Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

4Instrumentos ópticos y el ojo

Desde la última fila de una sala de conciertos, unos prismáticos acercan el rostro de la cantante hasta el alcance del brazo; un microscopio convierte una gota de agua de estanque en un zoo; un teléfono del grosor de un dedo fotografía la Vía Láctea. Cada uno de esos instrumentos son unas pocas lentes delgadas dispuestas con un único fin: presentar al ojo, o a un sensor, una imagen mayor, más luminosa o más nítida que la que el ojo podría formar por sí solo. Por eso el capítulo empieza por el ojo mismo — lo que puede y lo que no puede hacer — y después construye la lupa, el microscopio, el anteojo y la cámara a partir de la relación de conjugación del capítulo anterior.

El refractor de 40 pulgadas del Observatorio Yerkes (1897), todavía hoy el mayor telescopio de lente jamás construido: un objetivo de un metro y un tubo de diecinueve. Por encima de ese tamaño una lente cede bajo su propio peso, y la astronomía pasó a los espejos.

Un pequeño refractor al atardecer: un objetivo de distancia focal larga y un ocular de distancia focal corta — el anteojo afocal de este capítulo, apuntado a la Luna de su problema de fin de semana.

4.1 El ojo

Definición 4.1 (Ojo reducido)

El ojo reducido modela la córnea y el cristalino como una única lente delgada convergente de distancia focal variable, y la retina como una pantalla situada a una distancia fija $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ por detrás. Unos músculos cambian la curvatura del cristalino para mantener sobre la retina la imagen del objeto observado: es la acomodación. El iris, delante del cristalino, es un diafragma variable de $2\,$ a $8\,\mathrm{mm}$ de diámetro, la pupila.

Definición 4.2 (Punto remoto, punto próximo)

El punto remoto (punctum remotum) es el punto objeto que se ve nítido sin acomodar; el punto próximo (punctum proximum), el punto más cercano que se ve nítido con la acomodación máxima. Para un ojo normal (emétrope) el punto remoto está en el infinito y el punto próximo a $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$ , la distancia convencional de visión distinta. La diferencia de vergencias necesaria para pasar de uno a otro es la amplitud de acomodación: unas $4\,\delta$ en un adulto joven, que disminuyen con la edad.

Ejemplo 4.3 (La vergencia del ojo)

Objeto lejano: imagen a $d = 17\,\mathrm{mm}$ significa $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 59\,\delta$ . Objeto a $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$ . Cuatro dioptrías de acomodación sobre sesenta: el cristalino añade solo un pequeño porcentaje al trabajo de la córnea, pero ese pequeño porcentaje lo es todo para leer.

Proposición 4.4 (Defectos y correcciones)

Un ojo miope es demasiado convergente: su punto remoto está a una distancia finita $D_r$ ; una lente divergente de distancia focal $f' = -D_r$ (llevada junto al ojo) conjuga el infinito con el punto remoto y restituye la visión lejana. Un ojo hipermétrope no es bastante convergente: su punto remoto es virtual (detrás del ojo) y su punto próximo está demasiado lejos; lo corrige una lente convergente. La presbicia es la pérdida de acomodación con la edad: el punto próximo se aleja y la lectura exige lentes convergentes, sea cual sea el punto remoto.

Demostración. Una lente pegada al ojo y el ojo forman un sistema cuyo objeto ha de ser algo que el ojo pueda ver: la lente debe convertir un objeto en el infinito en una imagen virtual en el punto remoto, $\overline{OA'} = -D_r$ para $\overline{OA} = -\infty$ , luego $f' = \overline{OA'} = -D_r$ . Los demás casos son el mismo argumento con los puntos pertinentes. ∎

El ojo reducido: una lente delgada de distancia focal variable y una retina 17\, mm por detrás. Relajado, enfoca los objetos lejanos; al acomodar acorta f' para llevar a la retina la imagen de un objeto próximo. La imagen está invertida — el cerebro la endereza. — El ojo reducido: una lente delgada de distancia focal variable y una retina $17\,\mathrm{mm}$ por detrás. Relajado, enfoca los objetos lejanos; al acomodar acorta $f'$ para llevar a la retina la imagen de un objeto próximo. La imagen está invertida — el cerebro la endereza.

Definición 4.5 (Tamaño angular y resolución)

El tamaño angular de un objeto de altura $h$ situado a una distancia $D$ es $\theta \approx h/D$ (ángulos pequeños). El ojo distingue dos puntos solo si su separación angular supera su resolución angular, de unos $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (un minuto de arco): la separación de los conos y la difracción en la pupila fijan por igual ese límite.

Observación 4.6 (Para qué sirve un instrumento)

Llevado al punto próximo, un detalle de $1\,\mathrm{mm}$ subtiende $1/250 = 4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : trece veces el límite de resolución; un detalle de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtiende $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ y es invisible. Los instrumentos que miran objetos próximos (lupa, microscopio) aumentan el tamaño angular más allá de lo que permite acercar el objeto; los instrumentos para objetos lejanos (anteojo) aumentan el tamaño angular de lo que no se puede acercar; la cámara sustituye la retina por un sensor capaz de acumular luz durante segundos y de ampliarse después.

4.2 La lupa

Definición 4.7 (Aumento angular)

Para un instrumento utilizado por el ojo, el aumento angular es $G = \theta'/\theta$ , donde $\theta'$ es el tamaño angular de la imagen vista a través del instrumento y $\theta$ el tamaño angular del objeto visto a simple vista — en el punto próximo $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ para un objeto cercano, y en su sitio para uno lejano.

Proposición 4.8 (La lupa)

Una lente convergente de distancia focal $f' < d_m$ con el objeto en su plano focal objeto da una imagen en el infinito, vista sin acomodar, con

G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .

Demostración. Objeto $AB$ de altura $h$ en el plano focal: los rayos que salen de $B$ emergen paralelos, con el ángulo del rayo que pasa por $O$ , $\theta' = h/f'$ . A simple vista, en el mejor caso: $\theta = h/d_m$ . El cociente vale $d_m/f'$ . ∎

Ejemplo 4.9 (La lupa de un relojero)

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$ , que se vende como “ $10\times$ ”. Un detalle de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtiende entonces $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , de sobra resuelto. Subir más $G$ exige una $f'$ de pocos milímetros, una lente diminuta pegada al ojo — el límite de la lente única y la razón de que exista el microscopio.

4.3 El microscopio

Definición 4.10 (Microscopio compuesto)

Un microscopio es un objetivo $L_1$ de distancia focal corta $f_1'$ que forma una imagen intermedia real y agrandada de un objeto próximo en el plano focal objeto de un ocular $L_2$ (de distancia focal $f_2'$ ), que actúa como lupa. La distancia $\Delta = \overline{F_1'F_2}$ entre el foco imagen del objetivo y el foco objeto del ocular es el intervalo óptico, normalizado en $160\,\mathrm{mm}$ en los instrumentos clásicos.

Proposición 4.11 (Aumento de un microscopio)

Con la imagen final en el infinito,

\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'}, \qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .

Demostración. La imagen intermedia $A_1B_1$ está en el plano focal objeto del ocular, es decir en $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; la relación de Newton da $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$ . El ocular muestra entonces $A_1B_1$ (de altura $\abs{\gamma_1} h$ ) en el infinito bajo el ángulo $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$ , frente a $\theta = h/d_m$ a simple vista. ∎

El microscopio: el objetivo forma una imagen intermedia real, agrandada e invertida A_1B_1 en el plano focal objeto del ocular; el ocular la envía al infinito, donde el ojo relajado la observa bajo un ángulo grande. — El microscopio: el objetivo forma una imagen intermedia real, agrandada e invertida $A_1B_1$ en el plano focal objeto del ocular; el ocular la envía al infinito, donde el ojo relajado la observa bajo un ángulo grande.

Ejemplo 4.12 (Un microscopio escolar)

Objetivo $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , ocular $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$ , $G_2 = 10$ , $G = 400$ . El objeto se sitúa a $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$ : a $4.1\,\mathrm{mm}$ del objetivo. Enfocar consiste en mover el tubo entero fracciones de milímetro.

Observación 4.13 (El límite de resolución)

Aumentar sin límite no serviría de nada: la luz es una onda, y un objetivo que acepta rayos dentro de un semiángulo $u$ (en un medio de índice $n$ ) no puede separar dos puntos más próximos que $\lambda/(2n\sin u)$ — el tratamiento ondulatorio del volumen del Año 2 lo deduce. Con $n\sin u \approx 1.4$ (inmersión en aceite) y $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , el límite ronda $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Para hacer visible ese detalle al ojo ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$ , es decir $75\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) basta un aumento de unos $400$ ; más allá de $1000$ la imagen solo es mayor, no más rica: es aumento vacío.

4.4 El anteojo astronómico

Proposición 4.14 (Anteojo refractor)

Un objetivo $L_1$ y un ocular $L_2$ con $F_1' = F_2$ forman un sistema afocal: una estrella (en el infinito) se ve en el infinito, el ojo relajado la observa, y

G = -\frac{f_1'}{f_2'} .

La imagen del borde del objetivo a través del ocular es la pupila de salida: un disco brillante de diámetro $D/\abs G$ situado $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ detrás del ocular, donde ha de colocarse la pupila del ojo para recibir toda la luz.

Demostración. $G$ se dedujo en Proposición 3.18. El objetivo, visto desde $L_2$ , es un objeto situado en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ ; Descartes da $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ , y el aumento $\overline{O_2P'}/ \overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ lleva el diámetro $D$ a $D/\abs G$ . Todo rayo que entra por el objetivo sale por la pupila de salida, porque cada punto del objetivo tiene allí su imagen. ∎

El anteojo astronómico: el objetivo enfoca en el plano focal común un haz paralelo procedente de una estrella y el ocular lo devuelve al infinito, con un ángulo G veces mayor. Toda la luz recogida por el objetivo de diámetro D pasa por la pupila de salida, de diámetro D/ G. — El anteojo astronómico: el objetivo enfoca en el plano focal común un haz paralelo procedente de una estrella y el ocular lo devuelve al infinito, con un ángulo $\abs G$ veces mayor. Toda la luz recogida por el objetivo de diámetro $D$ pasa por la pupila de salida, de diámetro $D/\abs G$ .

Proposición 4.15 (Lo que gana un anteojo)

Frente al ojo desnudo (pupila $d_p$ ):

tamaño angular: multiplicado por $\abs G$ ;
luz recogida de una fuente puntual: multiplicada por $(D/d_p)^2$ , siempre que la pupila de salida no sea mayor que la pupila del ojo, es decir $\abs G \geq D/d_p$ ;
resolución angular: la difracción en el objetivo la limita a $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (criterio de Rayleigh), muy por debajo del $\epsilon$ del ojo; el aumento que hace visible ese límite es $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , y aumentos mayores solo agrandan la mancha.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 4.16 (El refractor de 150 milímetros de un aficionado)

$D = 150\,\mathrm{mm}$ , $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ , ocular de $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; pupila de salida $3.1\,\mathrm{mm}$ ; ganancia de luz $(150/7)^2 \approx 460$ frente a una pupila adaptada a la oscuridad de $7\,\mathrm{mm}$ ; resolución $1.22 \times 550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$ , es decir cráteres de $1.7\,\mathrm{km}$ en la Luna; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times 10^{-6} \approx 67$ — el ocular de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) no enseña más detalle, solo un disco mayor y más apagado. El problema de fin de semana diseña este instrumento.

Observación 4.17 (Reflectores, prismáticos, catalejos)

Un espejo cóncavo de distancia focal $f_1'$ sustituye a la lente objetivo en el telescopio reflector (sin dispersión cromática, y un espejo puede tener metros de anchura y sostenerse por detrás): todo lo anterior vale con $f_1'$ la distancia focal del espejo. La imagen está invertida — inofensivo para las estrellas; para uso terrestre, los prismáticos intercalan un par de prismas de reflexión total que la enderezan, y el catalejo de Galileo usa un ocular divergente ( $f_2' < 0$ , $G > 0$ ), más corto pero de campo estrecho.

4.5 La cámara fotográfica

Definición 4.18 (Cámara; número de diafragma)

Una cámara es una lente convergente de distancia focal $f'$ que forma una imagen real sobre un sensor, en $\overline{OA'} \approx f'$ para motivos lejanos; enfocar consiste en mover la lente. Un diafragma de diámetro $D$ limita el haz; el número de diafragma es $N = f'/D$ (se escribe $f/N$ ). El ángulo de campo vale $2\arctan(\ell/2f')$ para un sensor de anchura $\ell$ .

Proposición 4.19 (Exposición y profundidad de campo)

La irradiancia sobre el sensor va como $1/N^2$ , de modo que el tiempo de exposición para un brillo de imagen dado va como $N^2$ . Un punto situado a una distancia distinta de la enfocada forma un disco de desenfoque; si se le exige quedar por debajo de un diámetro tolerado $c$ , una lente enfocada a la distancia hiperfocal

H = \frac{f'^2}{N c}

da por nítido todo lo que hay entre $H/2$ y el infinito.

Demostración. Irradiancia $=$ potencia/área $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (la imagen de un motivo dado tiene un tamaño fijado por $f'$ , y la potencia recogida crece como $D^2$ ). Enfóquese a la distancia $p$ , con la imagen en $q \approx f'$ ; un punto en el infinito se enfoca en $f'$ , es decir $q - f'$ antes del sensor; su cono de rayos, de base $D$ en la lente, tiene diámetro $D(q - f')/q$ sobre el sensor (triángulos semejantes). Con $1/q = 1/f' - 1/p$ en el marco paraxial, $q - f' \approx f'^2/p$ para $p \gg f'$ , así que el desenfoque vale $Df'/p = f'^2/(Np)$ ; iguala a $c$ para $p = H$ . La misma geometría por el lado cercano da el límite $H/2$ . ∎

Profundidad de campo: la lente está enfocada sobre un punto a distancia p (imagen sobre el sensor); un punto en el infinito se enfoca en F', antes del sensor, y deja un disco de desenfoque de diámetro c = Df'/p — menor con abertura pequeña (N grande), de ahí el compromiso entre nitidez y tiempo de exposición. — Profundidad de campo: la lente está enfocada sobre un punto a distancia $p$ (imagen sobre el sensor); un punto en el infinito se enfoca en $F'$ , antes del sensor, y deja un disco de desenfoque de diámetro $c = Df'/p$ — menor con abertura pequeña ( $N$ grande), de ahí el compromiso entre nitidez y tiempo de exposición.

Ejemplo 4.20 (Formato completo y teléfono)

Un objetivo de $50\,\mathrm{mm}$ sobre un sensor de $36\,\mathrm{mm}$ de ancho: ángulo de campo $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; a $f/8$ con $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ , $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : enfocando a $10\,\mathrm{m}$ , todo lo que está más allá de $5\,\mathrm{m}$ sale nítido. El objetivo de un teléfono, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ a $f/1.8$ sobre un sensor de $6\,\mathrm{mm}$ con $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : el mismo ángulo de campo ( $70{}^{\circ}$ ), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) = 2.1\,\mathrm{m}$ — casi todo queda enfocado a la vez, y por eso los teléfonos simulan el desenfoque del fondo por programa.

Lentes y montura de pruebas de un optometrista: una lente convergente o divergente de la vergencia adecuada delante del ojo lleva su punto remoto de vuelta al infinito.

4.6 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Con la retina $17\,\mathrm{mm}$ por detrás del cristalino, calcúlese la vergencia de un ojo normal que mira al infinito y luego a $25\,\mathrm{cm}$ ; dedúzcase la amplitud de acomodación. ¿Qué distancias focales son esas?

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

Infinito: $f' = 17\,\mathrm{mm}$ , $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$ . $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$ , $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$ . Amplitud $4.0\,\delta$ .

Ejercicio 4.2 ★

Un ojo miope tiene el punto remoto a $40\,\mathrm{cm}$ . ¿Qué lente lo corrige (distancia focal, vergencia)? Un ojo hipermétrope no puede acomodar sobre nada más cercano que $1.0\,\mathrm{m}$ : ¿qué lente le permite leer a $25\,\mathrm{cm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

Miope: el infinito ha de conjugarse con el punto remoto, $f' = -40\,\mathrm{cm}$ , $V = -2.5\,\delta$ . Hipermétrope: un objeto a $25\,\mathrm{cm}$ ha de conjugarse (virtualmente) a $1.0\,\mathrm{m}$ : $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = -1 + 4 = +3.0\,\delta$ .

Ejercicio 4.3 ★

Una lupa tiene $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$ . Dense su aumento angular, dónde hay que sostener el sello y el tamaño angular a través de ella de un detalle de $2\,\mathrm{mm}$ , comparado con el ojo desnudo a $25\,\mathrm{cm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; sello en el plano focal, a $4.0\,\mathrm{cm}$ de la lente. Detalle de $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$ , frente a $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 4.4 ★

Un refractor tiene $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$ . Calcúlense $G$ con un ocular de $25\,\mathrm{mm}$ y con otro de $9\,\mathrm{mm}$ , la longitud del tubo en cada caso y el tamaño aparente de la Luna ( $0.52^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

$G = 900/25 = 36$ y $900/9 = 100$ ; longitudes del tubo $f_1' + f_2' = 925\,\mathrm{mm}$ y $909\,\mathrm{mm}$ ; Luna: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ y $52^\circ$ .

Ejercicio 4.5 ★★

Microscopio: $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$ , $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ . Calcúlense $\gamma_1$ , $G_2$ , $G$ y la distancia objeto–objetivo. ¿Cuánto hay que mover el tubo para enfocar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ más adentro del objeto?

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$ . $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : objeto a $4.1\,\mathrm{mm}$ del objetivo. El objeto debe permanecer a esa distancia del objetivo, así que el tubo entero se desplaza $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — el mando de enfoque fino.

Ejercicio 4.6 ★★

Dos faros distan $1.5\,\mathrm{m}$ . ¿Desde qué distancia puede el ojo desnudo ( $\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) distinguirlos? Un anteojo con $D = 100\,\mathrm{mm}$ : calcúlense su límite de difracción ( $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ ), la distancia a la que separa los faros y el aumento $G_r$ por encima del cual no muestra nada nuevo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Ojo desnudo: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$ . Anteojo: $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; faros separables hasta $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (en principio: el aire y la curvatura terrestre se interponen antes). $G_r = 3\times10^{-4}/ 6.7\times10^{-6} = 45$ .

Ejercicio 4.7 ★★

Un objetivo de $50\,\mathrm{mm}$ a $f/2$ : ¿cuál es el diámetro de la abertura? Una escena queda bien expuesta a $f/2$ en $1/500$ $\mathrm{s}$ ; ¿qué tiempo de exposición a $f/8$ ? ¿Qué se gana con la abertura menor?

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$ . Exposición $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ veces más larga, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$ . Se gana profundidad de campo (y menos aberraciones) al precio de trepidación o de un trípode.

Ejercicio 4.8 ★★

Calcúlense la distancia hiperfocal de un objetivo de $35\,\mathrm{mm}$ a $f/11$ con $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ y el intervalo de distancias nítidas cuando se enfoca en $H$ . Los fotógrafos callejeros lo prefijan: ¿por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; nítido desde $H/2 = 1.9\,\mathrm{m}$ hasta el infinito. Prefijada en $H$ , la cámara no necesita enfocar: la foto se hace en el instante mismo en que sucede la escena.

Ejercicio 4.9 ★★

Unos prismáticos “ $8\times30$ ” tienen $G = 8$ y $D = 30\,\mathrm{mm}$ . Calcúlese la pupila de salida; ¿aprovecha toda la luz una pupila nocturna de $7\,\mathrm{mm}$ ? ¿Y con unos “ $7\times50$ ”? ¿Cuál es mejor al atardecer, y por qué unos “ $20\times30$ ” son mala elección?

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

$8\times30$ : pupila de salida $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$ , toda la luz entra en el ojo. $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$ , que iguala la pupila nocturna, y $(50/30)^2 = 2.8$ veces más luz recogida: los del atardecer. $20\times30$ : pupila de salida $1.5\,\mathrm{mm}$ , imagen apagada, campo estrecho y pulso de la mano amplificado veinte veces.

Ejercicio 4.10 ★★★

El punto remoto de un miope está a $25\,\mathrm{cm}$ del ojo. Calcúlese la vergencia de la lente de contacto correctora y luego la de unas gafas llevadas $15\,\mathrm{mm}$ por delante del ojo. ¿Cuál corrección es más fuerte, y por qué difieren?

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Lente de contacto: $f' = -25\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.0\,\delta$ . Gafas: el punto remoto queda a $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ de la lente, luego $f' = -23.5\,\mathrm{cm}$ , $V = -4.3\,\delta$ — más fuerte. La lente ha de formar la imagen en el punto remoto del ojo, cuya distancia a la lente depende de dónde se sitúe la lente.

Ejercicio 4.11 ★★★

Catalejo de Galileo: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$ , $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ . Hállense la separación de las lentes para que el sistema sea afocal, $G$ y la orientación de la imagen. Localícese la pupila de salida y explíquese por qué el campo es estrecho.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

Afocal: $F_1' = F_2$ , separación $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (más corta que los $40\,\mathrm{cm}$ de un kepleriano del mismo $G$ ). $G = -30/(-10) = +3$ : derecha. Pupila de salida $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' = -10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : virtual, dentro del tubo, donde el ojo no puede situarse; el ojo, detrás del ocular, solo recoge los haces que por azar le llegan — campo estrecho, la queja clásica de los gemelos de teatro.

Ejercicio 4.12 ★★★

Un anteojo de $200\,\mathrm{mm}$ y una pupila de $7\,\mathrm{mm}$ . ¿Por qué factor aumenta la luz recibida de una estrella? Los astrónomos gradúan el brillo en magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; el ojo llega a la magnitud $6$ : ¿a qué magnitud límite llega el anteojo? ¿Cuántas veces más lejos puede verse una lámpara dada?

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : magnitud límite $13.3$ . El flujo es $\propto 1/r^2$ , así que la lámpara se ve $\sqrt{820} = 29$ veces más lejos.

La cara visible de la Luna (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): el blanco del anteojo del problema de fin de semana, 3476\, km de diámetro a 384\,000\, km. — La cara visible de la Luna (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): el blanco del anteojo del problema de fin de semana, $3476\,\mathrm{km}$ de diámetro a $384\,000\,\mathrm{km}$ .

4.7 Problema: diseñar un anteojo para la Luna

Problema 4.1

Problema de fin de semana — un refractor de 150 milímetros sobre el césped del jardín: elegir los oculares, colocar el ojo, contar la luz y averiguar qué cráter tan pequeño puede mostrar

El objetivo es una lente convergente $L_1$ de distancia focal $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ y diámetro $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; se dispone de oculares $L_2$ de distancias focales $25\,\mathrm{mm}$ y $6\,\mathrm{mm}$ . La Luna está a $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ y subtiende $0.52^\circ$ ; la pupila nocturna del ojo mide $7\,\mathrm{mm}$ y su resolución es $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ .

Parte I — El montaje afocal.

¿Dónde debe colocarse el ocular para ver una estrella sin acomodar? Dese la distancia objetivo–ocular para cada ocular.
Compruébese con la relación de Descartes, aplicada a cada lente por turno, que un punto del eje en el infinito se conjuga con el infinito.
Muéstrese que un haz procedente de una estrella con ángulo $\alpha$ respecto del eje emerge como haz paralelo con ángulo $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
Calcúlense $G$ para cada ocular y el diámetro aparente de la Luna a través de cada uno.
La imagen está invertida. ¿Por qué resulta aceptable aquí, y qué añadiría un anteojo terrestre?
¿Dónde está la imagen intermedia real de la Luna y cuál es su diámetro? (Ahí puede fotografiarse.)

Parte II — Dónde va el ojo.

Muéstrese que el ocular forma una imagen real del borde del objetivo a $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ por detrás de él, de diámetro $D/\abs G$ (la pupila de salida).
Calcúlense la posición y el diámetro de la pupila de salida para cada ocular.
¿Por qué debe situarse la pupila del ojo en la pupila de salida? ¿Qué le ocurre al campo si se coloca más atrás?
Para aprovechar íntegra la luz de una estrella, la pupila de salida no debe superar la del ojo: dedúzcase el aumento útil mínimo de este anteojo de noche.

Parte III — Resolución.

Calcúlese el límite de difracción $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ en radianes y en segundos de arco.
¿A qué cráter mínimo corresponde ese ángulo sobre la Luna? ¿Y para el ojo desnudo?
Defínase y calcúlese el aumento resolvente $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ . ¿Qué ocular se le acerca más?
Con el ocular de $6\,\mathrm{mm}$ la imagen se ve más borrosa y más apagada que con el de $25\,\mathrm{mm}$ . Explíquense ambos efectos.
La turbulencia atmosférica difumina las imágenes estelares hasta cerca de $1''$ . ¿Para qué diámetros de objetivo deja de importar el límite de Rayleigh desde el suelo, y qué sigue aportando un $D$ mayor?

Parte IV — La luz.

¿Por qué factor recoge el objetivo más luz que la pupila nocturna?
Conviértase a magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ del cociente); si el ojo llega a la magnitud $6$ , ¿a qué magnitud llega el anteojo?
La Luna llena entrega en el suelo una irradiancia de unos $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . ¿Qué potencia entra por el objetivo y cómo se reparte sobre la retina en comparación con la visión a simple vista (mismo argumento de potencia por unidad de ángulo sólido: compárense los brillos superficiales a través de los dos oculares)?
¿Por qué un anteojo no hace más brillante la superficie lunar por unidad de área que el ojo desnudo, mientras que sí hace más brillantes las estrellas?

Parte V — El campo de visión. El ocular lleva, en su plano focal, un diafragma de campo circular de $20\,\mathrm{mm}$ de diámetro (ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ) o de $5\,\mathrm{mm}$ (ocular de $6\,\mathrm{mm}$ ).

Muéstrese que el campo real vale $2\arctan(\phi/2f_1') \approx \phi/f_1'$ para un diafragma de diámetro $\phi$ .
Calcúlese para ambos oculares y dígase si la Luna entera cabe en el campo.
Calcúlese el campo aparente (el ángulo bajo el que el ojo ve el diafragma a través del ocular) para ambos.
La Tierra gira $15''$ por segundo de tiempo: ¿cuánto tarda la Luna en cruzar el campo de cada ocular sin seguimiento?
Resúmase el diseño: qué ocular para la Luna entera, cuál para los cráteres y el tamaño del menor cráter que el instrumento puede revelar — su número.
El mismo objetivo se sustituye por un espejo cóncavo de $150\,\mathrm{mm}$ de la misma distancia focal. ¿Cuáles de los resultados anteriores cambian?

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $F_2 = F_1'$ : separación $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ (ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ) o $1206\,\mathrm{mm}$ (el de $6\,\mathrm{mm}$ ).

2. $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (imagen en $F_1'$ ). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$ , luego $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2') = 0$ : imagen en el infinito.

3. El haz converge en el plano focal común a la altura $h = f_1'\alpha$ (rayo por $O_1$ ); desde ahí, el rayo que pasa por $O_2$ fija la dirección emergente, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .

4. $G = -48$ y $-200$ ; Luna: $25^\circ$ y $104^\circ$ .

5. Arriba y abajo carecen de sentido en el cielo; un anteojo terrestre añade un par de prismas enderezadores (o un relé de lentes).

6. En el plano focal de $L_1$ , de diámetro $f_1'\theta = 1200 \times 9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$ .

7. Objeto $O_1$ en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; aumento $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ , diámetro $D/\abs G$ .

8. $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 = 25.5\,\mathrm{mm}$ , diámetro $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$ . $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ por detrás, diámetro $0.75\,\mathrm{mm}$ .

9. Todo rayo que ha entrado por el objetivo pasa por la pupila de salida: un ojo situado allí recibe el campo entero. Más atrás solo intercepta los haces centrales: el campo se reduce a una mirilla.

10. $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$ .

11. $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$ .

12. $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; ojo desnudo $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$ .

13. $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; el ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ( $48$ ) es el más próximo, algo por debajo; el de $6\,\mathrm{mm}$ ( $200$ ) lo triplica.

14. Con $G = 200$ la mancha de difracción subtiende $200 \times 4.5 \times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : visiblemente borrosa. La luz de la Luna se reparte sobre un área $(200/48)^2 = 17$ veces mayor en la retina: más apagada.

15. $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta = 140\,\mathrm{mm}$ . Por encima de ese diámetro, la turbulencia limita la resolución desde el suelo (salvo óptica adaptativa); un $D$ mayor sigue recogiendo más luz y alcanzando objetos más débiles.

16. $(150/7)^2 = 460$ .

17. $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitud $12.7$ .

18. $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ , $460$ veces la del ojo desnudo. La imagen retiniana tiene un área $\abs G^2$ veces mayor: cociente de brillos superficiales $460/G^2 = 0.20$ ( $G = 48$ ) y $0.012$ ( $G = 200$ ) — igual a $(D/\abs G)^2/d_p^2$ , el cuadrado del cociente entre pupila de salida y pupila del ojo.

19. Para un objeto extenso, la luz recogida crece como $D^2$ pero el área de la imagen como $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : el brillo superficial, en el mejor de los casos, iguala al de la visión a simple vista (pupila de salida $=$ pupila del ojo). Una estrella no se resuelve: toda su luz cae en una única mancha de difracción, y su brillo crece como $(D/d_p)^2$ .

20. Un punto de ángulo $\beta$ se conjuga a la altura $f_1'\beta$ en el plano focal; el diafragma deja pasar $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : campo total $\phi/f_1'$ (ángulos pequeños).

21. $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : la Luna entera cabe. $5/1200 = 0.24^\circ$ : no cabe.

22. Campo aparente $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$ .

23. $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$ , casi cuatro minutos; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$ .

24. Ocular de $25\,\mathrm{mm}$ ( $G = 48$ , cerca de $G_r$ , luminoso, Luna entera) para el disco; el de $6\,\mathrm{mm}$ ( $G = 200$ ) para acercarse a los cráteres, más apagado y más borroso. El número del instrumento: cráteres de hasta $1.7\,\mathrm{km}$ .

25. Con la misma $f_1'$ y el mismo $D$ : los mismos $G$ , campos, pupilas de salida, resolución y luz (descontada la obstrucción central). Se gana: ninguna aberración cromática. Cambio práctico: el foco queda por delante del espejo, así que un pequeño espejo secundario debe desviar el haz hacia el ocular.

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