رياضيات المرحلة الثانوية · الصفوف 10–12

25التكامل

يجيب التكامل عن سؤالين في آن واحد: ما المساحة تحت منحنى، وكيف يمكن استعادة دالة من معدل تغيرها؟ وتنص المبرهنة الأساسية في التحليل على أنهما السؤال نفسه — وهو أعمق اكتشافات رياضيات القرن السابع عشر وأنفعها.

25.1 تكامل دالة متصلة

تعريف 25.1 (تكامل دالة موجبة)

لتكن $f$ متصلة وموجبة على $\intcc{a}{b}$ . فإن التكامل

\int_a^b f(x)\,\dd x

هو مساحة المنطقة المحدودة بمنحنى $f$ ، وبالمحور $x$ ، وبالمستقيمين الشاقوليين $x = a$ و $x = b$ ، مقيسةً بوحدات المساحة.

وأما من أجل دالة ذات إشارة كيفية، فتُعدّ المساحات الواقعة تحت المحور $x$ سالبةً؛ ونضع $\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x$ .

المساحات ذات الإشارة: ∈t_02π x\, x = 0، إذ تلغي المنطقة الواقعة تحت المحور (بالأحمر) المنطقة الواقعة فوقه (بالأزرق). — المساحات ذات الإشارة: $\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0$ ، إذ تلغي المنطقة الواقعة تحت المحور (بالأحمر) المنطقة الواقعة فوقه (بالأزرق).

قضية 25.2 (خواص التكامل)

لتكن $f, g$ متصلتين على فترة تحوي $a, b, c$ ، وليكن $\lambda \in \R$ .

الخطية: $\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g$ .
علاقة شال: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ .
الموجبية: إذا كان $a \leq b$ و $f \geq 0$ على $\intcc{a}{b}$ ، فإن $\displaystyle\int_a^b f \geq 0$ ؛ وإذا كان $f \leq g$ ، فإن $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

برهان. علاقة شال والموجبية مباشرتان من تفسير المساحة (فالمساحات تُجمع عند تجاور المناطق؛ ومنطقة ارتفاعها موجب مساحتها موجبة). وتنتج المقارنة بتطبيق الموجبية على $g - f$ . وأما الخطية، فواضحة حدسيًا من أجل مجموع دالتين موجبتين (كدّس المساحات)، ويُبرهن عليها بصرامة في الجامعة؛ وهي مقبولة هنا. ∎

25.2 المبرهنة الأساسية في التحليل

تعريف 25.3 (الدالة الأصلية)

الدالة الأصلية للدالة $f$ على فترة $I$ هي دالة $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ بحيث $F' = f$ .

قضية 25.4

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على فترة $I$ ، فإن الدوال الأصلية للدالة $f$ على $I$ هي بالضبط الدوال $F + c$ ، حيث $c \in \R$ . وإذا أُعطي $x_0 \in I$ و $y_0 \in \R$ ، فتوجد دالة أصلية وحيدة حيث $F(x_0) = y_0$ .

برهان. إذا كان $G' = F' = f$ ، فإن $(G - F)' = 0$ على الفترة $I$ ، إذن $G - F$ ثابتة.¹ وبالعكس، كل دالة $F + c$ دالة أصلية. والشرط $F(x_0) = y_0$ يثبّت الثابت. ∎

مبرهنة 25.5 (المبرهنة الأساسية في التحليل)

لتكن $f$ متصلة على فترة $I$ وليكن $a \in I$ . فالدالة

F \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

هي الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ المنعدمة عند $a$ . ومنه، من أجل أي دالة أصلية $G$ للدالة $f$ ومن أجل $a, b \in I$ :

\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).

فكرة البرهان: الزيادة F(x+h) - F(x) هي مساحة الشريط الضيق (بالبرتقالي)، محصورةً بين المستطيلين اللذين ارتفاعاهما f(x) و f(x+h) على قاعدة طولها h. — فكرة البرهان: الزيادة $F(x+h) - F(x)$ هي مساحة الشريط الضيق (بالبرتقالي)، محصورةً بين المستطيلين اللذين ارتفاعاهما $f(x)$ و $f(x+h)$ على قاعدة طولها $h$ .

البرهان عندما تكون $f$ متزايدة. ثبّت $x \in I$ و $h > 0$ حيث $x + h \in I$ . وحسب علاقة شال،

F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

وبما أن $f$ متزايدة، فإن $f(x) \leq f(t) \leq f(x+h)$ من أجل $t \in \intcc{x}{x+h}$ ، وبمقارنة التكاملات (فتكامل الثابت $c$ على فترة طولها $h$ هو $ch$ ):

h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

إذن

f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

ولما $h \to 0^+$ ، يكون $f(x+h) \to f(x)$ بالاتصال، وتعطي مبرهنة الحصر أن معدل التغير يؤول إلى $f(x)$ ؛ والحالة $h < 0$ متناظرة. ومنه $F' = f$ و $F(a) = 0$ . وأما الحالة المتصلة العامة (غير الرتيبة) فيُبرهن عليها في الجامعة.

وأخيرًا، إذا كانت $G$ أي دالة أصلية، فإن $G = F + c$ (القضية 25.4)، إذن $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$ . ∎

مثال 25.6

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : فالمساحة تحت القطع المكافئ هي ثلث مربع الوحدة، كما عرف أرخميدس.

ويُقرأ جدول الدوال الأصلية من جدول المشتقات (حيث ترمز $u$ إلى دالة قابلة للاشتقاق و $c$ إلى ثابت كيفي):

$f(x)$	الدالة الأصلية	$f$	الدالة الأصلية
$x^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$	$u'u^n \ (n \neq -1)$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c$
$\dfrac1x \ (x > 0)$	$\ln x + c$	$\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)$	$\ln u + c$
$\eu^x$	$\eu^x + c$	$u'\eu^u$	$\eu^u + c$
$\cos x$	$\sin x + c$	$\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)$	$2\sqrt u + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$

طريقة 25.7 (التعرف على الصورة $u' \times (\text{عبارة في } u)$ )

لتكامل جداء، ابحث عن عامل يكون مشتقة دالة داخلية $u$ ، إلى غاية ثابت ضربي. فمثلًا في $\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ ، يكون العامل $x$ هو $\frac12 (x^2)'$ :

\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

مبرهنة 25.8 (التكامل بالتجزئة)

لتكن $u, v$ قابلتين للاشتقاق على $\intcc{a}{b}$ ومشتقتاهما متصلتان. عندئذٍ

\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

برهان. تعطي قاعدة الجداء $(uv)' = u'v + uv'$ ؛ وبتكامل الطرفين على $\intcc{a}{b}$ واستعمال المبرهنة الأساسية من أجل الطرف الأيسر نجد $\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . ∎

مثال 25.9

$\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t$ : خذ $u' = \eu^t$ و $v = t$ ، فيكون $u = \eu^t$ و $v' = 1$ :

\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 تطبيقات

تعريف 25.10 (القيمة المتوسطة)

القيمة المتوسطة لدالة متصلة $f$ على $\intcc{a}{b}$ (حيث $a<b$ ) هي

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

قضية 25.11

إذا كان $m \leq f \leq M$ على $\intcc{a}{b}$ ، فإن $m \leq \mu \leq M$ .

برهان. كامل المتراجحتين $m \leq f(t) \leq M$ على $\intcc{a}{b}$ ثم اقسم على $b - a > 0$ . ∎

طريقة 25.12 (المساحة بين منحنيين)

إذا كان $f \geq g$ على $\intcc{a}{b}$ ، فالمساحة بين المنحنيين هي $\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x$ . وإذا تقاطع المنحنيان، فقسّم الفترة عند نقط التقاطع وكامل $\abs{f - g}$ قطعة قطعة.

المساحة بين المستقيم y = x + 1 (بالأحمر) والقطع المكافئ y = x2 - 1 (بالأزرق) هي ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2. — المساحة بين المستقيم $y = x + 1$ (بالأحمر) والقطع المكافئ $y = x^2 - 1$ (بالأزرق) هي $\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92$ .

25.4 تمارين

تمرين 25.1 ★

احسب

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .

حل

حل التمرين 25.1.

\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.

\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

ومع $u = 2t+1$ ، $\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u}$ :

\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

تمرين 25.2 ★

أوجد الدالة الأصلية $F$ للدالة $f(x) = x\eu^{x^2}$ على $\R$ حيث $F(0) = 1$ .

حل

حل التمرين 25.2.

للدالة $x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2}$ الدوال الأصلية $\frac12\eu^{x^2} + c$ . والشرط $F(0) = 1$ يعطي $\frac12 + c = 1$ ، إذن

F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

تمرين 25.3 ★

احسب القيمة المتوسطة للدالة $f(t) = \sin t$ على $\intcc{0}{\pi}$ ، وفسّر النتيجة على رسم بياني.

حل

حل التمرين 25.3.

\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

وبيانيًا، للمستطيل ذي القاعدة $\intcc{0}{\pi}$ والارتفاع $\frac{2}{\pi}$ المساحة نفسها التي لقوس منحنى الجيب.

تمرين 25.4 ★★

باستعمال التكامل بالتجزئة، احسب

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{و}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .

حل

حل التمرين 25.4.

خذ $u' = 1$ و $v = \ln t$ ، فيكون $u = t$ و $v' = \frac1t$ :

\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

وخذ $u' = \sin t$ و $v = t$ ، فيكون $u = -\cos t$ و $v' = 1$ :

\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

تمرين 25.5 ★★

احسب مساحة المنطقة المحصورة بين القطع المكافئ $y = x^2$ والمستقيم $y = x + 2$ .

حل

حل التمرين 25.5.

يتقاطع المنحنيان حيث $x^2 = x + 2$ ، أي $x \in \{-1, 2\}$ ، و على $\intcc{-1}{2}$ يقع المستقيم فوق القطع المكافئ. والمساحة هي

\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

تمرين 25.6 ★★

ليكن $I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t}$ .

احسب $I$ .
من أجل $n \in \N$ ، ليكن $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ . بيّن أن $I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ ، وأن $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$ .
استنتج أن $1 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2$ .

حل

حل التمرين 25.6.

1. $I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2$ .

I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

وعلى $\intcc{0}{1}$ ، $0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n$ ، إذن بالمقارنة $0 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}$ .

3. ومن العلاقة التراجعية، بتراجع تلسكوبي،

I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

أي $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n$ (وتذكّر أن $I_0 = \ln 2$ ). وبما أن $\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0$ ، فإن المجموع التوافقي المتناوب يؤول إلى $\ln 2$ .

تمرين 25.7 ★★

تُنمذَج سرعة قطار (بوحدة m/s) خلال الثواني $100$ الأولى بعد الانطلاق بالعلاقة $v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr)$ . احسب المسافة المقطوعة خلال هذه الثواني $100$ ، والسرعة المتوسطة للقطار على الفترة.

حل

حل التمرين 25.7.

المسافة:

d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

وعدديًا $d \approx 1500 + 203 = 1703$ m. والسرعة المتوسطة: $\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0$ m/s.

تمرين 25.8 ★★★

من أجل $n \geq 1$ ، ليكن $S_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n}$ .

فسّر $S_n$ على أنه مساحة مستطيلات تقرّب منطقة تحت منحنى $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ على $\intcc{0}{1}$ .
باستعمال رتابة $t \mapsto \frac{1}{1+t}$ ، بيّن أن

$S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),$

ثم استنتج $\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2$ .

حل

حل التمرين 25.8.

1. $S_n$ هو المساحة الكلية لعدد $n$ من المستطيلات عرض كل منها $\frac1n$ و ارتفاعاتها $f\left(\frac kn\right)$ و $k = 1, \dots, n$ ، حيث $f(t) = \frac{1}{1+t}$ : أي إنه تقريب المساحة تحت $f$ على $\intcc{0}{1}$ بمستطيلات “الطرف الأيمن”.

2. الدالة $f$ متناقصة، إذن على كل فترة $\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn}$ ، $f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ؛ وبالتكامل والجمع على $k$ :

S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(والحد الأوسط في عبارة التمرين، مع $f(0) - f(1) = 1 - \frac12$ ، هو بالضبط هذه الحاصرة.) ومنه $0 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0$ ، إذن $S_n \to \ln 2$ .

تمرين 25.9 ★★★

(تكاملات واليس.) من أجل $n \in \N$ ، ليكن $W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$ .

احسب $W_0$ و $W_1$ .
بكتابة $\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t$ والتكامل بالتجزئة، بيّن أن $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n$ .
استنتج $W_2$ و $W_3$ و $W_4$ وبيّن أن $(W_n)$ متناقصة و موجبة.

حل

حل التمرين 25.9.

1. $W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2}$ و $W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. كامل بالتجزئة مع $u' = \sin t$ و $v = \sin^{n+1} t$ ، فيكون $u = -\cos t$ و $v' = (n+1)\sin^n t \cos t$ :

W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

إذ ينعدم القوس عند الطرفين معًا. ومنه $W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2})$ ، أي $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$ .

3. $W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}$ ، و $W_3 = \frac23 W_1 = \frac23$ ، و $W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}$ . وعلى $\intoo{0}{\frac\pi2}$ ، يكون $0 < \sin t < 1$ ، إذن $\sin^{n+1} t \leq \sin^n t$ مع متراجحة تامة في الداخل؛ وبالتكامل، $0 < W_{n+1} \leq W_n$ (وهي $<$ في الواقع): إذن $(W_n)$ متناقصة و موجبة.

25.5 مسألة: أرخميدس في مواجهة الآلة

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — المساحة تحت القطع المكافئ، محسوبةً بثلاث طرائق عبر اثنين وعشرين قرنًا، و هوية اللوغاريتم السرية بوصفه مساحة

نحو سنة 240 قبل الميلاد، حسب أرخميدس المساحة المضبوطة لقطعة من قطع مكافئ — بلا إحداثيات، وبلا نهايات، وبلا جبر. وبعد تسعة عشر قرنًا، أعادت مستطيلات ريمان الحساب بالحصر الغاشم؛ وأما المبرهنة الأساسية في التحليل (المبرهنة 25.5) فتفعله الآن في سطر واحد. وتلعب هذه المسألة المباريات الثلاث كلها، ثم تستعمل الآلة نفسها لتكشف ما هو اللوغاريتم حقًا: مساحة ذات تناظر سلّمي.

الجزء الأول — التمكّن.

احسب $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x$ ، $\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}$ ، و $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x$ .
تعرّف على الصور من نمط $u'u$ (الطريقة 25.7): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x$ و $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x$ .
بالتجزئة (المبرهنة 25.8): $\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x$ و $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x$ .
احسب القيمة المتوسطة (التعريف 25.10) للدالة $\sin$ على $\intcc{0}{\pi}$ — ولاحظ أنها ليست $\frac12$ .
احسب المساحة بين المستقيم $y = x$ والقطع المكافئ $y = x^2$ على $\intcc{0}{1}$ (الطريقة 25.12).

الجزء الثاني — القطع المكافئ بثلاث طرائق.

إعداد ريمان من أجل المساحة تحت $y = x^2$ على $\intcc{0}{1}$ : اكتب المجموع الأدنى $L_n$ والمجموع الأعلى $U_n$ على $n$ مستطيلًا متساويًا (كما في التمرين 25.8).
برهن بالتراجع (بآلة المسألة 20.1) على صيغة مجموع المربعات

$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .$
استنتج صورتين مغلقتين للمقدارين $U_n$ و $L_n$ ، واحسب نهايتهما المشتركة، ثم اختم: المساحة هي $\frac13$ .
والآن الآلة: احسب $\int_0^1 x^2\,\dd x$ بالمبرهنة الأساسية، في سطر واحد. وقارن بين الجهدين.
وقد صاغها أرخميدس على نحو آخر: القطعة من قطع مكافئ تساوي $\frac43$ من المثلث المرسوم داخلها. ومن أجل القطعة المقتطعة من $y = x^2$ بالوتر الواصل بين $(-1, 1)$ و $(1, 1)$ : احسب مساحة القطعة بتكامل، ومساحة المثلث المرسوم داخلها (ورأسه عند الرأس $(0, 0)$ )، وتحقق من نسبة المعلّم.
منهج أرخميدس نفسه: املأ القطعة بالمثلث الكبير $T$ ، ثم بمثلثين مجموعهما $\frac T4$ ، ثم بأربعة مجموعها $\frac{T}{16}$ ، وهكذا دواليك. اجمع المتسلسلة الهندسية واستعد $\frac43 T$ — إنه لوح الشوكولاتة المقضوم بلا انتهاء في الكتاب السابق، وقد أكله مهندس يوناني.
جملة واحدة لكل بند: الاستنفاد (أرخميدس)، والحصر (ريمان)، والاشتقاق العكسي (نيوتن–لايبنتز) — ماذا يحتاج كل منها، وماذا يعطي؟

الجزء الثالث — اللوغاريتم مساحة. من أجل $x > 0$ ، ضع $A(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t}$ .

أعطِ $A(1)$ و $A'(x)$ (المبرهنة 25.5)، واستنتج أن $A$ هي بالضبط اللوغاريتم النيبيري في التعريف 23.5.
المعجزة السلّمية: ثبّت $a > 0$ وادرس $g(x) = A(ax) - A(x)$ . احسب $g'$ (بقاعدة السلسلة)، واستنتج أن $g$ ثابتة، وقدّر الثابت — ثم اختم بالمعادلة الدالية

$\ln(ab) = \ln a + \ln b ,$

مبرهَنًا عليها بالتحليل الخالص: فالمساحة من $1$ إلى $ab$ تنقسم إلى نسخ مكبَّرة.
استنتج من السؤال 14: $\ln(a^n) = n\ln a$ و $\ln\frac1a = -\ln a$ .
يقرأ التمرين 25.8 المقدار $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ على أنه مستطيلات تحت $\frac{1}{1 + t}$ : احسب هذا المجموع من أجل $n = 10$ (بثلاثة أرقام عشرية) وقارنه بالمقدار $\ln 2$ . فأي مجاميع ذات نكهة توافقية، متباعدة حدًا بعد حد، تتقارب هنا إلى مساحة؟

الجزء الرابع — التراكم.

سيارة تتسارع بسرعة $v(t) = 3t^2$ m/s من أجل $t \in \intcc{0}{10}$ . احسب المسافة المقطوعة، والسرعة المتوسطة، واللحظة التي تساوي عندها السرعة اللحظية السرعة المتوسطة.
قضيب طوله $4$ أمتار كثافته الطولية $\rho(x) = 2 + x$ kg/m. احسب كتلته الكلية و مركز كتلته $\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x}$ — وهو نقطة توازن مثلث الورق المقوّى في الكتاب السابق، محسوبةً أخيرًا بأوزان متغيرة.
تكاملات واليس (التمرين 25.9): احسب $W_0$ و $W_1$ و $W_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t$ باستعمال تخطيط المسألة 24.1. (وسلّمها اللانهائي يتسلق، في الكتب الجامعية، إلى صيغة جدائية للعدد $\pi$ وإلى تعيير منحنى الجرس.)
الخاتمة — أوجه التكامل الثلاثة: مساحة بالتعريف، وتراكم في العالم (المسافة، والكتلة)، ودالة أصلية حسب المبرهنة الأساسية؛ وتاريخه في ثلاثة أسماء. واختم بلؤلؤة الفصل: أي زر يومي على الآلة الحاسبة هو سرًا المساحة تحت $\frac1t$ — وأي متطابقة برهنت عليها تلك المساحة؟

حل

حل المسألة 25.1.

1. $\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1$ ؛ $\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1$ ؛ $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1$ .

2. $\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}$ ؛ $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

3. $\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$ . و $\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1$ .

4. $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64$ : فالارتفاع المتوسط لقوس الجيب هو $\frac2\pi$ ، وهو أكبر من النصف بوضوح — إذ القوس سمين قرب قمته.

5. $\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16$ .

6. $L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2$ و $U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2$ : مستطيلات عرضها $\frac1n$ وارتفاعاتها مقروءة عند الطرف الأيسر (تحت المنحنى) أو الأيمن (فوقه).

7. صحيحة من أجل $n = 1$ ( $1 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}$ ). وإذا صحت من أجل $n$ ، فبإضافة $(n+1)^2$ :

\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

وهي الصيغة عند $n + 1$ : فالوراثة تامة، وقد تمّ المطلوب.

8. $U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13$ ، و $L_n = U_n - \frac1n \to \frac13$ : فبحصرها بين درجيها، تكون المساحة بالضبط $\frac13$ .

9. $\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13$ : سطر واحد. فالمبرهنة الأساسية تحوّل حصرًا لانهائيًا إلى تقدير واحد لدالة أصلية — ولهذا تُسمّى أساسية.

10. القطعة: $\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43$ . والمثلث الذي قاعدته الوتر (وطوله $2$ ، على الارتفاع $1$ ) ورأسه $(0,0)$ : مساحته $\frac12 \times 2 \times 1 = 1$ . والنسبة: $\frac43$ — وهي بالضبط مبرهنة أرخميدس، متحقَّقًا منها بالآلة التي لم يملكها.

11. $T\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T$ (متسلسلة هندسية أساسها $\frac14$ ): ومع $T = 1$ ، تكون مساحة القطعة $\frac43$ من جديد. وقد جمع أرخميدس المتسلسلة بحجة هندسية خالصة — بقضمات الربع من نمط لوح الشوكولاتة، قبل ألفي سنة من صيرورة النهايات كلمات.

12. يحتاج الاستنفاد إلى تشابه ذاتي هندسي بارع ويعطي مساحات مضبوطة حالة بحالة؛ ولا يحتاج ريمان إلا إلى الرتابة ويعطي تعريفًا كونيًا بثمن حساب المجاميع؛ وتحتاج المبرهنة الأساسية إلى صرح المشتقات كله وتردّه بجعل المساحات حسابات من سطر واحد.

13. $A(1) = 0$ و $A'(x) = \frac1x$ (بالمبرهنة الأساسية): فالدالة $A$ هي الدالة الأصلية للدالة $\frac1x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ المنعدمة عند $1$ — وهي بالضبط اللوغاريتم النيبيري.

14. $g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0$ : إذن $g$ ثابتة؛ وعند $x = 1$ : $g(1) = A(a) - A(1) = A(a)$ . ومنه $A(ax) = A(a) + A(x)$ من أجل كل $x$ ، ومع $x = b$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . فمساحة القطع الزائد لا تبالي بالسلّم الأفقي: فمطّ $t$ بالمعامل $a$ يسحق $\frac1t$ بالمعامل $a$ ، وتنجو المساحة — فجمع اللوغاريتمات تناظر سلّمي.

15. بالتكرار: $\ln(a^n) = n\ln a$ (بالتراجع على $n$ ). و $0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a$ : $\ln\frac1a = -\ln a$ .

16. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669$ ، في مواجهة $\ln 2 \approx 0.693$ : عشرة مستطيلات تحت $\frac{1}{1+t}$ ، قريبة أصلًا. فالمتسلسلة التوافقية متباعدة، لكن شرائحها من $n$ إلى $2n$ تستقر عند $\ln 2$ : تباعد بخطوة السلحفاة، مقيسًا بمساحة.

17. المسافة: $\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000$ m. والسرعة المتوسطة: $100$ m/s. واللحظة التي فيها $v = 100$ : $3t^2 = 100$ : $t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77$ s.

18. الكتلة: $\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16$ kg. والعزم: $\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}$ . ومركز الكتلة: $\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33$ m — مدفوعًا وراء المنتصف بالطرف الأيمن الأثقل، كما يقتضي الحدس.

19. $W_0 = \frac\pi2$ ؛ $W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1$ ؛ و $W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4$ .

20. المساحة: التعريف، محصورًا بالدرجات. والتراكم: المسافات من السرعات، والكتل من الكثافات — فالتكامل مجموع جارٍ. والدالة الأصلية: المبرهنة الأساسية، وهي طريق نيوتن ولايبنتز المختصر عبر صبر أرخميدس. واللؤلؤة: زر $\ln$ هو المساحة تحت $\frac1t$ ، وتناظر تلك المساحة السلّمي هو المتطابقة $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .

وكون دالة مشتقتها معدومة على فترة تكون ثابتة ينتج من المبرهنة 22.7: فهي متزايدة ومتناقصة معًا. ↩

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد