Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

21Estática de fluidos

Un submarino a trescientos metros soporta, sobre cada metro cuadrado de su casco, el peso de un camión cargado. Una presa retiene un lago con un muro grueso abajo y delgado arriba, por una razón que nada tiene que ver con la longitud del lago. Un buque de cien mil toneladas flota porque aparta cien mil toneladas de agua, y se hunde un palmo más cuando pasa del mar a un río. Todo esto es consecuencia de una sola relación — la presión crece hacia abajo en un fluido en reposo a razón de $\rho g$ — que este capítulo deduce, aplica a los líquidos y a la atmósfera, y de la que obtiene la fuerza sobre un muro y el teorema de Arquímedes.

Un submarino en un ejercicio de emersión de emergencia (Marina de los EE. UU.): vaciados sus lastres, pesa menos que el agua que desaloja y sube — el teorema de Arquímedes a 7000\, t. — Un submarino en un ejercicio de emersión de emergencia (Marina de los EE. UU.): vaciados sus lastres, pesa menos que el agua que desaloja y sube — el teorema de Arquímedes a $7000\,\mathrm{t}$ .

21.1 La presión en un fluido en reposo

Proposición 21.1 (Isotropía de la presión)

En un fluido en reposo, la fuerza que ejerce el fluido sobre una pequeña superficie $\dd S$ situada en un punto $M$ es $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$ , normal a la superficie y dirigida hacia ella, con una presión $P(M)$ que depende del punto pero no de la orientación de la superficie.

Demostración parcial. Un fluido en reposo no transmite ninguna fuerza tangencial (si no, fluiría): la fuerza es normal. Tómese un pequeño prisma triangular de fluido en $M$ con caras de orientaciones distintas: está en equilibrio bajo las fuerzas de presión sobre sus caras y su peso; el peso crece como el volumen (el cubo del tamaño) y las fuerzas de presión como las áreas (el cuadrado), de modo que en un prisma bastante pequeño solo cuentan las fuerzas de presión, y su equilibrio en toda dirección exige el mismo $P$ sobre cada cara. ∎

Teorema 21.2 (Relación fundamental de la estática de fluidos)

En un fluido en reposo en la gravedad uniforme $\vect g = -g\vect e_z$ ( $z$ hacia arriba), la presión solo depende de $z$ y

\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,

donde $\rho$ es la densidad del fluido a ese nivel. La presión crece hacia abajo; las superficies de igual presión (las isobaras) son horizontales, y también lo es la superficie libre de un líquido.

Demostración. Tómese una rodaja horizontal de fluido de área $S$ entre $z$ y $z + \dd z$ : la empuja hacia arriba $P(z)S$ por debajo, hacia abajo $P(z + \dd z)S$ por encima, y hacia abajo su peso $\rho gS\,\dd z$ . En reposo: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$ . Una rodaja horizontal no recibe fuerza horizontal de la gravedad, luego $P$ es uniforme en horizontal. ∎

A la izquierda: equilibrio de una rodaja horizontal de fluido — la presión de abajo ha de superar a la de arriba en el peso de la rodaja por unidad de área. A la derecha: vasos comunicantes — una horizontal encuentra la misma presión en todo el líquido conectado, de modo que las superficies libres quedan a un mismo nivel sean cuales sean las formas.

Corolario 21.3 (Fluido incompresible)

En un líquido de densidad uniforme $\rho$ , la presión a una profundidad $h$ por debajo de un punto donde vale $P_0$ es

P = P_0 + \rho gh .

Agua: $1\,\mathrm{bar}$ más cada $10\,\mathrm{m}$ . Dos puntos de un líquido conectado situados al mismo nivel están a la misma presión; las superficies libres de vasos comunicantes quedan a un mismo nivel; una presión aplicada en cualquier punto de un líquido encerrado se transmite íntegra a todos los demás (el principio de Pascal).

Demostración. Intégrese $\dd P/\dd z = -\rho g$ con $\rho$ constante; lo demás es la horizontalidad de las isobaras y la unicidad de $P$ en cada nivel. ∎

Ejemplo 21.4 (Manómetros y prensas)

Un tubo en U de mercurio ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) cuyas columnas difieren en $h = 760\,\mathrm{mm}$ mide una diferencia de presión $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — la atmósfera, que sostiene una columna de agua de $10.3\,\mathrm{m}$ . Una prensa hidráulica: una fuerza $F_1$ sobre un pistón de área $S_1$ eleva la presión en $F_1/S_1$ en todo el líquido; sobre el pistón grande $S_2$ da $F_2 = F_1S_2/S_1$ — cincuenta veces más para cincuenta veces el área, al precio de cincuenta veces menos recorrido (la energía se conserva: $F_1d_1 = F_2d_2$ ).

21.2 La atmósfera

Proposición 21.5 (Atmósfera isoterma)

Para un gas perfecto de masa molar $M$ a temperatura uniforme $T$ en una gravedad uniforme,

P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,

la altura de escala: unos $8\,\mathrm{km}$ para el aire; la presión se reduce a la mitad cada $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$ .

Demostración. $\rho = PM/RT$ (ecuación de estado), luego $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$ : una ecuación lineal de primer orden, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$ . ∎

Ejemplo 21.6 (Aire enrarecido)

Con $T = 260\,\mathrm{K}$ (una media de la atmósfera baja), $H = 7.6\,\mathrm{km}$ : $P = 0.52P_0$ a $5000\,\mathrm{m}$ y $0.31P_0$ en la cima del Everest — cerca de los valores medidos $0.54$ y $0.33$ ; la atmósfera real se enfría con la altura, cosa que tiene en cuenta el volumen del Año 2. El modelo dice además por qué el mar es distinto: el agua es ochocientas veces más densa y casi incompresible, de modo que su presión crece linealmente, un bar cada diez metros, sin altura de escala.

La atmósfera isoterma: la presión (y la densidad) caen exponencialmente con la altura y se reducen a la mitad cada 5.5\, km. Nueve décimas partes del aire están por debajo de 17\, km. — La atmósfera isoterma: la presión (y la densidad) caen exponencialmente con la altura y se reducen a la mitad cada $5.5\,\mathrm{km}$ . Nueve décimas partes del aire están por debajo de $17\,\mathrm{km}$ .

21.3 Fuerzas sobre las paredes

Proposición 21.7 (Fuerza sobre una pared vertical)

Un líquido de profundidad $h$ contra una pared vertical rectangular de anchura $L$ (con la presión atmosférica actuando sobre ambas caras y cancelándose) ejerce la fuerza horizontal

F = \tfrac12\rho gh^2L ,

equivalente a una fuerza única aplicada en el centro de presiones, a la profundidad $2h/3$ — la resultante actúa abajo, donde la presión es mayor.

Demostración. A la profundidad $x$ la presión manométrica vale $\rho gx$ ; sobre la banda de altura $\dd x$ la fuerza es $\rho gxL\,\dd x$ ; intégrese de $0$ a $h$ . Su momento respecto de la línea de la superficie es $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$ ; al dividir por $F$ se obtiene el brazo $2h/3$ . ∎

La presión sobre una presa crece linealmente con la profundidad (flechas), de modo que la resultante actúa a dos tercios de la profundidad: el muro ha de ser más grueso abajo. La fuerza depende de h y de L, no de cuánta agua haya detrás. — La presión sobre una presa crece linealmente con la profundidad (flechas), de modo que la resultante actúa a dos tercios de la profundidad: el muro ha de ser más grueso abajo. La fuerza depende de $h$ y de $L$ , no de cuánta agua haya detrás.

Ejemplo 21.8 (Una presa)

$h = 20\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ : $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times 400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — veinte mil toneladas, aplicadas $13\,\mathrm{m}$ por debajo de la superficie, lo mismo si detrás hay una charca o un fiordo: la paradoja hidrostática.

21.4 El teorema de Arquímedes

Teorema 21.9 (Arquímedes)

Un cuerpo sumergido en un fluido en reposo recibe de las fuerzas de presión una resultante — el empuje — igual y opuesta al peso del fluido que desaloja,

\vect\Pi = -\rho_{\text{fluido}}V_{\text{sumergido}}\,\vect g ,

aplicada en el centro de masa del fluido desalojado (el centro de empuje).

Demostración. Las fuerzas de presión sobre la superficie del cuerpo solo dependen de la forma de esa superficie y del fluido exterior. Sustitúyase el cuerpo, con el pensamiento, por fluido en reposo que ocupe el mismo volumen: ese fluido está en equilibrio bajo su peso y las mismas fuerzas de presión, luego las fuerzas de presión equilibran su peso — suman $-\rho V\vect g$ , aplicado en su centro de masa. Deshágase la sustitución imaginaria; las fuerzas de presión no han cambiado. ∎

Corolario 21.10 (Flotación)

Un cuerpo de densidad $\rho_b$ flota en un fluido de densidad $\rho_f > \rho_b$ con la fracción $\rho_b/\rho_f$ de su volumen sumergida; si $\rho_b > \rho_f$ se hunde, con un peso aparente $(\rho_b - \rho_f)Vg$ .

Demostración. El peso $\rho_bVg$ iguala al empuje $\rho_fV_{\text{sum}}g$ . ∎

Un cuerpo que flota: su peso, aplicado en su centro de masa G, equilibra al empuje, aplicado en el centro de empuje C (el centro del volumen sumergido). Hielo (= 917\, kg/ m3) en agua de mar (1025\, kg/ m3): un 89\% bajo la superficie. — Un cuerpo que flota: su peso, aplicado en su centro de masa $G$ , equilibra al empuje, aplicado en el centro de empuje $C$ (el centro del volumen sumergido). Hielo ( $\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en agua de mar ( $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): un $89\%$ bajo la superficie.

Ejemplo 21.11 (Tres empujes)

Un densímetro es un tubo lastrado que se hunde hasta desalojar su propio peso: cuanto más denso es el líquido, menos se hunde — un medidor de densidad que se lee en su vástago. Un globo de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ de aire caliente a $373\,\mathrm{K}$ desaloja $3.4\,\mathrm{t}$ de aire frío y pesa $2.6\,\mathrm{t}$ de aire caliente: $0.7\,\mathrm{t}$ de fuerza ascensional (Problema 20.1). Un buque de $100\,000\,\mathrm{t}$ desaloja $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ de agua de mar; en agua dulce ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ha de desalojar un $2.5\%$ más y se hunde más — las marcas de francobordo de su casco.

Observación 21.12 (Estabilidad)

Un cuerpo que flota inclinado un ángulo pequeño se endereza si el empuje, aplicado ahora en el centro desplazado del nuevo volumen sumergido, produce un momento restaurador — lo que ocurre cuando el metacentro (el punto donde la recta de acción del empuje corta al eje del cuerpo) queda por encima de $G$ . El lastre en el fondo de la bodega baja $G$ y estabiliza el buque; una embarcación con demasiado peso arriba vuelca.

21.5 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

Presión absoluta a $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ y $1\,\mathrm{km}$ bajo el mar ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); fuerza sobre un portillo de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ a $300\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

$P = P_0 + \rho gh$ : $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ( $2.0\,\mathrm{bar}$ ), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ( $11\,\mathrm{bar}$ ), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ( $101\,\mathrm{bar}$ ). A $300\,\mathrm{m}$ : $P = 3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ , fuerza $3.1\,\mathrm{MN}$ sobre $1\,\mathrm{m}^{2}$ (neta, contra $1\,\mathrm{atm}$ en el interior: $3.0\,\mathrm{MN}$ ).

Ejercicio 21.2 ★

Altura de una columna de mercurio que equilibra $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; y de una de agua. ¿Por qué no puede una bomba aspirante elevar el agua más de unos $10\,\mathrm{m}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

$h = P/\rho g$ : mercurio $0.760\,\mathrm{m}$ ; agua $10.3\,\mathrm{m}$ . Una bomba puede a lo sumo hacer el vacío sobre el agua: la atmósfera empuja entonces la columna $10.3\,\mathrm{m}$ hacia arriba, no más.

Ejercicio 21.3 ★

Un gato hidráulico: $100\,\mathrm{N}$ sobre un pistón de $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , carga sobre un pistón de $200\,\mathrm{cm}^{2}$ ; recorrido de cada uno si el pistón pequeño avanza $20\,\mathrm{cm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (una tonelada); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (mismo volumen desalojado, mismo trabajo).

Ejercicio 21.4 ★

Un tubo en U contiene agua; se vierte aceite ( $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en una de las ramas y forma una columna de $12\,\mathrm{cm}$ . Diferencia de altura entre las dos superficies libres.

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

Misma presión al nivel de la interfaz aceite–agua en ambas ramas: $\rho_og h_o = \rho_wgh_w$ , $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ de agua por encima de ese nivel en la otra rama; la superficie del aceite queda $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ más alta.

Ejercicio 21.5 ★★

Altura de escala de la atmósfera a $273\,\mathrm{K}$ ; presión a $5000\,\mathrm{m}$ y a $8848\,\mathrm{m}$ ; altura a la que $P = P_0/2$ . Compárese con los valores citados en Capítulo 20.

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$ ; $P/P_0 = \eu^{-z/H}$ : $0.54$ a $5\,\mathrm{km}$ , $0.33$ a $8848\,\mathrm{m}$ ; la mitad a $H\ln2 = 5.5\,\mathrm{km}$ — los números empleados en Capítulo 20.

Ejercicio 21.6 ★★

Una presa rectangular de $100\,\mathrm{m}$ de anchura retiene $20\,\mathrm{m}$ de agua. Fuerza total, profundidad del centro de presiones y momento del agua respecto de la base de la presa. ¿Por qué se curva una presa hacia el agua?

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ; centro de presiones a $13.3\,\mathrm{m}$ de profundidad, es decir $6.7\,\mathrm{m}$ sobre la base; momento respecto de la base $F \times 6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Curvar la presa hacia el agua convierte el empuje en compresión del arco, que se transmite a las laderas.

Ejercicio 21.7 ★★

Fracción de un iceberg que queda bajo la superficie (hielo $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , agua de mar $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); y de un tronco de densidad $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en agua dulce; ¿a cuántas personas de $75\,\mathrm{kg}$ puede llevar una balsa de $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ de esa madera antes de que la cubierta quede al ras del agua?

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

$917/1025 = 89\%$ ; tronco $60\%$ . Balsa: empuje con inmersión total $1000 \times 2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$ , peso propio $11.8\,\mathrm{kN}$ : $7.8\,\mathrm{kN}$ de sobra, diez personas… la décima con los pies mojados: nueve para no mojarse ( $800\,\mathrm{kg}$ ).

Ejercicio 21.8 ★★

Un densímetro de $20\,\mathrm{g}$ con un vástago de sección $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ flota en agua con $4.0\,\mathrm{cm}$ de vástago fuera. ¿Cuánto vástago emerge en una salmuera de densidad $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ? ¿Sensibilidad (cm por unidad de densidad relativa)?

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

Volumen sumergido $m/\rho$ : en agua $20\,\mathrm{cm}^{3}$ ; en salmuera $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$ , $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ menos, es decir $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ más de vástago: emergen $7.6\,\mathrm{cm}$ . Sensibilidad $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ por unidad de densidad relativa ( $3.6\,\mathrm{cm}$ por cada $0.1$ ).

Ejercicio 21.9 ★★

Un submarino de $3000\,\mathrm{m}^{3}$ tiene una masa de $2800\,\mathrm{t}$ con los lastres vacíos. Fracción emergida en la superficie (agua de mar); masa de agua que ha de tomar para quedar en flotabilidad neutra; ¿y si entra después en un estuario de agua dulce?

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

Volumen desalojado $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : emergen $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ). Neutra: masa $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$ : hay que tomar $275\,\mathrm{t}$ . Agua dulce: el empuje baja a $3000\,\mathrm{t}$ : $75\,\mathrm{t}$ de más — se hunde salvo que se bombeen fuera $75\,\mathrm{t}$ .

Ejercicio 21.10 ★★★

Un globo de niño contiene $10\,\mathrm{L}$ de helio ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) a $1\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$ ; la goma pesa $3.0\,\mathrm{g}$ . Fuerza ascensional neta; masa de cordel que puede llevar.

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

Aire desalojado: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$ ; helio dentro $12.0 \times 4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$ ; goma $3.0\,\mathrm{g}$ : fuerza ascensional neta $7.3\,\mathrm{g}$ — siete metros de cordel ligero.

Ejercicio 21.11 ★★★

Demuéstrese que el centro de presiones sobre una pared vertical rectangular está a $2h/3$ calculando el momento de las fuerzas de presión respecto de la línea de la superficie. ¿Dónde está en una pared sumergida solo en parte, digamos desde la profundidad $h_1$ hasta $h_2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

Momento $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$ , fuerza $\rho gLh^2/2$ : brazo $2h/3$ . De $h_1$ a $h_2$ : momento $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$ , fuerza $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$ : profundidad $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$ .

Ejercicio 21.12 ★★★

Un densímetro cilíndrico (masa $m$ , sección $S$ ) que flota en un líquido de densidad $\rho$ se hunde una longitud $x$ y se suelta. Muéstrese que oscila armónicamente y dese el periodo; calcúlese para $m = 20\,\mathrm{g}$ , $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ , en agua. (Ejemplo 14.3 de nuevo.)

Solución

Solución de Ejercicio 21.12.

Una inmersión adicional $x$ añade el empuje $\rho gSx$ hacia arriba: $m\ddot x = -\rho gSx$ , $\omega_0^2 = \rho gS/m$ , $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times 9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$ .

Inflado de un globo aerostático: el aire caliente es menos denso que el aire frío que lo rodea, y el empuje de Arquímedes sobre la envoltura supera a su peso.

21.6 Problema: el submarino

Problema 21.1

Problema de fin de semana — un casco de acero a trescientos metros de profundidad: la presión sobre sus planchas, el agua que ha de tragar para hundirse y escupir para subir, la buceadora que sale de él y el petrolero que pasa por encima

Agua de mar: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; agua dulce $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . El casco del submarino encierra $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$ ; con los lastres vacíos su masa es $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$ .

Parte I — La presión sobre el casco.

Presión absoluta a $300\,\mathrm{m}$ , en pascales y en bares.
Fuerza sobre una escotilla circular de $0.80\,\mathrm{m}$ de diámetro a esa profundidad; compárese con el peso de un camión.
Fuerza sobre un metro cuadrado de casco en la quilla si el casco mide $10\,\mathrm{m}$ de alto y su parte superior está a $300\,\mathrm{m}$ : ¿cuánto difiere de la de arriba?
El agua es ligeramente compresible ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): ¿en qué fracción es más densa el agua de mar a $300\,\mathrm{m}$ que en la superficie? ¿Importa para la presión calculada antes?
La tripulación respira aire a $1\,\mathrm{atm}$ : ¿por qué ha de ser el casco un cilindro grueso, y por qué resiste mejor un cilindro que una caja plana?
Una envolvente cilíndrica delgada de radio $R$ y espesor de pared $e$ sometida a una sobrepresión exterior $\Delta P$ soporta en su pared una tensión de compresión $\Delta P\,R/e$ . Para $R = 5.0\,\mathrm{m}$ y $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ a $300\,\mathrm{m}$ , calcúlese y compárese con el límite elástico del acero, de unos $600\,\mathrm{MPa}$ .

Parte II — Hundirse y flotar.

En la superficie con los lastres vacíos, ¿qué volumen del casco emerge?
¿Qué masa de agua de mar han de tomar los lastres para que el submarino quede suspendido (flotabilidad neutra)?
Ya en flotabilidad neutra a $300\,\mathrm{m}$ , la presión comprime el casco un $0.1\%$ . Calcúlese la fuerza neta resultante y dígase si el equilibrio es estable respecto de la profundidad.
El buque navega en flotabilidad neutra del mar a un estuario de agua dulce. ¿Fuerza neta? ¿Hacia dónde va y qué ha de hacer la tripulación?
Se lanza un torpedo de $20\,\mathrm{t}$ . ¿Qué ha de hacer de inmediato el sistema de lastres, y en qué medida?
¿Por qué usa un submarino aire comprimido para vaciar sus lastres, y por qué es la presión del aire el límite de la profundidad a la que puede vaciarlos?
Estímese el volumen de aire a $1\,\mathrm{atm}$ necesario para vaciar $275\,\mathrm{m}^{3}$ de lastres a $300\,\mathrm{m}$ (ley de Boyle, $PV$ constante).

Parte III — La buceadora. Una buceadora deja la superficie con $6.0\,\mathrm{L}$ de aire en los pulmones.

Presión absoluta a $10\,\mathrm{m}$ y a $30\,\mathrm{m}$ .
Si desciende conteniendo la respiración, ¿cuál es el volumen de sus pulmones a $30\,\mathrm{m}$ ?
Una buceadora con botella respira aire a la presión ambiente a $30\,\mathrm{m}$ y asciende conteniendo la respiración: volumen que necesitarían sus pulmones en la superficie, y la lección.
Un tubo respirador de $1.0\,\mathrm{m}$ : diferencia de presión entre el agua sobre el pecho de la buceadora y el aire de sus pulmones; fuerza sobre un pecho de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; ¿puede inspirar?
La botella contiene $12\,\mathrm{L}$ a $200\,\mathrm{bar}$ : ¿cuántos litros de aire a $30\,\mathrm{m}$ son, y para cuánto tiempo a $20\,\mathrm{L}$ por minuto?

Parte IV — El petrolero que pasa por encima.

Un petrolero de $100\,000\,\mathrm{t}$ flota en agua de mar: volumen de agua desalojada.
Su área de flotación es de $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : ¿cuánto sube o baja al entrar en agua dulce?
Carga $10\,000\,\mathrm{t}$ de petróleo: variación del calado.
El petrolero vacío tiene el centro de masa alto; por eso lleva agua de mar como lastre cuando va sin carga. ¿Por qué, en términos del metacentro?
El casco del petrolero en su quilla (calado de $20\,\mathrm{m}$ ): presión y fuerza por metro cuadrado, comparadas con las del submarino a $300\,\mathrm{m}$ .
El petrolero pasa justo por encima del submarino. ¿Nota el submarino sus $100\,000\,\mathrm{t}$ ? Explíquese con el campo de presiones.
Resúmase: la única relación que ha fijado todos los números de este problema, y el teorema que se dedujo de ella.

Solución

Solución de Problema 21.1.

1. $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 31\,\mathrm{bar}$ .

2. $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$ : fuerza neta $(P - P_0)S = 1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 toneladas, un camión cargado sobre una escotilla.

3. La quilla, $10\,\mathrm{m}$ más abajo: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ más, un $3\%$ : el casco está cargado casi uniformemente.

4. $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6 = 0.14\%$ : despreciable para la presión (unos kilopascales de tres millones).

5. Treinta bares fuera, uno dentro: el casco es un recipiente a presión cargado hacia dentro; un cilindro (o una esfera) convierte la presión en compresión a lo largo de su pared, que el acero resiste bien, mientras que una plancha plana se doblaría.

6. $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ : cerca del límite elástico — $300\,\mathrm{m}$ está próximo al límite de este casco, y los buques que bajan más necesitan un acero más grueso o más resistente (o titanio).

7. Volumen desalojado $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$ : emergen $268\,\mathrm{m}^{3}$ ( $9\%$ ).

8. Neutra: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$ : hay que tomar $275\,\mathrm{t}$ .

9. El empuje cae un $0.1\%$ de $\rho Vg$ : $0.001 \times 3075 \times 9.81 \times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ hacia abajo (tres toneladas). Más hondo $\Rightarrow$ más compresión $\Rightarrow$ más pesado: inestable — un submarino ha de compensar continuamente (y un casco de acero se comprime menos que el agua, lo que ayuda; un casco demasiado flexible se hundiría sin remedio).

10. Empuje $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ frente a un peso $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$ : $0.74\,\mathrm{MN}$ hacia abajo ( $75\,\mathrm{t}$ ); hay que bombear fuera $75\,\mathrm{t}$ .

11. Queda de inmediato $20\,\mathrm{t}$ más ligero: hay que tomar $20\,\mathrm{t}$ de agua ( $19.5\,\mathrm{m}^{3}$ ) en los tanques de compensación.

12. El agua solo puede expulsarse con algo a mayor presión que el mar exterior; el aire comprimido de las botellas la expulsa — pero solo mientras la presión de la botella supere a la presión ambiente a esa profundidad.

13. $PV$ constante: $275\,\mathrm{m}^{3}$ a $31\,\mathrm{bar}$ exigen $275 \times 31 = 8500\,\mathrm{m}^{3}$ de aire a $1\,\mathrm{atm}$ — almacenados a $200\,\mathrm{bar}$ en $43\,\mathrm{m}^{3}$ de botellas.

14. $2.0\,\mathrm{bar}$ a $10\,\mathrm{m}$ ; $4.0\,\mathrm{bar}$ a $30\,\mathrm{m}$ .

15. $PV$ constante: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — la caja torácica se aplasta; los apneístas lo notan.

16. El aire tomado a $4\,\mathrm{bar}$ se expande cuatro veces: $24\,\mathrm{L}$ en unos pulmones que contienen $6\,\mathrm{L}$ : rotura. Nunca hay que contener la respiración al subir; se espira sin parar.

17. $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$ ; fuerza $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa} \times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ sobre el pecho: los músculos respiratorios no pueden levantar cincuenta kilogramos — un tubo respirador solo sirve en los primeros decímetros.

18. $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ a $1\,\mathrm{bar}$ , es decir $600\,\mathrm{L}$ a $4\,\mathrm{bar}$ : $30\,\mathrm{min}$ .

19. $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ .

20. En agua dulce ha de desalojar $10^5\ \mathrm{m}^{3}$ : $2400\,\mathrm{m}^{3}$ más, es decir $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ más de calado.

21. $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ más: $1.2\,\mathrm{m}$ más de calado.

22. Vacío, el $G$ del buque queda alto y poco casco está sumergido: el metacentro puede caer por debajo de $G$ y el buque volcar con marejada. El agua de mar en el fondo baja $G$ y aumenta el calado.

23. $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ : quince veces menos que los $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ del submarino.

24. No: la presión a la profundidad del submarino es $P_0 + \rho gh$ , fijada solo por la profundidad. El peso del petrolero lo sostiene el agua que desaloja, que eleva el nivel del mar en todas partes en una cantidad inmensurable; ninguna carga adicional llega al submarino.

25. $\dd P/\dd z = -\rho g$ — de donde $P = P_0 + \rho gh$ para toda profundidad, fuerza y volumen pulmonar de aquí — y el teorema de Arquímedes, que es esa relación integrada sobre una superficie cerrada.