكون $c = 5$ . وبالضرب في $-1$ : $x + 3y - 5 = 0$ .

وبالمرور بالنقطتين $B(0,4)$ و $C(2,0)$ : $\vect{BC}\,(2, -4)$ ، إذن $a = -4$ و $b = -2$ : $-4x - 2y + c = 0$ ؛ وبتعويض $B$ : $-8 + c = 0$ ، فيكون $c = 8$ . وبالتبسيط على $-2$ : $2x + y - 4 = 0$ . وتحقق بالنقطة $C$ : $4 + 0 - 4 = 0$ .

تمرين 15.4 ★

من أجل المستقيم $d: 3x - 2y + 6 = 0$ ، أعطِ متجهة توجيه، و نقطتي التقاطع مع محورَي الإحداثيات، وقرّر هل تنتمي النقطتان $P(2, 6)$ و $Q(1, 4)$ إلى $d$ .

حل

حل التمرين 15.4.

متجهة التوجيه هي $(-b, a) = (2, 3)$ . والتقاطعان: يعطي $x = 0$ أن $y = 3$ ، فالنقطة $(0, 3)$ ؛ ويعطي $y = 0$ أن $x = -2$ ، فالنقطة $(-2, 0)$ . ومن أجل $P(2,6)$ : $3 \times 2 - 2 \times 6 + 6 = 0$ ، إذن $P \in d$ . ومن أجل $Q(1,4)$ : $3 - 8 + 6 = 1 \neq 0$ ، إذن $Q \notin d$ .

تمرين 15.5 ★★

هل النقط $A(1, 2)$ و $B(4, 8)$ و $C(-2, -4)$ على استقامة واحدة؟ والسؤال نفسه من أجل $D(0, 1)$ و $E(2, 4)$ و $F(5, 9)$ .

حل

حل التمرين 15.5.

$\vect{AB}\,(3, 6)$ و $\vect{AC}\,(-3, -6)$ : $\det = 3 \times (-6) - (-3) \times 6 = 0$ ، إذن $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة.

$\vect{DE}\,(2, 3)$ و $\vect{DF}\,(5, 8)$ : $\det = 2 \times 8 - 5 \times 3 = 1 \neq 0$ : فليست $D$ و $E$ و $F$ على استقامة واحدة.

تمرين 15.6 ★★

حدّد نقطة التقاطع إن وُجدت:

d: 2x + y - 7 = 0 \ \text{ و }\ d': x - y + 1 = 0; \qquad e: x - 2y + 3 = 0 \ \text{ و }\ e': -2x + 4y + 1 = 0 .

حل

حل التمرين 15.6.

الزوج الأول: بجمع المعادلتين، $(2x + y - 7) + (x - y + 1) = 3x - 6 = 0$ ، إذن $x = 2$ ، ثم $y = x + 1 = 3$ : فيلتقيان في $(2, 3)$ (تحقق: $4 + 3 - 7 = 0$ ).

والزوج الثاني: $ab' - a'b = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0$ ، إذن المستقيمان متوازيان؛ وبضرب $e$ في $-2$ نجد $-2x + 4y - 6 = 0$ ، وهي تختلف عن $e'$ ( $-6 \neq 1$ ): إذن متوازيان تمامًا، ولا تقاطع.

تمرين 15.7 ★★

أعطِ تمثيلًا وسيطيًا للمستقيم $d: 2x - y + 3 = 0$ ، ومعادلة ديكارتية للمستقيم $\bigl\{(1 + 2t,\ -3 + t) : t \in \R\bigr\}$ .

حل

حل التمرين 15.7.

من أجل $d: 2x - y + 3 = 0$ : التوجيه $(-b, a) = (1, 2)$ والنقطة $(0, 3)$ تقع على $d$ ، إذن $d = \{(t,\ 3 + 2t) : t \in \R\}$ .

ومن أجل المستقيم الوسيطي المار بالنقطة $(1, -3)$ وتوجيهه $(2, 1)$ : $a = 1$ و $b = -2$ ، إذن $x - 2y + c = 0$ ؛ وبتعويض $(1, -3)$ : $1 + 6 + c = 0$ ، فيكون $c = -7$ . والمعادلة: $x - 2y - 7 = 0$ (وتحقق عند $t = 1$ ، عند النقطة $(3, -2)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ).

تمرين 15.8 ★★

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة $P(1, -2)$ الموازي للمستقيم $d: 4x - 3y + 2 = 0$ ، وقيمة $m$ التي يكون من أجلها المستقيم $mx + 2y - 5 = 0$ موازيًا للمستقيم $d$ .

حل

حل التمرين 15.8.

للمستقيم الموازي القيمتان $(a, b)$ نفسهما: $4x - 3y + c = 0$ ؛ وبالمرور بالنقطة $P(1, -2)$ : $4 + 6 + c = 0$ ، إذن $c = -10$ والمستقيم هو $4x - 3y - 10 = 0$ .

ويستلزم توازي $mx + 2y - 5 = 0$ مع $d$ أن $ab' - a'b = 4 \times 2 - m \times (-3) = 8 + 3m = 0$ ، إذن $m = -\frac83$ .

تمرين 15.9 ★★

لتكن $A(-1, 0)$ و $B(3, 2)$ و $C(1, -4)$ . أوجد معادلة ديكارتية لمتوسط المثلث $ABC$ الصادر من $C$ (وهو المستقيم الواصل بين $C$ ومنتصف $[AB]$ ).

حل

حل التمرين 15.9.

منتصف $[AB]$ هو $M\!\left(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1)$ . والمتوسط هو المستقيم $(CM)$ حيث $C(1, -4)$ : ولكلتا النقطتين الفاصلة $1$ ، إذن المتوسط هو المستقيم الشاقولي

x - 1 = 0 .

تمرين 15.10 ★★

من أجل أي قيمة أو قيم للوسيط $m$ تكون المتجهتان $\vec u\,(m, 2)$ و $\vec v\,(3, m - 1)$ مستقيميتين؟

حل

حل التمرين 15.10.

$\det(\vec u, \vec v) = m(m - 1) - 3 \times 2 = m^2 - m - 6$ . وينعدم عندما $m^2 - m - 6 = 0$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$ ، وجذراها $m = \frac{1 \pm 5}{2}$ ، أي $m = 3$ أو $m = -2$ .

تمرين 15.11 ★★★

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع، ولتكن $I$ منتصف $[AB]$ ، ولتكن $J$ النقطة المعرَّفة بالعلاقة $\vect{DJ} = \frac23 \vect{DI}$ . وبالعمل في نظام الإحداثيات حيث $A(0,0)$ و $B(1,0)$ و $D(0,1)$ (فيكون $C(1,1)$ ):

احسب إحداثيات $I$ و $J$ .
بيّن أن $A$ و $J$ و $C$ على استقامة واحدة. (وواقعة لطيفة: يقطع المستقيم $(DI)$ القطر $(AC)$ على ثلث ارتفاعه.)

حل

حل التمرين 15.11.

1. $I = \left(\frac12, 0\right)$ . عندئذٍ $\vect{DI} = \left(\frac12 - 0,\ 0 - 1\right) = \left(\frac12, -1\right)$ و $\vect{DJ} = \frac23\vect{DI} = \left(\frac13, -\frac23\right)$ ، إذن

J = D + \vect{DJ} = \left(\frac13,\ \frac13\right).

2. $\vect{AJ}\left(\frac13, \frac13\right)$ و $\vect{AC}\,(1, 1)$ : $\det = \frac13 \times 1 - 1 \times \frac13 = 0$ ، إذن $A$ و $J$ و $C$ على استقامة واحدة — وفي الواقع $\vect{AJ} = \frac13\vect{AC}$ : أي أن المستقيم $(DI)$ يقطع القطر $(AC)$ عند ثلث طوله بالضبط انطلاقًا من $A$ .

15.7 مسألة: مسارات التصادم والإحداثيات الذكية

مسألة 15.1

مسألة نهاية الأسبوع — تقاطع المسارات ليس تصادمًا: أقرب اقتراب في البحر، ومبرهنات تُبرهن باختيار المعلم المناسب

يتقاطع مساران مستقيمان لسفينتين — فهل يجب أن تتصادم السفينتان؟ لا، إلا إذا بلغتا نقطة التقاطع في اللحظة نفسها: فالمسارات مجموعات نقط، والحركات وسيطية، وقد أغرق الخلط بينهما سفنًا حقيقية. تدير هذه المسألة خدمة صغيرة لحركة السفن على مستقيمات وسيطية (التعريف 15.13)، ثم تنتقل إلى الهندسة الخالصة مع القوة الخارقة الأخرى للإحداثيات: اختيارها بذكاء، كما في التمرين 15.11، حتى تحسب المبرهنات الكلاسيكية نفسها بنفسها.

الجزء الأول — المستقيم بثلاث طرائق.

أعطِ تمثيلًا وسيطيًا للمستقيم المار بالنقطة $A(1, 2)$ وتوجيهه $\vec u(3, -1)$ ، ثم احذف الوسيط للحصول على معادلة ديكارتية.
من أجل المستقيم $2x - 5y + 3 = 0$ : اقرأ متجهة توجيه (المبرهنة 15.9)، وأوجد نقطة واحدة، واكتب تمثيلًا وسيطيًا.
احسب نقطة تقاطع مستقيمَي السؤالين 1 و 2 (الطريقة 15.16).
أكّد بالمحدد (المبرهنة 15.5) أن هذين المستقيمين كان لا بد أن يتقاطعا؛ ثم بيّن أن $2x - 5y + 3 = 0$ و $-4x + 10y + 1 = 0$ متوازيان تمامًا.
هل $A(2, 1)$ و $B(5, 3)$ و $C(11, 7)$ على استقامة واحدة (الطريقة 15.7)؟

الجزء الثاني — خدمة حركة السفن. في اللحظة $t$ (بالساعات)، تكون السفينة $P$ في $(2t,\ 3 + t)$ وتكون السفينة $Q$ في $(10 - t,\ 2t - 1)$ (والمسافات بالأميال البحرية).

أوجد المعادلتين الديكارتيتين للمسارين، واحسب أين يتقاطعان.
في أي لحظة تمر كل سفينة بنقطة التقاطع؟ وهل تتصادم السفينتان؟ صُغ التحذير العام في جملة واحدة: تقاطع المسارات في مواجهة التقاء الحركات.
احسب مربع المسافة $D^2(t)$ بين السفينتين في اللحظة $t$ ، وردّه إلى مقدار تربيعي في $t$ . وفي أي لحظة تكون السفينتان أقرب ما تكونان، وكم يبلغ اقترابهما (بتقنية رأس القطع في المسألة 10.1)؟
تفرض الأنظمة فصلًا لا يقل عن ميل واحد. فهل يُنتهك؟ وإن كان كذلك، فحل $D^2(t) < 1$ وأعطِ مدة الانتهاك.
فسّر لماذا يكون $D^2(t)$ ، من أجل أي سفينتين على مسارين مستقيمين بسرعتين ثابتتين، دالة تربيعية في $t$ دائمًا — فيكون “أقرب نقطة اقتراب” دائمًا حساب رأس.
الاعتراض: يبدأ زورق دورية من المبدأ عند $t = 0$ بسرعة ثابتة $(a, b)$ ويجب أن يلتقي السفينة $P$ عند $t = 3$ بالضبط. احسب $(a, b)$ المطلوبة وسرعة زورق الدورية.

الجزء الثالث — الإحداثيات الذكية. اعمل في معلم التمرين 15.11: فيصير متوازي الأضلاع $ABCD$ هو $A(0,0)$ و $B(1,0)$ و $C(1,1)$ و $D(0,1)$ ؛ ولتكن $I$ منتصف $[AB]$ ولتكن $K$ منتصف $[CD]$ .

احسب معادلة ديكارتية للمستقيم $(DI)$ .
قاطع $(DI)$ مع القطر $(AC)$ : واستعد واقعة التمرين 15.11 — أي أن نقطة القطع تقع بالضبط على ثلث ارتفاع القطر.
والآن المستقيم $(BK)$ : أوجد معادلته، وقاطعه مع $(AC)$ ، واستنتج المبرهنة الكلاسيكية الكاملة: يقسم المستقيمان $(DI)$ و $(BK)$ القطر $(AC)$ ثلاثة أقسام متساوية.
لماذا كان مشروعًا برهان المبرهنة في هذا المعلم الخاص وحده؟ (ما الذي يحفظه اختيار الإحداثيات، وما الذي تتضمنه العبارة؟) أجب في جملتين أو ثلاث.
وتثليث آخر للتمرن: لتكن $E$ منتصف $[BC]$ . أين يقطع المستقيم $(AE)$ القطر الآخر $(DB)$ ؟

الجزء الرابع — أحاجي المواضع.

هل المستقيمات الثلاثة $x + y = 4$ و $2x - y = 2$ و $x - 2y = -2$ متلاقية؟ (قاطع اثنين واختبر الثالث.)
من أجل كل عدد حقيقي $m$ ، ليكن $d_m$ المستقيم $mx - y + 2 - 3m = 0$ . بيّن أن كل $d_m$ يمر بنقطة ثابتة واحدة. (اجمع الحدود التي فيها $m$ .)
في العائلة $(d_m)$ : أي عضو يوازي $y = 2x + 7$ ؟ وأيها يمر بالمبدأ؟
الخاتمة — أثواب المستقيم الثلاثة: الديكارتي (اختبارات الانتماء بتعويض واحد)، والمختزل (الميل والمنحنى بنظرة)، والوسيطي (الحركة، والتوقيت، والاعتراض)؛ والمحدد عرّافًا للتوازي؛ والمعلم المختار جيدًا مصنعًا للمبرهنات. جملة واحدة لكل بند.

حل

حل المسألة 15.1.

1. $x = 1 + 3t$ و $y = 2 - t$ . ومن الثانية، $t = 2 - y$ ؛ وبالتعويض: $x = 1 + 3(2 - y) = 7 - 3y$ : فالمعادلة الديكارتية $x + 3y - 7 = 0$ .

2. من أجل $ax + by + c = 0$ ، متجهة التوجيه هي $(-b, a)$ : أي هنا $(5, 2)$ . ونقطة: يعطي $y = 1$ أن $x = 1$ : أي $(1, 1)$ . والتمثيل الوسيطي: $x = 1 + 5t$ و $y = 1 + 2t$ .

3. من $x = 7 - 3y$ في $2x - 5y + 3 = 0$ : $14 - 6y - 5y + 3 = 0$ ، إذن $y = \frac{17}{11}$ و $x = 7 - \frac{51}{11} = \frac{26}{11}$ : أي النقطة $\left(\frac{26}{11}, \frac{17}{11}\right)$ .

4. التوجيهان $(5, 2)$ و $(3, -1)$ : $\det = 5 \times (-1) - 2 \times 3 = -11 \neq 0$ : إذن متقاطعان، كما وجدنا. وفي الزوج الثاني: التوجيهان $(5, 2)$ و $(10, 4)$ لهما $\det = 0$ (فهما متوازيان)، وبمضاعفة $2x - 5y + 3 = 0$ نجد $-4x + 10y - 6 = 0 \neq -4x + 10y + 1 = 0$ : إذن متوازيان تمامًا.

5. $\vect{AB}(3, 2)$ و $\vect{AC}(9, 6)$ : $\det = 18 - 18 = 0$ : إذن على استقامة واحدة.

6. السفينة $P$ : من $x = 2t$ و $y = 3 + t$ : $y = 3 + \frac x2$ . والسفينة $Q$ : من $x = 10 - t$ نجد $t = 10 - x$ ، إذن $y = 2(10 - x) - 1 = 19 - 2x$ . والتقاطع: $3 + \frac x2 = 19 - 2x$ يعطي $x = 6.4$ و $y = 6.2$ : إذن يتقاطع المساران في $(6.4,\ 6.2)$ .

7. تمر $P$ هناك عندما $2t = 6.4$ : أي $t = 3.2$ سا. وتمر $Q$ عندما $10 - t = 6.4$ : أي $t = 3.6$ سا. أي بفارق أربع وعشرين دقيقة: فلا تصادم. والتحذير: تُظهر الخريطة المسارات؛ ولا تقول سوى الساعات الوسيطية هل تشغل حركتان النقطة نفسها في اللحظة نفسها.

8. $D^2(t) = (3t - 10)^2 + (4 - t)^2 = 10t^2 - 68t + 116$ : والرأس عند $t = \frac{68}{20} = 3.4$ سا، حيث $D^2 = 0.4$ : فأقرب اقتراب $D = \sqrt{0.4} \approx 0.63$ ميل عند $t = 3.4$ .

9. إذن مُنتهك: $0.63 < 1$ . وتُقرأ $D^2(t) < 1$ $10t^2 - 68t + 115 < 0$ : $\Delta = 4624 - 4600 = 24$ ، وجذراها $\frac{68 \pm \sqrt{24}}{20} = 3.4 \pm 0.245$ : فالسفينتان قريبتان أكثر من اللازم من $t \approx 3.16$ إلى $t \approx 3.64$ — أي نحو $29$ دقيقة من المخالفة. وعلى إحداهما أن تغيّر مسارها.

10. كل إحداثي لكل سفينة دالة تآلفية في $t$ ، إذن كل فرق بين إحداثيين تآلفي، و $D^2$ — وهو مجموع مربعَي دالتين تآلفيتين — مقدار تربيعي (معامل حده الأعلى غير سالب). فأقرب اقتراب يُقرأ دائمًا على رأس.

11. لقاء $P$ عند $t = 3$ ، أي عند $(6, 6)$ : يعطي $(3a, 3b) = (6, 6)$ أن $(a, b) = (2, 2)$ ، والسرعة $\sqrt{8} \approx 2.8$ عقدة.

12. $D(0, 1)$ و $I\left(\frac12, 0\right)$ : التوجيه $\left(\frac12, -1\right)$ ، أي $(1, -2)$ : فالمعادلة $2x + y = 1$ .

13. المستقيم $(AC)$ : $y = x$ . عندئذٍ $2x + x = 1$ : أي $x = \frac13$ : فالنقطة $\left(\frac13, \frac13\right)$ ، على ثلث الطريق من $A$ إلى $C$ .

14. $B(1, 0)$ و $K\left(\frac12, 1\right)$ : التوجيه $\left(-\frac12, 1\right)$ ، والمعادلة $2x + y = 2$ . ومع $y = x$ : $x = \frac23$ : فالنقطة $\left(\frac23, \frac23\right)$ . إذن يقطع المستقيمان القطر $(AC)$ عند نقطتي تثليثه: وقد بُرهن على المبرهنة، بثلاثة أسطر من الحساب مرتين.

15. يُحمل أي متوازي أضلاع على مربع الوحدة باختيار $A$ مبدأً و $\vect{AB}$ و $\vect{AD}$ وحدتين للمحورين. ويحفظ هذا الاختيار كل ما تتحدث عنه المبرهنة — المنتصفات، والاستقامة، والنسب على مستقيم معطى (وكلها قابلة للتعبير بالمتجهات والسلّميات) — فبرهان العبارة في المربع يبرهن عليها من أجل كل متوازي أضلاع. (أما الأطوال والزوايا فلا تُنقل: فالمعلم يشوّهها.)

16. $E\left(1, \frac12\right)$ : والمستقيم $(AE)$ : $y = \frac x2$ . والقطر $(DB)$ : من $(0,1)$ إلى $(1,0)$ : $y = 1 - x$ . والتقاطع: $\frac x2 = 1 - x$ : أي $x = \frac23$ : فالنقطة $\left(\frac23, \frac13\right)$ — وهي مرة أخرى نقطة تثليث، لكن للقطر الآخر. فمستقيمات المنتصفات تعشق الأثلاث.

17. الأولان: يعطي $x + y = 4$ و $2x - y = 2$ أن $3x = 6$ : أي $(2, 2)$ . والثالث: $2 - 4 = -2$ : متحقق. إذن متلاقية في $(2, 2)$ .

18. $mx - y + 2 - 3m = m(x - 3) + (2 - y) = 0$ : ولكي تتحقق المعادلة من أجل كل $m$ ، خذ $x = 3$ و $y = 2$ — وفعلًا يحوي كل $d_m$ النقطة $(3, 2)$ . إنها حزمة مستقيمات مارة بنقطة واحدة، مستقيم لكل ميل $m$ .

19. الموازي للمستقيم $y = 2x + 7$ : الميل $m = 2$ ، فالمستقيم $2x - y - 4 = 0$ . والمار بالمبدأ: $2 - 3m = 0$ : أي $m = \frac23$ .

20. الديكارتي: عوّض نقطة، فتُجاب مسألة الانتماء. والمختزل: الميل والترتيب عند المبدأ ظاهران، والمنحنى فوري. والوسيطي: الساعة مدمجة فيه — فالتصادمات، وأقرب اقتراب، والاعتراض. والمحدد: ضربان متقاطعان، ويُحسم التوازي. والمعلم المختار: يصير متوازي الأضلاع مربع وحدة، وتصير مبرهنة تثليث كلاسيكية ثلاثة تقاطعات مستقيمات.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد