7معادلات المستقيمات والجمل الخطية

حل المسألة 7.1.

1. الميل $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$؛ وبالمرور بالنقطة $(1, 2)$: $y = 3x - 1$.

2. المستقيمان $y = 3x - 1$ و $y = 3x + 4$: الميل نفسه، إذن متوازيان (ومتمايزان). وبتقاطع $y = 3x - 1$ مع $y = -x + 7$: $3x - 1 = -x + 7$ يعطي $x = 2$ و $y = 5$: أي النقطة $(2, 5)$.

3. تشترك النقطتان في $x = 2$: فالمستقيم شاقولي، ومعادلته $x = 2$. أما الصورة المختزلة $y = mx + p$ فتجيب “قيمة $y$ واحدة لكل $x$”، وهو ما يرفضه المستقيم الشاقولي: فميله سيكون لا نهائيًا.

4. $3 \times 4 - 1 = 11$: نعم، النقطة $(4, 11)$ على المستقيم. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$: لا.

5. $y = -2x + 3$؛ ويقطع المحورين في $(0, 3)$ و $\left(\frac32, 0\right)$. ومساحة المثلث: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$.

6. بالتعويض: $3x + 2x - 3 = 7$، فيكون $x = 2$ و $y = 1$: والحل $(2, 1)$.

7. بالجمع: $7x = 7$ و $x = 1$؛ ثم $3y = 6$ و $y = 2$: والحل $(1, 2)$.

8. الجملة الأولى: المعادلة الثانية ضعف الأولى: أي مستقيم واحد محسوب مرتين — وعدد لا نهائي من الحلول (كل نقط $2x - y = 3$). والجملة الثانية: الطرفان الأيسران متناسبان والأيمنان لا ($2 \times 3 = 6 \neq 1$): أي مستقيمان متوازيان — فلا حل. والثلاثية: ميلان مختلفان $\to$ تقاطع واحد؛ وميلان متساويان وترتيبان مختلفان $\to$ توازٍ ولا حل؛ وتساوي كل شيء $\to$ المستقيم نفسه وعدد لا نهائي من الحلول.

9. متجهتا توجيه المستقيمين هما $(-b, a)$ و $(-d, c)$ (أو: الميلان $-\frac ab$ و $-\frac cd$)، وتكونان مستقيميتين بالضبط عندما $ad - bc = 0$ — أي محدد المسألة 6.1 في وظيفة جديدة. والقيم: في السؤال 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$: حل وحيد. وفي السؤال 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ في الحالتين: توازٍ أو تطابق، والثوابت تفصل بين الحالتين.

10. $ad - bc = 6 - 2m$: وهو معدوم من أجل $m = 3$. وعندئذٍ تصير $x + 3y = 3$ في مواجهة $2x + 6y = 7$؛ وبمضاعفة الأولى نجد $2x + 6y = 6 \neq 7$: أي توازٍ ولا حل. ومن أجل $m \neq 3$، يعطي الحذف الحل الوحيد $y = \frac{1}{6 - 2m}$، ثم $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$.

11. $p + r = 35$ و $2p + 4r = 94$؛ وبالتنصيف نجد $p + 2r = 47$، إذن $r = 12$ و $p = 23$: أي ثلاثة وعشرون دراجًا واثنا عشر أرنبًا — وهو جواب الفصول التسعة نفسه.

12. $x + y = 30$ و $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$: وبطرح $0.2 \times$ الأولى نجد $0.4x = 4.5$: إذن $x = 11.25$ لترًا من الشراب و $y = 18.75$ لترًا من المشروب.

13. الرقمان $a$ و $b$: $a + b = 12$ و $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$، إذن $a - b = 2$: فيكون $a = 7$ و $b = 5$: والعدد هو $75$.

14. بالجمع: $5c + 5r = 18$، إذن $c + r = 3.60$ — أي قهوة واحدة زائد كرواسان واحد. وبالطرح: $c - r = 0.20$. ومنه $c = 1.90$ و $r = 1.70$ يورو: فقد حلّها الاختصار المتناظر دون أي تعويض.

15. مضاعفة الادعاء الأول تعطي $4$ تفاحات $+ 2$ إجاصة $= 10$ يورو، لكن البائع يتقاضى $9$: فالجملة غير متسقة — مستقيمان متوازيان ومجموعة حلول خالية. والحكم: لا يمكن أن يكون ادعاءا السعر صحيحين معًا؛ فإما أن يكون هناك تخفيض مخبوء، وإما أن يكون الحساب مخبوءًا.

16. عند المبدأ: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$: صحيح، إذن تقع $(0,0)$ في المنطقة $y > 3x - 1$ (فوق المستقيم). واختبر أي نقطة بتعويضها: فتكون فوق أو تحت حسب صدق المتراجحة.

17. الزوايا: $(0, 0)$؛ و $(4, 0)$ (المحوران و $x + y = 4$)؛ و $(0, 1)$ (المحور و $y = 2x + 1$)؛ و تقاطع $x + y = 4$ مع $y = 2x + 1$: $x = 1$ و $y = 3$: أي $(1, 3)$.

18. $P(0,0) = 0$؛ $P(4, 0) = 12$؛ $P(0, 1) = 2$؛ $P(1, 3) = 9$. فالقيمة العظمى عند الزاوية $(4, 0)$: أي الخطة $x = 4$ و $y = 0$ التي تربح $12$ — فالزوايا تحكم، كما تُظهر المستقيمات المتوازية $3x + 2y = c$ وهي تكنس المنطقة.

19. $1.5x + 3 = 2x$ يعطي $x = 6$ و $y = 12$: أي أنه عند ستة كيلومترات تتقاضى سيارتا الأجرة اثني عشر يورو — وهو تقاطع التعادل في مسألة نهاية الأسبوع عن الميزانين الحراريين في الكتاب السابق، وقد صار الآن الحل الوحيد لجملة.

20. ترسم حلول المعادلة الخطية مستقيمًا؛ و تركّب الجملة مستقيمين، ويخبرنا $ad - bc$ بنظرة هل يتقاطعان مرة (إن كان غير معدوم) أم يقعان في حالتي التوازي أو التطابق (إن كان معدومًا). وبتكديس المتراجحات بدل ذلك، تشكّل الحلول منطقة مضلعة تحمل زواياها أي قيمة مثلى خطية. ويعمّم الجبر الخطي المحدد على أي عدد من المجاهيل؛ وتصنّع البرمجة الخطية الزوايا.