Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

26Electrostática: el campo y el teorema de Gauss

Frótese un globo con un jersey y se pega a la pared; péinese el pelo seco y el peine desvía un hilo fino de agua. Detrás de ambas cosas está la fuerza entre cargas eléctricas en reposo, la ley de Coulomb — una ley en el inverso del cuadrado como la gravitación, pero $10^{36}$ veces más intensa entre dos protones y de los dos signos, de modo que la materia es neutra con una precisión fantástica y los efectos residuales son lo que llamamos química, materiales y rayos. Este capítulo construye el concepto que hace manejable la ley, el campo eléctrico, muestra cómo leer un campo a partir de sus simetrías y deduce el único teorema que calcula en tres líneas los campos de las distribuciones simétricas: el teorema de Gauss. Su gemelo gravitatorio sale gratis al final.

Un rayo de nube a tierra: decenas de culombios traídos abajo en unas pocas descargas de cien kiloamperios — la Tierra eléctrica del problema de fin de semana.

26.1 Las cargas y la ley de Coulomb

Definición 26.1 (Carga eléctrica)

La carga eléctrica $q$ (culombio, $\mathrm{C}$ ) es una propiedad de la materia que puede tener uno u otro signo; se conserva (la carga total de un sistema aislado no cambia nunca) y está cuantizada en unidades de la carga elemental $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (protón $+e$ , electrón $-e$ ). Una distribución macroscópica se describe con una densidad de carga: lineal $\lambda$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ), superficial $\sigma$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ) o volumétrica $\rho$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ ), de modo que un pequeño elemento lleva $\dd q = \lambda\,\dd l$ , $\sigma\,\dd S$ o $\rho\,\dd\tau$ .

Teorema 26.2 (Ley de Coulomb)

Dos cargas puntuales $q_1$ en $M_1$ y $q_2$ en $M_2$ en reposo en el vacío ejercen una sobre otra las fuerzas

\vect F_{1 \to 2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vect e_{12} = -\vect F_{2 \to 1}, \qquad r = M_1M_2,\quad \vect e_{12} = \frac{\vect{M_1M_2}}{r},

repulsivas para cargas del mismo signo y atractivas para cargas de signos opuestos, con la permitividad del vacío $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ , es decir $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ . Las fuerzas de varias cargas se suman (superposición).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 26.3 (Cuán intensa)

Dos protones separados $1\,\mathrm{fm}$ se repelen con $8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/10^{-30} = 230\,\mathrm{N}$ — el peso de un niño, entre dos partículas de $10^{-27}$ kg; su atracción gravitatoria es $10^{36}$ veces menor. Dos gramos de electrones en un extremo de una habitación y los protones correspondientes en el otro se atraerían con $10^{25}$ N. La materia es neutra porque no le queda otra: todo desequilibrio lo corrigen fuerzas a las que ninguna estructura puede resistir.

26.2 El campo eléctrico

Definición 26.4 (Campo electrostático)

Una distribución de cargas en reposo crea en cada punto $M$ del espacio un campo eléctrico $\vect E(M)$ , definido por la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba $q$ colocada en $M$ : $\vect F = q\vect E(M)$ ( $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ $=$ $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ ). Una carga puntual $q_1$ situada en $O$ crea

\vect E(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vect e_r , \qquad r = OM ,

radial, saliente si $q_1 > 0$ ; una distribución crea la suma vectorial de los campos de sus elementos. Una línea de campo es una curva tangente en cada punto a $\vect E$ y orientada según él.

Proposición 26.5 (Cómo leer un mapa de campo)

Las líneas de campo salen de las cargas positivas y acaban en las negativas (o en el infinito); nunca se cortan (el campo es único en cada punto) y se aprietan donde el campo es intenso. Cuando hay dos cargas presentes, el número de líneas dibujadas en cada una es proporcional a su carga.

Líneas de campo de dos cargas opuestas (izquierda) y de dos cargas positivas iguales (derecha). Las líneas nacen en el + y mueren en el - o en el infinito; a la derecha se repelen entre sí y el campo se anula en el punto medio, por donde no pasa ninguna línea. — Líneas de campo de dos cargas opuestas (izquierda) y de dos cargas positivas iguales (derecha). Las líneas nacen en el $+$ y mueren en el $-$ o en el infinito; a la derecha se repelen entre sí y el campo se anula en el punto medio, por donde no pasa ninguna línea.

Ejemplo 26.6 (Anillo y segmento por suma directa)

En el eje de un anillo de radio $R$ que lleva $Q$ uniformemente, a la distancia $z$ de su centro, cada elemento $\dd q$ aporta $\dd q/4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)$ a lo largo de la recta que lo une con $M$ ; las componentes perpendiculares al eje se cancelan de dos en dos y las axiales se suman con el factor $z/\sqrt{R^2 + z^2}$ :

E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}} ,

nulo en el centro, máximo en $z = R/\sqrt2$ y $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ muy lejos. Un disco cargado uniformemente es un montón de anillos (Problema 26.1). La suma directa funciona siempre que la geometría permita hacer la integral; el resto del capítulo trata de evitarla.

26.3 Simetrías e invariancias

Proposición 26.7 (Principio de simetría)

El campo tiene las simetrías de sus fuentes. Si un plano $\Pi$ es plano de simetría de la distribución de cargas (la imagen especular de la distribución es ella misma), entonces en todo punto de $\Pi$ el campo está contenido en $\Pi$ ; si $\Pi$ es un plano de antisimetría (la imagen especular es la distribución con todas las cargas cambiadas de signo), el campo en los puntos de $\Pi$ es perpendicular a $\Pi$ . Si la distribución es invariante en una traslación o en una rotación, también lo es el campo: sus componentes no dependen de la coordenada correspondiente.

Demostración. $\vect E$ es una suma de términos $\dd q\,\vect e/4\pi\varepsilon_0r^2$ ; la imagen especular de la suma es la suma de las imágenes, y la imagen del campo de una distribución es el campo de la distribución imagen (un vector construido a partir de posiciones y cargas se transforma como las posiciones). En un plano de simetría el campo es igual a su propia imagen especular, luego está contenido en el plano; en un plano de antisimetría es igual al opuesto de su imagen, luego es normal a él. La invariancia es el mismo argumento con una traslación o una rotación. ∎

Método 26.8 (Hallar la forma de un campo antes de calcularlo)

Para el punto $M$ donde se quiere el campo: (1) enumérense los planos de simetría de las fuentes que contienen a $M$ — el campo está en su intersección; dos de esos planos fijan la dirección. (2) Enumérense las invariancias — dicen de qué coordenadas depende $\vect E$ . Así, un hilo infinito cargado uniformemente da $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en coordenadas cilíndricas, una esfera $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ en esféricas, y un plano infinito $\vect E = E(z)\,\vect e_z$ con $E(-z) = -E(z)$ . Solo entonces se calcula.

Las tres distribuciones simétricas del capítulo y las superficies de Gauss (a trazos) adaptadas a ellas: una esfera concéntrica, un cilindro coaxial y un cilindro achatado que atraviesa el plano. En cada una, el campo es o bien normal y de módulo uniforme, o bien tangente.

26.4 El flujo y el teorema de Gauss

Definición 26.9 (Flujo del campo)

Córtese una superficie $S$ en pequeños elementos de área $\dd S$ , cada uno con una normal unitaria $\vect n$ (para una superficie cerrada, la normal saliente). El flujo de $\vect E$ a través de $S$ es la suma

\Phi = \sum \vect E\cdot\vect n\,\dd S = \sum E_n\,\dd S \qquad (\mathrm{V}\,\mathrm{m}):

la componente normal del campo ponderada por el área — el “número de líneas de campo” que atraviesan $S$ , contadas positivamente cuando lo hacen en el sentido de $\vect n$ .

Teorema 26.10 (Teorema de Gauss)

El flujo del campo electrostático a través de cualquier superficie cerrada $S$ vale la carga total encerrada por $S$ dividida por $\varepsilon_0$ :

\Phi_{\text{sal}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} .

Las cargas exteriores a $S$ no aportan nada al flujo (sus líneas entran y vuelven a salir).

Demostración. Para una carga puntual $q$ en el centro de una esfera de radio $r$ : $\vect E$ es radial y de módulo $q/4\pi\varepsilon_0r^2$ en toda la esfera, luego $\Phi = E \times 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ — independiente de $r$ , porque el campo decrece como $1/r^2$ exactamente igual que crece el área. Que lo mismo valga para cualquier superficie cerrada que rodee a $q$ (el flujo a través de un elemento de superficie solo depende del ángulo sólido que subtiende desde $q$ ), que una carga exterior dé cero (subtiende dos veces cada ángulo sólido, con signos opuestos) y que los flujos de varias cargas se sumen, se admite aquí; la demostración completa está en el volumen del Año 2. ∎

Método 26.11 (Cómo usar el teorema de Gauss)

(1) A partir de las simetrías, escríbase la forma de $\vect E$ (dirección y variable de la que depende). (2) Elíjase una superficie de Gauss cerrada que pase por el punto $M$ y sobre la cual $\vect E$ sea en todas partes o bien normal y del mismo módulo $E(M)$ , o bien tangente: el flujo es entonces $E(M)$ por el área de la parte normal. (3) Cuéntese la carga interior. (4) Despéjese $E(M)$ . Funciona con esferas, cilindros infinitos y planos infinitos — y con nada más sin herramientas adicionales.

Proposición 26.12 (Los tres campos clásicos)

Esfera de radio $R$ con la carga $Q$ repartida uniformemente en su volumen: $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fuera ( $r > R$ ) — como si toda la carga estuviera en el centro — y $E(r) = \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ dentro, creciendo linealmente desde cero; continuo en $r = R$ . Si la carga está solo en la superficie, el campo interior es nulo.
Hilo infinito de carga lineal $\lambda$ : $E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ , radial.
Plano infinito de carga superficial $\sigma$ : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ a cada lado, normal al plano y saliendo de él si $\sigma > 0$ , independiente de la distancia. Al atravesar el plano, la componente normal salta en $\sigma/\varepsilon_0$ .

Demostración. (1) Esfera de radio $r$ : flujo $4\pi r^2E(r)$ ; carga interior $Q$ si $r > R$ y $Q(r/R)^3$ si $r < R$ . (2) Cilindro de radio $r$ y longitud $h$ : flujo $2\pi rh\,E(r)$ por la superficie lateral y ninguno por las bases (campo tangente); carga $\lambda h$ . (3) Cilindro achatado de sección $S$ que atraviesa el plano: flujo $2SE$ por las dos bases (el campo es impar en $z$ , de modo que ambas cuentan positivamente) y ninguno por el costado; carga $\sigma S$ . ∎

El campo de una esfera cargada frente a la distancia a su centro: lineal dentro y en 1/r2 fuera cuando la carga llena el volumen (línea continua); nulo dentro y el mismo fuera cuando está en la superficie (a trazos). Fuera, nada distingue la esfera de una carga puntual situada en su centro. — El campo de una esfera cargada frente a la distancia a su centro: lineal dentro y en $1/r^2$ fuera cuando la carga llena el volumen (línea continua); nulo dentro y el mismo fuera cuando está en la superficie (a trazos). Fuera, nada distingue la esfera de una carga puntual situada en su centro.

Ejemplo 26.13 (Dos planos: el condensador plano)

Dos planos paralelos con $+\sigma$ y $-\sigma$ : cada uno crea $\sigma/2\varepsilon_0$ saliendo de él (entrando en el negativo). Entre los planos los dos campos se suman y dan $\sigma/\varepsilon_0$ , dirigido del $+$ al $-$ ; fuera se cancelan. Con $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ entre ellos y cero fuera: el campo de un condensador cargado está confinado en su entrehierro (Capítulo 27).

Superposición para dos láminas opuestas. A la izquierda: los campos uniformes de cada lámina por separado (en rojo el de la positiva, en azul el que entra en la negativa). A la derecha: su suma, / _0 en el entrehierro y cero en el resto. — Superposición para dos láminas opuestas. A la izquierda: los campos uniformes de cada lámina por separado (en rojo el de la positiva, en azul el que entra en la negativa). A la derecha: su suma, $\sigma/\varepsilon_0$ en el entrehierro y cero en el resto.

26.5 La analogía gravitatoria

Proposición 26.14 (Teorema de Gauss para la gravitación)

La ley de Newton $\vect F = -Gm_1m_2\,\vect e_{12}/r^2$ tiene la forma de la de Coulomb con $q \to m$ y $1/4\pi\varepsilon_0 \to -G$ . El campo gravitatorio $\vect g$ (fuerza por unidad de masa) obedece por tanto a las mismas reglas de simetría y a

\Phi_{\text{sal}}(\vect g) = -4\pi G\,M_{\text{int}} .

En particular, un cuerpo de simetría esférica atrae a los puntos exteriores como si su masa estuviera en su centro, y el campo dentro de una esfera uniforme de radio $R$ y masa $M$ vale $g(r) = GMr/R^3$ , lineal en $r$ .

Demostración. Sustitúyase $Q/\varepsilon_0$ por $-4\pi GM$ en la demostración de Proposición 26.12; el signo menos dice que el flujo entra (la gravedad atrae). ∎

Ejemplo 26.15 (Dentro de la Tierra)

Para una Tierra uniforme, $g$ caería linealmente desde $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la superficie hasta cero en el centro; una piedra soltada por un túnel que atravesara el planeta oscilaría armónicamente con periodo $2\pi\sqrt{R/g} = 84\,\mathrm{min}$ — el periodo de un satélite rasante. La Tierra real tiene un núcleo denso, y $g$ en realidad sube hasta $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la frontera núcleo–manto antes de caer (Problema 26.1). Newton necesitó el teorema de las capas para aplicar su ley a los planetas; el teorema de Gauss lo da en una línea.

26.6 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Fuerza eléctrica y fuerza gravitatoria entre dos protones separados $2.0\,\mathrm{fm}$ ; su cociente. ¿Por qué se mantienen unidos entonces los núcleos?

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$ ; $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) = 4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$ ; cociente $1.2 \times 10^{36}$ . Los núcleos se mantienen porque la interacción fuerte, con alcance de femtómetros, vence incluso a esta repulsión.

Ejercicio 26.2 ★

Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ de una carga puntual de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ . La superficie de la Tierra soporta un campo de $100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ dirigido hacia abajo: signo y valor de la carga de la Tierra, tratada como una esfera de radio $6370\,\mathrm{km}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . Un campo dirigido hacia abajo es el de una carga negativa: $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times (6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ .

Ejercicio 26.3 ★

Dos cargas $+q$ en $x = \pm a$ sobre el eje $x$ . Campo sobre el eje $x$ para $|x| > a$ y sobre el eje $y$ ; muéstrese que sobre el eje $y$ el $E_y$ es máximo en $y = a/\sqrt2$ . Esbócense las líneas cerca del origen.

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

En el eje, $|x| > a$ : $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} + \dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$ , saliente. En el eje $y$ las componentes según $x$ se cancelan: $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$ ; $\dd E_y/\dd y \propto (y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ en $y = a/\sqrt2$ . En el origen el campo se anula; las líneas que salen de cada carga hacia la otra se desvían y escapan según $\pm y$ — un punto de silla.

Ejercicio 26.4 ★

Cargas $+2q$ en $x = 0$ y $-q$ en $x = a$ . ¿Dónde se anula el campo sobre el eje $x$ ? ¿Cuántas líneas de campo salen de $+2q$ por cada una que llega a $-q$ , y adónde van las demás?

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Entre las cargas los dos campos apuntan hacia $-q$ : no hay cero. A la izquierda de $+2q$ , $2q/x^2 > q/(x + a)^2$ siempre. Más allá de $-q$ , a la distancia $d$ de ella: $2q/(a + d)^2 = q/d^2$ , $a + d = \sqrt2\,d$ , $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$ . Salen dos líneas de $+2q$ por cada una que acaba en $-q$ ; la otra mitad va al infinito, donde el par parece una carga $+q$ .

Ejercicio 26.5 ★★

Un disco de radio $R$ lleva $\sigma$ uniformemente. A partir del resultado del anillo, muéstrese que en su eje $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ para $z > 0$ ; compruébense los dos límites $z \ll R$ y $z \gg R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

Anillo de radio $a$ , grosor $\dd a$ : $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ , $\dd E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$ ; al integrar: $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ . $z \ll R$ : $\sigma/2\varepsilon_0$ , el plano infinito. $z \gg R$ : $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$ , luego $E_z \approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ , la carga puntual.

Ejercicio 26.6 ★★

Un núcleo de oro ( $Z = 79$ , $R = 7.0\,\mathrm{fm}$ ) como esfera cargada uniformemente: campo en la superficie, en $R/2$ y a $1\,\mathrm{pm}$ . Compárese con el campo de ruptura del aire, $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ ; $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/ (7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; en $R/2$ , la mitad: $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; a $1\,\mathrm{pm}$ : $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — $10^{15}$ veces el campo de ruptura del aire, a una distancia donde viven los electrones.

Ejercicio 26.7 ★★

Campo de un hilo infinito por el teorema de Gauss. Un conductor de alta tensión de radio $1.0\,\mathrm{cm}$ : carga lineal a la que el campo en su superficie alcanza el valor de ruptura $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (inicio del efecto corona). Campo a $5\,\mathrm{m}$ entonces.

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

Cilindro de radio $r$ y longitud $h$ : $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$ , $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$ . Efecto corona cuando $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$ ; a $5\,\mathrm{m}$ , $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ .

Ejercicio 26.8 ★★

Dos placas paralelas de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ llevan $\pm1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ . Campo entre ellas; fuerza sobre una placa (el campo que actúa sobre ella es solo el de la otra placa: ¿por qué?); presión sobre las placas.

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Una placa no ejerce fuerza neta sobre sí misma (las contribuciones de su propio campo se cancelan de dos en dos); el campo de la otra placa en su posición vale $\sigma/2\varepsilon_0$ , luego $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) = 5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$ , atractiva; presión $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$ .

Ejercicio 26.9 ★★

Cable coaxial: conductor interior de radio $a$ con $+\lambda$ y malla exterior de radio $b$ con $-\lambda$ . Campo en las tres regiones por el teorema de Gauss. $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}$ : campo en la superficie del conductor interior.

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

$r < a$ : la carga del conductor interior está en su superficie, no hay carga dentro, $E = 0$ . $a < r < b$ : $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$ . $r > b$ : la carga encerrada es $\lambda - \lambda = 0$ , $E = 0$ — el cable no radia ningún campo estático. En $r = a$ : $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .

Ejercicio 26.10 ★★★

Una corona esférica gruesa $R_1 < r < R_2$ lleva $Q$ uniformemente en su volumen. Campo en las tres regiones; compruébese la continuidad en $R_1$ y $R_2$ ; ¿dónde es máximo? Esbócese $E(r)$ . Una carga positiva colocada en la cavidad: ¿qué fuerza siente?

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$ . $r < R_1$ : $E = 0$ . $R_1 < r < R_2$ : $4\pi r^2E = \rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$ , luego $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\, \dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$ . $r > R_2$ : $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ . En $R_1$ ambos lados dan $0$ ; en $R_2$ ambos dan $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$ . En la corona, $E \propto r - R_1^3/r^2$ crece, de modo que el máximo está en $R_2$ , tras el cual cae como $1/r^2$ . En la cavidad el campo es nulo: una carga allí no siente fuerza alguna — esté donde esté.

Ejercicio 26.11 ★★★

La gravedad dentro de la Tierra. Núcleo: radio $3480\,\mathrm{km}$ , densidad $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; manto hasta $6370\,\mathrm{km}$ , densidad $4500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . (a) Masa del núcleo, del manto y total (compárese con $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ). (b) $g$ en la superficie y en la frontera núcleo–manto. (c) Muéstrese que $g$ crece con la profundidad en el manto si la densidad de este es menor que $\tfrac23$ de la densidad media de lo que hay debajo, y compruébese.

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

(a) Núcleo $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; manto $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ; total $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , con un error del $1\%$ . (b) Superficie $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; frontera $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $g = GM(r)/r^2$ con $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$ : $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$ , donde $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ es la densidad media por debajo de $r$ . $g$ crece con la profundidad ( $\dd g/\dd r < 0$ ) si y solo si $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$ . Justo por debajo de la superficie $\bar\rho = 5500$ y $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$ : $g$ baja primero un poco; en la frontera del núcleo $\bar\rho = 11000$ y $7300 > 4500$ : allí sube, hasta $10.7$ .

Ejercicio 26.12 ★★★

El átomo de Thomson. Modélese el átomo de hidrógeno como una esfera positiva uniforme de carga $+e$ y radio $R = 0.10\,\mathrm{nm}$ con el electrón libre en su interior. (a) Fuerza sobre el electrón a la distancia $r$ del centro. (b) Muéstrese que oscila armónicamente y calcúlense la frecuencia y la longitud de onda de la luz que emitiría. (c) Compárese con las rayas ultravioletas del hidrógeno ( $122\,\mathrm{nm}$ y menores) y coméntese en qué acierta y en qué falla el modelo (Capítulo 30).

Solución

Solución de Ejercicio 26.12.

(a) Dentro, $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ saliente; sobre el electrón $\vect F = -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$ : un muelle. (b) $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3} = \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$ . (c) Asombrosamente cerca de la raya de $122\,\mathrm{nm}$ : el tamaño y la intensidad del átomo son correctos. Pero el modelo da una sola frecuencia, no una serie, y el núcleo no es una bola de $0.1\,\mathrm{nm}$ , sino un punto de $10^{-15}$ m — y un electrón clásico en órbita radiaría toda su energía en nanosegundos. El remedio es Capítulo 30.

26.7 Problema: la Tierra eléctrica

Problema 26.1

Problema de fin de semana — el campo de buen tiempo, la nube de tormenta, la descarga del rayo y el teorema de Gauss aplicado a la gravitación

Datos: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ , $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , radio de la Tierra $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , superficie $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$ , $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — El campo de buen tiempo. Con tiempo despejado el campo en el suelo vale $E_0 = 100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ y apunta hacia abajo.

Sentido de la fuerza sobre un electrón libre en el suelo; signo de la carga de la Tierra.
Trátese la Tierra como una esfera cargada uniformemente: dese, por el teorema de Gauss, su carga total.
Densidad superficial de carga del suelo; número de electrones en exceso por centímetro cuadrado.
Fuerza sobre un grano de polvo de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que lleva $100$ cargas elementales; compárese con su peso.
Las medidas muestran que el campo baja a unos $5\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{km}$ . Aplíquese el teorema de Gauss a una columna vertical de sección $1\,\mathrm{m}^{2}$ entre el suelo y $10\,\mathrm{km}$ : signo y cantidad de la carga que lleva el aire por metro cuadrado.
Densidad volumétrica media de carga de ese aire y número correspondiente de cargas elementales por metro cúbico. (El aire contiene unos $10^9$ iones de cada signo por metro cúbico: ¿qué fracción de desequilibrio es esta?)
El aire tiene una pequeña conductividad $\gamma = 2 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , de modo que baja una densidad de corriente $\gamma E_0$ . Corriente total de buen tiempo en todo el globo; tiempo que tardaría en neutralizar la carga de la Tierra. Conclúyase.

Parte II — La nube de tormenta. Modélese una nube de tormenta como dos discos horizontales de radio $R = 3\,\mathrm{km}$ : $-Q$ a $3\,\mathrm{km}$ de altitud y $+Q$ a $9\,\mathrm{km}$ , con $Q = 40\,\mathrm{C}$ .

Campo en el eje de un anillo de radio $a$ que lleva $q$ , a la distancia $z$ de su centro (simetría y después suma).
Dedúzcase, sumando anillos, el campo en el eje de un disco de radio $R$ y carga superficial $\sigma$ : $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .
Límites $z \ll R$ y $z \gg R$ ; interprétese cada uno.
Carga superficial del disco inferior; campo que crea en el suelo justo debajo (dirección y valor).
Campo del disco superior en el mismo punto; campo total en el suelo bajo la tormenta. El suelo es un conductor y sus cargas inducidas duplican aproximadamente el resultado (admitido): compárese con los $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos bajo las tormentas y con el valor de buen tiempo.
Flujo del campo a través de una superficie cerrada que encierra toda la nube; y a través de otra que encierra solo el disco inferior.
Campo a media distancia entre los dos discos ( $6\,\mathrm{km}$ ) y su dirección; compárese con el campo de ruptura del aire a esa altitud, de unos $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .
Si los $40\,\mathrm{C}$ estuvieran concentrados en una esfera de radio $500\,\mathrm{m}$ : campo en su superficie. ¿Por qué sigue siendo una cuestión abierta el inicio del rayo?

Parte III — La descarga. Una descarga de retorno lleva $5\,\mathrm{C}$ al suelo en $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ por un canal de $3\,\mathrm{km}$ de largo; tómese el campo a lo largo del canal igual a $10^5$ V/m.

Corriente media.
Trabajo de la fuerza eléctrica sobre la carga transferida; potencia durante la descarga; compárese con el consumo medio de potencia de la humanidad, de unos $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ .
El canal tiene un radio de $2\,\mathrm{cm}$ : masa de aire que contiene ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y temperatura que alcanzaría si toda la energía lo calentara a volumen constante ( $c_V = 720\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). Las temperaturas reales del canal rondan los $30\,000\,\mathrm{K}$ : ¿adónde va el resto?
El trueno: retraso por kilómetro y razón de que el sonido de un canal de $3\,\mathrm{km}$ retumbe durante segundos.
En todo el mundo se producen unas $50$ descargas de nube a tierra por segundo: corriente que llevan hacia abajo; compárese con la Parte I y complétese la imagen del “circuito global”.

Parte IV — El teorema de Gauss aplicado a la gravitación.

Escríbase el teorema de Gauss para el campo gravitatorio $\vect g$ y justifíquese la constante con el caso de una masa puntual.
Tierra uniforme: $g(r)$ en el interior; valor en $r = R_E/2$ .
Tierra real, con un núcleo de radio $3480\,\mathrm{km}$ y densidad $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $g$ en la frontera núcleo–manto; compárese con la superficie.
Una piedra soltada por un túnel sin rozamiento que atraviesa una Tierra uniforme: ecuación del movimiento, periodo de la oscilación y rapidez en el centro.
Resúmase: en cada una de las cuatro partes, ¿qué sustituyó el teorema de Gauss y qué cuatro números vale la pena recordar?

Solución

Solución de Problema 26.1.

1. $\vect F = -e\vect E$ : hacia arriba. Un campo dirigido hacia abajo en la superficie es el de una carga negativa: la Tierra es negativa.

2. Esfera de radio $R_E$ , $E_n = -100$ : $Q = 4\pi\varepsilon_0R_E^2E_n = 1.11 \times 10^{-10} \times 4.06 \times 10^{13} \times (-100) = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ .

3. $\sigma = \varepsilon_0E_n = -8.9 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ; $8.9 \times 10^{-10}/1.6 \times 10^{-19} = 5.5 \times 10^9$ electrones por metro cuadrado, $5.5 \times 10^5$ por centímetro cuadrado.

4. $F = 100e \times 100 = 1.6 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ ; peso $10^{-9} \times 9.8 = 9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : seis millones de veces mayor.

5. Normales salientes: arriba $E_n = -5$ , abajo $E_n = +100$ , los costados cero: $\Phi = 95\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$ , luego $Q = 95\varepsilon_0 = +8.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}$ por metro cuadrado — carga espacial positiva, que casi cancela los $-8.9 \times 10^{-10}$ del suelo.

6. $\rho = 8.4 \times 10^{-10}/10^4 = 8.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ : $5 \times 10^5$ cargas elementales por metro cúbico; frente a $10^9$ iones de cada signo, un desequilibrio de $5 \times 10^{-4}$ .

7. $J = \gamma E_0 = 2 \times 10^{-12}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $I = J \times 5.1 \times 10^{14} = 1.0\,\mathrm{kA}$ ; $Q/I = 4.5 \times 10^5/1000 = 450\,\mathrm{s}$ . La Tierra quedaría neutra en ocho minutos: algo la recarga sin parar.

8. El eje está contenido en todos los planos que lo contienen, y todos son de simetría: $\vect E$ es axial. Cada $\dd q$ da $\dd q/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)$ según su propia dirección, cuya parte axial es la fracción $z/\sqrt{a^2 + z^2}$ : $E_z = qz/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}$ .

9. $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ : $E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R \dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .

10. $z \ll R$ : $\sigma/2\varepsilon_0$ , el plano infinito (el valor de Gauss); $z \gg R$ : $\sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ , la carga puntual.

11. $\sigma = -40/(\pi \times 9 \times 10^6) = -1.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ; $\sigma/2\varepsilon_0 = 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; a $z = 3\,\mathrm{km}$ , $1 - 3/\sqrt{18} = 0.29$ : $E = 2.3 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , dirigido hacia arriba, hacia la carga negativa.

12. Disco superior, $z = 9\,\mathrm{km}$ : $8.0 \times 10^4 \times (1 - 9/\sqrt{90}) = 4.1 \times 10^{3}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia abajo. Neto: $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia arriba, unos $4 \times 10^4$ con las cargas inducidas del suelo: el orden correcto de los $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos (la carga real está más repartida y en parte apantallada); invertido y cien veces el campo de buen tiempo.

13. Nube entera: carga neta nula, flujo nulo. Solo el disco inferior: $-Q/\varepsilon_0 = -40/8.85 \times 10^{-12} = -4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$ .

14. Cada disco está a $3\,\mathrm{km}$ y da $2.3 \times 10^4$ ; el superior ( $+$ ) empuja hacia abajo y el inferior ( $-$ ) tira hacia abajo: $4.7 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hacia abajo — treinta veces por debajo de la ruptura.

15. $Q/4\pi\varepsilon_0R^2 = 8.99 \times 10^9 \times 40/(2.5 \times 10^5) = 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ : solo una carga apretada en medio kilómetro llega a la ruptura, y los campos medidos dentro de la nube son diez veces demasiado débiles. El refuerzo local en gotas y cristales de hielo, o los electrones desbocados que siembran los rayos cósmicos, son los candidatos — cómo arranca un relámpago sigue en discusión.

16. $I = 5/(5 \times 10^{-5}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{A}$ .

17. $W = QEd = 5 \times 10^5 \times 3000 = 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ( $420\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ); $P = 1.5 \times 10^9/5 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ — una vez y media la potencia de toda la humanidad, durante cincuenta microsegundos.

18. Volumen $\pi(0.02)^2 \times 3000 = 3.8\,\mathrm{m}^{3}$ , masa $4.5\,\mathrm{kg}$ ; $\Delta T = 1.5 \times 10^9/(4.5 \times 720) = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{K}$ si nada escapara. El canal estalla hacia fuera (la onda de choque es el trueno), radia luz y ondas de radio, ioniza y disocia el aire: calentar el canal final hasta $3 \times 10^4$ K es una pequeña parte de la factura.

19. $2.9\,\mathrm{s}$ por kilómetro. El sonido sale a la vez de todos los puntos de un canal de $3\,\mathrm{km}$ , desde distancias que difieren en kilómetros: llega repartido en varios segundos — el retumbo.

20. $50 \times 5 = 250\,\mathrm{A}$ llevados al suelo; con las corrientes más discretas de las tormentas (descarga por puntas bajo las nubes, lluvia cargada) el total alcanza el kiloamperio de la Parte I: las tormentas son los generadores de un circuito global cuyo retorno es el aire de buen tiempo.

21. $\Phi_{\text{sal}}(\vect g) = -4\pi GM_{\text{int}}$ : para una masa puntual $g = -GM/r^2$ sobre una esfera de área $4\pi r^2$ , el flujo vale $-4\pi GM$ , independiente de $r$ ; lo demás sigue como en Coulomb.

22. $g(r) = g_0r/R_E$ ; en $R_E/2$ : $4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

23. $M_{\text{núcleo}} = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $g = GM_{\text{núcleo}}/R_c^2 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — mayor que en la superficie: el manto de encima es más ligero que la media de lo que hay debajo.

24. $m\ddot x = -mg_0x/R_E$ : $\omega = \sqrt{g_0/R_E} = 1.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 2\pi/\omega = 5060\,\mathrm{s} = 84\,\mathrm{min}$ , $v_{\max} = \omega R_E = 7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la rapidez orbital de un satélite rasante, cuyo periodo es el mismo.

25. Sustituyó la suma sobre todas las cargas de la Tierra (I), sobre los iones del aire (I) y sobre todas las capas de roca (IV) — y en II fijó los límites de la suma sobre el disco. Recuérdense: $-5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{kA}$ para la Tierra de buen tiempo; $40\,\mathrm{C}$ y $10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ bajo una tormenta; $10^{5}\,\mathrm{A}$ y $10^{9}\,\mathrm{J}$ por descarga; $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en la frontera del núcleo.

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