رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

34مجاميع المتغيرات العشوائية وقانون الأعداد الكبيرة

لماذا تربح دور القمار دائمًا في النهاية، ولماذا تنجح استطلاعات الرأي؟ لأن متوسطات مقادير عشوائية مستقلة كثيرة تتذبذب أقل فأقل. ويبرهن هذا الفصل على ذلك: خطية الأمل الرياضي، وجمعية التباين من أجل المتغيرات المستقلة، ومتراجحة بيينيمي–تشيبيشيف، وقانون الأعداد الكبيرة.

34.1 مجاميع المتغيرات العشوائية

إذا أُعطي متغيران عشوائيان $X, Y$ على مجموعة الإمكانيات المنتهية نفسها $\Omega$ ، فإن المجموع $X + Y$ هو المتغير العشوائي $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ .

مبرهنة 34.1 (خطية الأمل الرياضي)

من أجل كل متغيرين عشوائيين $X, Y$ على $\Omega$ وكل $a, b \in \R$ :

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

ولا يلزم أي فرض استقلال.

برهان. اكتب الأمل الرياضي مجموعًا على الإمكانيات: فبما أن $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ ، يعطي تجميع الحدود أن $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ . ثم

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

تعريف 34.2 (المتغيران العشوائيان المستقلان)

يكون $X$ و $Y$ مستقلين إذا كان من أجل كل قيمتين $x, y$ :

\P(X = x \text{ و } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

وتكون عدة متغيرات $X_1, \dots, X_n$ مستقلة إذا صحت قاعدة الجداء هذه من أجل كل اختيار لقيم كل عائلة جزئية.

قضية 34.3

إذا كان $X$ و $Y$ مستقلين، فإن $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ .

برهان.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ و } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

مبرهنة 34.4 (تباين مجموع)

إذا كان $X$ و $Y$ مستقلين، فإن

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

وبوجه أعم، من أجل $X_1, \dots, X_n$ مستقلة: $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ .

برهان. باستعمال صيغة كونيغ–هويغنز (القضية 33.3) والخطية:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

وينعدم القوس الأخير من أجل المتغيرات المستقلة (القضية 34.3). وتنتج الحالة العامة بالتراجع. ∎

مثال 34.5 (التوزيع الثنائي من جديد)

المتغير الثنائي $X \sim \mathcal B(n, p)$ هو مجموع $X = X_1 + \dots + X_n$ لعدد $n$ من متغيرات برنولي المستقلة. ومنه، بنيويًا:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

فنستعيد المبرهنة 33.8 بلا أي حساب.

قضية 34.6 (متوسط العينة)

لتكن $X_1, \dots, X_n$ مستقلة ولها التوزيع نفسه الذي للمتغير $X$ (الأمل الرياضي $\mu$ والتباين $\sigma^2$ )، وليكن $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ متوسط عينتها. عندئذٍ

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

برهان. تعطي الخطية $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ؛ ويعطي الاستقلال $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ ، والقسمة على $n$ تضرب التباين في $\frac{1}{n^2}$ (القضية 33.4). ∎

والمقدار $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ هو قانون الجذر التربيعي الأساسي: فلتنصيف تذبذبات متوسط، ربّع حجم العينة.

قانون الجذر التربيعي: كل تربيع لحجم العينة لا ينصّف إلا الانحراف المعياري للمتوسط.

34.2 متراجحات التركّز

مبرهنة 34.7 (متراجحة ماركوف)

إذا كان $X \geq 0$ و $a > 0$ :

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

برهان. في $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (وكل الحدود غير سالبة)، احتفظ فقط بالحدود التي فيها $x_i \geq a$ : فكل منها لا يقل عن $a\,p_i$ ، إذن $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ . ∎

مبرهنة 34.8 (متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف)

من أجل أي متغير عشوائي $X$ وأي $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

برهان. طبّق متراجحة ماركوف على المتغير غير السالب $Y = (X - \E(X))^2$ مع $a = \varepsilon^2$ :

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

التركّز: تحصر متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف احتمال أن يقع X في الذيول (بالأحمر)، على بعد على الأقل من أمله الرياضي، بالمقدار (X)/ 2. — التركّز: تحصر متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف احتمال أن يقع $X$ في الذيول (بالأحمر)، على بعد $\varepsilon$ على الأقل من أمله الرياضي، بالمقدار $\V(X)/\varepsilon^2$ .

مبرهنة 34.9 (قانون الأعداد الكبيرة)

لتكن $X_1, \dots, X_n$ مستقلة ولها التوزيع نفسه (الأمل الرياضي $\mu$ والتباين $\sigma^2$ ) وليكن $M_n$ متوسط عينتها. عندئذٍ من أجل كل $\varepsilon > 0$ :

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

فيتركّز متوسط العينة حول الأمل الرياضي.

برهان. متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف مطبَّقة على $M_n$ ، الذي أمله الرياضي $\mu$ و تباينه $\frac{\sigma^2}{n}$ (القضية 34.6). ∎

ملاحظة 34.10

هذه المبرهنة جسر بين نظرية الاحتمالات والإحصاء: إذ إن تواتر حادثة على عدد كبير من التكرارات المستقلة يقترب من احتمالها (خذ $X_i$ مؤشر الحادثة، فيكون $\mu = p$ ). وهي تبرّر تقدير احتمال بالمحاكاة (طريقة مونت كارلو) وتقدير نسبة في مجتمع باستطلاع — تقديرًا كميًا: انظر الفصل 35.

طريقة 34.11 (استعمال متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف)

لضمان $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ ، يكفي أن يكون $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ . والحاصرة خام (فالتذبذبات الحقيقية أصغر بكثير عادةً) لكنها عامة تمامًا: إذ لا تقتضي شيئًا عن التوزيع سوى تباين منته.

34.3 تمارين

تمرين 34.1 ★

يُرمى حجرا نرد غير مغشوشين؛ وليكن $S$ المجموع. باستعمال الخطية (لا توزيع $S$ !)، احسب $\E(S)$ ؛ ثم احسب $\V(S)$ باستعمال الاستقلال، علمًا بأن تباين حجر نرد واحد غير مغشوش هو $\frac{35}{12}$ .

حل

حل التمرين 34.1.

لكل حجر نرد الأمل الرياضي $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ ، إذن بالخطية $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ . وحجرا النرد مستقلان، إذن $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ .

تمرين 34.2 ★

ليكن $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ . احصر $\P(X \geq 75)$ بمتراجحة ماركوف، ثم $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ بمتراجحة بيينيمي–تشيبيشيف. وقارن.

حل

حل التمرين 34.2.

$\E(X) = 50$ و $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ .

وبماركوف (حيث $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ .

وببيينيمي–تشيبيشيف: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — وهذا يحصر حتى الحادثة من الجهتين، و $X \geq 75$ نصفها. فمتراجحة تشيبيشيف أحدّ بكثير هنا لأنها تستثمر التباين لا المتوسط وحده. (والقيمة الحقيقية للمقدار $\P(X \geq 75)$ أصغر من $10^{-6}$ : فالحاصرتان خامّتان.)

تمرين 34.3 ★

تُرمى قطعة نقد غير مغشوشة $n$ مرة ويرمز $F_n$ إلى تواتر الصور. فكم يجب أن يكون $n$ كبيرًا حتى يكون، بحاصرة بيينيمي–تشيبيشيف، $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ ؟

حل

حل التمرين 34.3.

$F_n$ متوسط عينة من $n$ متغير برنولي $\left(\frac12\right)$ ، تباين كل منها $\sigma^2 = \frac14$ . والحاصرة

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

تكون $\leq 0.05$ متى كان $n \geq 2000$ .

تمرين 34.4 ★★

مستثمرة تقسم رأس مالها بالتساوي بين $n$ أصلًا مستقلًا، لكل منها مردود مأمول $\mu = 5\%$ وانحراف معياري $\sigma = 20\%$ . احسب الأمل الرياضي والانحراف المعياري لمردود المحفظة $M_n$ ، وعدد الأصول اللازم لجعل الانحراف المعياري دون $4\%$ . وأي مبدأ مالي يوضّحه هذا؟

حل

حل التمرين 34.4.

حسب القضية 34.6، يكون $\E(M_n) = 5\%$ (فالتنويع لا يغيّر المردود المأمول) و $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ . واشتراط $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ يعطي $\sqrt n > 5$ ، أي $n \geq 26$ . وهذا هو مبدأ التنويع: فتوزيع رأس المال على أخطار مستقلة يقسم الخطر (الانحراف المعياري) على $\sqrt n$ دون إنقاص المردود المأمول.

تمرين 34.5 ★★

ليكن $X$ و $Y$ مستقلين، وكلاهما منتظم على $\{1, 2, 3\}$ .

أعطِ توزيع $S = X + Y$ واحسب $\E(S)$ و $\V(S)$ منه مباشرةً.
استعد القيمتين بالخطية وبجمعية التباين.

حل

حل التمرين 34.5.

1. بعدّ الأزواج $9$ المتساوية الاحتمال: يأخذ $S$ القيم $2, 3, 4, 5, 6$ بالاحتمالات $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ . ومنه $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ و $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ ، إذن $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ .

2. من أجل متغير واحد: $\E(X) = 2$ و $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ و $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ . ثم $\E(S) = 2 + 2 = 4$ ، وبالاستقلال $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ . أي القيمتان نفساهما.

تمرين 34.6 ★★

بيّن أن جمعية التباين قد تسقط بلا استقلال: احسب $\V(X + Y)$ من أجل $Y = X$ ، وقارن بالمقدار $\V(X) + \V(Y)$ . ومن أجل أي متغيرات $X$ يكون $\V(2X) = 2\V(X)$ ؟

حل

حل التمرين 34.6.

مع $Y = X$ : $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ ، بينما $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ . ولا يتفقان إلا عندما $\V(X) = 0$ ، أي عندما يكون $X$ ثابتًا — فالجمعية تقتضي الاستقلال فعلًا (وهنا يكون $X$ مرتبطًا بنفسه أشد ارتباط).

تمرين 34.7 ★★

يُشتبه في أن حجر نرد مغشوش. فيُرمى $1200$ مرة فيُظهر ستة $260$ مرة ( $f = 0.2167$ بدل $\frac16 \approx 0.1667$ ). وفي ظل فرضية أن الحجر غير مغشوش، احصر $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ بمتراجحة بيينيمي–تشيبيشيف، ثم ناقش هل فرضية عدم الغش معقولة.

حل

حل التمرين 34.7.

في ظل عدم الغش، يكون $F_n$ متوسط $n = 1200$ متغير برنولي حيث $p = \frac16$ ، و $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ :

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

والانحراف الملاحَظ يساوي $0.05$ بالضبط: وهي حادثة ينتجها حجر نرد غير مغشوش باحتمال لا يتجاوز $4.6\%$ — وبما أن متراجحة تشيبيشيف متحفظة جدًا، فالاحتمال الحقيقي أصغر بكثير. إذن فرضية عدم الغش غير معقولة؛ والحجر مغشوش على الأرجح.

تمرين 34.8 ★★★

(متراجحة أفضل من أجل قطعة النقد.) ليكن $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ و $F_n = \frac Xn$ .

بيّن أن $p(1-p) \leq \frac14$ من أجل $p \in \intcc{0}{1}$ .
استنتج الحاصرة المستقلة عن التوزيع $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
كم شخصًا يجب استطلاعه حتى يقع التواتر الملاحَظ على بعد $3$ نقاط من النسبة الحقيقية باحتمال لا يقل عن $95\%$ ، باستعمال هذه الحاصرة؟ (وتستعمل الاستطلاعات الحقيقية تقديرات أحدّ، لكن رتبة القدر صحيحة.)

حل

حل التمرين 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ .

2. للمتغير $F_n$ الأمل الرياضي $p$ والتباين $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ ؛ وتعطي متراجحة بيينيمي–تشيبيشيف

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

وهي صالحة مهما كان $p$ المجهول.

3. مع $\varepsilon = 0.03$ والمستوى $0.05$ :

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

فنحو $5600$ شخص يكفون بهذه الحاصرة الخام (والجواب الكلاسيكي بالتقريب الطبيعي أقرب إلى $1100$ ، انظر الفصل 35).

34.4 مسألة: بيت اللعب يربح دائمًا

مسألة 34.1

مسألة نهاية الأسبوع — قانون الأعداد الكبيرة يفسّر دور القمار والاستطلاعات والتأمين، ويهدم مغالطة المقامر في الطريق

لاعب روليت بعد $100$ دورة يكون، في أغلب الأحيان تقريبًا، رابحًا. أما دار القمار التي تشغّل مليون دورة فرابحة بيقين لا تشكّك فيه أي محكمة. اللعبة نفسها، والأفضلية الضئيلة نفسها — والفرق هو $\sqrt n$ ، وهو موضوع هذا الفصل (القضية 34.6 و المبرهنة 34.8 و المبرهنة 34.9). وتشغّل هذه المسألة دفاتر دار القمار، وتحدّد حجم استطلاع انتخابي، وتسعّر التنويع — وتفكّك أغلى مغالطة في تاريخ القمار.

الجزء الأول — التمكّن.

حجرا نرد مستقلان: احسب $V(X + Y)$ (المبرهنة 34.4).
ارمِ $100$ حجر نرد مستقلًا وخذ متوسط النتائج: أعطِ الأمل الرياضي والانحراف المعياري لمتوسط العينة (القضية 34.6؛ ومن أجل حجر واحد، $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
متغير عشوائي غير سالب أمله الرياضي $2$ . فماذا تقول متراجحة ماركوف (المبرهنة 34.7) عن $\P(X \geq 10)$ ؟
احصر $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ من أجل متوسط حجرَي النرد في السؤال 2 بمتراجحة بيينيمي–تشيبيشيف.
الآمال الرياضية تُجمع دائمًا، والتباينات لا تُجمع إلا عند الاستقلال: أعطِ مثالًا لمتغيرين مرتبطين $X, Y$ (إرشاد: $Y = -X$ ) يكون من أجلهما $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

الجزء الثاني — دفاتر بيت اللعب. الروليت الأوروبي، والرهان $1$ أورو على الأحمر: تربح $+1$ باحتمال $\frac{18}{37}$ ، وتخسر $-1$ باحتمال $\frac{19}{37}$ .

احسب الأمل الرياضي والانحراف المعياري لربح رهان واحد.
مقامر يراهن $100$ رهانًا مستقلًا؛ وليكن $G$ الربح الكلي. احسب $\E(G)$ و $\sigma(G)$ ، ثم النسبة $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . فماذا يعني انزياح قدره ربع انحراف معياري بالنسبة إلى حظوظ المقامر في أن يكون رابحًا هذه الليلة؟
ترى دار القمار $1\,000\,000$ رهان. احسب الأمل الرياضي والانحراف المعياري لحصيلتها الكلية، والنسبة نفسها. وفسّر العدد $27$ .
صادِق بتشيبيشيف: احصر احتمال أن تخسر دار القمار مالًا على المليون رهان.
أنظمة الرهان: المضاعفة بعد الخسائر، والانسحاب عند الربح … وباستعمال خطية الأمل الرياضي (المبرهنة 34.1) على متتالية الرهانات (وقد تكون عشوائية)، فسّر لماذا يكون من أجل كل استراتيجية في لعبة ذات أفضلية سالبة ربح مأمول سالب — فماذا سينتهك نظام رابح؟
صُغ ما يعد به قانون الأعداد الكبيرة (المبرهنة 34.9) بخصوص تواتر الأحمر — وما لا يعد به بخصوص الدورة التالية بعد عشرة أحمر متتالية. وسمِّ المغالطة.
النقطة الأدق: القانون يعمل بالتخفيف، لا بالتعويض. فإذا سبق الأحمر التوقع بمقدار $100$ بعد أمسية ما، فلا يُردّ الفائض أبدًا — احسب ما الذي يحدث بدلًا من ذلك للنسبة $\frac{100}{n}$ عند $n = 10^6$ ، ثم أعد كتابة خطأ مغالطة المقامر في جملة واحدة.

الجزء الثالث — الاستطلاعات.

انطلاقًا من التمرين 34.8: كم شخصًا يجب استطلاعه ليقع التواتر الملاحَظ ضمن $3$ نقاط من الحقيقة باحتمال لا يقل عن $95\,\%$ ، بحاصرة تشيبيشيف المستقلة عن التوزيع؟
تستعمل معاهد الاستطلاع الحقيقية نحو $1\,100$ شخص من أجل هامش $\pm 3$ نقاط عند $95\,\%$ : وصيغتهم هي $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)} {\varepsilon^2}$ حيث $p(1-p) \leq \frac14$ . قدّرها، وفسّر الفجوة مع السؤال 13 (فما الذي لا تعرفه متراجحة تشيبيشيف عن شكل التذبذبات؟).
لتنصيف هامش الخطأ، كيف يجب أن تنمو العينة؟ فمن $\pm 3$ نقاط عند $1\,100$ ، أي عينة تعطي $\pm 1.5$ نقطة؟
الكلاسيكية المخالفة للحدس: لم يستعمل حجم العينة المطلوب حجم المجتمع أبدًا — فإن $1\,100$ شخص يكفون لمدينة أو لقارة. أشر إلى الموضع في النموذج الذي يغيب فيه حجم المجتمع، و أعطِ تشبيه المطبخ الذي يستعمله المستطلعون.

الجزء الرابع — التنويع.

يكسب مؤمّن المسألة 33.1 مبلغ $30n$ أورو أملًا رياضيًا على $n$ عقدًا بانحراف معياري للمطالبات يقارب $315\sqrt n$ . فمن أجل أي $n$ يتجاوز الربح المأمول أخيرًا انحرافًا معياريًا واحدًا للمطالبات؟ وماذا يفعل $\sqrt n$ من أجل المؤمّن؟
مردود سهم واحد السنوي يتذبذب بالمقدار $\sigma = 20\,\%$ . قسّم المال بالتساوي على $25$ سهمًا مستقلًا كهذا: احسب $\sigma$ المحفظة. وتسمّي المالية التنويع الغداء المجاني الوحيد — فما الغداء بالضبط؟
والآن لتكن الأسهم $25$ مترابطة تمامًا (فتتحرك كلها معًا): فما $\sigma$ المحفظة؟ قارن الطرفين وصُغ أي فرض تستأجره سرًا كل حجة تنويع — وماذا حدث حين سقط على مستوى النظام كله سنة 2008.
الخاتمة — سيمفونية $\sqrt n$ : المجاميع تتذبذب مثل $\sqrt n$ بينما تستقر متوسطاتها مثل $\frac{1}{\sqrt n}$ ؛ اعزف اللحن عبر الصناعات الأربع في هذه المسألة (دار القمار، والاستطلاع، والتأمين، والمحافظ)، وسمِّ المعتديَين القائمين (مغالطة المقامر والاستقلال المزيف)، وأعطِ الإشارة إلى الأمام: شكل التذبذبات — أي الجرس — هو نجم الفصل التالي المتصل، ومبرهنته الكاملة تتوّج الكتب الجامعية.

حل

حل المسألة 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (بالاستقلال).

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ؛ $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : فمتوسط المئة حجر يعانق $3.5$ ضمن خُمس نقطة.

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ .

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : أي نحو $12\,\%$ على الأكثر.

5. مع $Y = -X$ : $V(X + Y) = V(0) = 0$ ، بينما $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : فالمتغيران المتعاكسان تمامًا يتلاشيان — فجمع التباينات امتياز للاستقلال.

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ؛ $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ .

7. $\E(G) = -2.70$ و $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : فالانزياح ليس إلا $0.27\sigma$ . فضجيج الليلة يقزّم الأفضلية — وأقلية كبيرة من المقامرين (نحو $40\,\%$ ، كما يقول الجرس) يخرجون رابحين، وهذا بالضبط ما يبقيهم عائدين.

8. حصيلة دار القمار: الأمل الرياضي $+27\,027$ أورو، والانحراف المعياري $\approx 1\,000$ : فالربح يجلس على بعد $27$ انحرافًا معياريًا فوق الصفر. وعند $27\sigma$ ، لا تكون عبارة “قد تخسر دار القمار هذه السنة” خطرًا، بل خطأ تقريب.

9. $\P(\text{خسارة}) = \P(G \geq 27\,027$ من أجل المقامرين $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : فحتى أفدح متراجحة في الكتاب تضمن لبيت اللعب $99.86\,\%$ — والحقيقة أقوى بصورة فلكية.

10. كل أورو يُراهن به، متى وكيفما اختير، له مردود مأمول قدره $-\frac{1}{37}$ من نفسه؛ وبالخطية يكون الربح الكلي المأمول $-\frac{1}{37} \times (\text{مجموع الرهان})$ ، وهو سالب من أجل كل استراتيجية تراهن بشيء. والنظام الرابح سينتهك خطية الأمل الرياضي — فلا ترتيب بارع لرهانات سيئة يصنع رهانًا جيدًا. (وأنظمة المضاعفة لا تفعل إلا أن تستبدل بمكاسب صغيرة كثيرة خسائر كارثية نادرة.)

11. المبرهنة: تواتر الأحمر على $n$ دورة يتقارب (احتماليًا) إلى $\frac{18}{37}$ . وهي لا تقول شيئًا عن الدورة $n + 1$ : فالعجلة بلا ذاكرة، و بعد عشرة أحمر يظل احتمال الأحمر $\frac{18}{37}$ . والاعتقاد بغير ذلك هو مغالطة المقامر، و السؤال 12 يبيّن ما يحدث فعلًا للسلاسل.

12. فائض $100$ أحمر لا يُردّ — فالدورات المقبلة نسخ عادلة، والفائض المأمول يبقى $100$ . لكن $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : أي جزءًا من مئة من النقطة. وخطأ المغالطة في جملة واحدة: قانون الأعداد الكبيرة يخفّف حوادث الماضي في محيط من التجارب الجديدة؛ وهو لا يرسل العجلة أبدًا لتحصيل ديون.

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ شخصًا.

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : أي أقل بخمس مرات. فمتراجحة تشيبيشيف تصح من أجل كل توزيع وتدفع ثمن كونيتها ارتخاءً؛ أما ثابت المستطلعين $1.96$ فيأتي من الشكل الجرسي الفعلي للتذبذبات، وهو يتركّز أشد بكثير.

15. الهامش $\propto \frac{1}{\sqrt n}$ : فتنصيفه يربّع العينة — أي نحو $4\,400$ شخص من أجل $\pm 1.5$ نقطة. فالدقة تُشترى بأسعار تربيعية.

16. النموذج هو $n$ سحبة مستقلة باحتمال نجاح $p$ — ولا يظهر حجم المجتمع $N$ أبدًا (فمعاينة جزء ضئيل من مجتمع كبير جيد الخلط هي ما يشفّره الاستقلال). وتشبيه المستطلعين: لتذوق الحساء، تكفي ملعقة واحدة بعد تقليب جيد — سواء أكانت القدر تكفي عشرة أم عشرة آلاف. والمصيدة هي التقليب — أي إطار معاينة منحاز، كما في استطلاع الكتاب السابق الذي خدع بلدًا — لا القدر.

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : فبعد مئة عقد يسبق الانزياح الضجيج، وكل عقد إضافي يوسّع الفجوة بقانون $\sqrt n$ — فالتجميع هو نموذج العمل.

18. حصص متساوية مستقلة: $\sigma_{\text{محفظة}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : أي المردود المأمول نفسه، و خُمس التذبذب. والغداء: تقليص الخطر بلا كلفة في الأمل الرياضي — بأخذ متوسط عشوائيات مستقلة.

19. وعند الترابط التام: تكون المحفظة سهمًا واحدًا في $25$ ثوبًا: $\sigma = 20\,\%$ ، فلا تقليص أصلًا. فالتنويع يستأجر الاستقلال؛ وحين تربط أزمةٌ كلَّ شيء (2008: كانت كل رهانات الإسكان رهانًا واحدًا)، تتبخر حماية $\sqrt n$ بالضبط حين تكون مطلوبة.

20. المجاميع تنزاح مثل $n$ وتتذبذب مثل $\sqrt n$ ، فتستقر المتوسطات مثل $\frac{1}{\sqrt n}$ : فتصرف دار القمار الانزياح على مليون دورة؛ ويشتري المستطلع $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ من الضجيج بميزانية هاتف؛ و يتجاوز المؤمّن مطالباته عند $n > 110$ ؛ و يقسم المستثمر الخطر على $\sqrt{25}$ . وأما المعتديان: فالمقامر الذي يؤمن بالديون (وليس ثمة إلا تخفيف)، و المالي الذي يؤمن بالاستقلال (وليس ثمة أحيانًا إلا رهان واحد). والشكل الكوني للتذبذبات — أي الجرس — هو نجم الفصل المتصل، ومبرهنته، مبرهنة النهاية المركزية، هي قمة احتمالات الكتب الجامعية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

المتغيران العشوائيان المستقلان

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد