Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

28Magnetostática: campo, fuerzas y dipolos

La aguja de una brújula gira cuando un hilo cercano lleva corriente: esa observación de Ørsted, en 1820, unió dos ciencias que habían crecido separadas, la electricidad y el magnetismo, y en pocos meses Ampère tenía la ley de la fuerza entre corrientes, y Biot y Savart el campo de un hilo. Este capítulo es la estática del campo magnético: lo que crean las corrientes (mapas de campo, la ley de Biot–Savart y el teorema de Ampère, gemelo magnético del de Gauss), lo que el campo hace a las corrientes (la fuerza de Laplace, que mueve todos los motores y todos los aparatos de medida) y el dipolo magnético, la espira de corriente que explica la brújula, el imán y el propio campo de la Tierra.

El instrumento más antiguo del magnetismo: la aguja de una brújula es un pequeño dipolo magnético que se alinea con el campo de la Tierra.

La experiencia de Ørsted: se cierra el circuito y la aguja gira — una corriente crea un campo magnético que rodea el hilo.

28.1 Las fuentes y los mapas de campo

Definición 28.1 (Campo magnetostático)

Las corrientes estacionarias (cargas en movimiento permanente) crean en cada punto un campo magnético $\vect B$ (tesla, $\mathrm{T}$ ), definido por la fuerza $q\vect v\wedge\vect B$ que ejerce sobre una carga de prueba en movimiento (Definición 17.1). Sus líneas de campo son tangentes a $\vect B$ y están orientadas según él. Los imanes permanentes crean campos de la misma naturaleza, a partir de las corrientes microscópicas de sus átomos. Órdenes de magnitud: la Tierra $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; un imán de nevera $0.01\,\mathrm{T}$ ; un aparato de resonancia magnética de $1.5\,\mathrm{T}$ a $3\,\mathrm{T}$ ; los mayores campos permanentes de laboratorio $45\,\mathrm{T}$ .

Proposición 28.2 (Mapas de campo)

Un hilo rectilíneo: circunferencias centradas en el hilo, en planos perpendiculares a él, orientadas por la regla de la mano derecha (el pulgar según la corriente, los dedos según $\vect B$ ).
Una espira circular: líneas que la atraviesan según su eje y se cierran por fuera; de lejos, el mapa de un imán pequeño.
Un solenoide largo: líneas paralelas, densas y uniformes dentro; casi ningún campo fuera; el mapa de un imán recto, cuya cara “norte” es aquella por la que salen las líneas.
Las líneas del campo magnético no tienen principio ni fin: se cierran sobre sí mismas o se van al infinito. Equivalentemente, el flujo de $\vect B$ a través de toda superficie cerrada es nulo — no existen cargas magnéticas.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Tres mapas de campo. Un punto es una corriente hacia el lector y una cruz una corriente que se aleja. Las líneas de un hilo son circunferencias; las de una espira la atraviesan y se cierran por fuera; las de un solenoide largo son rectas y uniformes dentro y se cierran muy lejos, donde el campo es débil — en todos los casos, sin fuente ni sumidero.

Proposición 28.3 (Simetrías de $\vect B$ )

$\vect B$ se comporta ante una reflexión especular al revés que $\vect E$ (es un pseudovector, construido con un producto vectorial): en un punto de un plano de simetría de las corrientes, $\vect B$ es perpendicular al plano; en un punto de un plano de antisimetría (la imagen especular invierte las corrientes), $\vect B$ está contenido en el plano. Las invariancias se trasladan igual que para $\vect E$ .

Demostración. El campo de un elemento de corriente es $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (más abajo); un espejo invierte uno de los factores de un producto vectorial respecto de la imagen de un vector verdadero, luego la imagen de $\vect B$ es la opuesta de la imagen especular de la flecha. En un plano de simetría $\vect B$ ha de ser igual al opuesto de su propia imagen especular, luego es normal al plano; en un plano de antisimetría, el opuesto del opuesto: contenido en el plano. ∎

Ejemplo 28.4 (Uso de las simetrías)

Para un hilo rectilíneo, todo plano que contiene al hilo es un plano de simetría, luego en cada punto $\vect B$ es perpendicular al plano que pasa por el hilo y el punto: ortorradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ por invariancia a lo largo y alrededor del hilo. Para una espira, el plano de la espira es un plano de simetría: sobre él $\vect B$ es normal a la espira; el eje está contenido en todos los planos de antisimetría que lo contienen: sobre el eje $\vect B$ va según el eje.

28.2 La ley de Biot–Savart

Teorema 28.5 (Biot–Savart)

Un circuito recorrido por la corriente $I$ crea en $M$ el campo

\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuito}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,

suma sobre los elementos $\dd\vect l$ del circuito situados en los puntos $P$ , orientados según la corriente, siendo $\vect e_{PM}$ el vector unitario de $P$ a $M$ y $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ la permeabilidad del vacío. Cada elemento aporta un campo perpendicular a sí mismo y a la recta $PM$ , que decrece como $1/PM^2$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Proposición 28.6 (Hilo, espira, solenoide)

Hilo rectilíneo infinito, a la distancia $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
Espira circular de radio $R$ , sobre su eje a la distancia $z$ del centro: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R} \sin^3\alpha$ , siendo $\alpha$ el semiángulo bajo el que se ve la espira desde $M$ ; en el centro $B = \mu_0I/2R$ .
Solenoide de $n$ espiras por metro, sobre su eje: $B = \tfrac12\mu_0nI (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , con $\alpha_1, \alpha_2$ los ángulos bajo los que se ven los dos extremos; en un solenoide largo, $B = \mu_0nI$ dentro, y la mitad en un extremo.

Demostración. (1) $M$ a la distancia $r$ del hilo y $P$ de abscisa $z$ sobre él: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ tiene módulo $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ con $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$ , y todas las contribuciones son ortorradiales: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$ . (2) Cada elemento de la espira está a la misma distancia $\sqrt{R^2 + z^2}$ de $M$ y es perpendicular a $\vect e_{PM}$ ; su campo tiene módulo $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ , y solo sobrevive a la suma sobre la espira la componente axial, la fracción $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ de aquel: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 + z^2)^{3/2}$ . (3) Una rodaja $\dd z'$ de solenoide es una espira de corriente $nI\,\dd z'$ ; con $z' - z = R/\tan\alpha$ , $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ , y $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ sobre todo el solenoide $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ ; si es infinitamente largo, $\alpha_1 \to 0$ , $\alpha_2 \to \pi$ . ∎

Los tres cálculos de Biot–Savart del capítulo: el elemento l de un hilo y su contribución en M, perpendicular al plano de la figura; la espira vista desde M bajo el semiángulo ; y el solenoide, cuyos extremos se ven bajo _1 y _2. — Los tres cálculos de Biot–Savart del capítulo: el elemento $\dd\vect l$ de un hilo y su contribución en $M$ , perpendicular al plano de la figura; la espira vista desde $M$ bajo el semiángulo $\alpha$ ; y el solenoide, cuyos extremos se ven bajo $\alpha_1$ y $\alpha_2$ .

Ejemplo 28.7 (Órdenes de magnitud)

Un hilo de $10\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{cm}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , cuatro veces el campo terrestre — la brújula sí gira. Una bobina de $100$ espiras, de radio $5\,\mathrm{cm}$ , con $2\,\mathrm{A}$ : $\mu_0NI/2R = 2.5\,\mathrm{mT}$ en su centro. Un solenoide de $1000$ espiras por metro con $5\,\mathrm{A}$ : $6.3\,\mathrm{mT}$ ; con un núcleo de hierro de permeabilidad relativa $1000$ vendrían varios teslas si el hierro no saturase cerca de $2\,\mathrm{T}$ — el techo de todo electroimán, y la razón de que los campos más intensos vengan de bobinas superconductoras sin hierro.

28.3 El teorema de Ampère

Teorema 28.8 (Ampère)

La circulación de $\vect B$ a lo largo de cualquier curva cerrada orientada $\Gamma$ vale $\mu_0$ por la corriente total que atraviesa cualquier superficie apoyada en $\Gamma$ , contada positivamente cuando la atraviesa en el sentido que da la regla de la mano derecha a partir de la orientación de $\Gamma$ :

\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlazada}} .

Demostración. Para una circunferencia de radio $r$ centrada en un hilo rectilíneo, $\vect B$ es tangente y de módulo $\mu_0I/2\pi r$ en todos sus puntos, de modo que la circulación vale $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ , independiente de $r$ ; para una curva que no rodea al hilo, las contribuciones se cancelan. El caso general se admite (volumen del Año 2). ∎

Método 28.9 (Cómo usar el teorema de Ampère)

Como con Gauss: (1) las simetrías dan la dirección de $\vect B$ y la variable de la que depende; (2) elíjase un contorno de Ampère que pase por $M$ y sobre el cual $\vect B$ sea o bien tangente y de módulo constante, o bien perpendicular; (3) cuéntese la corriente que lo atraviesa; (4) despéjese. Funciona con hilos y cilindros infinitos, con solenoides y toroides infinitos y con capas de corriente infinitas.

Proposición 28.10 (Cilindro, solenoide, toroide)

Un hilo cilíndrico de radio $a$ que lleva $I$ uniformemente: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ dentro y $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ fuera — el máximo está en la superficie.
Un solenoide infinito de $n$ espiras por metro: $\vect B = \mu_0nI\, \vect e_z$ uniforme dentro y $\vect 0$ fuera, sea cual sea la forma de su sección.
Un toroide de $N$ espiras: $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ dentro del devanado y cero fuera — un solenoide cerrado sobre sí mismo, sin campo disperso.

Demostración. (1) Circunferencia de radio $r$ : $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ o $\mu_0I$ . (2) $\vect B$ es axial por simetría y, por Ampère sobre un rectángulo con los dos lados largos fuera, uniforme fuera y por tanto nulo (se anula en el infinito); un rectángulo con un lado largo dentro, de longitud $\ell$ , da $B\ell = \mu_0n\ell I$ . (3) Circunferencia de radio $r$ dentro del toro: $2\pi rB = \mu_0NI$ ; fuera, la corriente enlazada es nula. ∎

A la izquierda: el campo de un hilo grueso, lineal dentro y en 1/r fuera, máximo en la superficie. A la derecha: el rectángulo de Ampère que da el campo de un solenoide infinito — solo el lado interior contribuye a la circulación. — A la izquierda: el campo de un hilo grueso, lineal dentro y en $1/r$ fuera, máximo en la superficie. A la derecha: el rectángulo de Ampère que da el campo de un solenoide infinito — solo el lado interior contribuye a la circulación.

28.4 La fuerza de Laplace

Teorema 28.11 (Fuerza de Laplace)

Un elemento de conductor $\dd\vect l$ recorrido por $I$ en un campo $\vect B$ recibe la fuerza $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ ; un segmento rectilíneo $\vect L$ en un campo uniforme recibe $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ , de módulo $ILB\sin\theta$ , perpendicular a la vez al hilo y al campo.

Demostración. Los portadores de carga de $\dd\vect l$ (en número $n\,S\,\dd l$ , de carga $q$ y velocidad de arrastre $\vect v$ ) sienten cada uno $q\vect v\wedge\vect B$ ; su suma vale $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , ya que $I = nqvS$ y $\vect v$ va según $\dd\vect l$ . Los portadores transmiten la fuerza a la red del hilo mediante sus choques. ∎

Proposición 28.12 (Fuerza entre hilos paralelos)

Dos hilos largos y paralelos separados una distancia $d$ que llevan $I_1$ e $I_2$ se atraen si las corrientes son paralelas y se repelen si son antiparalelas, con la fuerza por unidad de longitud

\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .

Dos hilos separados $1\,\mathrm{m}$ que llevan $1\,\mathrm{A}$ sienten $2 \times 10^{-7}$ N por metro — la definición del amperio de 1948 a 2019, y el origen del valor $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ .

Demostración. El hilo 1 crea $\mu_0I_1/2\pi d$ en el hilo 2, perpendicular a él; la fuerza de Laplace sobre una longitud $\ell$ del hilo 2 vale $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ y está dirigida hacia el hilo 1 cuando las corrientes son paralelas (compruébese con la regla de la mano derecha). ∎

La fuerza de Laplace: entre hilos paralelos (izquierda y centro) y sobre una barra deslizante recorrida por una corriente en un campo (derecha) — los raíles de Laplace, cuyo balance energético es el tema de . — La fuerza de Laplace: entre hilos paralelos (izquierda y centro) y sobre una barra deslizante recorrida por una corriente en un campo (derecha) — los raíles de Laplace, cuyo balance energético es el tema de Capítulo 29.

28.5 El dipolo magnético

Definición 28.13 (Momento magnético)

Una espira plana de área $S$ recorrida por $I$ , orientada por la regla de la mano derecha (la normal $\vect n$ según el pulgar cuando los dedos siguen a $I$ ), tiene el momento magnético $\vect m = IS\,\vect n$ ( $\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ); con $N$ espiras, $NIS\,\vect n$ . Vista desde distancias $r \gg \sqrt S$ , la espira es un dipolo magnético: su campo tiene exactamente la forma del dipolo eléctrico con $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$ :

B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .

Un imán recto, un átomo y la Tierra son dipolos magnéticos: el momento de la Tierra vale $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ y el de un electrón $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (el magnetón de Bohr).

Demostración. Sobre el eje, el campo de la espira $\mu_0IR^2/2z^3$ para $z \gg R$ vale $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ con $m = I\pi R^2$ , que coincide con $B_r$ en $\theta = 0$ ; la forma angular completa se admite. ∎

Teorema 28.14 (Dipolo en un campo)

Un momento magnético $\vect m$ en un campo uniforme $\vect B$ no siente fuerza neta, sino un par $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ que lo alinea con el campo, y tiene la energía potencial $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ . En un campo no uniforme es atraído hacia la región de campo intenso cuando está alineado (y repelido cuando está antialineado).

Demostración. Para una espira rectangular $a \times b$ con $\vect n$ formando el ángulo $\theta$ con $\vect B$ : las fuerzas de Laplace sobre los dos lados de longitud $b$ paralelos al eje de giro valen $\pm IbB$ , son opuestas y distan $a\sin\theta$ : forman un par de momento $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ , que tiende a reducir $\theta$ ; las fuerzas sobre los otros dos lados son opuestas y colineales. Energía: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ con $\Gamma = -mB\sin\theta$ da $E_p = -mB\cos\theta$ . Toda espira plana es una suma de rectángulos pequeños; el caso no uniforme se admite. ∎

A la izquierda: una espira de corriente en un campo uniforme, vista según su eje de giro — las fuerzas de Laplace sobre los dos lados forman un par que alinea el momento con el campo. A la derecha: las líneas de campo de un imán recto son las de un dipolo magnético, idénticas en forma a las del dipolo eléctrico, que salen por la cara norte y vuelven por la sur.

Ejemplo 28.15 (La brújula y la Tierra)

La aguja de una brújula es un imán pequeño, de momento $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; en la componente horizontal del campo terrestre, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , el par $mB_h\sin\theta$ la lleva al norte, y oscila en torno al norte con periodo $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ (Ejercicio 28.9). El propio dipolo terrestre, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ , equivale a una corriente de unos miles de millones de amperios circulando por el núcleo de hierro líquido; el campo que produce en la superficie es el más débil del capítulo y el primero que alguien utilizó.

28.6 Ejercicios

Ejercicio 28.1 ★

Campo a $1.0\,\mathrm{cm}$ de un hilo rectilíneo que lleva $10\,\mathrm{A}$ ; corriente necesaria para llegar a $1\,\mathrm{T}$ a esa distancia; distancia a la que el campo de un hilo de $100\,\mathrm{A}$ iguala los $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ terrestres.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . Para $1\,\mathrm{T}$ : $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ . El valor terrestre, a $r = 2 \times 10^{-7} \times 100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 28.2 ★

Campo en el centro de una bobina de $100$ espiras y radio $5.0\,\mathrm{cm}$ que lleva $2.0\,\mathrm{A}$ ; y sobre su eje a $5.0\,\mathrm{cm}$ y a $50\,\mathrm{cm}$ del centro.

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

Centro: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$ . En $z = R$ : $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$ : $0.89\,\mathrm{mT}$ . En $z = 10R$ : $\times(1/101)^{3/2} = 10^{-3}$ : $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ , ya la ley dipolar en $1/z^3$ .

Ejercicio 28.3 ★

Un solenoide de $1000$ espiras por metro lleva $5.0\,\mathrm{A}$ : campo dentro, lejos de los extremos, y justo en el extremo. Número de espiras de hilo de $0.5\,\mathrm{mm}$ que pueden devanarse por metro en una sola capa, y campo que resulta con $5\,\mathrm{A}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$ ; en el extremo, la mitad: $3.1\,\mathrm{mT}$ . Con hilo de $0.5\,\mathrm{mm}$ : $2000$ espiras por metro, luego $12.6\,\mathrm{mT}$ con $5\,\mathrm{A}$ .

Ejercicio 28.4 ★

Fuerza sobre un hilo de $1.0\,\mathrm{m}$ que lleva $10\,\mathrm{A}$ perpendicular a un campo de $0.10\,\mathrm{T}$ ; y sobre el mismo hilo a $30{}^{\circ}$ del campo. Un motor tiene $100$ hilos así en un rotor de $5\,\mathrm{cm}$ de radio: par (orden de magnitud).

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$ ; a $30{}^{\circ}$ , $\sin30^\circ$ : $0.5\,\mathrm{N}$ . Motor: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — un motor industrial pequeño.

Ejercicio 28.5 ★★

Campo de un segmento rectilíneo finito a la distancia $d$ de su recta, con los extremos vistos bajo los ángulos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ (medidos desde la perpendicular): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ . Compruébese el límite del hilo infinito. Campo en el centro de una espira cuadrada de lado $a$ .

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

Con $z = d\tan\alpha$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d} (\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$ ; hilo infinito, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$ : $\mu_0I/2\pi d$ . Cuadrado: cada lado a $d = a/2$ visto bajo $\pm45^\circ$ da $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ ; los cuatro lados: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (una circunferencia del mismo “radio” $a/2$ daría $\mu_0I/a$ ).

Ejercicio 28.6 ★★

Bobinas de Helmholtz. Dos bobinas idénticas ( $N$ espiras, radio $R$ ) sobre un eje común, separadas una distancia $R$ , llevan la misma corriente en el mismo sentido. Campo en el punto medio; muéstrese que allí se anulan la primera y la segunda derivadas de $B$ según el eje. Cifras: $N = 100$ , $R = 15\,\mathrm{cm}$ , $I = 1.0\,\mathrm{A}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ con $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$ . Punto medio: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$ . $f'$ es impar, luego $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$ ; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ se anula en $u = R/2$ , luego $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$ : el campo es uniforme hasta el tercer orden. Cifras: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 = 0.60\,\mathrm{mT}$ .

Ejercicio 28.7 ★★

Un hilo de cobre de $2.0\,\mathrm{mm}$ de radio lleva $100\,\mathrm{A}$ . Campo en la superficie, a $1.0\,\mathrm{mm}$ del eje y a $1.0\,\mathrm{cm}$ . Esbócese $B(r)$ . El hilo es ahora el conductor interior de un cable coaxial cuya malla lleva la corriente de retorno: campo fuera de la malla.

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

Superficie: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$ ; a $1\,\mathrm{mm}$ , dentro, $\times r/a$ : $5\,\mathrm{mT}$ ; a $1\,\mathrm{cm}$ : $2\,\mathrm{mT}$ . $B$ crece linealmente hasta la superficie y luego cae como $1/r$ . Coaxial: fuera de la malla la corriente enlazada es nula, $B = 0$ .

Ejercicio 28.8 ★★

Fuerza por metro entre dos hilos separados $1\,\mathrm{m}$ con $1\,\mathrm{A}$ ; entre dos barras conductoras separadas $10\,\mathrm{cm}$ que llevan $10\,\mathrm{kA}$ ; y bajo un cortocircuito de $100\,\mathrm{kA}$ . ¿Qué ha de sujetar las barras?

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Barras: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; a $100\,\mathrm{kA}$ : $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — dos toneladas por metro. Los soportes aislantes de la aparamenta se dimensionan para la corriente de defecto, no para la de servicio.

Ejercicio 28.9 ★★

Una aguja de brújula de momento $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ y momento de inercia $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ , en un campo horizontal $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Par a $90{}^{\circ}$ ; trabajo para llevarla del norte al sur; periodo de las oscilaciones pequeñas. ¿Cómo se mide $B_h$ con ella?

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ ; $J\ddot\theta = -mB_h\theta$ : $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} = 1.4\,\mathrm{s}$ . Se cronometran las oscilaciones: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$ una vez conocidos $m$ y $J$ (Gauss medía $m$ aparte, por la desviación que produce en una segunda aguja).

Ejercicio 28.10 ★★★

La Tierra como dipolo. (a) Muéstrese que sobre su eje, muy lejos, el campo de una espira vale $B = \mu_0m/2\pi z^3$ con $m = I\pi R^2$ ; compárese con el dipolo eléctrico. (b) El campo en el polo magnético ronda los $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : dedúzcase el momento dipolar de la Tierra. (c) Corriente en una espira de radio $3000\,\mathrm{km}$ (el núcleo) que lo produciría. (d) Campo en el ecuador según el modelo dipolar; ángulo de inclinación del campo a la latitud $45{}^{\circ}$ (úsense $B_r$ y $B_\theta$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$ : el eléctrico $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ con $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$ . (b) $m = 2\pi R_E^3B/ \mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ . (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$ . (d) Ecuador ( $\theta = 90^\circ$ ): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , la mitad del valor polar. En $\theta = 45^\circ$ : $\tan(\text{incl}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$ , inclinación $= 63{}^{\circ}$ — el campo se hunde con fuerte pendiente en el suelo en las latitudes medias.

Ejercicio 28.11 ★★★

Solenoide finito. Longitud $L = 20\,\mathrm{cm}$ , radio $R = 2.0\,\mathrm{cm}$ , $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ , $I = 3.0\,\mathrm{A}$ . Campo en el centro y en un extremo con la fórmula del curso; fracción del valor del solenoide infinito; ¿a qué distancia fuera, según el eje, ha caído el campo al $1\%$ del valor central? Esbócese $B(z)$ a lo largo del eje.

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$ . Centro: $\tan\alpha_1 = R/(L/2) = 0.2$ , $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$ : $B = 0.981\,\mu_0nI = 7.4\,\mathrm{mT}$ (el $98\%$ ). Extremo: $\cos\alpha_1 = 0$ , $\tan\alpha_2 = R/L$ , $\cos\alpha_2 = -0.995$ : $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ (el $50\%$ ). Fuera, a una distancia $x$ del extremo, con los dos extremos del mismo lado: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$ ; el $1\%$ del valor central en $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ , media longitud fuera. $B(z)$ : una meseta plana en casi toda la longitud, que baja a la mitad en los extremos y a unos pocos por ciento a una longitud de distancia.

Ejercicio 28.12 ★★★

Presión magnética. En un solenoide largo el campo vale $B$ dentro y $0$ fuera; el devanado lleva la corriente superficial $K = nI$ por metro de longitud. (a) Muéstrese que el campo en el devanado, la media entre el interior y el exterior, vale $B/2$ , y que la fuerza de Laplace sobre él es una presión hacia fuera $p = B^2/2\mu_0$ . (b) Cifras para $1\,\mathrm{T}$ , $10\,\mathrm{T}$ y $45\,\mathrm{T}$ ; compárense con la presión atmosférica y con la resistencia a la tracción del acero ( $1\,\mathrm{GPa}$ ). (c) ¿Qué limita los imanes permanentes más intensos?

Solución

Solución de Ejercicio 28.12.

(a) El campo propio del devanado salta de $0$ a $B$ al atravesarlo; el campo que actúa sobre él es la media, $B/2$ (la capa no puede empujarse a sí misma). Fuerza sobre un elemento de devanado de longitud $\dd l$ y anchura $\dd z$ que lleva $K\,\dd z$ : $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ , radial hacia fuera (compruébese con $I\,\dd\vect l \wedge\vect B$ ): presión $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$ , ya que $K = nI = B/\mu_0$ . (b) $1\,\mathrm{T}$ : $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$ ; $10\,\mathrm{T}$ : $400\,\mathrm{bar}$ ; $45\,\mathrm{T}$ : $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$ , cerca del $1\,\mathrm{GPa}$ del acero. (c) El devanado ha de soportar una presión que crece como $B^2$ : por encima de $40\,\mathrm{T}$ más o menos, ningún material ni sistema de refrigeración aguanta — el límite de los imanes permanentes es mecánico (y, en los superconductores, su campo crítico).

Una línea de transporte de alta tensión: tres conductores por circuito cuyas corrientes suman cero, de modo que sus campos se cancelan a distancia. Fotografía: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.

28.7 Problema: el cable, la línea y el aparato de medida

Problema 28.1

Problema de fin de semana — el teorema de Ampère en un cable coaxial, las fuerzas de Laplace en una línea eléctrica y el diseño de un galvanómetro de cuadro móvil

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; resistividad del cobre $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Parte I — El cable coaxial. Un cable lleva $I = 1.0\,\mathrm{A}$ por un alma maciza de cobre de radio $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ y de vuelta por una malla de radio interior $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ y radio exterior $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; las corrientes son uniformes en la sección de cada conductor.

Simetrías e invariancias: dirección de $\vect B$ y variable de la que depende.
$B(r)$ en el alma, entre los conductores y fuera del cable, por el teorema de Ampère.
Valores en $r = a$ y $r = b$ .
El alma se sustituye por un tubo delgado de cobre del mismo radio $a$ que lleva la misma corriente: ¿qué cambia en cada región?
$B(r)$ dentro de la malla ( $b < r < c$ ); compruébense los valores en $b$ y en $c$ ; esbócese $B(r)$ de $0$ a $4\,\mathrm{mm}$ .
Fuerza de Laplace sobre la malla: sentido (¿atracción o repulsión respecto del alma?) y módulo por unidad de área, tomando el campo en la malla como la media de sus valores en $b$ y en $c$ . Lo mismo para una corriente pulsada de $10\,\mathrm{kA}$ .
¿Por qué se usa la geometría coaxial para las señales? Compárese con un par de hilos paralelos separados $d = 2\,\mathrm{mm}$ : campo a la distancia $D = 10\,\mathrm{cm}$ del par (supóngase la superposición de dos hilos).

Parte II — La línea eléctrica. Dos conductores horizontales separados $d = 1.0\,\mathrm{m}$ , a $h = 10\,\mathrm{m}$ sobre el suelo, llevan $I = 500\,\mathrm{A}$ en sentidos opuestos.

Campo de uno de los conductores en el punto del suelo situado bajo el punto medio; muéstrese que los dos campos se componen en un campo vertical y dese su valor; compárese con el terrestre y con la recomendación de exposición de $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
Muéstrese que a distancias $D \gg d$ el campo del par decrece como $\mu_0Id/2\pi D^2$ : ¿por qué más deprisa que el de un solo hilo?
Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ bajo uno de los conductores, donde podría trabajar un técnico.
Fuerza por metro entre los conductores; ¿atracción o repulsión? Lo mismo con una corriente de cortocircuito de $20\,\mathrm{kA}$ .
Fuerza sobre un vano de $300\,\mathrm{m}$ , en régimen normal y en cortocircuito; compárese con el peso del vano ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ); ¿qué hacen las líneas durante un cortocircuito?
Una línea trifásica lleva tres corrientes de la misma amplitud desfasadas $120{}^{\circ}$ : muéstrese que su suma se anula en todo instante, y qué implica eso para el campo lejano.
Una brújula en el punto de la pregunta 8, donde el campo horizontal terrestre vale $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : ¿la desvía el campo de la línea? (Piénsese en su dirección.)

Parte III — El galvanómetro de cuadro móvil. Un cuadro rectangular de $N = 200$ espiras, de lados $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (paralelo al eje de giro) y $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , gira alrededor de su eje en el entrehierro entre piezas polares cilíndricas donde el campo, $B = 0.20\,\mathrm{T}$ , es radial: siempre en el plano del cuadro y perpendicular a sus lados $a$ . Un resorte espiral ejerce el par recuperador $-C\theta$ con $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ . Momento de inercia del cuadro y la aguja: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

Fuerzas de Laplace sobre los cuatro lados; ¿cuáles producen par respecto del eje?
Par para una corriente $I$ ; ¿por qué lo hace independiente de $\theta$ el campo radial?
Desviación $\theta$ en el equilibrio; sensibilidad en radianes por miliamperio; corriente para una desviación a fondo de escala de $1.2\,\mathrm{rad}$ .
El cuadro está devanado con hilo de cobre de $0.10\,\mathrm{mm}$ de diámetro: resistencia del cuadro; tensión en sus bornes y potencia disipada a fondo de escala.
Ecuación del movimiento del cuadro; periodo propio de las oscilaciones en torno al equilibrio.
El movimiento del cuadro en el campo induce un par de frenado $-\alpha\dot\theta$ (Capítulo 29); valor de $\alpha$ para el amortiguamiento crítico, y por qué se busca.
Resistencia en serie para hacer un voltímetro de $10\,\mathrm{V}$ a fondo de escala; resistencia en derivación para hacer un amperímetro de $1.0\,\mathrm{A}$ a fondo de escala.
Momento magnético del cuadro a fondo de escala; energía $-\vect m\cdot \vect B$ que tendría, alineado, en un campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ ; compárese con la energía almacenada en el resorte a fondo de escala.
Si el campo fuera uniforme en vez de radial, muéstrese que la escala dejaría de ser lineal: escríbase la condición de equilibrio con $\theta$ medido desde la posición en la que el plano del cuadro contiene a $\vect B$ .
Se aplica al aparato una corriente de $50\,\mathrm{Hz}$ y $0.5\,\mathrm{mA}$ de amplitud: ¿qué marca la aguja y por qué? (Compárense los $50\,\mathrm{Hz}$ con la frecuencia propia.)
Resúmanse las tres escenas en tres cifras, y dígase qué única ley produjo cada una.

Solución

Solución de Problema 28.1.

1. Todo plano que contiene al eje es un plano de simetría de las corrientes: $\vect B$ es perpendicular a él, ortorradial; por invariancia a lo largo y alrededor del eje: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ .

2. Circunferencia de radio $r$ : $2\pi rB = \mu_0I_{\text{enc}}$ . Alma: $I_{\text{enc}} = Ir^2/a^2$ , $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$ ; entre ambos: $\mu_0I/2\pi r$ ; fuera ( $r > c$ ): $I - I = 0$ , $B = 0$ .

3. $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B(b) = 2 \times 10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

4. Dentro del tubo no hay corriente enlazada: allí $B = 0$ en vez del crecimiento lineal; en todo lo demás nada cambia — el campo fuera de una corriente cilíndrica solo depende de la corriente total.

5. $I_{\text{enc}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 - b^2)$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$ , igual a $\mu_0I/2\pi b$ en $b$ y a $0$ en $c$ : continuo. Esbozo: lineal hasta $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ en $0.5\,\mathrm{mm}$ , en $1/r$ hasta $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ en $2.5\,\mathrm{mm}$ , cayendo a cero en $3\,\mathrm{mm}$ y nulo más allá.

6. La corriente de la malla es antiparalela a la del alma: repulsión, una presión hacia fuera. Corriente superficial $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; campo medio $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ . A $10\,\mathrm{kA}$ : $\times10^8$ , $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — los cables de potencia pulsada se construyen para aguantarlo.

7. No hay campo fuera: el cable ni radia ni recoge interferencias magnéticas de sus vecinos. Un par de hilos: los dos campos casi se cancelan y dejan $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ a $10\,\mathrm{cm}$ — poco, pero el coaxial da cero.

8. $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$ : cada uno da $\mu_0I/2\pi D = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , perpendicular a la recta que va del conductor al punto. Al ser opuestas las corrientes, las componentes paralelas a la recta que une los conductores se cancelan y las verticales se suman: $B = 2 \times 10^{-5} \times (d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$ , vertical. Cincuenta veces por debajo del campo terrestre y cien veces por debajo de la recomendación.

9. Para $D \gg d$ , $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr) \sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$ : los dos campos en $1/D$ se cancelan a primer orden y solo sobrevive su diferencia, de tamaño relativo $d/D$ — un “dipolo de dos hilos”.

10. El propio conductor a $1\,\mathrm{m}$ : $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ horizontal; el otro a $1.41\,\mathrm{m}$ : $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ a $45{}^{\circ}$ , en sentido opuesto: resultante $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$ , $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$ , por debajo de la recomendación para el público y muy por debajo de la profesional.

11. $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 = 0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , repulsiva; a $20\,\mathrm{kA}$ : $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

12. $15\,\mathrm{N}$ en régimen normal; $24\,\mathrm{kN}$ en cortocircuito, ocho veces el peso del vano, $2.9\,\mathrm{kN}$ : los conductores salen despedidos, oscilan y pueden chocar al volver — de ahí los separadores y los interruptores que abren en unos pocos ciclos.

13. $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) = I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$ : los tres fasores suman cero. Los campos en $1/D$ se cancelan como en el coaxial; el campo lejano decrece como $1/D^2$ o más deprisa.

14. Allí el campo de la línea es vertical, y una brújula responde solo a la componente horizontal: no hay desviación (la inclinación cambia en $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$ , tres grados, que la brújula no puede mostrar).

15. Lados $a$ (paralelos al eje): $\vect B$ , radial, es perpendicular a ellos; fuerza $NIaB$ en cada uno, perpendicular al plano del cuadro y opuesta en los dos lados: un par. Lados $b$ : $\dd\vect l$ es radial, paralelo a $\vect B$ : sin fuerza.

16. $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (N m, con $I$ en A). El campo radial está siempre en el plano del cuadro y es perpendicular a los lados $a$ : las fuerzas son siempre normales al plano y su brazo $b/2$ no cambia nunca.

17. $C\theta = NISB$ : $\theta = 2400\,I$ rad, es decir $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ ; fondo de escala $1.2\,\mathrm{rad}$ con $I = 0.50\,\mathrm{mA}$ .

18. Longitud $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$ , sección $\pi(5 \times 10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} = 43\,\Omega$ ; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$ ; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$ .

19. $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$ : $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7 \times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.51\,\mathrm{s}$ .

20. $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$ : crítico para $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$ ; la aguja alcanza entonces su lectura lo más deprisa posible sin sobrepasarla.

21. Voltímetro: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$ . Amperímetro: la derivación lleva $0.9995\,\mathrm{A}$ bajo $22\,\mathrm{mV}$ : $R_{\text{sh}} = 22\,\mathrm{m}\Omega$ .

22. $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; resorte $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 = 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$ : el mismo orden — el resorte almacena lo que el par magnético trabajó mientras el cuadro giraba.

23. En un campo uniforme el par vale $mB\cos\theta$ (máximo cuando el plano contiene a $\vect B$ y nulo cuando la normal va según él): $C\theta = NISB\,I\cos\theta$ — lineal solo para $\theta$ pequeños y comprimida en lo alto de la escala.

24. $50\,\mathrm{Hz}$ frente a $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$ : el cuadro no puede seguirlos; se queda en la media de la corriente, cero, con un temblor de amplitud $\approx \theta_{\text{est}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , invisible. Un aparato de cuadro móvil lee la media — para la corriente alterna necesita un rectificador.

25. $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ en el alma de un coaxial de $1\,\mathrm{A}$ y nada fuera (teorema de Ampère); $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ bajo una línea de $500\,\mathrm{A}$ y $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ entre sus conductores (Biot–Savart más Laplace); $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ para el aparato (par de Laplace contra un resorte).

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