Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

8Régimen sinusoidal permanente e impedancia

Se gira el dial de una radio antigua y, de las cien emisoras que llegan a la vez a la antena, se oye una: una bobina y un condensador variable se han ajustado para que resuenen exactamente a una frecuencia. La red eléctrica que zumba en cada pared es una sinusoide de $50\,\mathrm{Hz}$ ; la fábrica que mueve con ella motores grandes paga un recargo si su corriente se retrasa demasiado respecto de la tensión. Las sinusoides son el idioma natural de los circuitos lineales — salen tal como entran, solo escaladas y desplazadas — y este capítulo les da su álgebra: amplitudes complejas, impedancias, la resonancia del circuito RLC y la potencia que entregan realmente las corrientes sinusoidales.

Un osciloscopio que muestra una sinusoide y una señal cuadrada: la sinusoide es la señal de la que vive este capítulo, y la cuadrada la que el capítulo siguiente descompone en sinusoides.

8.1 El régimen sinusoidal permanente

Proposición 8.1 (Régimen sinusoidal forzado)

En un circuito lineal excitado por una fuente sinusoidal de frecuencia angular $\omega$ , toda corriente y toda tensión son, una vez extinguidos los transitorios, sinusoides de la misma frecuencia angular $\omega$ , cada una con su propia amplitud y su propia fase: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ .

Demostración. Las ecuaciones del circuito son ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes; su solución general es una solución particular más las soluciones de la ecuación homogénea, que son los transitorios de Capítulo 7 y decaen (todo circuito real tiene algo de resistencia). Existe una solución particular sinusoidal porque derivar una sinusoide de frecuencia $\omega$ da una sinusoide de la misma frecuencia: las ecuaciones pueden satisfacerse término a término — el método complejo de más abajo la construye explícitamente. ∎

Definición 8.2 (Amplitud compleja)

A la sinusoide $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ se le asocia la señal compleja $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ , de modo que $x = \Rea(\underline{x})$ , y la amplitud compleja

\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},

que lleva la amplitud $X = \abs{\underline{X}}$ y la fase $\varphi = \arg\underline{X}$ . Aquí $j$ designa la unidad imaginaria, $j^2 = -1$ , ya que la letra $i$ queda reservada para las corrientes. Dibujada como un vector de longitud $X$ y ángulo $\varphi$ , $\underline{X}$ es un fasor (vector de Fresnel).

Proposición 8.3 (Reglas del método complejo)

Las operaciones lineales conmutan con la toma de parte real: la amplitud compleja de una suma es la suma de las amplitudes complejas.
Derivar respecto del tiempo multiplica la amplitud compleja por $j\omega$ ; integrar la divide por $j\omega$ .
Las leyes de Kirchhoff, por ser lineales, valen para las amplitudes complejas.

Demostración. $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$ ; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$ , y $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$ porque la derivación es lineal sobre los reales. Las sumas de corrientes en un nudo y de tensiones en una malla son lineales. ∎

Ejemplo 8.4 (Sumar dos sinusoides)

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : las amplitudes complejas son $3$ y $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (pues $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ); su suma $3 - 4j$ tiene módulo $5$ y argumento $-0.927\ \mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ . Sin ninguna identidad trigonométrica.

8.2 Impedancia

Definición 8.5 (Impedancia, admitancia)

Para un dipolo lineal en régimen sinusoidal permanente (convenio receptor), la impedancia es el cociente de amplitudes complejas

\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{ohmios}),

cuyo módulo $Z = U/I$ relaciona las amplitudes y cuyo argumento $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ es el adelanto de fase de la tensión sobre la corriente. Su inversa $\underline Y = 1/\underline Z$ es la admitancia (siemens). La parte real de $\underline Z$ es su resistencia, y la parte imaginaria su reactancia.

Proposición 8.6 (Impedancias de R, L y C)

\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .

Un resistor mantiene en fase la tensión y la corriente; en una bobina la tensión se adelanta $\pi/2$ a la corriente, y en un condensador se retrasa $\pi/2$ . A baja frecuencia una bobina tiende a un hilo y un condensador a un circuito abierto; a alta frecuencia, al revés.

Demostración. $u = Ri$ ; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$ ; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$ . Los argumentos de $1$ , $j$ y $-j$ son $0$ , $\pi/2$ y $-\pi/2$ . ∎

Proposición 8.7 (Asociación; divisores; teoremas)

Las impedancias en serie se suman; las admitancias en paralelo se suman; los divisores de tensión y de corriente, los teoremas de Thévenin y de Norton, la superposición y el teorema de Millman de Capítulo 6 valen todos con amplitudes complejas e impedancias en lugar de tensiones, corrientes y resistencias reales.

Demostración. Todas las demostraciones de Capítulo 6 usaron solo las leyes de Kirchhoff y la linealidad de $u = Ri$ , válidas ambas en forma compleja. ∎

Ejemplo 8.8 (El divisor RC)

Un resistor $R$ y un condensador $C$ en serie sometidos a $\underline E$ , con la salida tomada en bornes de $C$ : $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$ . Amplitud $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$ , fase $-\arctan(RC\omega)$ : transmisión completa a baja frecuencia, $1/\sqrt2$ y $-45^\circ$ en $\omega = 1/RC$ , y una caída como $1/\omega$ más allá — un filtro de paso bajo, objeto de Capítulo 9.

8.3 El circuito RLC serie: resonancia

Teorema 8.9 (Resonancia de corriente)

Un resistor $R$ , una bobina $L$ y un condensador $C$ en serie sometidos a $e(t) = E\cos\omega t$ llevan la corriente de amplitud compleja

\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .

La amplitud es máxima, $I_{\max} = E/R$ , con la corriente y la tensión en fase, en la resonancia $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ . Con $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ y $x = \omega/\omega_0$ ,

\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,

y el ancho de banda — el intervalo de $\omega$ en el que $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — vale

\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .

Demostración. Las impedancias en serie se suman: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$ , y $\underline I = \underline E/\underline Z$ . El módulo es máximo cuando se anula la reactancia $L\omega - 1/C\omega$ , es decir en $\omega_0$ . Factorícese $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ y divídase por $R$ : $L\omega_0/R = Q$ . En los bordes de la banda, $Q(x - 1/x) = \pm 1$ , es decir $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , cuyas raíces positivas son $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ ; su diferencia vale $1/Q$ . ∎

RLC serie: amplitud de la corriente (izquierda) y su fase respecto de la fuente (derecha) frente a / _0, para Q = 1, 3, 10. El pico se estrecha al crecer Q (= _0/Q); por debajo de la resonancia el circuito es capacitivo (la corriente se adelanta) y por encima, inductivo (se retrasa). — RLC serie: amplitud de la corriente (izquierda) y su fase respecto de la fuente (derecha) frente a $\omega/\omega_0$ , para $Q = 1, 3, 10$ . El pico se estrecha al crecer $Q$ ( $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ); por debajo de la resonancia el circuito es capacitivo (la corriente se adelanta) y por encima, inductivo (se retrasa).

Diagrama de fasores del RLC serie por encima de la resonancia: U_R a lo largo de I, U_L un cuarto de vuelta por delante y U_C un cuarto de vuelta por detrás; su suma E se adelanta a la corriente en . En la resonancia U_L y U_C se cancelan y E = U_R. — Diagrama de fasores del RLC serie por encima de la resonancia: $\underline U_R$ a lo largo de $\underline I$ , $\underline U_L$ un cuarto de vuelta por delante y $\underline U_C$ un cuarto de vuelta por detrás; su suma $\underline E$ se adelanta a la corriente en $\varphi$ . En la resonancia $\underline U_L$ y $\underline U_C$ se cancelan y $\underline E = \underline U_R$ .

Proposición 8.10 (Sobretensión)

En la resonancia, las tensiones en bornes de la bobina y del condensador tienen la misma amplitud $QE$ y fases opuestas: para $Q \gg 1$ el condensador soporta una tensión $Q$ veces mayor que la de la fuente. La propia amplitud $U_C(\omega)$ presenta un máximo, si $Q > 1/\sqrt2$ , en $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ , algo por debajo de $\omega_0$ , con $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ .

Demostración. En $\omega_0$ , $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ y $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , puesto que $I = E/R$ . En general $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (multiplíquense numerador y denominador por $1/C\omega_0$ ); el cuadrado del denominador vale $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ , un polinomio de segundo grado en $x^2$ que se minimiza en $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ cuando esto es positivo, con mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$ . ∎

Ejemplo 8.11 (Sintonizar una radio)

Una bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ y un condensador variable: $C = 127\,\mathrm{pF}$ sintoniza $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ . Con la resistencia del hilo de la bobina $R = 12.6\,\Omega$ , $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ y $Q = 100$ : ancho de banda $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — la anchura de un canal de AM — y los $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ inducidos por un emisor lejano se convierten en $QE = 1\,\mathrm{mV}$ en bornes del condensador, de balde. El problema de fin de semana construye este receptor.

Observación 8.12 (Por qué de nuevo $Q$ )

El $Q$ de este capítulo es el $Q$ de Capítulo 7: el circuito que oscila durante unos $Q$ periodos cuando se le golpea es el que resuena en una banda de anchura $\omega_0/Q$ cuando se le excita. Ambos expresan un mismo cociente: $2\pi$ veces la energía almacenada dividida por la energía disipada en un periodo (Ejercicio 8.12). Una resonancia aguda y una oscilación larga son la misma propiedad, y también lo es la respuesta lenta: un filtro de ancho de banda $\Delta\omega$ tarda un tiempo del orden de $1/\Delta\omega$ en estabilizarse.

8.4 Potencia en régimen sinusoidal

Definición 8.13 (Valor eficaz)

El valor eficaz (rms, o valor cuadrático medio) de una señal periódica $x(t)$ es $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ , la raíz cuadrada del promedio temporal de $x^2$ sobre un periodo. Para una sinusoide de amplitud $X$ , $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$ . Los $230\,\mathrm{V}$ de la red son un valor eficaz; su amplitud es $325\,\mathrm{V}$ .

Teorema 8.14 (Potencia media)

Un dipolo con $u = U\cos\omega t$ e $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ (convenio receptor) recibe la potencia instantánea $p = ui$ , de valor medio

P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,

donde $\cos\varphi$ es el factor de potencia. Un resistor recibe $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$ ; una bobina o un condensador ideales ( $\varphi = \pm\pi/2$ ) no reciben potencia media — almacenan energía durante medio periodo y la devuelven durante el otro medio.

Demostración. $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$ ; el segundo término promedia cero. Con $\underline U = U$ e $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ , $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$ , cuya parte real vale $UI\cos\varphi$ ; y $\underline U = \underline Z\,\underline I$ da $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ . ∎

Potencia instantánea recibida por un dipolo con un desfase de 60 entre corriente y tensión: late a 2, baja por debajo de cero (energía devuelta a la fuente) y promedia 1/2 UI — aquí la mitad de lo que valdría en fase. — Potencia instantánea recibida por un dipolo con un desfase de $60^\circ$ entre corriente y tensión: late a $2\omega$ , baja por debajo de cero (energía devuelta a la fuente) y promedia $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — aquí la mitad de lo que valdría en fase.

Ejemplo 8.15 (Corrección del factor de potencia)

El motor de un taller a $230\,\mathrm{V}$ eficaces consume $2.0\,\mathrm{kW}$ con $\cos\varphi = 0.70$ (inductivo): $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ , frente a $8.7\,\mathrm{A}$ si el factor de potencia fuese $1$ — la corriente sobrante calienta en balde los cables de la compañía, de ahí el recargo. Un condensador en paralelo aporta localmente los vaivenes de energía de un cuarto de periodo de la bobina: la potencia reactiva $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ exige $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ , y la corriente de línea baja a $8.7\,\mathrm{A}$ .

8.5 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Dese la amplitud compleja de $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), en forma polar y cartesiana. Usando amplitudes complejas, escríbase $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ como un único coseno.

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ : $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$ , de módulo $5$ y argumento $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$ : $5\cos(\omega t - 0.927)$ .

Ejercicio 8.2 ★

Calcúlese la impedancia de $R = 100\,\Omega$ , $L = 0.10\,\mathrm{H}$ y $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ y a $1.0\,\mathrm{kHz}$ . Dense el módulo y la fase de la impedancia de $R$ y $L$ en serie a $50\,\mathrm{Hz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$R$ : $100\,\Omega$ en ambos casos. $L\omega$ : $31.4\,\Omega$ ( $50\,\mathrm{Hz}$ ), $628\,\Omega$ ( $1\,\mathrm{kHz}$ ). $1/C\omega$ : $318\,\Omega$ , $15.9\,\Omega$ . $RL$ serie a $50\,\mathrm{Hz}$ : $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$ , fase $\arctan(0.314) = 17^\circ$ .

Ejercicio 8.3 ★

La red da $230\,\mathrm{V}$ eficaces: ¿cuál es su amplitud? Un calefactor de $2.0\,\mathrm{kW}$ : corriente eficaz y de pico. Muéstrese que la potencia media en un resistor vale $RI_{\mathrm{rms}}^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$ . $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ , pico $12.3\,\mathrm{A}$ . $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$ por definición de valor eficaz.

Ejercicio 8.4 ★

RLC serie: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ , $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Dense $f_0$ , $Q$ , el ancho de banda en hercios y la amplitud de la corriente en la resonancia.

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$ ; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$ ; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$ .

Ejercicio 8.5 ★★

Divisor RC con la salida en bornes de $C$ : $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 159\,\mathrm{nF}$ . ¿A qué frecuencia la salida vale $1/\sqrt2$ de la entrada? Dense la razón de amplitudes y la fase a $1.0\,\mathrm{kHz}$ y a $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

$1/\sqrt2$ en $\omega = 1/RC$ : $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$ . A $1.0\,\mathrm{kHz}$ : razón $0.71$ , fase $-45^\circ$ . A $10\,\mathrm{kHz}$ : $RC\omega = 10$ , razón $1/\sqrt{101} = 0.10$ , fase $-84^\circ$ .

Ejercicio 8.6 ★★

A cierta frecuencia, un RLC serie tiene $R = 100\,\Omega$ , $L\omega = 250\,\Omega$ , $1/C\omega = 100\,\Omega$ , y $E = 1.0\,\mathrm{V}$ . Calcúlense $\underline Z$ , la amplitud y la fase de la corriente y las tres amplitudes de tensión; dibújese el diagrama de fasores. ¿Está el circuito por encima o por debajo de la resonancia?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$ : $Z = 180\,\Omega$ , $\arg = 56^\circ$ . $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$ , retrasada $56^\circ$ respecto de la fuente. $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$ , $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$ , $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$ ; fasores: $U_R$ a lo largo de $I$ , $U_L$ hacia arriba, $U_C$ hacia abajo, resultante $1.0\,\mathrm{V}$ . $L\omega > 1/C\omega$ : por encima de la resonancia (inductivo).

Ejercicio 8.7 ★★

Radio: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , $C$ ajustable de $50\,$ a $500\,\mathrm{pF}$ . Hállense el intervalo de frecuencias, la capacidad para $1.00\,\mathrm{MHz}$ y, con $Q = 100$ , el ancho de banda y la atenuación (razón de amplitudes) de una emisora situada a $9\,\mathrm{kHz}$ . Con una fem de antena de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : ¿tensión en bornes de $C$ en la resonancia?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : de $1.59\,\mathrm{MHz}$ ( $50\,\mathrm{pF}$ ) a $0.50\,\mathrm{MHz}$ ( $500\,\mathrm{pF}$ ). A $1.00\,\mathrm{MHz}$ : $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ . $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ . Emisora a $1.009\,\mathrm{MHz}$ : $x = 1.009$ , $Q(x - 1/x) = 1.8$ , razón $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$ . Tensión del condensador $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ .

Ejercicio 8.8 ★★

Dedúzcanse las dos frecuencias de potencia mitad del RLC serie y muéstrese que su diferencia vale $\omega_0/Q$ y su producto $\omega_0^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ ; raíces positivas $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ . La diferencia vale $1/Q$ , luego $\Delta\omega = \omega_0/Q$ ; el producto $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$ , luego $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (la banda es simétrica en escala logarítmica).

Ejercicio 8.9 ★★

Un motor a $230\,\mathrm{V}$ eficaces y $50\,\mathrm{Hz}$ absorbe $2.0\,\mathrm{kW}$ con $\cos\varphi = 0.70$ . Calcúlense la corriente eficaz, la potencia reactiva, la capacidad en paralelo que lleva el factor de potencia a $1$ y la nueva corriente. La línea de alimentación tiene $0.50\,\Omega$ : pérdidas por efecto Joule antes y después.

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$ . Potencia reactiva $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$ . $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Nueva corriente $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ . Pérdidas $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ antes y $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$ después.

Ejercicio 8.10 ★★★

RLC en paralelo alimentado por una fuente de corriente: escríbase la admitancia, muéstrese que la tensión es máxima en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ y vale allí $RI$ , y que el ancho de banda es $\Delta\omega = 1/RC$ , es decir $Q = R\sqrt{C/L}$ . Datos: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\mathrm{nF}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$ ; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ es máxima cuando se anula la susceptancia, en $\omega_0$ , donde $U = RI$ . Potencia mitad: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$ , es decir $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$ : $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ y $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$ . Datos: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$ , $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$ .

Ejercicio 8.11 ★★★

Muéstrese que la tensión del condensador de un RLC serie vale $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ , que presenta un máximo en $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ si $Q > 1/\sqrt2$ , y calcúlense $x_r$ y $U_{C,\max}/E$ para $Q = 3.16$ . ¿Qué ocurre si $Q < 1/\sqrt2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$ ; multiplíquese por $C\omega$ : $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$ . Con $s = x^2$ : $(1 - s)^2 + s/Q^2$ es mínimo en $s = 1 - 1/2Q^2$ (si es positivo), con mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$ : $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ . Para $Q = 3.16$ : $x_r = 0.975$ , $U_{C,\max} = 3.2E$ . Para $Q < 1/\sqrt2$ el mínimo está en $s = 0$ : $U_C$ decrece de forma monótona desde $E$ , sin máximo.

Ejercicio 8.12 ★★★

En la resonancia de un RLC serie, muéstrese que la energía almacenada total $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ es constante e igual a $\tfrac12 LI^2$ , calcúlese la energía disipada en $R$ por periodo y pruébese que $2\pi\,(\text{almacenada})/(\text{disipada por periodo}) = Q$ .

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

En la resonancia $i = I\cos\omega_0 t$ y $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$ , de modo que, usando $1/C\omega_0^2 = L$ ,

\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .

Disipada por periodo: $\tfrac12 RI^2T$ . El cociente $\times 2\pi$ : $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$ .

Sintonizar una radio de válvulas: girar el mando cambia un condensador, el condensador fija la frecuencia de resonancia de un circuito LC, y se oye la emisora cuya frecuencia coincide — el problema de fin de semana. — Sintonizar una radio de válvulas: girar el mando cambia un condensador, el condensador fija la frecuencia de resonancia de un circuito $LC$ , y se oye la emisora cuya frecuencia coincide — el problema de fin de semana.

8.6 Problema: el receptor de radio resonante

Problema 8.1

Problema de fin de semana — una bobina, un condensador variable y una antena: cómo una resonancia serie escoge una emisora entre cien, multiplica por cien su señal débil y por qué no puede hacerse arbitrariamente selectiva

La antena se modela por una fem sinusoidal ideal $e(t) = E\cos\omega t$ en serie con una bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ , cuyo hilo tiene una resistencia $R = 12.6\,\Omega$ , y un condensador variable $C$ . El receptor lee la tensión en bornes de $C$ . Más adelante (Parte IV) se tiene en cuenta la propia resistencia de la antena $R_a = 50\,\Omega$ .

Parte I — La corriente resonante.

Escríbase la impedancia compleja del circuito serie.
Dese la amplitud compleja de la corriente y, después, su amplitud $I(\omega)$ y su fase $\varphi_i(\omega)$ respecto de $e$ .
Muéstrese que $I$ es máxima en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; dense $I_{\max}$ y la fase en ese caso.
¿Qué capacidad sintoniza $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Calcúlese $L\omega_0$ .
Defínase $Q = L\omega_0/R$ y calcúlese.
Muéstrese que $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ con $x = \omega/\omega_0$ .
Dígase el signo de $\varphi_i$ por debajo y por encima de la resonancia e interprétese (comportamiento capacitivo o inductivo).

Parte II — Selectividad.

Escríbase la condición que define las dos frecuencias a las que $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
Resuélvase y muéstrese que $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ .
Calcúlese el ancho de banda $\Delta f$ de este receptor.
Una segunda emisora emite a $1.010\,\mathrm{MHz}$ y una tercera a $1.020\,\mathrm{MHz}$ : calcúlese la razón de amplitudes $I/I_{\max}$ de cada una y la razón de potencias correspondiente en decibelios.
Las emisoras de AM se separan de $9\,$ a $10\,\mathrm{kHz}$ . ¿Es bastante selectivo el receptor? ¿Qué lo mejoraría?
El condensador puede ajustarse entre $50\,$ y $500\,\mathrm{pF}$ : ¿qué banda de frecuencias cubre el receptor?

Parte III — La sobretensión.

Exprésese la amplitud compleja de la tensión del condensador y muéstrese que en la resonancia su amplitud vale $QE$ .
La fem de antena vale $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : calcúlense $I_{\max}$ y la tensión del condensador en la resonancia. Coméntese.
Muéstrese que la tensión de la bobina tiene la misma amplitud y está en oposición de fase con la del condensador en la resonancia: ¿qué “ve” la fuente?
Calcúlense la energía almacenada en el circuito en la resonancia y la energía disipada por periodo; compruébese que su cociente por $2\pi$ vale $Q$ .
A partir de Capítulo 7, ¿cuál es la constante de tiempo $\tau = 2Q/\omega_0$ de este circuito? ¿Por qué un $Q$ muy alto acaba distorsionando la voz y la música (ancho de banda del audio: unos $5\,\mathrm{kHz}$ en AM)?
Si la resistencia del hilo de la bobina se duplicase (hilo más fino), ¿cómo cambiarían $Q$ , el ancho de banda y la tensión del condensador?

Parte IV — La resistencia de la antena, y la potencia.

Con $R_a = 50\,\Omega$ en serie, recalcúlense $Q$ , el ancho de banda y la tensión del condensador para $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Conclúyase.
Calcúlense la potencia media entregada por la fem de antena en la resonancia y la fracción disipada en $R_a$ .
El teorema de máxima potencia pediría una resistencia de carga igual a $R_a$ : ¿por qué choca ese objetivo con la selectividad?
Los receptores reales conectan la antena a una toma intermedia de la bobina, o a través de un pequeño condensador de acoplamiento. Explíquese cualitativamente qué se consigue con ello.
Usando $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ , calcúlese el factor de potencia en las dos frecuencias de potencia mitad y explíquese el nombre “potencia mitad”.
Resúmase el diseño: qué aporta $Q$ , qué cuesta y qué valor se elige para un receptor de $1\,\mathrm{MHz}$ con canales de $10\,\mathrm{kHz}$ .

Solución

Solución de Problema 8.1.

1. $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$ .

2. $\underline I = E/\underline Z$ ; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$ ; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$ .

3. La reactancia se anula en $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ : $I_{\max} = E/R$ , $\varphi_i = 0$ .

4. $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$ ; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$ .

5. $Q = 1257/12.6 = 100$ .

6. $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ , divídase por $R$ .

7. $x < 1$ : reactancia negativa, $\varphi_i > 0$ , la corriente se adelanta (capacitivo); $x > 1$ : se retrasa (inductivo).

8. $Q(x - 1/x) = \pm1$ .

9. $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$ , $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$ , $x_2 - x_1 = 1/Q$ : $\Delta\omega = \omega_0/Q$ .

10. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$ .

11. $1.010\,\mathrm{MHz}$ : $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$ , razón $1/\sqrt{5.0} = 0.45$ , potencia $0.20$ : $-7\,\mathrm{dB}$ . $1.020\,\mathrm{MHz}$ : $3.96$ , razón $0.25$ , potencia $0.06$ : $-12\,\mathrm{dB}$ .

12. Justo en el límite: la vecina queda solo $7\,\mathrm{dB}$ por debajo. Un $Q$ mayor (una $R$ menor), o varias etapas sintonizadas en cascada, afinan la selección.

13. De $0.50\,\mathrm{MHz}$ a $1.59\,\mathrm{MHz}$ : la banda de AM.

14. $\underline U_C = \underline I/jC\omega$ ; en $\omega_0$ , $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$ .

15. $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$ : una ganancia de tensión de cien veces sin amplificador.

16. $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$ , $\underline U_C = -jQE$ : iguales y opuestas, se cancelan; la fuente ve solo $R$ .

17. Almacenada $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ ; disipada por periodo $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ ; $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$ .

18. $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$ . El circuito no puede seguir cambios más rápidos que $\sim\tau$ : un ancho de banda $\Delta f$ solo deja pasar modulaciones más lentas que $\Delta f$ ; con $Q = 1000$ , $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ y se perderían los agudos del programa.

19. $Q$ se reduce a la mitad, $50$ ; $\Delta f$ se duplica hasta $20\,\mathrm{kHz}$ ; $U_C$ baja a la mitad, $0.5\,\mathrm{mV}$ .

20. $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$ : $Q = 1257/62.6 = 20$ , $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$ , $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$ : se hunden a la vez la sensibilidad y la selectividad.

21. $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$ ; fracción en $R_a$ : $50/62.6 = 80\%$ .

22. La adaptación pide una resistencia de carga igual a $R_a$ , es decir una resistencia total grande; la selectividad pide la resistencia total más pequeña posible ( $Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$ ). Con una conexión directa no se pueden tener las dos cosas.

23. Una toma intermedia o un pequeño condensador de acoplamiento presentan a la antena solo una fracción del circuito resonante: el circuito “ve” muy reducida la resistencia de la antena, con lo que $Q$ sigue alto y la antena entrega potencia cerca de su óptimo.

24. En las frecuencias de potencia mitad la reactancia vale $\pm R$ , luego $\varphi = \pm45^\circ$ y $\cos\varphi = 1/\sqrt2$ ; como además $I = I_{\max}/\sqrt2$ , $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ es la mitad de su valor en la resonancia.

25. $Q$ multiplica la señal por $Q$ y estrecha la banda a $f_0/Q$ , a costa de una respuesta más lenta ( $\tau = 2Q/\omega_0$ ) y de un acoplamiento frágil con la antena; para canales de $10\,\mathrm{kHz}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ , $Q \approx 100$ es el número — y la antena debe acoplarse débilmente para conservarlo.

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