Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

16Fuerzas centrales: planetas y satélites

Treinta y un satélites dan dos vueltas al día a la Tierra, cada uno un reloj y una radio, y un teléfono que oye a cuatro de ellos sabe dónde está con un error de pocos metros. El cometa Halley cae hacia el Sol durante treinta y ocho años, lo rodea en unas semanas y vuelve a alejarse otros treinta y ocho. Una sonda con destino a Marte sale de la Tierra exactamente con la rapidez que hará que su trayectoria roce la órbita de Marte. Todo eso es el movimiento de un cuerpo atraído hacia un punto fijo por una fuerza que decrece como el inverso del cuadrado de la distancia, y todo se sigue de dos magnitudes conservadas — la energía y el momento angular — más una única idea nueva, el potencial efectivo. Este capítulo deduce las formas y las rapideces de las órbitas, las tres leyes de Kepler y la aritmética de poner un satélite donde se quiere.

16.1 Fuerzas centrales conservativas

Definición 16.1 (Fuerza central; fuerza central conservativa)

Una fuerza es central con centro $O$ si está siempre dirigida según $\vect{OM}$ : $\vect F = F(M)\,\vect e_r$ . Es central conservativa si su módulo depende solo de $r = OM$ : $\vect F = F(r)\,\vect e_r$ , que deriva de una energía potencial $E_p(r)$ con $F(r) = -\dd E_p/\dd r$ .

Teorema 16.2 (Movimiento bajo una fuerza central conservativa)

Un punto material de masa $m$ sometido únicamente a una fuerza central conservativa:

conserva su momento angular $\vect L_O$ ; su movimiento es plano y, en coordenadas polares de ese plano, $r^2\dot\theta = C$ es constante (ley de las áreas, Corolario 15.5);
conserva su energía mecánica $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + E_p(r)$ , que puede escribirse

$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$

El movimiento radial es, pues, el de un punto unidimensional en el potencial efectivo $E_{p,\mathrm{eff}}$ : los puntos de retroceso radiales son las raíces de $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$ , el movimiento es ligado si queda atrapado entre dos de ellos, y circular si $r$ se sitúa en un mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$ .

Demostración. La parte 1 es Corolario 15.5. La fuerza es conservativa y no actúa ninguna otra, luego $E_m$ se conserva; en el plano, $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ y $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$ . El término $mC^2/2r^2$ , energía cinética del movimiento angular, actúa como una barrera centrífuga repulsiva en el problema radial, al que se aplica el análisis unidimensional de Capítulo 13. ∎

16.2 Gravitación newtoniana

Definición 16.3 (Gravitación universal)

Una masa puntual $M$ situada en $O$ atrae a una masa puntual $m$ en $M$ con

\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ en el infinito}),

donde $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . Un cuerpo de simetría esférica atrae fuera de sí mismo como si toda su masa estuviera en su centro (admitido; es consecuencia del teorema de Gauss, Capítulo 26).

Proposición 16.4 (El potencial efectivo de la gravitación)

Para $E_p = -GMm/r$ ,

E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}

tiende a $+\infty$ cuando $r \to 0$ (si $L \neq 0$ ), a $0^-$ en el infinito, y tiene un único mínimo en $r_c = L^2/GMm^2$ , de valor $-G^2M^2m^3/2L^2$ . Por tanto: $E_m < 0$ — movimiento ligado entre un radio mínimo y uno máximo (perigeo y apogeo); $E_m \geq 0$ — no ligado, el cuerpo viene del infinito y vuelve a él; $E_m$ igual al mínimo — órbita circular de radio $r_c$ .

Demostración. Los límites, por inspección; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ en $r_c$ ; sustitúyase. El caso circular es $\dot r = 0$ para siempre, solo posible en el mínimo. ∎

El potencial efectivo de la gravitación newtoniana: la atracción -GMm/r más la barrera centrífuga L2/2mr2. Por debajo de la energía nula el movimiento radial queda atrapado entre dos puntos de retroceso (perigeo y apogeo); en el mínimo la órbita es circular; en cero o por encima el cuerpo escapa. — El potencial efectivo de la gravitación newtoniana: la atracción $-GMm/r$ más la barrera centrífuga $L^2/2mr^2$ . Por debajo de la energía nula el movimiento radial queda atrapado entre dos puntos de retroceso (perigeo y apogeo); en el mínimo la órbita es circular; en cero o por encima el cuerpo escapa.

Teorema 16.5 (Órbitas circulares)

En una órbita circular de radio $r$ en torno a una masa $M$ :

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .

En particular, $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ es el mismo para todas las órbitas circulares en torno al mismo centro (tercera ley de Kepler).

Demostración. El movimiento circular uniforme necesita la fuerza centrípeta $mv^2/r = GMm/r^2$ ; $T = 2\pi r/v$ ; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ y $E_p = -GMm/r$ . ∎

Ejemplo 16.6 (Tres órbitas)

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ . Órbita baja ( $r = 6770\,\mathrm{km}$ , a $400\,\mathrm{km}$ de altura): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $T = 92\,\mathrm{min}$ . Geoestacionaria ( $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ , un día sidéreo): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 42\,200\,\mathrm{km}$ , $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . La Luna ( $r = 384\,000\,\mathrm{km}$ ): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — y su aceleración centrípeta $v^2/r = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vale $g/3600$ a sesenta radios terrestres: el cuadrado inverso, comprobado por el propio Newton.

16.3 Las leyes de Kepler y la forma de las órbitas

Teorema 16.7 (Trayectorias en un campo newtoniano)

La trayectoria de un cuerpo en el campo de una masa fija $M$ es una cónica con $O$ en uno de sus focos: una elipse si $E_m < 0$ , una parábola si $E_m = 0$ y una hipérbola si $E_m > 0$ . Para la elipse de semieje mayor $a$ y excentricidad $e$ :

(Kepler I) el centro de fuerzas está en un foco; el perigeo y el apogeo se sitúan en $r_p = a(1 - e)$ y $r_a = a(1 + e)$ ;
(Kepler II) la velocidad areolar es constante (ley de las áreas);
(Kepler III) el periodo cumple $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
la energía depende solo de $a$ , $E_m = -GMm/2a$ , de modo que la rapidez a la distancia $r$ viene dada por

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 16.8 (Qué se demuestra y qué se admite)

Kepler II y la clasificación por la energía se demostraron más arriba. Que las órbitas ligadas sean exactamente elipses con $O$ en un foco, junto con Kepler III y $E_m = -GMm/2a$ en general, exige integrar la ecuación radial (lo hace el volumen del Año 2); para las órbitas circulares ( $a = r$ , $e = 0$ ) todos los enunciados se reducen a Teorema 16.5, que es la comprobación posible aquí. La relación $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ se sigue de $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ una vez admitida esa fórmula de la energía.

Izquierda: una órbita elíptica en torno al foco O — semieje mayor a, semieje menor b, distancia focal c = ea; el cuerpo es más rápido en el perigeo P y más lento en el apogeo A. Derecha: una hipérbola (energía positiva) y una parábola (energía nula) en torno al mismo foco — los caminos no ligados de cometas y sondas. — Izquierda: una órbita elíptica en torno al foco $O$ — semieje mayor $a$ , semieje menor $b$ , distancia focal $c = ea$ ; el cuerpo es más rápido en el perigeo $P$ y más lento en el apogeo $A$ . Derecha: una hipérbola (energía positiva) y una parábola (energía nula) en torno al mismo foco — los caminos no ligados de cometas y sondas.

Ejemplo 16.9 (El cometa Halley)

Perihelio $0.586\,\mathrm{AU}$ , afelio $35.1\,\mathrm{AU}$ : $a = 17.8\,\mathrm{AU}$ , $e = 0.967$ , $T = \sqrt{17.8^3} = 75$ años (Kepler III en unidades astronómicas y años, donde $T^2 = a^3$ para el Sol). Con $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , la rapidez en el perihelio vale $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y en el afelio $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — sesenta veces menor, como exige la ley de las áreas ( $r_pv_p = r_av_a$ ).

16.4 Satélites

Proposición 16.10 (Velocidad de escape; órbita geoestacionaria)

Desde la superficie de un cuerpo de masa $M$ y radio $R$ , la rapidez mínima de lanzamiento para llegar al infinito es $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$ , donde $v_c = \sqrt{GM/R}$ es la rapidez circular a ras de suelo: $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para la Tierra. Un satélite geoestacionario orbita en el plano ecuatorial con el periodo sidéreo terrestre, a $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ( $35\,800\,\mathrm{km}$ sobre el suelo).

Demostración. $E_m \geq 0$ : $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$ . Kepler III con $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ . ∎

Proposición 16.11 (Transferencia de Hohmann)

Para llevar un satélite de una órbita circular de radio $r_1$ a otra circular y coplanaria de radio $r_2 > r_1$ con dos impulsos breves, se enciende el motor en $r_1$ para entrar en la elipse de transferencia de perigeo $r_1$ y apogeo $r_2$ ( $a = (r_1 + r_2)/2$ ), se deja derivar medio periodo y se vuelve a encender en $r_2$ para circularizar:

\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right), \qquad \Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right), \qquad t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .

Demostración. Las rapideces sobre la elipse de transferencia, a partir de $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ en $r_1$ y en $r_2$ ; réstense las rapideces circulares; medio periodo de Teorema 16.7. ∎

Una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares: un primer impulso en la órbita interior eleva el apogeo hasta r_2; media elipse después, un segundo impulso eleva el perigeo — la ruta de dos impulsos con menos combustible, y la que lleva una sonda a Marte. — Una transferencia de Hohmann entre dos órbitas circulares: un primer impulso en la órbita interior eleva el apogeo hasta $r_2$ ; media elipse después, un segundo impulso eleva el perigeo — la ruta de dos impulsos con menos combustible, y la que lleva una sonda a Marte.

Ejemplo 16.12 (De la órbita baja a la geoestacionaria)

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$ , $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , con $5.3\,\mathrm{h}$ de deriva. El total, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , es la mitad de lo que ya costó el lanzamiento a la órbita baja: la “última milla” hasta una órbita alta sale cara, y los satélites llevan su propio motor para recorrerla.

Observación 16.13 (Centros repulsivos)

Para una fuerza repulsiva en cuadrado inverso (dos cargas del mismo signo, Capítulo 26) el potencial efectivo no tiene pozo: toda trayectoria es una hipérbola, la partícula se acerca, se desvía y se marcha. Al apuntar una partícula $\alpha$ directamente a un núcleo de oro, su distancia de máxima aproximación se sigue solo de la energía, $E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — la manera que tuvo Rutherford de acotar el tamaño del núcleo (Ejercicio 16.11).

16.5 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

La Estación Espacial Internacional orbita a $400\,\mathrm{km}$ de altura ( $R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$ , $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ ). Rapidez, periodo y número de amaneceres que ve su tripulación al día.

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

$r = 6770\,\mathrm{km}$ : $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v = 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$ ; $1440/92 \approx 16$ amaneceres al día.

Ejercicio 16.2 ★

Hállense el radio y la altura de la órbita geoestacionaria a partir del día sidéreo $86\,164\,\mathrm{s}$ , y la rapidez orbital.

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3} = 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ : altura $35\,800\,\mathrm{km}$ ; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 16.3 ★

Velocidad de escape de la Tierra y de la Luna ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R = 1740\,\mathrm{km}$ ). ¿Por qué no conserva atmósfera la Luna?

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

$v_e = \sqrt{2GM/R}$ : Tierra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Luna $\sqrt{2 \times 4.90\times 10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Las moléculas de gas, a unos centenares de metros por segundo, tienen una cola de su distribución de rapideces por encima de $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; en tiempos geológicos el gas de la Luna se escapó.

Ejercicio 16.4 ★

Marte tiene $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ y Júpiter $5.20\,\mathrm{AU}$ : sus años, por la tercera ley de Kepler. ¿Y un cuerpo a $30\,\mathrm{AU}$ (Neptuno)?

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

$T = a^{3/2}$ (años, AU): Marte $1.88\,\mathrm{yr}$ ; Júpiter $11.9\,\mathrm{yr}$ ; a $30\,\mathrm{AU}$ : $164\,\mathrm{yr}$ .

Ejercicio 16.5 ★★

Energía necesaria para poner $1000\,\mathrm{kg}$ en la órbita de la ISS partiendo del reposo en la superficie (despréciense la rotación terrestre y el aire). Compárese con la energía química de la gasolina ( $46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times 10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times 10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , la energía de $0.7\,\mathrm{kg}$ de gasolina por kilogramo puesto en órbita (los cohetes necesitan mucho más, pues han de elevar su propio combustible).

Ejercicio 16.6 ★★

Cometa Halley: perihelio $0.586\,\mathrm{AU}$ , afelio $35.1\,\mathrm{AU}$ . Calcúlense $a$ , $e$ , el periodo y las rapideces en el perihelio y en el afelio ( $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$ ; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$ ; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$ . $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ con $r_p = 8.77\times10^{10}$ m y $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 16.7 ★★

Transferencia de Hohmann de la órbita de la ISS ( $6770\,\mathrm{km}$ ) a la geoestacionaria ( $42\,200\,\mathrm{km}$ ): los dos impulsos, el total y la duración.

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$ . $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; sobre la elipse en $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . En $r_2$ : $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , frente a la circular $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Total $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; duración $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$ .

Ejercicio 16.8 ★★

Muéstrese que el mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$ está en $r_c = L^2/GMm^2$ y que las pequeñas oscilaciones radiales en torno a él tienen frecuencia angular $\sqrt{GM/r_c^3}$ — la propia frecuencia orbital. ¿Qué dice esto de una órbita circular ligeramente perturbada?

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ en $r_c = L^2/GMm^2$ . $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$ ; en $r_c$ , $L^2 = GMm^2r_c$ da $E'' = GMm/r_c^3$ , luego $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{orb}}^2$ . Una pequeña perturbación radial oscila exactamente una vez por revolución: la órbita se cierra sobre sí misma — una elipse poco excéntrica, no una roseta.

Ejercicio 16.9 ★★

Los astronautas a bordo de la ISS flotan. Explíquese con las fuerzas; ¿cuánto vale $g$ a su altura y por qué no contradice el hecho de que floten?

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

Solo actúa la gravedad, sobre la estación y sobre la tripulación por igual; ambas caen en la misma órbita, así que no hace falta fuerza de contacto entre ellas — ningún suelo empuja, de ahí la “ingravidez”. $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2 = 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : la gravedad está casi con toda su intensidad; el peso no falta, sino que se gasta entero en curvar la trayectoria.

Ejercicio 16.10 ★★★

La “prueba de la Luna” de Newton: calcúlese la aceleración centrípeta de la Luna a partir de $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ y $T = 27.3\,\mathrm{d}$ , y compárese con $g(R/r)^2$ . Conclúyase.

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : la misma ley de fuerza que deja caer una manzana sostiene la Luna, diluida como $1/r^2$ .

Ejercicio 16.11 ★★★

Una partícula $\alpha$ ( $q = 2e$ , $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$ ) se dispara directamente contra un núcleo de oro ( $Z = 79$ ), supuesto fijo. Con la conservación de la energía y $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ( $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ ), hállese la distancia de máxima aproximación; compárese con el radio nuclear, de unos $7\,\mathrm{fm}$ . ¿Qué energía haría falta para tocar el núcleo?

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$ : $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79 \times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$ , seis veces el radio nuclear: la $\alpha$ da media vuelta antes de tocarlo. Para llegar a $7\,\mathrm{fm}$ : $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$ .

Ejercicio 16.12 ★★★

La atmósfera residual frena a un satélite en órbita baja, de modo que su energía mecánica disminuye. Muéstrese, con $E_m = -GMm/2r$ y $v = \sqrt{GM/r}$ , que entonces se mueve más deprisa. ¿Adónde va la energía y qué fracción de la energía potencial perdida se convierte en calor?

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

$E_m = -GMm/2r$ disminuye $\Rightarrow$ $r$ disminuye $\Rightarrow$ $v = \sqrt{GM/r}$ aumenta. La energía cinética $GMm/2r$ sube en $\abs{\Delta E}$ mientras la energía potencial $-GMm/r$ baja en $2\abs{\Delta E}$ : la mitad de la energía potencial liberada se convierte en cinética y la otra mitad la disipa el rozamiento en forma de calor.

Un satélite GPS (recreación artística, NASA): uno de la treintena de la constelación a 20\,200\, km del problema de fin de semana, cada uno un reloj en órbita kepleriana. — Un satélite GPS (recreación artística, NASA): uno de la treintena de la constelación a $20\,200\,\mathrm{km}$ del problema de fin de semana, cada uno un reloj en órbita kepleriana.

16.6 Problema: los satélites que dicen dónde estás

Problema 16.1

Problema de fin de semana — una constelación de navegación a veinte mil kilómetros de altura: su órbita, el combustible para llegar, cuántos satélites ve un teléfono y por qué hay que ordenar a sus relojes que atrasen

Datos: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$ , día sidéreo $86\,164\,\mathrm{s}$ , $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Los satélites dan la vuelta a la Tierra en exactamente medio día sidéreo, en órbitas circulares.

Parte I — La órbita.

Calcúlense el radio orbital y la altura.
Calcúlese la rapidez orbital.
Calcúlese la aceleración del satélite y compárese con $g$ en la superficie.
Calcúlense la energía mecánica por kilogramo y sus partes cinética y potencial.
¿Por qué elegir medio día sidéreo y no medio día solar? ¿Qué ve repetirse un observador en el suelo?
Visto desde un satélite, ¿qué ángulo subtiende el disco terrestre?
Compárese el radio de la órbita con el de la geoestacionaria: ¿cuál es más alta, y en qué factor?

Parte II — Llegar hasta allí.

Energía por kilogramo para pasar del reposo en la superficie a la órbita final (despréciense el aire y la rotación terrestre).
El lanzador alcanza primero una órbita circular baja a $400\,\mathrm{km}$ . ¿Rapidez allí?
Transferencia de Hohmann desde esa órbita hasta la final: los dos impulsos y su suma.
Duración de la transferencia.
Compárese la suma de los impulsos con la velocidad de escape desde la órbita baja: ¿cuán lejos está esta misión de “abandonar la Tierra”?
La etapa superior y el satélite tienen una masa de $2000\,\mathrm{kg}$ antes de la transferencia; la velocidad de eyección del motor es $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y la ecuación del cohete da $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . ¿Propulsante necesario para los dos impulsos?

Parte III — Cobertura y sincronización.

Un satélite es visible desde todo punto de la Tierra situado dentro del cono de semiángulo $\theta$ con $\cos\theta = R/r$ en torno a la línea Tierra–satélite. Calcúlense $\theta$ y la fracción $(1 - \cos\theta)/2$ de la superficie terrestre que cubre.
Con $24$ satélites repartidos uniformemente, ¿cuántos son visibles en promedio desde un punto? ¿Es verosímil el mínimo de $4$ necesario para determinar la posición?
Tiempo de propagación de la luz desde un satélite en el cenit; y en el horizonte.
Para situar el receptor con un error de $3\,\mathrm{m}$ , ¿con qué precisión hay que medir los tiempos de las señales?
El reloj del propio receptor es un cuarzo barato, con errores de milisegundos: ¿por qué hacen falta cuatro satélites y no tres?
Los relojes de los satélites son atómicos. Dese la estabilidad relativa necesaria para un error de $3\,\mathrm{m}$ al cabo de un día.

Parte IV — La relatividad, brevemente. Dos efectos desplazan los relojes de los satélites respecto de los del suelo (fórmulas admitidas, del volumen del Año 3): el movimiento atrasa un reloj en la fracción $v^2/2c^2$ ; la altura lo adelanta en $GM(1/R - 1/r)/c^2$ .

Calcúlese el atraso debido a la rapidez, en microsegundos por día.
Calcúlese el adelanto debido a la altura, en microsegundos por día.
Efecto neto y error de posición que causaría al día si no se corrigiese.
Los relojes de los satélites se ajustan antes del lanzamiento a $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ en lugar de $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Compruébese que eso compensa el efecto neto.
Las órbitas no son exactamente keplerianas: nómbrense tres perturbaciones y dígase cómo las afronta el sistema.
Resúmase la cadena: dos leyes de conservación, una órbita, una constelación y la única corrección que nadie habría adivinado.

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. $T = 43\,082\,\mathrm{s}$ : $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14} \times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; altura $20\,190\,\mathrm{km}$ .

2. $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

3. $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$ , diecisiete veces menor que en la superficie — pero no nula: el satélite cae continuamente alrededor de la Tierra.

4. $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ , $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

5. La Tierra gira una vez por día sidéreo respecto de las estrellas (el sistema de la órbita); al cabo de dos órbitas el satélite vuelve a estar sobre el mismo punto del suelo: las trazas sobre el suelo se repiten cada día sidéreo.

6. $\sin\beta = R/r = 0.240$ : $\beta = 13.9^\circ$ , un disco de $28^\circ$ de anchura.

7. La geoestacionaria, $42\,200\,\mathrm{km}$ : $1.59$ veces más alta; la órbita de navegación queda por debajo.

8. $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times 10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ .

9. $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$ : $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

10. $a = 16\,665\,\mathrm{km}$ ; en $r_1$ : $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; en $r_2$ : $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ frente a la circular $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; en total $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

11. $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$ .

12. Escape desde la órbita baja: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : los $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la misión lo superan — alcanzar esta órbita cuesta más o menos lo mismo que abandonar la Tierra por completo.

13. $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$ : $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$ , propulsante $1360\,\mathrm{kg}$ — dos tercios de la masa.

14. $\cos\theta = 0.240$ , $\theta = 76^\circ$ ; fracción $(1 - 0.240)/2 = 0.38$ .

15. $24 \times 0.38 = 9$ en promedio; los cuatro quedan superados con holgura casi siempre.

16. Cenit: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$ ; horizonte: distancia $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , $86\,\mathrm{ms}$ .

17. $3/c = 10\,\mathrm{ns}$ .

18. El desfase del reloj del receptor es una cuarta incógnita además de sus tres coordenadas: cuatro distancias, cuatro ecuaciones.

19. $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$ .

20. $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$ : $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día, de atraso.

21. $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/ 8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$ : $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día, de adelanto.

22. Neto $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día; $c \times 38.5\times10^{-6} = 11.5\,\mathrm{km}$ de error al día.

23. $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$ , que coincide con el neto $4.5\times10^{-10}$ ( $38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ en $86\,400\,\mathrm{s}$ ).

24. El abultamiento ecuatorial de la Tierra, la atracción de la Luna y del Sol, y la presión de radiación solar (más los pequeños encendidos de los propulsores): el segmento terreno mide las órbitas de forma continua y sube efemérides frescas, que los satélites difunden.

25. La energía y el momento angular fijan una órbita circular a partir de su periodo; Kepler III la sitúa; la geometría fija la cobertura y los tiempos de propagación; y los relojes — el corazón del sistema — han de corregirse por relatividad en $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ al día, o el posicionamiento se desvía diez kilómetros al caer la noche.

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