رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

23الدالة الأسية واللوغاريتم

الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة المساوية لمشتقتها والتي تأخذ القيمة $1$ عند $0$ . وهي تحوّل المجاميع إلى جداءات؛ أما مقلوبها، اللوغاريتم النيبيري، فيحوّل الجداءات إلى مجاميع. وهما معًا يصفان كل ظاهرة يتناسب معدل تغيرها مع حجمها: التفكك الإشعاعي، ونمو السكان، والفائدة المركبة.

23.1 الدالة الأسية

مبرهنة 23.1 (الوجود والوحدانية)

توجد دالة وحيدة قابلة للاشتقاق $f \colon \R \to \R$ بحيث

f' = f \qquad\text{و}\qquad f(0) = 1 .

وتُسمّى الدالة الأسية وتُكتب $\exp$ ، أو $x \mapsto \eu^x$ .

برهان الوحدانية. أولًا، دالة كهذه لا تنعدم أبدًا. وفعلًا، لتكن $g(x) = f(x)f(-x)$ ؛ عندئذٍ

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

إذن $g$ ثابتة تساوي $g(0) = 1$ : أي إنه من أجل كل $x$ ، $f(x)f(-x) = 1$ ، وخاصة $f(x) \neq 0$ .

والآن لتكن $f_1, f_2$ حلَّين ولتكن $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ (وهذا مشروع لأن $f_2$ لا تنعدم أبدًا). عندئذٍ

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

إذن $h$ ثابتة تساوي $h(0) = 1$ ، أي $f_1 = f_2$ .

أما الوجود فمقبول في هذا المستوى (ويمكن الحصول عليه بواسطة متتالية التمرين 20.10، أو بوصفه مقلوب اللوغاريتم المبني بالتكامل في الفصل 25). ∎

قضية 23.2 (المعادلة الدالية)

من أجل كل $x, y \in \R$ وكل $n \in \Z$ :

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

وفوق ذلك $\eu^x > 0$ من أجل كل $x$ .

برهان. ثبّت $y$ واعتبر $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ . فبسطها ومقامها، بوصفهما دالتين في $x$ ، حلّان للمعادلة $f' = f$ إلى غاية الثابت $\exp(y)$ ؛ واشتقاق $\varphi$ مباشرة (بقاعدة خارج القسمة) يعطي $\varphi' = 0$ ، إذن $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ ، وهذا يبرهن على المتطابقة الأولى. وأخذ $y = -x$ يعطي الثانية (مع القيمة $\eu^0 = 1$ )، ومنها تنتج الثالثة. أما الرابعة فتراجع انطلاقًا من الأولى من أجل $n \geq 0$ ، ويُمدَّد إلى $n < 0$ بالثانية.

وأما الموجبية: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ و $\eu^x \neq 0$ (كما بُيّن في المبرهنة 23.1)، إذن $\eu^x > 0$ . ∎

قضية 23.3 (التغيرات والنهايات)

الدالة الأسية متزايدة تمامًا ومحدبة، و

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

برهان. $(\exp)' = \exp > 0$ يعطي التزايد التام؛ و $(\exp)'' = \exp > 0$ يعطي التحدب. وبالتحدب، $\eu^x \geq 1 + x$ (وهو المماس عند $0$ ، انظر المثال 22.15)، إذن $\eu^x \to +\infty$ لما $x \to +\infty$ بالمقارنة. ثم $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ لما $x \to -\infty$ . ∎

الدالة الأسية: متزايدة تمامًا، ومحدبة، مع _-∈fty x = 0. وهي فوق مماسها عند 0: x ≥ 1 + x. — الدالة الأسية: متزايدة تمامًا، ومحدبة، مع $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ . وهي فوق مماسها عند $0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ .

مبرهنة 23.4 (مقارنة النمو)

من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$ ،

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

وبالكلمات: تتغلب الدالة الأسية على كل قوة للمتغير $x$ .

برهان. من أجل $n = 1$ : بتطبيق $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ عند $t = x/2$ ،

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

ومن أجل $n$ عام، اكتب

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

بحكم الحالة $n=1$ والتركيب. وتنتج النهاية عند $-\infty$ بالتعويض $x \mapsto -x$ : $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ . ∎

الدالة الأسية (بالأزرق) تتغلب في النهاية على كل قوة: فهي تتجاوز x2 (بالأحمر) باكرًا و x3 (بالبرتقالي) عند x 4.54. — الدالة الأسية (بالأزرق) تتغلب في النهاية على كل قوة: فهي تتجاوز $x^2$ (بالأحمر) باكرًا و $x^3$ (بالبرتقالي) عند $x \approx 4.54$ .

23.2 اللوغاريتم النيبيري

تعريف 23.5 (اللوغاريتم النيبيري)

الدالة الأسية متصلة ومتزايدة تمامًا من $\R$ على $\intoo{0}{+\infty}$ ؛ فبمبرهنة التقابل (المبرهنة 21.15)، يكون للمعادلة $\eu^x = y$ حل وحيد من أجل كل $y > 0$ . وهذا الحل هو اللوغاريتم النيبيري للعدد $y$ ، ويُكتب $\ln y$ . وهكذا

\text{من أجل } x \in \R,\ y > 0: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

وخاصة $\ln 1 = 0$ و $\ln \eu = 1$ و $\eu^{\ln y} = y$ و $\ln(\eu^x) = x$ .

منحنيا و متناظران أحدهما مع الآخر بالنسبة إلى المستقيم y = x: فالنقطة (x, x) تنعكس إلى ( x, x). — منحنيا $\exp$ و $\ln$ متناظران أحدهما مع الآخر بالنسبة إلى المستقيم $y = x$ : فالنقطة $(x, \eu^x)$ تنعكس إلى $(\eu^x, x)$ .

قضية 23.6 (الخواص الجبرية)

من أجل كل $a, b > 0$ وكل $n \in \Z$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

برهان. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ ، وبأخذ $\ln$ للطرفين نحصل على المتطابقة الأولى. وتنتج الأخريات بالآلية نفسها من المتطابقات الموافقة في القضية 23.2. ∎

قضية 23.7 (الخواص التحليلية)

الدالة $\ln$ قابلة للاشتقاق على $\intoo{0}{+\infty}$ ولها

(\ln x)' = \frac{1}{x},

وهي متزايدة تمامًا ومقعرة، و $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ و $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ . وفوق ذلك، من أجل كل عدد صحيح $n \geq 1$ ،

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

برهان. قابلية اشتقاق الدالة المقلوبة مقبولة في هذا المستوى؛ وبقبولها، اشتق المتطابقة $\eu^{\ln x} = x$ بقاعدة السلسلة: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ ، إذن $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ ، ومنه التزايد التام، و $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ ، ومنه التقعر. أما النهايتان عند $0^+$ و $+\infty$ فتعكسان نهايتي $\exp$ عبر التقابل. وأما مقارنة النمو، فعوّض $x = \eu^{t}$ : $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ لما $t \to +\infty$ حسب المبرهنة 23.4، وبالمثل من أجل النهايات الأخرى مع $x = \eu^{-t}$ ، مما يعطي $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ . ∎

طريقة 23.8 (حل المعادلات بالدالتين $\exp$ و $\ln$ )

كلتا الدالتين متزايدة تمامًا، فيمكن تطبيقهما على طرفي معادلة أو متراجحة (أو حذفهما منهما) دون تغيير الاتجاه:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

وبالمثل من أجل $\ln$ على المقادير الموجبة. وتحقق دائمًا من مجموعات التعريف أولًا (فالدالة $\ln$ تقتضي وسائط موجبة). وأما المعادلات من الشكل $a^x = b$ حيث $a>0$ و $a \neq 1$ ، فأعد كتابتها $a^x = \eu^{x\ln a}$ ثم حل $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ .

مثال 23.9

تتفكك عينة مشعّة وفق العلاقة $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ . ويحقق نصف عمرها $T$ العلاقة $N(T) = N_0/2$ ، أي $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ ، إذن $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : فنصف العمر لا يتعلق بالكمية الابتدائية.

23.3 تمارين

تمرين 23.1 ★

بسّط $\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ و $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ .

حل

حل التمرين 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ .

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ .

تمرين 23.2 ★

حل في $\R$ :

\text{(أ) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(ب) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

حل

حل التمرين 23.2.

(أ) ضع $X = \eu^x > 0$ : فإن $X^2 - 3X + 2 = 0$ يعطي $X = 1$ أو $X = 2$ ، وكلاهما موجب، إذن $x = 0$ أو $x = \ln 2$ .

(ب) مجموعة التعريف: $x - 1 > 0$ و $x + 2 > 0$ ، إذن $x > 1$ . وتصير المعادلة $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ ، ومنه $(x-1)(x+2) = 4$ ، أي $x^2 + x - 6 = 0$ ، إذن $x = 2$ أو $x = -3$ . ولا يقع في مجموعة التعريف إلا $x = 2$ : فيكون $S = \{2\}$ .

تمرين 23.3 ★

احسب النهايات:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

حل

حل التمرين 23.3.

اقسم على $\eu^x$ : $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ ، باستعمال $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (المبرهنة 23.4).

$\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ حسب القضية 23.7 (الحالة $n = 2$ ).

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ .

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ لأن $\frac{\ln x}{x} \to 0$ .

تمرين 23.4 ★★

ادرس الدالة $f(x) = x\,\eu^{-x}$ على $\R$ : التغيرات، والنهايات، والقيمة الحدية؛ وبيّن أن لمنحناها نقطة انعطاف وأعطِ إحداثياتها.

حل

حل التمرين 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ ، وإشارتها إشارة $1 - x$ : فتتزايد $f$ على $\intoc{-\infty}{1}$ ، وتتناقص على $\intco{1}{+\infty}$ ، مع قيمة عظمى شاملة $f(1) = \eu^{-1}$ .

والنهايات: لما $x \to +\infty$ ، $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (المبرهنة 23.4)؛ ولما $x \to -\infty$ ، يكون $x \to -\infty$ و $\eu^{-x} \to +\infty$ ، إذن $f(x) \to -\infty$ .

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ ، وهي تغيّر إشارتها عند $x = 2$ : فنقطة الانعطاف عند $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ .

تمرين 23.5 ★★

بيّن أنه من أجل كل $x > -1$ ، $\ln(1 + x) \leq x$ ، مع المساواة عند $x = 0$ فقط. واستنتج أنه من أجل كل $n \geq 1$ ،

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

حل

حل التمرين 23.5.

لتكن $g(x) = x - \ln(1+x)$ على $\intoo{-1}{+\infty}$ . عندئذٍ $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ ، وهي سالبة على $\intoo{-1}{0}$ و موجبة على $\intoo{0}{+\infty}$ : فتبلغ $g$ قيمتها الصغرى $g(0) = 0$ ، إذن $g \geq 0$ مع المساواة عند $0$ فقط. ومنه $\ln(1+x) \leq x$ .

طبّق ذلك مع $x = \frac1n$ : $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ ، إذن $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ . وطبّقه مع $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ : $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ ، إذن $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ و $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ .

تمرين 23.6 ★★

يُستثمر رأس مال $C_0$ بمعدل سنوي قدره $3\%$ ، والفائدة تُركَّب كل سنة.

عبّر عن رأس المال $C_n$ بعد $n$ سنة.
بعد كم سنة يتضاعف رأس المال؟ أعطِ الجواب المضبوط باستعمال $\ln$ ، ثم قيمة عددية.
قارن بالتقريب “ $70$ مقسومًا على المعدل بالنسبة المئوية” الذي يستعمله المصرفيون.

حل

حل التمرين 23.6.

1. كل سنة تضرب رأس المال في $1.03$ : $C_n = C_0 (1.03)^n$ .

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : فيتضاعف رأس المال بعد $24$ سنة.

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ ، وهو قريب من القيمة المضبوطة $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ . وتنجح القاعدة لأن $\ln(1 + r) \approx r$ من أجل $r$ صغير، إذن $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ .

تمرين 23.7 ★★

حل المتراجحة $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ ، ثم المتراجحة $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ .

حل

حل التمرين 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (فالدالة الأسية متزايدة تمامًا): $S = \intoo{1}{+\infty}$ .

ومجموعة تعريف المتراجحة الثانية: $x^2 - 1 > 0$ و $x + 5 > 0$ ، أي $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ . وعلى هذه المجموعة، وبما أن $\ln$ متزايدة تمامًا،

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

وبالتقاطع مع مجموعة التعريف: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ .

تمرين 23.8 ★★★

لتكن $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ من أجل $x > 0$ .

ادرس تغيرات $f$ على $\intoo{0}{+\infty}$ وأعطِ قيمتها الصغرى.
من أجل أي قيم للعدد $k$ يكون عدد حلول المعادلة $\eu^x = kx$ في $\intoo{0}{+\infty}$ مساويًا $0$ أو $1$ أو $2$ ؟

حل

حل التمرين 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ ، وهي سالبة على $\intoo{0}{1}$ وموجبة على $\intoo{1}{+\infty}$ : فالقيمة الصغرى $f(1) = \eu$ . والنهايات: $f \to +\infty$ عند $0^+$ (البسط $\to 1$ ، والمقام $\to 0^+$ ) وعند $+\infty$ (المبرهنة 23.4).

2. من أجل $x > 0$ ، $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ . ومن جدول التغيرات ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ ، متصلة ورتيبة تمامًا على كل جهة): لا حل من أجل $k < \eu$ ؛ وحل واحد بالضبط ( $x = 1$ ) من أجل $k = \eu$ ؛ وحلان بالضبط من أجل $k > \eu$ (أحدهما في $\intoo{0}{1}$ والآخر في $\intoo{1}{+\infty}$ ، بمبرهنة التقابل على كل فترة).

تمرين 23.9 ★★★

من أجل $n \geq 1$ ، لتكن $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ .

باستعمال التمرين 23.5، بيّن أن $(u_n)$ محدودة من الأعلى بالعدد $\eu$ .
بيّن أن $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ ، ثم استنتج أن $u_n \to \eu$ . (إرشاد: تعرّف على معدل تغير للدالة $\ln$ عند $1$ .)

حل

حل التمرين 23.9.

1. مباشرة من المتراجحة الأولى في التمرين 23.5: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ .

2. اكتب

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

وهو معدل تغير للدالة $\ln$ عند النقطة $1$ بزيادة $h = \frac1n \to 0$ . وبما أن $\ln$ قابلة للاشتقاق عند $1$ ومشتقتها $1$ ، فإن $\ln u_n \to 1$ . وباتصال $\exp$ (القضية 21.12)، $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ .

23.4 مسألة: اللوغاريتم يروّض العالم

مسألة 23.1

مسألة نهاية الأسبوع — أزمنة التضاعف وقاعدة 72، وسلالم الزلازل والأحماض والبيانو، والثابت $\eu$ يترك بصماته في كل مكان

كل ما ينمو بمعدل نسبة مئوية ثابت ينمو نموًا أسيًا — المدخرات، والبكتيريا، والأوبئة — وكل ما يمتد على قوى للعدد عشرة أكثر من أن تُدرَك — طاقات الزلازل، والحموضات، وشدّات الصوت — يروّضه اللوغاريتم. وتحسب هذه المسألة أزمنة التضاعف وتكشف قناع قاعدة المصرفيين 72، وتقرأ سلالم العالم اللوغاريتمية، وتجمع البصمات التي يتركها العدد $\eu$ في كل مسرح جريمة (القضية 23.2 و المبرهنة 23.4 و الطريقة 23.8).

الجزء الأول — التمكّن.

حل: $\eu^{2x} = 5$ ؛ $\ln(3x - 1) = 2$ ؛ $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (وهي تربيعية متنكرة).
بسّط: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ؛ $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ؛ $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
برهن على المتراجحة الأم: $\eu^x \geq 1 + x$ من أجل كل عدد حقيقي $x$ (ادرس $f(x) = \eu^x - 1 - x$ )، ثم استنتج $\ln(1 + u) \leq u$ من أجل $u > -1$ .
احسب $\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ ، و $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (المبرهنة 23.4)، و $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (تعرّف على مشتقة).
ادرس $f(x) = x \ln x$ على $\intoo{0}{+\infty}$ : التغيرات، والقيمة الصغرى، والنهاية عند $0^+$ (وهي مقبولة: $x \ln x \to 0$ ). وهذه الدالة الصغيرة تقيس المعلومة والإنتروبيا عبر الكتب الجامعية.

الجزء الثاني — أزمنة التضاعف وقاعدة 72.

تنمو مدخرات بمعدل $3\,\%$ في السنة. حل $1.03^n = 2$ : فكم من الوقت يلزم لتضاعف رأس المال؟
يقدّر المصرفيون زمن التضاعف بالمقدار $\frac{72}{\text{المعدل }\%}$ . اختبر القاعدة عند $3\,\%$ و $6\,\%$ و $9\,\%$ في مواجهة القيمة المضبوطة $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ ، ثم فسّرها: فمن أجل $r$ صغير، $\ln(1 + r) \approx r$ (ومتراجحة السؤال 3 نصف الحكاية)، إذن يكون الثابت المضبوط هو $100 \ln 2 \approx 69.3$ — فلماذا يفضّل المصرفيون $72$ ؟
تنقسم بكتيريا كل $20$ دقيقة: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ بالدقائق). أعد كتابتها على الصورة $\eu^{\lambda t}$ ، ثم احسب $p$ بعد $24$ ساعة. فماذا يثبت الجواب (أكثر من $10^{21}$ ) عن النموذج — وما الذي يوقف المستعمرات الحقيقية؟
يغادر الكافيين الجسم بنصف عمر يقارب $5$ ساعات. فبعد قهوة قدرها $100$ mg عند 15:00، كم يبقى عند 23:00؟ وفي أي ساعة ينزل تحت $10$ mg؟ (فللأرق لوغاريتم.)
أورو واحد بفائدة سنوية قدرها $100\,\%$ : احسب رأس المال في آخر السنة عند التركيب السنوي والشهري واليومي، وأعطِ السقف الذي برهن التمرين 23.9 على أنه لا يُكسر. فأي ثابت شهير هو نهاية الجشع الخالص؟
لماذا يرسم العلماء $\ln(\text{الحالات})$ في مواجهة الزمن خلال الطور المبكر لوباء؟ وماذا يكشف الخط المستقيم على ذلك الرسم، وماذا يقيس ميله؟

الجزء الثالث — سلالم العالم اللوغاريتمية. (اكتب $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ .)

مستوى الصوت بالديسيبل: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ . و تقيس محادثة $60$ dB، ويقيس حفل روك $120$ dB: فبأي معامل تختلف شدّتا الصوت؟
ترتفع درجات الزلازل بمقدار $1$ عندما تُضرب السعة الزلزالية في $10$ ، وتتناسب الطاقة المحرَّرة مع السعة $^{3/2}$ . قارن زلزالًا درجته $5$ بآخر درجته $7$ : نسبة السعتين، ثم نسبة الطاقتين.
الكيمياء: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ . عصير الليمون درجة حموضته $2$ ، والحليب $6.5$ : فما نسبة تركيزَي الحمض فيهما؟
الموسيقى: كل أوكتاف يضاعف التواتر. فمن أخفض لا في البيانو ( $27.5$ Hz) إلى أعلى دو فيه ( $4\,186$ Hz)، كم أوكتافًا تمتد لوحة المفاتيح؟ ولماذا تفضّل حواسنا — السمع والبصر والإحساس بالزلازل — السلالم اللوغاريتمية؟ (جملة واحدة.)
المسطرة الحاسبة، آلة المهندسين الحاسبة طوال $350$ سنة: عصوان مدرَّجان بحيث يتناسب الطول حتى العلامة $x$ مع $\ln x$ . فسّر كيف يضرب انزلاق عصا على الأخرى الأعداد، وسمِّ المتطابقة من القضية 23.6 التي تقوم بالعمل.

الجزء الرابع — بصمات $\eu$ .

انطلاقًا من التمرين 23.8: للمعادلة $\eu^x = kx$ (حيث $x > 0$ ) عدد حلول يساوي $0$ أو $1$ أو $2$ بحسب موضع $k$ بالنسبة إلى عتبة. أعد صياغة النتيجة — وتحقق من الواقعة الهندسية وراءها: المستقيم $y = \eu x$ هو بالضبط المماس للدالة الأسية المار بالمبدأ.
ثابت الفوز الضائع: مع $n$ تذكرة يانصيب احتمال فوز كل منها $\frac1n$ ، $\P(\text{لا فوز}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ . احسب نهايته بواسطة $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ (باستعمال النهاية المعيارية $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ )، ثم وفّق بينه و العدد الغامض $0.368$ في المسألة 19.1.
قاعدة $37\,\%$ : لاختيار الأفضل من بين $n$ مرشحًا تُجرى مقابلاتهم بترتيب عشوائي (بلا رجوع)، ترفض الاستراتيجية المثلى أول $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ منهم ثم تأخذ أول مرشح أفضل من كل السابقين — فتنجح باحتمال يقارب $\frac1\eu$ . فمن أين يأتي المقداران $\frac1\eu$ في السؤالين 18 و 19 — صُغ الآلية المشتركة (أحداث كثيرة مستقلة ضئيلة الاحتمال)، واحسب $\frac1\eu$ بثلاثة أرقام عشرية.
الخاتمة — صورة $\eu$ : سقف التركيب (السؤال 10)؛ والأساس الذي ميل مماسه عند $0$ يساوي $1$ بالضبط (السؤالان 3 و 4)؛ والنمو الذي لا يلحقه كثير حدود (السؤال 4)؛ وثابت الفوز الضائع والتوقف الأمثل (السؤالان 18–19)؛ ومقلوبه $\ln$ ، الذي يحوّل الجداءات إلى مجاميع (السؤال 16) والعقود إلى بوصات (الجزء الثالث). جملة واحدة لكل بند.

حل

حل المسألة 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . ومع $u = \eu^x$ : $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : أي $x = 0$ أو $x = \ln 2$ .

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ؛ $3 + \frac12 = \frac72$ ؛ $\frac52$ .

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : سالبة قبل $0$ وموجبة بعدها: فالقيمة الصغرى $f(0) = 0$ ، إذن $f \geq 0$ في كل مكان: $\eu^x \geq 1 + x$ . وبالتعويض $x = \ln(1 + u)$ : $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ ، أي $\ln(1 + u) \leq u$ .

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ و $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : فالدوال الأسية تسحق القوى، والقوى تسحق اللوغاريتمات. و $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ .

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : تنعدم عند $\eu^{-1}$ ، وهي سالبة قبله وموجبة بعده: فالقيمة الصغرى $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ؛ و $x \ln x \to 0$ عند $0^+$ : فالمنحنى يغادر المبدأ، وينخفض إلى $-\frac1\eu$ ، ثم يتسلق مبتعدًا.

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ سنة.

7. المضبوط: $23.4$ و $11.9$ و $8.0$ سنة؛ وقاعدة 72: $24$ و $12$ و $8$ . وبما أن $\ln(1+r) \approx r$ ، فإن $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ ، أي $\frac{69.3}{\text{المعدل}\%}$ ؛ ويقرّب المصرفيون إلى $72$ لأنه يقبل القسمة قسمة جميلة على $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ — فالحساب الذهني يتغلب على رقم عشري من الدقة.

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : أي $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ في الدقيقة. وبعد $24 \times 60 = 1440$ دقيقة: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ بكتيريا — أي أكثر من حبات الرمل على الأرض، من خلية واحدة في يوم واحد. والنموذج أمين ما دام الغذاء والمكان متوافرين: أما النمو الحقيقي فينحني إلى منحنى S اللوجستي (وهو منحنى عالِم الأوبئة في المسألة 22.1).

9. عند 23:00 (أي $8$ ساعات): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg. وتحت $10$ mg: يعطي $2^{-t/5} < 0.1$ أن $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ h: أي نحو 7:40 من صباح اليوم التالي — فللإسبريسو عند الثالثة ذيل طويل.

10. سنويًا: $2$ . وشهريًا: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ . ويوميًا: $\approx 2.715$ . والسقف: $\eu = 2.71828\ldots$ (التمرين 23.9) — فبالتركيب المتصل، يتقارب الجشع.

11. إذا نمت الحالات نموًا أسيًا، $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ ، فإن $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : أي مستقيم ميله $\lambda$ — وهو معدل النمو. والامتداد المستقيم على الرسم اللوغاريتمي هو الطور الأسي، وانحداره هو إيقاع الوباء.

12. $120 - 60 = 60$ dB يعني $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : فالحفل أشد من المحادثة $10^6$ — أي مليون مرة.

13. السعة: $10^{7-5} = 100$ . والطاقة: $100^{3/2} = 1000$ : فدرجتان من المقياس تخفيان ثلاث رتب قدر في الطاقة.

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : فعصير الليمون أشد حموضة من الحليب ثلاثين ألف مرة — إذ يضغط مقياس الحموضة هوّات الكيمياء في سلّم جيب.

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : فالبيانو يمتد على ما يزيد قليلًا على سبعة أوكتافات. والحواس تستجيب إلى نسب المنبهات — فمضاعفة الشدة تُحسّ خطوة واحدة، مهما كان المستوى الابتدائي — إذن الإدراك مبني على سلّم لوغاريتمي، وكذلك الوحدات التي اخترعناها له.

16. وضع عصا العدد $a$ طرفًا إلى طرف مع موضع العدد $b$ يجمع الطولين $\ln a + \ln b$ ، و التدريجة الجالسة عند ذلك الطول الكلي تُقرأ $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ : فالمسطرة الحاسبة تحسب الجداءات بجمع اللوغاريتمات — إنها $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (القضية 23.6) محفورة في خشب البقس.

17. القيمة الصغرى للدالة $\frac{\eu^x}{x}$ على $\intoo{0}{+\infty}$ هي $\eu$ ، عند $x = 1$ : فلا حل من أجل $k < \eu$ ، وحل واحد بالضبط من أجل $k = \eu$ ، وحلان من أجل $k > \eu$ . والتحقق بالمماس: عند $a = 1$ يكون المماس للمنحنى $\eu^x$ هو $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ : وهو يمر بالمبدأ — إنه مستقيم العتبة، الذي يلامس المنحنى عند $(1, \eu)$ .

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ ، إذن $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : أي $0.999^{1000} \approx 0.368$ في المسألة 19.1، مفسَّرًا — فثابت الفوز الضائع في اليانصيب هو $\frac1\eu$ .

19. كلاهما الشكل النهائي لعبارة “أحداث كثيرة مستقلة، كل منها في ذاته غير محتمل”: فاحتمال ألا ينطلق أي من $n$ فرصة حجم كل منها $\frac1n$ يؤول إلى $\eu^{-1}$ ، وقاعدة السكرتيرة تضبط نافذة رفضها حتى يتركز النجاح عند ذلك الثابت نفسه. $\frac1\eu \approx 0.368$ .

20. سقف التركيب؛ والأساس الوحيد الذي ميل مماسه عند $0$ يساوي $1$ (ولهذا يحبه التحليل)؛ والنمو الذي يسبق كل قوة؛ والثابت الذي عنده تستقر حالات الفوز الضائع والتوقف الأمثل؛ واللوغاريتم — الضرب وقد صار جمعًا، ومدى العالم الأوسع وقد طُوي على مسطرة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

اللوغاريتم النيبيري

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد