Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

7Regímenes transitorios: primer y segundo orden

Basta empujar hacia abajo la esquina de un coche aparcado y soltar. Un coche en buen estado sube una vez y se detiene; un coche con los amortiguadores gastados cabecea dos o tres veces antes de calmarse. En un laboratorio de electrónica aparecen esos mismos dos comportamientos en un osciloscopio cuando un condensador se descarga a través de una bobina: un retorno suave, o una oscilación que se extingue. Ambos son el transitorio entre un régimen permanente y otro, y ambos obedecen la misma pequeña familia de ecuaciones diferenciales lineales — de primer orden para un único almacén de energía, de segundo orden para dos que intercambian. Este capítulo las resuelve de una vez por todas, nombra sus parámetros (constante de tiempo, frecuencia propia, factor de calidad) y muestra cómo los mismos números describen un circuito y una suspensión.

Una bobina, un condensador y un resistor sobre una placa de pruebas, y en el osciloscopio la oscilación amortiguada que sigue a un escalón: el régimen seudoperiódico de este capítulo.

7.1 Sistemas de primer orden

Definición 7.1 (Sistema lineal de primer orden)

Una magnitud $x(t)$ obedece una ecuación lineal de primer orden con coeficientes constantes cuando

\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,

con $\tau > 0$ la constante de tiempo y $x_\infty$ una constante (el valor impuesto por la fuente). Su régimen permanente es $x = x_\infty$ ; el régimen transitorio es la aproximación a él desde el valor inicial $x(0) = x_0$ .

Teorema 7.2 (Solución)

La única solución con $x(0) = x_0$ es

x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .

La distancia al régimen permanente se reduce en el factor $\eu^{-1} \approx 0.37$ cada $\tau$ : se ha recorrido el $63\%$ del camino en $\tau$ , el $95\%$ en $3\tau$ y el $99\%$ en $4.6\tau$ . La tangente en el origen alcanza $x_\infty$ en $t = \tau$ .

Demostración. $y = x - x_\infty$ obedece $\tau y' + y = 0$ , cuyas soluciones son $y = K\eu^{-t/\tau}$ (el curso de matemáticas sobre ecuaciones diferenciales lineales demuestra que no hay otras); $K = x_0 - x_\infty$ . La pendiente en $0$ vale $-(x_0 - x_\infty)/\tau$ , que cerraría la distancia en un tiempo $\tau$ . ∎

La respuesta de primer orden a un escalón desde x_0 = 0: la tangente inicial corta la asíntota en t =; el 63\% del camino en y el 95\% en 3. Todo transitorio de primer orden es esta curva, dilatada por y desplazada por x_0 y x_∈fty. — La respuesta de primer orden a un escalón desde $x_0 = 0$ : la tangente inicial corta la asíntota en $t = \tau$ ; el $63\%$ del camino en $\tau$ y el $95\%$ en $3\tau$ . Todo transitorio de primer orden es esta curva, dilatada por $\tau$ y desplazada por $x_0$ y $x_\infty$ .

Proposición 7.3 (Circuitos RC y RL)

Un condensador $C$ que se carga a través de un resistor $R$ desde una fuente ideal $E$ obedece $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : $\tau = RC$ , $u_{C,\infty} = E$ . Una bobina $L$ en serie con $R$ sometida a $E$ obedece $(L/R)\,\dd i/\dd t + i = E/R$ : $\tau = L/R$ , $i_\infty = E/R$ . Retirada la fuente ( $E \to 0$ ), esas mismas ecuaciones describen la descarga hacia cero.

Demostración. Ley de las mallas $E = Ri + u_C$ con $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; ley de las mallas $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$ . ∎

Proposición 7.4 (Condiciones de continuidad)

La tensión en bornes de un condensador y la corriente por una bobina son funciones continuas del tiempo: en un instante de conmutación $t_0$ , $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ e $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$ . Las corrientes en los resistores y las tensiones en las bobinas sí pueden saltar.

Demostración. Un salto de $u_C$ exigiría $i = C\,\dd u_C/\dd t$ infinita, y un salto de $i_L$ exigiría $u = L\,\dd i/\dd t$ infinita; ambas cosas son imposibles en un circuito de tensiones y corrientes finitas (dicho de otro modo, las energías almacenadas $\tfrac12 Cu_C^2$ y $\tfrac12 Li^2$ no pueden cambiar instantáneamente sin una potencia infinita). ∎

Método 7.5 (Resolver un transitorio de primer orden)

Escríbanse las leyes de mallas y de nudos después de la conmutación, junto con las leyes de los componentes; redúzcase a una única ecuación en $u_C$ o en $i_L$ y pásese a la forma $\tau x' + x = x_\infty$ ; léanse $\tau$ y $x_\infty$ (este último es también el régimen permanente que se obtiene sustituyendo $C$ por un circuito abierto y $L$ por un hilo).
Hállese $x_0$ por la continuidad de $u_C$ o de $i_L$ en el instante de conmutación, usando el circuito anterior a ella.
Escríbase $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; dedúzcanse las demás magnitudes por derivación y por la ley de las mallas.

Cuando el condensador ve una red de resistores y fuentes, sustitúyase antes esa red por su equivalente de Thévenin $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ (Capítulo 6): $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$ , $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$ .

Proposición 7.6 (Balance energético de la carga RC)

Al cargar un condensador de $0$ a $E$ a través de un resistor $R$ cualquiera, la fuente aporta $CE^2$ , el condensador almacena $\tfrac12 CE^2$ y el resistor disipa el otro $\tfrac12 CE^2$ — sea cual sea $R$ .

Demostración. $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ; la fuente aporta $\int_0^\infty Ei\,\dd t = E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ; el resistor toma $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ; la diferencia es la energía almacenada $\tfrac12 CE^2$ . Una $R$ menor disipa la misma energía más deprisa. ∎

Ejemplo 7.7 (La bobina de un relé)

$L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ : $\tau = 4.0\,\mathrm{ms}$ , $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; los contactos se cierran cuando $i$ llega a $1.5\,\mathrm{A}$ , es decir en $t = -\tau\ln(1 - 0.75) = 5.5\,\mathrm{ms}$ . Al abrir el circuito, $i$ debe caer desde $2\,\mathrm{A}$ ; un diodo de rueda libre en paralelo con la bobina le ofrece un camino a través de $R$ solo, con $\tau = 4\,\mathrm{ms}$ , en vez de una chispa.

7.2 Sistemas de segundo orden

Definición 7.8 (Forma canónica de segundo orden)

Una magnitud $x(t)$ es un sistema lineal de segundo orden cuando

\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = \omega_0^2\,x_\infty ,

con $\omega_0 > 0$ la frecuencia angular propia, $Q > 0$ el factor de calidad (adimensional) y $x_\infty$ el régimen permanente. También se escribe $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ , con $\xi = 1/2Q$ el factor de amortiguamiento.

Proposición 7.9 (El circuito RLC serie)

Un condensador $C$ , una bobina $L$ y un resistor $R$ en serie sometidos a una fuente $E$ : la tensión del condensador obedece la forma canónica con

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}, \qquad u_{C,\infty} = E .

Demostración. Ley de las mallas: $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ con $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; divídase por $LC$ e identifíquense $\omega_0^2 = 1/LC$ y $\omega_0/Q = R/L$ . ∎

Las dos caras del sistema de segundo orden: el circuito RLC serie (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) y el conjunto masa–resorte–amortiguador (_0 = √k/m, Q = √km/). La misma ecuación y los mismos tres regímenes. — Las dos caras del sistema de segundo orden: el circuito RLC serie ( $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ ) y el conjunto masa–resorte–amortiguador ( $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ). La misma ecuación y los mismos tres regímenes.

Proposición 7.10 (El oscilador mecánico)

Una masa $m$ sobre un resorte de rigidez $k$ con un amortiguador viscoso de coeficiente $\alpha$ (fuerza $-\alpha\dot x$ ), separada $x$ de la posición de equilibrio, obedece $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : la forma canónica con

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .

La correspondencia $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ lleva todo resultado de un sistema al otro.

Demostración. La segunda ley de Newton (Capítulo 12) con la fuerza del resorte $-kx$ y la fuerza de amortiguamiento; divídase por $m$ . ∎

Teorema 7.11 (Los tres regímenes)

Las soluciones de la ecuación homogénea $x'' + (\omega_0/Q)x' + \omega_0^2 x = 0$ las gobiernan las raíces de $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , de discriminante $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

$Q < \tfrac12$ , aperiódico: dos raíces reales negativas $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , un retorno sin oscilación;
$Q = \tfrac12$ , crítico: una raíz doble $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , el retorno más rápido sin sobreoscilación;
$Q > \tfrac12$ , seudoperiódico: raíces complejas $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ con

$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}, \qquad x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$

una oscilación amortiguada de seudoperiodo $T = 2\pi/\omega$ dentro de la envolvente $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$ .

La solución completa con segundo miembro constante es $x_\infty$ más la solución homogénea; $A$ y $B$ se obtienen de $x(0)$ y $x'(0)$ .

Demostración. Ecuación característica de una ecuación lineal con coeficientes constantes (curso de matemáticas, ecuaciones lineales de segundo orden): las raíces son $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$ . Para $Q > \tfrac12$ , $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$ , lo que da la parte real $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ y la parte imaginaria $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; las soluciones reales son las combinaciones de $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ y $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$ . ∎

Respuesta a un escalón, partiendo del reposo, de un sistema de segundo orden, para tres factores de calidad. Q pequeño: una subida lenta; Q = 1/2: el retorno más rápido sin sobreoscilación; Q grande: una oscilación que dura alrededor de Q periodos. — Respuesta a un escalón, partiendo del reposo, de un sistema de segundo orden, para tres factores de calidad. $Q$ pequeño: una subida lenta; $Q = \tfrac12$ : el retorno más rápido sin sobreoscilación; $Q$ grande: una oscilación que dura alrededor de $Q$ periodos.

Proposición 7.12 (Leer $Q$ en un registro seudoperiódico)

En régimen seudoperiódico, dos máximos sucesivos están en la razón $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ; el decremento logarítmico

\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}} \approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)

da $Q$ ; el número de oscilaciones visibles antes de que la amplitud baje del $5\%$ es del orden de $Q$ . Para $Q \gg 1$ , $\omega \approx \omega_0$ y $T \approx 2\pi/\omega_0$ .

Demostración. La envolvente $\eu^{-t/\tau}$ se multiplica por $\eu^{-T/\tau}$ en cada periodo; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$ . La envolvente llega a $\eu^{-3} \approx 5\%$ en $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$ , es decir al cabo de unos $Q$ periodos. ∎

Decaimiento libre seudoperiódico, x = x_0 -t/ t: los máximos sucesivos se reducen en el factor constante -T/, y (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mide el factor de calidad a partir del registro. — Decaimiento libre seudoperiódico, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : los máximos sucesivos se reducen en el factor constante $\eu^{-T/\tau}$ , y $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mide el factor de calidad a partir del registro.

Ejemplo 7.13 (Una oscilación RLC)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : seudoperiódico, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $\omega = 0.987\,\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ , tres oscilaciones visibles. La resistencia crítica vale $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ; por encima de ella la descarga es aperiódica.

Método 7.14 (Resolver un transitorio de segundo orden)

Escríbase la ecuación; pásese a la forma canónica; léanse $\omega_0$ , $Q$ y $x_\infty$ .
Decídase el régimen a partir de $Q$ y escríbase la solución general como $x_\infty$ más la solución homogénea.
Hállense $x(0)$ y $x'(0)$ por la continuidad de $u_C$ y de $i_L$ (para el RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ y $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); despéjense las dos constantes.

Ejemplo 7.15 (Condiciones iniciales)

El condensador del ejemplo anterior se carga a $U_0$ y, en $t = 0$ , se cierra sobre $L$ y $R$ (sin fuente): $x_\infty = 0$ , $u_C(0) = U_0$ , $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ , pues la corriente de la bobina era nula. Por tanto $A = U_0$ y $-A/\tau + B\omega = 0$ , $B = U_0/(\omega\tau) = U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — para $Q \gg 1$ , simplemente $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ , y la corriente $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ tiene un máximo cercano a $U_0\sqrt{C/L} = U_0/(\omega_0 L)$ .

Observación 7.16 (Energía)

La energía almacenada $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (o $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 m\dot x^2$ ) decrece a razón de $Ri^2$ ( $\alpha\dot x^2$ ): derívese y úsese la ecuación. En cada seudoperiodo la energía se reduce en el factor $\eu^{-2T/\tau}$ ; con $Q = 3$ se pierde alrededor del $88\%$ por oscilación. Un $Q$ alto significa una fuga lenta comparada con la oscilación — un buen reloj, una resonancia aguda (Capítulo 8) — y un $Q$ bajo, un retorno rápido: lo que conviene a una suspensión o a la aguja de un aparato de medida.

7.3 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Un circuito RC: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 47\,\mathrm{nF}$ , cargado desde $E$ . Calcúlense $\tau$ , $u_C(\tau)/E$ y el tiempo para llegar al $99\%$ de $E$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E = 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$ , $t = \tau\ln 100 = 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$ .

Ejercicio 7.2 ★

Un circuito RL: $L = 20\,\mathrm{mH}$ , $R = 5.0\,\Omega$ , $E = 10\,\mathrm{V}$ . Calcúlense $\tau$ , la corriente final, la corriente en $t = \tau$ y la tensión en bornes de la bobina justo después de cerrar el interruptor.

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; en $0^+$ , $i = 0$ (continuidad), luego $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 7.3 ★

Un RLC serie: $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ , $R = 100\,\Omega$ . Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y $Q$ ; nómbrese el régimen; dense $\tau$ y el seudoperiodo.

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : seudoperiódico; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2} = 0.987\omega_0$ , $T = 0.20\,\mathrm{ms}$ .

Ejercicio 7.4 ★

Con los mismos $L$ y $C$ , ¿qué resistencia da el régimen crítico? ¿Cuánto vale entonces $Q$ ? ¿Qué ocurre para $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ , $Q = \tfrac12$ . A $2\,\mathrm{k}\Omega$ , $Q = 0.16$ : aperiódico, una subida lenta gobernada por la raíz pequeña $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (escala de tiempo $0.2\,\mathrm{ms}$ , pero sin oscilación).

Ejercicio 7.5 ★★

Un condensador cargado $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se descarga a través de una $R$ desconocida; la tensión se reduce a la mitad cada $3.5\,\mathrm{ms}$ . Muéstrese que el tiempo de semirreducción vale $\tau\ln 2$ y hállese $R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ se reduce a la mitad cuando $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : $t_{1/2} = \tau\ln 2$ . $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$ , $R = \tau/C = 5.1\,\mathrm{k}\Omega$ .

Ejercicio 7.6 ★★

Muéstrese por integración directa que cargar un condensador de $0$ a $E$ a través de $R$ disipa exactamente $\tfrac12 CE^2$ en $R$ , con independencia de $R$ . ¿En qué queda el rendimiento de la transferencia y cómo podría mejorarse?

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ , sin rastro de $R$ . La fuente aporta $CE^2$ : rendimiento del $50\%$ con cualquier resistor. Mejor: cargar a través de una bobina (la corriente ya no es proporcional a la diferencia de tensión) o en varios escalones de tensión — cada escalón de $E/n$ solo pierde $\tfrac12 C(E/n)^2$ .

Ejercicio 7.7 ★★

En un osciloscopio, una descarga libre de un RLC muestra máximos sucesivos de $2.0\,\mathrm{V}$ , $1.5\,\mathrm{V}$ y $1.12\,\mathrm{V}$ separados $0.40\,\mathrm{ms}$ . Dedúzcanse $Q$ , $\omega_0$ y, con $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ , los valores de $L$ y $R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (y $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : coherente); $Q \approx \pi/\delta = 11$ . $T = 0.40\,\mathrm{ms}$ , luego $\omega_0 \approx 2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (la corrección $1/8Q^2$ es del $0.1\%$ ). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$ .

Ejercicio 7.8 ★★

Un condensador cargado a $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ( $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ ) se conmuta sobre una bobina $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ de resistencia pequeña ( $Q \gg 1$ ). Escríbanse $u_C(t)$ e $i(t)$ , y estímese la corriente máxima. ¿Dónde está la energía en ese máximo?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t \approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (para $t \ll \tau$ ), con máximo $U_0\sqrt{C/L} = 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$ , alcanzado un cuarto de periodo después de cerrar, cuando $u_C = 0$ : toda la energía ( $\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ ) es entonces magnética, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$ .

Ejercicio 7.9 ★★

Un cuarto de coche: $m = 400\,\mathrm{kg}$ sobre un resorte $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y el coeficiente de amortiguamiento crítico. Con un amortiguador $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , dense $Q$ , el régimen, el seudoperiodo y el tiempo de decaimiento $\tau$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$ , seudoperiódico; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 7.10 ★★★

Una bobina $L = 0.50\,\mathrm{H}$ lleva $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ; se desconecta la fuente y la bobina queda sobre un resistor de descarga $R = 100\,\Omega$ . Dense $i(t)$ , $\tau$ , la tensión máxima en bornes de la bobina y la energía disipada. ¿Qué ocurriría sin el resistor?

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; tensión máxima $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ en $t = 0^+$ ; energía $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ disipada en $R$ . Sin el resistor la corriente no tiene camino: $\dd i/\dd t$ es enorme, la tensión de la bobina llega a los kilovoltios y salta un arco en el interruptor.

Ejercicio 7.11 ★★★

Un condensador $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se carga desde $E = 12\,\mathrm{V}$ a través de $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ mientras $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ está conectado en paralelo con él. Usando un equivalente de Thévenin, hállense la constante de tiempo y la tensión final; escríbase $u_C(t)$ a partir de $u_C(0) = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

Visto desde $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$ , $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

Ejercicio 7.12 ★★★

Régimen crítico, escalón desde el reposo ( $x(0) = x'(0) = 0$ ): muéstrese que $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ y hállese numéricamente el tiempo necesario para alcanzar el $95\%$ de $x_\infty$ (en unidades de $1/\omega_0$ ). Compárese con el tiempo de establecimiento de la envolvente para $Q = 5$ y con el de la raíz lenta cuando $Q = 0.1$ ; conclúyase por qué el régimen crítico es el objetivo del ingeniero.

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

Raíz doble $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ da $A = -x_\infty$ y $x'(0) = 0$ da $B = \omega_0 A$ : $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$ . Para el $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$ , $s \approx 4.7$ : $t_{95} = 4.7/\omega_0$ . Para $Q = 5$ la envolvente $\eu^{-t/\tau}$ con $\tau = 10/\omega_0$ necesita $3\tau = 30/\omega_0$ ; para $Q = 0.1$ la raíz lenta es $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q$ y $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$ . Ambos son seis veces más lentos: el amortiguamiento crítico es el retorno sin sobreoscilación más rápido, que es lo que quiere un aparato de medida, un cierrapuertas o una suspensión.

7.4 Problema: diseñar una suspensión

Problema 7.1

Problema de fin de semana — la misma ecuación diferencial en un banco de laboratorio y bajo un coche: cuántos rebotes permite un amortiguador gastado, qué elige en su lugar el diseñador y cómo un solo número distingue los dos casos

La Parte I estudia un circuito RLC serie, $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; las Partes II–IV, un modelo de cuarto de coche: una masa $m = 350\,\mathrm{kg}$ apoyada en un resorte $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ y un amortiguador que ejerce $-\alpha\dot x$ . Sobreoscilación de una respuesta a un escalón en régimen seudoperiódico (dato): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$ , $\xi = 1/2Q$ .

Parte I — El circuito.

Escríbase la ley de las mallas para el RLC serie sometido a una fuente $E$ , y la ecuación diferencial de $u_C$ .
Pásese a la forma canónica; exprésense $\omega_0$ y $Q$ .
Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y la resistencia crítica $R_c$ .
Escríbanse la ecuación característica y su discriminante; enúnciense los tres regímenes en función de $Q$ .
En el caso seudoperiódico, dense $\tau$ y $\omega$ y la forma de $u_C(t)$ .
Para $R = 100\,\Omega$ calcúlense $Q$ , $\tau$ , el seudoperiodo y el número de oscilaciones visibles.
El condensador, cargado a $U_0$ , se conmuta sobre $L$ y $R$ en $t = 0$ . Dense $u_C(0^+)$ y $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , con la razón física de cada uno.

Parte II — El cuarto de coche.

Midiendo $x$ desde la posición de equilibrio, escríbase la segunda ley de Newton para la carrocería y muéstrese que el peso desaparece.
Pásese la ecuación a la forma canónica; dense $\omega_0$ y $Q$ en función de $m$ , $k$ y $\alpha$ , y enumérense las correspondencias electromecánicas.
Calcúlense $\omega_0$ , $f_0$ y el coeficiente crítico $\alpha_c$ .
El diseñador monta $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : calcúlense $Q$ y $\xi$ , y nómbrese el régimen.
Calcúlense $\tau$ y el seudoperiodo.
Calcúlese la sobreoscilación tras un escalón (un bordillo): ¿es cómodo el coche?
¿Qué resistencia $R$ daría al circuito de la Parte I el mismo $Q$ que esta suspensión?

Parte III — El amortiguador gastado. Se ha perdido aceite: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

Calcúlense $Q$ , el seudoperiodo y $\tau$ .
¿En qué factor se reducen los máximos sucesivos? ¿Cuántos rebotes se ven antes de que la amplitud baje del $5\%$ ?
La prueba del rebote: se empuja la esquina hacia abajo $x_0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ y se suelta. Dense las condiciones iniciales, la energía almacenada en el resorte y dígase adónde va esa energía.
Estímense la velocidad máxima de la carrocería durante el primer retorno ( $\approx x_0\omega_0$ para $Q \gg 1$ ) y la fuerza máxima del amortiguador.
¿Por qué el amortiguamiento exactamente crítico ( $Q = \tfrac12$ ) no es la elección del diseñador, pese a no dar sobreoscilación? (Piénsese en los últimos milímetros del retorno.)
Calcúlese la sobreoscilación del amortiguador gastado y compárese con la Parte II.

Parte IV — Diagnosticar $Q$ a partir de un registro. Un acelerómetro sobre la carrocería registra el decaimiento libre.

Para el coche gastado, los máximos sucesivos valen $1.00$ , $0.25$ y $0.062$ (unidades arbitrarias). Calcúlese el decremento logarítmico, dedúzcase $\xi$ exactamente de $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ y después $Q$ ; compárese con la Parte III.
En el coche sano no se ve un segundo máximo; solo puede leerse la sobreoscilación, del $3.8\%$ . Invirtiendo la fórmula de la sobreoscilación, hállense $\xi$ y $Q$ .
¿Qué fracción de la energía mecánica disipa por seudoperiodo el amortiguador gastado?
Un técnico que no tiene un coche a mano monta el RLC de la Parte I con una $R$ elegida para que $Q = 2.3$ : ¿qué $R$ , y por qué el registro del osciloscopio, representado frente a $\omega_0 t$ , tiene exactamente la misma forma que el del coche?
Resúmase: qué número adimensional decide la forma de cualquier transitorio de segundo orden, qué valor busca quien diseña una suspensión y qué debe concluir un conductor de “más de un rebote”.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ , $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ .

2. $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ con $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \sqrt{L/C}/R$ .

3. $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ , $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ .

4. $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$ , $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ : $Q < \tfrac12$ aperiódico, $Q = \tfrac12$ crítico, $Q > \tfrac12$ seudoperiódico.

5. $\tau = 2Q/\omega_0$ , $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ , $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ .

6. $Q = 3.16$ , $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$ , $T = 2\pi/\omega = 0.20\,\mathrm{ms}$ , unas tres oscilaciones.

7. $u_C(0^+) = U_0$ ( $u_C$ continua: corriente finita); $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ( $i_L$ continua y nula antes).

8. $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ con $kx_{\text{eq}} = mg$ : $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ .

9. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow q$ , $\dot x \leftrightarrow i$ , $m \leftrightarrow L$ , $\alpha \leftrightarrow R$ , $k \leftrightarrow 1/C$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_0 = 1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

11. $Q = 2775/4000 = 0.69$ , $\xi = 0.72$ : seudoperiódico, justo por debajo del crítico.

12. $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 1.1\,\mathrm{s}$ .

13. Sobreoscilación $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : una pequeña subida por encima del equilibrio y se acabó — cómodo.

14. $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$ .

15. $Q = 2775/1200 = 2.3$ , $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$ , $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$ .

16. $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : cada rebote es la cuarta parte del anterior; $0.25^3 = 1.6\%$ : tres rebotes visibles.

17. $x(0) = -x_0$ , $\dot x(0) = 0$ ; energía $\tfrac12 kx_0^2 = 0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$ , disipada en forma de calor en el aceite del amortiguador.

18. $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; fuerza del amortiguador $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$ .

19. Con $Q = \tfrac12$ el retorno es $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}$ , que se aproxima asintóticamente: los últimos milímetros tardan mucho. Un sistema ligeramente subamortiguado ( $\xi \approx 0.7$ ) sobrepasa unos pocos por ciento, pero entra antes en una banda de tolerancia y se queda.

20. $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$ , frente al $3.8\%$ : el coche gastado rebota media amplitud por encima del equilibrio.

21. $\delta = \ln 4 = 1.39$ (dos veces, coherente); $\xi = \delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$ , $Q = 1/2\xi = 2.3$ : el valor del amortiguador gastado.

22. $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , luego $\xi = 3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$ , $Q = 0.69$ .

23. La energía es $\propto$ amplitud $^2$ : fracción restante por periodo $0.25^2 = 6\%$ , luego se disipa el $94\%$ por seudoperiodo.

24. $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$ . En la variable $\omega_0 t$ la ecuación canónica solo contiene $Q$ : dos sistemas con el mismo $Q$ trazan la misma curva.

25. El factor de calidad $Q$ (o $\xi$ ) fija por sí solo la forma; un diseñador apunta a $Q \approx 0.7$ ( $\xi \approx 0.7$ ); más de un rebote visible significa un $Q$ bastante mayor que $1$ : el amortiguador está gastado.

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