Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

11Cinemática del punto

El vagón de una montaña rusa entra en el rizo a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , frena mientras sube, queda suspendido un instante arriba y sale rugiendo; sus pasajeros se sienten aplastados contra el asiento abajo y casi ingrávidos arriba. Describir ese trayecto — dónde está el vagón, con qué rapidez se mueve, cómo gira y cambia su velocidad — es cinemática, y hace falta algo más que las $x$ , $y$ , $z$ de una carretera recta: coordenadas polares para todo lo que gira y un sistema que viaje con el propio vagón. Este capítulo monta esas herramientas, demuestra las fórmulas de la velocidad y la aceleración en cada una de ellas y las aplica a los movimientos que invocará cualquier capítulo posterior: circular, helicoidal, armónico y el movimiento a lo largo de una curva cualquiera.

11.1 Posición, velocidad, aceleración

Definición 11.1 (Sistema de referencia; posición; trayectoria)

Un sistema de referencia es un sólido tomado como fijo (el laboratorio, la Tierra, un tren) junto con un reloj. Un punto material $M$ — un cuerpo cuyo tamaño es irrelevante para el movimiento estudiado — queda situado en cada instante por su vector de posición $\vect{OM}(t)$ desde un origen $O$ ligado al sistema; la curva que describe $M$ es su trayectoria. El movimiento es siempre movimiento respecto de un sistema: un mismo pasajero está en reposo en el tren y en movimiento en la estación.

Definición 11.2 (Velocidad y aceleración)

La velocidad y la aceleración de $M$ en el sistema son

\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad \vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},

derivadas de funciones vectoriales: la derivada de un vector se obtiene derivando sus componentes en una base fija en el sistema. La velocidad es tangente a la trayectoria y apunta en el sentido del movimiento; su norma $v$ es la rapidez. Unidades: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Proposición 11.3 (Coordenadas cartesianas)

Con una base ortonormal fija $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ y $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$ ,

\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,

donde el punto denota $\dd/\dd t$ .

Demostración. Los vectores de la base son constantes; solo varían las componentes. ∎

Ejemplo 11.4 (Proyectil)

Lanzada desde $O$ con rapidez $v_0$ y un ángulo $\alpha$ sobre la horizontal, las coordenadas de una pelota (dinámica, capítulo siguiente) son $x = v_0\cos\alpha\,t$ , $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$ . Entonces $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$ y $\vect a = -g\vect e_z$ : la aceleración es constante mientras la velocidad gira; en el vértice ( $\dot z = 0$ , $t = v_0\sin\alpha/g$ ) la velocidad es horizontal y la aceleración perpendicular a ella. Eliminando $t$ : $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ , una parábola.

La parábola de un proyectil: la velocidad es tangente a la trayectoria y gira, y la aceleración g es constante. En el vértice la velocidad y la aceleración son perpendiculares: la rapidez es momentáneamente estacionaria mientras la dirección sigue cambiando. — La parábola de un proyectil: la velocidad es tangente a la trayectoria y gira, y la aceleración $\vect g$ es constante. En el vértice la velocidad y la aceleración son perpendiculares: la rapidez es momentáneamente estacionaria mientras la dirección sigue cambiando.

11.2 Coordenadas cilíndricas

Definición 11.5 (Coordenadas cilíndricas y base local)

El punto $M$ queda situado por $r \geq 0$ (distancia al eje $z$ ), el ángulo $\theta$ que forma su proyección sobre el plano $xy$ con $\vect e_x$ , y $z$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$ , donde

\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad \vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,

y $\vect e_z$ forman la base local $(\vect e_r, \vect e_\theta, \vect e_z)$ , ortonormal y directa, que se mueve con $M$ . En el plano ( $z$ fijo) son las coordenadas polares $(r, \theta)$ .

Lema 11.6 (Derivadas de la base local)

\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad \frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad \frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .

Demostración. Derívense las componentes: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\, \vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$ , y de forma análoga para $\vect e_\theta$ . La derivada de un vector unitario que gira es perpendicular a él y de norma igual a la velocidad angular. ∎

Teorema 11.7 (Velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z, \qquad \vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .

Demostración. Derívese $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ con el lema: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$ . Derívese otra vez: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + \dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2 \vect e_r + \ddot z\vect e_z$ ; agrúpese. ∎

Coordenadas polares: la base local ( e_r, e_ ) gira con M; la velocidad tiene una parte radial r y una parte ortorradial r. Aquí la trayectoria (roja) se enrolla hacia fuera, de modo que r > 0 y v se inclina hacia fuera respecto de la tangente a la circunferencia. — Coordenadas polares: la base local $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ gira con $M$ ; la velocidad tiene una parte radial $\dot r$ y una parte ortorradial $r\dot\theta$ . Aquí la trayectoria (roja) se enrolla hacia fuera, de modo que $\dot r > 0$ y $\vect v$ se inclina hacia fuera respecto de la tangente a la circunferencia.

Corolario 11.8 (Movimiento circular)

Sobre una circunferencia de radio $R$ ( $r = R$ , $z = 0$ ), con velocidad angular $\omega = \dot\theta$ :

\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad \vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta = -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .

Para el movimiento circular uniforme ( $\omega$ constante), la aceleración es puramente centrípeta, de norma $v^2/R = R\omega^2$ , aunque la rapidez sea constante.

Demostración. Hágase $\dot r = \ddot r = 0$ en el teorema; $v = R\omega$ . ∎

Ejemplo 11.9 (Dos circunferencias)

Un coche recorre una rotonda de radio $20\,\mathrm{m}$ a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , medio $g$ , dirigida hacia el centro — lo que han de aportar los neumáticos. La Luna ( $R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ): $\omega = 2\pi/T = 2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , la $3600$ ^a parte de $g$ en la superficie terrestre, a sesenta radios terrestres — la comparación que hizo Newton (Capítulo 16).

11.3 Coordenadas esféricas

Definición 11.10 (Coordenadas esféricas)

El punto $M$ queda situado por su distancia $r = OM$ , la colatitud $\theta \in [0, \pi]$ entre $\vect{OM}$ y $\vect e_z$ , y el azimut $\varphi$ de su proyección sobre el plano $xy$ : $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ con

\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;

$\vect e_\theta$ (tangente al meridiano, hacia los $\theta$ crecientes) y $\vect e_\varphi$ (tangente al paralelo) completan la base local ortonormal. Sobre la Tierra, $\theta$ es $90^\circ$ menos la latitud y $\varphi$ es la longitud.

Proposición 11.11 (Velocidad en coordenadas esféricas)

\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .

Demostración. $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\, \vect e_\varphi$ : el primer término es la rotación en el plano meridiano (como en el caso polar) y el segundo la rotación alrededor de $\vect e_z$ a razón de $\dot\varphi$ de un vector cuya distancia al eje vale $\sin\theta$ . Después $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$ . Este año no se necesita la aceleración. ∎

Coordenadas esféricas (r, , ) y su base local: e_r radial, e_ a lo largo del meridiano (hacia el sur en un globo terráqueo) y e_ a lo largo del paralelo (hacia el este). — Coordenadas esféricas $(r, \theta, \varphi)$ y su base local: $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ a lo largo del meridiano (hacia el sur en un globo terráqueo) y $\vect e_\varphi$ a lo largo del paralelo (hacia el este).

11.4 La base de Frenet

Definición 11.12 (Abscisa curvilínea; base de Frenet)

A lo largo de una trayectoria, la abscisa curvilínea $s(t)$ es la longitud de arco desde un punto de referencia, contada algebraicamente; $v = \dot s$ . En $M$ , la tangente unitaria $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ apunta hacia los $s$ crecientes; el radio de curvatura $\rho > 0$ y la normal unitaria $\vect N$ , dirigida hacia el lado cóncavo (el centro de curvatura), quedan definidos por

\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .

$(\vect T, \vect N)$ es la base de Frenet; $\rho = \infty$ en una recta y $\rho = R$ en una circunferencia de radio $R$ .

Teorema 11.13 (Aceleración en la base de Frenet)

\vect v = v\,\vect T, \qquad \vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .

La componente tangencial $\dd v/\dd t$ mide con qué rapidez cambia la rapidez; la componente normal $v^2/\rho$ , siempre hacia el centro de curvatura, con qué rapidez gira la dirección. El movimiento es uniforme si y solo si $\vect a \perp \vect v$ ; es rectilíneo si y solo si $\vect a \parallel \vect v$ .

Demostración. $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$ . Entonces $\vect a = \dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s = \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$ . Que $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ se sigue de derivar $\vect T\cdot\vect T = 1$ . ∎

La base de Frenet en un punto de una curva: T a lo largo del movimiento y N hacia el centro de curvatura C. La aceleración se descompone en una parte tangencial v T (acelerar o frenar) y una parte normal (v2/ ) N (girar). — La base de Frenet en un punto de una curva: $\vect T$ a lo largo del movimiento y $\vect N$ hacia el centro de curvatura $C$ . La aceleración se descompone en una parte tangencial $\dot v\vect T$ (acelerar o frenar) y una parte normal $(v^2/\rho)\vect N$ (girar).

Ejemplo 11.14 (Frenar en una curva)

Un coche a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en una curva de radio $100\,\mathrm{m}$ frena a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 625/100 = 6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Domina la parte normal: una curva es ante todo un giro, y la adherencia de los neumáticos (capítulo siguiente) limita $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$ , razón por la cual se frena antes de la curva.

11.5 Movimientos habituales

Proposición 11.15 (Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)

Sobre un eje, con $\ddot x = a$ constante, a partir de $x_0$ y $v_0$ : $v = v_0 + at$ , $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$ , y $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$ .

Demostración. Intégrese dos veces; elimínese $t$ entre las dos primeras relaciones. ∎

Proposición 11.16 (Movimiento helicoidal)

$r = R$ , $\theta = \omega t$ , $z = v_zt$ (con $R$ , $\omega$ , $v_z$ constantes): la rapidez $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ es constante, la aceleración $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ es centrípeta y de norma constante, y el radio de curvatura vale $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$ .

Demostración. Teorema 11.7 con $\dot r = 0$ , $\ddot\theta = 0$ , $\ddot z = 0$ ; movimiento uniforme, luego $\vect a$ es puramente normal y $v^2/\rho = R\omega^2$ . ∎

Proposición 11.17 (Movimiento armónico)

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$ : $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ , $\ddot x = -\omega^2 x$ . La velocidad se adelanta a la posición en un cuarto de periodo y la aceleración es opuesta a la posición; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . Es la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme de radio $A$ y velocidad angular $\omega$ .

Demostración. Derívese; para la proyección, tómese $x = A\cos\theta$ con $\theta = \omega t + \varphi$ . ∎

Método 11.18 (Elegir las coordenadas)

Movimiento rectilíneo o parabólico, con aceleración constante: cartesianas.
Movimiento en torno a un eje o a un punto (circunferencias, espirales, órbitas, plataformas giratorias): cilíndricas o polares; la base se mueve, así que úsese Teorema 11.7 y nunca una derivación ingenua de las componentes.
Una curva dada (una vía, una curva, un rizo) cuando se conoce la ley de rapidez: Frenet, que separa el “cuán deprisa” del “hacia dónde”.

Sea cual sea la elección, $\vect v$ y $\vect a$ son vectores que dependen del sistema, y un resultado solo está completo si se nombra el sistema.

11.6 Ejercicios

Ejercicio 11.1 ★

Un coche arranca del reposo con $x(t) = 2.0\,t^2$ (unidades SI). Velocidad y aceleración en $t = 3.0\,\mathrm{s}$ ; distancia recorrida en los primeros $5\,\mathrm{s}$ ; tiempo hasta alcanzar $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.1.

$v = 4.0t$ : $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $3.0\,\mathrm{s}$ ; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$ ; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 27.8/4.0 = 6.9\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 11.2 ★

Un punto se mueve en un plano con $r = 2.0\,\mathrm{m}$ y $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Dense $\vect v$ y $\vect a$ en la base polar, sus normas y la naturaleza del movimiento.

Solución

Solución de Ejercicio 11.2.

$\dot r = 0$ , $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta = 6.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r = -18\,\vect e_r$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Movimiento circular uniforme: rapidez constante y aceleración centrípeta.

Ejercicio 11.3 ★

Un punto del ecuador ( $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , día sidéreo $86\,164\,\mathrm{s}$ ): rapidez y aceleración en el sistema geocéntrico. Compárese la aceleración con $g$ .

Solución

Solución de Ejercicio 11.3.

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $g/290$ .

Ejercicio 11.4 ★

Se lanza una pelota con $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\alpha = 40^\circ$ ; sus coordenadas son las de Ejemplo 11.4. Hállense el tiempo hasta el vértice, la altura máxima, el alcance y la velocidad al llegar al suelo.

Solución

Solución de Ejercicio 11.4.

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vértice en $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$ , altura $7.71^2/(2 \times 9.81) = 3.0\,\mathrm{m}$ . Alcance $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$ . Llegada al suelo: $(9.19, -7.71)$ , $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $40^\circ$ bajo la horizontal.

Ejercicio 11.5 ★★

Un ciclista a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entra en una curva de radio $25\,\mathrm{m}$ y acelera a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Dense $\vect a$ en la base de Frenet y su norma; ¿y al cabo de $5\,\mathrm{s}$ con la misma aceleración en la misma curva?

Solución

Solución de Ejercicio 11.5.

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Al cabo de $5\,\mathrm{s}$ : $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_N = 225/25 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Ejercicio 11.6 ★★

Un punto sigue la espiral $r = b\theta$ , $\theta = \omega t$ (con $b$ y $\omega$ constantes). Calcúlense $\vect v$ , la rapidez y $\vect a$ en la base polar. ¿De dónde procede el término $2\dot r\dot\theta$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 11.6.

$r = b\omega t$ , $\dot r = b\omega$ , $\ddot r = 0$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$ , $v = b\omega \sqrt{1 + \omega^2t^2}$ ; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\, \vect e_\theta$ . El término $2\dot r\dot\theta$ tiene dos mitades iguales: la dirección de la velocidad radial gira a razón de $\dot\theta$ (lo que da $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$ ) y alejarse aumenta la rapidez ortorradial $r\dot\theta$ (otro $\dot r\dot\theta$ ).

Ejercicio 11.7 ★★

Hélice: $R = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Rapidez, aceleración, paso de la hélice y radio de curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 11.7.

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = R\omega^2 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ hacia el eje; paso $v_z \times 2\pi/\omega = 3.1\,\mathrm{m}$ ; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$ .

Ejercicio 11.8 ★★

Un pistón se mueve como $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Dense $v_{\max}$ , $a_{\max}$ , las relaciones de fase entre $x$ , $v$ y $a$ , y las posiciones en las que $\abs v$ y $\abs a$ son máximos.

Solución

Solución de Ejercicio 11.8.

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v$ se adelanta a $x$ en un cuarto de periodo y $a = -\omega^2x$ es opuesta a $x$ . $\abs v$ es máximo en $x = 0$ , y $\abs a$ en los extremos $x = \pm A$ .

Ejercicio 11.9 ★★

A partir de $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$ , dedúzcanse $\dd\vect e_r/\dd t$ y $\dd\vect e_\theta/\dd t$ y, después, la velocidad y la aceleración polares de Teorema 11.7.

Solución

Solución de Ejercicio 11.9.

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\, \vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$ . Entonces $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$ , y derivando una vez más con la regla del producto se obtiene la aceleración de Teorema 11.7.

Ejercicio 11.10 ★★★

Para el proyectil de Ejemplo 11.4, hállese el radio de curvatura de la trayectoria en el vértice y en el punto de lanzamiento (úsese la componente normal de $\vect g$ ). ¿Cuál es menor, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 11.10.

Vértice: $v = v_0\cos\alpha$ , $a_N = g$ : $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$ . Lanzamiento: $v = v_0$ , $a_N = g\cos\alpha$ : $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$ . El radio en el vértice es menor en un factor $\cos^3\alpha$ : la parábola se curva más donde va más despacio y donde toda $\vect g$ es normal.

Ejercicio 11.11 ★★★

Una rueda de radio $R$ rueda sin deslizar con rapidez $v$ ; un punto de su borde tiene coordenadas $x = vt - R\sin(vt/R)$ , $y = R - R\cos(vt/R)$ (una cicloide). Calcúlense su velocidad y su aceleración; muéstrese que al tocar el suelo su velocidad se anula y su aceleración vale $v^2/R$ hacia arriba; hállese su rapidez en lo alto.

Solución

Solución de Ejercicio 11.11.

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$ , $\dot y = v\sin(vt/R)$ ; $\ddot x = (v^2/R) \sin(vt/R)$ , $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$ . En el suelo ( $vt/R = 2\pi n$ ): $\dot x = \dot y = 0$ y $\vect a = (0, v^2/R)$ , hacia arriba. En lo alto ( $vt/R = \pi$ ): $\dot x = 2v$ , $\dot y = 0$ : rapidez $2v$ .

Ejercicio 11.12 ★★★

Una persona camina hacia fuera a lo largo de un radio de una plataforma que gira con $\omega$ constante, con rapidez $u$ constante respecto de la plataforma: $r = ut$ , $\theta = \omega t$ . Calcúlese $\vect a$ en la base polar, identifíquense los dos términos y evalúense para $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ en $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . ¿Qué término no tiene equivalente para alguien que camina por el suelo?

Solución

Solución de Ejercicio 11.12.

$\ddot r = 0$ , $\dot r = u$ , $\dot\theta = \omega$ : $\vect a = -ut\omega^2\, \vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$ . En $t = 2.0\,\mathrm{s}$ : $-2.0\,\vect e_r + 2.0\,\vect e_\theta$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). El primero es el término centrípeto de la rotación; el segundo, $2\dot r\dot\theta$ , existe solo porque la propia dirección radial gira — en el suelo, caminar recto a rapidez constante no da aceleración alguna.

Un rizo vertical (Yomiuriland, Tokio): una lágrima antes que una circunferencia, para que la curvatura sea máxima arriba, donde la rapidez es mínima — la geometría del problema de fin de semana. Fotografía: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.

11.7 Problema: el rizo de una montaña rusa

Problema 11.1

Problema de fin de semana — un vagón entra en un rizo vertical a noventa kilómetros por hora: dónde frena, hacia dónde apunta su aceleración, cuántos $g$ sienten los pasajeros y por qué los rizos modernos no son circunferencias

Un vagón, tratado como un punto $M$ , recorre un rizo circular vertical de radio $R = 10\,\mathrm{m}$ y centro $C$ . Su posición viene dada por el ángulo $\theta$ entre $\vect{CM}$ y la vertical descendente ( $\theta = 0$ abajo, $\pi$ arriba). Se desprecia el rozamiento, y la ley de rapidez (deducida en Capítulo 13) es

v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),

con $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ la rapidez abajo; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — Cinemática sobre la circunferencia.

En coordenadas polares centradas en $C$ (con $\vect e_r$ de $C$ hacia $M$ ), escríbanse $\vect v$ y $\vect a$ para el movimiento sobre la circunferencia.
Identifíquense los vectores de Frenet $\vect T$ y $\vect N$ en función de $\vect e_r$ y $\vect e_\theta$ , y el radio de curvatura.
Calcúlese la rapidez arriba y en los puntos laterales $\theta = \pi/2$ y $3\pi/2$ .
Derívese la ley de rapidez respecto del tiempo para mostrar que la aceleración tangencial vale $a_T = -g\sin\theta$ . Interprétese su signo en la subida y en la bajada.
Exprésese la aceleración normal $a_N(\theta)$ y calcúlese abajo, en los laterales y arriba.
Dense la norma de $\vect a$ en los cuatro puntos y el ángulo que forma con la vertical en lo alto.
¿En qué puntos es $\vect a$ perpendicular a $\vect v$ ? ¿Y paralela?

Parte II — Velocidades angulares y tiempos.

Exprésese $\dot\theta$ en función de $\theta$ y calcúlese abajo y arriba.
Muéstrese que $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (la ecuación de un péndulo) y coméntese.
A modo de comparación, calcúlese el periodo de las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple de longitud $R$ (Ejemplo 1.8 dio su forma; $k = 2\pi$ ).
Estímese el tiempo que se tarda en recorrer el rizo, usando la media de las rapideces en los cuatro puntos de referencia.
La rapidez mínima en lo alto para que el vagón no se despegue de la vía (capítulo siguiente) es $\sqrt{gR}$ . ¿Se cumple? ¿Qué $v_0$ mínima haría falta?

Parte III — Lo que sienten los pasajeros. El peso aparente por unidad de masa que siente un pasajero vale $\vect a - \vect g$ (admitido aquí, deducido en Capítulo 12); su norma en unidades de $g$ es la “carga en $g$ ”.

Calcúlese la carga en $g$ abajo.
Calcúlese arriba y dígase contra qué queda apretado el pasajero (el asiento o el arnés).
Calcúlese en los puntos laterales.
Los pasajeros toleran unos $4g$ durante poco tiempo. ¿Pasa la prueba este rizo? ¿Dónde está el problema?
Muéstrese que, para un rizo circular tomado justo con la rapidez necesaria para superar lo alto (peso aparente nulo allí), la carga en $g$ abajo vale necesariamente $6g$ , sea cual sea $R$ .

Parte IV — El rizo en clotoide. Los rizos modernos tienen forma de lágrima: el radio de curvatura es grande abajo y pequeño arriba.

Usando la forma de Frenet de $\vect a$ , explíquese por qué variar $\rho$ a lo largo de la vía cambia $a_N$ sin cambiar la ley de rapidez (que solo depende de la altura).
Elíjase $\rho_{\text{abajo}}$ para que la carga en $g$ abajo sea de $3g$ con $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Arriba, la altura sigue siendo $2R = 20\,\mathrm{m}$ sobre el punto más bajo. Elíjase $\rho_{\text{arriba}}$ para que la carga en $g$ allí sea de $1.5g$ .
Una clotoide tiene la curvatura proporcional a la longitud de arco, $1/\rho = s/A^2$ . A lo largo de una entrada así, con la rapidez casi constante, ¿cómo crece $a_N$ con el tiempo, y por qué resulta más suave para el cuello que una circunferencia (donde $a_N$ salta en la entrada)?
Esbócese cualitativamente la forma del rizo resultante y resúmase en dos frases por qué sustituyó a la circunferencia.

Parte V — Visto desde el suelo. Una cámara a ras de suelo, a $50\,\mathrm{m}$ del centro del rizo y en su plano, sigue al vagón.

Cuando el vagón está arriba y se mueve horizontalmente a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿a qué velocidad angular (rad/s) debe girar la cámara? (Coordenadas polares desde la cámara.)
¿Por qué una cámara que gira a velocidad constante sigue mal un movimiento circular uniforme?
Resúmase la lección del rizo para el capítulo: qué sistema de coordenadas respondió a cada pregunta.

Solución

Solución de Problema 11.1.

1. $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$ ; $\vect a = -R\dot\theta^2 \,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$ .

2. $\vect T = \vect e_\theta$ (movimiento con $\theta$ creciente), $\vect N = -\vect e_r$ (hacia $C$ ), $\rho = R$ .

3. Arriba: $v^2 = 625 - 392 = 233$ , $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Laterales: $625 - 196 = 429$ , $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

4. $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ y $v = R\dot\theta$ : $\dot v = -g\sin\theta$ . Negativa para $0 < \theta < \pi$ (frena al subir), positiva al bajar.

5. $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$ : abajo $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; laterales $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; arriba $62.5 - 39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

6. Abajo: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (sin parte tangencial); laterales: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; arriba: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigida verticalmente hacia $C$ : ángulo $0$ con la vertical.

7. Perpendicular abajo y arriba ( $a_T = 0$ ); nunca paralela ( $a_N > 0$ en todas partes).

8. $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$ : abajo $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , arriba $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

9. $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$ : la ecuación de un péndulo simple de longitud $R$ — el vagón sobre su vía es una lenteja de péndulo que pasa por encima.

10. $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$ .

11. Media de $25$ , $20.7$ , $15.3$ y $20.7$ : unos $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; longitud $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$ : aproximadamente $3\,\mathrm{s}$ .

12. $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$ : sí. Mínimo: $v_0^2 \geq gR + 4gR = 5gR = 490$ , $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

13. Abajo: $\vect a = 62.5$ hacia arriba y $\vect g$ hacia abajo: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$ .

14. Arriba: ambas hacia abajo, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$ , que aprieta al pasajero contra el asiento (hacia el centro, es decir hacia arriba para el pasajero invertido).

15. Laterales: $\vect a = 42.9$ horizontal hacia $C$ más $9.8$ hacia abajo (tangencial); $\vect a - \vect g$ vale $42.9$ horizontal: $4.4g$ de lado, hacia el centro.

16. No pasa: $7.4g$ abajo (arriba y en los laterales va bien).

17. Peso aparente nulo arriba: $v_{\text{arr}}^2 = gR$ ; entonces $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$ , $a_N = 5g$ abajo y la carga vale $5g + g = 6g$ , con independencia de $R$ .

18. $a_N = v^2/\rho$ : la altura fija $v$ (energía) y la geometría de la vía fija $\rho$ ; un $\rho$ distinto a la misma altura cambia solo $a_N$ .

19. $a_N + g = 3g$ : $a_N = 2g$ , $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 = 32\,\mathrm{m}$ .

20. $v_{\text{arr}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_N - g = 1.5g$ : $a_N = 24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$ .

21. $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$ : crece linealmente desde cero — una tasa constante de variación de la aceleración — en lugar de saltar de $0$ a $v^2/R$ en la entrada de una circunferencia, cosa que el cuello percibe como un golpe.

22. Una lágrima: ancha y de curvatura suave abajo, donde el vagón va deprisa, y estrecha arriba, donde va despacio. Mantiene la carga cerca de $3g$ en todo el recorrido y la aplica de forma gradual.

23. Visual: distancia horizontal $50\,\mathrm{m}$ , altura $20\,\mathrm{m}$ : $r = 53.9\,\mathrm{m}$ , elevación $\beta = 21.8^\circ$ . La componente transversal de la velocidad horizontal vale $v\sin\beta = 15 \times 0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

24. Vista desde un punto descentrado, la velocidad angular de la visual no es constante (rápida cuando el vagón está cerca, lenta cuando está lejos): una cámara a velocidad constante se desvía del vagón.

25. Coordenadas polares en $C$ para la velocidad y la aceleración sobre la circunferencia; la descomposición de Frenet para separar “acelerar” de “girar” y para la clotoide; coordenadas polares en la cámara para la velocidad de seguimiento; la energía (capítulos siguientes) para la ley de rapidez.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 393 términos del glosario