Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

3Espejos y lentes delgadas

Un espejo de tocador muestra una cara del doble de su tamaño; el dorso de una cuchara la muestra diminuta y derecha, y el hueco la muestra diminuta y del revés; una lupa sostenida con el brazo extendido pone la habitación boca abajo, y acercada agranda un sello; el objetivo de un teléfono, del tamaño de una lenteja, pinta la calle entera sobre un sensor. Una sola relación algebraica entre tres distancias gobierna todas esas imágenes, y este capítulo la establece — primero para los espejos curvos y después para la lente delgada con la que están construidos casi todos los instrumentos ópticos.

Una lente convergente forma sobre una pantalla la imagen real e invertida de la llama de una vela: las distancias objeto e imagen obedecen la relación de conjugación de este capítulo.

3.1 Imágenes y condiciones de Gauss

Definición 3.1 (Objeto, imagen, estigmatismo)

Un sistema óptico recibe rayos procedentes de un punto $A$ (el punto objeto). Si todos los rayos emergentes pasan por un mismo punto $A'$ , o todos parecen provenir de un mismo punto $A'$ , el sistema es estigmático para $A$ y $A'$ es la imagen de $A$ . La imagen es real si los rayos emergentes se cortan efectivamente en $A'$ (puede recogerse en una pantalla) y virtual si solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás (se ve a través del sistema, no se proyecta). Análogamente, el objeto es real si los rayos incidentes divergen desde $A$ , y virtual si convergen hacia $A$ detrás de la entrada del sistema. El par $(A, A')$ es conjugado.

Definición 3.2 (Sistema centrado; condiciones de Gauss)

Un sistema centrado posee un eje de simetría de revolución, el eje óptico. Los rayos que se mantienen cerca del eje y forman ángulos pequeños con él son paraxiales; de un sistema utilizado solo con rayos paraxiales se dice que trabaja en las condiciones de Gauss. En esas condiciones un sistema centrado es aproximadamente estigmático para todo punto, y un plano objeto perpendicular al eje tiene un plano imagen perpendicular al eje (aplanatismo).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 3.3 (Por qué ángulos pequeños)

El espejo plano es el único sistema simple rigurosamente estigmático para todo punto. Un espejo o una lente esféricos solo lo son en la medida en que $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ : esa aproximación es la que convierte la ley de Snell en relaciones lineales entre distancias. Fuera de ella, la imagen de un punto es una mancha (aberraciones), y el trabajo del diseñador — diafragmas, combinaciones de lentes, superficies asféricas — consiste en llevar la mancha por debajo de lo que el ojo o el sensor pueden resolver.

Notación 3.4 (Medidas algebraicas y aumento)

El eje óptico se orienta en el sentido de la luz incidente; la dirección transversal se orienta hacia arriba. Para puntos $P$ , $Q$ del eje, $\overline{PQ}$ designa la medida algebraica ( $\overline{PQ} > 0$ si $Q$ está aguas abajo de $P$ ); para un objeto $AB$ perpendicular al eje y su imagen $A'B'$ , el aumento transversal es

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,

negativo para una imagen invertida y de valor absoluto mayor que $1$ para una imagen agrandada.

3.2 Espejos esféricos

Definición 3.5 (Espejo esférico)

Un espejo esférico es un casquete esférico reflectante de centro $C$ y vértice $S$ (su intersección con el eje). Es cóncavo si la luz llega por el lado hueco ( $C$ del lado de la luz incidente), y convexo en caso contrario. Su foco $F$ es la imagen de un punto del eje en el infinito; su distancia focal es $f = \overline{SF}$ .

Proposición 3.6 (Foco de un espejo esférico)

En las condiciones de Gauss, el foco es el punto medio de $SC$ : $\overline{SF} = \overline{SC}/2$ . Un espejo cóncavo tiene $f < 0$ (foco real, por delante); uno convexo tiene $f > 0$ (foco virtual, por detrás).

Demostración. Un rayo paralelo al eje a la altura $h$ llega al espejo en $I$ ; la normal en $I$ es el radio $CI$ , que forma un ángulo $\alpha$ con el eje, con $\sin\alpha = h/R$ . Reflejado con el mismo ángulo $\alpha$ respecto de la normal, el rayo corta al eje en $F$ ; el triángulo $CIF$ tiene ángulos iguales $\alpha$ en $C$ y en $I$ , luego $CF = IF$ y, proyectando, $CF = R/(2\cos\alpha)$ . Para rayos paraxiales $\cos\alpha \to 1$ y $CF = R/2$ : todos esos rayos cortan al eje en el mismo punto, el punto medio de $SC$ . Signo: para un espejo cóncavo, $C$ y $F$ están por delante (aguas arriba) y $\overline{SC} < 0$ . ∎

Teorema 3.7 (Conjugación para un espejo esférico)

En las condiciones de Gauss, la imagen $A'$ de un punto $A$ del eje cumple

\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}} = \frac{1}{\overline{SF}}, \qquad \gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .

Demostración. Tómese un espejo cóncavo y un objeto real $A$ más allá de $C$ ; la forma algebraica cubre después todos los casos. Un rayo que sale de $A$ alcanza el espejo en $I$ (a la altura $h$ ) y vuelve a $A'$ sobre el eje. Llámense $u$ , $u'$ , $\omega$ a los ángulos de $AI$ , $A'I$ y $CI$ con el eje; paraxialmente $u = h/AS$ , $u' = h/A'S$ , $\omega = h/CS$ (distancias). La ley de la reflexión dice que la normal $CI$ biseca el ángulo entre $AI$ y $A'I$ : $\omega - u = u' - \omega$ , es decir $u + u' = 2\omega$ , es decir $1/AS + 1/A'S = 2/CS$ ; siendo $\overline{SA}$ , $\overline{SA'}$ y $\overline{SC}$ negativos, esta es la relación mostrada. Para el aumento, el rayo $B \to S \to B'$ reflejado en el vértice forma ángulos iguales con el eje: $A'B'/SA' = AB/SA$ en longitudes, y la imagen está invertida, $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ . ∎

Método 3.8 (Construir una imagen en un espejo)

Para un punto objeto $B$ fuera del eje, trácense dos de los cuatro rayos notables; su intersección (o la de sus prolongaciones) es $B'$ :

paralelo al eje $\to$ se refleja pasando por $F$ ;
pasando por $F$ $\to$ se refleja paralelo al eje;
pasando por $C$ $\to$ se refleja sobre sí mismo;
hacia el vértice $S$ $\to$ se refleja simétricamente respecto del eje.

Entonces $A'$ es el pie de la perpendicular al eje trazada desde $B'$ .

Un espejo cóncavo (C, foco F a mitad del radio). Para un objeto AB más allá de C, el rayo paralelo al eje vuelve pasando por F y el rayo que pasa por F vuelve paralelo: se cortan en B' — una imagen real, invertida y reducida, entre F y C. — Un espejo cóncavo ( $C$ , foco $F$ a mitad del radio). Para un objeto $AB$ más allá de $C$ , el rayo paralelo al eje vuelve pasando por $F$ y el rayo que pasa por $F$ vuelve paralelo: se cortan en $B'$ — una imagen real, invertida y reducida, entre $F$ y $C$ .

Ejemplo 3.9 (Espejo de afeitar, espejo retrovisor)

Un espejo cóncavo de radio $60\,\mathrm{cm}$ ( $f = -30\,\mathrm{cm}$ ) con una cara a $20\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$ , $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — detrás del espejo, virtual — y $\gamma = -60/(-20) = +3$ : derecha y tres veces mayor, el espejo de afeitar. Un espejo convexo de radio $2.0\,\mathrm{m}$ ( $f = +1.0\,\mathrm{m}$ ) con un coche $20\,\mathrm{m}$ por detrás: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$ , $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (virtual, por detrás), $\gamma = +0.048$ : derecha, veinte veces menor y, por tanto, con un campo amplio — el espejo retrovisor, con su advertencia de que los objetos están más cerca de lo que parecen.

3.3 Lentes delgadas

Definición 3.10 (Lente delgada)

Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies esféricas (o planas); es delgada cuando su espesor es despreciable frente a los radios y frente a las distancias en juego, de modo que sus dos vértices se funden en un único punto, el centro óptico $O$ . Un rayo que pasa por $O$ no se desvía. El foco imagen $F'$ es la imagen de un punto del eje en el infinito; el foco objeto $F$ es el punto cuya imagen está en el infinito; ambos están a la misma distancia de $O$ : $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$ , la distancia focal. La lente es convergente si $f' > 0$ ( $F'$ real, aguas abajo; bordes más finos que el centro), y divergente si $f' < 0$ . Su vergencia $V = 1/f'$ se mide en dioptrías ( $1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$ ).

Teorema 3.11 (Conjugación para una lente delgada)

En las condiciones de Gauss, la imagen $A'$ de un punto $A$ del eje cumple la relación de Descartes

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}, \qquad \gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},

y, de manera equivalente, la relación de Newton

\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .

Demostración parcial. El hecho clave es que un rayo que atraviesa una lente delgada a la altura $h$ resulta desviado hacia el eje un ángulo $h/f'$ , sea cual sea su dirección — cada zona de la lente actúa como un prisma delgado (Observación 2.21) cuyo ángulo crece linealmente con $h$ para superficies esféricas; esa linealidad, exacta para rayos paraxiales, se admite aquí y se deduce de la ley de Snell en dos superficies esféricas en el volumen del Año 2. Admitida: un rayo que sale de $A$ (a distancia $p = -\overline{OA} > 0$ para un objeto real) y alcanza la lente a la altura $h$ llega con pendiente $h/p$ , se desvía $h/f'$ y sale con pendiente $h/p - h/f'$ ; corta al eje en $A'$ con $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$ , es decir $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ , con independencia de $h$ : todos los rayos que salen de $A$ se reúnen en $A'$ . El rayo $B \to O \to B'$ que pasa por el centro es recto, luego $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$ . La forma de Newton se sigue sustituyendo $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA} = -f' + \overline{FA}$ y $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$ . ∎

Método 3.12 (Construir una imagen a través de una lente delgada)

Tres rayos notables desde $B$ :

por $O$ : no se desvía;
paralelo al eje: emerge pasando por $F'$ ;
pasando por $F$ : emerge paralelo al eje.

Bastan dos; para una lente divergente úsense las prolongaciones (el rayo dirigido hacia $F$ por detrás de la lente emerge paralelo; el rayo paralelo emerge como si viniera de $F'$ , por delante).

Una lente convergente: objeto AB más allá de F. El rayo que pasa por O sigue recto, el rayo paralelo se desvía pasando por F' y el rayo que pasa por F sale paralelo; los tres se cortan en B': imagen real e invertida. Aquí OA = -1.5f', luego OA' = 3f' y = -2. — Una lente convergente: objeto $AB$ más allá de $F$ . El rayo que pasa por $O$ sigue recto, el rayo paralelo se desvía pasando por $F'$ y el rayo que pasa por $F$ sale paralelo; los tres se cortan en $B'$ : imagen real e invertida. Aquí $\overline{OA} = -1.5f'$ , luego $\overline{OA'} = 3f'$ y $\gamma = -2$ .

Una lente divergente (F' aguas arriba, F aguas abajo): el rayo paralelo emerge como si viniera de F' y el rayo central sigue recto; sus prolongaciones hacia atrás se cortan en B' — una imagen virtual, derecha y reducida, sea cual sea la posición del objeto. — Una lente divergente ( $F'$ aguas arriba, $F$ aguas abajo): el rayo paralelo emerge como si viniera de $F'$ y el rayo central sigue recto; sus prolongaciones hacia atrás se cortan en $B'$ — una imagen virtual, derecha y reducida, sea cual sea la posición del objeto.

Ejemplo 3.13 (La misma lente, tres usos)

Una lente convergente, $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ . Sello a $3.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$ , $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$ , virtual, $\gamma = +2.5$ : la lupa. Lámpara a $20\,\mathrm{cm}$ : $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$ , real, $\gamma = -1/3$ : una imagen invertida y reducida sobre una cartulina. Ventana a $4\,\mathrm{m}$ : $\overline{OA'} \approx f'$ , imagen invertida diminuta en el plano focal — la cámara. Tres usos, una relación.

Proposición 3.14 (Aumento longitudinal)

Si el objeto se desplaza a lo largo del eje una cantidad $\dd\overline{OA}$ , la imagen se desplaza $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ , en el mismo sentido.

Demostración. Derívese la relación de Descartes a $f'$ fijo: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$ , luego $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$ . ∎

Observación 3.15 (Profundidad de foco)

Un proyector con $\gamma = -50$ tiene $\gamma^2 = 2500$ : una diapositiva que se abomba $0.1\,\mathrm{mm}$ por el calor de la lámpara lleva su imagen $25\,\mathrm{cm}$ fuera del plano de la pantalla. A la inversa, una cámara ( $\abs\gamma \ll 1$ ) tolera grandes desplazamientos del objeto con un ínfimo corrimiento de la imagen — la profundidad de campo.

3.4 Medir una distancia focal

Método 3.16 (Autocolimación)

Colóquese un espejo plano justo detrás de la lente y desplácese un objeto iluminado (una cruz sobre un vidrio esmerilado) a lo largo del eje hasta que su imagen, devuelta a través de la lente, se forme nítida sobre el propio objeto, invertida y del mismo tamaño. El objeto está entonces en el plano focal: los rayos salen paralelos de la lente, vuelven paralelos del espejo y se reenfocan en el plano focal. La distancia objeto–lente es $f'$ .

Proposición 3.17 (Método de Bessel)

Un objeto y una pantalla se fijan a una distancia $D$ . Una lente convergente forma sobre la pantalla una imagen real nítida en exactamente dos posiciones si $D > 4f'$ , en una si $D = 4f'$ y en ninguna si $D < 4f'$ . Las dos posiciones distan $d$ , con

f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .

Para $D = 4f'$ (Silbermann) la única posición da $\gamma = -1$ .

Demostración. Sea $p = -\overline{OA} > 0$ la distancia objeto–lente; entonces $\overline{OA'} = D - p$ y Descartes da $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$ , es decir $p^2 - Dp + Df' = 0$ : discriminante $D^2 - 4Df'$ , positivo si y solo si $D > 4f'$ . Las dos raíces $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ suman $D$ (las posiciones son simétricas: las distancias objeto e imagen se intercambian) y difieren en $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$ ; despéjese $f'$ . Para $D = 4f'$ , $p = 2f' = \overline{OA'}$ y $\gamma = -1$ . ∎

Método de Bessel: objeto y pantalla fijos con D > 4f'; la lente da una imagen nítida en dos posiciones simétricas separadas por d (agrandada, reducida), y f' = (D2 - d2)/4D. — Método de Bessel: objeto y pantalla fijos con $D > 4f'$ ; la lente da una imagen nítida en dos posiciones simétricas separadas por $d$ (agrandada, reducida), y $f' = (D^2 - d^2)/4D$ .

3.5 Dos lentes delgadas

Proposición 3.18 (Lentes en contacto; doblete afocal)

Dos lentes delgadas en contacto se comportan como una sola lente delgada de vergencia $V = V_1 + V_2$ . Dos lentes dispuestas de modo que $F_1' = F_2$ forman un sistema afocal: un haz paralelo emerge paralelo, y un haz inclinado $\alpha$ emerge inclinado $\alpha' = G\alpha$ con el aumento angular $G = -f_1'/f_2'$ .

Demostración. La imagen $A_1$ que da $L_1$ es el objeto de $L_2$ . En contacto, $O_1 = O_2 = O$ : $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ y $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$ ; súmense. Afocal: un haz paralelo con ángulo $\alpha$ converge en el plano focal común a la altura $h = f_1'\alpha$ del eje (rayo por $O_1$ ); visto desde $L_2$ , ese punto está en su plano focal objeto, así que el haz emerge paralelo, con el ángulo del rayo que va del punto a $O_2$ : $\alpha' = -h/f_2'$ . ∎

Ejemplo 3.19 (Un anteojo en una línea)

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$ , $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = -40$ ; la Luna, de medio grado de anchura, se convierte en un disco de $20^\circ$ — el anteojo astronómico del capítulo siguiente. Con un ocular divergente, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$ , $G = +40$ : derecha, el catalejo de Galileo.

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

Un espejo cóncavo tiene $R = 40\,\mathrm{cm}$ . Hállese la imagen de un objeto situado a $60\,\mathrm{cm}$ , $30\,\mathrm{cm}$ y $10\,\mathrm{cm}$ del vértice: posición, carácter real o virtual, aumento.

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} - 1/\overline{SA}$ . A $60\,\mathrm{cm}$ : $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$ , real, $\gamma = -0.5$ . A $30\,\mathrm{cm}$ : $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$ , real, $\gamma = -2$ . A $10\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10 = 1/20$ , $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ detrás del espejo, virtual, $\gamma = +2$ (derecha, agrandada).

Ejercicio 3.2 ★

Una lente convergente tiene $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ . Hállese la imagen de un objeto a $20\,\mathrm{cm}$ y luego a $3.0\,\mathrm{cm}$ ; dibújense las construcciones.

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$ , $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$ , real e invertida, $\gamma = -1/3$ . $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$ , $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$ , virtual y derecha, $\gamma = +2.5$ .

Ejercicio 3.3 ★

Dese la vergencia de una lente de distancia focal $25\,\mathrm{cm}$ ; la distancia focal de una lente de $-2.0\,\delta$ ; la distancia focal de una lente de $+3.0\,\delta$ y otra de $-1.0\,\delta$ en contacto.

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$ ; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$ ; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$ , $f' = 50\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 3.4 ★

Con $f' = 10\,\mathrm{cm}$ y un objeto $15\,\mathrm{cm}$ por delante de $F$ , úsese la relación de Newton para localizar la imagen y hallar $\gamma$ ; compruébese con la relación de Descartes.

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$ : $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA} = +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ más allá de $F'$ , es decir $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$ . Descartes: $\overline{OA} = -25\,\mathrm{cm}$ , $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$ , $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$ .

Ejercicio 3.5 ★★

Un espejo retrovisor convexo tiene $R = 2.0\,\mathrm{m}$ . Un coche de $1.5\,\mathrm{m}$ de alto está $20\,\mathrm{m}$ por detrás: hállense la posición de la imagen y su altura, y explíquese la advertencia “los objetos están más cerca de lo que parecen”.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$ , $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$ : $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$ , $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ detrás del espejo (virtual, derecha); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$ , altura de la imagen $7.1\,\mathrm{cm}$ . El cerebro juzga la distancia por el tamaño aparente: un coche mostrado veinte veces menor a $0.95\,\mathrm{m}$ se lee como un coche lejano — más lejos de $20\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 3.6 ★★

Un objetivo fotográfico, $f' = 50\,\mathrm{mm}$ , enfoca un motivo situado a $2.0\,\mathrm{m}$ . ¿Cuánto debe desplazarse la lente respecto de su ajuste a infinito? ¿Cuál es el aumento? ¿A qué distancia debe situarse el fotógrafo para que una persona de $1.8\,\mathrm{m}$ quepa en los $24\,\mathrm{mm}$ de altura del sensor?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$ , $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$ : la lente se aleja $1.3\,\mathrm{mm}$ del sensor. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$ . Para $\abs\gamma = 24/1800 = 1/75$ : $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) = -3.8\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 3.7 ★★

Un proyector debe mostrar una diapositiva de $36\,\mathrm{mm}$ de ancho como una imagen de $1.8\,\mathrm{m}$ de ancho sobre una pantalla situada a $5.0\,\mathrm{m}$ de la lente. Hállense la distancia focal necesaria y la distancia diapositiva–lente. ¿Por qué se introduce la diapositiva del revés?

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$ ; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$ , $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$ ; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$ , $f' = 98\,\mathrm{mm}$ . La imagen está invertida ( $\gamma < 0$ ), arriba–abajo e izquierda–derecha: la diapositiva se introduce girada $180^\circ$ .

Ejercicio 3.8 ★★

Explíquese, con un trazado de rayos, por qué la autocolimación localiza exactamente el plano focal y por qué la imagen devuelta es invertida y del mismo tamaño que el objeto. ¿Qué le ocurre a la imagen devuelta si se inclina ligeramente el espejo?

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

Objeto en el plano focal $\Rightarrow$ los rayos de cada punto salen de la lente paralelos; el espejo plano los devuelve paralelos (en la dirección simétrica); la lente enfoca un haz paralelo en su plano focal, en el punto simétrico del punto fuente respecto del eje: imagen en el plano objeto, invertida, $\gamma = -1$ . Inclinar el espejo un ángulo $\alpha$ gira el haz de vuelta $2\alpha$ y desplaza la imagen lateralmente $2\alpha f'$ , que sigue nítida en el mismo plano.

Ejercicio 3.9 ★★

Un objeto y una pantalla distan $1.00\,\mathrm{m}$ ; se obtienen imágenes nítidas para dos posiciones de la lente separadas $40\,\mathrm{cm}$ . Hállese $f'$ . ¿Cuál es la menor distancia objeto–pantalla a la que esta lente todavía puede proyectar una imagen nítida, y con qué aumento?

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$ . Distancia mínima $4f' = 84\,\mathrm{cm}$ , con $\gamma = -1$ .

Ejercicio 3.10 ★★★

Una lente convergente $L_1$ ( $f_1' = 20\,\mathrm{cm}$ ) va seguida, $15\,\mathrm{cm}$ más allá, de una lente divergente $L_2$ ( $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$ ). Localícese la imagen de un objeto en el infinito. Muéstrese que un objeto lejano de tamaño angular $\alpha$ da una imagen de altura $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$ , y compárese con la longitud del montaje: el principio del teleobjetivo.

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

$L_1$ conjuga el infinito en $F_1'$ , $20\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_1$ , es decir $5\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_2$ : un objeto virtual, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$ . $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$ : imagen final $10\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_2$ . Altura de la imagen intermedia $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$ , luego $h = 40\alpha$ : distancia focal equivalente $40\,\mathrm{cm}$ , en un tubo de $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — un teleobjetivo.

Ejercicio 3.11 ★★★

Un espejo cóncavo forma, sobre una pantalla situada a $80\,\mathrm{cm}$ del filamento de una lámpara, una imagen del filamento tres veces mayor. Hállense las posiciones del espejo y su radio de curvatura.

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ da $\overline{SA'} = 3\overline{SA}$ ; ambos reales y por delante: $\overline{SA} = -x$ , $\overline{SA'} = -3x$ , y la distancia pantalla–lámpara $2x = 80\,\mathrm{cm}$ : $x = 40\,\mathrm{cm}$ . Espejo a $40\,\mathrm{cm}$ de la lámpara y $120\,\mathrm{cm}$ de la pantalla; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$ : $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 3.12 ★★★

El Sol subtiende $0.53^\circ$ . Una lente convergente de $10\,\mathrm{cm}$ de diámetro y $50\,\mathrm{cm}$ de distancia focal forma su imagen sobre una hoja de papel. Calcúlense el diámetro de la imagen, la potencia recogida (irradiancia solar $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) y la irradiancia en la imagen; compárese con la irradiancia solar directa y conclúyase.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; diámetro de la imagen $f'\theta = 4.6\,\mathrm{mm}$ . Potencia recogida $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$ ; área de la imagen $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ ; irradiancia $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $470$ veces la luz solar directa: el papel se carboniza y arde — la lupa que quema. En general la ganancia vale $(D/f'\theta)^2$ .

3.7 Problema: el proyector de diapositivas

Problema 3.1

Problema de fin de semana — una lente, medida en un banco óptico y obligada después a lanzar una diapositiva de 35 mm a lo ancho de una sala: cómo se diseña, se enfoca y se equipa con un conversor de tiro largo un proyector

Un objetivo de proyección $L_1$ es una lente delgada convergente de distancia focal $f_1'$ desconocida. La diapositiva mide $24\,\mathrm{mm}$ de alto y $36\,\mathrm{mm}$ de ancho.

Parte I — La lente en el banco óptico.

Enúnciense la relación de Descartes y el aumento para una lente delgada, con los convenios de signos.
Un objeto y una pantalla se fijan a una distancia $D$ . Muéstrese que una imagen real sobre la pantalla exige $D \geq 4f_1'$ .
Muéstrese que, cuando $D > 4f_1'$ , las dos posiciones de la lente que dan una imagen nítida son simétricas respecto del punto medio entre objeto y pantalla, y que $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ , siendo $d$ su separación.
Con $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ y $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ , calcúlese $f_1'$ .
La lente va montada en un tubo grueso cuyo centro óptico no puede localizarse con precisión. ¿Por qué no afecta eso al método?
Las distancias llevan $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ y $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Calcúlese $u(f_1')$ y escríbase el resultado.
Dese el aumento en cada una de las dos posiciones. ¿Cuál corresponde a un proyector?
¿Cuál es el menor $D$ para el que existe una imagen nítida, y el aumento en ese caso (Silbermann)?

Parte II — Lanzar la imagen. La imagen sobre la pantalla debe medir $1.80\,\mathrm{m}$ de ancho. Tómese $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$ .

¿Qué aumento hace falta (con su signo)?
Calcúlense la distancia lente–pantalla y la distancia diapositiva–lente.
¿Por qué se introduce la diapositiva boca abajo e invertida derecha–izquierda?
La pantalla se lleva a $10.0\,\mathrm{m}$ . ¿Cuánto y en qué sentido hay que mover la lente respecto de la diapositiva para reenfocar? ¿Cuál es ahora la anchura de la imagen?

Parte III — Tolerancia de enfoque y luz.

Muéstrese que un desplazamiento pequeño $\dd\overline{OA}$ de la diapositiva corre la imagen $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .
La película se abomba $0.10\,\mathrm{mm}$ por el calor de la lámpara. ¿Cuánto se desplaza el plano imagen (pantalla a $7.65\,\mathrm{m}$ )? Coméntese.
La abertura de la lente mide $30\,\mathrm{mm}$ de diámetro. Si la pantalla queda $20\,\mathrm{cm}$ fuera del plano imagen, ¿cuál es el diámetro de la mancha de desenfoque de un punto de la diapositiva? Vista desde $5\,\mathrm{m}$ , ¿la aprecia el ojo (resolución angular de unos $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ )?
La diapositiva recibe $2.0\,\mathrm{W}$ de luz, que llegan íntegros a la pantalla. Calcúlese la irradiancia (potencia por unidad de área) sobre la diapositiva y sobre la pantalla, y muéstrese que su cociente vale $\gamma^2$ .

Parte IV — El conversor de tiro largo. En una sala mayor la pantalla está a $12.0\,\mathrm{m}$ . Se acopla una lente divergente $L_2$ , $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ por detrás de $L_1$ ; la pantalla queda a $12.0\,\mathrm{m}$ de $L_2$ .

Para que la imagen final sea real y esté sobre la pantalla, ¿dónde (respecto de $L_2$ ) debe situarse la imagen intermedia que da $L_1$ ? ¿Es un objeto real o virtual para $L_2$ ?
Dedúzcase la posición de la diapositiva $\overline{O_1A}$ .
Calcúlense $\gamma_1$ , $\gamma_2$ y el aumento total.
Dese la anchura de la imagen y compárese con la que daría $L_1$ sola sobre la misma pantalla (a $12.08\,\mathrm{m}$ de $L_1$ ).
Para un objeto en el infinito, muéstrese que el sistema equivale a una sola lente de distancia focal $f_{\mathrm{eq}}$ con

$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$

$e = \overline{O_1O_2}$ , en el sentido de que un haz inclinado $\alpha$ converge a la altura $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ del eje. Calcúlese $f_{\mathrm{eq}}$ .
Compruébese que el cociente de anchuras de imagen (con y sin conversor) se acerca a $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ . ¿Por qué solo aproximadamente?
¿Por qué debe quedar la imagen intermedia a menos de $\abs{f_2'}$ más allá de $L_2$ para que la imagen final sea real?
Con la misma lámpara, ¿por qué factor cambia la irradiancia sobre la pantalla al montar el conversor (misma distancia de pantalla)?
Resúmase: ¿por qué factor multiplica el conversor la distancia focal, y qué le hace al tamaño y al brillo de la imagen a un tiro dado?

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ , $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$ ; eje orientado según la luz, distancias algebraicas desde $O$ .

2. $p = -\overline{OA}$ , $\overline{OA'} = D - p$ : $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$ , es decir $p^2 - Dp + Df_1' = 0$ ; raíces reales si y solo si $D^2 - 4Df_1' \geq 0$ , es decir $D \geq 4f_1'$ .

3. Las raíces suman $D$ : $p_1 + p_2 = D$ , luego $p_2 = D - p_1$ — las distancias objeto e imagen se intercambian y las posiciones son simétricas respecto del punto medio. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$ , de donde $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ .

4. $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$ .

5. Solo intervienen el desplazamiento $d$ del tubo entre los dos ajustes nítidos y la distancia objeto–pantalla $D$ : ninguno de los dos exige saber dónde se sitúa $O$ dentro del tubo.

6. $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$ , $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$ ; luego $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 = 0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ y $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$ : $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$ .

7. $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ o $60\,\mathrm{cm}$ : $\gamma = -60/20 = -3$ (diapositiva cerca de la lente, agrandada: el proyector) y $\gamma = -1/3$ .

8. $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = -1$ .

9. $\gamma = -1.80/0.036 = -50$ .

10. $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 = 765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$ ; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -15.3\,\mathrm{cm}$ .

11. $\gamma < 0$ : la imagen real está girada $180^\circ$ alrededor del eje, así que la diapositiva se introduce girada $180^\circ$ (boca abajo e invertida derecha–izquierda).

12. $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA} = 1/1000 - 1/15$ , $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$ : la lente se acerca $0.7\,\mathrm{mm}$ a la diapositiva. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$ : imagen de $2.36\,\mathrm{m}$ de ancho.

13. Derivando Descartes: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$ , luego $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .

14. $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$ : la imagen se desenfoca a medida que la película se calienta — de ahí las diapositivas montadas entre vidrios, o un autofoco que siga a la película.

15. Triángulos semejantes desde la abertura hasta el punto imagen: mancha $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$ ; desde $5\,\mathrm{m}$ subtiende $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : no se aprecia.

16. Área de la diapositiva $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{diap}} = 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; el área de la pantalla es $\gamma^2$ veces mayor, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{pant}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; misma potencia, áreas en la razón $\gamma^2 = 2500$ .

17. $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{O_2A} = 1/1200 + 1/30 = 0.03417$ , $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$ : la imagen intermedia queda $29.3\,\mathrm{cm}$ más allá de $L_2$ — un objeto virtual para $L_2$ (los rayos que salen de $L_1$ convergen hacia ella).

18. $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$ , $\overline{O_1A} = -25.1\,\mathrm{cm}$ .

19. $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$ ; $\gamma_2 = 1200/29.3 = 41.0$ ; $\gamma = -60.9$ .

20. Anchura $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$ . $L_1$ sola: $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$ , anchura $2.86\,\mathrm{m}$ .

21. Haz con ángulo $\alpha$ : $L_1$ lo enfoca a la altura $h_1 = f_1'\alpha$ en su plano focal, que dista $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ de $L_2$ ; $L_2$ conjuga ese punto en $\overline{O_2A'}$ con $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ y lo aumenta en $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1' - e)$ , luego $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ y $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1' = \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$ , cuyo inverso es la fórmula enunciada. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$ , $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$ .

22. $2.19/2.86 = 0.77$ y $15/19.6 = 0.77$ . Solo aproximadamente, porque la diapositiva está a distancia finita y los dos tiros se miden desde lentes distintas; para un objeto en el infinito el cociente sería exacto.

23. Objeto virtual en $p > 0$ más allá de una lente divergente: $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$ , positivo (imagen real) si y solo si $p < \abs{f_2'}$ .

24. La misma potencia sobre una imagen de área $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ veces menor: irradiancia $\times 1.7$ .

25. El conversor multiplica la distancia focal por $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$ ; a un tiro dado la imagen es $1.3$ veces menor en cada dirección y $1.7$ veces más luminosa — un objetivo de tiro largo.

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