Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

6Circuitos en corriente continua: leyes de Kirchhoff y teoremas

Girar la llave en una mañana fría: el motor de arranque gruñe, las luces del salpicadero se apagan un segundo y el coche arranca entre toses. La batería que hace un momento entregaba $12.6\,\mathrm{V}$ constantes ha bajado a once mientras el motor de arranque consume sus ciento cincuenta amperios — y los faros, conectados en paralelo, lo pagan. Todo lo que sucede en ese segundo lo gobiernan dos leyes de conservación y un puñado de teoremas sobre circuitos lineales, que este capítulo enuncia, demuestra y aplica: las leyes de Kirchhoff, los modelos de fuentes y resistores, los divisores, Thévenin y Norton, y el arte gráfico de hallar un punto de funcionamiento.

6.1 Corriente, tensión y régimen cuasiestacionario

Definición 6.1 (Intensidad de corriente)

La intensidad de corriente a través de una superficie (la sección de un hilo) es la carga que la atraviesa por unidad de tiempo, contada positivamente en una orientación elegida:

i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{amperios: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).

Invertir la orientación cambia el signo de $i$ . En un metal los portadores son electrones, que se desplazan en sentido contrario al de la corriente convencional, a una fracción de milímetro por segundo.

Definición 6.2 (Potencial y tensión)

Cada punto de un circuito tiene un potencial eléctrico $V$ (voltios), definido salvo una constante que se fija eligiendo una masa ( $V = 0$ ). La tensión entre $A$ y $B$ es la diferencia de potencial $u_{AB} = V_A - V_B$ , dibujada como una flecha de $B$ hacia $A$ . La energía que pierde una carga $q$ al ir de $A$ a $B$ vale $q\,u_{AB}$ (esto enlaza con el potencial electrostático de Capítulo 27).

Definición 6.3 (Régimen cuasiestacionario (ARQS))

Un circuito de tamaño $\ell$ excitado a la frecuencia $f$ está en régimen cuasiestacionario cuando el tiempo de propagación $\ell/c$ de las señales eléctricas a lo largo de él es despreciable frente al periodo $1/f$ : $\ell \ll c/f$ . La corriente es entonces la misma en todos los puntos de un hilo sin derivaciones en cada instante, y las leyes siguientes se aplican en cada instante a corrientes y tensiones variables (minúsculas $i$ , $u$ ) exactamente igual que a las continuas ( $I$ , $U$ ).

Ejemplo 6.4 (Cuán “cuasi” es cuasi)

A $50\,\mathrm{Hz}$ , $c/f = 6000\,\mathrm{km}$ : una vivienda está en régimen cuasiestacionario. A $1\,\mathrm{MHz}$ , $300\,\mathrm{m}$ : una radio también. A $2\,\mathrm{GHz}$ , $15\,\mathrm{cm}$ : la placa de un teléfono no lo está, y sus pistas deben tratarse como líneas de transmisión — tema del volumen del Año 2.

Teorema 6.5 (Leyes de Kirchhoff)

En régimen cuasiestacionario:

Ley de los nudos: en un nudo donde concurren varios hilos, la suma de las corrientes que llegan es igual a la suma de las corrientes que salen, $\sum_{\text{ent}} i_k = \sum_{\text{sal}} i_k$ .
Ley de las mallas: a lo largo de cualquier malla cerrada, las tensiones suman cero cuando se cuentan con el signo que fija un sentido de recorrido elegido: $\sum_{\text{malla}} \pm u_k = 0$ .

Demostración. La carga se conserva y, en régimen cuasiestacionario, no se acumula en un nudo: lo que llega por segundo sale por segundo. La ley de las mallas es el enunciado de que el potencial es función de la posición: al recorrer una malla y volver al punto de partida, la suma de las caídas de potencial vale $V_A - V_A = 0$ . ∎

Notación 6.6 (Convenios y potencia)

Para un componente de dos bornes (un dipolo), el convenio receptor dibuja la flecha de tensión y la de corriente en sentidos opuestos; el convenio generador las dibuja en el mismo sentido. En el convenio receptor, la potencia recibida por el dipolo vale

p = u\,i \qquad (\text{vatios}),

positiva para un resistor que se calienta y negativa para una batería que entrega. En el convenio generador, $p = ui$ es la potencia entregada.

Los dos convenios de signo para un dipolo: flechas opuestas (receptor) o alineadas (generador). La física es la misma; solo se lee de otro modo el signo de ui. — Los dos convenios de signo para un dipolo: flechas opuestas (receptor) o alineadas (generador). La física es la misma; solo se lee de otro modo el signo de $ui$ .

6.2 Dipolos y sus modelos

Definición 6.7 (Característica; resistor; ley de Ohm)

La característica de un dipolo es la curva $i(u)$ (o $u(i)$ ) que impone. Un resistor tiene una característica lineal que pasa por el origen, la ley de Ohm

u = R\,i \qquad (\text{convenio receptor}),

donde $R$ es su resistencia (ohmios, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ) y $G = 1/R$ su conductancia (siemens). Recibe $p = Ri^2 = u^2/R \geq 0$ , que se disipa en calor (efecto Joule). Un hilo de longitud $\ell$ , sección $S$ y resistividad $\rho$ tiene $R = \rho\ell/S$ .

Definición 6.8 (Fuentes ideales y reales)

Una fuente de tensión ideal impone $u = E$ sea cual sea la corriente; $E$ es su fuerza electromotriz (fem). Una fuente de corriente ideal impone $i = I_N$ sea cual sea la tensión. Una fuente real (batería, generador, fuente de alimentación) se modela, en el convenio generador, por

u = E - r\,i \quad (\text{modelo de Thévenin: fem ideal } E \text{ en serie con } r)

o, de forma equivalente, por $i = I_N - u/r$ (modelo de Norton: fuente de corriente ideal $I_N = E/r$ en paralelo con $r$ ); $r$ es la resistencia interna. $E$ es la tensión en circuito abierto e $I_N = E/r$ la corriente de cortocircuito.

Proposición 6.9 (Balance de potencia de una fuente real)

Una fuente real $(E, r)$ que alimenta un resistor $R$ entrega $i = E/(R + r)$ y la potencia

P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},

máxima e igual a $E^2/4r$ cuando $R = r$ (adaptación de impedancias), con rendimiento $P_R/(Ei) = R/(R + r)$ , solo del $50\%$ en el máximo.

Demostración. Ley de las mallas: $E = ri + Ri$ . $P_R = Ri^2$ ; derívese $R/(R + r)^2$ : $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$ , nulo en $R = r$ , positivo antes y negativo después. La fuente aporta $Ei = (R + r)i^2$ , de los cuales $ri^2$ calientan la propia fuente. ∎

Izquierda: las características de una fuente real (u = E - ri) y de una carga resistiva (u = Ri) se cortan en el punto de funcionamiento. Derecha: la potencia entregada a la carga es máxima en R = r, donde la mitad de la potencia de la fuente se pierde en su propia resistencia. — Izquierda: las características de una fuente real ( $u = E - ri$ ) y de una carga resistiva ( $u = Ri$ ) se cortan en el punto de funcionamiento. Derecha: la potencia entregada a la carga es máxima en $R = r$ , donde la mitad de la potencia de la fuente se pierde en su propia resistencia.

Ejemplo 6.10 (Una batería de coche bajo carga)

En circuito abierto $12.6\,\mathrm{V}$ ; $11.4\,\mathrm{V}$ mientras el motor de arranque consume $120\,\mathrm{A}$ : $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ , $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (de ahí el peligro, digno de una soldadura, de una llave caída). Una carga adaptada $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ tomaría $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ durante unos segundos — más o menos lo que necesita un motor de arranque.

Observación 6.11 (Otros dipolos)

Un diodo conduce en un solo sentido: un modelo idealizado es un circuito abierto para $u < U_0$ y una tensión fija $u = U_0$ (unos $0.7\,\mathrm{V}$ en silicio, de $2\,$ a $3\,\mathrm{V}$ en un LED) cuando conduce. Una lámpara de filamento es un resistor cuya $R$ crece con la temperatura y, por tanto, con $i$ — característica curvada. En régimen estacionario un condensador es un circuito abierto ( $i = C\,\dd u/\dd t = 0$ ) y una bobina un cortocircuito ( $u = L\,\dd i/\dd t = 0$ ); su papel en los transitorios es Capítulo 7.

6.3 Asociaciones y divisores

Proposición 6.12 (Resistores en serie y en paralelo)

Los resistores en serie (misma corriente) suman: $R = R_1 + R_2 + \cdots$ . Los resistores en paralelo (misma tensión) suman sus conductancias: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$ ; para dos, $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$ , que se escribe $R_1 \parallel R_2$ .

Demostración. Serie: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (ley de las mallas). Paralelo: $i = i_1 + i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (ley de los nudos). ∎

Proposición 6.13 (Divisores de tensión y de corriente)

Dos resistores en serie sometidos a una tensión $u$ se la reparten en proporción a sus resistencias:

u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .

Dos resistores en paralelo alimentados por una corriente $i$ se la reparten en proporción inversa:

i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .

Demostración. Serie: $i = u/(R_1 + R_2)$ y $u_2 = R_2 i$ . Paralelo: $u = (R_1 \parallel R_2)\,i$ e $i_2 = u/R_2$ . ∎

Divisor de tensión (izquierda): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Divisor de corriente (derecha): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — la corriente prefiere la resistencia menor. — Divisor de tensión (izquierda): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$ . Divisor de corriente (derecha): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — la corriente prefiere la resistencia menor.

Observación 6.14 (Cargar un divisor)

La fórmula del divisor solo vale si nada consume corriente del punto intermedio. Una carga $R_L$ conectada en paralelo con $R_2$ sustituye $R_2$ por $R_2 \parallel R_L$ y hace bajar $u_2$ — el “efecto de carga”, y la razón de que un voltímetro deba tener una resistencia alta y un potenciómetro una baja frente a lo que alimenta (Ejercicio 6.4).

Método 6.15 (Reducir una red)

Para hallar una corriente o una tensión en una red de resistores con una sola fuente:

empezando lejos de la fuente, sustitúyanse los grupos en serie y en paralelo por sus equivalentes hasta que un único resistor quede frente a la fuente;
calcúlese la corriente de la fuente;
recórrase el camino inverso, repartiendo corrientes con divisores de corriente y tensiones con divisores de tensión, hasta la rama buscada.

Con varias fuentes, o para una rama cuyo entorno cambia, úsense los teoremas de la sección siguiente.

6.4 Teoremas de los circuitos lineales

Definición 6.16 (Dipolo lineal, circuito lineal)

Un dipolo es lineal si su característica es una recta (resistor, fuentes ideales y reales); un circuito formado solo por dipolos lineales es un circuito lineal. Sus incógnitas obedecen un sistema de ecuaciones lineales (las leyes de Kirchhoff más las características), cuya solución es única.

Teorema 6.17 (Thévenin y Norton)

Visto desde dos de sus bornes $A$ y $B$ , todo circuito lineal equivale a una fuente real: una fem $E_{\mathrm{Th}}$ en serie con una resistencia $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), o una fuente de corriente $I_N = E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ en paralelo con $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), donde

$E_{\mathrm{Th}}$ es la tensión en circuito abierto $u_{AB}$ ;
$I_N$ es la corriente de cortocircuito de $A$ hacia $B$ ;
$R_{\mathrm{Th}}$ es la resistencia vista entre $A$ y $B$ cuando se apaga toda fuente independiente (las fuentes de tensión ideales se sustituyen por hilos y las de corriente ideales por circuitos abiertos).

Demostración parcial. Por linealidad, la relación entre la tensión $u_{AB}$ y la corriente $i$ que se extrae de los bornes es afín: $u_{AB} = a - b\,i$ . Hacer $i = 0$ identifica $a = E_{\mathrm{Th}}$ ; hacer $u_{AB} = 0$ da $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$ . Que $b$ sea igual a la resistencia vista con las fuentes apagadas se sigue de la superposición (más abajo): la parte de $u_{AB}$ debida solo a la corriente exterior es la que produciría una red pasiva de resistencia $R_{\mathrm{Th}}$ . Que todo sistema lineal tenga una relación entrada–salida afín es el álgebra de las ecuaciones lineales. ∎

Teorema 6.18 (Superposición)

En un circuito lineal con varias fuentes independientes, cualquier corriente o tensión es la suma de los valores que toma cuando cada fuente actúa sola, con las demás apagadas.

Demostración. Las ecuaciones son lineales en las incógnitas, con las fuentes como segundo miembro; la solución es una función lineal de ese segundo miembro y, por tanto, la suma de las soluciones para cada fuente por separado. ∎

Proposición 6.19 (Teorema de Millman)

Un nudo $N$ conectado a puntos de potenciales $V_1, \dots, V_n$ a través de resistencias $R_1, \dots, R_n$ (y a nada más) tiene el potencial

V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},

la media de los potenciales de sus vecinos ponderada por las conductancias.

Demostración. Ley de los nudos en $N$ : $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$ ; despéjese $V_N$ . ∎

Dos fuentes que alimentan una carga común R_3. Vista desde los bornes de R_3, el resto del circuito es una fuente de Thévenin (E_ Th, R_ Th); el teorema de Millman da el potencial del nudo N en una línea. — Dos fuentes que alimentan una carga común $R_3$ . Vista desde los bornes de $R_3$ , el resto del circuito es una fuente de Thévenin ( $E_{\mathrm{Th}}$ , $R_{\mathrm{Th}}$ ); el teorema de Millman da el potencial del nudo $N$ en una línea.

Ejemplo 6.20 (Tres caminos hacia la misma respuesta)

En la figura, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ , $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ . Millman: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 = 6.25\,\mathrm{V}$ . Superposición: $E_1$ sola ve $R_2 \parallel R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$ , luego $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sola ve $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; en total $6.25\,\mathrm{V}$ . Thévenin visto desde $R_3$ : $E_{\mathrm{Th}}$ es la tensión en circuito abierto del divisor $(E_1, R_1, R_2, E_2)$ : $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times 2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$ ; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ ; y entonces $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$ .

6.5 Punto de funcionamiento; el puente de Wheatstone

Método 6.21 (Punto de funcionamiento gráfico)

Un dipolo no lineal (de característica $i = g(u)$ ) alimentado por una fuente de Thévenin $(E, R)$ se sitúa donde se cumplen ambas relaciones: trácense en los mismos ejes la característica del dipolo y la recta de carga $u = E - Ri$ de la fuente; su intersección es el punto de funcionamiento. Dimensionar el resistor en serie de un LED, un regulador Zener o la polarización de un transistor es exactamente esta construcción.

Un LED (umbral cerca de 2\, V) alimentado por E = 5\, V a través de R = 200\,: la recta de carga u = E - Ri corta la característica del diodo en 2.0\, V, 15\, mA. Aumentar R inclina la recta hacia abajo y atenúa el LED. — Un LED (umbral cerca de $2\,\mathrm{V}$ ) alimentado por $E = 5\,\mathrm{V}$ a través de $R = 200\,\Omega$ : la recta de carga $u = E - Ri$ corta la característica del diodo en $2.0\,\mathrm{V}$ , $15\,\mathrm{mA}$ . Aumentar $R$ inclina la recta hacia abajo y atenúa el LED.

Proposición 6.22 (Puente de Wheatstone)

Cuatro resistores $R_1, R_2$ (una rama) y $R_3, R_4$ (la otra) sometidos a una fuente $E$ ; la salida del puente es la tensión entre los dos puntos intermedios:

u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),

nula (el puente está equilibrado) si y solo si $R_1R_4 = R_2R_3$ . Para un puente equilibrado con $R_4$ perturbada a $R_4(1 + \epsilon)$ , $\epsilon \ll 1$ , y $R_3 = R_4$ : $u \approx -E\epsilon/4$ .

Demostración. Dos divisores de tensión; réstense. Equilibrio: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 + R_2)$ , es decir $R_2R_3 = R_1R_4$ . Con $R_3 = R_4 = R$ y $R_1 = R_2$ : $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 - 2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$ . ∎

El puente de Wheatstone: dos divisores uno al lado del otro. Equilibrado cuando R_1R_4 = R_2R_3, convierte una variación minúscula de una resistencia (galga extensométrica, termistor) en una tensión en torno a cero, mucho más fácil de amplificar que una variación pequeña de una tensión grande. — El puente de Wheatstone: dos divisores uno al lado del otro. Equilibrado cuando $R_1R_4 = R_2R_3$ , convierte una variación minúscula de una resistencia (galga extensométrica, termistor) en una tensión en torno a cero, mucho más fácil de amplificar que una variación pequeña de una tensión grande.

6.6 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

Un teléfono se carga a $1.5\,\mathrm{A}$ durante una hora: ¿qué carga circula y cuántos electrones? Estímese si se cumple el régimen cuasiestacionario para la instalación de una vivienda a $50\,\mathrm{Hz}$ , para un circuito de $10\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ y para ese mismo circuito a $1\,\mathrm{GHz}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$ , $N = 5400/1.6\times10^{-19} = 3.4 \times 10^{22}$ electrones. $c/f$ : $6000\,\mathrm{km}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ (vivienda: sí); $300\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ (circuito de $10\,\mathrm{cm}$ : sí); $30\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{GHz}$ , comparable a $10\,\mathrm{cm}$ : no.

Ejercicio 6.2 ★

Un calefactor de $2000\,\mathrm{W}$ a $230\,\mathrm{V}$ : corriente, resistencia y energía consumida en $3.0\,\mathrm{h}$ (en kWh y en julios). Su cable de cobre de $5.0\,\mathrm{m}$ tiene una sección de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ( $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ ): potencia perdida en el cable.

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$ ; $E = 6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ . Cable: un conductor $R = 1.7\times10^{-8} \times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$ , dos conductores $0.11\,\Omega$ : $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 6.3 ★

Con $10\,\Omega$ , $20\,\Omega$ y $30\,\Omega$ : calcúlese la resistencia de los tres en serie, en paralelo y la de $(10 \parallel 20) + 30$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

Serie $60\,\Omega$ ; paralelo $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$ ; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$ , más $30$ : $36.7\,\Omega$ .

Ejercicio 6.4 ★

Una fuente de $12\,\mathrm{V}$ alimenta $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ y $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ en serie. Calcúlese la tensión en bornes de la de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ . Se conecta después en paralelo con ella un aparato de resistencia $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ : ¿nueva tensión? Conclúyase sobre el efecto de carga.

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$ . Con carga: $2.2 \parallel 2.2 = 1.1\,\mathrm{k}\Omega$ , $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$ : la carga hunde el divisor un $40\%$ — un divisor solo “divide” si alimenta algo de resistencia mucho mayor.

Ejercicio 6.5 ★★

Una batería marca $12.6\,\mathrm{V}$ en circuito abierto y $11.4\,\mathrm{V}$ mientras entrega $120\,\mathrm{A}$ . Hállense su resistencia interna y su corriente de cortocircuito, la potencia entregada al motor de arranque y la perdida en su interior, y el rendimiento.

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$ ; $I_N = 12.6/0.010 = 1260\,\mathrm{A}$ . Al motor de arranque $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$ ; se pierden $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$ ; rendimiento $1368/1512 = 90\%$ .

Ejercicio 6.6 ★★

Hállese el equivalente de Thévenin, visto desde los bornes del resistor de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ , del divisor de Ejercicio 6.4 ( $E = 12\,\mathrm{V}$ , $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$ ). Úsese para recuperar la tensión con carga de aquel ejercicio.

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (divisor en circuito abierto); $R_{\mathrm{Th}} = 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (fuente cortocircuitada). Con carga: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 6.7 ★★

Dos baterías, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ( $r_1 = 1.0\,\Omega$ ) y $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ( $r_2 = 2.0\,\Omega$ ), se conectan en paralelo (misma polaridad) a una carga de $2.0\,\Omega$ . Hállese la tensión en la carga por superposición y luego por Millman, y la corriente en cada batería. ¿Se carga o se descarga la batería más débil?

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

Superposición: $E_1$ sola ve $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$ , $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$ ; $E_2$ sola ve $r_1 \parallel R = 0.667\,\Omega$ , $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$ ; en total $6.25\,\mathrm{V}$ . Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$ . Batería 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ que salen; batería 2: $(5 - 6.25)/2 = -0.63\,\mathrm{A}$ , es decir $0.63\,\mathrm{A}$ hacia ella — la está cargando la más fuerte; carga $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$ .

Ejercicio 6.8 ★★

Una fuente $E = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 3.0\,\Omega$ . Calcúlense la potencia entregada a cargas de $1.0\,\Omega$ , $3.0\,\Omega$ y $12\,\Omega$ y el rendimiento en cada caso. ¿Qué carga elegiría un ingeniero para un aparato alimentado por batería, y por qué no la adaptada?

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

$i = 9/(R + 3)$ , $P = Ri^2$ , $\eta = R/(R + 3)$ : $1\,\Omega$ : $5.1\,\mathrm{W}$ , $25\%$ ; $3\,\Omega$ : $6.75\,\mathrm{W}$ , $50\%$ ; $12\,\Omega$ : $4.3\,\mathrm{W}$ , $80\%$ . Un aparato a batería busca rendimiento (autonomía), luego $R \gg r$ ; la carga adaptada malgasta la mitad de la energía en calor dentro de la batería.

Ejercicio 6.9 ★★

Un LED conduce a $2.0\,\mathrm{V}$ y debe llevar $15\,\mathrm{mA}$ desde una fuente de $5.0\,\mathrm{V}$ . Elíjase el resistor en serie, calcúlense las potencias en el resistor y en el LED, y esbócese la construcción con la recta de carga. ¿Qué ocurre si la fuente es de $3.3\,\mathrm{V}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$ ; $P_R = 3.0 \times 0.015 = 45\,\mathrm{mW}$ , $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$ . La recta de carga, de $(0, 25\,\mathrm{mA})$ a $(5\,\mathrm{V}, 0)$ , corta la característica vertical en $2.0\,\mathrm{V}$ . A $3.3\,\mathrm{V}$ el mismo resistor da solo $6.5\,\mathrm{mA}$ ; para $15\,\mathrm{mA}$ hace falta $R = 1.3/0.015 = 87\,\Omega$ .

Ejercicio 6.10 ★★★

Una galga extensométrica $R_4 = R(1 + \epsilon)$ , con $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ , está montada en un puente de Wheatstone con otros tres resistores fijos de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ alimentado a $5.0\,\mathrm{V}$ . Dedúzcase la tensión de salida a primer orden en $\epsilon$ y calcúlese para $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$ . ¿Por qué es preferible el puente a medir la tensión de la galga en un simple divisor?

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] = -E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} = -1.25\,\mathrm{mV}$ . En un divisor simple esa misma variación se monta sobre un desplazamiento de $2.5\,\mathrm{V}$ ( $2.501\,25\,\mathrm{V}$ ); el puente entrega los $1.25\,\mathrm{mV}$ en torno a cero, que pueden amplificarse mil veces sin saturar nada.

Ejercicio 6.11 ★★★

Doce resistores idénticos $R$ forman las aristas de un cubo. Usando la simetría (qué nudos están al mismo potencial cuando una corriente $I$ entra por un vértice y sale por el opuesto), muéstrese que la resistencia entre vértices opuestos vale $5R/6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

Por simetría, los tres vecinos del vértice de entrada comparten un potencial y los tres vecinos del vértice de salida otro. La corriente $I$ se reparte en $I/3$ por las tres aristas de entrada, cada una después en dos de $I/6$ por las seis aristas centrales, que se recombinan en $I/3$ en las tres aristas de salida. Tensión: $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$ , luego $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$ .

Ejercicio 6.12 ★★★

Una fuente de corriente $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ en paralelo con $4.0\,\Omega$ se conecta, a través de un resistor de $2.0\,\Omega$ , a una batería de $6.0\,\mathrm{V}$ (de resistencia despreciable) cuya fem se le opone. Conviértase la fuente de Norton en una de Thévenin y hállense la corriente en el resistor de $2.0\,\Omega$ y la potencia intercambiada por cada fuente.

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ con $4.0\,\Omega$ en serie. Malla: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$ , $i = 0.33\,\mathrm{A}$ hacia la batería. La batería recibe $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (se carga); el resistor de $2\,\Omega$ disipa $0.22\,\mathrm{W}$ ; la tensión en bornes del conjunto Norton vale $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$ , así que su $4\,\Omega$ lleva $1.67\,\mathrm{A}$ y disipa $11.1\,\mathrm{W}$ , y la fuente de corriente entrega $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — todo cuadra.

Bajo el capó: la batería de 12\, V, sus cables gruesos y el alternador — la red de corriente continua del problema de fin de semana, con centenares de amperios en el arranque. — Bajo el capó: la batería de $12\,\mathrm{V}$ , sus cables gruesos y el alternador — la red de corriente continua del problema de fin de semana, con centenares de amperios en el arranque.

6.7 Problema: la instalación eléctrica de un coche

Problema 6.1

Problema de fin de semana — una batería, un motor de arranque, dos faros, un alternador y unos metros de cobre: quién se lleva la corriente, quién la paga y por qué bajan las luces al arrancar

La batería es una fuente real de fem $E = 12.6\,\mathrm{V}$ y resistencia interna $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$ . Cobre: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ .

Parte I — La batería sola.

Dibújese el modelo de Thévenin y escríbase $u(i)$ en el convenio generador.
Dense la tensión en circuito abierto y la corriente de cortocircuito. ¿Por qué una llave caída no debe puentear nunca los bornes?
Escríbase el modelo de Norton de esa misma batería.
La batería alimenta un resistor $R$ : exprésense la corriente, la tensión en bornes, la potencia $P_R$ entregada y la potencia perdida en $r$ .
Muéstrese que $P_R$ es máxima para $R = r$ y calcúlese ese máximo. ¿Cuál es entonces el rendimiento?
Un técnico mide $u = 12.48\,\mathrm{V}$ a $12\,\mathrm{A}$ y $u = 11.40\,\mathrm{V}$ a $120\,\mathrm{A}$ . Compruébese que ambos puntos caen sobre el modelo y explíquese cómo una serie de puntos así da $E$ y $r$ mediante un ajuste por una recta.
La batería almacena $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . ¿Cuánto tiempo podría alimentar los dos faros de $55\,\mathrm{W}$ sola (tómese $12\,\mathrm{V}$ )? ¿Cuánta energía es eso en julios?

Parte II — Arrancar con las luces encendidas. El motor de arranque es un resistor $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$ ; cada faro es de $55\,\mathrm{W}$ a $12.0\,\mathrm{V}$ y se trata como un resistor.

Calcúlense la resistencia de un faro y la de los dos en paralelo.
Motor de arranque solo: corriente, tensión en bornes, potencia en el motor de arranque y potencia perdida en la batería.
Motor de arranque y los dos faros a la vez: resistencia de carga equivalente, corriente total y tensión en bornes.
Úsese el divisor de corriente para hallar la corriente del motor de arranque y la de los faros.
Calcúlese la potencia que recibe ahora cada faro y compárese con su valor nominal: ¿en qué fracción se atenúan las luces?
Explíquese en dos frases, con la ley de las mallas, por qué las luces se atenúan precisamente porque el motor de arranque consume una corriente grande.
¿Ayudaría a las luces poner cables de batería más gruesos? Justifíquese de forma cualitativa por ahora (la Parte IV lo cuantifica).

Parte III — Motor en marcha: el alternador. El alternador es una segunda fuente real, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$ , $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$ , en paralelo con la batería; el motor de arranque está parado y los dos faros encendidos.

Dibújese el circuito: dos fuentes reales y la carga de los faros en paralelo entre los dos mismos nudos.
Aplíquese el teorema de Millman para hallar la tensión común en bornes.
Dedúzcanse la corriente del alternador, la de la batería (¡con su signo!) y la de los faros; compruébese la ley de los nudos.
¿Se carga o se descarga la batería? ¿Qué potencia recibe y qué potencia suministra el alternador?
Recupérese la tensión en bornes por superposición (cada fuente sola, con la otra sustituida por su resistencia interna) y compruébese.

Parte IV — Sensores y cables.

El sensor de refrigerante es un termistor cuya resistencia baja de $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta $300\,\Omega$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; es el resistor inferior de un divisor alimentado a $5.0\,\mathrm{V}$ , siendo $R_0$ el superior. Exprésese la tensión de salida y calcúlese a ambas temperaturas para $R_0 = 775\,\Omega$ .
Muéstrese que la excursión de salida entre las dos temperaturas es máxima cuando $R_0$ es la media geométrica de los dos valores del sensor, y compruébese el valor anterior.
El mismo sensor se monta en un puente de Wheatstone con otros tres resistores de $775\,\Omega$ : escríbase la salida del puente y dígase a qué temperatura está equilibrado.
El cable del motor de arranque mide $1.5\,\mathrm{m}$ en cada sentido. Calcúlense la resistencia de un conductor de sección $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , la caída de tensión total a $140\,\mathrm{A}$ y la potencia disipada en los cables.
Lo mismo con cable de $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : ¿por qué es tan grueso el cable del motor de arranque?
Resúmase: dese la tensión en bornes durante el arranque, la fracción de potencia que llega al motor de arranque y la única ley que explica la atenuación de las luces.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. Fem ideal $E$ en serie con $r$ : $u = E - ri$ .

2. $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$ ; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$ . Una llave apoyada sobre los bornes la llevaría: $16\,\mathrm{kW}$ en unos gramos de acero — se funde y salpica.

3. Fuente de corriente $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ en paralelo con $10\,\mathrm{m}\Omega$ .

4. $i = E/(R + r)$ ; $u = ER/(R + r)$ ; $P_R = E^2R/(R + r)^2$ ; $P_r = E^2r/(R + r)^2$ .

5. $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$ : máximo en $R = r$ , $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$ ; rendimiento $R/(R + r) = 50\%$ .

6. $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$ ; $12.6 - 0.010 \times 120 = 11.40\,\mathrm{V}$ . Representar $u$ frente a $i$ da una recta de ordenada en el origen $E$ y pendiente $-r$ (mínimos cuadrados, Capítulo 1).

7. Dos lámparas: $110\,\mathrm{W}$ a $12\,\mathrm{V}$ , $9.2\,\mathrm{A}$ ; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$ . Energía $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$ .

8. $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$ ; en paralelo $1.31\,\Omega$ .

9. $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$ ; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$ ; se pierden $0.010 \times 140^2 = 196\,\mathrm{W}$ .

10. $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$ ; $i = 12.6/0.0854 = 148\,\mathrm{A}$ ; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$ .

11. $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$ ; $i_h = 8.5\,\mathrm{A}$ para las dos lámparas.

12. Cada lámpara: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ frente a $55\,\mathrm{W}$ : un $14\%$ menos.

13. Ley de las mallas: la tensión en bornes vale $u = E - ri$ ; los $140\,\mathrm{A}$ del motor de arranque producen una caída de $1.4\,\mathrm{V}$ dentro de la batería, y las lámparas, en paralelo sobre esos mismos bornes, reciben esa tensión reducida.

14. Solo en parte: unos cables más gruesos reducen la caída en los cables, no en $r$ ; las lámparas alimentadas desde los bornes siguen viendo $E - ri$ .

15. Tres ramas entre los dos mismos nudos: $(E, r)$ , $(E_a, r_a)$ y $R_h = 1.31\,\Omega$ .

16. $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763} = \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$ .

17. Alternador $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$ ; batería $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (que circulan hacia ella); lámparas $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$ ; $28.3 = 18.6 + 9.8$ .

18. Se carga. Recibe $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ( $234\,\mathrm{W}$ almacenados, $3.5\,\mathrm{W}$ de calor); el alternador suministra $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ en sus bornes.

19. Batería sola (alternador $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$ ): carga $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 = 10.44\,\mathrm{V}$ . Alternador solo (batería $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$ ): carga $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$ , $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 = 2.35\,\mathrm{V}$ . Suma $12.79\,\mathrm{V}$ .

20. $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$ : $3.60\,\mathrm{V}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1.40\,\mathrm{V}$ a $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

21. $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$ ; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 + R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$ : $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} = 775\,\Omega$ .

22. $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$ , nula cuando $R_s = 775\,\Omega$ , es decir a la temperatura intermedia en la que el termistor alcanza ese valor.

23. $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} = 1.6\,\mathrm{m}\Omega$ por conductor, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ en total; caída $0.0032 \times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$ ; potencia $63\,\mathrm{W}$ .

24. $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ cada uno, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ en total: caída $1.8\,\mathrm{V}$ y $250\,\mathrm{W}$ desperdiciados — el motor de arranque perdería un sexto de su tensión. Un cable grueso mantiene $R_{\text{cable}} \ll R_s$ .

25. Unos $11.1\,\mathrm{V}$ en bornes durante el arranque; el motor de arranque recibe $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ de la potencia de la batería; la atenuación de las luces es la ley de las mallas, $u = E - ri$ .

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