Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

14Osciladores mecánicos: amortiguamiento y resonancia

Empújese el columpio de un niño en el momento equivocado y no pasará gran cosa; empújese una vez por periodo, con suavidad, y en una docena de vaivenes el niño chilla en lo más alto del arco. Una lavadora vibra con violencia a una velocidad concreta de su centrifugado y se calma por encima de ella. Una copa de vino canta cuando un dedo húmedo recorre su borde al ritmo justo, y estalla cuando un cantante mantiene esa misma nota con bastante fuerza. Todos esos casos son una resonancia: un sistema con una frecuencia propia, excitado cerca de esa frecuencia, acumula energía ciclo tras ciclo hasta que el rozamiento la drena tan deprisa como entra. Este capítulo toma el oscilador mecánico — libre, amortiguado y después forzado — y deduce las curvas de resonancia cuyas gemelas eléctricas aparecieron en Capítulo 8.

14.1 El oscilador armónico

Definición 14.1 (Oscilador armónico)

Un sistema cuyo desplazamiento $x$ respecto de un equilibrio estable cumple

\ddot x + \omega_0^2\,x = 0

es un oscilador armónico de frecuencia angular propia $\omega_0$ (periodo $T_0 = 2\pi/\omega_0$ ). La solución $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ tiene una amplitud y una fase fijadas por las condiciones iniciales y un periodo independiente de la amplitud (isocronismo).

Proposición 14.2 (De dónde salen los osciladores armónicos)

Masa $m$ sobre un resorte $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ (ley de Hooke).
Péndulo simple de longitud $\ell$ , ángulos pequeños: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
Cualquier punto material cerca de un equilibrio estable de un potencial $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ (Proposición 13.12).
Circuito LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ , con $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

La energía $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12 m\omega_0^2A^2$ es constante y va y viene entre la forma cinética y la potencial dos veces por periodo.

Demostración. La segunda ley de Newton con $F = -kx$ ; la ecuación del péndulo $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ con $\sin\theta \approx \theta$ ; la fórmula de Taylor en el mínimo de $E_p$ ; la ley de las mallas del circuito LC. Energía: derívese y úsese la ecuación. ∎

Ejemplo 14.3 (Un cilindro que cabecea)

Un cilindro vertical de sección $S$ flota con una profundidad $h$ sumergida ( $mg = \rho_wgSh$ , empuje según Capítulo 21). Si se hunde una cantidad $x$ , recibe una fuerza adicional hacia arriba $\rho_wgSx$ : $m\ddot x = -\rho_wgSx$ , luego $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — lo mismo que un péndulo de longitud $h$ . Una boya sumergida $1\,\mathrm{m}$ cabecea con un periodo de $2\,\mathrm{s}$ , sea cual sea su masa.

14.2 El oscilador amortiguado

Proposición 14.4 (Oscilador amortiguado)

Con un rozamiento viscoso $-\alpha\dot x$ , la ecuación pasa a ser

\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},

la forma canónica de segundo orden de Capítulo 7: para $Q > \tfrac12$ , un decaimiento seudoperiódico $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t + \varphi)$ con $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; la energía decae como $\eu^{-2t/\tau}$ y

Q = 2\pi\,\frac{\text{energía almacenada}}{\text{energía perdida por periodo}} \quad (Q \gg 1) .

Demostración. Divídase $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ por $m$ . Para la energía: $E \propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ pierde la fracción $2T/\tau = 2\pi/Q$ por periodo cuando esta es pequeña. ∎

Ejemplo 14.5 (Tiempos de extinción)

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ todavía suena diez segundos después de golpearlo: su amplitud cayó a un $5\%$ en $3\tau = 10\,\mathrm{s}$ , luego $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ y $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$ . La suspensión de un coche ( $Q \approx 0.7$ ) se para en menos de un periodo; el columpio de un niño ( $Q \approx 20$ ) pierde un tercio de su energía por vaivén y necesita un empujón cada vez.

14.3 Oscilaciones forzadas y resonancia

Teorema 14.6 (Oscilador excitado sinusoidalmente)

Excitado por una fuerza $F_0\cos\omega t$ , el oscilador amortiguado

m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t

se instala, tras un transitorio de duración $\sim\tau$ , en el régimen forzado $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ con, escribiendo $x_r = \omega/\omega_0$ y $X_0 = F_0/k$ el desplazamiento estático,

X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .

La amplitud $X$ presenta un máximo, si $Q > 1/\sqrt2$ , en $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , con $X_{\max} \approx QX_0$ ; la amplitud de velocidad $V = \omega X$ es máxima exactamente en $\omega_0$ , donde $V_{\max} = F_0/\alpha$ , y su curva de resonancia

\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}

tiene el ancho de banda $\Delta\omega = \omega_0/Q$ . En $\omega_0$ el desplazamiento se retrasa $\pi/2$ respecto de la fuerza y la velocidad está en fase con ella.

Demostración. Método complejo (Capítulo 8): $\underline X(-\omega^2 + j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$ , luego $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$ ; divídanse numerador y denominador por $\omega_0^2 = k/m$ . El módulo y el argumento se siguen; el máximo de $X$ se localizó en Proposición 8.10 (la misma función). Velocidad: $\underline V = j\omega\underline X$ da $V = \omega X$ ; escribir $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ convierte el denominador en $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$ , es decir la forma del RLC. En $x_r = 1$ , $\underline X = -jQX_0$ : un retraso de $\pi/2$ . ∎

Amplitud (izquierda) y fase (derecha) del oscilador forzado frente a la frecuencia de excitación, para varios factores de calidad. Un pico agudo cerca de _0 para Q grande, y ninguno por debajo de Q = 1/√2; el desplazamiento pasa de estar en fase ( baja) a estar en oposición ( alta), a través de un retraso de π/2 en _0 — cuanto más aguda la resonancia, más brusco el cambio. — Amplitud (izquierda) y fase (derecha) del oscilador forzado frente a la frecuencia de excitación, para varios factores de calidad. Un pico agudo cerca de $\omega_0$ para $Q$ grande, y ninguno por debajo de $Q = 1/\sqrt2$ ; el desplazamiento pasa de estar en fase ( $\omega$ baja) a estar en oposición ( $\omega$ alta), a través de un retraso de $\pi/2$ en $\omega_0$ — cuanto más aguda la resonancia, más brusco el cambio.

Observación 14.7 (Dos resonancias, un circuito)

La correspondencia $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ , $F \leftrightarrow e$ lleva el oscilador forzado al RLC serie de Capítulo 8: la resonancia de velocidad es la resonancia de corriente (siempre en $\omega_0$ , con ancho de banda $\omega_0/Q$ ), y la resonancia de amplitud es la de la carga, es decir la de la tensión del condensador (algo por debajo de $\omega_0$ , ausente para $Q$ bajo). La potencia absorbida, $\langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$ , es máxima en $\omega_0$ y vale $F_0^2/2\alpha$ , y los puntos de potencia mitad son el ancho de banda de velocidad — exactamente como en el RLC.

Ejemplo 14.8 (Velocidades de resonancia)

La suspensión de un coche tiene $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ (Problema 7.1). En una carretera con ondulaciones cada $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ , la frecuencia de excitación es $v/\lambda$ : resonancia en $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , unos $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — la velocidad a la que una pista ondulada más sacude el coche, y la razón de montar un amortiguador con $Q \approx 0.7$ : con $Q = 5$ la carrocería rebotaría con cinco veces la amplitud de la carretera. Por encima de la resonancia ( $x_r \gg 1$ ) la amplitud cae como $X_0/x_r^2$ : la carrocería “flota” sobre los baches rápidos — el aislamiento, la otra cara de la resonancia.

14.4 Excitación por la base: aislamiento y sismómetro

Proposición 14.9 (Oscilador sacudido por su soporte)

Supóngase que el soporte de un conjunto masa–resorte–amortiguador se desplaza $x_g(t)$ (la carretera bajo un coche, el suelo bajo un sismómetro), y sea $u$ el desplazamiento de la masa respecto del soporte y $x = x_g + u$ su desplazamiento absoluto (desde el equilibrio). Entonces

m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,

y para $x_g = X_g\cos\omega t$ , con $x_r = \omega/\omega_0$ :

\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad \frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .

Para $x_r \gg 1$ : $U \to X_g$ (la masa se queda quieta en el espacio — un sismómetro lee el desplazamiento del suelo) y $X \to 0$ (la masa queda aislada de la sacudida); para $x_r \ll 1$ : $U \approx \ddot x_g/\omega_0^2$ (un acelerómetro) y $X \approx X_g$ (la masa sigue al soporte).

Demostración. El resorte y el amortiguador actúan sobre el movimiento relativo: $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ , y $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ . En forma compleja $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$ , de donde $U/X_g$ ; después $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ . ∎

Una masa sacudida a través de su soporte. Izquierda: movimiento relativo U/X_g — un acelerómetro por debajo de _0 (pendiente 2 en escalas logarítmicas) y un sismómetro por encima. Derecha: movimiento absoluto X/X_g — la masa sigue al soporte a baja frecuencia y queda aislada de él muy por encima de _0; un Q alto no compra más que un pico peligroso. — Una masa sacudida a través de su soporte. Izquierda: movimiento relativo $U/X_g$ — un acelerómetro por debajo de $\omega_0$ (pendiente $2$ en escalas logarítmicas) y un sismómetro por encima. Derecha: movimiento absoluto $X/X_g$ — la masa sigue al soporte a baja frecuencia y queda aislada de él muy por encima de $\omega_0$ ; un $Q$ alto no compra más que un pico peligroso.

Ejemplo 14.10 (Por qué las máquinas se montan sobre soportes blandos)

Un motor de $50\,\mathrm{Hz}$ sobre soportes de goma ajustados a $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ( $x_r = 5$ , $Q \approx 2$ ): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — nueve décimas partes de la vibración no llegan al suelo. Los soportes han de ser más blandos de lo que sugiere la intuición: endurecerlos sube $f_0$ hacia los $50$ Hz y destruye el aislamiento. La misma fórmula, leída al revés, es el coche de Ejemplo 14.8 en una carretera ondulada.

14.5 Energía: cómo se construye una resonancia

Proposición 14.11 (Balance energético en régimen forzado)

En el régimen forzado estacionario, la potencia media que suministra la fuerza excitadora es igual a la potencia media que disipa el rozamiento, $\tfrac12\alpha V^2$ . En la resonancia, la energía almacenada $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vale $Q/2\pi$ veces la energía suministrada por periodo: el oscilador acumula el trabajo de la excitación durante unos $Q$ ciclos antes de que las pérdidas igualen a la entrada, que es también el número de ciclos ( $\sim\tau/T$ ) que dura el transitorio.

Demostración. Promédiese el teorema de la energía sobre un periodo: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ en régimen estacionario, luego $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle = \tfrac12\alpha V^2$ . En la resonancia $V_{\max} = F_0/\alpha$ , la energía almacenada vale $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$ y la suministrada por periodo $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$ ; el cociente es $m/(\alpha T) = Q/2\pi$ . ∎

Ejemplo 14.12 (El columpio)

Un columpio de $2.5\,\mathrm{m}$ de largo ( $T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$ , $Q \approx 20$ ) recibe un empujón de $50\,\mathrm{N}$ a lo largo de $0.5\,\mathrm{m}$ en cada periodo: $25\,\mathrm{J}$ por ciclo. Crece hasta que la pérdida por periodo, $2\pi E/Q$ , iguala los $25\,\mathrm{J}$ : $E = 80\,\mathrm{J}$ ; con un niño de $30\,\mathrm{kg}$ , $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ da $\theta_{\max} \approx 27^\circ$ . Empujando a cualquier otro ritmo, el trabajo de los empujones alternaría de signo y promediaría cero.

Arranque de una resonancia (Q = 5, excitación conectada en t = 0 a _0): la amplitud crece hacia QX_0 con la constante de tiempo = 2Q/ _0, es decir a lo largo de unos Q/π periodos — el transitorio de superpuesto al régimen forzado. — Arranque de una resonancia ( $Q = 5$ , excitación conectada en $t = 0$ a $\omega_0$ ): la amplitud crece hacia $QX_0$ con la constante de tiempo $\tau = 2Q/\omega_0$ , es decir a lo largo de unos $Q/\pi$ periodos — el transitorio de Capítulo 7 superpuesto al régimen forzado.

14.6 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Una masa de $0.20\,\mathrm{kg}$ sobre un resorte de rigidez $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscila con amplitud $5.0\,\mathrm{cm}$ . Frecuencia angular, frecuencia, periodo, rapidez máxima y energía total.

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$ , $T_0 = 0.31\,\mathrm{s}$ ; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = \tfrac12 kA^2 = 0.10\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 14.2 ★

Periodo de un péndulo de $1.0\,\mathrm{m}$ en la Tierra y en la Luna ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). ¿Qué le ocurre en la Luna al periodo del conjunto masa–resorte?

Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ : $2.0\,\mathrm{s}$ en la Tierra y $4.9\,\mathrm{s}$ en la Luna. El periodo del conjunto masa–resorte, $2\pi\sqrt{m/k}$ , no contiene $g$ : no cambia.

Ejercicio 14.3 ★

Un oscilador tiene $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ y $Q = 50$ . Tiempo de decaimiento $\tau$ de la amplitud; tiempo en el que la energía se reduce a la mitad; número de oscilaciones antes de que la amplitud baje al $5\%$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$ ; la energía, $\propto \eu^{-2t/\tau}$ , se reduce a la mitad en $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$ ; el $5\%$ tras $3\tau = 24\,\mathrm{s}$ , unas $48 \approx Q$ oscilaciones.

Ejercicio 14.4 ★

Una masa sobre un resorte ( $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $Q = 10$ ) es excitada por una fuerza de amplitud $1.0\,\mathrm{N}$ . Desplazamiento estático; amplitud en la resonancia; amplitud en $\omega = 3\omega_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; en la resonancia, $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$ ; en $3\omega_0$ : $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 14.5 ★★

Un coche ( $f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$ , $Q = 0.7$ ) pasa por badenes separados $8.0\,\mathrm{m}$ . ¿Velocidad de resonancia? A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , ¿qué fracción de la amplitud del badén siente la carrocería? Coméntese.

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$ , $x_r = 1.6$ : $X/X_g = \sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — apenas aislado; el aislamiento exige $x_r \gg 1$ (a $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $x_r = 3.2$ : $0.45$ ).

Ejercicio 14.6 ★★

Explíquese con el balance energético por qué hay que empujar un columpio a su propio periodo; para $Q = 20$ y un empujón que aporta $25\,\mathrm{J}$ por ciclo, hállense la energía en régimen estacionario y la amplitud para un niño de $30\,\mathrm{kg}$ en un columpio de $2.5\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

El trabajo de un empujón es positivo solo cuando actúa en el sentido del movimiento; empujando cada periodo, todos los empujones se suman; a cualquier otro ritmo se alternan. Régimen estacionario: $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$ , $E = 80\,\mathrm{J}$ ; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$ : $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$ , $\theta_{\max} = 27^\circ$ .

Ejercicio 14.7 ★★

Los máximos sucesivos de una oscilación libre disminuyen un $10\%$ en cada periodo. Hállense $Q$ y el ancho de banda (en hercios) de su resonancia de velocidad si $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$ , $Q = \pi/\delta = 30$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.067\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 14.8 ★★

Dese la fase del desplazamiento respecto de la fuerza muy por debajo de la resonancia, en la resonancia y muy por encima, y la fase de la velocidad en la resonancia. ¿Por qué es la resonancia de velocidad la que importa para la potencia?

Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

Desplazamiento: en fase ( $\varphi = 0$ ) muy por debajo, $-\pi/2$ en la resonancia y $-\pi$ (en oposición) muy por encima. Velocidad en la resonancia: en fase con la fuerza. La potencia es $\vect F\cdot\vect v$ : es la fase de la velocidad, y no la del desplazamiento, la que decide cuánto trabajo realiza la excitación.

Ejercicio 14.9 ★★

Muéstrese que la amplitud de velocidad $V = \omega X$ es máxima exactamente en $\omega_0$ , con $V_{\max} = F_0/\alpha$ , y que $V/V_{\max}$ tiene la forma $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$ ; divídanse numerador y denominador por $\omega\omega_0/Q$ : $V = (F_0Q/m\omega_0)/ \sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$ , y $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$ . La raíz es $\geq 1$ , e igual a $1$ exactamente en $\omega = \omega_0$ .

Ejercicio 14.10 ★★★

Calcúlense la potencia media absorbida en la resonancia para $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$ y $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , y la energía almacenada si $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ ; compruébese que su cociente vale $Q/\omega_0$ con $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$ ; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$ ; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ y $Q/\omega_0 = m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 14.11 ★★★

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ se oye durante $10\,\mathrm{s}$ (la amplitud baja al $5\%$ ). Estímense $\tau$ y $Q$ , el ancho de banda de su resonancia, y coméntese por qué es un buen patrón de frecuencia.

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ , $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times 440 \times 3.3/2 \approx 4600$ ; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$ . Responde a una sola frecuencia, y emite una sola: un patrón bueno hasta unas pocas partes en $10^4$ .

Ejercicio 14.12 ★★★

Dedúzcase la frecuencia de cabeceo de un cilindro flotante (Ejemplo 14.3) a partir de la ley de Newton y del empuje de Arquímedes $\rho_wgS(h + x)$ ; muéstrese que $\omega_0^2 = g/h$ ; calcúlese el periodo para $h = 10\,\mathrm{cm}$ . ¿Por qué es el resultado independiente de la masa y del líquido?

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (puesto que $mg = \rho_wgSh$ ): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ ; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$ . Tanto la masa como la densidad del líquido entran solo a través de la profundidad de equilibrio $h$ .

Un sismógrafo: una masa pesada sobre una suspensión blanda se queda quieta mientras el suelo se mueve, y la plumilla escribe la diferencia — el oscilador excitado por la base del problema de fin de semana.

14.7 Problema: el sismógrafo

Problema 14.1

Problema de fin de semana — una masa cuelga de un resorte dentro de una caja atornillada al suelo; el suelo tiembla: qué registra la plumilla, por qué el mismo instrumento mide desplazamiento a alta frecuencia y aceleración a baja frecuencia, y por qué un sismómetro de periodo largo no puede ser simplemente un resorte largo

Una masa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ cuelga de un resorte de rigidez $k$ dentro de un bastidor rígido fijado al suelo; un amortiguador ejerce $-\alpha\dot u$ , donde $u$ es el desplazamiento de la masa respecto del bastidor, medido desde su posición de equilibrio. El suelo, y con él el bastidor, se desplaza verticalmente $x_g(t)$ . El sistema de las estrellas lejanas es inercial.

Parte I — La ecuación.

Escríbase la posición absoluta de la masa como $x = x_g + u + \text{cte}$ , enumérense las fuerzas sobre la masa (en el sistema inercial) y muéstrese que

$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$
Pásese a la forma canónica; identifíquense $\omega_0$ y $Q$ .
El instrumento se construye con $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ y $Q = 0.70$ : calcúlense $k$ y $\alpha$ .
Una aceleración constante del suelo $a_g$ (por ejemplo, el bastidor que se inclina) ¿qué $u$ estacionario da? Interprétese.
¿Qué registra la plumilla sujeta a la masa, que escribe sobre un tambor fijado al bastidor?

Parte II — Movimiento armónico del suelo. El suelo se mueve como $x_g = X_g\cos\omega t$ ; escríbase $x_r = \omega/\omega_0$ .

Con amplitudes complejas, muéstrese que $\underline U = X_g\,x_r^2/ (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
Dedúzcase $U/X_g$ en función de $x_r$ y de $Q$ .
Límite $x_r \gg 1$ : muéstrese que $U \to X_g$ y explíquese físicamente qué hace la masa (¿qué mide el instrumento?).
Límite $x_r \ll 1$ : muéstrese que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , con $a_g$ la amplitud de la aceleración del suelo: ¿qué es ahora el instrumento?
Valor en $x_r = 1$ ; ¿por qué es $Q \approx 0.7$ una elección sensata?
Esbócese $U/X_g$ frente a $x_r$ (escalas logarítmicas) para $Q = 0.7$ y $Q = 5$ .
Fase de $u$ respecto de $x_g$ a alta frecuencia; interprétese.

Parte III — Diseñar para terremotos. Los terremotos lejanos producen ondas superficiales de $0.05\,$ a $0.1\,\mathrm{Hz}$ con amplitudes milimétricas; los temblores locales llegan a $5\,$ a $10\,\mathrm{Hz}$ .

Para registrar como desplazamientos las ondas de $0.05\,\mathrm{Hz}$ conviene $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , digamos $0.02\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué alargamiento estático tendría el resorte bajo el peso de la masa? Coméntese.
Un péndulo simple de la misma frecuencia: ¿qué longitud?
Los instrumentos reales de periodo largo usan un péndulo de “puerta de jardín”, casi horizontal, o una realimentación electrónica de fuerza. Explíquese en una frase qué consigue cada uno.
Para el instrumento de $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calcúlese el alargamiento estático: ¿es viable?
Con él, una onda de $0.10\,\mathrm{Hz}$ y amplitud $1.0\,\mathrm{mm}$ ¿qué $U$ da? ¿En qué régimen está el instrumento?
Un temblor local de $5.0\,\mathrm{Hz}$ y amplitud $1.0\,\mathrm{mm}$ : ¿ $U$ ? ¿Régimen?

Parte IV — El acelerómetro de un teléfono. Una masa micromecanizada sobre resortes de silicio tiene $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ y $Q = 0.7$ .

Una sacudida de $10\,\mathrm{Hz}$ con amplitud de aceleración $g$ : calcúlese $U$ . ¿Cómo se lee un desplazamiento así?
¿Hasta qué frecuencia se mantiene la lectura dentro del $10\%$ de $a_g/\omega_0^2$ ?
¿Qué constante de tiempo $\tau = 2Q/\omega_0$ gobierna su respuesta a una sacudida, y por qué importa eso para detectar una caída?
La $\tau$ del sismómetro: valor y consecuencia tras un escalón brusco del suelo.
¿Por qué se elige un amortiguamiento crítico (o casi) en ambos instrumentos, en lugar de un $Q$ alto?
El teléfono se agita justo a $1.0\,\mathrm{kHz}$ : ¿en qué factor se equivoca la lectura?
Resúmase: un solo aparato, dos regímenes, decididos por una única comparación.

Solución

Solución de Problema 14.1.

1. Fuerzas: el peso (equilibrado por el alargamiento estático), el resorte $-ku$ y el amortiguador $-\alpha\dot u$ ; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ con $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$ .

2. $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ .

3. $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $\alpha = m\omega_0/Q = 3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

4. $u = -a_g/\omega_0^2$ : la masa se desplaza una cantidad fija — el instrumento es un acelerómetro a frecuencia nula (y un inclinómetro).

5. El desplazamiento relativo $u(t)$ .

6. $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U = \omega^2X_g$ ; divídase por $\omega_0^2$ .

7. $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ .

8. $U \to X_g$ : la masa no se mueve en el sistema inercial (su inercia la mantiene quieta, porque el resorte es demasiado blando para arrastrarla); el bastidor se mueve a su alrededor y la plumilla registra el desplazamiento del suelo — un sismómetro.

9. $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$ : un acelerómetro.

10. $U = QX_g = 0.7X_g$ : sin pico; los dos regímenes se enlazan con suavidad y el instrumento no resuena.

11. Para $Q = 0.7$ : una recta de pendiente $2$ que sube hasta $1$ cerca de $x_r = 1$ y después se mantiene plana en $1$ ; para $Q = 5$ : lo mismo con un pico de altura $5$ en $x_r = 1$ .

12. $\underline U \to -X_g$ : $u = -x_g$ , la masa quieta mientras el bastidor se mueve.

13. $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$ : absurdo.

14. $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$ .

15. Puerta de jardín: el péndulo oscila en torno a un eje casi vertical, así que solo una fracción minúscula de $g$ lo devuelve al equilibrio y un brazo corto da un periodo largo. Realimentación de fuerza: una bobina mantiene la masa fija, y la corriente necesaria es proporcional a la aceleración del suelo — la rigidez es electrónica y ajustable.

16. $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$ : viable.

17. $x_r = 0.2$ : $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$ : $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — régimen de acelerómetro, hace falta amplificar (palanca óptica o electrónica).

18. $x_r = 10$ : $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$ : $1.0\,\mathrm{mm}$ , un registro fiel del desplazamiento.

19. $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — se lee como la variación del espacio de un condensador.

20. $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$ ; con $Q = 0.7$ decrece de forma monótona y se mantiene por encima de $0.9$ hasta $x_r \approx 0.7$ : unos $700\,\mathrm{Hz}$ .

21. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$ : sigue una caída (de decenas de milisegundos) sin retraso.

22. $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$ : tras un escalón del suelo el registro se estabiliza en medio segundo y sin oscilar.

23. Un $Q$ alto haría que el instrumento resonase en $f_0$ tras cada sacudida (registrándose a sí mismo en vez de al suelo) y presentase un pico cerca de $f_0$ ; $Q \approx 0.7$ es plano y rápido.

24. $U = QX_g = 0.7X_g$ frente al ideal $X_g$ (o $a_g/\omega_0^2 = X_g$ ): un $30\%$ por debajo.

25. Compárese la frecuencia de la señal con $f_0$ : muy por encima, la masa es una referencia fija y $u$ es el desplazamiento; muy por debajo, $u$ es la aceleración dividida por $\omega_0^2$ .

Términos definidos en este capítulo

Oscilador armónico

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