Physics · Libro 3 · Bachelor Year 1

Física universitaria — primer año

Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

1Unidades, dimensiones y medida

En un laboratorio del sótano oscila un péndulo, un cronómetro hace clic y un estudiante escribe g=9.77 m/s2g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. ¿Es ese el valor “correcto”? El libro de texto dice 9.819.81. Si los dos números concuerdan, si el experimento estaba bien diseñado, cuál de sus etapas lo limitó — nada de eso se decide a partir de las cifras solas. La física mide, y una medida sin su incertidumbre es un rumor. Este capítulo establece el lenguaje común de todos los capítulos por venir: unidades, dimensiones, órdenes de magnitud y la aritmética honesta de las incertidumbres.

La balanza de Kibble NIST-4, uno de los instrumentos que hoy realizan el kilogramo a partir de la constante de Planck: una masa se pesa contra una fuerza electromagnética medida en unidades eléctricas. Fotografía: J. L. Lee, NIST (dominio público).
La balanza de Kibble NIST-4, uno de los instrumentos que hoy realizan el kilogramo a partir de la constante de Planck: una masa se pesa contra una fuerza electromagnética medida en unidades eléctricas. Fotografía: J. L. Lee, NIST (dominio público).

1.1 El Sistema Internacional de Unidades

Definición 1.1 (Magnitud física y unidad)

Una magnitud física es una propiedad que puede medirse: una longitud, una duración, una masa, una intensidad de corriente. Medirla es compararla con una magnitud de referencia de la misma especie, la unidad: el resultado es un número por una unidad, ℓ=1.257 m\ell = 1.257\,\mathrm{m}. El número solo no significa nada; la unidad sola no mide nada.

Definición 1.2 (Unidades básicas del SI)

El Sistema Internacional de Unidades (SI) descansa sobre siete unidades básicas: el segundo (s\mathrm{s}), el metro (m\mathrm{m}), el kilogramo (kg\mathrm{kg}), el amperio (A\mathrm{A}), el kelvin (K\mathrm{K}), el mol (mol\mathrm{mol}) y la candela (cd\mathrm{cd}). Desde 2019 cada una queda definida fijando el valor numérico de una constante de la naturaleza: la frecuencia hiperfina del cesio ΔνCs=9 192 631 770 Hz\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz} define el segundo; la velocidad de la luz c=299 792 458 m/sc = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s} define entonces el metro; la constante de Planck h=6.626 070 15×10−34 J sh = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} define el kilogramo; la carga elemental e=1.602 176 634×10−19 Ce = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, el amperio; la constante de Boltzmann kB=1.380 649×10−23 J/Kk_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}, el kelvin; la constante de Avogadro NA=6.022 140 76×1023 mol−1N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}, el mol; y una eficacia luminosa fija KcdK_{\mathrm{cd}}, la candela. Cualquier otra unidad es una unidad derivada, producto de potencias de unidades básicas: 1 N=1 kg m/s21\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, 1 J=1 N m1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}, 1 W=1 J/s1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}, 1 V=1 W/A1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}, 1 Pa=1 N/m21\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.

Las siete unidades básicas (anillo exterior) y las siete constantes que las definen (anillo interior). Una constante fijada define su unidad solo junto con unidades ya definidas (a trazos): c convierte segundos en metros, h necesita el metro y el segundo para definir el kilogramo, e necesita el segundo para definir el amperio.
Las siete unidades básicas (anillo exterior) y las siete constantes que las definen (anillo interior). Una constante fijada define su unidad solo junto con unidades ya definidas (a trazos): cc convierte segundos en metros, hh necesita el metro y el segundo para definir el kilogramo, ee necesita el segundo para definir el amperio.

Observación 1.3 (Nombres y símbolos)

Las unidades que llevan el nombre de una persona se escriben en minúscula cuando se escriben con todas sus letras (newton, julio, pascal) y con mayúscula como símbolo (N\mathrm{N}, J\mathrm{J}, Pa\mathrm{Pa}); con mayúscula y completa, la palabra designa a la persona. Los prefijos multiplican por potencias de diez, desde p (10−1210^{-12}) pasando por n, μ\mu, m, k, M, G hasta T (101210^{12}); el kilogramo es la única unidad básica cuyo nombre lleva un prefijo.

Ejemplo 1.4 (Desglose de una unidad derivada)

El voltio: V=W/A=J/(A s)=kg m2/(A s3)\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3}). El ohmio: Ω=V/A=kg m2/(A2 s3)\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3}). El faradio: F=C/V=A s/V=A2 s4/(kg m2)\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}). Este desglose es la comprobación más segura de que una fórmula se ha recordado bien — la sección siguiente lo convierte en un método.

1.2 Análisis dimensional

Definición 1.5 (Dimensión)

La dimensión de una magnitud XX, escrita [X][X], registra cómo se construye XX a partir de las siete magnitudes básicas, con independencia de las unidades elegidas: longitud LL, masa MM, tiempo TT, intensidad de corriente II, temperatura Θ\Theta, cantidad de sustancia NN, intensidad luminosa JJ. Una velocidad tiene dimensión [v]=L T−1[v] = L\,T^{-1}; una fuerza, [F]=M L T−2[F] = M\,L\,T^{-2}; una energía, [E]=M L2 T−2[E] = M\,L^2\,T^{-2}. Una magnitud de dimensión 11 (un ángulo, un cociente, un índice de refracción) es adimensional.

Teorema 1.6 (Principio de homogeneidad dimensional)

En una ley física, los dos miembros de una igualdad tienen la misma dimensión, y cada término de una suma tiene la dimensión del conjunto. El argumento de una exponencial, de un logaritmo, de un seno o de un coseno es adimensional.

Demostración. Las leyes de la física no dependen de las unidades que elijan los seres humanos. Cambiar la unidad de longitud en un factor λ\lambda multiplica toda magnitud de dimensión La⋯L^a \cdots por λ−a\lambda^{-a}: una igualdad entre términos de dimensiones distintas se cumpliría en un sistema de unidades y fallaría en otro. Para una función como exp⁡\exp, la serie 1+x+x2/2+…1 + x + x^2/2 + \dots suma potencias de xx de dimensiones distintas salvo que xx sea adimensional. ∎

Método 1.7 (Comprobar una fórmula)

  1. Escríbase la dimensión de cada símbolo.
  2. Redúzcase cada miembro (cada término) a un producto LaMbTc⋯L^a M^b T^c \cdots.
  3. Exponentes iguales en ambos miembros: la fórmula puede ser correcta. Desiguales: es con certeza falsa — falta un factor gg, hay una magnitud al cuadrado que debería ir sola, o un exponente con dimensiones.

Una fórmula homogénea todavía puede ser falsa por un factor adimensional (22, π\pi, 12\tfrac12): las dimensiones nunca los ven.

Ejemplo 1.8 (El periodo de un péndulo)

Un péndulo de longitud ℓ\ell y masa mm oscila en un campo de gravedad gg. Supóngase que su periodo es τ=k ℓαmβgγ\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma con kk adimensional. Entonces T=LαMβ(LT−2)γ=Lα+γMβT−2γT = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}, de donde β=0\beta = 0, γ=−12\gamma = -\tfrac12, α=12\alpha = \tfrac12:

τ=kℓ/g.\tau = k\sqrt{\ell/g} .

Sin resolver ni una sola ecuación del movimiento: la masa desaparece y duplicar la longitud multiplica el periodo por 2\sqrt2. La dinámica (Capítulo 14) proporcionará k=2πk = 2\pi para las oscilaciones de pequeña amplitud.

Proposición 1.9 (Grupos adimensionales)

Si una magnitud YY depende de nn magnitudes X1,…,XnX_1, \dots, X_n en las que intervienen rr dimensiones básicas independientes, la relación puede reescribirse entre n+1−rn + 1 - r combinaciones adimensionales de las XiX_i y de YY. Cuando n+1−r=1n + 1 - r = 1, la única combinación ha de ser constante y el análisis dimensional da la ley salvo un factor numérico.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 1.10 (Uso de la proposición)

El enunciado general (el teorema de Vaschy–Buckingham) es un resultado de álgebra lineal sobre los vectores de exponentes. Lo que aquí importa es la receta: enumerar las magnitudes pertinentes, contar dimensiones, formar los grupos adimensionales. En Ejemplo 1.8, n=3n = 3 (ℓ,m,g\ell, m, g), r=3r = 3 (L,M,TL, M, T), de modo que existe un único grupo τg/ℓ\tau\sqrt{g/\ell}, que debe ser constante. La fuerza de arrastre sobre una esfera de radio RR que se mueve a velocidad vv en un fluido de densidad ρ\rho y viscosidad η\eta pone en juego n=4n = 4 magnitudes y r=3r = 3 dimensiones: dos grupos, F/(ρv2R2)F/(\rho v^2 R^2) y ρvR/η\rho v R/\eta (el número de Reynolds), y las dimensiones por sí solas no dicen cómo depende el primero del segundo — eso debe decirlo el experimento.

1.3 Órdenes de magnitud

Definición 1.11 (Orden de magnitud)

El orden de magnitud de una magnitud es la potencia de diez más próxima a ella: 6.4×106 m6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m} (el radio de la Tierra) tiene orden de magnitud 10710^7; 3×103 m3 \times 10^{3}\,\mathrm{m} tiene orden 10310^3; 3.2×103 m3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m} está más cerca de 10310^3 que de 10410^4 en una escala logarítmica (la frontera es 10≈3.16\sqrt{10} \approx 3.16). Dos magnitudes son “del mismo orden” cuando su cociente es menor que 33 aproximadamente.

Método 1.12 (Estimar)

Para estimar una magnitud que nadie ha medido de antemano:

  1. descompóngase en factores que puedan estimarse cada uno con un error de un factor 22 o 33;
  2. estímese cada factor conservando una cifra significativa;
  3. multiplíquese, conservando la potencia de diez y una cifra.

Los errores de los distintos factores se compensan en parte; el resultado suele ser correcto salvo un factor de 33 a 1010, que a menudo es cuanto hace falta para admitir o descartar una hipótesis.

Ejemplo 1.13 (La masa de la atmósfera)

La presión atmosférica P0≈1×105 PaP_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} es el peso de la columna de aire situada sobre un metro cuadrado, P0=mcol gP_0 = m_{\text{col}}\,g, de modo que mcol≈105/10=1×104 kgm_{\text{col}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} por metro cuadrado. La superficie de la Tierra vale 4πR2≈4×3×(6×106)2≈5×1014 m24\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2 \approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}; la atmósfera pesa unos 5×1018 kg5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}. El valor admitido es 5.1×1018 kg5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg} — a la estimación le bastaron P0P_0 y RR.

Definición 1.14 (Cifras significativas)

Las cifras significativas de un número escrito son sus dígitos a partir del primero no nulo: 0.08200.0820 tiene tres, 8.20×10−28.20 \times 10^{-2} las mismas tres, 820820 es ambiguo (dos o tres) salvo que se escriba 8.2×1028.2 \times 10^{2} o 8.20×1028.20 \times 10^{2}. Un resultado se escribe con las cifras significativas que su incertidumbre permite (Método 1.20 más abajo): no “g=9.7723 m/s2g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}” cuando el cuarto dígito se ignora.

1.4 Incertidumbre de medida

Definición 1.15 (Mensurando, error, incertidumbre)

El mensurando es la magnitud que se pretende medir. Repetir una medida da valores dispersos: la medida es variable. El error de un resultado es su diferencia desconocida al valor verdadero; la incertidumbre típica u(x)u(x) de un resultado xx es la desviación típica de los valores que razonablemente podrían atribuirse al mensurando — una cantidad que sí puede evaluarse. Sus fuentes: el operador (tiempo de reacción, paralaje), el entorno (temperatura, vibraciones), el instrumento (resolución, calibración) y el método (un modelo que solo es aproximadamente cierto).

Proposición 1.16 (Evaluación de tipo A)

A partir de nn valores repetidos independientes x1,…,xnx_1, \dots, x_n, de media xˉ=1n∑xi\bar x = \frac1n \sum x_i y desviación típica experimental

s=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2,s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},

la mejor estimación del mensurando es xˉ\bar x y su incertidumbre típica vale

u(xˉ)=sn.u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .

Demostración parcial. Que ss estime la dispersión de una medida aislada es la definición misma de la desviación típica experimental (n−1n - 1 y no nn porque la propia media se estimó a partir de los datos). Que la media de nn valores independientes se disperse n\sqrt n veces menos que un valor aislado es la adición de varianzas: la varianza de una suma de nn variables independientes vale nn veces la varianza de una sola, luego la varianza de la media es s2n/n2=s2/ns^2 n / n^2 = s^2/n. El curso de probabilidad de este año demuestra ambos enunciados. ∎

Cincuenta cronometrajes del mismo periodo del péndulo, agrupados en clases de 0.01\, s. Su dispersión es s 0.016\, s (un cronometraje); la media de los cincuenta se conoce con s/√50 0.002\, s. La campana es la gaussiana de la misma media y la misma dispersión.
Cincuenta cronometrajes del mismo periodo del péndulo, agrupados en clases de 0.01 s0.01\,\mathrm{s}. Su dispersión es s≈0.016 ss \approx 0.016\,\mathrm{s} (un cronometraje); la media de los cincuenta se conoce con s/50≈0.002 ss/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}. La campana es la gaussiana de la misma media y la misma dispersión.

Proposición 1.17 (Evaluación de tipo B)

Cuando un valor se lee una sola vez, su incertidumbre se evalúa a partir de lo que se sabe del instrumento. Si el valor verdadero puede estar en cualquier punto entre x−ax - a y x+ax + a sin preferencia alguna (una distribución uniforme de semianchura aa),

u(x)=a3.u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .

Para una escala graduada en pasos δ\delta (semianchura a=δ/2a = \delta/2), u=δ/(23)=δ/12u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}; lo mismo vale para el último dígito de una pantalla digital. Una tolerancia del fabricante indicada como “±a\pm a” se trata del mismo modo salvo que la hoja de características diga otra cosa.

Demostración. La varianza de una distribución uniforme sobre [x−a,x+a][x - a, x + a] vale 12a∫−aat2  ⁣dt=12a⋅2a33=a23\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3}; su desviación típica es a/3a/\sqrt3. ∎

Una lectura de la que solo se sabe que cae dentro de ± a: densidad uniforme 1/(2a), desviación típica a/√3 0.58\,a — menor que a, porque los extremos no son más probables que el centro.
Una lectura de la que solo se sabe que cae dentro de ±a\pm a: densidad uniforme 1/(2a)1/(2a), desviación típica a/3≈0.58 aa/\sqrt3 \approx 0.58\,a — menor que aa, porque los extremos no son más probables que el centro.

Teorema 1.18 (Incertidumbre combinada)

Sea y=f(x1,…,xn)y = f(x_1, \dots, x_n) calculada a partir de valores medidos independientes de incertidumbres típicas u(xi)u(x_i). Entonces

u(y)2=∑i=1n(∂f∂xi)2u(xi)2.u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .

En particular:

  • suma o diferencia y=x1±x2y = x_1 \pm x_2: u(y)2=u(x1)2+u(x2)2u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2;
  • producto o cociente y=x1x2y = x_1 x_2 o x1/x2x_1/x_2: (u(y)y)2=(u(x1)x1)2+(u(x2)x2)2\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2 + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2;
  • potencia y=k xαy = k\,x^\alpha: u(y)∣y∣=∣α∣ u(x)∣x∣\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}.

Demostración. Para desviaciones pequeñas δxi\delta x_i, el desarrollo de Taylor de primer orden da δy=∑i(∂f/∂xi) δxi\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i. Las desviaciones son independientes y de media nula, luego la varianza de la suma es la suma de las varianzas, cada una multiplicada por el cuadrado de su coeficiente — la fórmula mostrada. Los casos particulares se deducen: ∂(x1x2)/∂x1=x2\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2 da u(y)2=x22u(x1)2+x12u(x2)2u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2, y se divide por y2=x12x22y^2 = x_1^2 x_2^2; para y=kxαy = kx^\alpha, ∂y/∂x=αy/x\partial y/\partial x = \alpha y/x. ∎

Ejemplo 1.19 (La densidad de un cilindro)

Un cilindro: m=47.32 gm = 47.32\,\mathrm{g} (u=0.01 gu = 0.01\,\mathrm{g}), d=12.00 mmd = 12.00\,\mathrm{mm} (u=0.02 mmu = 0.02\,\mathrm{mm}), h=50.2 mmh = 50.2\,\mathrm{mm} (u=0.1 mmu = 0.1\,\mathrm{mm}). ρ=4m/(πd2h)\rho = 4m/(\pi d^2 h), así que el cuadrado de la incertidumbre relativa suma (0.01/47.32)2=4.5×10−8(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}, (2×0.02/12.00)2=1.1×10−5(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5} y (0.1/50.2)2=4.0×10−6(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}: domina el diámetro, porque está elevado al cuadrado y medido con un 0.17%0.17\%. u(ρ)/ρ=1.5×10−5=0.39%u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}} = 0.39\%; ρ=8334 kg/m3\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, luego u(ρ)=33 kg/m3u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: ρ=(8.33±0.03)×103 kg/m3\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} — latón.

Método 1.20 (Escribir un resultado)

  1. Redondéese la incertidumbre a una cifra significativa (dos si la primera es 11 o 22).
  2. Redondéese el valor a la misma posición decimal.
  3. Escríbanse el valor y la incertidumbre con la unidad: g=(9.77±0.03) m/s2g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, o bien g=9.77 m/s2g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, u(g)=0.03 m/s2u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Consérvense cifras de más durante el cálculo; redondéese solo al final.

Definición 1.21 (Desviación normalizada)

Dos resultados x1±u1x_1 \pm u_1 y x2±u2x_2 \pm u_2 del mismo mensurando se comparan mediante su desviación normalizada

z=∣x1−x2∣u12+u22.z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .

Son compatibles cuando z≤2z \leq 2; un zz mayor apunta a un efecto no tenido en cuenta — o a una incertidumbre subestimada. Cuando x2x_2 es un valor de referencia sin incertidumbre declarada, se toma u2=0u_2 = 0.

Observación 1.22 (Por qué 2)

Si los dos resultados se dispersan como gaussianas, su diferencia tiene desviación típica u12+u22\sqrt{u_1^2 + u_2^2}, y una gaussiana supera el doble de su desviación típica en cerca del 5%5\% de los casos. “z≤2z \leq 2” es un convenio, no un teorema: acepta aproximadamente una buena medida de cada veinte como falso desacuerdo.

1.5 Ajustar un modelo a los datos

Proposición 1.23 (Recta de mínimos cuadrados)

Dados nn puntos (xi,yi)(x_i, y_i) de los que se espera que cumplan y=ax+by = a x + b, la recta que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales ∑i(yi−axi−b)2\sum_i (y_i - a x_i - b)^2 tiene

a=∑i(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i(xi−xˉ)2,b=yˉ−a xˉ.a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2}, \qquad b = \bar y - a\,\bar x .

Demostración. La suma es una función cuadrática de (a,b)(a, b); anular las dos derivadas parciales da dos ecuaciones lineales: ∑i(yi−axi−b)=0\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0, es decir yˉ=axˉ+b\bar y = a \bar x + b, y ∑ixi(yi−axi−b)=0\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0. Sustituyendo bb en la segunda y centrando las variables se obtiene aa. La minimización propiamente dicha se lleva a cabo en el curso de matemáticas sobre funciones de dos variables. ∎

Método 1.24 (Validar gráficamente un modelo)

  1. Elíjanse variables que conviertan la ley esperada en una recta: τ2\tau^2 frente a ℓ\ell para el péndulo, ln⁡y\ln y frente a ln⁡x\ln x para una ley de potencias y=Cxαy = Cx^\alpha (pendiente α\alpha).
  2. Represéntense los puntos con sus barras de incertidumbre.
  3. Ajústese la recta; el modelo es aceptable si las barras cortan la recta sin una tendencia sistemática de los residuos y si la ordenada en el origen es la que el modelo predice (aquí, cero).
  4. Léase la física en la pendiente, con su incertidumbre.
2 frente a para cinco longitudes de péndulo, con barras de incertidumbre; la recta de mínimos cuadrados pasa por el origen dentro de la incertidumbre y su pendiente 4π2/g da g.
τ2\tau^2 frente a ℓ\ell para cinco longitudes de péndulo, con barras de incertidumbre; la recta de mínimos cuadrados pasa por el origen dentro de la incertidumbre y su pendiente 4π2/g4\pi^2/g da gg.

Ejemplo 1.25 (Leer gg en una pendiente)

Los cinco puntos de la figura tienen ℓˉ=0.800 m\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}, τ2‾=3.232 s2\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}, y las sumas ∑(ℓi−ℓˉ)(τi2−τ2‾)=1.614 m s2\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}, ∑(ℓi−ℓˉ)2=0.400 m2\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}: pendiente a=4.035 s2/ma = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}, ordenada en el origen b=0.004 s2b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}, despreciable. Con τ2=(4π2/g) ℓ\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell, g=4π2/a=9.78 m/s2g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

Exprésense el julio, el vatio, el pascal y el culombio en unidades básicas. Dedúzcase que Pa m3\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} es una unidad de energía.

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

J=kg m2 s−2\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}; W=kg m2 s−3\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}; Pa=kg m−1 s−2\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}; C=A s\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}. Pa m3=kg m−1 s−2 m3=kg m2 s−2=J\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J} (el trabajo de las fuerzas de presión, P  ⁣dVP\,\dd V).

Ejercicio 1.2 ★

Dense las dimensiones de una presión, una potencia, una carga eléctrica y una tensión, y las de las constantes GG (en F=Gm1m2/r2F = Gm_1m_2/r^2), hh (en E=hνE = h\nu) y kBk_B (en E=kBTE = k_B T).

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

Presión, ML−1T−2M L^{-1} T^{-2}; potencia, ML2T−3M L^2 T^{-3}; carga, I TI\,T; tensión == potencia/corriente =ML2T−3I−1= M L^2 T^{-3} I^{-1}. [G]=[Fr2/m2]=MLT−2L2M−2=L3M−1T−2[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}; [h]=[E/ν]=ML2T−2⋅T=ML2T−1[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}; [kB]=[E/T]=ML2T−2Θ−1[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}.

Ejercicio 1.3 ★

¿Son homogéneas estas fórmulas? v=2ghv = \sqrt{2gh}; E=12mvE = \tfrac12 m v; P=ρghP = \rho g h para una presión; x=v0t+12gt2x = v_0 t + \tfrac12 g t^2; T=2πg/ℓT = 2\pi\sqrt{g/\ell}; I=I0e−t/RCI = I_0 \eu^{-t/RC}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

2gh\sqrt{2gh}: LT−2⋅L=LT−1\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}, homogénea. 12mv\tfrac12 mv: MLT−1≠ML2T−2M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}, no es una energía. ρgh\rho g h: ML−3⋅LT−2⋅L=ML−1T−2M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}, una presión. v0t+12gt2v_0 t + \tfrac12 g t^2: los dos términos son LL, homogénea. 2πg/ℓ2\pi\sqrt{g/\ell}: T−2=T−1\sqrt{T^{-2}} = T^{-1} — una frecuencia, no un periodo. I0e−t/RCI_0\eu^{-t/RC}: RCRC en Ω F=s\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}, argumento adimensional, homogénea.

Ejercicio 1.4 ★

Una regla está graduada en milímetros; una balanza digital muestra pasos de 0.01 g0.01\,\mathrm{g}; la hoja de características de un voltímetro promete “±0.5%\pm 0.5\% de la lectura”. Dese la incertidumbre típica de tipo B de una longitud de 12.7 cm12.7\,\mathrm{cm}, de una masa de 5.43 g5.43\,\mathrm{g} y de una lectura de 4.80 V4.80\,\mathrm{V}.

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

Regla: δ=1 mm\delta = 1\,\mathrm{mm}, u=1/12=0.29 mmu = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}. Balanza: u=0.01/12=0.003 gu = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}. Voltímetro: a=0.005×4.80=0.024 Va = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}, u=0.024/3=0.014 Vu = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}.

Ejercicio 1.5 ★★

La velocidad vv de las ondas en una cuerda tensa depende de su tensión FF (una fuerza) y de su masa por unidad de longitud μ\mu. Hállese vv salvo un factor adimensional. La misma pregunta para la velocidad del sonido en un gas de presión PP y densidad ρ\rho.

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

v=kFαμβv = k F^\alpha \mu^\beta: LT−1=(MLT−2)α(ML−1)βL T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta, de donde α+β=0\alpha + \beta = 0, α−β=1\alpha - \beta = 1, −2α=−1-2\alpha = -1: α=12\alpha = \tfrac12, β=−12\beta = -\tfrac12, v=kF/μv = k\sqrt{F/\mu} (de hecho k=1k = 1). Sonido: P/ρP/\rho tiene dimensión ML−1T−2/(ML−3)=L2T−2M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}, luego v=kP/ρv = k\sqrt{P/\rho} (k=γ≈1.2k = \sqrt\gamma \approx 1.2 para el aire).

Ejercicio 1.6 ★★

Ocho cronometrajes de la misma caída, en milisegundos: 452452, 447447, 461461, 455455, 449449, 458458, 444444, 454454. Calcúlense la media, la desviación típica experimental y la incertidumbre típica de la media; escríbase el resultado.

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

Suma =3620 ms= 3620\,\mathrm{ms}, tˉ=452.5 ms\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}. Desviaciones −0.5,−5.5,8.5,2.5,−3.5,5.5,−8.5,1.5-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5; la suma de sus cuadrados es 226226; s=226/7=5.7 mss = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}; u(tˉ)=5.7/8=2.0 msu(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}. Resultado: t=(452.5±2.0) mst = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}.

Ejercicio 1.7 ★★

Una resistencia se mide como R=U/IR = U/I con U=4.80 VU = 4.80\,\mathrm{V}, u(U)=0.03 Vu(U) = 0.03\,\mathrm{V} e I=12.4 mAI = 12.4\,\mathrm{mA}, u(I)=0.2 mAu(I) = 0.2\,\mathrm{mA}. Calcúlense RR y u(R)u(R); ¿qué medida convendría mejorar primero?

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

R=4.80/0.0124=387 ΩR = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega. Incertidumbres relativas 0.03/4.80=0.63%0.03/4.80 = 0.63\% y 0.2/12.4=1.6%0.2/12.4 = 1.6\%; combinadas, 0.632+1.62=1.7%\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%, u(R)=7 Ωu(R) = 7\,\Omega: R=(387±7) ΩR = (387 \pm 7)\,\Omega. Domina la corriente — conviene mejorar primero el amperímetro (o su escala).

Ejercicio 1.8 ★★

Dos equipos miden la velocidad del sonido: (343±4) m/s(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} y (336±3) m/s(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ¿Son compatibles? Un tercer equipo obtiene (352±2) m/s(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: ¿es compatible con el primero? ¿y con el segundo?

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

z=7/16+9=1.4≤2z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2: compatibles. Tercero frente al primero: z=9/4+16=2.0z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0: en el límite, apenas compatibles. Tercero frente al segundo: z=16/4+9=4.4z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4: incompatibles — al menos uno de los dos arrastra un error sistemático o una incertidumbre subestimada.

Ejercicio 1.9 ★★

El volumen de una esfera se calcula a partir de su diámetro d=25.40 mmd = 25.40\,\mathrm{mm} medido con un calibre, u(d)=0.02 mmu(d) = 0.02\,\mathrm{mm}. Calcúlense VV, su incertidumbre relativa y absoluta, y escríbase el resultado.

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

V=πd3/6=π×25.403/6=8580 mm3V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}. u(V)/V=3 u(d)/d=3×0.02/25.40=0.24%u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%, u(V)=20 mm3u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}: V=(8.58±0.02) cm3V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}.

Ejercicio 1.10 ★★★

Una esfera pequeña de radio RR cae lentamente en un líquido viscoso; la fuerza de arrastre depende de RR, de la velocidad vv y de la viscosidad η\eta, de dimensión ML−1T−1M L^{-1} T^{-1}. Muéstrese que F=k ηRvF = k\,\eta R v. A gran velocidad el arrastre depende en cambio de RR, vv y la densidad ρ\rho del fluido: hállese la nueva ley. Estímese, para una gota de lluvia (R=1 mmR = 1\,\mathrm{mm}, v=5 m/sv = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, aire: ρ=1.2 kg/m3\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, η=1.8×10−5 Pa s\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}), qué régimen se aplica comparando las dos estimaciones.

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

F=kηaRbvcF = k\eta^a R^b v^c: MM: a=1a = 1; TT: −a−c=−2-a - c = -2, c=1c = 1; LL: −a+b+c=1-a + b + c = 1, b=1b = 1: F=kηRvF = k\eta R v (Stokes, k=6πk = 6\pi). Con ρ\rho en su lugar: MM: a=1a = 1; TT: −c=−2-c = -2, c=2c = 2; LL: −3+b+2=1-3 + b + 2 = 1, b=2b = 2: F=kρR2v2F = k\rho R^2 v^2. Gota de lluvia: ηRv=1.8×10−5×10−3×5≈1×10−7 N\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}; ρR2v2=1.2×10−6×25=3×10−5 N\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}, trescientas veces mayor: se aplica el régimen inercial (de alta velocidad) — el cociente ρvR/η≈330\rho v R/\eta \approx 330 es el número de Reynolds.

Ejercicio 1.11 ★★★

Cuatro medidas de la tensión en bornes de una resistencia para corrientes crecientes: (I,U)=(2.0 mA,0.41 V)(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V}), (4.0 mA,0.78 V)(4.0\,\mathrm{mA}, 0.78\,\mathrm{V}), (6.0 mA,1.22 V)(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V}), (8.0 mA,1.59 V)(8.0\,\mathrm{mA}, 1.59\,\mathrm{V}). Calcúlense la pendiente y la ordenada en el origen de mínimos cuadrados; dedúzcase RR; ¿es la ordenada en el origen compatible con cero si cada UU lleva u=0.02 Vu = 0.02\,\mathrm{V}?

Solución

Solución de Ejercicio 1.11.

Iˉ=5.0 mA\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}, Uˉ=1.000 V\bar U = 1.000\,\mathrm{V}; desviaciones en II: −3,−1,1,3-3, -1, 1, 3; en UU: −0.59,−0.22,0.22,0.59-0.59, -0.22, 0.22, 0.59. ∑(Ii−Iˉ)(Ui−Uˉ)=3.98\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98, ∑(Ii−Iˉ)2=20\sum (I_i - \bar I)^2 = 20: a=0.199 V/mA=199 Ωa = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega, b=1.000−0.199×5=0.005 Vb = 1.000 - 0.199 \times 5 = 0.005\,\mathrm{V}. Con u(U)=0.02 Vu(U) = 0.02\,\mathrm{V} por punto, una ordenada en el origen de 0.005 V0.005\,\mathrm{V} cae holgadamente dentro de la incertidumbre: compatible con cero, la resistencia es óhmica, R≈199 ΩR \approx 199\,\Omega.

Ejercicio 1.12 ★★★

A partir de G=6.67×10−11 m3/(kg s2)G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2}), h=6.63×10−34 J sh = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} y c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, constrúyanse por análisis dimensional una longitud, un tiempo y una masa (las unidades de Planck). Calcúlense y compárense con el tamaño de un protón (1×10−15 m1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}) y con la masa de una persona.

Solución

Solución de Ejercicio 1.12.

ℓ=Gahbcc\ell = G^a h^b c^c: MM: −a+b=0-a + b = 0; TT: −2a−b−c=0-2a - b - c = 0; LL: 3a+2b+c=13a + 2b + c = 1. Luego b=ab = a, c=−3ac = -3a, 2a=12a = 1: ℓP=Gh/c3=4.42×10−44/2.7×1025=4.1×10−35 m\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}} = 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}; tP=ℓP/c=1.4×10−43 st_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}; mP=hc/G=1.99×10−25/6.67×10−11=5.5×10−8 kgm_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}} = 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}. La longitud de Planck queda veinte órdenes de magnitud por debajo de un protón; la masa de Planck, 55 µg55\,\text{µ}\mathrm{g}, es una mota de polvo — enorme para una partícula, ínfima para una persona (10910^9 veces más ligera).

La materia prima del capítulo: un calibre, un cronómetro, una bola, una regla y una columna de lecturas repetidas que nunca acaban de coincidir.
La materia prima del capítulo: un calibre, un cronómetro, una bola, una regla y una columna de lecturas repetidas que nunca acaban de coincidir.

1.7 Problema: medir gg con un péndulo

Problema 1.1

Problema de fin de semana — un hilo, una lenteja, un cronómetro y una cinta métrica: ¿con qué fidelidad puede una mesa de cocina medir el campo gravitatorio terrestre, y cuál de sus cuatro números es el punto débil

Un péndulo es una bola de acero colgada de un punto fijo mediante un hilo ligero; las oscilaciones de pequeña amplitud tienen periodo τ=2πℓ/g\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}, donde ℓ\ell es la distancia del punto de suspensión al centro de la bola. El objetivo es un valor de gg con una incertidumbre defendible.

Parte I — El modelo.

  1. Compruébese la homogeneidad de τ=2πℓ/g\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}.
  2. La bola tiene masa mm. Arguméntese solo por dimensiones que el periodo no puede depender de mm si depende únicamente de ℓ\ell, gg y mm.
  3. El periodo depende también, ligeramente, de la amplitud θ0\theta_0 de la oscilación. ¿Por qué lo permite el análisis dimensional, y qué hay que hacer experimentalmente para que la fórmula sea aplicable?
  4. Exprésese gg en función de ℓ\ell y τ\tau.

Parte II — Medir la longitud. La cinta métrica está graduada en milímetros; el hilo mide 99.0 cm99.0\,\mathrm{cm} desde la suspensión hasta la parte superior de la bola y el diámetro de la bola es 2.00 cm2.00\,\mathrm{cm}, ambos leídos una sola vez.

  1. Calcúlese ℓ\ell.
  2. Evalúese la incertidumbre de tipo B de una lectura aislada sobre la cinta.
  3. Localizar el punto de suspensión y el centro de la bola añade un error posible estimado en ±5 mm\pm5\,\mathrm{mm} (uniforme). Combínese con el apartado anterior en u(ℓ)u(\ell) y dese la incertidumbre relativa u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell.

Parte III — Medir el periodo. Para reducir el efecto del tiempo de reacción se cronometran diez periodos. Ocho cronometrajes de este tipo, en segundos: 20.1220.12, 20.0520.05, 20.1820.18, 20.0920.09, 20.1520.15, 20.0220.02, 20.1120.11, 20.0820.08.

  1. ¿Por qué cronometrar diez periodos y no uno? ¿Por qué repetir el cronometraje ocho veces?
  2. Calcúlense la media t10‾\overline{t_{10}} y la desviación típica experimental ss de los ocho cronometrajes.
  3. Dedúzcase la incertidumbre típica de la media, luego el periodo τ\tau y su incertidumbre u(τ)u(\tau).
  4. Compárese u(τ)/τu(\tau)/\tau con u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell.

Parte IV — El resultado y su punto débil.

  1. Calcúlese gg.
  2. Escríbase u(g)/gu(g)/g en función de u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell y u(τ)/τu(\tau)/\tau, y calcúlese.
  3. Escríbase el resultado en la forma normalizada.
  4. Compárese con el valor de referencia 9.81 m/s29.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} mediante la desviación normalizada. ¿Veredicto?
  5. ¿Cuál de las dos magnitudes medidas limita la precisión de gg? Propónganse dos mejoras concretas y dígase en cuánto reduciría cada una la incertidumbre relativa.
  6. Supóngase que, por un alineamiento descuidado, toda longitud se sobrestimó en 5 mm5\,\mathrm{mm}. ¿Está eso contemplado en el balance de incertidumbres? ¿Qué nombre recibe esta clase de error y cómo se detectaría?

Parte V — Cinco longitudes y una recta. El experimento se repite para ℓ=0.400\ell = 0.400, 0.6000.600, 0.8000.800, 1.0001.000 y 1.200 m1.200\,\mathrm{m}, con τ2=1.62\tau^2 = 1.62, 2.412.41, 3.253.25, 4.044.04 y 4.84 s24.84\,\mathrm{s}^{2}, cada uno con u(τ2)≈1%u(\tau^2) \approx 1\%.

  1. ¿Por qué representar τ2\tau^2 frente a ℓ\ell y no τ\tau frente a ℓ\ell?
  2. Calcúlense ℓˉ\bar\ell y τ2‾\overline{\tau^2}.
  3. Calcúlense la pendiente aa y la ordenada en el origen bb de mínimos cuadrados.
  4. Dedúzcase gg de la pendiente.
  5. Interprétese la ordenada en el origen: ¿qué revelaría un bb claramente no nulo?
  6. El ajuste del ordenador indica u(a)=0.05 s2/mu(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}. Dedúzcase u(g)u(g) y escríbase el resultado.
  7. Compárese mediante la desviación normalizada el resultado de una sola longitud de la Parte IV con este.
  8. Un estudiante propone medir, en su lugar, una sola oscilación de un péndulo de 10 m10\,\mathrm{m} en el hueco de una escalera, con la misma cinta y el mismo cronómetro. Estímese la incertidumbre relativa sobre gg que eso daría y conclúyase sobre la mejor estrategia.
Solución

Solución de Problema 1.1.

1. L/(LT−2)=T2=T\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T.

2. τ=kℓαmβgγ\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma da T=Lα+γMβT−2γT = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}, luego β=0\beta = 0: ninguna combinación de ℓ\ell y gg puede cancelar una masa.

3. θ0\theta_0 es adimensional, de modo que cualquier factor f(θ0)f(\theta_0) resulta invisible a las dimensiones. Manténgase la amplitud pequeña (por debajo de unos 10∘10^\circ), donde f≈1f \approx 1 con un error inferior al 0.2%0.2\%.

4. g=4π2ℓ/τ2g = 4\pi^2\ell/\tau^2.

5. ℓ=99.0+1.00=100.0 cm=1.000 m\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}.

6. u=1 mm/12=0.29 mmu = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}.

7. Alineamiento: 5/3=2.9 mm5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}; combinadas, 0.292+2.92=2.9 mm\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm} — la lectura de la cinta es despreciable. u(ℓ)/ℓ=0.29%u(\ell)/\ell = 0.29\%.

8. El error de tiempo de reacción (unos 0.1 s0.1\,\mathrm{s}) es el mismo se cronometre uno o diez periodos, así que su efecto sobre un periodo es diez veces menor. Repetir revela la dispersión (de ahí ss) y divide entre 8\sqrt8 la incertidumbre de la media.

9. Suma =160.80 s= 160.80\,\mathrm{s}, t10‾=20.100 s\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}. Desviaciones 0.02,−0.05,0.08,−0.01,0.05,−0.08,0.01,−0.020.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02; la suma de sus cuadrados es 188×10−4188 \times 10^{-4}; s=188×10−4/7=0.052 ss = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}.

10. u(t10‾)=0.052/8=0.018 su(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}; τ=2.0100 s\tau = 2.0100\,\mathrm{s}, u(τ)=0.0018 su(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}.

11. u(τ)/τ=0.09%u(\tau)/\tau = 0.09\%, tres veces menor que u(ℓ)/ℓ=0.29%u(\ell)/\ell = 0.29\%.

12. g=4π2×1.000/2.01002=39.48/4.040=9.772 m/s2g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 = 9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

13. g∝ℓ τ−2g \propto \ell\,\tau^{-2}: u(g)g=(u(ℓ)ℓ)2+(2u(τ)τ)2=0.292+0.182 %=0.34%\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2 + \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\% = 0.34\%.

14. u(g)=0.0034×9.772=0.033 m/s2u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}: g=(9.77±0.03) m/s2g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

15. z=∣9.772−9.81∣/0.033=1.2≤2z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2: compatible.

16. La longitud (0.29%0.29\% frente al 0.18%0.18\% del término del periodo). Localizar ambos extremos con ±1 mm\pm1\,\mathrm{mm} lleva u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell al 0.06%0.06\% y u(g)/gu(g)/g a 0.062+0.182=0.19%\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%; duplicar la longitud reduce a la mitad u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell y alarga τ\tau, con lo que mejora los dos términos. Cronometrar veinte periodos en vez de diez reduce a la mitad solo el término del periodo: u(g)/g=0.292+0.092=0.30%u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\% — ganancia escasa mientras el cuello de botella sea la longitud.

17. No: un desplazamiento común a todas las lecturas es un error sistemático (un sesgo); el balance cubre la dispersión aleatoria y las tolerancias declaradas, no un desvío constante. Se detecta cambiando de método o de instrumento o — Parte V — por una ordenada en el origen no nula de la recta τ2\tau^2–ℓ\ell.

18. τ2=(4π2/g) ℓ\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell es una recta que pasa por el origen: la linealidad y la ordenada nula se contrastan a ojo y por mínimos cuadrados; τ∝ℓ\tau \propto \sqrt\ell, no.

19. ℓˉ=0.800 m\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}; τ2‾=16.16/5=3.232 s2\overline{\tau^2} = 16.16/5 = 3.232\,\mathrm{s}^{2}.

20. Desviaciones en ℓ\ell: −0.4,−0.2,0,0.2,0.4-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4; en τ2\tau^2: −1.612,−0.822,0.018,0.808,1.608-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608. Suma de productos =1.614= 1.614, ∑(ℓi−ℓˉ)2=0.400\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400: a=4.035 s2/ma = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}, b=3.232−4.035×0.800=0.004 s2b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}.

21. g=4π2/a=39.48/4.035=9.78 m/s2g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

22. b≈0b \approx 0, como predice el modelo. Un bb claramente no nulo delataría un desvío sistemático δ\delta en todas las longitudes (τ2=a(ℓmed−δ)\tau^2 = a(\ell_{\text{med}} - \delta) da b=−aδb = -a\delta), por ejemplo un centro de la bola mal situado — o un efecto de amplitud.

23. u(g)/g=u(a)/a=0.05/4.035=1.2%u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%, u(g)=0.12 m/s2u(g) = 0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}: g=(9.78±0.12) m/s2g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

24. z=∣9.772−9.784∣/0.0332+0.122=0.1z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1: plenamente compatibles. La medida única y cuidadosa es más precisa; la recta valida el modelo y protege frente a un desvío en la longitud.

25. τ=2π10/9.8=6.3 s\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}; una sola oscilación cronometrada con un tiempo de reacción de unos 0.2 s0.2\,\mathrm{s} da u(τ)/τ≈3%u(\tau)/\tau \approx 3\%, luego u(g)/g≈6%u(g)/g \approx 6\%, mientras que u(ℓ)/ℓu(\ell)/\ell baja al 0.03%0.03\%: veinte veces peor que en la Parte IV. La ganancia en longitud se desperdicia al cronometrar un solo periodo. Mejor estrategia: péndulo largo y muchos periodos, repetidos — diez oscilaciones del péndulo de 10 m10\,\mathrm{m}, ocho veces, dan u(τ)/τ≈0.03%u(\tau)/\tau \approx 0.03\% y u(g)/g≈0.07%u(g)/g \approx 0.07\%.

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