Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

24Máquinas térmicas

Un motor de coche, una central eléctrica, un frigorífico y una bomba de calor son el mismo objeto visto por cuatro lados: un fluido que recorre un ciclo, en contacto por turnos con una fuente caliente y otra fría, intercambiando calor con ambas y trabajo con un eje. El primer principio lleva la contabilidad de la energía; el segundo, a través del balance de entropía a lo largo de un ciclo, fija el límite que ninguna astucia puede batir — el teorema de Carnot, la desigualdad de mayores consecuencias de toda la ingeniería. Este capítulo deduce ese límite, calcula el ciclo ideal y los reales que se le acercan (Otto, Diesel, Stirling), invierte la máquina para producir frío y calentar casas, y muestra cómo se paga, julio a julio, en trabajo perdido, la entropía creada por una máquina real.

24.1 Máquinas cíclicas y los dos principios

Definición 24.1 (Máquina termodinámica)

Una máquina termodinámica es un sistema cerrado (el fluido de trabajo) que recorre un ciclo, de modo que vuelve periódicamente al mismo estado, mientras intercambia un trabajo $W$ con el exterior y calores $Q_i$ con fuentes a las temperaturas $T_i$ — los termostatos, cuya temperatura no altera el intercambio. Una máquina ditérmica usa dos termostatos, la fuente caliente a $T_h$ y la fuente fría a $T_c < T_h$ . Es un motor si entrega trabajo ( $W < 0$ ), un frigorífico si se la acciona ( $W > 0$ ) para tomar calor de la fuente fría, y una bomba de calor si se la acciona para dar calor a la caliente. Todas las magnitudes se cuentan a lo largo de un ciclo, algebraicamente, como recibidas por el fluido.

Teorema 24.2 (Los dos principios en un ciclo; desigualdad de Clausius)

A lo largo de un ciclo de una máquina ditérmica,

W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad \frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,

con igualdad en la segunda relación si y solo si el ciclo es reversible. Más en general, para un número cualquiera de termostatos, $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (desigualdad de Clausius).

Demostración. $U$ y $S$ son funciones de estado, luego $\Delta U = 0$ y $\Delta S = 0$ a lo largo de un ciclo. El primer principio da $0 = W + Q_h + Q_c$ ; el balance de entropía (Teorema 23.1) da $0 = S_{\mathrm{exch}} + S_{\mathrm{created}}$ con $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$ , porque cada termostato intercambia a su propia temperatura fija (Proposición 23.5). ∎

Corolario 24.3 (Kelvin de nuevo)

Una máquina monoterma ( $Q_c = 0$ ) tiene $Q_h \leq 0$ , luego $W \geq 0$ : ningún ciclo puede convertir en trabajo el calor de una sola fuente. Un barco no puede navegar enfriando el mar — un motor necesita una fuente fría a la que ceder calor, y el segundo principio dice cuánto ha de ceder.

Los dos sentidos de un ciclo ditérmico. A la izquierda: el motor toma calor de la fuente caliente, cede parte de él a la fría y entrega la diferencia como trabajo. A la derecha: la misma máquina accionada al revés bombea calor de la fría a la caliente; es un frigorífico si lo que se quiere es Q_c, y una bomba de calor si lo que se quiere es |Q_h|. — Los dos sentidos de un ciclo ditérmico. A la izquierda: el motor toma calor de la fuente caliente, cede parte de él a la fría y entrega la diferencia como trabajo. A la derecha: la misma máquina accionada al revés bombea calor de la fría a la caliente; es un frigorífico si lo que se quiere es $Q_c$ , y una bomba de calor si lo que se quiere es $|Q_h|$ .

24.2 El teorema de Carnot

Definición 24.4 (Rendimiento y coeficientes de eficacia)

El rendimiento de un motor es el trabajo entregado por unidad de calor tomado de la fuente caliente, $\eta = -W/Q_h$ ; el coeficiente de eficacia (COP) de un frigorífico es el frío producido por unidad de trabajo, $e_f = Q_c/W$ ; el de una bomba de calor es el calor entregado por unidad de trabajo, $e_p = -Q_h/W$ . Cada uno es el cociente entre “lo que se quiere” y “lo que se paga”; un rendimiento vale a lo sumo 1, un coeficiente de eficacia puede superar 1.

Teorema 24.5 (Carnot)

Entre dos termostatos $T_h > T_c$ ,

\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},

con igualdad si y solo si el ciclo es reversible. Las cotas solo dependen de las temperaturas — no del fluido ni del mecanismo.

Demostración. Para un motor ( $Q_h > 0$ ): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$ , y la desigualdad de Clausius da $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$ . Para un frigorífico ( $Q_c > 0$ , $W > 0$ ): $W = -Q_h - Q_c$ con $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$ , luego $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ y $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$ . Para la bomba de calor, $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$ . La igualdad es el caso reversible $S_{\mathrm{created}} = 0$ en todo el ciclo. ∎

Ejemplo 24.6 (Tres cifras)

Una turbina de vapor entre $T_h = 800\,\mathrm{K}$ y un río a $T_c = 300\,\mathrm{K}$ : $\eta_C = 0.625$ ; las centrales reales llegan a unos $0.40$ . Un frigorífico doméstico entre los $275\,\mathrm{K}$ del interior y una cocina a $298\,\mathrm{K}$ : $e_f \leq 275/23 = 12$ ; las máquinas reales dan de $2$ a $4$ . Una bomba de calor que caldea una casa a $293\,\mathrm{K}$ con aire a $273\,\mathrm{K}$ : $e_p \leq 293/20 = 14.7$ ; las bombas reales dan de $3$ a $5$ — aun así, de tres a cinco veces lo que la misma electricidad daría en una resistencia (Problema 24.1).

Observación 24.7 (Por qué el rendimiento no puede valer 1)

Un motor recibe la entropía $Q_h/T_h$ con el calor que toma; el trabajo no se lleva ninguna; la única salida es el calor cedido a la fuente fría, que se lleva $|Q_c|/T_c$ . Como la entropía no puede destruirse, hay que tirar al menos $Q_h T_c/T_h$ de calor, y el trabajo es lo que queda. Cuanto más baja la fuente fría y más alta la caliente, mejor — de ahí las torres de refrigeración y la búsqueda de álabes de turbina cada vez más calientes.

24.3 El ciclo de Carnot

Definición 24.8 (Ciclo de Carnot)

El ciclo de Carnot es el ciclo ditérmico reversible: dos isotermas reversibles, a $T_h$ (en contacto con la fuente caliente) y a $T_c$ (con la fría), unidas por dos tramos adiabáticos reversibles (isentrópicos, sin ninguna fuente en contacto). Recorrido en sentido horario en el plano $(V, P)$ es un motor; en sentido antihorario, un frigorífico o una bomba de calor. En el diagrama entrópico es un rectángulo.

Proposición 24.9 (Ciclo de Carnot de un gas perfecto)

Para $n$ moles de gas perfecto que recorren $A \to B$ (isoterma $T_h$ , expansión), $B \to C$ (adiabática), $C \to D$ (isoterma $T_c$ , compresión), $D \to A$ (adiabática):

Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,

el valor de Carnot — como ha de ser en todo ciclo ditérmico reversible.

Demostración. En una isoterma $\Delta U = 0$ , luego $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{final}}/ V_{\text{inicial}})$ . En las adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ es constante: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ y $T_hV_A^{\gamma-1} = T_cV_D^{\gamma-1}$ , de donde $V_C/V_D = V_B/V_A$ y $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) = -nRT_c\ln(V_B/V_A)$ . Entonces $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$ . ∎

El ciclo de Carnot de un gas perfecto. A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, dos isotermas y dos adiabáticas (más empinadas), recorridas en sentido horario; el área encerrada es el trabajo entregado. A la derecha: el mismo ciclo en el diagrama entrópico es un rectángulo de altura T_h - T_c y anchura Q_h/T_h; su área vale otra vez -W, y el cociente de esa área por la que hay bajo el lado superior, Q_h, es 1 - T_c/T_h a simple vista. — El ciclo de Carnot de un gas perfecto. A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, dos isotermas y dos adiabáticas (más empinadas), recorridas en sentido horario; el área encerrada es el trabajo entregado. A la derecha: el mismo ciclo en el diagrama entrópico es un rectángulo de altura $T_h - T_c$ y anchura $Q_h/T_h$ ; su área vale otra vez $-W$ , y el cociente de esa área por la que hay bajo el lado superior, $Q_h$ , es $1 - T_c/T_h$ a simple vista.

Observación 24.10 (El ciclo de Carnot es un teorema, no un motor)

Las isotermas reversibles exigen una transferencia de calor infinitamente lenta a través de un salto de temperatura que se anula: un motor de Carnot entrega su trabajo máximo a potencia nula. Las máquinas reales cambian rendimiento por potencia aceptando diferencias finitas de temperatura en sus intercambiadores (Ejercicio 24.10); el valor de Carnot sigue siendo el techo con el que se mide todo diseño.

24.4 Los ciclos reales de los motores

Proposición 24.11 (Ciclo Otto)

El motor de gasolina idealizado hace recorrer al aire ( $\gamma$ ): $1 \to 2$ compresión adiabática de $V_1$ a $V_2$ (relación de compresión $r = V_1/V_2$ ); $2 \to 3$ calentamiento isócoro (la combustión); $3 \to 4$ expansión adiabática de vuelta a $V_1$ ; $4 \to 1$ enfriamiento isócoro (el escape). Su rendimiento vale

\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .

Demostración. Solo se intercambia calor en las isócoras: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ y $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ . En las adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ es constante: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ y $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$ , luego $T_3 - T_2 = (T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ y $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$ . ∎

Ejemplo 24.12 (Cifras de un motor de gasolina)

$r = 9$ , $\gamma = 1.4$ : $9^{0.4} = 2.41$ y $\eta = 0.58$ . Un motor real da alrededor de $0.30$ : la combustión no es instantánea, el gas no es perfecto a $2500\,\mathrm{K}$ , se fuga calor por las paredes, y el rozamiento y el bombeo se llevan su parte. Subir $r$ ayuda — hasta que la mezcla de aire y combustible se enciende sola al final de la compresión (el picado); el motor diésel convierte ese vicio en su principio.

Proposición 24.13 (Ciclo Diesel)

Sustitúyase el calentamiento isócoro del ciclo Otto por uno isobaro, de $V_2$ a $V_3 = \rho V_2$ (relación de inyección $\rho > 1$ ): el combustible inyectado en un aire ya caliente por una relación de compresión $r$ de $15$ a $22$ arde según llega. Entonces

\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,

menor que el valor Otto para la misma $r$ , pero alcanzado con $r$ mucho mayores y, por tanto, mayor en la práctica ( $0.40$ a $0.45$ en los motores grandes).

Demostración. $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ , $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$ , luego $\eta = 1 - (T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$ . Con $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ , $T_3 = \rho T_2$ y, en la adiabática $3 \to 4$ ( $V_4 = V_1 = rV_2$ ), $T_4 = T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$ : $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$ . ∎

A la izquierda: el ciclo Otto en el diagrama de Clapeyron (dibujado con r = 4): dos adiabáticas y dos isócoras; el calor entra en el punto muerto superior y sale con los gases de escape. A la derecha: rendimientos ideales frente a la relación de compresión; las líneas de trazos marcan un motor de gasolina (r = 9) y un diésel (r = 18, = 2). — A la izquierda: el ciclo Otto en el diagrama de Clapeyron (dibujado con $r = 4$ ): dos adiabáticas y dos isócoras; el calor entra en el punto muerto superior y sale con los gases de escape. A la derecha: rendimientos ideales frente a la relación de compresión; las líneas de trazos marcan un motor de gasolina ( $r = 9$ ) y un diésel ( $r = 18$ , $\rho = 2$ ).

Proposición 24.14 (Ciclo Stirling y regenerador)

Dos isotermas ( $T_c$ , $T_h$ ) unidas por dos isócoras. Los calores de los tramos isócoros, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$ , son iguales y opuestos; si el del tramo de enfriamiento se almacena en un regenerador (una masa porosa que el gas atraviesa) y se devuelve en el de calentamiento, solo las isotermas intercambian con las fuentes y $\eta = 1 - T_c/T_h$ : el motor Stirling es un motor de Carnot en todo salvo en la forma de su ciclo. Sin regenerador, el calor isócoro ha de venir de la fuente caliente y $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$ , bastante menor (Ejercicio 24.8).

Demostración. En las isotermas $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ y $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$ , luego $-W = Q_h + Q_c + 0$ una vez que los calores isócoros se cancelan; divídase por el calor realmente tomado de la fuente caliente en cada caso. ∎

Observación 24.15 (Turbinas de vapor y de gas)

Las centrales eléctricas no usan un gas en un cilindro, sino agua que se hierve, se expande en una turbina, se condensa y se bombea de vuelta (el ciclo de Rankine, con dos cambios de fase — Capítulo 25), o aire comprimido, calentado por combustión y expandido en una turbina de gas (el ciclo de Brayton, dos adiabáticas y dos isobaras). Su análisis exige el balance de energía de un fluido en circulación, que da el volumen del Año 2; la cota de Carnot y la lógica de este capítulo valen sin cambio.

24.5 Frigoríficos y bombas de calor

Definición 24.16 (Ciclo de compresión de vapor)

Casi todos los frigoríficos, congeladores, acondicionadores de aire y bombas de calor hacen recorrer a un refrigerante cuatro componentes: un compresor (recibe el trabajo y eleva la presión del vapor), un condensador (el vapor caliente se licua a alta presión y cede $|Q_h|$ al lado caliente), una válvula de expansión (el líquido baja a la presión baja sin trabajo ni calor, y se vaporiza en parte) y un evaporador (el resto hierve a baja presión y absorbe $Q_c$ del lado frío). El calor se transporta como calor latente de vaporización, y las dos presiones fijan las dos temperaturas de ebullición (Capítulo 25).

El ciclo de compresión de vapor. El refrigerante hierve en el evaporador, más frío que el lado frío, y se condensa en el condensador, más caliente que el lado caliente: el calor fluye en el sentido natural a través de cada intercambiador, y el compresor paga por elevarlo de T_ ev a T_ cd. — El ciclo de compresión de vapor. El refrigerante hierve en el evaporador, más frío que el lado frío, y se condensa en el condensador, más caliente que el lado caliente: el calor fluye en el sentido natural a través de cada intercambiador, y el compresor paga por elevarlo de $T_{\mathrm{ev}}$ a $T_{\mathrm{cd}}$ .

Proposición 24.17 (El precio de los saltos de temperatura)

Una máquina reversible que trabaja entre sus propias temperaturas internas $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ y $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ tiene $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$ , menor que el valor de Carnot entre las fuentes; una máquina real alcanza una fracción (típicamente de $0.4$ a $0.6$ ) incluso de ese. El rendimiento de una bomba de calor cae, por tanto, cuando baja la temperatura exterior y cuando sube la temperatura que exige el circuito de calefacción.

Demostración. Aplíquese Teorema 24.5 al fluido, cuyos termostatos son en la práctica las temperaturas de los intercambiadores; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} > T_h - T_c$ rebaja el cociente. ∎

Coeficiente de eficacia de una bomba de calor frente a la temperatura exterior: la cota de Carnot entre la casa (20 C) y el aire exterior; la cota una vez contados los saltos de temperatura de los intercambiadores (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); y una máquina realista, al 0.55 de esta última. Incluso a -10 C la bomba real entrega unos tres julios de calor por julio de electricidad, allí donde una resistencia da uno. — Coeficiente de eficacia de una bomba de calor frente a la temperatura exterior: la cota de Carnot entre la casa ( $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) y el aire exterior; la cota una vez contados los saltos de temperatura de los intercambiadores ( $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ ); y una máquina realista, al $0.55$ de esta última. Incluso a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ la bomba real entrega unos tres julios de calor por julio de electricidad, allí donde una resistencia da uno.

Ejemplo 24.18 (¿Bomba de calor o resistencia?)

Una casa que pierde $6\,\mathrm{kW}$ con $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el exterior necesita $6\,\mathrm{kW}$ de electricidad con resistencias; una bomba de calor ideal de $268\,\mathrm{K}$ a $293\,\mathrm{K}$ necesitaría $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ ; una real con temperaturas de intercambiador $260\,\mathrm{K}$ y $313\,\mathrm{K}$ y un factor de calidad $0.55$ , $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$ , necesita $1.9\,\mathrm{kW}$ . El problema de fin de semana recorre la temporada entera, entropía incluida.

24.6 Entropía y trabajo perdido

Teorema 24.19 (Trabajo perdido)

Un motor ditérmico que crea la entropía $S_{\mathrm{created}}$ por ciclo entrega

-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,

y una bomba de calor ditérmica que entrega $|Q_h|$ consume $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$ : cada julio por kelvin creado cuesta $T_c$ julios de trabajo, siendo la temperatura de la fuente fría el cambio entre entropía y trabajo.

Demostración. De Teorema 24.2, $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$ ; sustitúyase en $-W = Q_h + Q_c$ . Para la bomba, escríbanse las dos mismas relaciones con $Q_h < 0$ . ∎

Método 24.20 (Auditar una máquina)

Mídanse (o calcúlense) los calores intercambiados con cada fuente y el trabajo; compruébese el primer principio; calcúlese $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ por ciclo o por segundo; la potencia perdida es $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$ ; localícese la creación (saltos finitos de temperatura en los intercambiadores, rozamiento, laminación, compresión no cuasiestática) aplicando el balance de entropía a cada componente por turno. Un componente que no crea entropía no merece mejora alguna.

Ejemplo 24.21 (La auditoría de una central)

Fuente caliente $800\,\mathrm{K}$ , río $300\,\mathrm{K}$ , $1.0\,\mathrm{GW}$ de electricidad con $\eta = 0.40$ : $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$ , $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$ , luego $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ y la potencia perdida es $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$ : exactamente la distancia entre la producción de Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ y el $1.0\,\mathrm{GW}$ real. El río se calienta con los $1.5\,\mathrm{GW}$ que ha de evacuar; en verano, cuando va templado y bajo, las centrales reducen su carga.

24.7 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Una central toma calor a $800\,\mathrm{K}$ y lo cede a un río a $300\,\mathrm{K}$ . Rendimiento de Carnot; si el rendimiento real es $0.40$ y la producción eléctrica $1.0\,\mathrm{GW}$ , calor tomado del combustible y calor cedido al río por segundo.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$ . Con $0.40$ : $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ del combustible y $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ al río — se tira más calor del que se vende.

Ejercicio 24.2 ★

Un frigorífico mantiene su interior a $275\,\mathrm{K}$ en una cocina a $298\,\mathrm{K}$ . Coeficiente de eficacia máximo; con un COP real de $3$ , potencia eléctrica necesaria para evacuar los $100\,\mathrm{W}$ que se cuelan por las paredes.

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$ . Con $e_f = 3$ : $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (y $133\,\mathrm{W}$ van a la cocina).

Ejercicio 24.3 ★

Rendimiento ideal de un ciclo Otto con $r = 9$ y $\gamma = 1.4$ ; y con $r = 11$ (un motor moderno de inyección directa). ¿Por qué no $r = 20$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

$r = 9$ : $9^{0.4} = 2.41$ , $\eta = 0.585$ ; $r = 11$ : $11^{0.4} = 2.61$ , $\eta = 0.62$ . Con $r = 20$ la mezcla de gasolina y aire, comprimida hasta unos $900\,\mathrm{K}$ , se encendería antes de la chispa (el picado) y destruiría el motor; solo el diésel, que comprime aire solo, puede llegar ahí.

Ejercicio 24.4 ★

Una bomba de calor caldea una casa a $300\,\mathrm{K}$ con aire exterior a $280\,\mathrm{K}$ . $e_p$ máximo; potencia eléctrica para una demanda de calefacción de $5\,\mathrm{kW}$ con esa bomba ideal y con una real de $e_p = 3.5$ ; compárese con una resistencia.

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$e_p \leq 300/20 = 15$ : potencia ideal $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$ ; real, $5/3.5 = 1.43\,\mathrm{kW}$ ; resistencia, $5\,\mathrm{kW}$ .

Ejercicio 24.5 ★★

Un mol de gas perfecto ( $\gamma = 1.4$ ) recorre un ciclo de Carnot entre $T_h = 500\,\mathrm{K}$ y $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; la isoterma caliente lo lleva de $1.0\,\mathrm{L}$ a $3.0\,\mathrm{L}$ . Calcúlense $V_C$ , $V_D$ , $Q_h$ , $Q_c$ , $W$ y compruébese el rendimiento.

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

Adiabáticas: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} = 10.8\,\mathrm{L}$ , $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (luego $V_C/V_D = 3 = V_B/V_A$ ). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$ , $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$ , $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$ .

Ejercicio 24.6 ★★

Un inventor anuncia una máquina cíclica que toma $1000\,\mathrm{J}$ por ciclo de una fuente a $400\,\mathrm{K}$ , cede $800\,\mathrm{J}$ a una fuente a $300\,\mathrm{K}$ y entrega $200\,\mathrm{J}$ de trabajo. ¿Es posible? Entropía creada por ciclo. Un segundo inventor anuncia $300\,\mathrm{J}$ de trabajo con los mismos $1000\,\mathrm{J}$ , cediendo $700\,\mathrm{J}$ . ¿Es posible? ¿Cuál es el mayor trabajo que alguien puede sacar de esos $1000\,\mathrm{J}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

Primer anuncio: la energía cuadra, $200 = 1000 - 800$ ; Clausius $1000/400 - 800/300 = 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ , luego $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$ : posible ( $\eta = 0.20$ ). Segundo: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$ : habría que destruir entropía — imposible. Máximo: $\eta_C = 1 - 300/400 = 0.25$ , es decir $250\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 24.7 ★★

Ciclo Diesel con $r = 18$ , $\rho = 2$ , $\gamma = 1.4$ : rendimiento; compárese con un ciclo Otto de la misma $r$ y con el ciclo Otto a $r = 9$ . ¿Por qué puede el diésel usar una $r$ tan grande?

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$ ; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$ : $\eta = 1 - 1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$ . Otto con $r = 18$ : $1 - 1/3.18 = 0.69$ ; con $r = 9$ : $0.585$ . El diésel comprime aire puro: no hay combustible que pueda preencenderse, y el combustible, inyectado en aire a $900\,\mathrm{K}$ , arde según entra — el límite del picado no existe.

Ejercicio 24.8 ★★

Ciclo Stirling de un mol de gas diatómico ( $C_{V,m} = \tfrac52R$ ) entre $600\,\mathrm{K}$ y $300\,\mathrm{K}$ con una razón de volúmenes $V_1/V_2 = 2$ . Trabajo por ciclo; rendimiento con un regenerador perfecto y sin él.

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$ , $Q_c = -8.314 \times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$ : $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ por ciclo. Con regenerador, $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$ . Sin él, la fuente caliente ha de aportar además $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 = 6.24\,\mathrm{kJ}$ : $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$ .

Ejercicio 24.9 ★★

Dos bloques idénticos de capacidad calorífica $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ a $T_1 = 400\,\mathrm{K}$ y $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ se usan como fuentes de un motor hasta que alcanzan una temperatura común $T_f$ . Muéstrese que el trabajo máximo se obtiene con un motor reversible, que entonces $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ , y calcúlese $W_{\max}$ . ¿Cuál sería $T_f$ si los bloques se pusieran sin más en contacto, y cuánta entropía se crearía entonces?

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

Entropía de los dos bloques: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) = C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (la entropía del propio motor vuelve a su valor en cada ciclo), luego $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$ , y $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (primer principio) es máximo para el menor $T_f$ : el caso reversible, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$ , $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$ . En contacto directo: $T_f = 350\,\mathrm{K}$ , sin trabajo, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) = 82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ .

Ejercicio 24.10 ★★★

Motor a potencia máxima. Un motor reversible trabaja entre las temperaturas internas $x$ e $y$ , e intercambia calor con las fuentes a través de intercambiadores de conductancia $K$ : $\dot Q_h = K(T_h - x)$ y $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$ . (a) Escríbanse la potencia $P$ y la condición de entropía del núcleo reversible. (b) Muéstrese que $y = xT_c/(2x - T_h)$ y que $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ con $u = 2x - T_h$ . (c) Maximícese en $u$ y muéstrese que el rendimiento a potencia máxima vale $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ . (d) Cifras para $T_h = 800\,\mathrm{K}$ , $T_c = 300\,\mathrm{K}$ ; compárese con Ejercicio 24.1.

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$ ; el núcleo reversible no intercambia entropía neta: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$ . (b) Multiplíquese en cruz: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$ , luego $y(T_h - 2x) = -xT_c$ y $y = xT_c/(2x - T_h)$ . Entonces $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$ ; con $u = 2x - T_h$ , $T_h - x = (T_h - u)/2$ y $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) = \tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$ . (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 + T_hT_c/u^2) = 0$ en $u = \sqrt{T_hT_c}$ , un máximo; entonces $x = (T_h + \sqrt{T_hT_c})/2$ , $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$ , y $\eta^\ast = 1 - y/x = 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ ; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$ . (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$ , frente a $\eta_C = 0.625$ : el $0.40$ real de Ejercicio 24.1 es un motor construido para dar potencia, no rendimiento.

Ejercicio 24.11 ★★★

Frigorífico de absorción. Una máquina sin piezas móviles toma el calor $Q_h$ de un quemador a $T_h$ , el calor $Q_c$ de una cámara fría a $T_c$ , y cede calor a la habitación a $T_0$ ( $T_c < T_0 < T_h$ ), sin trabajo alguno. Muéstrese que $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$ , interprétense los dos factores y calcúlese la cota para $T_h = 400\,\mathrm{K}$ , $T_0 = 300\,\mathrm{K}$ , $T_c = 275\,\mathrm{K}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

Ciclo: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ y $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$ . Elimínese $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ : $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$ , es decir $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$ , de donde $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$ . El primer factor es el rendimiento de un motor de Carnot entre el quemador y la habitación, y el segundo, el COP de un frigorífico de Carnot entre la cámara y la habitación: la cota es lo que se obtiene acoplándolos idealmente. Cifras: $0.25 \times 11 = 2.75$ (los frigoríficos de absorción reales: unos $0.6$ ).

Ejercicio 24.12 ★★★

Calentar con electricidad, de tres maneras. La electricidad se produce en una central térmica de rendimiento $0.40$ . Por julio de calor del combustible, ¿cuánto calor llega a una casa (a) por una resistencia, (b) por una bomba de calor de $e_p = 3.5$ , (c) si el combustible se quema directamente en una caldera de rendimiento $0.90$ ? (d) El ideal: un motor reversible entre $800\,\mathrm{K}$ y $293\,\mathrm{K}$ que acciona una bomba de calor reversible entre $273\,\mathrm{K}$ y $293\,\mathrm{K}$ — ¿cuánto calor por julio de combustible, y por qué es la respuesta mayor que uno sin contradecir nada?

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

(a) $0.40\,\mathrm{J}$ . (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$ . (c) $0.90\,\mathrm{J}$ . (d) Motor $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$ , bomba $e_p = 293/20 = 14.65$ : $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (y los $0.37\,\mathrm{J}$ propios del motor, cedidos a $293\,\mathrm{K}$ , podrían calentar también la casa: $9.7\,\mathrm{J}$ ). Más de un julio porque el resto se eleva desde el aire exterior: la energía se conserva, y el segundo principio solo pide que no se destruya entropía, cosa que una cadena reversible respeta exactamente.

Una bomba de calor aerotérmica en invierno: toma calor del aire exterior frío y entrega a la casa de tres a cuatro veces la energía eléctrica que consume — el problema de fin de semana.

24.8 Problema: la bomba de calor de una casa

Problema 24.1

Problema de fin de semana — calentar una casa durante un invierno: la factura con resistencias, con gas, con una bomba de calor ideal y con una real, y adónde va la electricidad de la real

Una casa pierde calor a razón de $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ con $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; se mantiene a $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Temperatura exterior de proyecto $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; temporada de calefacción: $200$ días con una temperatura exterior media de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Precios: electricidad 0.25 € el $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , gas 0.10 € el $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ ; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$ .

Parte I — La casa y los métodos de siempre.

Potencia de calefacción necesaria a la temperatura de proyecto.
Energía necesaria en toda la temporada, en julios y en $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
Coste de la temporada con resistencias eléctricas.
Coste con una caldera de gas de rendimiento $0.90$ .
La electricidad viene de una central térmica de rendimiento $0.40$ . Energía de combustible consumida por temporada por las resistencias y por la caldera; coméntese el dicho “la calefacción eléctrica es un derroche termodinámico”.

Parte II — La bomba de calor ideal.

Defínase $e_p$ y demuéstrese, a partir de los dos principios a lo largo de un ciclo, que $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
$e_p$ ideal a la temperatura de proyecto y potencia eléctrica necesaria entonces.
$e_p$ ideal a la temperatura media de la temporada y (tomando ese valor para toda ella) electricidad de la temporada.
Explíquese físicamente por qué cae $e_p$ cuando baja la temperatura exterior, y por qué es este el peor comportamiento posible para un aparato de calefacción.
En el punto de proyecto la bomba ideal consume $0.53\,\mathrm{kW}$ y entrega $6.25\,\mathrm{kW}$ : ¿de dónde salen los otros $5.7\,\mathrm{kW}$ , y por qué no viola el segundo principio enfriar el aire exterior frío para calentar una casa templada?

Parte III — La máquina real. La bomba recorre un ciclo de compresión de vapor. El refrigerante se evapora a $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ y se condensa a $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (el agua de un circuito de suelo radiante va a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ ); la máquina alcanza el $0.55$ del valor de Carnot calculado entre $T_{\mathrm{ev}}$ y $T_{\mathrm{cd}}$ . Calor latente del refrigerante: $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ .

Nómbrense los cuatro componentes del ciclo, dígase en cuál recibe el fluido $Q_c$ , cede $|Q_h|$ y recibe $W$ , y por qué el evaporador ha de estar más frío que el aire exterior y el condensador más caliente que la casa.
A la temperatura de proyecto: $T_{\mathrm{ev}}$ y el $e_p$ de Carnot entre $T_{\mathrm{ev}}$ y $T_{\mathrm{cd}}$ .
$e_p$ real, potencia eléctrica consumida y calor tomado del aire exterior, a la temperatura de proyecto.
Caudal másico de refrigerante por el evaporador.
Las mismas preguntas ( $e_p$ real, potencia eléctrica) a la temperatura media de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , donde la casa pierde $3.25\,\mathrm{kW}$ .
Dese $e_p$ en función de $T_{\mathrm{out}}$ ; electricidad y coste de la temporada, tomando para ella el $e_p$ de la temperatura media. Compárese con la Parte I.
Energía de combustible consumida en la central para la temporada con bomba de calor; compárese con las resistencias y la caldera.
Una ola de frío a $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : demanda de calor, $e_p$ real y potencia eléctrica si la bomba pudiera entregarla. La capacidad del compresor cae en realidad con $T_{\mathrm{ev}}$ y la bomba solo puede entregar allí $3.8\,\mathrm{kW}$ : potencia de apoyo por resistencia necesaria, y qué significa “dimensionar una bomba de calor”.
Si la casa tuviera radiadores antiguos que exigen agua a $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): $e_p$ real y potencia eléctrica a la temperatura de proyecto; conclúyase sobre la elección de los emisores.

Parte IV — Adónde va la electricidad.

Muéstrese que, para una bomba de calor que entrega $|Q_h|$ a la casa a $T_{\mathrm{in}}$ desde el aire exterior a $T_{\mathrm{out}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
En el punto de proyecto, entropía creada por segundo por la transferencia de calor a través del condensador (de $313\,\mathrm{K}$ a la casa) y del evaporador (del aire exterior a $260\,\mathrm{K}$ ).
Potencia eléctrica que cuestan esos dos saltos de temperatura; fracción de los $1.92\,\mathrm{kW}$ consumidos.
Entropía total creada por segundo por la máquina real (compárense sus $1.92\,\mathrm{kW}$ con los $0.53\,\mathrm{kW}$ ideales); parte que corresponde a los intercambiadores; nómbrense las demás fuentes.
Redúzcanse a la mitad los dos saltos ( $4\,\mathrm{K}$ y $10\,\mathrm{K}$ ): entropía creada en los intercambiadores y potencia eléctrica ahorrada; ¿qué le cuesta al proyectista partir por la mitad un salto?
Resúmase en tres cifras: kilovatios hora de calor por kilovatio hora de electricidad en la temporada; coste de la temporada frente al gas; y, con una electricidad a $60\,\mathrm{g}$ de CO $_2$ por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ y un gas a $200\,\mathrm{g}$ , el carbono emitido por cada vía.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$ .

2. Pérdida media $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ durante $200 \times 86400 = 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ : $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .

3. $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

4. Gas $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $1730$ €.

5. Resistencias: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible; caldera $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ : $2.25$ veces menos. La electricidad es trabajo, la forma que sirve para todo; convertirla en calor a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en una resistencia tira el $60\%$ del combustible ya perdido en la central y la posibilidad de bombear calor.

6. A lo largo de un ciclo $W + Q_h + Q_c = 0$ y $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ con $Q_h < 0$ , $Q_c > 0$ : $Q_c \leq |Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$ , luego $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ y $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .

7. $293/25 = 11.7$ ; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$ .

8. $293/13 = 22.5$ ; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (unos $170$ €).

9. El trabajo por julio elevado vale $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/ T_{\mathrm{in}}$ , la “altura” de la elevación; cuanto más frío hace fuera, más alto hay que bombear cada julio — y más julios hacen falta, ya que la pérdida es también proporcional a $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$ : la potencia eléctrica crece como el cuadrado de la diferencia de temperaturas, y es peor justo cuando más falta hace la calefacción.

10. Del aire exterior, que se enfría: $Q_c = 6.25 - 0.53 = 5.7\,\mathrm{kW}$ . El segundo principio prohíbe que el calor fluya espontáneamente de lo frío a lo caliente; aquí el trabajo paga la elevación. Comprobación: entropía tomada del aire $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , entropía dada a la casa $6.25/293 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — nada destruido, nada creado: la bomba ideal.

11. Compresor (recibe $W$ ), condensador (cede $|Q_h|$ ), válvula de expansión (ninguno de los dos), evaporador (recibe $Q_c$ ). El calor solo baja por una pendiente de temperatura: el refrigerante ha de estar más frío que el aire para tomarle calor y más caliente que el agua de la casa para cedérselo.

12. $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$ ; $e_{p,C} = 313/(313 - 260) = 5.9$ .

13. $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$ ; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$ ; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ tomados del aire.

14. $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$ , $1.3\,\mathrm{kg}$ por minuto.

15. $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$ , $313/41 = 7.6$ , $e_p = 4.2$ ; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$ .

16. $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 - T_{\mathrm{out}})$ (con $T_{\mathrm{out}}$ en kelvin). Temporada: $15600/4.2 = 3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ , $930$ € — frente a los $3900$ con resistencias y los $1730$ con gas.

17. $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustible: un $46\%$ menos que la caldera y cuatro veces menos que las resistencias, incluso pasando por una central al $40\%$ .

18. Demanda $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$ ; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$ , $313/63 = 5.0$ , $e_p = 2.7$ , $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ si pudiera. Capacidad $3.8\,\mathrm{kW}$ : apoyo $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ de resistencias. Una bomba dimensionada para la hora más fría quedaría sobredimensionada — y funcionaría a arranques ineficientes — todo el invierno; se dimensiona para la temperatura de proyecto y se deja lo raro y extremo a una resistencia barata.

19. $338/(338 - 260) = 4.33$ , $e_p = 2.4$ , $W = 6.25/2.4 = 2.6\,\mathrm{kW}$ : un $36\%$ más de electricidad que con el suelo a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Los emisores de baja temperatura son la mitad de la instalación.

20. Entropía a lo largo de un ciclo: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} + S_{\mathrm{created}} = 0$ da $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ ; sustitúyase en $W = |Q_h| - Q_c$ .

21. Condensador: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; evaporador: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ .

22. $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$ : la cuarta parte de los $1.92\,\mathrm{kW}$ .

23. $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ ; los intercambiadores ponen el $36\%$ ; el resto viene del compresor (rozamiento, compresión no isentrópica, pérdidas del motor), de la laminación en la válvula (una expansión libre), de las pérdidas de carga y de los ventiladores.

24. $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$ , $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$ : condensador $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ , evaporador $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ en vez de $1.86$ , es decir $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ ahorrados (un $13\%$ ; la máquina entera, tasada al $0.55$ de un valor de Carnot mejor, ganaría más). Partir un salto por la mitad significa duplicar la superficie de intercambio: intercambiadores mayores y más caros y más potencia de ventilación.

25. $15600/3700 = 4.2$ kilovatios hora de calor por kilovatio hora de electricidad; $930$ € frente a $1730$ del gas; carbono: $3700 \times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ frente a $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — quince veces menos.

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