Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

2Óptica geométrica: rayos, reflexión, refracción

Una pajita metida en un vaso de agua parece quebrada en la superficie; un nadador que mira hacia arriba desde el fondo de una piscina ve el cielo entero comprimido en un disco brillante, rodeado por un espejo del suelo de la piscina; una fibra de vidrio del grosor de un cabello lleva una llamada telefónica de un lado a otro de un océano con menos pérdidas que las que sufre un hilo de cobre al cruzar una calle. Tres leyes — la luz se propaga en línea recta, se refleja con ángulos iguales, se desvía según la regla de Snell — dan cuenta de todo ello; este capítulo las enuncia con precisión, señala dónde dejan de ser ciertas y las pone a trabajar.

Un prisma desvía un haz blanco hacia su base y lo despliega: el índice del vidrio depende de la longitud de onda, y el violeta es el más desviado.

2.1 El modelo de la óptica geométrica

Definición 2.1 (Rayo luminoso; medio homogéneo)

En el modelo de la óptica geométrica, la luz se propaga a lo largo de rayos luminosos: curvas orientadas que son rectas en un medio homogéneo (con las mismas propiedades en todos sus puntos) y que transportan energía con independencia unas de otras. Un haz es un manojo de rayos; una fuente puntual emite rayos en todas las direcciones.

Definición 2.2 (Índice de refracción)

Un medio transparente deja pasar la luz; la luz se propaga en él a una velocidad $v < c$ . Su índice de refracción es

n = \frac{c}{v} \geq 1 .

Vacío: $n = 1$ ; aire: $1.0003$ ; agua: $1.33$ ; vidrio ordinario: de $1.5$ a $1.6$ ; diamante: $2.42$ . Una onda de frecuencia $\nu$ conserva su frecuencia al entrar en un medio, de modo que su longitud de onda pasa de $\lambda_0 = c/\nu$ en el vacío a $\lambda = \lambda_0/n$ .

Observación 2.3 (Dispersión)

En la materia el índice depende ligeramente de la longitud de onda: el medio es dispersivo. Para el vidrio en el visible, la ley empírica de Cauchy $n(\lambda) = A + B/\lambda^2$ se ajusta bien: $n$ es mayor para el azul que para el rojo en unos $0.01$ o $0.02$ . El prisma y el arco iris, al final de este capítulo, viven de esa diferencia.

Observación 2.4 (Límites del modelo)

La luz es una onda, y una onda que atraviesa una abertura de anchura $a$ se abre en un ángulo del orden de $\lambda/a$ (difracción, Capítulo 5). Los rayos son una buena descripción mientras toda abertura, lente y obstáculo sea mucho mayor que la longitud de onda (de $0.4\,$ a $0.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ para la luz visible): un agujero de $1\,\mathrm{mm}$ abre un haz en $10^{-3}$ radianes, despreciable sobre una mesa de trabajo; uno de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ lo reparte por todo el semiespacio y ninguna imagen de rayos sobrevive. El núcleo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ de una fibra monomodo de telecomunicaciones ya está fuera del modelo.

Proposición 2.5 (Retorno inverso de la luz)

El trayecto de un rayo no depende del sentido en que la luz lo recorre: si la luz va de $A$ a $B$ por un camino, la luz que parte de $B$ sigue el mismo camino hasta $A$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

2.2 Reflexión y refracción

Definición 2.6 (Incidencia)

Un rayo que alcanza en un punto $I$ la superficie que separa dos medios (un dioptrio) forma con la normal a la superficie en $I$ el ángulo de incidencia $i_1$ . El plano de incidencia contiene al rayo incidente y a la normal.

Teorema 2.7 (Leyes de la reflexión y de la refracción (Snell–Descartes))

En la superficie que separa medios de índices $n_1$ (lado incidente) y $n_2$ :

los rayos reflejado y refractado están en el plano de incidencia;
el rayo reflejado forma con la normal el ángulo $i_1' = i_1$ , al otro lado de la normal;
el rayo refractado forma con la normal un ángulo $i_2$ tal que

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 .$

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 2.8 (De dónde vienen las leyes)

Las dos leyes se siguen del principio de Fermat: entre dos puntos, la luz sigue el camino de menor tiempo de recorrido. La reflexión con ángulos iguales es el camino quebrado más corto que toca el espejo; la ley de Snell es el camino que compensa un trayecto más largo en el medio rápido con uno más corto en el medio lento (Ejercicio 2.12). En el volumen del Año 2 ambas leyes se deducen de la naturaleza ondulatoria de la luz en una interfaz.

Reflexión y refracción en la superficie que separa dos medios. El rayo refractado se acerca a la normal cuando n_2 > n_1; los tres rayos y la normal están en un mismo plano, el plano de la figura. — Reflexión y refracción en la superficie que separa dos medios. El rayo refractado se acerca a la normal cuando $n_2 > n_1$ ; los tres rayos y la normal están en un mismo plano, el plano de la figura.

Proposición 2.9 (Hacia dónde se desvía el rayo)

Al entrar en un medio más refringente ( $n_2 > n_1$ ), un rayo se desvía acercándose a la normal ( $i_2 < i_1$ ); al entrar en uno menos refringente, alejándose de ella ( $i_2 > i_1$ ). Un rayo que sigue la normal la atraviesa sin desviarse.

Demostración. $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1$ , con $\sin$ creciente en $[0, \pi/2]$ . ∎

Ejemplo 2.10 (Profundidad aparente)

Una moneda descansa a profundidad $h$ bajo el agua ( $n = 1.33$ ), vista casi desde la vertical. Un rayo que sale de la moneda y llega a la superficie con un ángulo pequeño $i_2$ (en el agua) emerge con $i_1$ tal que $\sin i_1 = n\sin i_2$ ; para ángulos pequeños, $i_1 \approx n\,i_2$ . El ojo prolonga hacia atrás el rayo emergente: parece proceder de una profundidad $h'$ con $\tan i_1 \approx x/h'$ y $\tan i_2 \approx x/h$ para el mismo punto de la superficie, situado a distancia $x$ de la vertical, de modo que $h' = h\,i_2/i_1 = h/n$ . Una piscina de $2.0\,\mathrm{m}$ de fondo parece de $1.5\,\mathrm{m}$ ; un pez ve al pescador $1.33$ veces más alto de lo que está.

Teorema 2.11 (Reflexión total)

La luz que va de un medio de índice $n_1$ hacia otro menos refringente ( $n_2 < n_1$ ) solo se refracta si $i_1 \leq i_c$ , donde el ángulo límite cumple

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Para $i_1 > i_c$ no hay rayo refractado: la superficie refleja toda la luz — es la reflexión total.

Demostración. La ley de Snell exige $\sin i_2 = (n_1/n_2)\sin i_1 > \sin i_1$ ; esto supera $1$ en cuanto $\sin i_1 > n_2/n_1$ , y entonces no existe ningún ángulo $i_2$ . Para $i_1 = i_c$ el rayo refractado sale rasante a la superficie ( $i_2 = 90^\circ$ ). Que toda la energía se refleje entonces es un enunciado sobre intensidades, del que la óptica geométrica no se ocupa; el tratamiento ondulatorio del volumen del Año 2 lo confirma. ∎

Rayos procedentes de una fuente S bajo el agua. Por debajo del ángulo límite (i_c = 48.8 para agua–aire) parte de la luz sale; en i_c el rayo refractado sale rasante; más allá, la superficie es un espejo perfecto — el disco brillante de cielo del nadador tiene ese ángulo por frontera. — Rayos procedentes de una fuente $S$ bajo el agua. Por debajo del ángulo límite ( $i_c = 48.8^\circ$ para agua–aire) parte de la luz sale; en $i_c$ el rayo refractado sale rasante; más allá, la superficie es un espejo perfecto — el disco brillante de cielo del nadador tiene ese ángulo por frontera.

Ejemplo 2.12 (Diamantes y nadadores)

Vidrio–aire: $\sin i_c = 1/1.5$ , $i_c = 41.8^\circ$ , y por eso un prisma de $45^\circ$ refleja totalmente y sustituye a un espejo en unos prismáticos. Diamante–aire: $i_c = 24.4^\circ$ ; un diamante tallado atrapa la luz que entra por su cara superior y la devuelve casi entera por esa misma cara — el brillo es reflexión total, el fuego es dispersión. Agua–aire: $i_c = 48.8^\circ$ ; al mirar hacia arriba, un buceador ve el cielo entero dentro de un cono de semiángulo $48.8^\circ$ (la “ventana de Snell”) y, fuera de él, el fondo reflejado.

2.3 La fibra óptica

Definición 2.13 (Fibra de índice escalonado)

Una fibra óptica de índice escalonado es un núcleo cilíndrico de vidrio de índice $n_1$ envuelto en un revestimiento de índice $n_2$ ligeramente menor. La luz que entra en el núcleo dentro de un cono de semiángulo $\theta_a$ en torno al eje queda guiada por reflexiones totales sucesivas en la superficie núcleo–revestimiento. La apertura numérica es $\mathrm{NA} = \sin\theta_a$ .

Proposición 2.14 (Cono de aceptación y ensanchamiento intermodal)

Para una fibra cuya cara de entrada está en el aire,

\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} .

A lo largo de una longitud $L$ , el rayo guiado paralelo al eje y el rayo guiado más inclinado llegan con un retraso

\Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)

entre ellos (dispersión intermodal).

Demostración. Un rayo que entra formando un ángulo $\theta$ con el eje se refracta a $\theta'$ con $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ y alcanza el revestimiento con incidencia $i = 90^\circ - \theta'$ . El guiado exige $\sin i \geq n_2/n_1$ , es decir $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , es decir $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ ; basta multiplicar por $n_1$ . El rayo axial recorre $L$ a velocidad $c/n_1$ : $t_0 = Ln_1/c$ . El rayo más inclinado zigzaguea con ángulo $\theta'_{\max}$ tal que $\cos\theta'_{\max} = n_2/n_1$ ; su camino mide $L/\cos\theta'_{\max} = L n_1/n_2$ , luego $t_1 = L n_1^2/(n_2 c)$ , y $\Delta t = t_1 - t_0$ . ∎

Una fibra de índice escalonado. Un rayo que entra dentro del cono de aceptación de semiángulo _a alcanza el revestimiento con incidencia i ≥ i_c y queda guiado por reflexiones totales; el rayo axial sigue el camino más corto y el rayo guiado más inclinado el más largo — un pulso se ensancha en el tiempo. — Una fibra de índice escalonado. Un rayo que entra dentro del cono de aceptación de semiángulo $\theta_a$ alcanza el revestimiento con incidencia $i \geq i_c$ y queda guiado por reflexiones totales; el rayo axial sigue el camino más corto y el rayo guiado más inclinado el más largo — un pulso se ensancha en el tiempo.

Ejemplo 2.15 (Las cifras de una fibra de telecomunicaciones)

$n_1 = 1.480$ , $n_2 = 1.465$ : $\mathrm{NA} = \sqrt{2.190 - 2.146} = 0.21$ , $\theta_a = 12^\circ$ ; $i_c = 81.8^\circ$ , de modo que los rayos guiados no se apartan más de $8.2^\circ$ del eje. Ensanchamiento intermodal: $\Delta t/L = (1.48/c)(1.48/1.465 - 1) = 51\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . En $2\,\mathrm{km}$ un pulso se ensancha $0.1\,\text{µ}\mathrm{s}$ , lo que limita el caudal binario a unos $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ : el problema de fin de semana sigue esta limitación hasta su remedio, la fibra monomodo.

2.4 El espejo plano

Proposición 2.16 (Imagen en un espejo plano)

Todos los rayos procedentes de un punto $A$ y reflejados por un espejo plano parecen venir del punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano del espejo: $A'$ es la imagen de $A$ . Es virtual (no pasa luz por ella) y el espejo es rigurosamente estigmático: todo punto tiene una imagen puntual exacta.

Demostración. Un rayo que sale de $A$ y llega al espejo en $I$ con incidencia $i$ parte con la misma $i$ al otro lado de la normal. La recta reflejada y la normal en $I$ forman el ángulo $i$ , igual que la recta $IA$ ; por simetría respecto del plano del espejo, la recta reflejada es la simétrica de la recta $IA$ y pasa, por tanto, por el punto simétrico $A'$ — y esto para todo $I$ . ∎

Proposición 2.17 (Giro de un espejo)

Girar un espejo plano un ángulo $\alpha$ alrededor de un eje contenido en su plano y perpendicular al plano de incidencia gira el rayo reflejado un ángulo $2\alpha$ .

Demostración. La normal gira $\alpha$ , así que la incidencia pasa de $i$ a $i + \alpha$ ; el rayo reflejado, a $i + \alpha$ al otro lado de la nueva normal, se ha desplazado $\alpha$ (normal) $+ \alpha$ (ángulo) $= 2\alpha$ respecto de su dirección anterior. ∎

Ejemplo 2.18 (La palanca del galvanómetro)

Un espejito pegado a la bobina de un galvanómetro, iluminado por una lámpara y que proyecta una mancha sobre una escala a $2\,\mathrm{m}$ : un giro de $1\,\mathrm{mrad}$ de la bobina desplaza la mancha $2 \times 10^{-3} \times 2\,\mathrm{m} = 4\,\mathrm{mm}$ — una palanca óptica que amplifica sin rozamiento, el principio del galvanómetro de espejo y del escáner láser.

2.5 El prisma

Proposición 2.19 (Fórmulas del prisma)

Un rayo que atraviesa un prisma de ángulo $A$ e índice $n$ en el aire, en el plano perpendicular a la arista, con ángulos $i$ (entrada), $r$ , $r'$ (interiores) e $i'$ (salida) medidos desde las normales, cumple

\sin i = n \sin r, \qquad r + r' = A, \qquad \sin i' = n \sin r',

y resulta desviado en $D = i + i' - A$ . La desviación es mínima cuando el trayecto es simétrico, $i = i'$ , $r = r' = A/2$ ; entonces

n = \frac{\sin\frac{A + D_{\min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}} .

Demostración. La ley de Snell en cada cara; $r + r' = A$ porque las dos normales forman el ángulo $A$ (véase el cuadrilátero que determinan la arista, los dos puntos de incidencia y el corte de las normales). La desviación total vale $(i - r) + (i' - r') = i + i' - A$ . Por el retorno inverso de la luz, la desviación es la misma función de $i$ que de $i'$ ; si el mínimo se alcanzara en $i_0 \neq i_0'$ , se alcanzaría también en la incidencia invertida $i_0'$ , y habría dos mínimos, cosa que la monotonía de $D(i)$ a cada lado de su mínimo prohíbe: el mínimo está en $i = i'$ . Entonces $r = r' = A/2$ y $D_{\min} = 2i - A$ ; sustituir $i = (A + D_{\min})/2$ en $\sin i = n\sin(A/2)$ da la fórmula. ∎

Un rayo a través de un prisma de ángulo A: refractado hacia la base al entrar y de nuevo al salir, queda desviado en D = i + i' - A respecto de su dirección inicial (a trazos). Dibujado en la desviación mínima, el trayecto es simétrico. — Un rayo a través de un prisma de ángulo $A$ : refractado hacia la base al entrar y de nuevo al salir, queda desviado en $D = i + i' - A$ respecto de su dirección inicial (a trazos). Dibujado en la desviación mínima, el trayecto es simétrico.

Ejemplo 2.20 (Medir un índice)

Un prisma de $60^\circ$ se gira hasta que la desviación de un haz amarillo es la menor posible: $D_{\min} = 38.9^\circ$ . Entonces $n = \sin 49.45^\circ/\sin 30^\circ = 0.760/0.500 = 1.52$ . La desviación mínima es el procedimiento habitual para medir el índice de un vidrio — el mínimo, agudo y localizado girando el prisma en uno y otro sentido, es insensible a pequeños desajustes.

Observación 2.21 (Prismas delgados y espectroscopios)

Para $A$ pequeño e incidencia pequeña, los senos coinciden con los ángulos y $D \approx (n - 1)A$ , con independencia de $i$ : un prisma delgado desvía todos los rayos el mismo ángulo — una cuña de vidrio es un “prisma” que dobla la luz, y una lente resultará ser un apilamiento de esas cuñas. Como $n$ depende de $\lambda$ , la desviación también: un prisma despliega la luz blanca en un espectro (el azul es el más desviado), que es el corazón del espectroscopio de prisma.

2.6 El arco iris

Ejemplo 2.22 (El arco iris de Descartes)

Un rayo de sol entra en una gota de lluvia esférica con incidencia $i$ , se refracta ( $\sin i = n\sin r$ ), se refleja una vez en la cara posterior y sale tras una segunda refracción. Cada refracción lo desvía en $i - r$ y la reflexión interna en $\pi - 2r$ : desviación total $D(i) = \pi + 2i - 4r$ . Los rayos llenan la gota con todos los $i$ ; el observador ve la luz más intensa allí donde muchos rayos salen casi en la misma dirección, es decir donde $D$ es estacionaria: $\dd D/\dd i = 2 - 4\,\dd r/\dd i = 0$ . Al derivar la ley de Snell, $\cos i = n\cos r\,\dd r/\dd i$ , con lo que la condición se escribe $2\cos i = n\cos r$ ; elevando al cuadrado y usando $n^2\cos^2 r = n^2 - \sin^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ resulta

\cos^2 i = \frac{n^2 - 1}{3} .

Para el agua, $n = 1.333$ : $i = 59.4^\circ$ , $r = 40.2^\circ$ , $D_{\min} = 137.9^\circ$ . La luz vuelve hacia el lado del Sol formando $180^\circ - 137.9^\circ = 42^\circ$ con la dirección antisolar: el arco iris es un cono de semiángulo $42^\circ$ alrededor de la sombra de la cabeza del observador. El rojo ( $n = 1.331$ ) está a $42.4^\circ$ y el violeta ( $n = 1.343$ ) a $40.6^\circ$ — rojo por fuera, violeta por dentro.

El rayo de Descartes a través de una gota de lluvia: dos refracciones y una reflexión interna. Cerca de i = 59 la desviación D es estacionaria en 138, así que allí se acumulan los rayos: el arco iris primario, a 42 del punto opuesto al Sol. — El rayo de Descartes a través de una gota de lluvia: dos refracciones y una reflexión interna. Cerca de $i = 59^\circ$ la desviación $D$ es estacionaria en $138^\circ$ , así que allí se acumulan los rayos: el arco iris primario, a $42^\circ$ del punto opuesto al Sol.

2.7 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

Calcúlese la velocidad de la luz en el agua ( $n = 1.33$ ), en el vidrio ( $1.50$ ) y en el diamante ( $2.42$ ). ¿Cuánto tarda la luz en recorrer $1.0\,\mathrm{km}$ de una fibra de índice $1.48$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

$v = c/n$ : agua $2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vidrio $2.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , diamante $1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Fibra: $t = nL/c = 1.48 \times 10^3/3.00\times10^8 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Ejercicio 2.2 ★

Un rayo que viaja por el aire llega al agua ( $n = 1.33$ ) a $30^\circ$ y luego a $60^\circ$ de la normal: hállense los ángulos refractados. Un rayo que viaja por el agua llega a la superficie a $50^\circ$ : ¿qué ocurre?

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

$\sin i_2 = \sin i_1/1.33$ : $30^\circ \to 22.1^\circ$ ; $60^\circ \to 40.6^\circ$ . Desde el agua a $50^\circ$ : $1.33\sin 50^\circ = 1.02 > 1$ , no hay rayo refractado — reflexión total ( $i_c = 48.8^\circ$ ).

Ejercicio 2.3 ★

Calcúlese el ángulo límite para vidrio–aire ( $n = 1.50$ ), diamante–aire ( $2.42$ ) y agua–aire ( $1.33$ ). ¿Cuál es el diámetro angular del disco de cielo que ve un buceador?

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

$i_c = \arcsin(1/n)$ : vidrio $41.8^\circ$ , diamante $24.4^\circ$ , agua $48.8^\circ$ . El disco de cielo abarca $2 \times 48.8^\circ = 97.5^\circ$ .

Ejercicio 2.4 ★

Una persona de $1.70\,\mathrm{m}$ de estatura, con los ojos $10\,\mathrm{cm}$ por debajo de la coronilla, se sitúa ante un espejo vertical de pared. Hállese el espejo más pequeño (altura y posición de sus bordes sobre el suelo) en el que se vea el cuerpo entero. ¿Depende la respuesta de la distancia al espejo?

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

Ojos a $1.60\,\mathrm{m}$ . El rayo que sale de los pies llega al ojo tras reflejarse a media altura del ojo, $0.80\,\mathrm{m}$ ; el rayo que sale de la coronilla se refleja a mitad de camino entre la coronilla y los ojos, a $1.65\,\mathrm{m}$ . Espejo de $0.80\,\mathrm{m}$ a $1.65\,\mathrm{m}$ : altura $0.85\,\mathrm{m}$ , la mitad de la estatura — con independencia de la distancia (la regla del punto medio vale a cualquier distancia).

Ejercicio 2.5 ★★

Una moneda descansa a $1.2\,\mathrm{m}$ de profundidad en una piscina; ¿a qué profundidad la ve alguien que mira desde arriba? Los ojos de un pescador están $1.8\,\mathrm{m}$ sobre el agua: ¿a qué altura los ve un pez que mira hacia arriba? Justifíquense ambos con rayos de ángulo pequeño.

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

Con ángulos pequeños, la posición aparente es $h' = h/n$ mirando desde el medio menos refringente y $h' = nh$ desde el más refringente. Moneda: $1.2/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ . Pescador: $1.33 \times 1.8 = 2.4\,\mathrm{m}$ . Justificación: para un punto de la superficie a distancia horizontal $x$ , $\tan i_2 \approx i_2 = x/h$ y $\tan i_1 \approx i_1 = x/h'$ con $i_1 = n i_2$ .

Ejercicio 2.6 ★★

Un prisma tiene $A = 60^\circ$ y $n = 1.52$ . Calcúlese la desviación mínima. Muéstrese que un rayo solo puede emerger por la segunda cara si $A \leq 2 i_c$ , y compruébese que este prisma lo cumple.

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

$\sin\frac{A + D_{\min}}{2} = 1.52\sin 30^\circ = 0.760$ , luego $\frac{A + D_{\min}}{2} = 49.5^\circ$ y $D_{\min} = 38.9^\circ$ . La emergencia exige $r' \leq i_c$ ; además $\sin r = \sin i/n \leq 1/n$ da $r \leq i_c$ ; por tanto $A = r + r' \leq 2i_c$ . Aquí $i_c = \arcsin(1/1.52) = 41.1^\circ$ y $2i_c = 82.3^\circ > 60^\circ$ : se cumple.

Ejercicio 2.7 ★★

Una fibra de índice escalonado tiene $n_1 = 1.50$ y $n_2 = 1.48$ . Calcúlense su apertura numérica, su ángulo de aceptación, el retraso intermodal por kilómetro y el caudal binario máximo resultante en $1\,\mathrm{km}$ (tómese $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t)$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.50^2 - 1.48^2} = \sqrt{0.0596} = 0.244$ , $\theta_a = 14.1^\circ$ . $\Delta t/L = (1.50/c)(1.50/1.48 - 1) = 5.0\times10^{-9} \times 0.0135 = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ . En $1\,\mathrm{km}$ : $B_{\max} \approx 1/(2 \times 68\,\mathrm{ns}) = 7.4\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 2.8 ★★

Un prisma delgado de ángulo $10^\circ$ tiene $n = 1.510$ para el rojo y $1.530$ para el azul. Calcúlense la desviación de cada color y la anchura angular del espectro que produce.

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

$D \approx (n - 1)A$ : rojo $0.510 \times 10^\circ = 5.10^\circ$ , azul $5.30^\circ$ ; anchura del espectro $0.20^\circ$ .

Ejercicio 2.9 ★★

Un rayo llega a una lámina de vidrio de caras paralelas ( $n = 1.50$ , espesor $e = 2.0\,\mathrm{cm}$ ) a $45^\circ$ . Muéstrese que emerge paralelo a su dirección incidente, desplazado lateralmente $d = e\,\sin(i - r)/\cos r$ , y calcúlese $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

Entrada: $\sin r = \sin 45^\circ/1.5 = 0.471$ , $r = 28.1^\circ$ . Las dos caras son paralelas, así que la incidencia sobre la segunda cara vale $r$ y $\sin i' = n\sin r = \sin i$ : $i' = i$ , el rayo emergente es paralelo al incidente. A lo largo del trayecto interior, de longitud $e/\cos r$ , el desplazamiento perpendicular vale $(e/\cos r)\sin(i - r)$ : $d = 2.0 \times \sin 16.9^\circ/\cos 28.1^\circ = 0.66\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 2.10 ★★★

El arco iris secundario procede de rayos reflejados dos veces dentro de la gota. Muéstrese que $D = 2\pi + 2i - 6r$ , que la desviación estacionaria cumple $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ , y calcúlese el ángulo del arco secundario respecto de la dirección antisolar para $n = 1.333$ . ¿Dónde queda respecto del primario y en qué orden aparecen sus colores?

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

Dos refracciones ( $2(i - r)$ ) y dos reflexiones ( $2(\pi - 2r)$ ): $D = 2\pi + 2i - 6r$ . $\dd D/\dd i = 2 - 6\cos i/(n\cos r) = 0$ da $3\cos i = n\cos r$ , $9\cos^2 i = n^2 - 1 + \cos^2 i$ , $\cos^2 i = (n^2 - 1)/8$ . Con $n = 1.333$ : $\cos^2 i = 0.0971$ , $i = 71.8^\circ$ , $\sin r = 0.950/1.333$ , $r = 45.5^\circ$ , $D = 360^\circ + 143.7^\circ - 272.8^\circ = 230.9^\circ$ : el arco está a $230.9^\circ - 180^\circ = 51^\circ$ del punto antisolar, por fuera del primario ( $42^\circ$ ). El rojo ( $n = 1.331$ ) a $50.4^\circ$ y el violeta ( $1.343$ ) a $53.6^\circ$ : los colores se invierten, el violeta por fuera.

Ejercicio 2.11 ★★★

Sobre una carretera caliente, el aire justo encima del asfalto tiene índice $n_{\text{cal}} = 1.00026$ , y el aire más frío que hay sobre él $n_{\text{fr}} = 1.00029$ . Modélense las capas como una interfaz neta: hállese el ángulo rasante límite (medido desde la carretera) por debajo del cual un rayo procedente del cielo se refleja totalmente hacia arriba. El ojo del conductor está $1.2\,\mathrm{m}$ sobre la carretera: ¿a partir de qué distancia parece agua el asfalto?

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

$\sin i_c = 1.00026/1.00029 = 0.99997$ , $i_c = 89.56^\circ$ : los rayos que no se apartan más de $0.44^\circ = 7.7\,\mathrm{mrad}$ de la superficie de la carretera se reflejan totalmente (en general, el ángulo rasante vale $\approx \sqrt{2\Delta n/n}$ ). Desde $1.2\,\mathrm{m}$ de altura, la visual roza con ese ángulo más allá de $1.2/0.0077 \approx 160\,\mathrm{m}$ : la carretera refleja allí el cielo — el “charco”.

Ejercicio 2.12 ★★★

Los puntos $A$ (a altura $a$ sobre una interfaz) y $B$ (a profundidad $b$ bajo ella) están separados horizontalmente por $d$ ; la luz se propaga a $v_1$ por encima y a $v_2$ por debajo. Escríbase el tiempo de recorrido del camino quebrado que pasa por el punto de la interfaz de abscisa $x$ , y muéstrese que el tiempo es estacionario exactamente cuando $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ — la ley de Snell.

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

$t(x) = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ ; $t'(x) = \dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = \dfrac{\sin i_1}{v_1} - \dfrac{\sin i_2}{v_2}$ , nulo exactamente cuando $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$ , es decir $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ con $n = c/v$ .

Un arco iris doble: el arco primario a 42 con el rojo por fuera, el secundario, más débil, a 51 con los colores invertidos, y la banda oscura de Alejandro entre ambos — refracción, reflexión y dispersión en cada gota. — Un arco iris doble: el arco primario a $42{}^{\circ}$ con el rojo por fuera, el secundario, más débil, a $51{}^{\circ}$ con los colores invertidos, y la banda oscura de Alejandro entre ambos — refracción, reflexión y dispersión en cada gota.

2.8 Problema: el enlace de fibra óptica

Problema 2.1

Problema de fin de semana — un hilo de vidrio bajo el mar: hasta dónde y con qué rapidez puede un pulso de luz llevar un bit antes de que la geometría, el vidrio y la dispersión lo emborronen

Un enlace usa una fibra de índice escalonado con núcleo $n_1 = 1.480$ , revestimiento $n_2 = 1.465$ , radio del núcleo $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ , a la longitud de onda $\lambda_0 = 1550\,\mathrm{nm}$ . Dato: $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Parte I — La luz en el vidrio.

Defínase el índice y calcúlese la velocidad de la luz en el núcleo.
¿Cuánto tarda un pulso en recorrer $50\,\mathrm{km}$ a lo largo del eje?
Calcúlense la frecuencia de la luz y su longitud de onda dentro del núcleo.
¿Por qué se recubre el núcleo con un vidrio de índice menor en vez de dejarlo desnudo en el aire, lo que daría un salto de índice mayor?

Parte II — El guiado.

Calcúlese el ángulo límite en la superficie núcleo–revestimiento.
Dedúzcase el mayor ángulo que un rayo guiado puede formar con el eje.
Un rayo entra por la cara plana desde el aire con un ángulo $\theta$ respecto del eje. Muéstrese que queda guiado si $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , y calcúlese el ángulo de aceptación $\theta_a$ .
Dese la apertura numérica. ¿Por qué un salto de índice mayor facilita inyectar luz en la fibra?
La fibra se curva siguiendo un círculo de radio $R_b$ . Considérese un rayo que viaja paralelo al eje por el borde interior del núcleo: muéstrese que alcanza la pared exterior con incidencia $i$ tal que $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ , y hállese el menor $R_b$ para el que todavía queda guiado.

Parte III — Dispersión intermodal.

Exprésense los tiempos de recorrido del rayo axial y del rayo guiado más inclinado a lo largo de una longitud $L$ .
Dedúzcase el ensanchamiento $\Delta t$ por kilómetro y su valor en $L = 2\,\mathrm{km}$ .
Un bit es un pulso breve; dos pulsos consecutivos han de quedar separados al menos $2\Delta t$ para poder distinguirse. Estímese el caudal binario máximo en $2\,\mathrm{km}$ .
Muéstrese que el producto (caudal binario) $\times$ (longitud) es constante para esta fibra, y calcúlese en $\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .
En una fibra de índice gradual el índice disminuye de forma suave desde el eje hacia fuera. Explíquese cualitativamente por qué eso reduce el ensanchamiento intermodal.
Una fibra monomodo tiene un diámetro de núcleo de unos $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Compárese con $\lambda_0$ y explíquese por qué el modelo de rayos no puede describirla; ¿qué se gana?

Parte IV — Atenuación y dispersión cromática. La fibra atenúa la potencia en $\alpha = 0.20\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ a $1550\,\mathrm{nm}$ : $P(L) = P_0\,10^{-\alpha L/10}$ . El emisor lanza $P_0 = 1.0\,\mathrm{mW}$ ; el receptor necesita al menos $P_{\min} = 1.0\,\text{µ}\mathrm{W}$ . Como $n$ depende de $\lambda$ , dos longitudes de onda viajan a velocidades ligeramente distintas: una fuente de anchura espectral $\Delta\lambda$ da un ensanchamiento del pulso $\Delta t_c = D\,\Delta\lambda\,L$ con $D = 17\,\mathrm{ps}/(\mathrm{nm}\,\mathrm{km})$ .

¿Qué fracción de la potencia sobrevive a $100\,\mathrm{km}$ ?
Hállese la longitud máxima antes de necesitar un amplificador.
Los amplificadores se colocan cada $100\,\mathrm{km}$ : ¿qué margen, en dB y como cociente de potencias, deja eso para conectores y empalmes?
Calcúlese $\Delta t_c$ en $100\,\mathrm{km}$ para una fuente LED ( $\Delta\lambda = 40\,\mathrm{nm}$ ) y para un láser ( $\Delta\lambda = 0.10\,\mathrm{nm}$ ); dedúzcase el caudal binario máximo de cada una en esa longitud (mismo criterio que antes).
A $850\,\mathrm{nm}$ la sílice atenúa $2.0\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ . ¿Qué distancia permitiría allí el mismo balance de potencia? ¿Por qué es $1550\,\mathrm{nm}$ la longitud de onda de las telecomunicaciones?
El cable coaxial de cobre atenúa unos $30\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ a las frecuencias necesarias para $1\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ . Compárese la separación entre amplificadores con la de la fibra.

Parte V — El enlace completo.

Para la fibra de índice escalonado en $2\,\mathrm{km}$ , ¿qué efecto limita el caudal binario: el ensanchamiento intermodal, el cromático (fuente láser) o la atenuación? Dese el caudal binario límite.
Para una fibra monomodo en $100\,\mathrm{km}$ con la fuente láser: ¿qué efecto limita y a qué caudal binario?
El enlace monomodo transporta $80$ láseres separados $0.8\,\mathrm{nm}$ en longitud de onda (multiplexación en longitud de onda), cada uno al caudal binario de la pregunta anterior. ¿Capacidad total?
Fórmese el producto caudal-binario–longitud del enlace de índice escalonado y el de un solo canal monomodo; ¿por qué factor gana la fibra monomodo y qué único hecho físico lo explica?

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. $n = c/v$ ; $v_1 = 3.00\times10^8/1.480 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $t = Ln_1/c = 5.0\times10^4 \times 1.48/3.00\times10^8 = 247\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

3. $\nu = c/\lambda_0 = 1.94 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , invariable en el vidrio; $\lambda = \lambda_0/n_1 = 1047\,\mathrm{nm}$ .

4. Un núcleo desnudo solo guía mientras su superficie esté perfectamente limpia e intacta: el polvo, el agua o una mano sustituyen localmente el aire por un índice mayor y la luz se escapa, y las rayaduras la dispersan. El revestimiento es una interfaz sellada y controlada, con un salto de índice elegido a propósito.

5. $\sin i_c = 1.465/1.480 = 0.9899$ , $i_c = 81.8^\circ$ .

6. $90^\circ - 81.8^\circ = 8.2^\circ$ .

7. $\sin\theta = n_1\sin\theta'$ ; guiado si y solo si $\cos\theta' \geq n_2/n_1$ , es decir $\sin\theta' \leq \sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ , es decir $\sin\theta \leq \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = \sqrt{2.1904 - 2.1462} = 0.210$ : $\theta_a = 12.1^\circ$ .

8. $\mathrm{NA} = 0.210$ . Un salto mayor ensancha el cono, así que se capta más luz de una fuente divergente (un LED).

9. El rayo es tangente a la circunferencia de radio $R_b$ (borde interior) y alcanza la de radio $R_b + 2a$ (borde exterior); en el triángulo rectángulo centro–punto de tangencia–punto de impacto, el ángulo en el punto de impacto entre el rayo y el radio (la normal) cumple $\sin i = R_b/(R_b + 2a)$ . Guiado si y solo si $\sin i \geq n_2/n_1$ : $R_b \geq 2a\,\dfrac{n_2/n_1}{1 - n_2/n_1} = 50\,\text{µ}\mathrm{m} \times 97.6 = 4.9\,\mathrm{mm}$ . Con curvas más cerradas la luz se escapa.

10. $t_0 = Ln_1/c$ ; el rayo más inclinado recorre $L/\cos\theta'_{\max} = Ln_1/n_2$ , luego $t_1 = Ln_1^2/(n_2 c)$ .

11. $\Delta t/L = (n_1/c)(n_1/n_2 - 1) = 4.93\times10^{-9} \times 0.01024 = 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; en $2\,\mathrm{km}$ : $101\,\mathrm{ns}$ .

12. $B_{\max} \approx 1/(2\Delta t) = 1/202\,\mathrm{ns} \approx 5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

13. $B_{\max} L = 1/(2\,\Delta t/L) = 1/(2 \times 50.5\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}) \approx 10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ .

14. Los rayos alejados del eje recorren caminos más largos, pero en un índice menor y, por tanto, más deprisa; con un perfil bien elegido los dos efectos se compensan y todos los rayos llegan juntos.

15. $9\,\text{µ}\mathrm{m} \approx 6\lambda_0$ : el núcleo no es grande frente a la longitud de onda, así que domina la difracción y los rayos carecen de sentido. El tratamiento ondulatorio muestra un único patrón guiado: ningún ensanchamiento intermodal; solo quedan la dispersión cromática y la atenuación.

16. $100\,\mathrm{km}$ $\times$ $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ $= 20\,\mathrm{dB}$ : $P/P_0 = 10^{-2}$ , el uno por ciento.

17. $10\log(P_0/P_{\min}) = 30\,\mathrm{dB}$ , luego $L_{\max} = 30/0.20 = 150\,\mathrm{km}$ .

18. $100\,\mathrm{km}$ cuestan $20\,\mathrm{dB}$ : margen de $10\,\mathrm{dB}$ , un factor $10$ en potencia.

19. LED: $\Delta t_c = 17 \times 40 \times 100 = 68\,000\,\mathrm{ps} = 68\,\mathrm{ns}$ , $B \approx 1/136\,\mathrm{ns} = 7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ . Láser: $\Delta t_c = 170\,\mathrm{ps}$ , $B \approx 1/340\,\mathrm{ps} = 2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

20. $30/2.0 = 15\,\mathrm{km}$ , diez veces menos. La sílice es más transparente cerca de $1550\,\mathrm{nm}$ (su mínimo de atenuación), y allí existen amplificadores ópticos.

21. $30/30 = 1\,\mathrm{km}$ entre amplificadores, frente a $150\,\mathrm{km}$ : la fibra gana por un factor $150$ .

22. Intermodal: $101\,\mathrm{ns}$ ( $\to$ $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ); cromático (láser): $17 \times 0.1 \times 2 = 3.4\,\mathrm{ps}$ ; atenuación $0.4\,\mathrm{dB}$ , despreciable. Limita el ensanchamiento intermodal: $5\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

23. Sin ensanchamiento intermodal; cromático $170\,\mathrm{ps}$ $\to$ $2.9\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ ; atenuación $20\,\mathrm{dB}$ , dentro del balance. Limita la dispersión cromática, a unos $3\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

24. $80 \times 2.9 \approx 230\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ .

25. Índice escalonado: $10\,\mathrm{Mbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ ; canal monomodo: $2.9 \times 100 = 290\,\mathrm{Gbit}\,\mathrm{s}^{-1}\,\mathrm{km}$ — un factor de unos $3\times10^4$ . Un solo hecho: un único camino guiado y, por tanto, ningún ensanchamiento geométrico (intermodal) de los tiempos de llegada.

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