Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

20Teoría cinética y gas perfecto

El aire de un aula pesa tanto como un hombre adulto y contiene más moléculas que granos de arena hay en la Tierra, cada una volando a la velocidad de la bala de un fusil y chocando diez mil millones de veces por segundo con sus vecinas. Nadie puede seguir a una de ellas; nadie necesita hacerlo. Un puñado de promedios — presión, temperatura, volumen, cantidad de sustancia — describe el aire por completo para cualquier fin de la ingeniería, y una imagen sencilla de moléculas que rebotan en las paredes explica de dónde salen esos promedios y cómo se relacionan. Este capítulo abre la parte de termodinámica del volumen mirando la materia por los dos extremos: el caos microscópico y la calma macroscópica, y la teoría cinética que los conecta en el caso del gas perfecto.

20.1 Dos escalas de descripción

Definición 20.1 (Escalas microscópica y macroscópica)

A escala microscópica, la materia está hecha de moléculas: $1\,\mathrm{mol}$ contiene $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ de ellas, cada una de unos $0.3\,\mathrm{nm}$ de tamaño; en un gas en condiciones ordinarias distan $3\,\mathrm{nm}$ , se mueven a centenares de metros por segundo y chocan cada $70\,\mathrm{nm}$ aproximadamente. A escala macroscópica, un sistema se describe con unas pocas variables de estado — presión $P$ , volumen $V$ , temperatura $T$ , cantidad de sustancia $n$ — que son promedios sobre números enormes de moléculas. Una variable es extensiva si se duplica al duplicar el sistema ( $V$ , $n$ , la masa, la energía), e intensiva si no ( $P$ , $T$ , la densidad).

Definición 20.2 (Equilibrio termodinámico)

Un sistema está en equilibrio termodinámico cuando sus variables de estado son uniformes y constantes en el tiempo y no lo atraviesa ningún flujo macroscópico de materia ni de energía. Solo entonces están definidas $P$ y $T$ para el conjunto del sistema; la ecuación de estado las liga con $V$ y $n$ .

Definición 20.3 (Presión)

Un fluido en reposo empuja sobre cada elemento de superficie $\dd S$ de una pared con una fuerza $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ normal a ella y dirigida hacia la pared; $P$ es la presión, en pascales ( $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ ); $1\,\mathrm{bar} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . En un punto dado no depende de la orientación de la superficie (Capítulo 21).

Definición 20.4 (Temperatura)

Dos sistemas en contacto a través de una pared que deja pasar energía alcanzan, con el tiempo, un estado común: están entonces a la misma temperatura, y dos cuerpos en equilibrio cada uno con un tercero lo están entre sí (el principio cero). La escala kelvin queda fijada por $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exactamente; en Celsius, $\theta = T - 273.15$ . La teoría cinética que sigue da a $T$ su sentido microscópico.

20.2 El modelo cinético del gas perfecto

Definición 20.5 (Gas perfecto, modelo microscópico)

Un gas perfecto (gas ideal) es un conjunto de $N$ moléculas, tratadas como puntos de masa $m$ , que se mueven libremente y al azar — sin más interacción que choques breves — dentro de un recipiente de volumen $V$ . En el equilibrio, la distribución de velocidades es isótropa y estacionaria; $n^* = N/V$ es la densidad numérica y $\langle v^2\rangle$ la velocidad cuadrática media.

Teorema 20.6 (Presión cinética)

La presión que ejerce el gas sobre las paredes vale

P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,

donde $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ es la energía cinética media de una molécula.

Demostración parcial. Tómese el modelo simplificado en el que todas las moléculas tienen rapidez $u$ y se mueven según los tres ejes, una sexta parte en cada sentido. Una molécula que golpea de frente la pared $x = 0$ rebota elásticamente y le entrega la cantidad de movimiento $2mu$ . En un tiempo $\dd t$ , las moléculas que se dirigen a la pared y alcanzan un área $S$ son las que están en la rodaja de espesor $u\,\dd t$ , una sexta parte de las $n^*Su\,\dd t$ que allí hay. Fuerza $=$ cantidad de movimiento por unidad de tiempo $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$ , luego $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Promediar sobre la distribución real de rapideces y direcciones sustituye $u^2$ por $\langle v^2\rangle$ (la isotropía da $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ ); el volumen del Año 2 lo hace completo. ∎

Izquierda: el origen cinético de la presión — las moléculas golpean una pared y rebotan, entregándole cantidad de movimiento; su número por segundo multiplicado por 2mu es la fuerza. Derecha: las rapideces reales están repartidas (distribución de Maxwell, aquí para el nitrógeno a dos temperaturas); la u única del modelo se sustituye por la velocidad cuadrática media. — Izquierda: el origen cinético de la presión — las moléculas golpean una pared y rebotan, entregándole cantidad de movimiento; su número por segundo multiplicado por $2mu$ es la fuerza. Derecha: las rapideces reales están repartidas (distribución de Maxwell, aquí para el nitrógeno a dos temperaturas); la $u$ única del modelo se sustituye por la velocidad cuadrática media.

Definición 20.7 (Temperatura cinética; ecuación de estado)

La temperatura de un gas perfecto se define por la energía cinética media de sus moléculas,

\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,

de modo que, combinando con Teorema 20.6,

PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,

la ecuación de estado del gas perfecto. La velocidad cuadrática media vale $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$ , donde $M$ es la masa molar.

Ejemplo 20.8 (Cifras del aire)

Nitrógeno a $300\,\mathrm{K}$ : $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} = 517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hidrógeno, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; cuanto más pesado, más lento, como $1/\sqrt M$ . A $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ , $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $24\,\mathrm{L}$ por mol y $2.7 \times 10^{22}\,$ moléculas en un litro. Un aula de $200\,\mathrm{m}^{3}$ : $8300\,\mathrm{mol}$ , $240\,\mathrm{kg}$ de aire.

Observación 20.9 (Por qué funciona el modelo y cuándo falla)

Entre dos choques, una molécula de aire vuela un recorrido libre medio $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — doscientas veces su tamaño: el gas está casi vacío, las interacciones son raras y $PV = nRT$ vale con un error menor del uno por ciento a presiones ordinarias. A presión alta o temperatura baja, el volumen propio de las moléculas y su atracción importan: la ecuación de van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrige ambas cosas, y por debajo de una temperatura crítica el gas se licúa (Capítulo 25).

El diagrama de Clapeyron de un gas perfecto: a cada temperatura la isoterma es una hipérbola P = nRT/V, más alta cuanto mayor es T. Una transformación es un camino en este plano; un ciclo, un lazo cerrado (). — El diagrama de Clapeyron de un gas perfecto: a cada temperatura la isoterma es una hipérbola $P = nRT/V$ , más alta cuanto mayor es $T$ . Una transformación es un camino en este plano; un ciclo, un lazo cerrado (Capítulo 24).

20.3 Energía interna del gas perfecto

Definición 20.10 (Energía interna)

La energía interna $U$ de un sistema es la suma de las energías cinéticas de sus moléculas en el sistema en el que el conjunto está en reposo y de sus energías potenciales mutuas; es una función de estado extensiva.

Proposición 20.11 (Energía interna de los gases perfectos)

Para un gas perfecto, $U$ depende solo de $T$ (primera ley de Joule):

\begin{gather*} U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatómico: He, Ne, Ar}), \\ U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatómico a temperaturas ordinarias: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2), \end{gather*}

de modo que la capacidad calorífica molar a volumen constante $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ vale $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ y $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ respectivamente.

Demostración parcial. Por hipótesis no hay energía potencial mutua, luego $U = N\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT$ para moléculas puntuales. Una molécula diatómica gira además: cada uno de sus dos grados de libertad de rotación lleva, en el equilibrio, el mismo $\tfrac12 k_BT$ que cada uno de traslación (el teorema de equipartición, admitido; el volumen del Año 3 lo deduce y explica por qué la vibración solo se suma por encima de unos mil kelvin). ∎

Ejemplo 20.12 (Lo que hay en un aula)

Los $8300\,\mathrm{mol}$ de aire del aula a $300\,\mathrm{K}$ : $U = \tfrac52 \times 8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — la energía de litro y medio de gasolina, guardada en movimiento molecular. Calentar el aula $1$ K cuesta $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (a volumen constante).

20.4 Fases condensadas

Proposición 20.13 (Modelo de la fase incompresible e indilatable)

Los líquidos y los sólidos se modelan, a este nivel, como fases de volumen fijo — ni compresibles ni dilatables — cuya energía interna depende solo de $T$ : $\dd U = C\,\dd T$ con $C = mc$ , siendo $c$ la capacidad calorífica específica ( $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para el agua, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para el acero). Las desviaciones reales, pequeñas, las miden el coeficiente de dilatación térmica $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ( $\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ para los metales, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ para los líquidos) y la compresibilidad isoterma $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ( $\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para el agua, frente a $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para un gas).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 20.14 (Cuán incompresible)

El agua del fondo de la fosa de las Marianas ( $1100\,\mathrm{bar}$ ) está comprimida en $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$ ; un carril de acero de $30\,\mathrm{m}$ calentado $50$ K se alarga $\alpha L\Delta T = 18\,\mathrm{mm}$ — la razón de las juntas de dilatación. Frente a un gas, cuyo volumen se reduce a la mitad al duplicar la presión, el modelo de volumen fijo es bueno con un error de pocos por ciento en casi todas las situaciones de este volumen.

20.5 Ejercicios

Ejercicio 20.1 ★

Número de moléculas en $1.0\,\mathrm{L}$ de gas a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{atm}$ ; distancia media entre vecinas; compárese con el tamaño molecular de $0.3\,\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.1.

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) = 2.7 \times 10^{22}$ ; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$ , diez veces el tamaño molecular.

Ejercicio 20.2 ★

Velocidades cuadráticas medias de H $_2$ , N $_2$ , O $_2$ y CO $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ , y de N $_2$ a $77\,\mathrm{K}$ (nitrógeno en ebullición).

Solución

Solución de Ejercicio 20.2.

$u = \sqrt{3RT/M}$ : H $_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , N $_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , O $_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , CO $_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; N $_2$ a $77\,\mathrm{K}$ : $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 20.3 ★

Un neumático de coche de $30\,\mathrm{L}$ se infla a una presión manométrica de $2.5\,\mathrm{bar}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Cantidad y masa de aire dentro; presión absoluta tras un trayecto que lo calienta a $50{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 20.3.

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ absolutos: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314 \times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$ , $125\,\mathrm{g}$ . A $323\,\mathrm{K}$ , con $P \propto T$ : $3.86\,\mathrm{bar}$ (manométrica $2.85\,\mathrm{bar}$ ).

Ejercicio 20.4 ★

Estímense el recorrido libre medio de las moléculas de aire a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ ( $d = 0.37\,\mathrm{nm}$ ) y la frecuencia de choques de una molécula. ¿A qué presión llega el recorrido libre medio a $1\,\mathrm{m}$ (un “vacío”)?

Solución

Solución de Ejercicio 20.4.

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times 10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$ ; frecuencia $u/\lambda \approx 500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Como $\lambda \propto 1/P$ : $1\,\mathrm{m}$ para $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$ .

Ejercicio 20.5 ★★

Densidad del aire a $1.013\,\mathrm{bar}$ y $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ), y después a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Fuerza ascensional de un globo aerostático de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (diferencia de los dos pesos de aire).

Solución

Solución de Ejercicio 20.5.

$\rho = PM/RT$ : $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ y $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$ . Fuerza ascensional $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$ : unos $720\,\mathrm{kg}$ .

Ejercicio 20.6 ★★

El aire tiene un $21\%$ de O $_2$ en moléculas. Presión parcial del oxígeno a nivel del mar; a $5000\,\mathrm{m}$ , donde $P = 0.54\,\mathrm{atm}$ ; y en la cima del Everest ( $0.33\,\mathrm{atm}$ ). ¿Por qué sufre allí el organismo?

Solución

Solución de Ejercicio 20.6.

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$ : $0.21\,\mathrm{atm}$ ; $0.11\,\mathrm{atm}$ a $5000\,\mathrm{m}$ ; $0.07\,\mathrm{atm}$ en el Everest — un tercio del nivel del mar. El oxígeno entra en la sangre en proporción a su presión parcial; a un tercio, los pulmones no logran saturar la hemoglobina.

Ejercicio 20.7 ★★

Un mol de CO $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ en $1.0\,\mathrm{L}$ : presión según la ley del gas perfecto y después según van der Waals ( $a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$ , $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$ ). ¿Qué corrección domina aquí?

Solución

Solución de Ejercicio 20.7.

Gas perfecto: $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$ . Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 = 22.4\,\mathrm{bar}$ : la atracción ( $-3.6$ bar) pesa más que el volumen excluido ( $+1.2$ bar); el CO $_2$ real queda un $10\%$ por debajo del valor ideal.

Ejercicio 20.8 ★★

Energía interna del aire de una habitación de $50\,\mathrm{m}^{3}$ a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ ; energía para calentarlo $5\,\mathrm{K}$ a volumen constante; tiempo con un calefactor de $2\,\mathrm{kW}$ (sin pérdidas).

Solución

Solución de Ejercicio 20.8.

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$ ; $U = \tfrac52 nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$ ; $104\,\mathrm{s}$ con $2\,\mathrm{kW}$ .

Ejercicio 20.9 ★★

Un carril de acero de $30\,\mathrm{m}$ ( $\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) entre $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ : variación de longitud. Un anillo de latón ( $\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) de diámetro interior $49.95\,\mathrm{mm}$ ha de deslizarse sobre un eje de $50.00\,\mathrm{mm}$ : ¿cuánto hay que calentarlo?

Solución

Solución de Ejercicio 20.9.

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$ . Anillo: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$ : $\Delta T = 10^{-3}/ 1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (el agujero se dilata como el metal que lo rodea).

Ejercicio 20.10 ★★★

Energía por molécula a $300\,\mathrm{K}$ ( $\tfrac32 k_BT$ ) en julios y en eV; capacidades caloríficas molares $C_{V,m}$ del argón y del nitrógeno; ¿por qué es mayor la del nitrógeno pese a ser sus moléculas más ligeras?

Solución

Solución de Ejercicio 20.10.

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$ . Argón, $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; nitrógeno, $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ : la molécula diatómica almacena energía también en la rotación (dos grados de libertad más), sea cual sea su masa.

Ejercicio 20.11 ★★★

Repítase la deducción de la presión cinética en el modelo de las seis direcciones y muéstrese después que, para una distribución isótropa de velocidades, $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$ y que la fórmula de la presión no cambia.

Solución

Solución de Ejercicio 20.11.

Modelo de las seis direcciones: como en el texto, $P = \tfrac13 n^*mu^2$ . Isotropía: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ y su suma vale $\langle v^2\rangle$ , luego cada uno es $\tfrac13\langle v^2\rangle$ . El argumento del flujo con una distribución da $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (las moléculas con $v_x > 0$ golpean la pared, con cantidad de movimiento $2mv_x$ cada una y flujo $n^*v_x/2$ por clase de rapidez, promediado), es decir $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ : lo mismo.

Ejercicio 20.12 ★★★

Velocidades cuadráticas medias de H $_2$ y O $_2$ a $300\,\mathrm{K}$ comparadas con la velocidad de escape de la Tierra y con la de la Luna ( $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Sabiendo que la fracción de moléculas más rápidas que $3u$ es pequeña pero no nula, explíquese por qué la Tierra ha perdido su hidrógeno y la Luna su atmósfera entera.

Solución

Solución de Ejercicio 20.12.

H $_2$ : $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , O $_2$ : $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; Tierra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , Luna $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Para el O $_2$ en la Tierra, $v_e/u = 23$ : la cola de la distribución más allá de eso es del todo despreciable; para el H $_2$ , $v_e/u \approx 6$ : una fracción ínfima pero constante escapa cada año y, en miles de millones de años, el hidrógeno desaparece. En la Luna, $v_e/u$ vale $5$ para el O $_2$ y $1.2$ para el H $_2$ : todo se fugó.

20.6 Problema: el aire del aula

Problema 20.1

Problema de fin de semana — un aula llena de aire: contar sus moléculas, pesarlas, cronometrar sus vuelos y recuperar del mismo modelo la fuerza ascensional de un globo, la delgadez del aire de montaña y la velocidad del sonido

Un aula mide $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$ ; su aire está a $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ y $T = 293\,\mathrm{K}$ , con masa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , un $79\%$ de N $_2$ y un $21\%$ de O $_2$ en moléculas. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ , $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — Contar y pesar.

Cantidad de aire (en moles) y número de moléculas del aula.
Masa del aire; compárese con una persona.
Densidad numérica $n^*$ y distancia media entre moléculas ( $n^{*-1/3}$ ); compárese con el diámetro molecular $0.37\,\mathrm{nm}$ .
Velocidad cuadrática media del N $_2$ y del O $_2$ ; ¿por qué se mueve más despacio el gas más pesado a la misma temperatura?
Energía cinética media de una molécula; energía cinética de traslación total del aire del aula; compárese con la energía cinética de un coche a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Recorrido libre medio $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ y tiempo medio entre choques de una molécula.

Parte II — La presión a partir de los impactos.

Con el modelo de las seis direcciones y $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , calcúlese el número de impactos por segundo sobre $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de pared.
Calcúlese la cantidad de movimiento entregada por segundo y compruébese que reproduce la presión atmosférica.
Fuerza total del aire sobre una pared de $8\,\mathrm{m}$ por $2.5\,\mathrm{m}$ ; ¿por qué no se mueve la pared?
El aula se calienta hasta $303\,\mathrm{K}$ con las ventanas cerradas y selladas: nueva presión y fuerza neta sobre la pared.
El mismo calentamiento con una ventana abierta: ¿qué sale y cuánto?

Parte III — El empuje.

Densidad del aire del aula y del aire a $373\,\mathrm{K}$ a la misma presión.
Un globo aerostático de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ se llena con aire a $373\,\mathrm{K}$ : peso del aire caliente, peso del aire frío desalojado y fuerza ascensional disponible (Arquímedes, Capítulo 21).
La envoltura, la cesta, el quemador y el gas pesan $300\,\mathrm{kg}$ : ¿cuántos pasajeros de $75\,\mathrm{kg}$ puede elevar?
¿Hasta qué temperatura habría que calentar el aire para duplicar la fuerza ascensional, y por qué no se hace (la envoltura es de nailon)?
Un globo de helio del mismo volumen a $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): ¿fuerza ascensional? ¿Por qué usan aun así aire caliente los globos turísticos?

Parte IV — Aire enrarecido y velocidad del sonido.

Presión parcial del oxígeno en el aula.
En la cima del Everest, $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ y $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : densidad numérica de moléculas de oxígeno comparada con la del aula.
La presión atmosférica cae con la altura aproximadamente como $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ con $H = RT/Mg$ (Capítulo 21): calcúlense $H$ para $260\,\mathrm{K}$ y la altura a la que $P = P_0/2$ .
La velocidad del sonido en un gas perfecto vale $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ con $\gamma = 1.4$ para el aire (Capítulo 22): calcúlese a $293\,\mathrm{K}$ y compárese con la velocidad cuadrática media; interprétese la proximidad.
¿Cómo varía $c_s$ con $T$ ? Velocidad del sonido en el aula a $303\,\mathrm{K}$ y en helio a $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): ¿por qué suena aguda una voz con helio?
En la cima del Everest, ¿es el sonido más rápido o más lento que en el aula? ¿En cuánto?
Se sustituye el aire del aula por argón a los mismos $P$ y $T$ : ¿qué cambia en el recuento, en la masa, en las rapideces y en la energía interna?
Energía interna del aire del aula ( $U = \tfrac52 nRT$ ) y energía para calentarlo $10\,\mathrm{K}$ a volumen constante.
Resúmase en tres líneas lo que ha dado el modelo cinético: qué magnitudes macroscópicas ha explicado y a partir de qué único promedio microscópico.

Solución

Solución de Problema 20.1.

1. $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$ : $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314 \times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$ ; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$ .

2. $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$ : tres personas.

3. $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; distancia $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$ , nueve diámetros moleculares.

4. N $_2$ : $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; O $_2$ : $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . El mismo $\tfrac32 k_BT$ por molécula: $\tfrac12 mu^2$ fijo, luego $u \propto 1/\sqrt m$ .

5. $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ ; en total $N \times 6.1\times10^{-21} = 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — el movimiento molecular del aula equivale a ochenta coches.

6. $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25}) = 66\,\mathrm{nm}$ ; tiempo $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ .

7. Impactos por segundo sobre $S$ : $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times 10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

8. Cada uno entrega $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (con $m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ): fuerza $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23} = 10\,\mathrm{N}$ sobre $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , es decir $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . El modelo reproduce la presión atmosférica.

9. $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — doscientas toneladas; la misma presión actúa por el otro lado.

10. $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; neto $\Delta P\,S = 3.5 \times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ hacia fuera: siete toneladas sobre la pared.

11. Sale aire hasta que se igualan las presiones: $n \propto 1/T$ a $P$ y $V$ fijos: salen $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$ , $8\,\mathrm{kg}$ .

12. $\rho = PM/RT$ : $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$ y $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$ .

13. Aire caliente $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$ ; aire frío desalojado $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$ ; fuerza ascensional $7.1\,\mathrm{kN}$ ( $725\,\mathrm{kg}$ ).

14. $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$ : cinco pasajeros.

15. La fuerza ascensional es $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$ : duplicar $1 - 293/373 = 0.215$ exige $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ( $240{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), muy por encima de lo que tolera el nailon (unos $120{}^{\circ}\mathrm{C}$ ).

16. Helio: $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; fuerza ascensional $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ( $2.9\,\mathrm{t}$ ), cuatro veces más — pero el helio es caro y se pierde en cada aterrizaje, mientras que el aire caliente es gratis y su empuje se regula con el quemador.

17. $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ .

18. $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$ : aula, $2.1\times10^4/ (1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; Everest, $0.21 \times 0.33 \times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$ : un $38\%$ del aula.

19. $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$ ; $P_0/2$ a $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$ .

20. $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , frente a $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para la mezcla: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ . El sonido es una perturbación que transportan las propias moléculas, así que viaja a una velocidad del orden de la suya — algo menor, porque solo cuenta la componente en la dirección de propagación.

21. $c_s \propto \sqrt T$ : $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Helio: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : las resonancias del tracto vocal escalan con $c_s$ , de modo que todos los formantes suben tres veces.

22. Más lento: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , un $8\%$ menos; la presión no interviene.

23. El mismo $N$ (mismos $P$ , $V$ , $T$ ); masa $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$ ; rapideces $\times\sqrt{29/40}$ : $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $U = \tfrac32 nRT$ en vez de $\tfrac52$ : un $60\%$ .

24. $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ ; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ .

25. Un solo promedio, $\langle v^2\rangle$ , fija la presión ( $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ ), define la temperatura ( $\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$ ), da la ecuación de estado y la energía interna, y marca la escala de la velocidad del sonido.

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