رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

4الدوال المرجعية

تظهر حفنة من الدوال البسيطة — التآلفية، والمربع، والمقلوب، والجذر التربيعي، والتكعيب — في كل مكان، وحدها أو مركّبة. ومعرفة منحنياتها وتغيراتها عن ظهر قلب تحوّل مسائل كثيرة إلى رسم سريع. يدرس هذا الفصل كلًّا منها على حدة ويبرهن على تغيراتها بتقنية المقارنة في الفصل 3.

4.1 الدوال التآلفية

تعريف 4.1 (الدالة التآلفية)

الدالة التآلفية هي دالة على الصورة

f(x) = mx + p,

حيث $m$ و $p$ عددان حقيقيان ثابتان. ومنحنيها مستقيم: العدد $m$ هو الميل والعدد $p$ هو الترتيب عند المبدأ (فالمستقيم يقطع المحور الشاقولي في $(0, p)$ ). وعندما $p = 0$ تكون الدالة خطية: فالكتابة $f(x) = mx$ تعبّر عن التناسب.

قضية 4.2 (الميل والتغيرات)

لتكن $f(x) = mx + p$ .

من أجل أي دخلين مختلفين $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (فالميل هو تغير الخرج لكل وحدة تغير في الدخل).
إذا كان $m > 0$ ، فإن $f$ متزايدة تمامًا على $\R$ ؛ وإذا كان $m < 0$ ، فهي متناقصة تمامًا؛ وإذا كان $m = 0$ ، فهي ثابتة.

برهان. 1. احسب $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ ، ثم اقسم على $v - u \neq 0$ .

2. إذا كان $u < v$ ، فإن $f(v) - f(u) = m(v-u)$ له إشارة $m$ ، لأن $v - u > 0$ : فإذا كان $m$ موجبًا كان $f(u) < f(v)$ (متزايدة)، وإذا كان $m$ سالبًا كان $f(u) > f(v)$ (متناقصة). ∎

دالتان تآلفيتان: متزايدة من أجل m = 1/2 > 0، ومتناقصة من أجل m = -1 < 0. والانتقال وحدة واحدة نحو اليمين يغيّر y بمقدار m. — دالتان تآلفيتان: متزايدة من أجل $m = \frac12 > 0$ ، ومتناقصة من أجل $m = -1 < 0$ . والانتقال وحدة واحدة نحو اليمين يغيّر $y$ بمقدار $m$ .

مثال 4.3

أوجد الدالة التآلفية التي يمر منحنيها بالنقطتين $A(1, 3)$ و $B(4, 9)$ . الميل هو

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

عندئذٍ $f(x) = 2x + p$ ، ويعطي $f(1) = 3$ أن $2 + p = 3$ ، إذن $p = 1$ : أي $f(x) = 2x + 1$ . تحقق بالنقطة $B$ : $f(4) = 9$ .

4.2 دالة المربع

قضية 4.4 (دالة المربع)

الدالة $f(x) = x^2$ ، المعرَّفة على $\R$ :

متناقصة تمامًا على $\intoc{-\infty}{0}$ ومتزايدة تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ ، وقيمتها الصغرى $0$ عند $x = 0$ ؛
تحقق $f(-x) = f(x)$ من أجل كل $x$ : ومنحنيها، وهو قطع مكافئ، متناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي.

برهان. 1. ليكن $0 \leq u < v$ . عندئذٍ

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

لأن $v - u > 0$ و $v + u > 0$ : إذن $f$ متزايدة تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ . وإذا كان $u < v \leq 0$ ، فإن $v - u > 0$ لكن $v + u < 0$ ، إذن $f(v) - f(u) < 0$ : متناقصة تمامًا. وأخيرًا $x^2 \geq 0 = f(0)$ من أجل كل $x$ .

2. لدينا $(-x)^2 = x^2$ ؛ إذن النقطتان $(x, x^2)$ و $(-x, x^2)$ ، وهما صورتان متناظرتان بالنسبة إلى المحور الشاقولي، تقعان معًا على المنحنى. ∎

ملاحظة 4.5 (المربعات والترتيب)

بما أن دالة المربع تتناقص على الجهة السالبة، فإن التربيع يقلب ترتيب الأعداد السالبة: $-3 < -2$ لكن $9 > 4$ . لا تربّع طرفي متراجحة أبدًا دون التحقق من الإشارات.

4.3 دالة المقلوب

قضية 4.6 (دالة المقلوب)

الدالة $f(x) = \dfrac1x$ ، المعرَّفة من أجل $x \neq 0$ :

متناقصة تمامًا على $\intoo{-\infty}{0}$ ومتناقصة تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$ ؛
تحقق $f(-x) = -f(x)$ : ومنحنيها، وهو قطع زائد، متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

برهان. 1. ليكن $0 < u < v$ . عندئذٍ

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

لأن $u - v < 0$ و $uv > 0$ : إذن متناقصة تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$ . وعلى $\intoo{-\infty}{0}$ يكون للخارج نفسه $u - v < 0$ و $uv > 0$ من جديد (جداء عددين سالبين)، إذن $f$ متناقصة هناك أيضًا.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ . ∎

ملاحظة 4.7

انتبه: الدالة $\frac1x$ ليست متناقصة على مجموعة تعريفها كلها. فمن $u = -1$ إلى $v = 1$ تقفز القيمة من $-1$ صعودًا إلى $1$ . ويجب دراسة الفرعين على حدة.

القطع المكافئ y = x2 (المتناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي) والقطع الزائد y = 1x (فرعان متناظران بالنسبة إلى المبدأ). — القطع المكافئ $y = x^2$ (المتناظر بالنسبة إلى المحور الشاقولي) والقطع الزائد $y = \frac1x$ (فرعان متناظران بالنسبة إلى المبدأ).

4.4 الجذر التربيعي والتكعيب

قضية 4.8 (دالة الجذر التربيعي)

الدالة $f(x) = \sqrt{x}$ ، المعرَّفة على $\intco{0}{+\infty}$ ، متزايدة تمامًا.

برهان. ليكن $0 \leq u < v$ . اضرب واقسم على المرافق:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

لأن $v - u > 0$ و $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (ولاحظ أن $v > 0$ ، إذن $\sqrt v > 0$ ). ∎

قضية 4.9 (دالة التكعيب)

الدالة $f(x) = x^3$ ، المعرَّفة على $\R$ ، متزايدة تمامًا، ومنحنيها متناظر بالنسبة إلى المبدأ.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

الجذر التربيعي (المعرَّف من أجل x ≥ 0 فقط) والتكعيب، وكلاهما متزايد. — الجذر التربيعي (المعرَّف من أجل $x \geq 0$ فقط) والتكعيب، وكلاهما متزايد.

قضية 4.10 (مقارنة $x$ و $x^2$ و $\sqrt x$ )

من أجل $0 < x < 1$ : $x^2 < x < \sqrt x$ . ومن أجل $x > 1$ : $\sqrt x < x < x^2$ . وعند $x = 0$ و $x = 1$ تتساوى القيم الثلاث.

برهان. لنفترض أن $0 < x < 1$ . بضرب $x < 1$ في $x > 0$ نجد $x^2 < x$ . ثم إن $x < \sqrt x$ : فبما أن الطرفين موجبان والتربيع متزايد على الأعداد الموجبة، فإن هذه المتراجحة تكافئ $x^2 < x$ ، وقد برهنّا عليها للتوّ. ومن أجل $x > 1$ ، يعطي ضرب $x > 1$ في $x$ أن $x^2 > x$ ، وتنتج $\sqrt x < x$ بحجة التربيع نفسها. ∎

تتقاطع المنحنيات الثلاثة في (0,0) و (1,1) ويتبادل ترتيبها هناك: فبين 0 و 1 يكون x2 الأصغر و √ x الأكبر؛ وبعد 1 ينقلب الترتيب. — تتقاطع المنحنيات الثلاثة في $(0,0)$ و $(1,1)$ ويتبادل ترتيبها هناك: فبين $0$ و $1$ يكون $x^2$ الأصغر و $\sqrt x$ الأكبر؛ وبعد $1$ ينقلب الترتيب.

طريقة 4.11 (مقارنة الصور)

لمقارنة $f(a)$ و $f(b)$ من أجل دالة مرجعية $f$ :

ضع $a$ و $b$ على فترة تُعرف عليها تغيرات $f$ ؛
إذا كانت $f$ متزايدة هناك، فالصور مرتبة كترتيب الدخلين؛ وإذا كانت متناقصة، انقلب الترتيب؛
وإذا لم يكن $a$ و $b$ في فترة الرتابة نفسها، فعالج الإشارات أولًا (مثلًا في حالة المربع: دخل سالب ودخل موجب).

مثال 4.12

قارن $\dfrac{1}{2.3}$ و $\dfrac{1}{2.4}$ : الدخلان كلاهما في $\intoo{0}{+\infty}$ ، حيث تتناقص دالة المقلوب، و $2.3 < 2.4$ ، إذن $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ . وقارن $(-1.2)^2$ و $(-1.5)^2$ : على $\intoc{-\infty}{0}$ يتناقص المربع، و $-1.5 < -1.2$ ، إذن $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — وفعلًا $2.25 > 1.44$ .

4.5 تمارين

تمرين 4.1 ★

أعطِ لكل دالة تآلفية ميلها وترتيبها عند المبدأ، وقل هل هي متزايدة أم متناقصة:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

حل

حل التمرين 4.1.

$f$ : الميل $3$ ، والترتيب عند المبدأ $-2$ ، متزايدة. $g$ : الميل $-\frac12$ ، والترتيب عند المبدأ $4$ ، متناقصة. $h$ : الميل $0$ ، والترتيب عند المبدأ $7$ ، ثابتة. $k$ : الميل $-1$ ، والترتيب عند المبدأ $0$ ، متناقصة (وخطية).

تمرين 4.2 ★

أوجد الدالة التآلفية التي يمر منحنيها بالنقطتين $(2, 1)$ و $(5, 10)$ ؛ ثم تلك التي يمر منحنيها بالنقطتين $(-1, 4)$ و $(3, -4)$ .

حل

حل التمرين 4.2.

بالنقطتين $(2,1)$ و $(5,10)$ : الميل $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ؛ ثم $1 = 3 \times 2 + p$ يعطي $p = -5$ : أي $f(x) = 3x - 5$ .

وبالنقطتين $(-1,4)$ و $(3,-4)$ : الميل $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ؛ ثم $4 = -2 \times (-1) + p$ يعطي $p = 2$ : أي $f(x) = -2x + 2$ .

تمرين 4.3 ★

قارن دون آلة حاسبة:

(3.1)^2 \text{ و } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ و } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ و } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ و } \sqrt{15}.

حل

حل التمرين 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : فالمربع متزايد على الأعداد الموجبة.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : فالمربع متناقص على الأعداد السالبة و $-2.8 < -2.7$ .

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : فالمقلوب متناقص على الأعداد الموجبة.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : فالجذر التربيعي متزايد.

تمرين 4.4 ★

مستعملًا منحنى دالة المربع، حل $x^2 = 16$ ، ثم $x^2 \leq 16$ ، ثم $x^2 > 9$ .

حل

حل التمرين 4.4.

$x^2 = 16$ : حلان، $x = 4$ و $x = -4$ (فالمستقيم الأفقي $y = 16$ يقطع القطع المكافئ مرتين).

$x^2 \leq 16$ : القطع المكافئ تحت المستقيم بين نقطتي التقاطع: $x \in \intcc{-4}{4}$ .

$x^2 > 9$ : القطع المكافئ فوق $y = 9$ تمامًا خارج $\intcc{-3}{3}$ : $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ .

تمرين 4.5 ★

ليكن $x \in \intoo{0}{1}$ . رتّب الأعداد $x$ و $x^2$ و $x^3$ و $\sqrt x$ من الأصغر إلى الأكبر، وتحقق من جوابك من أجل $x = 0.25$ .

حل

حل التمرين 4.5.

من أجل $0 < x < 1$ : يعطي ضرب $x < 1$ في $x$ مرارًا أن $x^3 < x^2 < x$ ، وتعطي القضية 4.10 أن $x < \sqrt x$ ، إذن

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

تحقق من أجل $x = 0.25$ : $x^3 = 0.015625$ و $x^2 = 0.0625$ و $x = 0.25$ و $\sqrt x = 0.5$ .

تمرين 4.6 ★★

حل بيانيًا ثم جبريًا: $\dfrac1x = 2$ ، ثم $\dfrac1x < 2$ من أجل $x > 0$ . وما الذي يتغير إذا سمحنا أيضًا بالقيم $x < 0$ ؟

حل

حل التمرين 4.6.

للمعادلة $\frac1x = 2$ حل وحيد $x = \frac12$ (فالقطع الزائد يلتقي المستقيم الأفقي $y = 2$ مرة واحدة، على الفرع الموجب).

ومن أجل $x > 0$ : $\frac1x < 2$ . وبالضرب في $x > 0$ : $1 < 2x$ ، إذن $x > \frac12$ : مجموعة الحلول $\intoo{\frac12}{+\infty}$ .

وإذا سُمح بالقيم $x < 0$ : فكل عدد سالب $x$ يحقق $\frac1x < 0 < 2$ ، إذن مجموعة الحلول الكاملة هي $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ .

تمرين 4.7 ★★

علمًا أن دالة المربع تتناقص على $\intoc{-\infty}{0}$ وتتزايد على $\intco{0}{+\infty}$ ، احصر $x^2$ عندما:

\text{(أ) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(ب) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(ج) } x \in \intcc{-2}{3}.

(وفي الحالة (ج) انتبه: فالقيمة الصغرى للمقدار $x^2$ ليست عند طرف.)

حل

حل التمرين 4.7.

(أ) على $\intcc{2}{5}$ ، كل الدخول موجبة والتربيع متزايد: $4 \leq x^2 \leq 25$ .

(ب) على $\intcc{-3}{-1}$ ، التربيع متناقص: فأكبر مربع يأتي من $-3$ : $1 \leq x^2 \leq 9$ .

(ج) على $\intcc{-2}{3}$ ، تحوي الفترة العدد $0$ ، حيث يبلغ المربع قيمته الصغرى $0$ ؛ والقيمة العظمى هي الأكبر بين $(-2)^2 = 4$ و $3^2 = 9$ . إذن $0 \leq x^2 \leq 9$ .

تمرين 4.8 ★★

تتقاضى شركة سيارات أجرة رسمًا ثابتًا قدره $4$ زائد $1.5$ لكل كيلومتر؛ وتتقاضى أخرى $2$ لكل كيلومتر دون رسم. نمذج كل سعر بدالة تآلفية للمسافة $x$ ، وارسم المستقيمين، وأوجد ابتداءً من أي مسافة تكون الشركة الأولى أرخص.

حل

حل التمرين 4.8.

الشركة الأولى: $f(x) = 1.5x + 4$ ؛ والثانية: $g(x) = 2x$ . وتكون الأولى أرخص عندما

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

فبعد $8$ كم تكون الشركة الأولى أرخص؛ وعند $8$ كم بالضبط تتقاضيان $16$ .

تمرين 4.9 ★★

بيّن أنه من أجل كل $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . (إرشاد: الطرفان غير سالبين، فقارن مربعيهما.) ومتى تتحقق المساواة؟

حل

حل التمرين 4.9.

الطرفان غير سالبين، إذن تكافئ المتراجحة تلك التي بين مربعيهما:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{و}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

وبما أن $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ ، فإن المربع الثاني لا يقل عن الأول، وهذا يبرهن على $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ . وتتحقق المساواة بالضبط عندما $\sqrt a \sqrt b = 0$ ، أي عندما $a = 0$ أو $b = 0$ .

تمرين 4.10 ★★★

لتكن $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ ، معرَّفة من أجل $x \neq 1$ .

بيّن أن $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ من أجل كل $x \neq 1$ .
استنتج تغيرات $f$ على $\intoo{1}{+\infty}$ من تغيرات دالة المقلوب.

حل

حل التمرين 4.10.

1. وحّد مقامي الطرف الأيمن:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. على $\intoo{1}{+\infty}$ ، عندما يتزايد $x$ ، يتزايد $x - 1$ ويبقى موجبًا، إذن يتناقص $\frac{3}{x-1}$ (دالة المقلوب مضروبة في الثابت الموجب $3$ )، إذن يتناقص $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ : أي أن $f$ متناقصة تمامًا على $\intoo{1}{+\infty}$ .

4.6 مسألة: قوانين الطبيعة تنطق بالدوال المرجعية

مسألة 4.1

مسألة نهاية الأسبوع — مسافات الكبح تنمو مثل $v^2$ ، والروافع تخضع للقانون $1/d$ ، والكواكب تتبع $a^{3/2}$ : قراءة الفيزياء بالدوال المرجعية

افتح كتاب فيزياء تجد المنحنيات القليلة نفسها في كل صفحة: القطع المكافئ، والقطع الزائد، ومنحنى الجذر. تكتب الطبيعة قوانينها بدوال هذا الفصل المرجعية — ومعرفة أشكالها (القضية 4.4 و القضية 4.6 و القضية 4.8 و القضية 4.9) تكفي لكبح سيارة، ولموازنة رافعة، ولضبط توقيت الكواكب. والخاتمة الكبرى هي قانون كبلر الثالث، مقروءًا مباشرة من معطيات المجموعة الشمسية.

الجزء الأول — قانون الكبح التربيعي. قاعدة تقريبية لمسافة كبح سيارة على طريق جاف: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ مترًا، عند السرعة $v$ كم/سا.

احسب مسافات الكبح عند $30$ و $50$ و $90$ و $130$ كم/سا.
بكم يضاعف تضعيفُ السرعة مسافةَ الكبح؟ فسّر ذلك انطلاقًا من تحجيم دالة المربع، وتحقق منه على $50 \to 100$ كم/سا.
الطب الشرعي: علامات انزلاق تقيس $50$ م. بأي سرعة تدين العبارةُ السائقَ (إلى أقرب كم/سا)؟ وأي دالة مرجعية أجابت — وعلى أي مجموعة تكون القراءة وحيدة (القضية 4.8)؟
قارن المسافة الإضافية الناتجة عن زيادة كم/سا واحد، عند السرعة المنخفضة وعند السرعة العالية: احسب $d(31) - d(30)$ و $d(91) - d(90)$ . أي خاصية من خواص القطع المكافئ (القضية 4.4) يوضّحها الجوابان؟
يضيف التوقف الحقيقي زمن رد الفعل — نحو ثانية واحدة، تقطع السيارة خلالها $0.28v$ مترًا: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . احسب $D(50)$ و $D(130)$ . أي الحدّين — التآلفي أم التربيعي — يهيمن عند سرعة المدينة، وأيهما على الطريق السريع؟

الجزء الثاني — قطوع الحياة اليومية الزائدة.

تتوازن الرافعة عندما تتساوى القوة $\times$ المسافة على الجهتين. يجلس طفل كتلته $60$ كغ على بعد $2$ م من المحور؛ والقوة الموازِنة على بعد $d$ في الجهة الأخرى هي $F(d) = \frac{120}{d}$ (بما يعادل الكيلوغرامات). احسب $F(0.5)$ و $F(1)$ و $F(3)$ .
ماذا تقول تغيرات دالة المقلوب (القضية 4.6) عن الروافع — ولماذا يختبئ افتخار أرخميدس (“أعطوني موطئ قدم أحرّك لكم الأرض”) في ذيل القطع الزائد؟ وما الذي يمنع $d = 0$ ؟
يخفت الصوت والضوء مع مربع المسافة: على بعد $1$ م من مصباح تكون الشدة $100$ وحدة؛ أعطِها على بعد $2$ و $3$ و $10$ م. فسّر الأس $2$ بكرة: على أي مساحة انتشر الضوء على بعد $d$ (مسألة شاهدة قبر أرخميدس في الكتاب السابق)؟
تكلّف حافلة الرحلة المدرسية $600$ يورو، تُقسم بالتساوي على $n$ مشاركًا. اجدول التكلفة على الرأس من أجل $n = 10, 20, 30$ ، وأوجد كم مشاركًا ينزل بها إلى $25$ يورو أو أقل، وبيّن ما يعد به شكل القطع الزائد — وما يرفضه — عندما ينمو $n$ .
يكلّف إنتاج $x$ ملصقًا $2x + 3$ يورو (منها $3$ يورو تجهيز). بيّن أن التكلفة المتوسطة للملصق الواحد هي $a(x) = 2 + \frac3x$ ، وصف تغيراتها، وفسّر مقاربها الأفقي اقتصاديًا. (قارن بجبر التمرين 4.10.)

الجزء الثالث — انسجام كبلر. لكل كوكب، ليكن $a$ بعده المتوسط عن الشمس (بالوحدات الفلكية، الأرض $= 1$ ) وليكن $T$ دوره (بالسنوات). المعطيات: المريخ $a = 1.52$ ، $T = 1.88$ ؛ المشتري $a = 5.20$ ، $T = 11.86$ ؛ زحل $a = 9.54$ ، $T = 29.4$ .

احسب $a^3$ و $T^2$ من أجل الأرض والمريخ والمشتري. ما الذي لاحظه كبلر سنة 1618؟
صُغ القانون على صورة دالة: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . اختبره على زحل.
تنبؤان: كويكب يدور على $a = 4$ وحدة فلكية — أوجد دوره (تخرج الأعداد صحيحة)؛ ومذنّب يعود كل $27$ سنة — أوجد بعده المتوسط (ابحث عن مكعب كامل).
أي ثلاث دوال مرجعية يضفرها القانون معًا؟ وما قاعدة تحجيمه: عندما يُضرب $a$ في $4$ ، ماذا يحدث للدور $T$ ؟ (تحقق بالكويكب قياسًا على الأرض.)
قرأ كبلر هذا القانون في معطيات تيخو براهي قبل سبعين سنة من تفسير جاذبية نيوتن له. في جملة واحدة: ماذا تقول هذه الواقعة عن قوة التعرّف على دالة مرجعية في جدول أعداد؟

الجزء الرابع — السلحفاة والأرنب.

رتّب $\sqrt x$ و $x$ و $x^2$ على $\intoo{0}{1}$ وعلى $\intoo{1}{+\infty}$ (القضية 4.10)، وتحقق من الترتيبين عند $x = 0.25$ وعند $x = 4$ .
حل $\sqrt x > x$ حلًّا كاملًا (من أجل $x \geq 0$ ، ربّع بحذر واختم بجدول إشارة).
أدخل التكعيب: رتّب $x$ و $x^2$ و $x^3$ عند $x = 0.5$ وعند $x = 2$ ، وأوجد كل النقط التي يتقاطع عندها المربع والتكعيب.
تدفع خطتا ادخار، بعد $t$ سنة، $100\sqrt t$ يورو (الخطة أ) أو $10 t^2$ يورو (الخطة ب). بيّن أن ب تتجاوز أ عندما $t^3 = 100$ ، وأعطِ لحظة التجاوز بالشهر. وما المغزى بشأن الجذور في مواجهة القوى على المدى الطويل؟
الخاتمة: من أجل كل قانون في هذه المسألة — الكبح ( $v^2$ )، والرافعة ( $1/d$ )، والمصباح ( $1/d^2$ )، وكبلر ( $a^{3/2}$ )، والخطة أ ( $\sqrt t$ ) — قل في جملة قصيرة أي ملمح من ملامح منحنيه المرجعي يحمل المعنى الفيزيائي (الصعود المتزايد الانحدار، والمقارب الشاقولي، والكرة المنتشرة، وأس التحجيم، والنمو المتسطّح). والخلاصة: الدوال المرجعية هي الأبجدية؛ والطبيعة تكتب بها.

حل

حل المسألة 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ م؛ $d(50) = 25$ م؛ $d(90) = 81$ م؛ $d(130) = 169$ م.

2. تضعيف $v$ يضاعف $\frac v{10}$ ويضرب مربعه في $4$ : $d(100) = 100$ م $= 4 \times d(50)$ . ضعف السرعة، أربعة أضعاف المسافة — وهو تحجيم دالة المربع.

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ يعطي $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ ، إذن $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ كم/سا. الجذر التربيعي هو الذي أجاب؛ والقراءة وحيدة لأن السرعات موجبة، ولأن دالة المربع تتسلق تمامًا على $\intco{0}{+\infty}$ (القضية 4.8: سابقة موجبة واحدة).

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ م، بينما $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ م: فالزيادة نفسها $+1$ كم/سا تكلّف ثلاثة أضعاف المسافة عند السرعة العالية. فالقطع المكافئ لا يرتفع فحسب، بل يزداد انحدارًا — فمعدل تسلقه ينمو مع $x$ .

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ م؛ $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ م. ففي المدينة يكون الحد التآلفي (رد الفعل) هو النصيب الأكبر؛ أما على الطريق السريع فيسحقه الحد التربيعي — فالتآلفي ينمو بثبات، والمربعات تنطلق هاربة.

6. $F(0.5) = 240$ و $F(1) = 120$ و $F(3) = 40$ .

7. دالة المقلوب متناقصة: فكلما ابتعدنا عن المحور صغرت القوة اللازمة — ومع ذراع رافعة طويلة بما يكفي ( $d$ ضخم)، توازن أي قوة، مهما صغرت، أي حمل: فافتخار أرخميدس يعيش في ذيل القطع الزائد، الذي يقترب من $0$ دون بلوغه. أما $d = 0$ فهو القيمة الممنوعة: لا ذراع، فلا رافعة — إنه المقارب الشاقولي.

8. $\frac{100}{4} = 25$ على بعد $2$ م، و $\frac{100}{9} \approx 11$ على بعد $3$ م، و $1$ على بعد $10$ م. فعلى بعد $d$ يكون الضوء قد انتشر على كرة مساحتها $4\pi d^2$ (مسألة شاهدة قبر أرخميدس في الكتاب السابق): الطاقة نفسها مقسومة على مساحة تنمو مثل $d^2$ — ومن هنا يأتي مربع المسافة في المقام.

9. $60$ و $30$ و $20$ يورو للرأس من أجل $n = 10, 20, 30$ . ومن أجل $\frac{600}{n} \leq 25$ : $n \geq 24$ مشاركًا. فالقطع الزائد يعد بأنصبة أرخص كلما نما $n$ — ويرفض أن يبلغ $0$ أبدًا: فالحافلة لا تكون مجانية قط.

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : متناقصة على $\intoo{0}{+\infty}$ (دالة المقلوب منسحبة)، تقترب من المقارب $y = 2$ . واقتصاديًا: توزيع اليورو الثلاثة الثابتة على ملصقات أكثر يدفع تكلفة الوحدة نزولًا نحو اليورو الاثنين اللذين لا يمكن ضغطهما، وهما ثمن المواد — إنها وفورات الحجم، مع أرضية صلبة.

11. الأرض: $a^3 = 1$ و $T^2 = 1$ . المريخ: $1.52^3 \approx 3.51$ و $1.88^2 \approx 3.53$ . المشتري: $5.20^3 \approx 140.6$ و $11.86^2 \approx 140.7$ . وملاحظة كبلر: $T^2 = a^3$ من أجل كل كوكب — قانون واحد للسماء كلها.

12. $T = \sqrt{a^3}$ : من أجل زحل $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ سنة، مقابل $29.4$ المرصودة: فالقانون يصدق إلى العشر.

13. الكويكب: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ سنة. المذنّب: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ ، إذن $a = 9$ وحدة فلكية.

14. المربع ( $T^2$ )، والتكعيب ( $a^3$ )، والجذر التربيعي (لاستخراج $T$ ). والتحجيم: ضرب $a$ في $4$ يضرب $T$ في $4\sqrt4 = 8$ — كما يؤكد الكويكب (بعده أربعة أضعاف بعد الأرض، ودوره ثمانية أضعاف).

15. جدول أعداد، قُوبل بأشكال بضع دوال مرجعية، أعطى قانونًا للكون قبل سبعين سنة من معرفة أحد لماذا يصدق — فالتعرّف على الدالة نصف العلم.

16. على $\intoo{0}{1}$ : $x^2 < x < \sqrt x$ ؛ وعلى $\intoo{1}{+\infty}$ : $\sqrt x < x < x^2$ . والتحقق: عند $x = 0.25$ : $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ؛ وعند $x = 4$ : $2 < 4 < 16$ .

17. من أجل $x \geq 0$ ، الطرفان $\geq 0$ ، إذن $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ .

18. عند $x = 0.5$ : $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ . وعند $x = 2$ : $2 < 4 < 8$ : فينقلب الترتيب. وتقاطعا $x^2$ و $x^3$ : $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : عند $x = 0$ و $x = 1$ .

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ يعطي $t^2 = 10\sqrt t$ ؛ وبالتربيع، $t^4 = 100t$ ، إذن $t^3 = 100$ و $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ سنة — أي نحو $4$ سنوات و $8$ أشهر. (وتدفع الخطتان عندئذٍ نحو $215$ يورو.) والمغزى: الجذور تعدو في البداية، والقوى تفوز في كل ماراثون.

20. الكبح: ازدياد انحدار القطع المكافئ هو خطر السرعة. الرافعة: المقارب الشاقولي عند $0$ والذيل الطويل هما ميزة الميكانيكي. المصباح: المقدار $d^2$ في الكرة المنتشرة يضبط الخفوت. كبلر: الأس $\frac32$ هو إيقاع المجموعة الشمسية. الخطة أ: تسطّح الجذر هو مصير المدّخر البطيء. خمسة منحنيات، خمسة قوانين: إنها أبجدية الطبيعة حقًّا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الدالة التآلفية

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد