Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

22El primer principio de la termodinámica

Hínchese un neumático de bicicleta y el cuerpo de la bomba se pone demasiado caliente para sujetarlo. Un motor diésel no tiene bujía: comprime su aire veinte veces y el aire se calienta lo bastante para encender el combustible por sí solo. Una botella de gas comprimido se escarcha mientras se vacía. En todos los casos la energía cambia de forma — el trabajo se vuelve calor, el calor trabajo, ambos energía interna — y el primer principio de la termodinámica es la contabilidad que cuadra las cuentas. Este capítulo define el trabajo y el calor de un sistema termodinámico, enuncia el primer principio, presenta la energía interna y la entalpía como las magnitudes que conserva, y lo aplica a las transformaciones del gas perfecto y a la calorimetría.

Una bomba de bicicleta: el trabajo de la mano sobre el aire encerrado eleva su energía interna, y el cuerpo de la bomba se calienta — el primer principio en la palma.

22.1 Transformaciones, trabajo y calor

Definición 22.1 (Sistema, transformación)

Un sistema termodinámico es la materia encerrada dentro de una frontera elegida; todo lo demás es el entorno. Una transformación lo lleva de un estado de equilibrio a otro. Es cuasiestática si el sistema pasa por una sucesión de estados de equilibrio (bastante lenta para que $P$ y $T$ estén definidas en todo él), y reversible si además invertir las condiciones exteriores invierte el camino (sin rozamiento, sin salto finito de temperatura o de presión con el entorno). Se nombran por lo que permanece constante: isoterma ( $T$ ), isobara ( $P$ ), isócora ( $V$ ); adiabática si no hay intercambio de calor; monobara (monoterma) si la presión (la temperatura) exterior es constante, pase lo que pase dentro.

Proposición 22.2 (Trabajo de las fuerzas de presión)

Un sistema cuyo volumen varía en $\dd V$ contra una presión exterior $P_{\mathrm{ext}}$ recibe el trabajo

\delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V .

En una transformación cuasiestática $P_{\mathrm{ext}} = P$ (la presión del propio sistema) y $W = -\int P\,\dd V$ es el opuesto del área bajo el camino en el diagrama de Clapeyron: positivo al comprimir, negativo al expandirse.

Demostración. Un pistón de área $S$ empujado por el entorno con la fuerza $P_{\mathrm{ext}}S$ se desplaza $\dd x$ hacia fuera: el entorno realiza sobre el sistema el trabajo $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ . Toda frontera es un conjunto de pistones así. Cuasiestática: el pistón está en equilibrio, $P_{\mathrm{ext}} = P$ salvo una diferencia que se anula. ∎

Definición 22.3 (Calor)

El calor $Q$ es la energía transferida al sistema por una vía distinta del trabajo macroscópico — por choques moleculares en una pared (conducción), por la circulación de un fluido (convección), por radiación. Un termostato es un cuerpo tan grande que su temperatura no cambia sea cual sea el calor que intercambie. Convenio de signos en todo el libro: $W$ y $Q$ son recibidos por el sistema, positivos cuando entran.

22.2 El primer principio

Teorema 22.4 (Primer principio de la termodinámica)

Todo sistema cerrado posee una función de estado, su energía interna $U$ (extensiva), tal que en cualquier transformación

\Delta U + \Delta E_{k} = W + Q ,

donde $E_k$ es la energía cinética macroscópica (nula para un sistema en reposo): la energía recibida como trabajo y como calor se almacena en forma de energía interna. $W$ y $Q$ dependen cada uno del camino; su suma, no.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 22.5 (Qué dice)

Es la conservación de la energía, con el calor reconocido como una transferencia de energía (la experiencia de la rueda de paletas de Joule: un trabajo medido eleva siempre la temperatura del agua tanto como un calor medido). Que “ $U$ es una función de estado” significa que $\Delta U$ queda fijado por los estados inicial y final — de modo que un ciclo tiene $\Delta U = 0$ y $W + Q = 0$ : una máquina que entrega trabajo ha de recibir calor. El contenido microscópico de $U$ es el de Definición 20.10.

Definición 22.6 (Entalpía; capacidades caloríficas)

La entalpía $H = U + PV$ es una función de estado adaptada a las transformaciones a presión constante. Las capacidades caloríficas a volumen y a presión constantes son

C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P ,

en $\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; por mol $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ ; por kilogramo, los calores específicos $c_V$ , $c_P$ .

Proposición 22.7 (Calor a volumen constante y a presión constante)

Para un sistema en reposo que solo intercambia trabajo por fuerzas de presión:

transformación isócora: $W = 0$ y $Q_V = \Delta U$ ;
transformación monobara entre dos estados a la presión exterior $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ .

Demostración. Isócora: $\dd V = 0$ . Monobara: $W = -P_0(V_2 - V_1)$ , luego $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$ puesto que $P_1 = P_2 = P_0$ . ∎

Proposición 22.8 (Gas perfecto: $U$ , $H$ , relación de Mayer)

En un gas perfecto, $U$ y $H$ solo dependen de $T$ (leyes de Joule): $\dd U = C_V\,\dd T$ , $\dd H = C_P\,\dd T$ , y

C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ;

$\gamma = 5/3$ para los gases monoatómicos y $7/5$ para los diatómicos a temperaturas ordinarias. Para una fase condensada, en el modelo de Proposición 20.13, $C_P \approx C_V = C$ y $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$ .

Demostración. $H = U + nRT$ ; derívese respecto de $T$ . $C_{V,m} = \tfrac32 R$ o $\tfrac52 R$ según Proposición 20.11. ∎

22.3 Transformaciones del gas perfecto

Proposición 22.9 (Las cuatro transformaciones clásicas)

Para $n$ moles de gas perfecto:

isócora: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ;
isobara (cuasiestática): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ;
isoterma reversible: $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ;
adiabática reversible: $Q = 0$ , $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , y a lo largo del camino (ley de Laplace)

$PV^\gamma = \text{cte}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{cte}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{cte} .$

Demostración. Isócora e isobara: las proposiciones anteriores. Isoterma: $W = -\int nRT\,\dd V/V$ . Adiabática: $\dd U = \delta W$ , es decir $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$ , luego $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (usando $R/C_{V,m} = \gamma - 1$ ); intégrese: $TV^{\gamma - 1}$ constante; las demás formas salen de $PV = nRT$ . ∎

A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, el trabajo recibido en una compresión cuasiestática es el área bajo el camino; partiendo del mismo punto, una adiabática es más empinada que una isoterma (> 1): un gas comprimido sin pérdida de calor se calienta y sube a una isoterma más alta. A la derecha: el trabajo del entorno sobre un pistón. — A la izquierda: en el diagrama de Clapeyron, el trabajo recibido en una compresión cuasiestática es el área bajo el camino; partiendo del mismo punto, una adiabática es más empinada que una isoterma ( $\gamma > 1$ ): un gas comprimido sin pérdida de calor se calienta y sube a una isoterma más alta. A la derecha: el trabajo del entorno sobre un pistón.

Ejemplo 22.10 (Bomba y diésel)

Aire ( $\gamma = 1.4$ ) comprimido adiabáticamente de $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ a $7\,\mathrm{bar}$ (una bomba de bicicleta): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ por un instante, que el cuerpo de la bomba nota. Con la relación de compresión $20$ de un diésel: $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ , $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — por encima de la temperatura de autoinflamación del combustible: el motor no necesita bujía (el problema de fin de semana recorre el ciclo entero).

Observación 22.11 (Transformaciones irreversibles)

Cuando la transformación no es cuasiestática, la ley de Laplace y $W = -\int P\,\dd V$ no valen; solo valen $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ y el primer principio. Dos casos clásicos: un gas que se expande en el vacío (expansión de Joule) no recibe trabajo y, con paredes adiabáticas, tampoco calor — $\Delta U = 0$ , y un gas perfecto conserva su temperatura; un gas comprimido de golpe por una presión exterior que salta a $P_2$ recibe $W = -P_2\Delta V$ , más que el trabajo reversible hasta la misma presión, y acaba más caliente (Ejercicio 22.11).

22.4 Calorimetría

Método 22.12 (Balance calorimétrico)

Los cuerpos puestos en contacto térmico dentro de un recipiente aislado a presión constante (la atmosférica) solo intercambian calor entre sí: el total $\Delta H = \sum Q_P = 0$ . Para cada cuerpo $\Delta H = mc\,\Delta T$ (sin cambio de fase) o $\pm mL$ para un cambio de estado a su temperatura de transición, con $L$ el calor latente (entalpía de fusión o de vaporización por unidad de masa: agua, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ ). Escríbase el balance, despéjese la temperatura final y compruébese que la fase supuesta para cada cuerpo es coherente con ella.

Ejemplo 22.13 (Hielo en agua)

$50\,\mathrm{g}$ de hielo a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ en $200\,\mathrm{g}$ de agua a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ : fundirlo exige $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; el agua puede ceder $25.1\,\mathrm{kJ}$ al enfriarse hasta $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ , de modo que se funde todo el hielo y el balance $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ da $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Con $100\,\mathrm{g}$ de hielo harían falta $33.4\,\mathrm{kJ}$ : solo se funde una parte y $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — la comprobación importa.

Calentamiento de un kilogramo de agua desde hielo a -20 C hasta vapor: la temperatura se detiene en cada cambio de estado mientras se aporta el calor latente — 334\, kJ para fundir y 2260\, kJ para hervir, mucho más que los 418\, kJ que llevan el líquido de 0\, a 100 C. — Calentamiento de un kilogramo de agua desde hielo a $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta vapor: la temperatura se detiene en cada cambio de estado mientras se aporta el calor latente — $334\,\mathrm{kJ}$ para fundir y $2260\,\mathrm{kJ}$ para hervir, mucho más que los $418\,\mathrm{kJ}$ que llevan el líquido de $0\,$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

22.5 Ejercicios

Ejercicio 22.1 ★

Un mol de aire ( $C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ) se calienta de $300\,\mathrm{K}$ a $400\,\mathrm{K}$ a presión constante. Calor recibido, trabajo recibido y variación de energía interna.

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

$Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$ ; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$ .

Ejercicio 22.2 ★

Un mol de gas a $300\,\mathrm{K}$ se comprime isoterma y reversiblemente de $2.0\,\mathrm{L}$ a $0.50\,\mathrm{L}$ . Trabajo recibido, calor intercambiado y $\Delta U$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

$W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta U = 0$ , luego $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (cedido al baño).

Ejercicio 22.3 ★

Aire a $300\,\mathrm{K}$ y $1\,\mathrm{bar}$ se comprime adiabática y reversiblemente hasta una décima parte de su volumen. Temperatura y presión finales.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

$T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$ ; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$ .

Ejercicio 22.4 ★

Dense $C_{V,m}$ , $C_{P,m}$ y $\gamma$ para el argón y para el nitrógeno. En el agua líquida ( $c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ), ¿por qué se prescinde de la distinción entre $c_P$ y $c_V$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

Argón: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$ , $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ J/(mol K), $\gamma = 1.67$ ; nitrógeno: $20.8$ , $29.1$ , $\gamma = 1.40$ . En el agua, la dilatación al calentarse es ínfima, de modo que el trabajo $P\,\dd V$ a presión constante es despreciable frente al calor: $c_P - c_V \approx 0$ .

Ejercicio 22.5 ★★

Se mezclan $200\,\mathrm{g}$ de agua a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ con $300\,\mathrm{g}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un vaso aislado. Temperatura final; ¿qué cambia si el propio vaso tiene una capacidad calorífica de $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ y parte de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

$T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Con el vaso: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Ejercicio 22.6 ★★

Se echan $50\,\mathrm{g}$ de hielo a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c_{\text{hielo}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) en $200\,\mathrm{g}$ de agua a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Estado y temperatura finales. La misma pregunta con $150\,\mathrm{g}$ de hielo.

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

Hielo: calentarlo hasta $0$ : $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$ ; fundirlo: $16.7\,\mathrm{kJ}$ ; en total $17.8\,\mathrm{kJ}$ . El agua puede ceder $25.1\,\mathrm{kJ}$ hasta $0$ : se funde todo; después $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ: $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Con $150\,\mathrm{g}$ harían falta $53.3\,\mathrm{kJ}$ $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$ : solo se funden $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ de hielo, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ y quedan $84\,\mathrm{g}$ de hielo.

Ejercicio 22.7 ★★

Un gas recorre un ciclo rectangular en el diagrama de Clapeyron: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ con $V_2 > V_1$ , $P_2 > P_1$ . Trabajo recibido a lo largo del ciclo en función del área; signo y significado del signo.

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

$W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$ : el ciclo se recorre en sentido antihorario (expansión a baja presión, compresión a alta), de modo que el gas recibe trabajo neto, igual al área encerrada; en sentido horario lo entregaría — una máquina.

Ejercicio 22.8 ★★

Una bomba de bicicleta comprime aire de $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ a $7\,\mathrm{bar}$ lo bastante deprisa para ser adiabática. Temperatura alcanzada; por qué se calienta la bomba; y por qué baja un poco la presión del neumático cuando se deja de bombear.

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

$T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ . El aire caliente comprimido calienta el cuerpo de la bomba por conducción en cada bombeo. En el neumático el aire se enfría hasta la temperatura ambiente a volumen fijo: $P \propto T$ , la presión cae en la razón de las temperaturas — hay que rellenarlo.

Ejercicio 22.9 ★★

Un gas perfecto se expande en un recipiente aislado en el que se ha hecho el vacío (expansión de Joule). Trabajo, calor, $\Delta U$ , $\Delta T$ . ¿Es reversible la transformación? ¿Qué haría un gas real?

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

$W = 0$ (no hay presión exterior contra la que empujar), $Q = 0$ : $\Delta U = 0$ , luego $\Delta T = 0$ en un gas perfecto. Irreversible: el gas no vuelve nunca por sí solo. Un gas real, cuyas moléculas se atraen, se enfría un poco (parte de la energía cinética pasa a energía potencial al separarse).

Ejercicio 22.10 ★★★

Ebullición de $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $1\,\mathrm{atm}$ (volumen del vapor $1.67\,\mathrm{m}^{3}$ ). Calor aportado, trabajo intercambiado con la atmósfera y $\Delta U$ . ¿Adónde va la mayor parte del calor latente?

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

$Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$ ; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$ ; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$ : el $93\%$ del calor se emplea en separar las moléculas (energía interna) y el $7\%$ en apartar la atmósfera.

Ejercicio 22.11 ★★★

Un mol de gas diatómico a $300\,\mathrm{K}$ y $1\,\mathrm{bar}$ , en un cilindro aislado, se comprime llevando de golpe la presión exterior a $5\,\mathrm{bar}$ y esperando el equilibrio. Temperatura y volumen finales (primer principio con $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$ ); compárese con la compresión adiabática reversible hasta $5\,\mathrm{bar}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

$W = -P_2(V_2 - V_1)$ , $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$ , $V_2 = nRT_2/P_2$ , $V_1 = nRT_1/P_1$ : $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$ , $3.5T_2 = 2250$ , $T_2 = 643\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$ . Reversible: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$ , $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$ . La compresión brusca realiza más trabajo sobre el gas (los $5\,\mathrm{bar}$ enteros actúan desde el principio) y este acaba más caliente y menos comprimido.

Ejercicio 22.12 ★★★

El sonido es una compresión rápida, luego adiabática: su velocidad vale $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (el valor isotermo $\sqrt{P/\rho}$ fue el error de Newton). Calcúlense ambos para el aire a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ y compárense con los $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ medidos. Muéstrese que $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ y compárese con la velocidad cuadrática media de Capítulo 20.

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

$\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , un $15\%$ por debajo. Con $P/\rho = RT/M$ : $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ ; frente a $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$ .

22.6 Problema: de la bomba de bicicleta al motor diésel

Problema 22.1

Problema de fin de semana — una bomba de mano que quema los dedos, un cilindro que enciende su propio combustible y una bola de acero que rebota sobre un colchón de aire: el primer principio en tres compresiones

Aire: gas perfecto diatómico, $\gamma = 1.40$ , $C_{V,m} = \tfrac52 R$ , $C_{P,m} = \tfrac72 R$ , $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ . Estado inicial en todas partes: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$ , $T_1 = 300\,\mathrm{K}$ .

Parte I — La bomba de bicicleta. El cilindro de la bomba tiene un volumen $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$ ; el aire que contiene se comprime reversible y adiabáticamente hasta alcanzar la presión del neumático, $7.0\,\mathrm{bar}$ .

Cantidad de aire en el cilindro.
Volumen al final de la compresión.
Temperatura al final de la compresión.
Trabajo recibido por el aire en un bombeo.
El neumático ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) ha de pasar de $1\,\mathrm{bar}$ a $7\,\mathrm{bar}$ a $300\,\mathrm{K}$ : ¿cuántos bombeos y cuánto trabajo en total (tómese constante el trabajo por bombeo)?
El aire caliente se enfría después en el neumático hasta $300\,\mathrm{K}$ : ¿qué ocurre con la presión del neumático y qué hace el ciclista?
Compárese el trabajo adiabático por bombeo con el de una compresión isoterma hasta los mismos $7\,\mathrm{bar}$ . ¿Por qué es mayor el trabajo isotermo aunque el gas acabe más frío?

Parte II — La compresión del diésel. Un cilindro de $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ comprime su aire reversible y adiabáticamente en un factor $20$ .

Cantidad de aire y temperatura $T_2$ tras la compresión.
Presión $P_2$ .
El combustible se autoinflama por encima de unos $500\,\mathrm{K}$ : explíquese por qué un diésel no necesita bujía, y por qué un motor de gasolina (relación $\approx 10$ , véase Ejercicio 22.3) no debe autoinflamarse.
Trabajo recibido por el aire durante la compresión.
A $3000\,\mathrm{rpm}$ un cilindro comprime $25$ veces por segundo: potencia absorbida por la compresión (que se devuelve más tarde en el ciclo).
Las compresiones reales son rápidas (irreversibilidad) y pierden calor por las paredes: ¿en qué sentido mueve a $T_2$ cada efecto?

Parte III — Combustión y expansión. En el punto muerto superior arden $20\,\mathrm{mg}$ de combustible (poder calorífico $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) mientras el pistón empieza a bajar, a presión constante $P_2$ ; después el gas se expande reversible y adiabáticamente hasta $V_1$ . Trátese el gas como aire en todo momento.

Calor liberado por el combustible.
Temperatura $T_3$ y volumen $V_3$ al final de la combustión isobara.
Trabajo intercambiado durante la fase isobara (¡signo!).
Temperatura $T_4$ al final de la expansión adiabática y trabajo intercambiado en ella.
Trabajo neto entregado por el gas en los cuatro tiempos y cociente con el calor liberado (el rendimiento ideal).
Compárese ese rendimiento con $1 - T_1/T_3$ , la cota que Capítulo 24 establecerá para toda máquina que trabaje entre esas temperaturas extremas.
Calor cedido con los gases de escape, por el primer principio a lo largo del ciclo; compruébese el balance.

Parte IV — Medida de $\gamma$ con una bola que rebota. Una bola de acero de masa $m = 16.5\,\mathrm{g}$ ajusta en un tubo vertical de vidrio de sección $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ cerrado por abajo por un matraz de volumen $V = 10\,\mathrm{L}$ de aire a $P = 1.0\,\mathrm{bar}$ ; apartada $x$ de su posición de equilibrio, oscila.

¿Por qué pueden tomarse por adiabáticas las compresiones y expansiones del aire? Escríbase la relación entre un pequeño desplazamiento $x$ y la variación de presión $\dd P$ (ley de Laplace, linealizada).
Dedúzcase la fuerza recuperadora sobre la bola y muéstrese que su movimiento es armónico, con $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .
Calcúlese el periodo, y el valor de $\gamma$ que se deduciría de un periodo medido de $1.10\,\mathrm{s}$ .
¿Por qué sesgan el resultado el rozamiento entre la bola y el tubo y las fugas de aire, y en qué sentido?
Resúmanse las tres compresiones: qué magnitud conservó en cada una el primer principio y qué gobernó el exponente adiabático $\gamma$ .

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ .

2. $PV^\gamma$ constante: $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$ .

3. $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ .

4. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$ .

5. Aire que hay que añadir: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$ : $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ bombeos, unos $2.2\,\mathrm{kJ}$ — un minuto de esfuerzo honrado.

6. A volumen constante $P \propto T$ : la presión cae al enfriarse el aire (hasta en $300/523$ para el aire del último bombeo); el ciclista añade unos bombeos tras una pausa.

7. $W_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$ : el camino isotermo comprime más el gas (hasta $30\,\mathrm{cm}^{3}$ en vez de $53\,\mathrm{cm}^{3}$ ) para llegar a $7\,\mathrm{bar}$ , porque se mantiene frío — más volumen barrido, más trabajo.

8. $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$ ; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$ .

9. $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ .

10. $994\,\mathrm{K}$ está muy por encima del punto de autoinflamación del combustible: el combustible inyectado se enciende al contacto. Un motor de gasolina comprime su mezcla de aire y combustible solo hasta unos $750\,\mathrm{K}$ para que no se encienda antes de la chispa; una relación demasiado alta da “picado”.

11. $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$ .

12. $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ por cilindro, almacenados en el gas caliente y devueltos en la expansión.

13. La irreversibilidad (el gas no sigue el camino cuasiestático; se disipa un trabajo adicional) eleva $T_2$ ; el calor perdido por las paredes lo baja. En un motor real suele ganar lo segundo: $T_2$ queda algo por debajo del valor ideal.

14. $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$ .

15. Isobara: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$ : $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$ , $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$ ; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$ .

16. $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$ : trabajo entregado por el gas.

17. $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$ ; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$ .

18. Trabajo neto entregado $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$ ; cociente $537/860 = 62\%$ (el rendimiento ideal del ciclo Diesel con estos datos; los motores reales llegan a un $40\%$ ).

19. $1 - 300/2470 = 88\%$ : el ciclo Diesel ideal queda muy por debajo de la cota de Carnot, porque recibe su calor en un intervalo de temperaturas y no a la más alta.

20. A lo largo de un ciclo $\Delta U = 0$ : $Q_{\text{sal}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$ , es decir $323\,\mathrm{J}$ se van con los gases de escape; comprobación: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$ .

21. La oscilación es rápida (un segundo) frente a la conducción del calor a través de $10\,\mathrm{L}$ de aire: adiabática. Al linealizar $PV^\gamma$ : $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$ .

22. Fuerza sobre la bola $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$ : $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$ , armónico, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ .

23. $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$ : $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$ . Con $T = 1.10\,\mathrm{s}$ : $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$ .

24. El rozamiento amortigua el movimiento y, si es seco, desplaza el equilibrio; las fugas junto a la bola dejan escapar aire durante una compresión y rebajan la fuerza recuperadora: ambos alargan el periodo y sesgan $\gamma$ a la baja — como el $1.35$ de arriba.

25. Bomba y diésel: $Q = 0$ , luego $\Delta U = W$ — el trabajo se convirtió en energía interna y en temperatura, por la ley de Laplace con exponente $\gamma$ . Bola: una compresión rápida es adiabática, y $\gamma$ fija la rigidez de un muelle de aire.

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