Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

5Propagación de señales: ondas progresivas y estacionarias

Se pulsa una cuerda de guitarra y una sala entera oye una nota; se apoya un dedo con suavidad en su punto medio y la nota salta una octava. De pie entre dos altavoces que emiten el mismo tono, quien camina despacio cruza puntos de casi silencio cada pocos decímetros. La luz de dos agujeros pinta franjas en una pantalla. En ninguno de esos casos se transporta nada de un sitio a otro — ni aire, ni cuerda, ni vidrio viajan — y sin embargo algo se propaga: una señal. Este capítulo describe cómo se desplaza una señal, qué es una onda sinusoidal y qué ocurre cuando dos ondas se encuentran: la matemática de la superposición, las interferencias y las ondas estacionarias, que todos los capítulos de ondas posteriores — acústica, óptica y física cuántica — volverán a emplear.

Seis cuerdas, seis frecuencias fundamentales: cada una es una onda estacionaria fija en la cejuela y en el puente, y los dedos la acortan para subir la altura del sonido.

5.1 Señales

Definición 5.1 (Señal; señal sinusoidal)

Una señal es una magnitud física que varía en el tiempo y transporta información: la sobrepresión acústica en un micrófono, la tensión en una antena, el desplazamiento transversal de un punto de una cuerda. La señal sinusoidal

s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

tiene amplitud $A > 0$ , frecuencia angular $\omega$ ( $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), frecuencia $f = \omega/2\pi$ , periodo $T = 1/f$ y fase inicial $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ es su fase en el instante $t$ .

Observación 5.2 (Espectro)

Toda señal periódica de periodo $T$ es una suma de sinusoides de frecuencias $f_1 = 1/T$ (la fundamental) y sus múltiplos $nf_1$ (los armónicos); la lista de sus amplitudes es el espectro de la señal. Una flauta y un violín que tocan la misma nota comparten la fundamental y difieren en el espectro — eso es el timbre. La descomposición (la de Fourier) se enuncia y se usa en Capítulo 9; aquí importa porque las sinusoides se propagan de manera sencilla, y lo que vale para cada sinusoide vale, por adición, para cualquier señal.

Proposición 5.3 (Pulsaciones)

La suma de dos sinusoides de igual amplitud y frecuencias próximas $f_1 > f_2$ ,

A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t) = 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),

es una sinusoide de frecuencia media cuya amplitud $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ crece y decrece a la frecuencia de pulsación $f_1 - f_2$ .

Demostración. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ . El factor lento se anula dos veces por periodo propio $2/(f_1 - f_2)$ , de modo que la envolvente $\abs{\cdot}$ tiene frecuencia $f_1 - f_2$ . ∎

Pulsaciones entre 22\, Hz y 20\, Hz: una oscilación de 21\, Hz cuya envolvente (a trazos) late dos veces por segundo — la diferencia de las frecuencias. — Pulsaciones entre $22\,\mathrm{Hz}$ y $20\,\mathrm{Hz}$ : una oscilación de $21\,\mathrm{Hz}$ cuya envolvente (a trazos) late dos veces por segundo — la diferencia de las frecuencias.

Ejemplo 5.4 (Afinar de oído)

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ y una cuerda a $443\,\mathrm{Hz}$ que suenan a la vez laten tres veces por segundo; tensar la cuerda ralentiza el latido y, cuando cesa, la cuerda está afinada. El oído percibe la frecuencia media ( $441.5\,\mathrm{Hz}$ ) como altura del sonido y la envolvente de $3\,\mathrm{Hz}$ como una intensidad que oscila: las pulsaciones hacen audible una diferencia de frecuencia menor del uno por ciento.

5.2 Ondas progresivas

Definición 5.5 (Onda progresiva, celeridad)

Una señal $s(x, t)$ definida a lo largo de un eje es una onda progresiva que se desplaza en el sentido $+x$ con celeridad $c$ si

s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)

para cierta función $f$ (o $F$ ): la forma se traslada sin cambiar, desplazada $c\,\Delta t$ en el tiempo $\Delta t$ . Una onda que se desplaza hacia $-x$ es $g(t + x/c)$ . Un medio en el que toda forma se propaga sin deformarse con la misma $c$ es no dispersivo.

Proposición 5.6 (Retraso)

La señal recibida en $x_2$ es la señal emitida en $x_1 < x_2$ , retrasada en $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$ .

Demostración. $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$ . ∎

Ejemplo 5.7 (Celeridades)

Sonido en el aire, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : un trueno $3\,\mathrm{s}$ después del relámpago sitúa la descarga a $1\,\mathrm{km}$ . Sonido en el agua, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; en el acero, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ondas transversales en una cuerda de tensión $F$ y masa por unidad de longitud $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$ , como predijo el análisis dimensional (Ejercicio 1.5) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para una cuerda de guitarra. Luz en el vacío, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; en el vidrio, $c/n$ . La celeridad es una propiedad del medio, no de la fuente: un susurro y un grito llegan a la vez.

Proposición 5.8 (Onda progresiva sinusoidal)

Una fuente sinusoidal $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ lanza

s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx), \qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.

La onda es periódica en el tiempo (periodo $T$ ) y en el espacio (con periodo la longitud de onda $\lambda$ ); $k$ es el número de onda; dos puntos separados una distancia $d$ oscilan con un desfase $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — en fase si $d = n\lambda$ , en oposición de fase si $d = (n + \tfrac12)\lambda$ . La velocidad a la que se desplaza una cresta, $v_\varphi = \omega/k$ , es la velocidad de fase; aquí $v_\varphi = c$ .

Demostración. Sustitúyase $f(u) = A\cos(\omega u)$ en $f(t - x/c)$ . A $x$ fijo, la señal se repite al cabo de $T = 2\pi/\omega$ ; a $t$ fijo se repite cada $\lambda$ , con $k\lambda = 2\pi$ . Dos puntos $x_1$ , $x_2 = x_1 + d$ : sus fases difieren en $kd$ . Una cresta ( $\omega t - kx = \text{cte}$ ) se desplaza a $\dd x/\dd t = \omega/k$ . ∎

La doble periodicidad de una onda progresiva sinusoidal: una instantánea a tiempo fijo se repite cada longitud de onda y se desliza a la velocidad c; la señal en un punto fijo se repite cada periodo T, con = cT. — La doble periodicidad de una onda progresiva sinusoidal: una instantánea a tiempo fijo se repite cada longitud de onda $\lambda$ y se desliza a la velocidad $c$ ; la señal en un punto fijo se repite cada periodo $T$ , con $\lambda = cT$ .

Definición 5.9 (Dispersión)

Un medio es dispersivo cuando la velocidad de fase depende de la frecuencia. Una señal no sinusoidal, suma de sinusoides, se deforma entonces al viajar, con sus componentes separándose. El sonido en el aire y la luz en el vacío no son dispersivos; la luz en el vidrio (Capítulo 2) y las ondas en aguas profundas sí lo son — el oleaje largo de una tormenta lejana llega un día antes que el picado corto.

5.3 Superposición e interferencias

Teorema 5.10 (Superposición)

En un medio lineal, cuando varias ondas se propagan a la vez, la señal resultante en cada punto y en cada instante es la suma de las señales que cada onda produciría por separado.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 5.11 (Linealidad)

La superposición es un enunciado sobre las ecuaciones del medio (lineales en la señal), cierto mientras las amplitudes se mantengan pequeñas: sonido por debajo del umbral de dolor, luz por debajo de las intensidades que cortan metales, una cuerda pulsada con suavidad. Dos haces de luz se cruzan sin perturbarse; dos ondulaciones se atraviesan y salen intactas. Lo que se observa donde se solapan es el objeto de las interferencias.

Teorema 5.12 (Dos señales sinusoidales de la misma frecuencia)

En un punto al que llegan dos señales sinusoidales de la misma frecuencia, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ y $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ , la suma es una sinusoide de la misma frecuencia cuya amplitud cumple

A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .

Para ondas cuya intensidad (potencia por unidad de área) es proporcional a $A^2$ , las intensidades obedecen la fórmula de Fresnel

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .

La interferencia es constructiva ( $A = A_1 + A_2$ ) cuando $\Delta\varphi = 2n\pi$ , y destructiva ( $A = \abs{A_1 - A_2}$ ) cuando $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$ , $n \in \Z$ .

Demostración. Desarróllese: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t - (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ con $A^2 = X^2 + Y^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$ . Geométricamente: $A$ es la longitud de la suma de dos vectores de módulos $A_1$ y $A_2$ que forman el ángulo $\Delta\varphi$ (el teorema del coseno). ∎

Proposición 5.13 (Dos fuentes en fase; diferencia de camino)

Dos fuentes que emiten en fase con longitud de onda $\lambda$ , a distancias $d_1$ y $d_2$ de un punto $M$ , llegan a $M$ con $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$ , donde $\delta = d_2 - d_1$ es la diferencia de camino. La interferencia en $M$ es constructiva si $\delta = n\lambda$ , y destructiva si $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$ .

Demostración. Cada onda llega con el retardo de fase $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ de su recorrido (Proposición 5.8); la diferencia vale $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$ . Aplíquese Teorema 5.12. ∎

Ejemplo 5.14 (Dos altavoces)

Dos altavoces separados $2.0\,\mathrm{m}$ emiten en fase el mismo tono de $850\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ ). En la mediatriz, $\delta = 0$ : suena fuerte en todas partes. A lo largo del segmento que los une, $\delta$ cambia en $2\lambda$ por cada longitud de onda de desplazamiento, así que los puntos silenciosos ( $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ ) se suceden cada $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — una onda estacionaria, objeto de la sección siguiente. Basta invertir el cable de un altavoz para que emita en oposición de fase, y lo fuerte y lo silencioso intercambian sus lugares.

Ejemplo 5.15 (Los agujeros de Young)

Dos agujeros $S_1$ , $S_2$ separados una distancia $a$ , iluminados por una única fuente monocromática (de modo que emiten en fase), envían luz a una pantalla situada a distancia $D \gg a$ . En un punto de la pantalla situado a la altura $x$ del eje, la diferencia de camino vale

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}

(para $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D + (x \mp a/2)^2/2D$ , y réstese). Franjas brillantes en $x = n\lambda D/a$ : la interfranja vale

i = \frac{\lambda D}{a} .

Con $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ y $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — una regla mide la longitud de onda de la luz. En un medio de índice $n$ la diferencia que hay que usar es la de camino óptico, $n \times$ longitud, ya que $\lambda = \lambda_0/n$ .

Los agujeros de Young: dos fuentes en fase, separadas una distancia a, alcanzan el punto M de una pantalla lejana por caminos que difieren en ax/D. La intensidad sobre la pantalla, 4I_0 2(π x/i), alterna franjas brillantes y oscuras separadas por i = D/a. — Los agujeros de Young: dos fuentes en fase, separadas una distancia $a$ , alcanzan el punto $M$ de una pantalla lejana por caminos que difieren en $\delta \approx ax/D$ . La intensidad sobre la pantalla, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ , alterna franjas brillantes y oscuras separadas por $i = \lambda D/a$ .

Observación 5.16 (Coherencia)

La fórmula de Fresnel supone un desfase constante. Dos lámparas distintas tienen fases que saltan al azar miles de millones de veces por segundo; el promedio de $\cos\Delta\varphi$ es nulo y las intensidades simplemente se suman: no hay franjas. Las interferencias exigen fuentes coherentes — en la práctica, dos ondas nacidas de una sola fuente, por dos agujeros, dos rendijas, las dos caras de una lámina delgada o un divisor de haz. Dos altavoces alimentados por un mismo generador son coherentes; dos cantantes, no.

5.4 Ondas estacionarias

Teorema 5.17 (Onda estacionaria)

Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos suman

A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),

una onda estacionaria: todos los puntos oscilan en fase (o en oposición de fase) con una amplitud $2A\abs{\cos kx}$ que depende de la posición — nula en los nodos $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ y máxima en los vientres $x = n\lambda/2$ ; los nodos distan $\lambda/2$ . Nada se propaga: las variables $x$ y $t$ están separadas.

Demostración. $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ con $a = \omega t - kx$ , $b = \omega t + kx$ . ∎

Proposición 5.18 (Modos de una cuerda fija por los dos extremos)

Una cuerda de longitud $L$ y celeridad $c$ , fija en $x = 0$ y en $x = L$ , solo puede sostener una onda estacionaria sinusoidal si $L$ es un número entero de semilongitudes de onda:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

Son sus modos; $f_1 = c/2L$ es la fundamental y los $f_n$ sus armónicos. Excitada por un extremo a una frecuencia próxima a $f_n$ , la cuerda entra en resonancia con la forma del modo $n$ (experimento de Melde); pulsada, vibra en una superposición de modos, y el oído toma $f_1$ como la altura del sonido.

Demostración. Un extremo fijo es un nodo. La onda reflejada en $x = L$ vuelve y se superpone con la incidente formando una onda estacionaria; para que su nodo caiga también en $x = 0$ , hay que reemplazar $\cos kx$ por $\sin kx$ (desplazando el origen) y exigir $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$ , $\lambda_n = 2L/n$ y $f_n = c/\lambda_n$ . ∎

Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: n semilongitudes de onda caben en L; la cuerda oscila entre las dos formas extremas (oscura y clara) y los nodos permanecen quietos. Frecuencias f_n = nf_1. — Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: $n$ semilongitudes de onda caben en $L$ ; la cuerda oscila entre las dos formas extremas (oscura y clara) y los nodos permanecen quietos. Frecuencias $f_n = nf_1$ .

Ejemplo 5.19 (Una cuerda de guitarra)

$L = 65\,\mathrm{cm}$ , afinada en $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; con $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ la tensión vale $F = \mu c^2 = 102\,\mathrm{N}$ — diez kilogramos colgando de cada cuerda. Un dedo que pisa el traste doce reduce $L$ a la mitad y duplica $f_1$ : la octava. Un dedo que solo roza el punto medio impone allí un nodo y mata todos los modos impares: la cuerda suena a $2f_1$ , el “armónico” de los guitarristas.

Observación 5.20 (Tubos, y un anticipo)

La columna de aire de una flauta, abierta por los dos extremos, tiene nodos de presión en ambos y los mismos modos $f_n = nc/2L$ ; un tubo cerrado por un extremo tiene un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto, de modo que $L = (2n + 1)\lambda/4$ y solo suenan los armónicos impares $f = (2n + 1)c/4L$ — el timbre hueco del clarinete. Confinar una onda entre dos paredes cuantiza así sus frecuencias; cuando la onda es la onda de materia de un electrón en un átomo, ese mismo recuento de semilongitudes de onda cuantiza su energía (Capítulo 30).

5.5 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

El trueno llega $6.0\,\mathrm{s}$ después del relámpago: ¿a qué distancia cayó el rayo? Un pulso de sonar vuelve al cabo de $0.40\,\mathrm{s}$ en el agua ( $c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): ¿qué profundidad tiene el fondo?

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$ . Ida y vuelta: profundidad $= 1500 \times 0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 5.2 ★

Una onda sonora de $440\,\mathrm{Hz}$ se propaga por el aire ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Calcúlense su longitud de onda, el desfase entre dos micrófonos separados $20\,\mathrm{cm}$ en la dirección de propagación y las distancias a las que dos puntos oscilan en fase.

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times 0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ( $93^\circ$ ); en fase para separaciones $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 5.3 ★

Una cuerda tiene una tensión de $80\,\mathrm{N}$ y una masa por unidad de longitud de $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calcúlense $c$ y la longitud de onda de una onda de $200\,\mathrm{Hz}$ sobre ella.

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.71\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 5.4 ★

Un diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ y una cuerda a $444\,\mathrm{Hz}$ : ¿cuántas pulsaciones por segundo? ¿Cuál es el periodo de la envolvente? Se afloja la cuerda y las pulsaciones bajan a $1\,\mathrm{Hz}$ : ¿cuál es ahora su frecuencia (en principio hay dos respuestas: cuál, y cómo se comprobaría)?

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

$444 - 440 = 4$ pulsaciones por segundo; periodo de la envolvente $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$ . Aflojar baja la cuerda: $441\,\mathrm{Hz}$ (llegar a $439\,\mathrm{Hz}$ habría exigido pasar por el silencio a $440\,\mathrm{Hz}$ ); compruébese aflojando un poco más: las pulsaciones deben desaparecer y después volver.

Ejercicio 5.5 ★★

Una cuerda de $0.60\,\mathrm{m}$ de largo, con $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , está fija por los dos extremos. Dense las frecuencias de los tres primeros modos y las posiciones de los nodos del tercero. ¿Dónde hay que rozar la cuerda para que suene a $600\,\mathrm{Hz}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; $400$ y $600\,\mathrm{Hz}$ . Tercer modo: nodos en $0$ , $0.20$ , $0.40$ y $0.60\,\mathrm{m}$ . Rózese a $20\,\mathrm{cm}$ (o a $40\,\mathrm{cm}$ ) de un extremo: un nodo allí conserva solo $n = 3, 6, \dots$ , y la cuerda suena a $600\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 5.6 ★★

Dos altavoces separados $2.0\,\mathrm{m}$ emiten $850\,\mathrm{Hz}$ en fase ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Localícense los puntos silenciosos del segmento que los une y dígase qué oye alguien que recorre la mediatriz. ¿Qué cambia si se conecta un altavoz en oposición de fase?

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ . Sobre el segmento, a distancia $x$ del altavoz 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; silencio para $\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, cada $20\,\mathrm{cm}$ ; el punto medio suena fuerte. En la mediatriz $\delta = 0$ : fuerte en todo su recorrido (solo con la atenuación en $1/r$ ). En oposición de fase, lo fuerte y lo silencioso se intercambian: silencio en el punto medio y cada $20\,\mathrm{cm}$ a partir de él.

Ejercicio 5.7 ★★

Agujeros de Young: $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ , luz de sodio $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Calcúlese la interfranja; luego, para luz azul de $450\,\mathrm{nm}$ ; ¿cuántas franjas brillantes caben en $2.0\,\mathrm{cm}$ alrededor del centro con la lámpara de sodio?

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} = 4.4\,\mathrm{mm}$ ; azul: $3.4\,\mathrm{mm}$ . En $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : franjas en $0$ , $\pm 4.4$ y $\pm 8.8$ mm — cinco.

Ejercicio 5.8 ★★

Dos ondas coherentes de intensidades $I_0$ e $I_0$ interfieren: dense $I_{\max}$ e $I_{\min}$ . La misma pregunta para $I_0$ e $I_0/4$ . Defínase el contraste $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ y calcúlese en ambos casos.

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

Iguales: $I_{\max} = 4I_0$ , $I_{\min} = 0$ , contraste $1$ . $I_0$ e $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$ , $I_{\min} = I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; contraste $2.0/2.5 = 0.8$ .

Ejercicio 5.9 ★★

Un tubo de $0.50\,\mathrm{m}$ de largo ( $c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Dense sus tres primeras frecuencias de resonancia si está cerrado por un extremo y luego si está abierto por los dos. ¿Cuál es el clarinete y cuál la flauta?

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

Cerrado–abierto: $f = (2n + 1)c/4L = 170$ , $510$ y $850\,\mathrm{Hz}$ (solo armónicos impares: el clarinete). Abierto–abierto: $nc/2L = 340$ , $680$ y $1020\,\mathrm{Hz}$ (la flauta).

Ejercicio 5.10 ★★★

En aguas profundas la velocidad de fase de una onda sinusoidal vale $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ . Calcúlese para $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ y $100\,\mathrm{m}$ . Una tormenta a $1000\,\mathrm{km}$ levanta ambas: ¿qué oleaje llega antes a la costa y con cuánta antelación? ¿Por qué hace esto que el mar sea “dispersivo”?

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ . El oleaje largo primero: $10^6/12.5 = 22\,\mathrm{h}$ frente a $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$ , dos días antes. La velocidad depende de la longitud de onda: un mar mezclado se ordena por longitudes de onda al viajar — dispersión.

Ejercicio 5.11 ★★★

Muéstrese que rozar una cuerda en un punto situado a $L/3$ de un extremo deja únicamente los modos de frecuencia $3f_1, 6f_1, \dots$ , y que pulsar una cuerda en su punto medio no excita ningún modo par. (Indicación: ¿qué exige un nodo, o un desplazamiento máximo, en ese punto al $\sin(n\pi x/L)$ de cada modo?)

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

El modo $n$ tiene la forma $\sin(n\pi x/L)$ . Imponer un nodo en $x = L/3$ exige $\sin(n\pi/3) = 0$ , es decir que $n$ sea múltiplo de $3$ : frecuencias $3f_1, 6f_1, \dots$ Pulsar en $L/2$ da a la cuerda un desplazamiento máximo ahí, al que el modo $n$ solo puede contribuir si $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : los modos pares, que tienen un nodo en $L/2$ , no reciben nada.

Ejercicio 5.12 ★★★

Un receptor de radio situado a distancia $d$ delante de un muro metálico recibe la onda directa de un emisor lejano y la onda reflejada por el muro, que recorre $2d$ de más y gana una fase adicional de $\pi$ en la reflexión. Para $f = 100\,\mathrm{MHz}$ , hállense las distancias $d$ a las que la señal se anula y aquellas en las que es máxima. ¿Cómo explica esto los “puntos muertos” de una radio de coche en un túnel?

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$ . Desfase $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destructivo cuando vale $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$ , $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; constructivo cuando $2d/\lambda = m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. Las paredes y el techo del túnel reflejan la onda: se forma un patrón estacionario con puntos muertos cada media longitud de onda a lo largo del recorrido del coche.

5.6 Problema: la cuerda de Melde y la guitarra

Problema 5.1

Problema de fin de semana — una cuerda vibrante sobre un banco, una polea y unas pesas, y luego una guitarra: cómo el recuento de semilongitudes de onda fija todas las notas del mástil

Una cuerda de masa por unidad de longitud $\mu$ se tiende horizontalmente con una tensión $F$ entre un pequeño vibrador electromagnético en $x = L$ (que la sacude transversalmente con una amplitud minúscula a la frecuencia $f$ ) y un punto fijo en $x = 0$ ; las ondas transversales viajan por ella a $c = \sqrt{F/\mu}$ (deducido en el volumen del Año 2).

Parte I — Ondas en la cuerda.

Compruébese por análisis dimensional que $\sqrt{F/\mu}$ es una velocidad.
El vibrador envía hacia $x = 0$ la onda $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . ¿Por qué el signo $+kx$ ? Dese $k$ en función de $f$ y $c$ .
Para $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ y $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , calcúlense $c$ , $\lambda$ y $k$ .
Dos puntos de la cuerda distan $15\,\mathrm{cm}$ . ¿Cuál es el desfase entre sus movimientos para esta onda progresiva?
Para $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , ¿cuál es la velocidad transversal máxima de un punto de la cuerda? Compárese con $c$ .

Parte II — Reflexión y onda estacionaria. En el extremo fijo $x = 0$ la onda se refleja con el signo cambiado: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$ .

¿Por qué la onda reflejada debe llevar $-kx$ en su fase y por qué se invierte la amplitud (piénsese en cuánto debe valer la señal total en $x = 0$ )?
Muéstrese que $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
Localícense los nodos y los vientres; dese la distancia entre dos nodos vecinos.
La amplitud propia del vibrador es tan pequeña que $x = L$ es prácticamente un nodo. Dedúzcase la condición sobre $L$ para que haya una onda estacionaria grande (resonancia) y las frecuencias permitidas $f_n$ .
Con $L = 1.20\,\mathrm{m}$ y los datos de la pregunta 3, ¿cuántas semilongitudes de onda (“husos”) aparecen? ¿Está la cuerda en resonancia?
Manteniendo $f = 50\,\mathrm{Hz}$ y $L$ , ¿qué tensiones dan resonancias con $3$ y con $6$ husos?
A la inversa, se cuentan los husos para medir $\mu$ : con $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ husos a $50\,\mathrm{Hz}$ sobre $1.20\,\mathrm{m}$ , calcúlese $\mu$ .
La tensión se fija con una masa $m$ colgada de una polea, $F = mg$ , con $m$ conocida a $\pm1\,\mathrm{g}$ sobre $163\,\mathrm{g}$ , y $L$ a $\pm2\,\mathrm{mm}$ . ¿Qué medida limita a $\mu$ y cuál es su incertidumbre relativa?

Parte III — La guitarra. Seis cuerdas de longitud vibrante $L = 650\,\mathrm{mm}$ están afinadas en $82.4\,\mathrm{Hz}$ (mi grave), $110$ , $147$ , $196$ , $247$ y $329.6\,\mathrm{Hz}$ (mi agudo).

¿Qué modo toma el oído como altura del sonido? Exprésese $c$ en cada cuerda a partir de $L$ y de la altura, y calcúlese para las dos cuerdas mi.
La cuerda mi grave tiene $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ y la mi aguda $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calcúlense sus tensiones. ¿Por qué se entorchan con metal las cuerdas graves en vez de tensarlas más?
La música occidental divide la octava en doce semitonos iguales: cada traste multiplica la frecuencia por $2^{1/12}$ . Muéstrese que el traste $n$ debe situarse a una distancia $L(1 - 2^{-n/12})$ de la cejuela, y calcúlense las posiciones de los trastes $1$ , $5$ , $7$ y $12$ .
La separación entre trastes disminuye hacia el cuerpo: ¿por qué factor de un traste al siguiente?
Una cejilla puesta en el traste $3$ acorta todas las cuerdas: ¿por qué factor sube cada altura y cuál es la nueva longitud vibrante?
Rozar (sin pisar) la cuerda mi grave sobre el traste $12$ y luego sobre el traste $7$ (a $L/3$ ) da dos “armónicos”: ¿qué frecuencias, y qué modos sobreviven?
Pulsar cerca del puente suena más brillante que pulsar sobre la boca. Explíquese con las formas de los modos.
Dos cuerdas están afinadas a distancia de quinta ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Al tocarlas juntas, se oye una pulsación débil de $2\,\mathrm{Hz}$ entre el tercer armónico de la cuerda grave y el segundo armónico de la aguda: ¿cuál es la razón $f_2/f_1$ real, si $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

Parte IV — Afinar con un diapasón.

La cuerda la ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) se afina contra el diapasón de $440\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué armónico de la cuerda late contra el diapasón? Si se oyen $3\,$ pulsaciones por segundo, ¿cuáles son las dos frecuencias posibles de la cuerda?
Al girar la clavija, la tensión sube ligeramente y las pulsaciones se aceleran: ¿cuál de las dos era, y en qué cantidad relativa debe cambiar la tensión para llegar a la altura correcta?
Muéstrese que una variación relativa $\dd F/F$ de la tensión cambia la frecuencia en $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
Resúmase la cadena de resultados: cómo la longitud, la tensión y la masa de la cuerda fijan su fundamental, cómo los trastes fijan la escala y cómo las pulsaciones la afinan — y nómbrese la única relación que hay detrás de todo ello.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : una velocidad al cuadrado.

2. Una onda que va hacia $-x$ depende de $t + x/c$ , es decir de $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$ .

3. $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ .

4. $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$ .

5. $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 = 0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cincuenta veces menor que $c$ : los puntos de la cuerda se mueven despacio mientras la forma corre.

6. Viaja hacia $+x$ : fase $\omega t - kx$ . En el extremo fijo el desplazamiento total se anula en todo instante: $s_i(0, t) + s_r(0, t) = A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$ .

7. $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) = -2\sin(\omega t)\sin(kx)$ , luego $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .

8. Nodos: $\sin kx = 0$ , $x = n\lambda/2$ ; vientres $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$ ; nodos vecinos separados $\lambda/2$ .

9. $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$ , es decir $f_n = nc/2L$ .

10. $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : cuatro husos, número entero — hay resonancia.

11. $3$ husos: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$ , $c = \lambda f = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$ . $6$ husos: $\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$ , $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $F = 0.40\,\mathrm{N}$ .

12. $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ .

13. $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 + (2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; limita la masa.

14. La fundamental. $c = 2Lf_1$ : mi grave $2 \times 0.650 \times 82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mi aguda $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

15. $F = \mu c^2$ : mi grave $6.0\times10^{-3} \times 107^2 = 69\,\mathrm{N}$ ; mi aguda $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tensiones comparables. Bajar $f$ en un factor $4$ con $L$ y $\mu$ fijos exigiría $16$ veces menos tensión: una cuerda floja que zumbaría. El entorchado sube $\mu$ en su lugar.

16. $f_n = 2^{n/12}f_1$ y $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$ , y la distancia a la cejuela vale $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : traste 1 $36.5\,\mathrm{mm}$ , traste 5 $163\,\mathrm{mm}$ , traste 7 $216\,\mathrm{mm}$ , traste 12 $325\,\mathrm{mm}$ .

17. Cada separación es $2^{-1/12} = 0.944$ veces la anterior.

18. Factor $2^{3/12} = 1.19$ (tres semitonos); longitud $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$ .

19. Rozando en $L/2$ : solo modos pares, altura $2f_1 = 165\,\mathrm{Hz}$ ; en $L/3$ : múltiplos de $3$ , altura $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$ .

20. Cerca de un extremo, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ crece con $n$ : los modos altos se excitan relativamente más — sonido brillante. Sobre la boca (cerca del centro) los modos pares son débiles y domina la fundamental — sonido dulce.

21. $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ late a $2\,\mathrm{Hz}$ con $2f_2$ : $f_2 = 166$ o $164\,\mathrm{Hz}$ , razón $1.509$ o $1.491$ (la quinta del temperamento igual vale $2^{7/12} = 1.498$ ).

22. El cuarto armónico, $4f$ . Tres pulsaciones: $4f = 437$ o $443\,\mathrm{Hz}$ , $f = 109.25$ o $110.75\,\mathrm{Hz}$ .

23. Las pulsaciones se aceleran al tensar, luego la cuerda estaba alta: $110.75\,\mathrm{Hz}$ . Debe bajar $0.75/110.75 = 0.68\%$ , es decir la tensión un $1.4\%$ .

24. $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$ , luego $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{cte}$ y $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .

25. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : la longitud fija $\lambda_1 = 2L$ , la tensión y la masa fijan $c$ , los trastes escalan $L$ por $2^{-n/12}$ y las pulsaciones revelan $f - f_{\text{ref}}$ . Detrás de todo ello, una relación: $\lambda f = c$ , con la condición de onda estacionaria $L = n\lambda/2$ .

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