1الأعداد ومجموعات الأعداد

حل المسألة 1.1.

1. $-7 \in \Z$؛ $\frac{13}{4} \in \Q$؛ $\sqrt{16} = 4 \in \N$؛ $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق)؛ $\sqrt8 = 2\sqrt2$ عدد أصمّ: أصغر مجموعة تحتويه $\R$؛ $\pi$: $\R$.

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ و $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$: خارجا قسمة عددين صحيحين بمقام غير معدوم — إذن ناطقان.

3. (أ) لو كان $r$ ناطقًا و $x$ أصمّ و $r + x = q$ ناطقًا، لكان $x = q - r$ فرقًا بين عددين ناطقين، أي ناطقًا (السؤال 2): تناقض. (ب) إذا كان $r \neq 0$ و $r x = q$ ناطقًا، فإن $x = \frac qr$ ناطق: تناقض.

4. العددان $\sqrt2$ و $-\sqrt2$ أصمّان ومجموعهما $0$؛ والعددان $\sqrt2$ و $\sqrt2$ جداؤهما $2$. نتائج ناطقة من مكوّنات صمّاء: فالأعداد الصمّاء لا تشكّل مملكة مستقرة.

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$، إذن $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$: أصمّ (السؤال 3ب، بمعامل $3$). و$\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$: جداء عددين أصمّين يحطّ في أصغر الممالك جميعًا.

6. $3.475$، ثم $3.471$ (أو $3.4701$ أو $3.47001$ …): إلحاق أرقام عشرية ينتج أعدادًا ناطقة جديدة بين العددين بلا نهاية.

7. تسير مضاعفات $10^{-n}$ على المستقيم بخطوة مقدارها $10^{-n} < g$. وأول مضاعف أكبر تمامًا من $a$ — وهو موجود، لأن المضاعفات تتجاوز $a$ في النهاية — يقع على بعد خطوة واحدة على الأكثر من $a$، أي قبل $a + g = b$: فهو محصور تمامًا بين $a$ و $b$. ونقطة الشبكة عدد عشري، أي عدد ناطق: فكل فترة ذات طول موجب تحوي عددًا ناطقًا.

8. بين $a$ والعدد الناطق $r_1$ الموجود في السؤال 7 يوجد (بالسؤال 7 مرة أخرى) عدد ناطق $r_2$؛ وبين $a$ و $r_2$ عدد ناطق $r_3$؛ وهكذا: عدد لا نهائي منها، كلها مختلفة، وكلها في الفترة الأصلية.

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ مجموع عدد ناطق وعدد أصمّ (فالعدد $\frac{\sqrt2}{10^k}$ أصمّ حسب السؤال 3ب)، إذن هو أصمّ. وبما أن $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ ينكمش تحت أي حد، فإنه من أجل $k$ كبير بما يكفي يبقى $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ قبل $b$: أي عدد أصمّ داخل الفترة — وبتغيير $k$ نحصل على عدد لا نهائي منها.

10. لا يوجد أصغر عدد حقيقي موجب: لو كان $s > 0$ هو ذاك، لاحتوت الفترة $(0, s)$ عددًا ناطقًا رغم ذلك (السؤال 7)، موجبًا وأصغر من $s$. ولا يوجد عدد يأتي مباشرة بعد $3$: فأي مرشح $c > 3$ يترك الفترة $(3, c)$، وهي ليست خالية — إنها لعبة مسألة نهاية الأسبوع عن انعدام العدد التالي في الكتاب السابق، وقد صارت مبرهنة عن $\R$.

11. $\abs{x - 5} = 2$: $x = 3$ أو $x = 7$. $\abs{x - 5} < 2$: $x \in \intoo{3}{7}$. $\abs{x + 1} \geq 3$: المسافة إلى $-1$ لا تقل عن $3$: $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$.

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$، أي $d \in \intcc{79.95}{80.05}$. المكبس ذو القياس $79.97$ يُقبل؛ أما ذو القياس $80.06$ فيُرفض بفارق جزء من مئة من المليمتر.

13. في حالة $(3, -5)$: $\abs{-2} = 2 \leq 8$. وفي حالة $(-2, -7)$: $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$: مساواة. عند تساوي الإشارتين: $\abs{a + b}$ هو مجموع المسافتين، ويساوي $\abs a + \abs b$. وعند اختلاف الإشارتين: يرتدّ المسار على نفسه، فيكون $\abs{a + b}$ فرق المسافتين، وهو أصغر تمامًا من مجموعهما (إلا إذا كانت إحداهما $0$). وتتحقق المساواة بالضبط حين يكون $a$ و $b$ من الإشارة نفسها أو حين يكون أحدهما معدومًا.

14. الحلول هي النقط المتساوية البعد عن $2$ وعن $-4$: أي المنتصف، $x = -1$. إنه محور القطعة في مسألة نهاية الأسبوع عن المرآتين في الكتاب السابق، منهارًا إلى بعد واحد: نقطة وحيدة.

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$، لا $x$: فمن أجل $x = -3$ يكون $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$. عندئذٍ تُقرأ $x^2 < 9$ $\sqrt{x^2} < 3$، أي $\abs x < 3$: $x \in \intoo{-3}{3}$.

16. لا يؤكد القياس سوى أن الطول يقع في الفترة $\intcc{1.41420}{1.41422}$ — وبالسؤالين 7 و 9 تحوي تلك الفترة عددًا لا نهائيًا من الأعداد الناطقة وعددًا لا نهائيًا من الصمّاء. والأمر نفسه يصح مع كل سماحية مقبلة، مهما صغرت. فما من قياس يستطيع أن يفصل بين العائلتين؛ ولا يحسم ذلك إلا برهان عن الطول بالضبط — كالبرهان الخاص بقطر مربع الوحدة (مسألة نهاية الأسبوع عن الصمم في الكتاب السابق).

17. إنها تقترب من $\sqrt2$ بأخطاء أصغر من $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$: فالأعداد الناطقة تلتصق بالعدد $\sqrt2$ في كل سلّم. والواقعة العامة: كل عدد حقيقي تقترب منه الأعداد الناطقة (بتوره العشرية) بأي قدر مطلوب — إنها الكثافة مرة أخرى، منظورًا إليها من جهة الهدف.

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$: ارتياب $\pm 0.2$؛ تُجمع الأخطاء. $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$: ارتياب مقداره نحو $\pm 0.37$ حول $3$ — فالأخطاء النسبية تتجمع في الجداءات، ولذلك تتدهور الدقة أسرع.

19. اكتب القيمتين الحقيقيتين $a = 2.5 + e_1$ و $b = 1.2 + e_2$ حيث $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$. عندئذٍ يكون خطأ المجموع $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$: فقاعدة المهندس هي متراجحة المثلث في السؤال 13.

20. مستقيم الأعداد بلا ثقوب وبلا جيران: فبعد أي عدد، لا يوجد عدد “تالٍ” (السؤال 10). وتنقسم نقطه إلى أعداد ناطقة — وهي بالضبط الأعداد العشرية المتوقفة أو الدورية (مسألة نهاية الأسبوع عن العشريات الدورية في الكتاب السابق) — وأعداد صمّاء، والعائلتان متشابكتان تشابكًا وثيقًا إلى حدّ أن كل فترة تحوي عددًا لا نهائيًا من كل منهما (السؤالان 8 و 9)، ولذلك لا يستطيع أي قياس، بل البرهان وحده، أن يميّز بينهما (السؤال 16). وتبقى المفاجأة الأخيرة وعدًا مؤجلًا: الأعداد الصمّاء أكثر عددًا من الناطقة — لا بالعدّ واحدًا واحدًا، بل بالمعنى الدقيق لمقارنة اللانهايات، وهي نظرية تُبنى في الكتب الجامعية.