Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

29La inducción electromagnética y sus aplicaciones

Acérquese un imán a una bobina y por la bobina pasa una corriente; párese el imán y la corriente cesa. Faraday lo descubrió en 1831, tras diez años de búsqueda, y es el hecho sobre el que funciona el mundo eléctrico: toda central, todo transformador, todo motor, altavoz y micrófono, toda placa de inducción y todo cargador inalámbrico convierten energía por la ley de que un flujo magnético variable impulsa una fuerza electromotriz. Este capítulo enuncia la ley con sus signos, le da las dos caras que muestra (un campo variable en un circuito fijo, un circuito que se mueve en un campo fijo), define la autoinducción y la inducción mutua, y recorre después las máquinas electromecánicas — la barra deslizante, el alternador, el transformador, el altavoz — donde la misma ley convierte potencia mecánica en potencia eléctrica y al revés, nunca gratis.

Un aparato de resonancia magnética: un solenoide superconductor que mantiene 1.5\, T sobre un paciente — un megajulio de energía magnética en un campo donde no hay nada. Fotografía: Jan Ainali, CC BY 3.0. — Un aparato de resonancia magnética: un solenoide superconductor que mantiene $1.5\,\mathrm{T}$ sobre un paciente — un megajulio de energía magnética en un campo donde no hay nada. Fotografía: Jan Ainali, CC BY 3.0.

29.1 La ley de Faraday

Definición 29.1 (Flujo magnético a través de un circuito)

Oriéntese un circuito cerrado $\Gamma$ (un sentido de recorrido); su superficie recibe la normal $\vect n$ que da la regla de la mano derecha. El flujo magnético a través del circuito es $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ sobre cualquier superficie apoyada en $\Gamma$ (weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$ ) — “cualquiera”, porque el flujo de $\vect B$ a través de una superficie cerrada es nulo. Para un campo uniforme y una bobina plana de $N$ espiras y área $S$ , $\Phi = NBS\cos\alpha$ , siendo $\alpha$ el ángulo entre $\vect B$ y $\vect n$ .

Teorema 29.2 (Ley de Faraday de la inducción)

Siempre que varía el flujo a través de un circuito, el circuito es sede de una fuerza electromotriz inducida

e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,

contada en la orientación del circuito, es decir, actuando como una fuente de tensión ideal de fem $e$ en ese sentido; en un circuito de resistencia $R$ impulsa la corriente $i = e/R$ . El signo menos es la ley de Lenz: la corriente inducida circula de modo que se opone a la variación de flujo que la produce — su propio campo, y las fuerzas que siente, combaten la causa.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 29.3 (Dos caras de la misma ley)

El flujo varía porque $\vect B$ varía en el tiempo a través de un circuito fijo (inducción de Neumann: transformador, placa de inducción) o porque el circuito se mueve o se deforma en un campo estacionario (inducción de Lorentz: generador, altavoz). En el segundo caso la fem puede calcularse también directamente: los portadores de un elemento de conductor $\dd\vect l$ que se mueve a $\vect v$ sienten la fuerza $q\vect v\wedge \vect B$ , equivalente a un campo eléctrico $\vect v\wedge\vect B$ , de modo que $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — y esto coincide siempre con $-\dd\Phi/\dd t$ . La ley de Faraday cubre ambos casos; el volumen del Año 2 explica por qué los dos mecanismos dan una sola fórmula.

La orientación y la ley de Lenz. A la izquierda: la orientación del circuito fija n y el signo de . En el centro: un imán que se acerca a una espira aumenta el flujo; la corriente inducida crea un campo opuesto al del imán y la espira lo repele. A la derecha: una barra que desliza sobre raíles en un campo dirigido hacia el lector; el flujo del circuito crece y la corriente inducida circula de modo que la fuerza de Laplace sobre la barra se opone a su movimiento. — La orientación y la ley de Lenz. A la izquierda: la orientación del circuito fija $\vect n$ y el signo de $\Phi$ . En el centro: un imán que se acerca a una espira aumenta el flujo; la corriente inducida crea un campo opuesto al del imán y la espira lo repele. A la derecha: una barra que desliza sobre raíles en un campo dirigido hacia el lector; el flujo del circuito crece y la corriente inducida circula de modo que la fuerza de Laplace sobre la barra se opone a su movimiento.

Ejemplo 29.4 (Órdenes de magnitud)

Una bobina de $100$ espiras y $10\,\mathrm{cm}^{2}$ en el campo terrestre, volteada en $0.1\,\mathrm{s}$ : $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$ , $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — medible con un galvanómetro sensible, como se cartografió antaño el campo terrestre. La misma bobina en el entrehierro de $1\,\mathrm{T}$ de un imán, sacada en $0.1\,\mathrm{s}$ : $1\,\mathrm{V}$ . Una bobina de transformador de $1000$ espiras con $1\,\mathrm{T}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ : $e_{\max} = 1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — la red.

29.2 Autoinducción e inducción mutua

Definición 29.5 (Coeficientes de inducción)

El flujo del campo propio de un circuito a través de sí mismo es proporcional a su corriente: $\Phi_{\text{propio}} = Li$ , con $L > 0$ su coeficiente de autoinducción (henrio, $\mathrm{H}$ ). El flujo que el circuito 1 envía a través del circuito 2 vale $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ , y simétricamente $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$ , con $M$ su coeficiente de inducción mutua (el signo lo fijan las orientaciones). El flujo total del circuito 1 es entonces $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$ .

Proposición 29.6 (La bobina; el solenoide)

Un circuito de coeficiente de autoinducción $L$ recorrido por una corriente variable es sede de la fem $e = -L\,\dd i/\dd t$ : en el convenio receptor, esta es la tensión $u = L\,\dd i/\dd t$ de la bobina usada desde Capítulo 7. Almacena la energía $W = \tfrac12Li^2$ . Un solenoide largo de $n$ espiras por metro, longitud $\ell$ y sección $S$ , tiene $L = \mu_0n^2S\ell$ ; su energía almacenada vale $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell = \dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$ : la energía magnética vive en el campo con la densidad $B^2/2\mu_0$ , exactamente como la eléctrica con $\varepsilon_0E^2/2$ .

Demostración. Faraday con $\Phi = Li$ y $L$ constante. Energía: la potencia que recibe la bobina vale $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$ . Solenoide: $B = \mu_0nI$ dentro, flujo $BS$ por cada una de las $n\ell$ espiras, luego $\Phi = \mu_0n^2S\ell I$ . La densidad general se admite. ∎

Ejemplo 29.7 (Un imán de resonancia magnética)

$1.5\,\mathrm{T}$ sobre alrededor de un metro cúbico: $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} = 0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — la energía de la batería de un coche, almacenada en el vacío. Con una corriente de bobina de $500\,\mathrm{A}$ , $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$ . Si el superconductor se vuelve resistivo de golpe (un apagado brusco), ese megajulio se convierte en calor en segundos y evapora centenares de litros de helio líquido: la sala del imán tiene un respiradero para eso.

Proposición 29.8 (El transformador ideal)

Dos bobinas de $N_1$ y $N_2$ espiras devanadas sobre el mismo núcleo de hierro cerrado, de modo que el mismo flujo $\varphi$ atraviesa todas las espiras, cumplen

\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(sin pérdidas en vacío, sin corriente magnetizante)},

de modo que $u_2i_2 = -u_1i_1$ : la potencia tomada en el primario se entrega en el secundario; las tensiones cambian con la razón de espiras y las corrientes en razón inversa. Solo funciona con corrientes variables.

Demostración. $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ y $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ (convenio receptor en ambos, con las orientaciones tomadas según el flujo común): divídase. La relación entre corrientes es el teorema de Ampère en el núcleo: su circulación, $\mu_0\mu_r$ veces los amperios-vuelta totales, tendría que crear el flujo; en un núcleo ideal ( $\mu_r \to \infty$ ) eso exige amperios-vuelta que tienden a cero, luego $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$ . Se admite en esta forma. ∎

A la izquierda: un transformador — dos bobinas sobre un núcleo de hierro cerrado comparten el mismo flujo; las tensiones escalan con las espiras y las corrientes en razón inversa. A la derecha: dos bobinas acopladas en el aire y su inducción mutua M; el flujo propio de una bobina vale Li. — A la izquierda: un transformador — dos bobinas sobre un núcleo de hierro cerrado comparten el mismo flujo; las tensiones escalan con las espiras y las corrientes en razón inversa. A la derecha: dos bobinas acopladas en el aire y su inducción mutua $M$ ; el flujo propio de una bobina vale $Li$ .

29.3 Conductores en movimiento: generadores y motores

Proposición 29.9 (La barra deslizante)

Una barra de longitud $\ell$ desliza a la rapidez $v$ sobre dos raíles cerrados por una resistencia $R$ , en un campo uniforme $B$ normal al plano. Es sede de la fem $e = B\ell v$ , impulsa $i = B\ell v/R$ y siente la fuerza de Laplace $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ que se opone a su movimiento. La potencia mecánica que se gasta en empujarla, $Fv$ , iguala a la potencia eléctrica $ei = Ri^2$ disipada: la barra es un generador. Alimentada en cambio por una fuente $E$ , es un motor: la corriente $(E - B\ell v)/R$ la impulsa hasta que la fem contraria $B\ell v$ equilibra a $E$ , a la rapidez en vacío $E/B\ell$ .

Demostración. Flujo $B\ell x$ , $e = -B\ell\dot x$ en la orientación para la que $\vect n$ va según $\vect B$ ; la fuerza de Laplace $i\vect\ell\wedge\vect B$ sobre la corriente así orientada apunta en contra de $\vect v$ (Teorema 29.2, Lenz). Multiplíquese la ecuación eléctrica $e = Ri$ por $i$ y la mecánica por $v$ : $Fv = B\ell iv = ei$ . La potencia electromecánica $ei$ y la potencia de Laplace $-Fv$ son siempre opuestas — la ley de la conversión. ∎

Proposición 29.10 (La espira que gira: el alternador)

Una bobina de $N$ espiras y área $S$ que gira a $\omega$ alrededor de un eje perpendicular a un $B$ uniforme tiene $\Phi = NBS\cos\omega t$ y

e = NBS\omega\sin\omega t :

una fem sinusoidal de amplitud $NBS\omega$ y de la frecuencia de giro. Sobre una resistencia $R$ entrega la potencia media $(NBS\omega)^2/2R$ , suministrada por el par que la mantiene girando contra el par de Laplace $-\vect m\wedge\vect B$ de su propia corriente.

Demostración. Derívese el flujo; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$ . El par es el de Teorema 28.14 con $m = Ni S$ ; su potencia media $\langle\Gamma\omega\rangle$ iguala a $\langle ei\rangle$ por el mismo cálculo que en la barra. ∎

A la izquierda: la barra deslizante como generador — fem B v, corriente por R, fuerza de Laplace que frena la barra; la potencia de quien empuja es el calor de la resistencia. En el centro y a la derecha: la bobina giratoria de un alternador y su fem sinusoidal. — A la izquierda: la barra deslizante como generador — fem $B\ell v$ , corriente por $R$ , fuerza de Laplace que frena la barra; la potencia de quien empuja es el calor de la resistencia. En el centro y a la derecha: la bobina giratoria de un alternador y su fem sinusoidal.

Ejemplo 29.11 (Corrientes de Foucault)

Un conductor macizo que se mueve en un campo no uniforme, o que está en uno variable, queda atravesado por un flujo variable a lo largo de innumerables caminos cerrados: por él circulan corrientes de Foucault que lo calientan y — por Lenz — lo frenan. Un imán que se deja caer por un tubo de cobre baja despacio; los frenos de camiones y montañas rusas lo usan (sin contacto, sin desgaste, sin fallo de freno — pero sin frenada en reposo); la placa de inducción calienta la cazuela con esas mismas corrientes, a $25\,\mathrm{kHz}$ ; y los núcleos de los transformadores se laminan precisamente para cortarlas.

29.4 El altavoz: un sistema acoplado

Proposición 29.12 (Acoplamiento electromecánico de una bobina en un campo radial)

Una bobina de longitud total de hilo $\ell$ está en un campo radial $B$ de modo que todo elemento de hilo es perpendicular a $\vect B$ ; se mueve según su eje a la rapidez $v$ y lleva $i$ . Siente entonces la fuerza de Laplace axial $F = B\ell i$ y es sede de la fem contraria $e = -B\ell v$ (en convenio receptor, una tensión $B\ell v$ ). Con una masa $m$ , una suspensión de rigidez $k$ y un amortiguamiento mecánico $h$ , alimentada por una tensión $u$ a través de la resistencia $R$ y la inductancia $L$ de la bobina:

u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .

Al multiplicar por $i$ y por $v$ y sumar: la potencia eléctrica $ui$ iguala a la pérdida Joule $Ri^2$ más el crecimiento de las energías almacenadas $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ más la pérdida mecánica $hv^2$ (que incluye el sonido): el término de conversión $B\ell iv$ se cancela entre las dos ecuaciones. Al revés (impuesto el movimiento y leído $u$ ), el mismo aparato es un micrófono dinámico.

Demostración. Fuerza de Laplace sobre cada elemento $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$ , todas axiales y del mismo signo; fem a partir de $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ sumado a lo largo del hilo. El balance energético es la suma de las dos ecuaciones multiplicadas como se ha dicho. ∎

Un altavoz de bobina móvil en corte: la bobina está en el entrehierro anular de un imán donde el campo es radial, de modo que una corriente da una fuerza axial sea cual sea la posición; el cono que arrastra lo sujeta una suspensión rígida y amortiguada; el movimiento de la bobina devuelve al circuito eléctrico una fem contraria B v. — Un altavoz de bobina móvil en corte: la bobina está en el entrehierro anular de un imán donde el campo es radial, de modo que una corriente da una fuerza axial sea cual sea la posición; el cono que arrastra lo sujeta una suspensión rígida y amortiguada; el movimiento de la bobina devuelve al circuito eléctrico una fem contraria $B\ell v$ .

Observación 29.13 (Por qué amortigua el acoplamiento)

A baja frecuencia ( $L\omega \ll R$ ), $i \approx (u - B\ell v)/R$ y la fuerza vale $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$ : el circuito eléctrico añade el amortiguamiento $B^2\ell^2/R$ al mecánico. Un altavoz conectado a un amplificador (de baja resistencia de salida) está muy amortiguado — su cono se para cuando cesa la señal — y ese mismo acoplamiento es lo que permite al micrófono tomar energía del sonido (Problema 29.1).

29.5 Ejercicios

Ejercicio 29.1 ★

Una bobina de $100$ espiras y $10\,\mathrm{cm}^{2}$ en un campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ a $30{}^{\circ}$ de su normal. Flujo; fem media si el campo se anula en $10\,\mathrm{ms}$ ; y en $1\,\mathrm{ms}$ ; sentido de la corriente inducida respecto del campo (Lenz).

Solución

Solución de Ejercicio 29.1.

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$ ; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$ y $17\,\mathrm{V}$ en $1\,\mathrm{ms}$ . La corriente circula de modo que recrea el flujo que desaparece: su campo va según el antiguo $\vect B$ .

Ejercicio 29.2 ★

Una barra de $20\,\mathrm{cm}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre raíles cerrados por $0.10\,\Omega$ , en $0.50\,\mathrm{T}$ . Fem, corriente, fuerza de Laplace, fuerza que ha de aplicar quien empuja, potencia mecánica y potencia eléctrica.

Solución

Solución de Ejercicio 29.2.

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$ ; $i = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 0.20\,\mathrm{N}$ de frenado, luego quien empuja aplica $0.20\,\mathrm{N}$ ; $Fv = 0.40\,\mathrm{W} = Ri^2$ .

Ejercicio 29.3 ★

Solenoide de $1000\,\mathrm{espiras}/\mathrm{m}$ , longitud $20\,\mathrm{cm}$ , sección $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$ : coeficiente de autoinducción; energía a $5.0\,\mathrm{A}$ ; constante de tiempo con una resistencia de $1.0\,\Omega$ ; campo interior y densidad de energía, para comprobar $B^2/2\mu_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.3.

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 = 0.10\,\mathrm{mH}$ ; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$ ; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$ . $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$ , $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$ : $1.3\,\mathrm{mJ}$ .

Ejercicio 29.4 ★

Un transformador de $230\,\mathrm{V}$ a $12\,\mathrm{V}$ : razón de espiras; espiras del primario para un secundario de $50$ espiras; corriente del primario cuando el secundario entrega $2.0\,\mathrm{A}$ . ¿Por qué no funciona con la batería de un coche?

Solución

Solución de Ejercicio 29.4.

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$ ; $N_1 = 50/0.052 = 960$ espiras; $i_1 = 2 \times 0.052 = 0.10\,\mathrm{A}$ . Una corriente continua da un flujo constante: sin $\dd\varphi/\dd t$ no hay tensión en el secundario — y el primario, que es un cortocircuito, ardería.

Ejercicio 29.5 ★★

Ley de Lenz: dese el sentido de la corriente inducida y la dirección de la fuerza en cada caso — (a) un polo norte se acerca a una espira según su eje; (b) una espira está en un campo que crece; (c) se deja caer una espira sobre un imán; (d) un imán cae por un tubo largo de cobre. En (d), explíquese con la energía por qué cae a una rapidez pequeña y constante.

Solución

Solución de Ejercicio 29.5.

(a) El flujo (según el sentido de acercamiento) crece: la corriente crea un campo que se le opone — su propio polo norte queda frente al norte del imán — y la espira sale repelida. (b) Una corriente cuyo campo se opone al crecimiento; la espira, un dipolo antialineado con $\vect B$ , es empujada hacia el campo más débil. (c) Al caer, el flujo crece: la misma corriente que en (a), y la espira se frena. (d) Cada tramo de tubo por delante del imán ve crecer el flujo, y por detrás decrecer; ambas corrientes inducidas frenan al imán; a la rapidez a la que la fuerza de Laplace equilibra el peso, el imán cae uniformemente y la energía potencial que pierde se vuelve calor Joule en el tubo.

Ejercicio 29.6 ★★

Alternador: $N = 200$ , $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$ , $B = 0.10\,\mathrm{T}$ , $50\,\mathrm{Hz}$ . Fem de pico y eficaz; corriente y par de pico sobre $10\,\Omega$ ; potencia eléctrica media; compárese con la potencia mecánica media y con el par instantáneo en el momento en que la fem se anula.

Solución

Solución de Ejercicio 29.6.

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$ , eficaz $8.9\,\mathrm{V}$ ; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$ , $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (cuando $\sin\omega t = 1$ ); $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $= \langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$ ; cuando $e = 0$ la corriente es nula y el par se anula — el par pulsa a $100\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 29.7 ★★

Freno magnético. Una espira cuadrada de lado $a = 10\,\mathrm{cm}$ y resistencia $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$ , de masa $1.0\,\mathrm{kg}$ , sale de una región de campo uniforme $B = 1.0\,\mathrm{T}$ a la rapidez $v$ (con un lado todavía dentro del campo). Fem, corriente, fuerza de frenado; ecuación del movimiento y constante de tiempo; distancia recorrida antes de pararse desde $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ¿adónde fue la energía cinética?

Solución

Solución de Ejercicio 29.7.

$e = Bav$ , $i = Bav/R$ , $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$ : $v = v_0\eu^{-t/\tau}$ , $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$ ; distancia $v_0\tau = 10\,\mathrm{cm}$ (si la región de campo es bastante larga). La energía cinética, $0.5\,\mathrm{J}$ , se disipa como $Ri^2$ en la espira.

Ejercicio 29.8 ★★

Una bobina pequeña ( $N_2 = 50$ espiras, sección $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) está dentro de un solenoide largo ( $n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ), con los ejes alineados. Inducción mutua; fem en la bobina cuando la corriente del solenoide crece a razón de $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$ , y cuando vale $1.0\,\mathrm{A}$ a $10\,\mathrm{kHz}$ . ¿Depende $M$ de cuál de las dos bobinas lleva la corriente?

Solución

Solución de Ejercicio 29.8.

Flujo del campo del solenoide $\mu_0n_1i_1$ a través de las $N_2$ espiras: $M = \mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Rampa: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$ ; a $10\,\mathrm{kHz}$ y $1\,\mathrm{A}$ : $e_{\max} = M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$ . $M$ es simétrico: el mismo número da el flujo que la bobina pequeña envía a través del solenoide — mucho más difícil de calcular directamente.

Ejercicio 29.9 ★★

Energía en un campo: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ sobre $1.0\,\mathrm{m}^{3}$ , como en un imán de resonancia magnética. Energía; coeficiente de autoinducción para $I = 500\,\mathrm{A}$ ; altura a la que esa energía elevaría un coche de $1\,\mathrm{t}$ ; volumen de helio líquido que evapora en un apagado brusco ( $2.6\,\mathrm{kJ}$ por litro). Energía del campo terrestre ( $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) en una habitación de $50\,\mathrm{m}^{3}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.9.

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$ ; $L = 2W/I^2 = 7.2\,\mathrm{H}$ ; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$ ; helio: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$ . Campo terrestre: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $50\,\mathrm{mJ}$ en la habitación.

Ejercicio 29.10 ★★★

Los raíles como motor. La barra de Ejercicio 29.2 (masa $m$ , sin rozamiento) se conecta a una fuente $E$ a través de la resistencia $R$ . (a) Ecuaciones eléctrica y mecánica; muéstrese que $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) Rapidez límite y constante de tiempo. (c) Balance de potencias: potencia de la fuente $=$ Joule $+$ mecánica; rendimiento en función de $v$ . (d) Cifras: $E = 2.0\,\mathrm{V}$ , $m = 50\,\mathrm{g}$ , lo demás como en Ejercicio 29.2. (e) Un cañón de raíles acelera un proyectil de $10\,\mathrm{g}$ con $1\,\mathrm{MA}$ a lo largo de $5\,\mathrm{m}$ en $1\,\mathrm{T}$ : rapidez de salida (orden de magnitud).

Solución

Solución de Ejercicio 29.10.

(a) $E - B\ell v = Ri$ (la fem contraria se opone a la fuente), $m\,\dd v/\dd t = B\ell i$ : $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$ . (b) $v_\infty = E/B\ell$ , $\tau = mR/B^2\ell^2$ . (c) Multiplíquese la ecuación eléctrica por $i$ : $Ei = Ri^2 + B\ell vi$ , y $B\ell vi = Fv$ es la potencia mecánica; rendimiento $Fv/Ei = B\ell v/E = v/v_\infty$ — del $100\%$ solo en vacío, donde no se entrega nada. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tau = 0.05 \times 0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$ . (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (tomando $\ell = 10\,\mathrm{cm}$ ), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{2a \times 5} = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — diez kilómetros por segundo, la promesa y el problema de los cañones de raíles (los raíles se erosionan).

Ejercicio 29.11 ★★★

El disco de Faraday. Un disco de cobre de radio $R$ gira a $\omega$ alrededor de su eje en un $B$ uniforme según el eje; unas escobillas tocan el centro y el borde. (a) Fem entre el centro y el borde sumando $(\vect v\wedge \vect B)\cdot\dd\vect l$ a lo largo de un radio: $e = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) Cifras: $R = 10\,\mathrm{cm}$ , $3000\,\mathrm{rpm}$ , $1.0\,\mathrm{T}$ . (c) ¿Por qué es una máquina de poca tensión y mucha corriente?; corriente sobre $1\,\mathrm{m}\Omega$ y par de frenado. (d) Recupérese $e$ con la ley de Faraday aplicada al circuito escobilla–radio–borde–escobilla: ¿qué flujo varía?

Solución

Solución de Ejercicio 29.11.

(a) A la distancia $r$ del eje el metal se mueve a $v = \omega r$ ; $\vect v\wedge\vect B$ es radial y de módulo $\omega rB$ : $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$ . (b) $\omega = 314$ : $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$ . (c) Una sola “espira”, luego voltios a lo sumo; sobre $1\,\mathrm{m}\Omega$ : $1.6\,\mathrm{kA}$ , par $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . (d) El circuito escobilla–radio– borde–escobilla barre un área $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ en cada $\dd t$ : $\dd\Phi/\dd t = \tfrac12BR^2\omega$ — el flujo a través del circuito móvil y deformable.

Ejercicio 29.12 ★★★

Placa de inducción. La bobina que hay bajo el vidrio lleva $i_1 = I_1\cos\omega t$ con $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ a $25\,\mathrm{kHz}$ ; el fondo de la cazuela actúa como una sola espira de resistencia $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$ acoplada por $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (despreciada la autoinducción de esa espira). (a) Fem inducida en la cazuela, valor de pico. (b) Corriente y potencia media disipada en la cazuela. (c) ¿Por qué una frecuencia alta y por qué aparece el calor en la cazuela y no en el vidrio? (d) La corriente de la cazuela reacciona sobre la bobina: fem que induce allí (de pico) y potencia adicional que ha de dar el generador — compruébese que coincide con (b).

Solución

Solución de Ejercicio 29.12.

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$ , de pico $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 = 4.7\,\mathrm{V}$ . (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ de pico; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2 = 1.1\,\mathrm{kW}$ . (c) La fem es $\propto\omega$ : una frecuencia alta da una fem útil con un $M$ modesto; el vidrio es aislante y por él no circula nada — el calor nace dentro del metal. (d) La corriente de la cazuela induce en la bobina $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ de pico, en fase con $i_1$ (la corriente de la cazuela no se retrasa respecto de $e_2$ , por ser resistiva, y $e_2$ se retrasa $90{}^{\circ}$ … respecto de $i_1$ , de modo que la fem reflejada es $-M\,\dd i_2/\dd t$ , en oposición de fase con la tensión que impulsa a $i_1$ ): el generador entrega $\tfrac12 \times 74 \times 30 = 1.1\,\mathrm{kW}$ más — exactamente lo que disipa la cazuela.

Una dinamo de botella: la rueda hace girar un imán dentro de una bobina, el flujo a través de la bobina cambia y la lámpara se enciende — la ley de Faraday en una bicicleta.

29.6 Problema: la dinamo de la bicicleta y el altavoz

Problema 29.1

Problema de fin de semana — dos convertidores electromecánicos desmontados: una dinamo que se regula sola y un altavoz cuyo amplificador es también su freno

Parte I — La dinamo de la bicicleta. Una bobina de $N = 300$ espiras y área $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ gira en un campo uniforme $B = 0.30\,\mathrm{T}$ ; su eje lleva un rodillo de radio $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ apoyado en el neumático, de modo que la bobina gira a $\omega = v/r$ para una rapidez $v$ de la bicicleta. Resistencia de la bobina $r_c = 4.0\,\Omega$ , coeficiente de autoinducción $L = 20\,\mathrm{mH}$ ; la lámpara es una resistencia $R = 12\,\Omega$ .

Flujo a través de la bobina y fem inducida en función del tiempo; amplitud y frecuencia a $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Despreciando primero $L$ : corriente eficaz y potencia en la lámpara a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; ¿está cómoda una lámpara de “ $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ ”?
Potencia mecánica media que el ciclista entrega a la dinamo, y fuerza correspondiente sobre el neumático (compárese con el rozamiento de rodadura, de unos $2\,\mathrm{N}$ ).
Explíquese con la ley de Lenz por qué se resiste la dinamo, y por qué una lámpara que luce “gratis” no contradice la conservación de la energía.
Inclúyase ahora $L$ : impedancia compleja del circuito; muéstrese que la amplitud de la corriente vale $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ y que se satura a gran rapidez; dese su límite y la rapidez a la que alcanza el $70\%$ del límite.
Sin la inductancia, ¿qué recibiría la lámpara a $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ cuesta abajo? ¿Y con ella?
Corriente y potencia de la lámpara a $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ y a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; coméntese la autorregulación.
Las dinamos reales hacen girar un imán dentro de una bobina fija. ¿Cambia el análisis? ¿Qué problema práctico elimina?
¿Qué hace la lámpara cuando la bicicleta se para en un semáforo, y cómo lo resuelven las luces modernas?

Parte II — El altavoz. Bobina móvil: longitud de hilo $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ en un campo radial $B = 1.0\,\mathrm{T}$ , resistencia $R = 8.0\,\Omega$ , inductancia $L = 0.50\,\mathrm{mH}$ ; masa móvil (bobina y cono) $m = 10\,\mathrm{g}$ ; rigidez de la suspensión $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , amortiguamiento mecánico $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . Régimen sinusoidal, amplitudes complejas.

Fuerza sobre la bobina para una corriente $i$ ; fem contraria para una rapidez $v$ (dedúzcanse ambas, con sus signos).
Escríbanse las ecuaciones eléctrica y mecánica.
Elimínese $i$ y muéstrese que $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
En las frecuencias en que $L\omega \ll R$ , muéstrese que el acoplamiento actúa como un amortiguamiento mecánico adicional $B^2\ell^2/R$ ; su valor; frecuencia de resonancia del cono y su factor de calidad con y sin el amortiguamiento eléctrico.
El amplificador entrega una $i$ de amplitud $1.0\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ : amplitudes de la fuerza, la aceleración, el desplazamiento y la velocidad del cono (régimen dominado por la masa); amplitud de la fem contraria comparada con $Ri$ .
La misma corriente a la frecuencia de resonancia: amplitud de la velocidad (dominada por el amortiguamiento) y fem contraria; coméntese.
Potencia eléctrica a $1\,\mathrm{kHz}$ ; potencia mecánica disipada en $h$ (tomada como el sonido y las pérdidas de la suspensión); rendimiento.
¿Por qué es la presión sonora proporcional a la aceleración del cono (admítase) la razón de que un cono dominado por la masa dé una respuesta plana por encima de la resonancia?
¿Por qué ha de ser radial el campo y por qué es pequeño un tuíter?
Esbócese el módulo de la impedancia $\underline u/\underline i$ que ve el amplificador de $10\,\mathrm{Hz}$ a $10\,\mathrm{kHz}$ : valor a baja frecuencia, en la resonancia (úsese la velocidad dominada por el amortiguamiento) y a $10\,\mathrm{kHz}$ .

Parte III — Al revés, y el balance.

El mismo aparato como micrófono: un sonido mueve el cono a $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; tensión en circuito abierto.
Cargado con $R_L = 600\,\Omega$ : corriente y fuerza de frenado sobre el cono; muéstrese que el micrófono toma potencia del sonido a través de un amortiguamiento efectivo $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
La bobina está devanada sobre un cilindro de aluminio (el soporte), una espira cerrada de longitud $0.10\,\mathrm{m}$ y resistencia $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : amortiguamiento que añade; por qué se ranuran los soportes.
Golpéese el cono de un altavoz con los bornes al aire y después el de otro con los bornes en cortocircuito: ¿cuál resuena más tiempo y por qué?
Escríbase el balance energético del altavoz a lo largo de un periodo en régimen permanente, nombrando cada término.
Resúmase: para cada aparato, la ley empleada y las dos cifras que vale la pena recordar.

Solución

Solución de Problema 29.1.

1. $\Phi = NBS\cos\omega t$ , $e = NBS\omega\sin\omega t$ ; $NBS = 300 \times 0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$ ; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : amplitud $13.5\,\mathrm{V}$ y frecuencia $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$ .

2. $I_{\text{rms}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; lámpara $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ bajo $7.2\,\mathrm{V}$ : una lámpara de $6\,\mathrm{V}$ y $3\,\mathrm{W}$ está sobreexcitada y no durará.

3. Mecánica $=$ eléctrica: $(R + r_c)I_{\text{rms}}^2 = 16 \times 0.36 = 5.7\,\mathrm{W}$ ; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — la mitad del rozamiento de rodadura; el ciclista lo nota.

4. El par de Laplace de la corriente inducida se opone al giro (Lenz); la energía de la lámpara sale de las piernas del ciclista, $5.7\,\mathrm{W}$ de ella.

5. $\underline Z = R + r_c + jL\omega$ ; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ ; para $L\omega \gg R + r_c$ , $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$ . El $70\%$ : $L\omega = 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$ , $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. Sin $L$ : $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$ , $I_{\text{rms}} = 1.8\,\mathrm{A}$ , $39\,\mathrm{W}$ en la lámpara — se funde. Con $L$ : $I = 40.5/\sqrt{256 + 900} = 1.2\,\mathrm{A}$ de pico, $8.5\,\mathrm{W}$ : caliente, pero diez veces menos.

7. $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 6.75$ , $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$ , $I = 0.40$ , $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$ : mortecina. $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $e_{\max} = 27$ , $|Z| = 25.6$ , $I = 1.05$ , $P = 6.6\,\mathrm{W}$ . Cuatro veces la rapidez, $2.6$ veces la corriente: la inductancia regula.

8. Solo cuenta el movimiento relativo: el flujo a través de la bobina fija varía igual, y la fem es la misma. No hacen falta contactos deslizantes (escobillas) para sacar la corriente de una bobina que gira.

9. Sin movimiento no hay variación de flujo ni luz — de ahí el condensador o la pequeña batería (“luz de parada”) que se carga al rodar.

10. Cada elemento de hilo es perpendicular al $\vect B$ radial: $F = B\ell i$ , axial. Al moverse a $v$ , cada elemento ve $\vect v\wedge\vect B$ según el hilo: $e = -B\ell v$ , opuesta a la corriente que produce el movimiento (en convenio receptor, una tensión $B\ell v$ ).

11. $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$ ; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$ .

12. $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$ ; $\underline v\,(jm\omega + h + k/j\omega) = B\ell\,\underline i$ ; sustitúyase y despéjese $\underline v$ .

13. $i \approx (u - B\ell v)/R$ da $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx = B\ell u/R$ : amortiguamiento adicional $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ . $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$ : $3.2$ en circuito abierto y $0.77$ con el amplificador.

14. $F = 5.0\,\mathrm{N}$ , $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x = a/\omega^2 = 13\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ frente a $Ri = 8\,\mathrm{V}$ : el $5\%$ .

15. Con la corriente impuesta, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (una amplitud de $16\,\mathrm{mm}$ — una excursión enorme para $1\,\mathrm{A}$ ); $B\ell v = 25\,\mathrm{V}$ , tres veces $Ri$ : el amplificador ha de dar $33\,\mathrm{V}$ para meter $1\,\mathrm{A}$ en la resonancia — el pico de impedancia. Un amplificador fuente de tensión dejaría, en cambio, que el amortiguamiento eléctrico sujetara el cono.

16. $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$ ; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 = 3.2\,\mathrm{mW}$ : rendimiento del $0.08\%$ — los altavoces son estufas que susurran.

17. Por encima de la resonancia, $a = F/m = B\ell i/m$ no depende de la frecuencia para una corriente dada, luego la presión, $\propto a$ , es plana: la banda dominada por la masa es la banda de trabajo.

18. Campo radial: la fuerza es axial y la misma en cualquier posición de la bobina dentro del entrehierro. Un tuíter ha de seguir dominado por la masa hasta $20\,\mathrm{kHz}$ con una excursión mínima: bobina y cono ligeros; y un cono pequeño radia las altas frecuencias en todas direcciones.

19. A baja frecuencia: $v$ pequeña, $|Z| \approx R = 8\,\Omega$ ; a $50\,\mathrm{Hz}$ : $u = Ri + B\ell v$ con $v = B\ell i/h$ : $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 = 33\,\Omega$ ; a $10\,\mathrm{kHz}$ : $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$ . Un pico en la resonancia, un suelo plano de $8\,\Omega$ y una subida con $L\omega$ .

20. $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$ .

21. $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$ ; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$ , opuesta a $v$ : $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$ , un amortiguamiento de $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ ; la potencia $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ se toma del sonido y acaba en las dos resistencias.

22. Soporte: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , diez veces $h$ : apagaría el cono y desperdiciaría potencia en calor; una ranura rompe la espira cerrada.

23. En abierto solo amortigua $h$ , $Q = 3.2$ , y resuena. En cortocircuito, la fem contraria impulsa una corriente por $R$ y se añade el amortiguamiento $B^2\ell^2/R$ , $Q = 0.77$ : se para en el acto. (Pruébese.)

24. A lo largo de un periodo, las energías almacenadas vuelven a sus valores: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — entrada eléctrica $=$ calor Joule en la bobina $+$ pérdidas mecánicas (sonido radiado y rozamiento de la suspensión); el término de acoplamiento $B\ell iv$ aparece en ambas ecuaciones con signos opuestos y se cancela.

25. Dinamo: Faraday en una bobina que gira — $13.5\,\mathrm{V}$ a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , con la corriente limitada a $1.35\,\mathrm{A}$ por su propia inductancia. Altavoz: fuerza de Laplace y fem contraria — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ de amortiguamiento eléctrico y un rendimiento del $0.08\%$ . Micrófono: la misma bobina al revés — $5\,\mathrm{mV}$ por milímetro por segundo.

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