رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

26المعادلات التفاضلية

تربط المعادلة التفاضلية دالة بمشتقاتها. وتعبّر الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد عن قوانينها بهذه الصورة: فمعدل تبرّد جسم، وتفكك نواة مشعّة، ونمو مجموعة سكانية، كلها عبارات عن $y'$ . ويحل هذا الفصل حلًا كاملًا المعادلات الخطية من المرتبة الأولى ذات المعاملات الثابتة.

26.1 المعادلة $y' = ay$

تعريف 26.1 (المعادلة التفاضلية)

المعادلة التفاضلية هي معادلة مجهولها دالة $y$ ، وتتضمن $y$ ومشتقاتها. و الحل على فترة $I$ هو دالة قابلة للاشتقاق تحقق المعادلة عند كل نقطة من $I$ .

مبرهنة 26.2 (حلول $y' = ay$ )

ليكن $a \in \R$ . حلول المعادلة $y' = ay$ على $\R$ هي بالضبط الدوال

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

ومن أجل كل زوج $(x_0, y_0)$ يوجد حل وحيد حيث $y(x_0) = y_0$ .

برهان. كل دالة $y = C\eu^{ax}$ تحقق $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ . وبالعكس، لتكن $y$ أي حل ولنضع $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ . عندئذٍ

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

إذن $z$ ثابتة، ولتكن $C$ ، ويكون $y(x) = C\eu^{ax}$ . والشرط الابتدائي $y(x_0) = y_0$ يفرض $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ ، على نحو وحيد. ∎

ملاحظة 26.3

وهكذا تتميز الدالة الأسية بأبسط المعادلات التفاضلية على الإطلاق: نمو يتناسب مع الحجم. ولهذا تظهر في كل مكان من الطبيعة.

تفرض المعادلة y' = y ميلًا عند كل نقطة من المستوي (القطع الرمادية). والحلول C x — وهنا C = 1 (بالأزرق) و C = 0.3 (بالأحمر) و C = -0.5 (بالبرتقالي) — هي بالضبط المنحنيات التي تتبع حقل الميول هذا. — تفرض المعادلة $y' = y$ ميلًا عند كل نقطة من المستوي (القطع الرمادية). والحلول $C\eu^{x}$ — وهنا $C = 1$ (بالأزرق) و $C = 0.3$ (بالأحمر) و $C = -0.5$ (بالبرتقالي) — هي بالضبط المنحنيات التي تتبع حقل الميول هذا.

مثال 26.4 (التفكك الإشعاعي)

تحقق كمية مشعّة العلاقة $N' = -\lambda N$ حيث $\lambda > 0$ ، إذن $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ؛ وانظر المثال 23.9 من أجل نصف العمر.

26.2 المعادلة $y' = ay + b$

مبرهنة 26.5 (حلول $y' = ay + b$ )

ليكن $a \neq 0$ و $b \in \R$ . حلول المعادلة $y' = ay + b$ على $\R$ هي بالضبط الدوال

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

والدالة الثابتة $y_p = -\frac ba$ هي الحل التوازني. ومن أجل كل $(x_0, y_0)$ يوجد حل وحيد حيث $y(x_0) = y_0$ ؛ وإذا كان $a < 0$ ، آل كل حل إلى التوازن $-\frac ba$ لما $x \to +\infty$ .

برهان. المقدار الثابت $y_p = -\frac{b}{a}$ يحقق $y_p' = 0 = a y_p + b$ . والآن تكون $y$ حلًا إذا وفقط إذا كان

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

أي إذا وفقط إذا كانت $z = y - y_p$ حلًا للمعادلة $z' = az$ . وحسب المبرهنة 26.2، $z = C\eu^{ax}$ ، ومنه الصيغة والوجود والوحدانية. وإذا كان $a < 0$ ، فإن $\eu^{ax} \to 0$ لما $x \to +\infty$ ، إذن $y(x) \to -\frac ba$ . ∎

طريقة 26.6 (حل $y' = ay + b$ مع شرط ابتدائي)

أوجد الحل التوازني $y_p = -\frac{b}{a}$ (بحل $y' = 0$ ).
اكتب الحل العام $y = C\eu^{ax} + y_p$ .
حدّد $C$ من الشرط الابتدائي.
تحقق من السلوك بعيد المدى في مواجهة الحدس الفيزيائي (فهل يتقارب الحل إلى التوازن؟).

والاستراتيجية نفسها — حل خاص + الحل العام للمعادلة المتجانسة — تمتد إلى $y' = ay + f(x)$ : انظر القضية 26.8.

مثال 26.7 (قانون نيوتن في التبرّد)

فنجان قهوة عند $80\,^\circ$ C يقف في غرفة عند $20\,^\circ$ C. وينص قانون نيوتن على أن درجة الحرارة $T$ تحقق $T' = -k(T - 20)$ من أجل $k > 0$ ما، أي $T' = -kT + 20k$ . والتوازن هو $20$ ، و $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : فتبرد القهوة بسرعة أسية إلى درجة حرارة الغرفة.

مهما كانت درجة حرارتها الابتدائية، تتقارب كل حلول T' = -k(T - 20) تقاربًا أسيًا إلى التوازن T = 20. — مهما كانت درجة حرارتها الابتدائية، تتقارب كل حلول $T' = -k(T - 20)$ تقاربًا أسيًا إلى التوازن $T = 20$ .

26.3 المعادلة $y' = ay + f(x)$

قضية 26.8 (بنية مجموعة الحلول)

لتكن $f$ متصلة على فترة $I$ وليكن $y_p$ حلًا خاصًا واحدًا للمعادلة

y' = ay + f(x)

على $I$ . عندئذٍ تكون الحلول على $I$ هي بالضبط الدوال $y = C\eu^{ax} + y_p$ ، حيث $C \in \R$ .

برهان. كما في المبرهنة 26.5: تكون $y$ حلًا إذا وفقط إذا كانت $z = y - y_p$ تحقق $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ ، أي إذا وفقط إذا كانت $z = C\eu^{ax}$ . ∎

طريقة 26.9 (تخمين حل خاص)

ابحث عن حل خاص من شكل $f$ نفسه:

إذا كانت $f$ كثير حدود درجته $n$ : فجرّب كثير حدود درجته $n$ ؛
$f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ حيث $k \neq a$ : فجرّب $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ ؛
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (حالة الرنين): فجرّب $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ .

ثم عوّض في المعادلة وطابق المعاملات.

مثال 26.10

حل $y' = 2y + 4x$ . جرّب $y_p = \alpha x + \beta$ : فإن $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ من أجل كل $x$ يفرض $2\alpha + 4 = 0$ و $\alpha = 2\beta$ ، إذن $\alpha = -2$ و $\beta = -1$ . والحل العام: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ .

26.4 تمارين

تمرين 26.1 ★

حل على $\R$ : (أ) $y' = 3y$ حيث $y(0) = 2$ ؛ (ب) $2y' + y = 0$ حيث $y(0) = -1$ ؛ (ج) $y' = -y + 5$ حيث $y(0) = 0$ .

حل

حل التمرين 26.1.

(أ) $y = C\eu^{3x}$ ؛ و $y(0) = 2$ يعطي $y = 2\eu^{3x}$ .

(ب) $y' = -\frac12 y$ ، إذن $y = C\eu^{-x/2}$ ؛ و $y(0) = -1$ يعطي $y = -\eu^{-x/2}$ .

(ج) التوازن $y_p = 5$ ؛ و $y = C\eu^{-x} + 5$ ؛ و $y(0) = 0$ يعطي $C = -5$ : $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ .

تمرين 26.2 ★

تنمو مجموعة بكتيرية بمعدل يتناسب مع حجمها، فتتضاعف كل $3$ ساعات. اكتب المعادلة التفاضلية التي يحققها التعداد $N(t)$ وحدّد ثابت التناسب.

حل

حل التمرين 26.2.

$N' = kN$ ، إذن $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ . والتضاعف في $3$ ساعات يعني $\eu^{3k} = 2$ ، أي

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

تمرين 26.3 ★

تحقق من أن $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ حل للمعادلة $y' = y + \eu^x$ ، و أعطِ كل الحلول على $\R$ .

حل

حل التمرين 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : إذن $y_p$ حل خاص (وهذه هي حالة الرنين في الطريقة 26.9). وحسب القضية 26.8، تكون الحلول $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ ، حيث $C \in \R$ .

تمرين 26.4 ★★

حل $y' = -2y + \eu^{x}$ حيث $y(0) = 1$ . (إرشاد: ابحث عن حل خاص من الشكل $\beta\,\eu^{x}$ .)

حل

حل التمرين 26.4.

جرّب $y_p = \beta\eu^x$ : فإن $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ يعطي $3\beta = 1$ ، إذن $y_p = \frac13\eu^x$ . والحل العام $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ؛ والشرط $y(0) = 1$ يعطي $C = \frac23$ :

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

تمرين 26.5 ★★

يتفكك الكربون 14 بنصف عمر قدره $5730$ سنة. وتحوي عينة أثرية $60\%$ من كربون 14 الذي في كائن حي. قدّر عمرها.

حل

حل التمرين 26.5.

$N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ مع $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ (المثال 23.9). ونحل $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ :

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ سنة}.

تمرين 26.6 ★★

خزان يحوي $100$ L من الماء النقي. ويدخله محلول ملحي فيه $0.2$ kg من الملح في كل لتر بمعدل $5$ L/min، ويخرج المزيج (المحفوظ متجانسًا) بالمعدل نفسه. وليكن $m(t)$ كتلة الملح في الخزان عند اللحظة $t$ (بالدقائق).

برّر أن $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ .
حل، وحدّد نهاية $m(t)$ لما $t \to +\infty$ . وفسّر.

حل

حل التمرين 26.6.

1. يدخل الملح بمعدل $0.2 \times 5 = 1$ kg/min. ويحمل التدفق الخارج تركيزًا $\frac{m}{100}$ kg/L بمعدل $5$ L/min، أي $\frac{m}{20}$ kg/min. ومنه $m' = 1 - \frac{m}{20}$ .

2. التوازن $m_p = 20$ ؛ و $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ ، و $m(0) = 0$ يعطي $C = -20$ :

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

وعلى المدى الطويل يساوي تركيز الخزان تركيز المحلول الداخل: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg.

تمرين 26.7 ★★

قافزة بالمظلة كتلتها $80$ kg تسقط تحت تأثير الثقالة ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) ومقاومة الهواء المتناسبة مع السرعة، بحيث تحقق سرعتها $v' = g - \frac{k}{m}v$ حيث $k = 16$ kg/s.

حل المعادلة حيث $v(0) = 0$ .
احسب السرعة الحدية $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ ، ثم الزمن اللازم لبلوغ $95\%$ منها.

حل

حل التمرين 26.7.

1. $v' = g - \frac{k}{m} v$ مع $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ . والتوازن $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s؛ و $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ ، و $v(0) = 0$ يعطي

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. السرعة الحدية $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h). ونريد $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ ، أي $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

تمرين 26.8 ★★★

(المعادلة اللوجستية.) تحقق مجموعة سكانية $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (منسوبةً إلى التعداد الأقصى) العلاقة

y' = y(1 - y).

ليكن $z = \dfrac{1}{y}$ . بيّن أن $z$ تحقق المعادلة الخطية $z' = -z + 1$ .
حل بالنسبة إلى $z$ ، ثم بالنسبة إلى $y$ ، حيث $y(0) = \frac{1}{10}$ .
بيّن أن $y(t) \to 1$ لما $t \to +\infty$ وارسم تقريبيًا شكل منحنى الحل.

حل

حل التمرين 26.8.

1. $z = \frac1y$ يعطي $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ .

2. التوازن $z_p = 1$ ، إذن $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ . ومن $y(0) = \frac{1}{10}$ ، يكون $z(0) = 10$ ، إذن $C = 9$ و

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. لما $t \to +\infty$ ، يكون $9\eu^{-t} \to 0$ و $y(t) \to 1$ . والمنحنى هو المنحنى اللوجستي الكلاسيكي على شكل S (السيني): نمو بطيء في البداية ( $y$ صغير و $y' \approx y$ )، وأسرع نمو عند $y = \frac12$ (حيث يكون $y' = y(1-y)$ أعظميًا)، ثم إشباع نحو سعة الاحتمال $1$ .

تمرين 26.9 ★★★

لتكن $y$ حلًا للمعادلة $y' = ay + b$ وليكن $u_n = y(n)$ من أجل $n \in \N$ . بيّن أن $(u_n)$ تحقق علاقة تراجعية حسابية هندسية $u_{n+1} = q u_n + r$ ، وعبّر عن $q$ و $r$ بدلالة $a$ و $b$ . وما الذي يوافقه الشرط $\abs{q} < 1$ بالنسبة إلى المعادلة التفاضلية؟

حل

حل التمرين 26.9.

حسب المبرهنة 26.5، $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ . ومنه

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

مع $q = \eu^{a}$ و $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ . والشرط $\abs q < 1$ يعني $\eu^a < 1$ ، أي $a < 0$ : وهو بالضبط الشرط الذي تتقارب تحته حلول المعادلة التفاضلية إلى التوازن $-\frac ba$ — وفعلًا فإن النقطة الثابتة للعلاقة التراجعية هي $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ .

26.5 مسألة: الساعة التي داخل الأشياء

مسألة 26.1

مسألة نهاية الأسبوع — الكربون 14 يؤرّخ الكهوف، وقانون نيوتن في التبرّد يوقّت جريمة، ومعادلة صغيرة واحدة ترتدي أربعة أثواب

المعادلة التفاضلية قانون تغيّر؛ وحلّها يحوّل القانون إلى ساعة. والمعادلة الصغيرة نفسها $y' = ay + b$ (المبرهنة 26.5) تدقّ داخل الفحم ما قبل التاريخي، والقهوة المتبرّدة، وقطرات المطر الساقطة، و المحاليل الوريدية في المستشفى — وقراءة تلك الساعات هي شغل هذه المسألة: فهي تؤرّخ رسوم لاسكو، وتحدّد ساعة وفاة، وتدقّق فرضياتها كما يفعل عالِم جيد.

الجزء الأول — التمكّن.

حل $y' = 3y$ حيث $y(0) = 2$ ؛ ثم $y' = -2y + 6$ حيث $y(0) = 0$ (الطريقة 26.6).
أعد استخراج حيلة الوحدانية وراء المبرهنة 26.2: إذا كان $y' = ay$ ، فاحسب مشتقة $y(t)\,\eu^{-at}$ واستنتج أن كل حل هو $C\eu^{at}$ .
من أجل $y' = -2y + 6$ : أوجد الحل التوازني، ثم صِف مصير كل حل آخر لما $t \to +\infty$ . (وهي النقط الثابتة لعلاقات المسألة 13.1 التراجعية، وقد صارت متصلة.)
من أجل قانون التفكك $y' = -\frac{y}{\tau}$ : بيّن أن نصف العمر هو $t_{1/2} = \tau \ln 2$ .
ارسم تقريبيًا (أو صِف) عائلة حلول $y' = -2y + 6$ : فماذا تفعل الحلول التي تبدأ فوق $3$ ؟ وتحت $3$ ؟ وعند $3$ ؟

الجزء الثاني — الكربون 14. تحافظ الأنسجة الحية على نسبة ثابتة من الكربون 14 المشعّ؛ وعند الموت يتوقف الاستهلاك ويتفكك المخزون: $N' = -\lambda N$ ، ونصف العمر $5\,730$ سنة.

احسب $\lambda$ (في السنة).
عظمة تحتفظ بنسبة $20\,\%$ من نسبة الحي: فكم عمرها؟
يحتفظ فحم من كهوف لاسكو المرسومة بنحو $15\,\%$ : فأرّخ الرسوم.
رجل الجليد أوتزي، الذي وُجد في نهر جليدي في الألب، بلغ قياسه نحو $53\,\%$ : فأرّخه (ويقول علماء الآثار نحو $5\,300$ سنة — فكيف كان أداؤك؟).
لماذا لا يستطيع الكربون 14 تأريخ الديناصورات؟ احسب الجزء الباقي بعد عشرة أنصاف أعمار، وصُغ الجزء بعد $65$ مليون سنة على صورة قوة للعدد $2$ ، ثم اختم.
حدود الخطأ: إذا لم تكن نسبة أوتزي $53\,\%$ معلومة إلا بدقة $\pm 1\,\%$ ، فاحسب مجال العمر. فأي دقة في المخبر تشتري أي دقة في التأريخ؟

الجزء الثالث — تبرّد نيوتن، وجريمة. جسم درجة حرارته $T$ في محيط درجة حرارته ثابتة $T_a$ يبرد وفق $T' = -k\,(T - T_a)$ .

حل المعادلة (بالتعويض $z = T - T_a$ ):

$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$
قهوة تُصبّ عند $90\,^\circ$ C في غرفة عند $20\,^\circ$ C تقيس $70\,^\circ$ C بعد $5$ دقائق. حدّد $k$ ، ثم زمن الانتظار حتى تصير قابلة للشرب عند $55\,^\circ$ C.
مسألة الحليب: لشرب أدفأ قهوة ممكنة خلال عشر دقائق، أينبغي وضع الحليب البارد الآن أم في اللحظة الأخيرة؟ أجب بالمعادلة (فماذا تفعل إضافة الحليب بالفجوة $T - T_a$ ، وكيف تقود الفجوة الفقد؟).
الطب الشرعي: يُعثر على جثة عند منتصف الليل عند $30\,^\circ$ C في غرفة عند $20\,^\circ$ C؛ وبعد ساعة تقيس $28\,^\circ$ C. وبافتراض $37\,^\circ$ C عند لحظة الوفاة، استعد $k$ من القياسين، ثم احسب ساعة الوفاة.
دقّق ساعة الطبيب الشرعي: سمِّ ثلاثة انتهاكات واقعية لفرضيات النموذج، وسمِّ الجهة التي يحرف نحوها كل منها ساعة الوفاة المقدَّرة.

الجزء الرابع — أربعة أثواب ومنحنى S.

المعادلة اللوجستية في التمرين 26.8، $y' = y(1 - y)$ حيث $y(0) = 0.1$ : باستعمال تعويض التمرين، استخرج $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ ، ثم أوجد لحظة نقطة الانعطاف $y = \frac12$ — وهو تاريخ عالِم الأوبئة في المسألة 22.1، وقد صار قابلًا للحساب.
قطرة مطر تطيع $v' = 10 - \frac v2$ (الثقالة ناقص قوة السحب)، حيث $v(0) = 0$ . أوجد السرعة الحدية، ثم حل لإيجاد $v(t)$ ، ثم احسب متى تبلغ القطرة $95\,\%$ من السرعة الحدية.
محلول وريدي في مستشفى يسلّم دواءً بمعدل ثابت بينما يطرحه الجسم تناسبيًا: $c' = 4 - 0.5c$ حيث $c(0) = 0$ . أوجد التركيز المستقر والزمن اللازم لبلوغ نصفه. وصُغ في جملة واحدة التوازي مع علاقات القرض التراجعية في التمرين 26.9.
الخاتمة — معادلة واحدة، وأربعة أثواب: التفكك، والتبرّد، والسقوط، والجرعات، وكلها $y' = ay + b$ بإشارات وأسماء مختلفة. اسرد حلقة النمذجة التي شغّلتها هذه المسألة أربع مرات (قانون $\to$ معادلة $\to$ حل $\to$ معايرة $\to$ تنبؤ $\to$ تدقيق)، وسمِّ الظاهرة التي تحتاج إلى $y''$ — وأي مسألة لقيتها من قبل.

حل

حل المسألة 26.1.

1. $y = 2\eu^{3t}$ . ومن أجل الثانية: التوازن $3$ ، إذن $y = 3 + C\eu^{-2t}$ مع $y(0) = 0$ : أي $C = -3$ : $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$ .

2. $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : فالجداء مقدار ثابت $C$ ، إذن $y = C\eu^{at}$ — فلا حل يفلت.

3. التوازن: $y \equiv 3$ . وكل حل آخر هو $3 + C\eu^{-2t}$ حيث $C \neq 0$ : فتموت الدالة الأسية وينزلق الحل إلى $3$ — وهي نقطة ثابتة مستقرة، التوأم المتصل للنقط الثابتة التراجعية في المسألة 13.1.

4. $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ ينتصف عندما يكون $\eu^{-t/\tau} = \frac12$ : أي $t = \tau\ln 2$ .

5. كل الحلول انسحابات شاقولية للتفكك نحو $3$ : فالتي تبدأ فوقه تهبط إلى $3$ ، والتي تبدأ تحته ترتفع إلى $3$ ، والحل الثابت $3$ يقف ساكنًا — إنه قِمع حول التوازن.

6. $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ في السنة.

7. $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ : $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ سنة.

8. $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ سنة: فثيران لاسكو من أواخر العصر الجليدي.

9. $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ سنة: أي ضمن عمر إنسان من قيمة علماء الآثار — فالساعة تعمل.

10. عشرة أنصاف أعمار تترك $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ : أي على حافة القياس. وبعد $65$ مليون سنة يكون الجزء $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ : فلا تبقى ذرة من المخزون الأصلي في أي أحفورة — وتُؤرَّخ الديناصورات بساعات أبطأ (البوتاسيوم–الأرغون وأمثاله).

11. $52\,\%$ تعطي $\approx 5\,405$ سنة، و $54\,\%$ تعطي $\approx 5\,095$ : أي إن $\pm 1\,\%$ من الكيمياء تصير نحو $\pm 155$ سنة من التاريخ — فالدقة في المخبر دقة في لوحة المتحف.

12. $z = T - T_a$ تحقق $z' = -kz$ : $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ ، و $T = T_a + z$ .

13. الفجوة الابتدائية $T_0 - T_a = 70$ ؛ وبعد خمس دقائق تكون الفجوة $70 - 20 = 50$ ، إذن $50 = 70\eu^{-5k}$ : أي $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ في الدقيقة. وتصير قابلة للشرب عند: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$ : $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ دقيقة.

14. معدل الفقد يتناسب مع الفجوة $T - T_a$ : فالقهوة الحارقة تنزف الحرارة أسرع. وإضافة الحليب الآن تقلّص الفجوة فورًا، فيُفقد حرّ أقل خلال العشر دقائق؛ أما إضافته في النهاية فتترك القهوة تبرد بأقصى سرعة أولًا. فمن أجل أدفأ فنجان: الحليب أولًا. (والمضيفون العجولون يقلبون الترموديناميك.)

15. الفجوات عن المحيط: عند منتصف الليل $10$ ، وبعد ساعة $8$ : إذن $\eu^{-k} = 0.8$ : $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ في الساعة. وعند الوفاة كانت الفجوة $17$ ؛ وقد تفككت إلى $10$ عند منتصف الليل: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ ساعة. فساعة الوفاة: نحو $21{:}40$ .

16. غرفة مدفَّأة أو ذات تيار هواء ( $T_a$ غير ثابتة) تحرف الساعة في أي من الجهتين؛ والملابس أو كتلة الجسم تغيّر $k$ (وجداول الطبيب الشرعي تصحّح لذلك) — و $k$ الخاطئ يضرب الفترة كلها بمعامل؛ وجثة نُقلت من مكان آخر تعيد ضبط $T_a$ في منتصف التفكك، فتزيّف وفاة أبكر أو أمتأخر. فالمعادلة أمينة؛ والفرضيات هي التي تحمل الخطر.

17. $z = \frac1y$ تطيع $z' = 1 - z$ : $z = 1 + 9\eu^{-t}$ (من $z(0) = 10$ )، إذن $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ . والانعطاف عند $y = \frac12$ : $9\eu^{-t} = 1$ : $t = \ln 9 \approx 2.2$ — وهو تاريخ انقلاب الوباء، مباشرة من الصيغة.

18. السرعة الحدية: $v' = 0$ عند $v = 20$ m/s. والحل: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ . ثم $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$ : $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — فقطرات المطر تبلغ سرعتها المستقرة في ثوانٍ، ولهذا لا يقتل المطر.

19. الحالة المستقرة: $c = 8$ . ونصفها: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ : $\eu^{-t/2} = \frac12$ : $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ ساعة. فالمحلول الوريدي هو التوأم المتصل للقرض: دخل ثابت، وخروج تناسبي — و التمرين 26.9 يجعل القاموس مضبوطًا.

20. التفكك ( $a < 0$ و $b = 0$ )، والتبرّد ( $y = T - T_a$ )، والسقوط ( $a < 0$ و $b > 0$ : اقتراب من التوازن من تحت)، والجرعات (المثل نفسه، في وريد): معادلة واحدة، وأربعة عوالم. والحلقة: صُغ قانون التغيّر؛ واكتب المعادلة؛ وحلّ (الطريقة 26.6)؛ وعاير الثوابت على القياسات؛ وتنبّأ؛ ثم دقّق الفرضيات (السؤال 16). وأما التذبذب فيحتاج إلى $y'' = -\omega^2 y$ — وقد لُقي وحُلّ و أُطلق متأرجحًا في المسألة 24.1.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

المعادلة التفاضلية

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد