Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

17Partículas cargadas en campos E y B

Dentro del osciloscopio que dibujó los registros de Capítulo 7, un haz de electrones es desviado a lo ancho de una pantalla por la tensión entre dos placas; dentro del imán de un espectrómetro de masas, los iones de dos isótopos se separan unos milímetros porque uno pesa un ocho por ciento más que el otro; dentro del ciclotrón de un hospital, los protones describen una espiral de doscientas vueltas antes de salir a un tercio de la velocidad de la luz para quemar un tumor. Los tres casos son la misma dinámica: una carga en un campo uniforme, eléctrico o magnético, y la ley de Newton. Este capítulo la desarrolla — la parábola en un campo eléctrico, la circunferencia y la hélice en un campo magnético — y la convierte en los instrumentos que clasifican, aceleran y miden partículas cargadas.

El ciclotrón de 60 pulgadas de Lawrence en Berkeley, 1939 (Departamento de Energía de los EE. UU.): entre los polos del imán, los protones describen una espiral hacia fuera mientras reciben dos impulsos por vuelta, exactamente como en el problema de fin de semana.

17.1 La fuerza de Lorentz

Definición 17.1 (Fuerza de Lorentz)

Una partícula de carga $q$ que se mueve con velocidad $\vect v$ en un campo eléctrico $\vect E$ y un campo magnético $\vect B$ recibe la fuerza

\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .

La parte eléctrica va según $\vect E$ (o en sentido contrario, si $q < 0$ ) y no depende del movimiento; la parte magnética es perpendicular a la vez a $\vect v$ y a $\vect B$ , proporcional a la rapidez, y se anula para una partícula en reposo. Unidades: $\vect E$ en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (o $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ) y $\vect B$ en teslas ( $\mathrm{T}$ ): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$ .

Proposición 17.2 (Trabajo de la fuerza de Lorentz)

La fuerza magnética no trabaja: su potencia $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ es nula, así que un campo magnético solo cambia la dirección de la velocidad, pero nunca la rapidez ni la energía cinética. La fuerza eléctrica tiene potencia $q\vect E\cdot\vect v$ , y entre dos puntos su trabajo vale $q(V_A - V_B) = qU_{AB}$ (Capítulo 27): una partícula de carga $q$ que atraviesa una tensión $U$ gana la energía cinética $\abs{qU}$ .

Demostración. $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ . El campo electrostático deriva del potencial, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$ , luego $q\vect E$ es conservativa con $E_p = qV$ . ∎

Definición 17.3 (El electronvoltio)

El electronvoltio es la energía cinética que gana una carga elemental al atravesar un voltio: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . La química vive en unos pocos eV, los tubos de rayos X en decenas de keV, la física nuclear en MeV y la física de partículas en GeV y TeV.

Observación 17.4 (Por qué se ignora la gravedad)

Para un electrón en un campo de $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — un valor modesto de laboratorio — la fuerza eléctrica vale $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$ , frente a un peso $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$ : $10^{13}$ veces menor. El peso se descarta en todos los cálculos de este capítulo sin pensarlo dos veces. (El límite relativista es otra cosa: las fórmulas siguientes valen para $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$ , es decir por debajo de unos $50\,\mathrm{keV}$ para electrones y $100\,\mathrm{MeV}$ para protones; véase el volumen del Año 3.)

17.2 Campo eléctrico uniforme

Proposición 17.5 (Aceleración y desviación)

En un campo uniforme $\vect E$ , la aceleración $\vect a = q\vect E/m$ es constante: el movimiento es el de un proyectil, con $q\vect E/m$ en lugar de $\vect g$ .

Soltada desde el reposo y acelerada a través de una tensión $U$ , la partícula alcanza $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
Al entrar con rapidez $v_0$ según $x$ en una región de longitud $L$ donde $\vect E = E\vect e_y$ , sigue la parábola $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ y sale desviada un ángulo $\alpha$ con $\tan\alpha = qEL/mv_0^2$ , como si hubiera venido en línea recta desde el centro de las placas.

Demostración. Energía: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$ . Desviación: $x = v_0t$ , $y = \tfrac12(qE/m)t^2$ ; a la salida, $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ evaluada en $L$ ; la tangente en la salida, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$ , corta al eje en $x = L/2$ . ∎

Desviación electrostática: entre las placas, el electrón (aquí q < 0, desviado hacia la placa positiva) sigue una parábola; más allá de ellas vuela recto, como si viniera del punto medio de las placas — la geometría del osciloscopio de rayos catódicos. — Desviación electrostática: entre las placas, el electrón (aquí $q < 0$ , desviado hacia la placa positiva) sigue una parábola; más allá de ellas vuela recto, como si viniera del punto medio de las placas — la geometría del osciloscopio de rayos catódicos.

Ejemplo 17.6 (El tubo del osciloscopio)

Electrones acelerados con $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ( $v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , una décima parte de $c$ — justo en el límite no relativista) atraviesan placas de $4.0\,\mathrm{cm}$ separadas $1.0\,\mathrm{cm}$ y sometidas a $100\,\mathrm{V}$ : $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$ , y en una pantalla situada $30\,\mathrm{cm}$ más allá del centro de las placas la mancha se desplaza $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ por voltio, la sensibilidad del tubo, fijada solo por la geometría y por la tensión aceleradora.

17.3 Campo magnético uniforme

Teorema 17.7 (Movimiento en un campo magnético uniforme)

Una partícula de carga $q$ y masa $m$ , con velocidad $\vect v_0$ perpendicular a un $\vect B$ uniforme, describe una circunferencia con rapidez constante $v_0$ , de radio y frecuencia angular

R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},

siendo la frecuencia ciclotrónica $\omega_c$ independiente de la rapidez; el sentido de giro depende del signo de $q$ . Si $\vect v_0$ tiene además una componente $v_\parallel$ según $\vect B$ , esa componente no cambia y la trayectoria es una hélice de radio $mv_\perp/\abs qB$ y paso $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ enrollada en torno a las líneas de campo.

Demostración. La fuerza $q\vect v\wedge\vect B$ es perpendicular a $\vect v$ y a $\vect B$ ; la rapidez es constante (no hay trabajo) y la componente según $\vect B$ no siente fuerza alguna. En el plano perpendicular a $\vect B$ , la fuerza tiene norma constante $\abs qv_\perp B$ y es siempre perpendicular a la velocidad: movimiento circular uniforme (Teorema 11.13) con $mv_\perp^2/R = \abs qv_\perp B$ . Después $\omega_c = v_\perp/R$ ; el periodo $2\pi m/\abs qB$ por $v_\parallel$ es el paso. ∎

Izquierda: una carga cuya velocidad es perpendicular a B gira con la frecuencia ciclotrónica qB/m, y la fuerza magnética aporta la aceleración centrípeta. Derecha: con una componente de la velocidad según B, una hélice se enrolla en torno a la línea de campo — el movimiento de los electrones atrapados en el campo terrestre. — Izquierda: una carga cuya velocidad es perpendicular a $\vect B$ gira con la frecuencia ciclotrónica $\abs qB/m$ , y la fuerza magnética aporta la aceleración centrípeta. Derecha: con una componente de la velocidad según $\vect B$ , una hélice se enrolla en torno a la línea de campo — el movimiento de los electrones atrapados en el campo terrestre.

Ejemplo 17.8 (Órdenes de magnitud)

Un electrón de $1\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en $1\,\mathrm{mT}$ : $R = 11\,\mathrm{cm}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , una vuelta en $36\,\mathrm{ns}$ — el mismo periodo a cualquier energía, que es lo que hace posible el ciclotrón. Un protón del viento solar ( $1\,\mathrm{keV}$ , $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en los $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestres: $R = 92\,\mathrm{m}$ ; no puede cruzar las líneas de campo, solo describir una espiral a lo largo de ellas hacia los polos — las auroras.

17.4 Instrumentos

Proposición 17.9 (Selector de velocidades y espectrómetro de masas)

En campos uniformes cruzados $\vect E \perp \vect B$ , una partícula que se mueve perpendicularmente a ambos pasa sin desviarse si y solo si $v = E/B$ , sea cual sea su carga y su masa (selector de velocidades). En un campo magnético solo, una partícula de rapidez conocida describe una semicircunferencia de diámetro $2mv/\abs qB$ : medirla da $m/q$ (espectrómetro de masas). Los iones acelerados con una tensión $U$ y desviados después en $B$ caen en

R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :

dos isótopos de masas $m$ y $m + \Delta m$ se separan en $\Delta R \approx R\,\Delta m/2m$ .

Demostración. $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ exige $vB = E$ con la orientación adecuada. $R = mv/qB$ con $v = \sqrt{2qU/m}$ ; derívese $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{cte}$ . ∎

Ejemplo 17.10 (Isótopos del carbono)

Iones de $^{12}$ C y $^{13}$ C con una sola carga, acelerados con $20\,\mathrm{kV}$ en $0.50\,\mathrm{T}$ : $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ y $14.7\,\mathrm{cm}$ , separados $5.8\,\mathrm{mm}$ — dos manchas distintas en el detector, y el cociente de sus intensidades es la abundancia isotópica, materia prima de la datación por radiocarbono y de todo análisis de isótopos.

Proposición 17.11 (Ciclotrón)

Dos semicilindros huecos (las “des”) en un $\vect B$ uniforme, con una tensión alterna $U$ entre ellos a la frecuencia ciclotrónica: la partícula gira dentro de cada de (allí no hay campo), es acelerada en $\abs qU$ en cada uno de los dos cruces del hueco por vuelta y describe una espiral hacia fuera con $R \propto v$ ; en el radio de extracción $R_{\max}$ su energía cinética vale

E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},

con independencia de la tensión, que solo fija el número de vueltas.

Demostración. Como $\omega_c$ no depende de la rapidez, una tensión de frecuencia fija se mantiene al paso de la partícula vuelta tras vuelta; $v = \abs qBR/m$ en el radio $R$ . ∎

El ciclotrón: dos des en un campo magnético uniforme; la partícula gira dentro de las des y recibe el impulso de la tensión del hueco dos veces por vuelta, siempre en fase porque su periodo no depende de su rapidez. La energía en el borde solo depende de B y del radio. — El ciclotrón: dos des en un campo magnético uniforme; la partícula gira dentro de las des y recibe el impulso de la tensión del hueco dos veces por vuelta, siempre en fase porque su periodo no depende de su rapidez. La energía en el borde solo depende de $B$ y del radio.

Ejemplo 17.12 (Un ciclotrón de hospital)

Protones, $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ : $E_k = (1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ , a $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$ . Con $50\,\mathrm{kV}$ en las des, $100\,\mathrm{keV}$ por vuelta: $270$ vueltas en $12\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Por encima de unas decenas de MeV, el aumento relativista de la masa (volumen del Año 3) desincroniza los protones; las máquinas de terapia a $230\,\mathrm{MeV}$ modulan la frecuencia o el campo para compensarlo — el asunto del problema de fin de semana.

Proposición 17.13 (Efecto Hall)

Una cinta de espesor $d$ que lleva una corriente $I$ de portadores de carga $q$ y densidad $n$ , en un campo $B$ perpendicular a la cinta, desarrolla a lo ancho la tensión Hall

U_H = \frac{IB}{nqd} :

proporcional a $B$ (un magnetómetro) e inversamente proporcional a $n$ (una sonda de la densidad y del signo de los portadores).

Demostración. La fuerza magnética $qv_dB$ sobre los portadores (de velocidad de arrastre $v_d$ ) los empuja hacia un borde hasta que el campo eléctrico transversal $E_H$ la equilibra: $qE_H = qv_dB$ , y $U_H = E_Hw$ a lo ancho $w$ ; con $I = nqv_dwd$ , $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$ . ∎

17.5 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Conviértanse $1\,\mathrm{eV}$ , $13.6\,\mathrm{eV}$ y $1\,\mathrm{MeV}$ a julios. Rapidez de un electrón y de un protón acelerados desde el reposo con $1.0\,\mathrm{kV}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ . $v = \sqrt{2eU/m}$ : electrón $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; protón $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\sqrt{1836}$ veces más lento).

Ejercicio 17.2 ★

Un electrón de $1.0\,\mathrm{keV}$ entra perpendicularmente en un campo de $1.0\,\mathrm{mT}$ . Radio, frecuencia angular ciclotrónica y periodo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/ (1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$ ; $\omega_c = eB/m = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$ .

Ejercicio 17.3 ★

Un protón a $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el campo terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ): radio de su circunferencia. ¿Qué ocurre si su velocidad forma $30^\circ$ con el campo?

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times 10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$ . A $30^\circ$ : una hélice de radio $R\sin 30^\circ = 10\,\mathrm{m}$ y paso $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$ , que avanza a lo largo de la línea de campo.

Ejercicio 17.4 ★

Un selector de velocidades tiene $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ y $B = 20\,\mathrm{mT}$ . ¿Qué rapidez pasa? ¿Qué les ocurre a los iones más rápidos, y a los de la misma rapidez con carga opuesta?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Iones más rápidos: gana la fuerza magnética y se curvan hacia ese lado; con carga opuesta y la misma rapidez, ambas fuerzas se invierten y siguen equilibrándose — el selector es ciego al signo y a la masa.

Ejercicio 17.5 ★★

Osciloscopio: electrones a $2.0\,\mathrm{kV}$ , placas de $4.0\,\mathrm{cm}$ de largo separadas $1.0\,\mathrm{cm}$ , con $100\,\mathrm{V}$ entre ellas, y pantalla a $30\,\mathrm{cm}$ del centro de las placas. Desviación en la pantalla y sensibilidad en mm/V. ¿Por qué una tensión aceleradora mayor reduce la sensibilidad?

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$ ; desviación $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; sensibilidad $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$ . Los electrones más rápidos pasan menos tiempo entre las placas: $\tan\alpha \propto 1/U_0$ .

Ejercicio 17.6 ★★

Iones de $^{12}$ C y $^{13}$ C con una sola carga, acelerados con $20\,\mathrm{kV}$ , entran en un campo de $0.50\,\mathrm{T}$ ( $1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ). Radios y separación de las dos manchas tras media vuelta.

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

$R = \sqrt{2mU/e}/B$ : $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $R_{12} = \sqrt{2 \times 1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$ ; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$ ; separación $2\Delta R = 1.2\,\mathrm{cm}$ entre los puntos de llegada (los radios difieren en $5.8\,\mathrm{mm}$ y los diámetros en el doble).

Ejercicio 17.7 ★★

Un ciclotrón de protones tiene $B = 1.5\,\mathrm{T}$ y $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ . Frecuencia de la tensión de las des, energía cinética máxima, número de vueltas con $50\,\mathrm{kV}$ en las des y tiempo que pasa dentro. ¿En qué fracción ha aumentado la masa del protón a la salida ( $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$ ; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; con $100\,\mathrm{keV}$ por vuelta: $270$ vueltas; tiempo $270/f_c = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$ .

Ejercicio 17.8 ★★

Un electrón a $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entra en un campo de $2.0\,\mathrm{mT}$ a $30^\circ$ de las líneas de campo. Radio y paso de su hélice; número de vueltas por metro a lo largo del campo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $R = mv_\perp/eB = 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$ ; periodo $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$ , paso $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$ : unas $64$ vueltas por metro.

Ejercicio 17.9 ★★

Una lámina de cobre de $1.0\,\mathrm{mm}$ de espesor lleva $5.0\,\mathrm{A}$ en $1.0\,\mathrm{T}$ ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ). Tensión Hall. ¿Por qué se hacen de semiconductor ( $n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) los sensores Hall?

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$ : por debajo del microvoltio. Con una $n$ diez millones de veces menor, un semiconductor da milivoltios — un sensor utilizable.

Ejercicio 17.10 ★★★

Pruébese, a partir de la ley de Newton, que una carga en cualquier campo magnético (uniforme o no), sin campo eléctrico, conserva la rapidez. Un electrón de $10\,\mathrm{keV}$ entra en una región de campo intenso y no uniforme: ¿qué puede cambiar y qué no?

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ ; multiplíquese escalarmente por $\vect v$ : $\dd(\tfrac12 mv^2)/ \dd t = 0$ sea cual sea $\vect B(\vect r, t)$ , siempre que no haya $\vect E$ . La dirección de la velocidad, el radio de curvatura y el paso pueden cambiar todos; la rapidez y la energía cinética ( $10\,\mathrm{keV}$ ), no.

Ejercicio 17.11 ★★★

Una carga $q$ parte del reposo en el origen con $\vect E = E\vect e_y$ y $\vect B = B\vect e_z$ . Escríbanse las ecuaciones del movimiento, muéstrese que la partícula deriva en promedio con la velocidad $E/B$ según $\vect e_x$ (indicación: búsquese una solución de la forma $\vect v = \vect u + \vect w$ con $\vect u$ constante) y descríbase la trayectoria (una cicloide). Datos para un electrón con $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ y $B = 0.10\,\mathrm{T}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

$m\dot v_x = qv_yB$ , $m\dot v_y = qE - qv_xB$ , $v_z = 0$ . Con $\vect v = (E/B)\vect e_x + \vect w$ : $m\dot w_x = qw_yB$ , $m\dot w_y = -qw_xB$ — una rotación ciclotrónica pura de $\vect w$ a $\omega_c$ . Partiendo del reposo, $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$ : $\vect w$ gira con norma constante $E/B$ , así que la velocidad es la deriva $E/B$ más un vector giratorio de la misma norma — una cicloide, con puntos de retroceso donde $\vect v = \vect 0$ . Electrón: deriva $E/B = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , altura de los arcos $2mE/qB^2 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Ejercicio 17.12 ★★★

En el osciloscopio de Ejercicio 17.5, sustitúyanse las placas por una bobina de desviación magnética que produzca $1.0\,\mathrm{mT}$ sobre los mismos $4.0\,\mathrm{cm}$ . Ángulo de desviación (con ángulo pequeño: el arco de radio $R$ a lo largo de $L$ ) y desviación en la pantalla. ¿Por qué los tubos de televisión, con sus ángulos grandes, usan desviación magnética y no eléctrica?

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) = 0.15\,\mathrm{m}$ ; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (unos $15^\circ$ ): desviación $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ con un modesto militesla. Conseguir ángulos grandes con placas exigiría kilovoltios y placas largas; una bobina desvía el haz decenas de grados sin tensión alguna.

17.6 Problema: protones contra un tumor

Problema 17.1

Problema de fin de semana — el ciclotrón tras el muro de un hospital: cómo se lleva a los protones a un tercio de la velocidad de la luz, por qué la máquina sencilla deja de funcionar antes de la energía que un terapeuta necesita y cuántos protones hacen falta para tratar un tumor

Protones: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ciclotrón: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ , radio de extracción $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$ , amplitud de la tensión de las des $U = 50\,\mathrm{kV}$ .

Parte I — Una vuelta.

Escríbase la fuerza de Lorentz sobre un protón que se mueve con $\vect v$ perpendicular a $\vect B$ , y muéstrese que su rapidez no puede cambiar dentro de una de.
Dedúzcanse el radio de su circunferencia y su periodo; muéstrese que el periodo no depende de la rapidez.
Calcúlese la frecuencia ciclotrónica $f_c$ de estos protones.
Energía ganada en cada cruce del hueco; y por vuelta.
¿Por qué debe alternar la tensión de las des exactamente a $f_c$ ? ¿Qué ocurre si se desvía un poco?
Los protones se inyectan en el centro con rapidez despreciable: ¿radio tras la primera vuelta? ¿Y tras $n$ vueltas?

Parte II — Hasta el borde.

Energía cinética en la extracción (en J y en MeV) y rapidez, como fracción de $c$ .
Número de vueltas necesarias y tiempo que pasa en la máquina.
Longitud total del camino en espiral (suma de las circunferencias — aproxímese la suma por una integral).
¿Depende de $U$ el resultado de la pregunta 7? ¿Sobre qué actúa $U$ ?
El vacío interior ha de ser bueno: estímese la distancia que recorre un protón entre choques con moléculas de gas residual si el recorrido libre medio debe superar la longitud de la espiral; el recorrido libre medio va como $1/p$ y vale unos $70\,\mathrm{nm}$ a presión atmosférica. ¿Qué presión hace falta?
Calcúlense $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ en la extracción y la variación relativa del periodo que eso supone. A lo largo del número de vueltas hallado antes, ¿en qué fracción de periodo se ha desfasado el protón respecto de la tensión? Coméntese.

Parte III — 230 MeV. La protonterapia necesita unos $230\,\mathrm{MeV}$ para llegar a tumores a $30\,\mathrm{cm}$ de profundidad.

Con la fórmula no relativista, ¿qué producto $BR$ daría $230\,\mathrm{MeV}$ ? Con $B = 2.0\,\mathrm{T}$ , ¿qué radio?
A esa energía, $\gamma - 1 = 0.245$ : ¿qué le ocurre al periodo ciclotrónico a medida que el protón gana energía y por qué falla un ciclotrón de frecuencia fija?
Hay dos remedios: variar la frecuencia de la tensión durante la aceleración (sincrociclotrón) o hacer que $B$ crezca con el radio de modo que $B/\gamma$ se mantenga constante (ciclotrón isócrono). Explíquese cada uno en una frase y nómbrese un inconveniente del primero.
La cantidad de movimiento relativista es $p = \gamma mv$ y el $R = p/qB$ sigue valiendo: con $\gamma = 1.245$ y $v = 0.60c$ , calcúlese $R$ para $B = 2.0\,\mathrm{T}$ y compárese con la pregunta 13.
El haz extraído pasa entre dos placas de $1.0\,\mathrm{m}$ de largo con $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ para desviarlo un ángulo pequeño: estímese el ángulo de desviación (de forma no relativista, con la $p$ de la pregunta anterior en lugar de $mv$ ). ¿Resulta práctica aquí la desviación eléctrica?
La misma desviación con un imán de $1.0\,\mathrm{T}$ a lo largo de $1.0\,\mathrm{m}$ : ¿ángulo? Conclúyase por qué las líneas de haz usan imanes.

Parte IV — La dosis.

Un protón de $230\,\mathrm{MeV}$ deposita casi toda su energía cerca del final de su alcance (el pico de Bragg). Si toda ella se absorbe en un tumor de $0.50\,\mathrm{kg}$ de masa, ¿cuántos protones entregan una dosis de $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )?
La corriente del haz es de $1.0\,\mathrm{nA}$ : protones por segundo y duración de la sesión.
Potencia que transporta el haz; compárese con una bombilla.
Los protones se frenan hasta detenerse dentro del paciente: ¿cuál es, a grandes rasgos, la energía depositada por protón en el último centímetro, si allí se pierde una cuarta parte de la energía? ¿En electronvoltios por micrómetro?
Cada ionización en el tejido cuesta unos $30\,\mathrm{eV}$ : ¿cuántas ionizaciones causa un protón a lo largo de todo su recorrido?
¿Por qué es preferible un haz de protones a los rayos X para un tumor profundo, en una frase sobre adónde va la energía?
Resúmase la cadena que va de la fuerza de Lorentz a la dosis: qué ecuaciones fijaron la energía, el radio, el número de vueltas y el tiempo de tratamiento.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$ : no hay potencia, la rapidez es constante.

2. $mv^2/R = evB$ : $R = mv/eB$ ; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$ , libre de $v$ .

3. $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67 \times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$ .

4. $eU = 50\,\mathrm{keV}$ por cruce, $100\,\mathrm{keV}$ por vuelta.

5. El hueco ha de estar en la polaridad aceleradora cada vez que llega el protón, a medio periodo de distancia; fuera de frecuencia, la fase se desliza y los impulsos acaban frenándolo.

6. Tras una vuelta, $E_k = 100\,\mathrm{keV}$ , $v = \sqrt{2E_k/m} = 4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$ ; tras $n$ vueltas, $E_k = n \times 100\,\mathrm{keV}$ y $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$ .

7. $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$ ; $v = \sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$ .

8. $270$ vueltas; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

9. $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030 \times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$ .

10. No: $E_k$ depende solo de $B$ y de $R_{\max}$ ; $U$ fija el número de vueltas y el tiempo.

11. Camino de $560\,\mathrm{m}$ : hace falta $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$ , es decir $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — un vacío alto.

12. $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$ ; el periodo crece un $2.9\%$ . A lo largo de $270$ vueltas el desfase acumula varios periodos — las últimas vueltas quedarían fuera de fase; en la práctica se ajustan $B$ y la fase de inyección, y $27\,\mathrm{MeV}$ está cerca del límite de la máquina sencilla.

13. $E_k = (eBR)^2/2m$ : $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times 10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$ ; $R = 1.1\,\mathrm{m}$ con $2\,\mathrm{T}$ .

14. $T = 2\pi\gamma m/eB$ crece un $24\%$ del centro al borde: una frecuencia fija se desfasa sin remedio.

15. Sincrociclotrón: bajar la frecuencia a medida que el paquete gana energía — solo un paquete cada vez, corriente media baja. Isócrono: dar al campo la forma $B(R) \propto \gamma$ para que el periodo se mantenga constante — haz continuo, la opción moderna.

16. $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8 = 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$ , algo más que los $1.1\,\mathrm{m}$ no relativistas.

17. Impulso transversal $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times 1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ángulo $\approx 8.9\times10^{-23}/ 3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : inútil para desviar.

18. Magnético: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$ , ángulo $L/R = 0.43\,\mathrm{rad} \approx 25^\circ$ : mil veces más — imanes, pues.

19. Energía por protón $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; dosis $2.0 \times 0.50 = 1.0\,\mathrm{J}$ : $2.7\times10^{10}$ protones.

20. $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{protones}/\mathrm{s}$ : unos $4.4\,\mathrm{s}$ .

21. $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$ : una lamparilla, entregada exactamente donde se quiere.

22. $58\,\mathrm{MeV}$ en $1\,\mathrm{cm}$ : unos $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — una ionización densa a lo largo del último tramo.

23. $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionizaciones por protón — el daño molecular que mata la célula.

24. Los rayos X depositan energía a lo largo de todo su camino, sobre todo cerca de la entrada; los protones depositan casi toda la suya al final de su alcance, respetando el tejido anterior y sin dejar nada detrás.

25. $R = mv/eB$ y $T = 2\pi m/eB$ (la circunferencia), $E_k = (eBR)^2/2m$ (la energía), $E_k/2eU$ (las vueltas), dosis $=$ (protones $\times$ energía)/masa y corriente $= e \times$ ritmo (el tiempo).

Términos definidos en este capítulo

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