Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

27El potencial eléctrico; conductores y condensadores

Un campo son tres números en cada punto; un potencial, uno solo. Como la fuerza electrostática es conservativa, todo el campo de una distribución de cargas puede plegarse en una única función escalar, el potencial, del que se recupera derivando — la misma economía que convirtió las fuerzas en energía potencial en mecánica. El potencial es lo que mide un voltímetro, lo que mantiene una pila, lo que acelera los electrones en un tubo; sus superficies de nivel dibujan un campo de un vistazo. Este capítulo lo construye, lo aplica al dipolo (el primer modelo eléctrico de una molécula) y se vuelve después hacia los dos objetos con los que está hecho todo circuito: los conductores, en los que la carga se ordena de modo que mata el campo interior, y los condensadores, que almacenan carga y energía en un campo.

Cargada a unos cientos de kilovoltios por un generador de Van de Graaff, una persona es un conductor equipotencial cuyos cabellos, todos al mismo potencial y todos cargados igual, se repelen entre sí.

27.1 El potencial electrostático

Teorema 27.1 (El campo electrostático es conservativo)

Existe una función escalar $V(M)$ , el potencial electrostático (voltio, $\mathrm{V}$ ), tal que

\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l

a lo largo de cualquier camino de $A$ a $B$ (la circulación de $\vect E$ de $A$ a $B$ no depende del camino y es nula sobre un circuito cerrado). Para una carga puntual $q$ situada en $O$ , $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ con el convenio $V(\infty) = 0$ ; para varias cargas los potenciales se suman. La energía potencial de una carga $q'$ en $M$ es $E_p = q'V(M)$ , y el trabajo de la fuerza eléctrica de $A$ a $B$ vale $q'(V_A - V_B)$ .

Demostración. La fuerza de Coulomb de una carga fija $q$ sobre $q'$ tiene la forma de la gravitación de Newton con $-Gm_1m_2$ sustituido por $qq'/4\pi\varepsilon_0$ ; el mismo cálculo que dio $E_p = -Gm_1m_2/r$ (Proposición 13.7) da $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$ : al dividir por $q'$ se obtiene $V$ , y $\vect E = \vect F/q' = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$ . La superposición lleva el resultado a cualquier distribución; la fórmula de la circulación es la definición del gradiente integrada a lo largo del camino. ∎

Proposición 27.2 (Cómo leer un potencial)

Las superficies equipotenciales $V = \text{cte}$ son en todo punto perpendiculares a las líneas de campo, y el campo apunta hacia los potenciales decrecientes.
$|\vect E|$ es la rapidez de variación de $V$ en la dirección de mayor pendiente: donde las equipotenciales se aprietan, el campo es intenso.
$V$ está definido salvo una constante aditiva; solo son medibles las diferencias (las tensiones). La tierra o el infinito se toman como cero por convenio.
En coordenadas esféricas con simetría en torno a $O$ , $E_r = -\dd V/ \dd r$ ; en coordenadas polares $(r, \theta)$ en un plano, $E_r = -\partial V/\partial r$ y $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

Demostración. Sobre una equipotencial $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ para todo desplazamiento contenido en la superficie, luego $\vect E$ es normal a ella; al avanzar según $\vect E$ , $\dd V = -E\,\dd l < 0$ . Las componentes polares salen de $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ y $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$ . ∎

Equipotenciales (naranja) y líneas de campo (azul) de una carga puntual y de un condensador plano. Las líneas cortan las equipotenciales en ángulo recto y van del potencial alto al bajo; donde las equipotenciales se aprietan, el campo es intenso.

Método 27.3 (Cómo calcular un potencial)

O bien se suma $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ sobre la distribución (cuando la suma es manejable y la distribución es finita, de modo que $V(\infty) = 0$ tenga sentido), o bien se integra $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ por un camino cómodo desde un punto donde se conoce $V$ , usando el campo hallado con el teorema de Gauss. Para las distribuciones infinitas (hilo, plano) solo sirve la segunda vía, y el cero de $V$ ha de elegirse en un punto finito.

Proposición 27.4 (Potenciales de las distribuciones clásicas)

Esfera de radio $R$ con $Q$ en su volumen: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ fuera; $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ dentro, luego $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . Con $Q$ en la superficie, $V$ es uniforme dentro e igual a $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
Hilo infinito $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
Condensador plano, con campo $E$ de la armadura 1 a la armadura 2, separadas $d$ : $V$ decrece linealmente en el hueco y $V_1 - V_2 = Ed$ .

Demostración. Intégrese $E_r = -\dd V/\dd r$ con los campos de Proposición 26.12: desde el infinito hacia dentro para la esfera (la continuidad en $R$ fija la constante interior), desde $r_0$ para el hilo y a través del hueco para el condensador. ∎

Potencial (línea continua) y campo (a trazos) de una esfera cargada uniformemente. El potencial es continuo y con pendiente continua; es parabólico dentro, donde el campo es lineal, y va como 1/r fuera. Su máximo está en el centro, donde el campo se anula — un máximo de V es un punto de campo nulo, no al revés. — Potencial (línea continua) y campo (a trazos) de una esfera cargada uniformemente. El potencial es continuo y con pendiente continua; es parabólico dentro, donde el campo es lineal, y va como $1/r$ fuera. Su máximo está en el centro, donde el campo se anula — un máximo de $V$ es un punto de campo nulo, no al revés.

Ejemplo 27.5 (El electronvoltio, otra vez)

Un electrón que atraviesa un hueco de $100\,\mathrm{V}$ gana $eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , sea cual sea la forma del campo entre los electrodos: el potencial hace irrelevante el camino (Definición 17.3). Una carga de $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ a $1\,\mathrm{m}$ de otra tiene $V = 9\,\mathrm{kV}$ y el par almacena $9\,\mathrm{mJ}$ ; el potencial en el centro de un núcleo de oro vale $24\,\mathrm{MV}$ (Ejercicio 27.6).

27.2 El dipolo eléctrico

Definición 27.6 (Dipolo eléctrico)

Dos cargas opuestas, $-q$ en $N$ y $+q$ en $P$ , separadas una distancia $a = NP$ , forman un dipolo eléctrico de momento dipolar $\vect p = q\,\vect{NP}$ ( $\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ), dirigido del $-$ al $+$ . La aproximación dipolar es el estudio de su campo a distancias $r \gg a$ . Una molécula cuyos centros de carga positiva y negativa no coinciden (el agua, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ) es un dipolo; un átomo neutro en un campo se convierte en uno (dipolo inducido).

Proposición 27.7 (Campo de un dipolo)

En $M$ con $OM = r \gg a$ ( $O$ el punto medio de $NP$ ) y $\theta$ el ángulo entre $\vect p$ y $\vect{OM}$ ,

V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .

El campo de un dipolo cae como $1/r^3$ , más deprisa que el $1/r^2$ de una carga: de lejos las dos cargas casi se cancelan, y lo que queda es su separación.

Demostración. $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ con $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ y $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (proyección de $\pm\tfrac a2$ sobre $\vect{OM}$ ); a primer orden en $a/r$ , $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$ . Después $E_r = -\partial V/\partial r$ y $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$ . ∎

A la izquierda: la geometría de la aproximación dipolar — M visto desde el centro O a la distancia r y bajo el ángulo respecto de p, con las componentes radial y ortorradial del campo. A la derecha: líneas de campo (azul, r 2) y equipotenciales (naranja, r √| |) de un dipolo dirigido hacia la derecha; el plano que pasa por O perpendicular a p es la equipotencial V = 0. — A la izquierda: la geometría de la aproximación dipolar — $M$ visto desde el centro $O$ a la distancia $r$ y bajo el ángulo $\theta$ respecto de $\vect p$ , con las componentes radial y ortorradial del campo. A la derecha: líneas de campo (azul, $r \propto \sin^2\theta$ ) y equipotenciales (naranja, $r \propto \sqrt{|\cos\theta|}$ ) de un dipolo dirigido hacia la derecha; el plano que pasa por $O$ perpendicular a $\vect p$ es la equipotencial $V = 0$ .

Proposición 27.8 (Dipolo en un campo exterior)

Un dipolo $\vect p$ en un campo uniforme $\vect E$ no siente fuerza neta, sino un par $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ que tiende a alinearlo con el campo, y tiene la energía potencial $E_p = -\vect p\cdot\vect E$ , mínima cuando está alineado. En un campo no uniforme es además atraído hacia las regiones de campo intenso (en una dimensión, $F_x = p\,\dd E/\dd x$ para un dipolo alineado).

Demostración. Las fuerzas $\pm q\vect E$ se cancelan; su momento respecto de $O$ vale $\vect{OP}\wedge q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$ . Energía: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ en un campo uniforme (ya que $V(P) - V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$ ). No uniforme y alineado según $x$ : $F_x = qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$ . ∎

Ejemplo 27.9 (Por qué el peine atrae al papel)

Un peine cargado crea un campo que decrece con la distancia; un trocito de papel, neutro, queda polarizado por él (dipolo inducido según $\vect E$ ), y la fuerza $p\,\dd E/\dd x$ sobre un dipolo alineado lo atrae hacia la región de campo intenso: el peine. El signo de la carga del peine es indiferente; el mismo mecanismo mantiene el globo en la pared y desvía el hilo de agua. Para las moléculas de agua, $pE$ en un campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ vale $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , $600$ veces menos que $k_BT$ a temperatura ambiente: solo sobrevive una ligera alineación neta al revoltijo térmico (Ejercicio 27.7).

27.3 Los conductores en equilibrio electrostático

Teorema 27.10 (Propiedades de un conductor en equilibrio)

En un conductor cuyas cargas libres están en reposo:

$\vect E = \vect 0$ en el interior, y el conductor es un volumen equipotencial: $V$ uniforme dentro y en su superficie.
Toda carga neta se sitúa en la superficie, con una densidad superficial $\sigma$ ; el interior es neutro.
Justo fuera, el campo es normal a la superficie y vale $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ (teorema de Coulomb).
Una cavidad interior a un conductor, vacía de carga, tiene $\vect E = \vect 0$ y $V$ uniforme pase lo que pase fuera (jaula de Faraday).

Demostración. (1) Un campo movería las cargas libres: el equilibrio exige $\vect E = \vect 0$ , luego $\dd V = 0$ entre dos puntos interiores cualesquiera; la superficie es el límite. (2) El teorema de Gauss sobre cualquier superficie cerrada trazada dentro del conductor: flujo nulo, carga encerrada nula. (3) La superficie es una equipotencial, luego $\vect E$ justo fuera es normal a ella; un cilindro achatado que la atraviesa tiene un flujo $E\,\dd S$ solo por su cara exterior (dentro $\vect E = \vect 0$ ) y encierra la carga $\sigma\,\dd S$ . (4) La pared de la cavidad es una equipotencial; una línea de campo interior a la cavidad tendría que ir de la pared a la pared salvando una caída de potencial — imposible sobre una equipotencial; así que no hay línea ni campo (admitido en esta forma). ∎

Ejemplo 27.11 (Poder de las puntas y pararrayos)

Dos esferas de radios $R_1 > R_2$ , muy separadas y unidas por un hilo, comparten el mismo $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$ , luego $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$ : cuanto menor es el radio de curvatura, mayor son la carga superficial y el campo $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$ . En una punta afilada el campo supera el valor de ruptura del aire ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) mucho antes que en ningún otro sitio: el aire se ioniza y la carga se fuga en silencio. Un pararrayos funciona por este poder de las puntas — no atrae tanto la descarga como le ofrece un camino, y descarga el suelo bajo una nube antes de que la carga se acumule.

A la izquierda: un conductor hueco en un campo exterior — las cargas inducidas en su superficie cancelan el campo dentro del metal y en la cavidad (la jaula de Faraday). A la derecha: el poder de las puntas — sobre un conductor, que es una sola equipotencial, la carga superficial y el campo exterior son máximos donde la curvatura es mayor.

27.4 Los condensadores

Definición 27.12 (Capacidad)

Un conductor aislado a potencial $V$ lleva una carga $Q$ proporcional a $V$ : $Q = CV$ , con $C$ su capacidad (faradio, $\mathrm{F}$ ); para una esfera $C = 4\pi\varepsilon_0R$ . Un condensador es un par de conductores (las armaduras) que llevan cargas opuestas $\pm Q$ y se enfrentan de modo que el campo queda confinado entre ellas; su capacidad es $C = Q/U$ , con $U = V_1 - V_2$ la tensión entre las armaduras. El símbolo y la ley de circuito $i = C\,\dd u/\dd t$ se usaron en Capítulo 7.

Proposición 27.13 (Tres condensadores)

Plano: armaduras de área $S$ separadas $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
Esférico: esferas concéntricas de radios $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
Cilíndrico (coaxial), radios $a < b$ , longitud $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

Llenar el hueco con un aislante de permitividad relativa $\varepsilon_r$ multiplica $C$ por $\varepsilon_r$ (las moléculas del dieléctrico se polarizan y debilitan el campo, $\varepsilon_r = 2$ a $10$ en los plásticos y el vidrio corrientes, $80$ en el agua).

Demostración. En cada caso el campo entre las armaduras es el de Proposición 26.12: $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$ , $U = Ed$ ; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ ; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$ , $U = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$ . Divídase $Q$ por $U$ . El factor del dieléctrico se admite. ∎

Teorema 27.14 (Energía de un condensador)

Un condensador cargado con $Q$ bajo la tensión $U$ almacena

W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,

el trabajo necesario para llevar la carga de una armadura a la otra contra la tensión creciente. En un condensador plano $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2 \times Sd$ : la energía está en el campo, con una densidad $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidad de volumen — afirmación válida para todo campo electrostático.

Demostración. Llevar $\dd q$ de la armadura negativa a la positiva cuando la carga vale $q$ cuesta $\dd W = (q/C)\,\dd q$ ; intégrese de $0$ a $Q$ . Sustitúyanse después $C = \varepsilon_0S/d$ y $U = Ed$ ; la densidad general se admite. ∎

Ejemplo 27.15 (Tres condensadores y sus energías)

Un metro cuadrado de par de láminas separadas $1\,\mathrm{mm}$ : $C = 8.85 \times 10^{-12}/ 10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — el faradio es una unidad enorme. Los $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ de un desfibrilador a $2\,\mathrm{kV}$ : $300\,\mathrm{J}$ , entregados en milisegundos. Un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$ : $11\,\mathrm{kJ}$ en un bote del tamaño de una botella de refresco — su capacidad viene de un hueco $d$ molecular y de un $S$ poroso enorme. La densidad de energía de un campo en la ruptura del aire, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , explica por qué los condensadores almacenan tan poco frente a las baterías.

Condensadores plano, esférico y con dieléctrico. El campo (naranja) queda confinado entre las armaduras salvo los efectos de borde, despreciables cuando d es pequeño; la energía 1/2 _0E2 por unidad de volumen vive en ese campo. — Condensadores plano, esférico y con dieléctrico. El campo (naranja) queda confinado entre las armaduras salvo los efectos de borde, despreciables cuando $d$ es pequeño; la energía $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ por unidad de volumen vive en ese campo.

Observación 27.16 (Asociación de condensadores)

En paralelo (misma $U$ ) las cargas se suman: $C = C_1 + C_2$ ; en serie (misma $Q$ ) las tensiones se suman: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — al revés que las resistencias, porque $C$ mide una facilidad (carga por voltio) allí donde $R$ mide una dificultad. Estas reglas salen de $Q = CU$ y de las leyes de los circuitos de Capítulo 6.

27.5 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

Potencial a $1.0\,\mathrm{m}$ de una carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; energía necesaria para traer una segunda carga de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ desde el infinito hasta ese punto; rapidez con la que saldría despedida si se la soltara, siendo su masa de $1\,\mathrm{g}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$ ; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$ ; al soltarla, $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$ : $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 27.2 ★

Armaduras separadas $1.0\,\mathrm{mm}$ bajo $100\,\mathrm{V}$ : campo; energía cinética y rapidez que gana un electrón que cruza el hueco partiendo del reposo; tiempo de vuelo.

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , luego $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; con aceleración uniforme, $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 27.3 ★

En un mapa de equipotenciales trazadas cada $10\,\mathrm{V}$ , las líneas distan $2\,\mathrm{mm}$ cerca de $A$ y $8\,\mathrm{mm}$ cerca de $B$ . Campo en $A$ y en $B$ ; ¿hacia dónde apunta el campo respecto de los potenciales crecientes?; ¿hacia dónde se acelera un electrón?

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . El campo apunta hacia los potenciales decrecientes; un electrón ( $q < 0$ ) se acelera al revés, hacia los $V$ crecientes.

Ejercicio 27.4 ★

Una esfera de Van de Graaff de $15\,\mathrm{cm}$ de radio se carga a $200\,\mathrm{kV}$ . Capacidad, carga y campo en su superficie. Potencial máximo antes de que el aire de alrededor rompa ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CV = 3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . Ruptura en $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — las máquinas grandes usan esferas grandes.

Ejercicio 27.5 ★★

Potencial en el eje de un anillo de radio $R$ y carga $Q$ ; recupérese el campo axial derivando. Lo mismo para el disco cargado uniformemente (úsese Ejercicio 26.5): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

Todo elemento del anillo está a la distancia $\sqrt{R^2 + z^2}$ : $V = Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$ ; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}$ . Disco: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ a $\sqrt{a^2 + z^2}$ : $V = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$ , y $-\dd V/\dd z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .

Ejercicio 27.6 ★★

Dedúzcase el potencial dentro de una esfera cargada uniformemente a partir de su campo. Potencial en el centro de un núcleo de oro ( $Z = 79$ , $R = 7.0\,\mathrm{fm}$ ); energía que necesitaría un protón para llegar al centro desde muy lejos, en $\mathrm{MeV}$ ; coméntense las partículas alfa de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ . Oro: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$ : un protón necesita $24\,\mathrm{MeV}$ y una alfa ( $2e$ ) $48\,\mathrm{MeV}$ para llegar al centro, y $32\,\mathrm{MeV}$ para tocar la superficie. Las alfas de $5\,\mathrm{MeV}$ de Rutherford dan la vuelta en el $r$ donde $2eV = 5\,\mathrm{MeV}$ : $V = 2.5\,\mathrm{MV}$ , $r = 45\,\mathrm{fm}$ — muy fuera del núcleo, y por eso funcionó su análisis con cargas puntuales.

Ejercicio 27.7 ★★

Molécula de agua, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ . Campo que crea a $1.0\,\mathrm{nm}$ en su eje y perpendicularmente a él; par y diferencia de energía entre las posiciones alineada y antialineada en $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ; compárese con $k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$ . Campo de un ion de sodio a $0.3\,\mathrm{nm}$ y energía del dipolo de agua alineado en él (hidratación).

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

Eje: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; perpendicularmente, la mitad: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ . Par $pE = 6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; salto de energía $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ frente a $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : $330$ veces menor — solo un $0.1\%$ de alineación neta. Ion de sodio a $0.3\,\mathrm{nm}$ : $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $-pE = -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$ , $24\,k_BT$ : las moléculas de agua se enganchan al ion — la hidratación.

Ejercicio 27.8 ★★

Una esfera conductora de $1.0\,\mathrm{cm}$ de radio en aire: carga y potencial máximos antes de la ruptura. Dos esferas conductoras, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ y $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$ , unidas por un hilo fino y llevadas a $20\,\mathrm{kV}$ : campo superficial en cada una; ¿cuál descarga en el aire?

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$ , $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$ . Esferas unidas: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : la esfera pequeña ioniza el aire y pierde la carga — el poder de las puntas.

Ejercicio 27.9 ★★

Capacidades: dos láminas de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ separadas $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ por una película de polímero con $\varepsilon_r = 2.2$ (un condensador de película); las mismas láminas enrolladas: ¿cambia $C$ al enrollarlas? Energía a $400\,\mathrm{V}$ . Un condensador de $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $2.0\,\mathrm{kV}$ (desfibrilador): carga, energía y potencia media si se entrega en $5\,\mathrm{ms}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; enrollarlas cambia la forma, no el área enfrentada: el mismo $C$ (con una segunda película, para que cada lámina se enfrente a la otra por ambas caras, se duplica). $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$ . Desfibrilador: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$ , $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$ , $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$ .

Ejercicio 27.10 ★★★

Condensadores esférico y cilíndrico. (a) Dedúzcase $C$ para dos esferas concéntricas y compruébese que, si $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ , se reduce a la fórmula del plano, y que si $R_2 \to \infty$ da la esfera aislada. (b) Cable coaxial, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $b = 2.5\,\mathrm{mm}$ , con polietileno $\varepsilon_r = 2.3$ : capacidad por metro (compárese con los $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ de los cables corrientes). (c) Campo en el conductor interior bajo $1\,\mathrm{kV}$ ; ¿es seguro?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

(a) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$ , $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$ , $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$ ; con $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ , $R_1R_2 \approx R^2$ y $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$ ; con $R_2 \to \infty$ , $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$ . (b) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3 \times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , el orden correcto. (c) $E(a) = U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : por debajo de los $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ del polietileno, seguro; en aire sería ajustado.

Ejercicio 27.11 ★★★

La energía del campo. (a) Energía de una esfera conductora cargada ( $Q$ , $R$ ) a partir de $Q^2/2C$ . (b) Iguálese a la energía en reposo del electrón $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ y despéjese $R$ : el “radio clásico del electrón” (salvo un factor). (c) A un condensador plano aislado cargado con $Q$ se le separan las armaduras de $d$ a $2d$ : variación de la energía almacenada y fuerza entre las armaduras deducida de ella; compruébese frente a Ejercicio 26.8. (d) Lo mismo con el condensador mantenido a $U$ fija por una pila: variación de energía y adónde va la diferencia.

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

(a) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$ . (b) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (el “radio clásico” habitual $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ prescinde del $\tfrac12$ ). (c) $W = Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ se duplica: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ con $F = Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$ , como se halló directamente. (d) A $U$ fija, $W = \varepsilon_0SU^2/2d$ se reduce a la mitad: $\Delta W = -W/2$ ; quien tira sigue realizando $W/2$ (al integrar $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ de $d$ a $2d$ ); ambas mitades, $W$ en total, vuelven a la pila cuando la carga $CU/2$ regresa a ella a la tensión $U$ .

Ejercicio 27.12 ★★★

Energía coulombiana de un núcleo. (a) Constrúyase capa a capa una esfera cargada uniformemente ( $Q$ , $R$ ) y muéstrese que su energía electrostática vale $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$ . (b) Uranio-238: $Z = 92$ , $R = 7.4\,\mathrm{fm}$ : $W$ en $\mathrm{MeV}$ . (c) Divídase en dos fragmentos iguales ( $Z/2$ , $A/2$ , radio $R/2^{1/3}$ ) muy separados: energía coulombiana liberada. (d) La energía medida de la fisión ronda los $200\,\mathrm{MeV}$ : ¿qué se opone a la ganancia coulombiana?

Solución

Solución de Ejercicio 27.12.

(a) La esfera de radio $r$ lleva $q = Qr^3/R^3$ a un potencial superficial $q/4\pi\varepsilon_0r$ ; añadir la capa $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ cuesta $\dd W = q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$ ; al integrar: $W = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$ . (b) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$ : $W = 3 \times 2.17 \times 10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 990\,\mathrm{MeV}$ . (c) Cada fragmento: carga $Q/2$ , radio $R/2^{1/3}$ , energía $\tfrac14 2^{1/3}W$ ; los dos juntos: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$ : se liberan $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$ . (d) La “tensión superficial” nuclear: dos fragmentos tienen más superficie que un solo núcleo, lo que cuesta unos $170\,\mathrm{MeV}$ ; el saldo, cercano a $200\,\mathrm{MeV}$ , aparece sobre todo como energía cinética de los dos fragmentos que se separan bajo su repulsión mutua.

El aparato de la gota de aceite de Millikan, hacia 1916 (Museo de Ciencia e Industria, Chicago): la cámara de latón aloja las dos armaduras horizontales entre las que se observaban las gotas.

27.6 Problema: la gota de aceite de Millikan

Problema 27.1

Problema de fin de semana — pesar la carga del electrón con una gota de aceite: Stokes, el condensador plano y una tabla de números que se niegan a ser otra cosa que múltiplos de uno solo

Se pulverizan gotas de aceite entre dos armaduras horizontales separadas $d = 16\,\mathrm{mm}$ , de $20\,\mathrm{cm}$ de diámetro, y se observan con un microscopio. Datos: densidad del aceite $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , densidad del aire $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , viscosidad del aire $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ . Una esfera pequeña de radio $r$ que se mueve a $v$ en el aire sufre la fuerza de Stokes $6\pi\eta rv$ .

Parte I — La gota que cae.

Fuerzas sobre una gota que cae sin tensión aplicada; muéstrese que alcanza una velocidad límite $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ (despréciese el empuje del aire, y justifíquese).
Una gota cae $1.0\,\mathrm{mm}$ en $10\,\mathrm{s}$ : su radio y su masa.
Constante de tiempo con que se aproxima a $v_1$ ; distancia recorrida entretanto. ¿Se ve alguna vez acelerar la gota?
Número de Reynolds $\rho_{\text{aire}}v_1r/\eta$ del movimiento: ¿es legítima la ley de Stokes?
¿Por qué han de ser tan pequeñas las gotas? (Compárese el peso con la fuerza eléctrica sobre una carga elemental en un campo de $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
Se ve que la gota tiembla ligeramente en torno a su caída media: ¿qué es esto y por qué limita la precisión?

Parte II — El campo. Se aplica una tensión $U$ , con la armadura superior positiva.

Campo entre las armaduras para $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ; ¿por qué es uniforme y cuáles son las equipotenciales?
Capacidad de las armaduras, carga que llevan a $5.0\,\mathrm{kV}$ y energía almacenada.
La gota de la pregunta 2 queda inmóvil con $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : signo y valor de su carga, en culombios y en unidades de $e$ .
Con $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ la misma gota sube a $v_2$ : muéstrese que $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ y calcúlese $v_2$ .
¿Por qué es mejor cronometrar una subida y una caída que buscar la tensión de equilibrio?
Energía potencial de la carga de la gota entre las armaduras a $5\,\mathrm{kV}$ , y energía disipada por el rozamiento durante una subida de $1\,\mathrm{cm}$ .

Parte III — La tabla de cargas. Expuesta entre medidas a una fuente débil de rayos X, la misma gota cambia de carga; las medidas sucesivas dan (en $10^{-19}$ C): $4.80$ , $8.01$ , $6.42$ , $3.19$ , $9.63$ .

Muéstrese que las cinco están cerca de múltiplos enteros de una misma cantidad, y dense los enteros.
Mejor estimación de la carga elemental a partir de los cinco valores; incertidumbre típica de la media (Capítulo 1).
¿Por qué cambia la carga en números enteros de $e$ entre dos medidas?
Muéstrese que, con este método, $q \propto \eta^{3/2}$ : ¿cuánto desplaza un error del $1\%$ en la viscosidad el valor de $e$ ? (El valor original de Millikan era un $0.6\%$ bajo, justamente por eso.)
Los quarks llevan $\pm e/3$ y $\pm 2e/3$ : ¿por qué ninguna gota de aceite ha mostrado nunca un tercio de $e$ ?
La constante de Faraday, la carga de un mol de electrones, vale $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : dedúzcase el número de Avogadro.
Thomson había medido $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ para el electrón: dedúzcase su masa y compárese con un átomo de hidrógeno ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

Parte IV — El aparato, visto por el potencial.

Esbócense las equipotenciales y las líneas de campo entre las armaduras, incluidos los efectos de borde; justifíquese que se desprecien.
Una gota cargada positivamente a la altura $z$ sobre la armadura inferior (a $0\,\mathrm{V}$ ): energía potencial en función de $z$ ; energía potencial total incluida la gravedad; condición sobre $U$ para el punto de equilibrio.
Compárese la energía de la carga de la gota (pregunta 12) con la energía almacenada en el condensador: ¿perturba la gota el campo?
Se invierte la tensión (armadura inferior positiva) con $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : ¿qué hace la gota de la pregunta 9 y a qué rapidez?
Un grano de polvo de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que lleva $10^4e$ en el mismo campo: cociente entre la fuerza eléctrica y el peso; por qué no pueden levitarse esos granos y por qué eligió Millikan una niebla de aceite.
Resúmase: qué se midió (tres veces), qué se dedujo, con qué incertidumbre y qué dos constantes se siguieron de ello.

Solución

Solución de Problema 27.1.

1. Peso $\tfrac43\pi r^3\rho g$ hacia abajo, rozamiento $6\pi\eta rv$ hacia arriba, empuje $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{aire}}g$ hacia arriba — el $1.2/900 = 0.13\%$ del peso, despreciable. Velocidad límite: $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$ , $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ .

2. $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , un micrómetro; $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ .

3. $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ ; distancia $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$ . Nunca.

4. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-6} \ll 1$ : Stokes vale.

5. $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ frente a $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ : comparables solo en gotas de una micra. Una gota de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pesa mil veces más; una sola carga elemental le cambiaría la rapidez en un $0.1\%$ , invisible.

6. El movimiento browniano: el bombardeo de las moléculas de aire zarandea la gota al azar; los tiempos se dispersan, lo que limita la precisión y pone una cota inferior al tamaño útil de las gotas.

7. $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; las armaduras son mucho más anchas que $d$ , de modo que la superposición de los dos planos da un campo uniforme; las equipotenciales son planos horizontales, $V = Uz/d$ .

8. $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$ ; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$ ; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$ .

9. Armadura superior positiva: $\vect E$ apunta hacia abajo; la fuerza ha de apuntar hacia arriba, luego $q < 0$ . $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/ 1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$ : $q = -3e$ .

10. Al subir a rapidez constante: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ y $mg = 6\pi\eta rv_1$ , luego $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ y $|q| = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ . $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/ 3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{mm}$ en $2.8\,\mathrm{s}$ .

11. El equilibrio es un juicio de cero sobre una mota que deriva y tiembla y cuya carga puede cambiar entretanto; los cronometrajes sobre una distancia fija pueden repetirse a voluntad, $r$ queda fijado de una vez por $v_1$ , y una sola gota da entonces toda una serie de cargas.

12. $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ( $15\,\mathrm{keV}$ ) en todo el hueco; rozamiento en $1\,\mathrm{cm}$ : $(|q|E - mg) \times 0.01 = 1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ , convertidos en calor en el aire.

13. Divídase por $1.60$ : $3.00$ , $5.01$ , $4.01$ , $1.99$ , $6.02$ — los enteros $3, 5, 4, 2, 6$ .

14. $q/n$ : $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$ ; media $1.601$ , desviación típica $0.004$ , incertidumbre de la media $0.004/\sqrt5 = 0.002$ : $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C.

15. Los rayos X ionizan el aire; la gota captura iones de uno en uno, y cada uno lleva un número entero de $e$ .

16. $r \propto \eta^{1/2}$ por $v_1$ , $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$ , y $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$ : un $1\%$ en $\eta$ da un $1.5\%$ en $e$ . La $\eta$ de Millikan era un $0.4\%$ baja, de ahí su $e$ un $0.6\%$ bajo.

17. Los quarks nunca aparecen solos: están confinados dentro de los hadrones, y todo objeto libre lleva una carga entera.

18. $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

19. $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ : $1840$ veces más ligero que el átomo de hidrógeno.

20. Planos horizontales entre las armaduras, que se abomban en los bordes; líneas de campo verticales que se abren en abanico en los bordes sobre una anchura del orden de $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — pequeña frente a los $20\,\mathrm{cm}$ de diámetro, y la gota se observa en el centro.

21. $E_p = qUz/d + mgz$ , lineal en $z$ : no hay mínimo; una gota inmóvil exige que la pendiente se anule, $q = -mgd/U$ , y el equilibrio es entonces indiferente — toda deriva residual persiste, y por eso cuesta tanto juzgar el equilibrio.

22. $2.4 \times 10^{-15}$ frente a $2.2 \times 10^{-4}$ J: $10^{-11}$ . La gota no perturba el campo.

23. Campo hacia arriba y fuerza sobre la gota negativa hacia abajo: cae a $(mg + |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} = 5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

24. $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ frente a $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ : el $5\%$ del peso — no se puede levantar y, con $10^4$ cargas, un cambio de un $e$ es invisible. La niebla de aceite da gotas pequeñas, esféricas y que no se evaporan.

25. Se midieron $v_1$ , $v_2$ y $U$ (con $d$ , $\eta$ y $\rho$ conocidos); se dedujeron $r$ , $m$ y después $q$ , siempre múltiplo entero de $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C ( $0.1\%$ ); de ahí $N_A = F/e$ y $m_e = e/(e/m_e)$ .

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