Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

19Sistemas de puntos; introducción al sólido rígido

Una saltadora abandona el trampolín, se encoge, da dos volteretas y se estira; a lo largo de todo ello, un punto de su cuerpo — su centro de masas — traza la misma parábola sencilla que trazaría una piedra. Un yoyó soltado de la mano tarda tres veces más que una piedra en llegar al final de su cuerda y llega girando a dos mil vueltas por minuto. Una esfera maciza gana a una hueca por cualquier plano inclinado, sean cuales sean sus tamaños y sus masas. La mecánica de un solo punto, desarrollada en los capítulos anteriores, se extiende a sistemas de muchos puntos — y a los sólidos rígidos de la vida diaria — mediante un puñado de teoremas: el centro de masas se mueve como un punto, la energía y el momento angular se parten en una contribución del centro de masas y otra “en torno” a él, y un cuerpo que gira sobre un eje fijo es un sistema de un grado de libertad gobernado por su momento de inercia.

19.1 Centro de masas y cantidad de movimiento

Definición 19.1 (Centro de masas; cantidad de movimiento de un sistema)

Para puntos materiales de masas $m_i$ situados en $M_i$ , con masa total $M = \sum m_i$ , el centro de masas (baricentro) $G$ se define por

\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{es decir}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}

sea cual sea el origen $O$ . La cantidad de movimiento del sistema es $\vect P = \sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$ .

Teorema 19.2 (Teorema del centro de masas)

En un sistema inercial,

M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :

el centro de masas se mueve como un punto material de masa $M$ sometido solo a la resultante de las fuerzas exteriores. Para un sistema cerrado sin fuerza exterior, $\vect P$ se conserva y $G$ se mueve uniformemente.

Demostración. Súmese la segunda ley de Newton sobre todos los puntos; las fuerzas interiores se cancelan por parejas de acción y reacción; y $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ al derivar dos veces la definición de $G$ . ∎

Ejemplo 19.3 (Saltadora, retroceso, choque)

El $G$ de la saltadora sigue una parábola bajo su solo peso, gire como gire — sus músculos son fuerzas interiores. Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ que dispara una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\vect P = \vect 0$ antes y después, así que el fusil retrocede a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dos coches, uno de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y otro de $1500\,\mathrm{kg}$ en reposo, que quedan enganchados: $v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cantidad de movimiento conservada, mientras que el $60\%$ de la energía cinética se ha ido en chapa abollada y calor. La cantidad de movimiento se conserva en todo choque; la energía cinética, solo en los elásticos (Ejercicio 19.12).

19.2 Los teoremas de König

Definición 19.4 (Sistema baricéntrico)

El sistema baricéntrico $\mathcal R^*$ tiene su origen en $G$ y está en traslación respecto del sistema inercial $\mathcal R$ (sus ejes conservan direcciones fijas). Las magnitudes medidas en él llevan asterisco: $\vect v_i^* = \vect v_i - \vect v_G$ , y $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ .

Teorema 19.5 (Teoremas de König)

El momento angular respecto de un punto $O$ y la energía cinética de un sistema se parten en la contribución de su centro de masas, que lleva toda la masa, y las contribuciones en el sistema baricéntrico:

\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,

donde $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ y $E_k^* = \sum\tfrac12 m_iv_i^{*2}$ no dependen del origen del sistema.

Demostración. $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ y $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$ ; desarróllense $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ y $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$ : los términos cruzados contienen $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ o $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ y se anulan. ∎

Ejemplo 19.6 (Una rueda que rueda)

Una rueda de masa $M$ y radio $R$ , con momento de inercia $J$ respecto de su eje, que rueda sin deslizar con rapidez $v$ : el punto de contacto está en reposo, luego $\omega = v/R$ , y $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 + J/MR^2)$ — tres cuartos de $Mv^2$ para un disco homogéneo ( $J = \tfrac12 MR^2$ ) y $Mv^2$ para un aro. El segundo término explica por qué las ruedas de una bicicleta se hacen ligeras: su rotación cuesta una energía que la masa del cuadro no cuesta.

19.3 El problema de dos cuerpos

Proposición 19.7 (Masa reducida)

Dos puntos materiales que interaccionan solo entre sí (fuerza $\vect F$ sobre $m_2$ debida a $m_1$ , y $-\vect F$ sobre $m_1$ ): $G$ se mueve uniformemente y la posición relativa $\vect r = \vect{M_1M_2}$ cumple

\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},

la ecuación de un único punto ficticio de masa reducida $\mu$ que se mueve bajo $\vect F$ en torno a un centro fijo. En $\mathcal R^*$ , $E_k^* = \tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ y $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$ .

Demostración. $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 + m_2)/m_1m_2$ . En $\mathcal R^*$ , $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ y $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$ ; sustitúyase en $E_k^*$ y en $\vect L^*$ . ∎

Ejemplo 19.8 (Cuando el centro también se mueve)

En Capítulo 16 el Sol estaba fijo: exacto solo en el límite $m \ll M$ ; en general la tercera ley de Kepler se lee $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M + m)$ . Para la molécula de HCl que vibra en Problema 13.1, la masa que oscila en el pozo es $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) = 0.972\,m_H$ , lo que sube la frecuencia un $1.4\%$ ; para el átomo de hidrógeno, la $\mu$ del electrón difiere de $m_e$ en una parte entre $1836$ — medible en el espectro.

19.4 Sólido rígido que gira en torno a un eje fijo

Definición 19.9 (Sólido; rotación en torno a un eje fijo)

Un sólido rígido es un sistema cuyos puntos mantienen distancias mutuas fijas. Si gira en torno a un eje $\Delta$ fijo en el sistema, todo punto describe una circunferencia centrada en $\Delta$ con la misma velocidad angular $\omega = \dot\theta$ ; un punto a distancia $r_i$ del eje tiene rapidez $r_i\omega$ .

Proposición 19.10 (Momento de inercia; momento angular; energía cinética)

Con el momento de inercia $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (una integral $\int r^2\,\dd m$ para un cuerpo continuo):

L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .

Valores habituales (masa $M$ ): anillo delgado o cilindro hueco respecto de su eje, $MR^2$ ; disco homogéneo o cilindro macizo, $\tfrac12 MR^2$ ; varilla delgada de longitud $L$ respecto de su centro, $\tfrac{1}{12}ML^2$ , y respecto de un extremo, $\tfrac13 ML^2$ ; esfera maciza respecto de un diámetro, $\tfrac25 MR^2$ . Teorema de Huygens: respecto de un eje $\Delta$ paralelo a un eje $\Delta_G$ que pasa por $G$ a distancia $d$ , $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$ .

Demostración. $L_\Delta$ y $E_k$ : Proposición 15.9. Varilla respecto de un extremo: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$ ; respecto del centro, $\int_{-L/2}^{L/2} x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$ . Disco: anillo de radio $r$ y anchura $\dd r$ , de masa $(2Mr/R^2)\dd r$ : $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$ ; el anillo y la esfera se admiten (la esfera exige una integral doble). Huygens: con $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot \vect{GM_i}_\perp$ , el término cruzado suma cero por definición de $G$ . ∎

Izquierda: el momento de inercia de un disco, sumado anillo a anillo. Derecha: el teorema de Huygens — respecto de un eje por el borde de un disco, paralelo al eje por su centro, J = 1/2 MR2 + MR2. — Izquierda: el momento de inercia de un disco, sumado anillo a anillo. Derecha: el teorema de Huygens — respecto de un eje por el borde de un disco, paralelo al eje por su centro, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$ .

Teorema 19.11 (Dinámica de un sólido en torno a un eje fijo)

Para un sólido que gira en torno a un eje fijo $\Delta$ en un sistema inercial,

J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}), \qquad \frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :

los momentos de las fuerzas exteriores respecto del eje mandan sobre la aceleración angular, y un momento $\mathcal M_\Delta$ entrega la potencia $\mathcal M_\Delta\omega$ . Un pivote ideal (cojinete sin rozamiento) no ejerce momento alguno respecto de su eje y, por tanto, ni acelera ni frena la rotación.

Demostración. Teorema 15.8 proyectado sobre $\Delta$ , con $L_\Delta = J_\Delta\dot\theta$ y $J_\Delta$ constante para un sólido rígido; multiplíquese por $\dot\theta$ para la forma energética (las fuerzas interiores de un sólido rígido no trabajan: las distancias no cambian). ∎

Ejemplo 19.12 (Péndulo compuesto; péndulo de torsión)

Un sólido de masa $M$ que pivota en torno a un eje horizontal a distancia $d$ de $G$ : el momento del peso vale $-Mgd\sin\theta$ , luego $J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta$ y las oscilaciones pequeñas tienen el periodo

T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,

el de un péndulo simple de longitud $J_\Delta/Md$ — para una varilla homogénea que pivota por un extremo, $2L/3$ . Un disco colgado de un hilo de constante de torsión $C$ (momento recuperador $-C\theta$ ): $J\ddot\theta = -C\theta$ , $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — la balanza de torsión que midió $G$ y la ley de Coulomb.

Tres sólidos en movimiento: un péndulo compuesto que oscila en torno a un pivote (momento del peso respecto del eje), un péndulo de torsión (momento del hilo) y un sólido que rueda sin deslizar por un plano inclinado — cuanto mayor es su J/MR2, más despacio rueda. — Tres sólidos en movimiento: un péndulo compuesto que oscila en torno a un pivote (momento del peso respecto del eje), un péndulo de torsión (momento del hilo) y un sólido que rueda sin deslizar por un plano inclinado — cuanto mayor es su $J/MR^2$ , más despacio rueda.

Proposición 19.13 (Rodadura sin deslizamiento por un plano inclinado)

Un sólido de revolución ( $J = kMR^2$ respecto de su eje) soltado en un plano inclinado de ángulo $\alpha$ rueda sin deslizar con la aceleración

a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :

$\tfrac57 g\sin\alpha$ para una esfera maciza, $\tfrac23 g\sin\alpha$ para un disco y $\tfrac12 g\sin\alpha$ para un aro — sin depender de la masa ni del radio.

Demostración. Energía: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ a lo largo de la pendiente (el rozamiento estático en el punto de contacto, que está en reposo, no trabaja), luego $v^2 = 2ah$ con la $a$ indicada; o bien Newton para $G$ y el teorema del momento respecto de $G$ con el rozamiento $f$ : $Ma = Mg\sin\alpha - f$ , $kMR^2\dot\omega = fR$ , $a = R\dot\omega$ . ∎

Observación 19.14 (Sistemas deformables)

Para un sistema que no es rígido, el teorema de la energía cinética se lee $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$ : las fuerzas interiores trabajan (músculos, resortes, rozamiento dentro del sistema). La patinadora que recoge los brazos, la saltadora que se encoge y el ciclista que se levanta sobre los pedales ganan energía cinética sin trabajo exterior — el teorema del centro de masas sigue siendo cierto, y la energía viene de dentro.

19.5 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Masas de $2.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 0$ y de $3.0\,\mathrm{kg}$ en $x = 1.0\,\mathrm{m}$ : posición de $G$ . El sistema Tierra–Luna ( $81:1$ , $384\,000\,\mathrm{km}$ ): distancia de $G$ al centro de la Tierra; compárese con el radio terrestre.

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$ . Tierra–Luna: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ desde el centro de la Tierra, dentro de ella ( $6370\,\mathrm{km}$ ): la Tierra bambolea en torno a un punto situado $1700\,\mathrm{km}$ bajo su superficie.

Ejercicio 19.2 ★

Un fusil de $4.0\,\mathrm{kg}$ dispara una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Rapidez de retroceso; energías cinéticas de la bala y del fusil; ¿de dónde salió la energía?

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

$4.0v = 0.010 \times 800$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bala $\tfrac12 \times 0.010 \times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$ , fusil $8\,\mathrm{J}$ : de la energía química de la pólvora; el cuerpo ligero se lleva casi toda ( $E_k = p^2/2m$ con la misma $p$ ).

Ejercicio 19.3 ★

Un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ choca con otro de $1500\,\mathrm{kg}$ en reposo y quedan enganchados. Rapidez común; fracción de energía cinética perdida.

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k$ : $200\,\mathrm{kJ}$ antes y $\tfrac12 \times 2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ después: se pierde el $60\%$ .

Ejercicio 19.4 ★

Dedúzcase el momento de inercia de una varilla homogénea de masa $M$ y longitud $L$ respecto de un eje perpendicular por su extremo, y después por su centro; compruébese entre ambos el teorema de Huygens.

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

Extremo: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$ ; centro: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L) \dd x = ML^2/12$ ; Huygens con $d = L/2$ : $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$ .

Ejercicio 19.5 ★★

Energía cinética de un cilindro homogéneo que rueda y de un aro que rueda, de la misma masa y la misma rapidez, como múltiplos de $\tfrac12 Mv^2$ . ¿Cuál se detiene antes en un suelo plano rugoso y cuál sube más por una pendiente?

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ : cilindro $1.5$ y aro $2$ veces $\tfrac12 Mv^2$ . A igual rapidez, más energía para el aro: rueda más lejos en un suelo plano (mismo rozamiento) y sube más alto ( $h = v^2(1 + k)/2g$ ).

Ejercicio 19.6 ★★

Masa reducida del HCl ( $m_{Cl} = 35m_H$ ) y del átomo de hidrógeno ( $m_p = 1836m_e$ ); corrección relativa a una frecuencia de vibración o de órbita calculada solo con la masa ligera.

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

HCl: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$ ; átomo: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) = 0.99946m_e$ . Las frecuencias son $\propto 1/\sqrt\mu$ : $+1.4\%$ para el HCl y $+0.027\%$ para el hidrógeno (en ello se apoya el desplazamiento isotópico entre los espectros de H y de D).

Ejercicio 19.7 ★★

Una varilla homogénea de $1.0\,\mathrm{m}$ pivota libremente por un extremo. Periodo de las pequeñas oscilaciones; longitud del péndulo simple del mismo periodo; el punto de la varilla (el centro de percusión) en el que un golpe seco no produce reacción en el pivote está a esa distancia — ¿por qué lo busca un bateador?

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

$J = ML^2/3$ , $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g} = 1.64\,\mathrm{s}$ ; longitud equivalente $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$ . Un golpe en el centro de percusión pone la varilla a girar en torno al pivote sin reacción impulsiva allí: golpear la pelota en el “punto dulce” del bate y las manos no sienten el rebote.

Ejercicio 19.8 ★★

Un disco ( $M = 0.20\,\mathrm{kg}$ , $R = 10\,\mathrm{cm}$ ) cuelga de un hilo y oscila en torsión con un periodo de $2.0\,\mathrm{s}$ . Constante de torsión del hilo.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ .

Ejercicio 19.9 ★★

Un volante de inercia de $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ gira a $3000\,\mathrm{rpm}$ . Energía almacenada; momento de frenado que lo detiene en $10\,\mathrm{s}$ ; número de vueltas durante el frenado.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; vueltas: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$ .

Ejercicio 19.10 ★★★

Una esfera maciza, un cilindro macizo y un aro se sueltan a la vez en lo alto de un plano inclinado. Orden de llegada y cociente de sus aceleraciones. ¿Depende el resultado de sus radios o de sus masas?

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$ : esfera ( $k = 2/5$ ) $0.714$ , cilindro ( $1/2$ ) $0.667$ y aro ( $1$ ) $0.500$ veces $g\sin\alpha$ : la esfera primero y el aro el último; ni masa ni radio por ninguna parte.

Ejercicio 19.11 ★★★

Péndulo balístico: una bala de $10\,\mathrm{g}$ a $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se incrusta en un bloque de $2.0\,\mathrm{kg}$ colgado de un hilo de $1.0\,\mathrm{m}$ . Rapidez justo después del impacto; altura alcanzada; fracción de la energía cinética de la bala que se pierde. ¿Por qué no puede usarse la conservación de la energía para el impacto mismo?

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

Cantidad de movimiento: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$ : $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; después, energía: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$ . $E_k$ : $800\,\mathrm{J}$ antes y $\tfrac12 \times 2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ después: un $99.5\%$ perdido en deformación y calor. El impacto es inelástico — la energía no se conserva a través de él, la cantidad de movimiento sí (la tensión del hilo es vertical y el impacto brevísimo).

Ejercicio 19.12 ★★★

Choque elástico frontal de $m_1$ a $v_1$ contra $m_2$ en reposo: dedúzcanse $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ y $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$ . Fracción de energía transferida cuando un neutrón choca con un protón; con un núcleo de carbono ( $12m_n$ ); con uno de plomo ( $207m_n$ ). ¿Por qué se moderan los reactores con núcleos ligeros?

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ y $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ dan $v_1 + v_1' = v_2'$ (divídase la ecuación de la energía por la de la cantidad de movimiento), de donde las fórmulas. Fracción de energía cedida al blanco $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ : protón, $100\%$ ; carbono, $4 \times 12/169 = 28\%$ ; plomo, $4 \times 207/208^2 = 1.9\%$ . Los núcleos ligeros se quedan con la energía del neutrón en unos pocos choques (agua, grafito); el plomo necesitaría centenares.

Un yoyó que se desenrolla: el centro de masas cae, el disco gira y la tensión de la cuerda es lo que ata los dos movimientos — el problema de fin de semana.

19.6 Problema: el yoyó

Problema 19.1

Problema de fin de semana — un disco sobre un eje fino al final de una cuerda: por qué cae tan despacio, a qué velocidad gira abajo, por qué “duerme” allí y hacia dónde rueda un carrete cuando se tira de su hilo

Un yoyó es un disco homogéneo de masa $M = 50\,\mathrm{g}$ y radio $R = 3.0\,\mathrm{cm}$ con un eje fino de radio $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ en torno al cual se enrolla una cuerda de longitud $h = 1.0\,\mathrm{m}$ ; el extremo superior de la cuerda se mantiene fijo. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $J = \tfrac12 MR^2$ respecto del eje.

Parte I — Cinemática y energía.

¿Dónde está el centro de masas $G$ del yoyó? ¿Por qué?
Muéstrese, con el teorema de König, que su energía cinética vale $\tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
Dedúzcase $J = \tfrac12 MR^2$ integrando anillo a anillo, y calcúlese $J$ .
A medida que la cuerda se desenrolla del eje sin deslizar, relaciónense $v_G$ y $\omega$ .
Dedúzcase $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ y calcúlese el factor entre paréntesis. Coméntese.

Parte II — La caída.

Fuerzas sobre el yoyó; escríbase el teorema del centro de masas (eje vertical hacia abajo).
Escríbase el teorema del momento angular respecto del eje que pasa por $G$ (¿qué fuerzas tienen momento?).
Combínese con la pregunta 4 para hallar la aceleración $a_G = g/(1 + R^2/2r^2)$ ; calcúlese.
Calcúlese la tensión de la cuerda y compárese con el peso.
Tiempo que tarda en desenrollarse el metro de cuerda y rapidez entonces; compárese con una piedra soltada desde la misma altura.
Velocidad angular abajo, en rad/s y en vueltas por minuto.
Sepárese la energía cinética abajo en sus partes de traslación y de rotación.
Compruébese el balance energético: compárese $Mgh$ con la energía cinética abajo y dígase por qué la tensión de la cuerda, aun siendo grande, no trabaja.

Parte III — Abajo: el yoyó que duerme. Cuando la cuerda está del todo desenrollada, detiene el centro de masas en unos pocos milisegundos; el yoyó sigue girando en el lazo del extremo de la cuerda (“durmiendo”).

¿Por qué sobrevive el giro a la detención de $G$ ? (¿Qué teorema, y qué fuerza habría hecho falta para detenerlo?)
Estímese la tensión media durante la detención si $G$ se para en $5\,\mathrm{ms}$ .
El lazo roza contra el eje con un momento de rozamiento $\Gamma = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : ¿cuánto tiempo duerme el yoyó?
Un tirón seco hacia arriba hace que la cuerda vuelva a agarrar el eje; el yoyó, girando, sube entonces. Con la energía, ¿hasta qué altura podría subir si no se perdiera nada? ¿Por qué menos en la práctica?
Durante la subida, ¿es la tensión mayor o menor que el peso? (Signo de $a_G$ .)
¿Qué ocurriría con un yoyó cuyo eje tuviera radio $R$ (cuerda enrollada en el borde)? Calcúlese su aceleración de caída.

Parte IV — El carrete sobre la mesa. El mismo objeto se apoya en una mesa rugosa, con el eje horizontal, y su hilo sale horizontalmente por la parte inferior del eje; se tira con una fuerza $F$ . Rueda sin deslizar.

En el punto de contacto $C$ con la mesa, ¿cuál es la velocidad del material del carrete? Dedúzcase que el movimiento es, en cada instante, una rotación en torno a $C$ .
Calcúlese el momento de $F$ respecto de $C$ (brazo de palanca $R - r$ ) y el del peso y el de la reacción de la mesa.
Con el teorema del momento angular respecto de $C$ y $J_C = J + MR^2$ (Huygens), hállese $a_G$ y muéstrese que el carrete rueda hacia la mano.
Ahora se tira del hilo con un ángulo $\beta$ sobre la horizontal. Muéstrese que el carrete no rueda cuando la recta de acción de $F$ pasa por $C$ , es decir cuando $\cos\beta = r/R$ , y que rueda alejándose de la mano con tirones más inclinados. Calcúlese ese ángulo.
Calcúlese $a_G$ para $F = 0.20\,\mathrm{N}$ tirando en horizontal, y la fuerza de rozamiento necesaria; ¿qué limita $F$ antes de que el carrete deslice?
Resúmase: los tres teoremas usados (centro de masas, momento angular respecto de un eje y energía) y qué decidió cada uno.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. Sobre el eje, en el centro del disco, por simetría.

2. König: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$ , y en el sistema baricéntrico el yoyó gira sobre su eje: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$ .

3. Anillo de radio $\rho$ y masa $2M\rho\,\dd\rho/R^2$ : $J = \int_0^R \rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4} = 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

4. La cuerda está fija y se desenrolla del eje: el punto del eje en contacto con ella está momentáneamente en reposo, luego $v_G = r\omega$ .

5. $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ ; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$ : factor $29$ — casi toda la energía está en el giro.

6. Peso $Mg$ hacia abajo y tensión $T$ hacia arriba: $Ma_G = Mg - T$ .

7. Solo la tensión tiene momento respecto del eje (brazo de palanca $r$ ): $J\dot\omega = Tr$ .

8. $\dot\omega = a_G/r$ : $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$ ; entonces $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$ , $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

9. $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$ , el $97\%$ del peso: la cuerda casi lo sostiene.

10. $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$ ; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Una piedra: $0.45\,\mathrm{s}$ y $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

11. $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$ .

12. $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ frente a $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ : $28$ veces más energía en el giro que en la caída.

13. $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050 \times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$ . La tensión actúa en el punto de la cuerda que está en reposo (la cuerda no se mueve): potencia nula.

14. La fuerza que lo detiene actúa según la cuerda, pasando por el eje: no tiene momento respecto de él y el momento angular $J\omega$ queda intacto. Solo una fuerza tangencial (rozamiento en el eje) podría frenar el giro.

15. $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 = 8.7\,\mathrm{N}$ , dieciocho veces el peso — de ahí el tirón que siente el dedo.

16. $J\dot\omega = -\Gamma$ : $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times 205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$ .

17. Toda la energía de giro $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ se convierte en $Mgh'$ : $h' = 0.96\,\mathrm{m}$ , casi la altura entera; menos en la práctica por el rozamiento del eje durante el sueño y por las pérdidas del tirón.

18. $a_G$ apunta hacia abajo (el yoyó frena al subir) mientras $v_G$ apunta hacia arriba: $T = M(g - a_G) < Mg$ — menor que el peso.

19. $r = R$ : factor $1 + 1/2 = 1.5$ , $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — caída rápida y poco giro: un eje fino es lo que hace a un yoyó.

20. Rodadura sin deslizamiento: el punto material en $C$ tiene velocidad nula; el campo de velocidades de un sólido rígido con un punto en reposo es una rotación en torno a ese punto (eje por $C$ , el mismo $\omega$ ).

21. $F$ actúa en la parte baja del eje, a una altura $R - r$ sobre la mesa y en horizontal hacia la mano: momento $F(R - r)$ respecto de $C$ en el sentido que hace rodar el carrete hacia la mano; el peso y la reacción pasan por $C$ (sin momento).

22. $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$ , $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/ (\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$ : hacia la mano.

23. La recta de acción de $F$ pasa por $C$ cuando el hilo que sale de la parte baja del eje encuentra la mesa en $C$ : $\cos\beta = r/R$ , $\beta = 82^\circ$ . Más inclinado: el momento respecto de $C$ se invierte y el carrete rueda alejándose (y, con $\beta$ bastante grande, se levanta).

24. $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; el rozamiento sale de $Ma_G = F - f$ (se opone a $F$ ): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$ ; ha de mantenerse por debajo de $\mu_sMg \approx 0.2\,\mathrm{N}$ (con $\mu_s = 0.4$ ), es decir $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$ .

25. Centro de masas: la traslación de $G$ y la tensión; momento angular respecto de un eje: el giro y el sentido de rodadura; energía: la rapidez abajo y la altura de la subida.

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