Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

30Introducción a la física cuántica

Ilumínese con luz ultravioleta un metal limpio y saldrán electrones al instante, con una energía que depende del color de la luz y en absoluto de su brillo; ilumínese con luz roja y no saldrá nada por brillante que sea la lámpara. Envíense electrones de uno en uno a través de dos rendijas y llegarán como puntos, cada uno en un solo sitio — y los puntos van formando, al cabo de miles, las franjas de una onda. Ninguno de los dos hechos encaja en la física de los veintinueve capítulos anteriores. Este último capítulo presenta las ideas que sí los explican: la luz se intercambia en cuantos, los fotones; la materia tiene una longitud de onda; lo que se propaga es una amplitud cuyo cuadrado es una probabilidad; la posición y la cantidad de movimiento no pueden estar ambas bien definidas; y una partícula confinada solo puede tener ciertas energías — por lo que los átomos tienen tamaño, los espectros tienen rayas y un grano de semiconductor de unos nanómetros brilla en un color que fija su diámetro.

30.1 El fotón

Teorema 30.1 (Relaciones de Planck–Einstein)

La luz de frecuencia $\nu$ y longitud de onda $\lambda$ intercambia energía con la materia solo en cuantos, los fotones, de energía y cantidad de movimiento

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,

con la constante de Planck $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ( $\hbar = h/2\pi = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ). Útil: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — un fotón de $620\,\mathrm{nm}$ lleva $2\,\mathrm{eV}$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Proposición 30.2 (El efecto fotoeléctrico)

La luz que incide sobre un metal de trabajo de extracción $W$ (la energía que liga a sus electrones menos ligados, unos pocos eV) arranca electrones de energía cinética máxima

E_{k,\max} = h\nu - W ,

luego solo por encima del umbral $\nu_0 = W/h$ , al instante y con una energía independiente de la intensidad; la intensidad fija el número de electrones por segundo. El potencial de frenado $V_s$ que justo anula la corriente mide $E_{k,\max} = eV_s$ , y la gráfica de $V_s$ frente a $\nu$ es una recta de pendiente $h/e$ — así midió Millikan $h$ .

Demostración. Cada fotón lo absorbe un solo electrón, que se queda a lo sumo con $h\nu - W$ ; una onda entregaría energía de forma continua a todos los electrones, la energía crecería con la intensidad y una luz débil tardaría horas en acumular $W$ sobre un átomo (Problema 30.1) — nada de lo cual se observa. La interpretación de Einstein (1905) se admite como ley. ∎

A la izquierda: la célula fotoeléctrica — la luz libera electrones del cátodo; una tensión inversa V_s justo suficiente para detenerlos mide su energía máxima. A la derecha: el potencial de frenado frente a la frecuencia es una recta para todo metal, de pendiente h/e; la ordenada en el origen da el trabajo de extracción, y el umbral, la frecuencia mínima. — A la izquierda: la célula fotoeléctrica — la luz libera electrones del cátodo; una tensión inversa $V_s$ justo suficiente para detenerlos mide su energía máxima. A la derecha: el potencial de frenado frente a la frecuencia es una recta para todo metal, de pendiente $h/e$ ; la ordenada en el origen da el trabajo de extracción, y el umbral, la frecuencia mínima.

Ejemplo 30.3 (Órdenes de magnitud)

Un fotón visible: $2\,\mathrm{eV}$ ; un fotón de rayos X de $0.1\,\mathrm{nm}$ : $12\,\mathrm{keV}$ ; un fotón de radio a $100\,\mathrm{MHz}$ : $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ . Un láser rojo de $1\,\mathrm{mW}$ emite $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ fotones por segundo; una antena de radio que recoge $1\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ recibe $10^{13}$ por segundo — tantos y tan pequeños que la descripción ondulatoria es exacta a todos los efectos; el ojo, en cambio, puede registrar un destello de cien fotones. La naturaleza cuántica de la luz se manifiesta cuando los fotones son pocos o energéticos: células fotoeléctricas, detectores de rayos X, el grano de una fotografía poco expuesta.

Observación 30.4 (La dispersión Compton)

Un fotón que rebota en un electrón libre le transfiere cantidad de movimiento como una bola de billar: su longitud de onda crece en $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$ , con $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (admitido — es un choque relativista, Año 2). Invisible para la luz ( $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ ), es un efecto del $20\%$ para los rayos X, y fue el experimento que convenció a los escépticos (1923) de que el fotón lleva la cantidad de movimiento $h/\lambda$ .

30.2 Las ondas de materia

Teorema 30.5 (De Broglie)

Una partícula de cantidad de movimiento $p$ se propaga como una onda de longitud de onda

\lambda = \frac{h}{p} ,

y muestra en consecuencia difracción e interferencias: electrones en un cristal (Davisson y Germer, 1927), a través de dos rendijas (Jönsson, 1961), neutrones, átomos y moléculas de sesenta átomos de carbono. Para un electrón acelerado por $U$ , $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 30.6 (Por qué nunca lo vimos)

Un electrón de $100\,\mathrm{eV}$ : $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ , la separación de los átomos en un cristal — de ahí la difracción y el microscopio electrónico. Un neutrón térmico ( $0.025\,\mathrm{eV}$ ): $0.18\,\mathrm{nm}$ . Una bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ , $10^{20}$ veces menor que un núcleo: ninguna rendija ni ningún cristal podrían jamás difractarla. La naturaleza ondulatoria de la materia es universal; es su longitud de onda la que la hace visible solo en lo ligero y lo lento.

Proposición 30.7 (Las partículas de una en una construyen las franjas)

Los electrones enviados de uno en uno a través de dos rendijas (Tonomura, 1989) hacen cada uno un solo punto en la pantalla, en un lugar que no puede predecirse; los puntos se acumulan formando la figura de interferencias de dos rendijas de una onda de longitud de onda $h/p$ . Cerrar una rendija borra las franjas — la figura no la hacen unos electrones interfiriendo con otros, sino la onda de cada electrón al pasar por las dos rendijas. Detectar por qué rendija pasó una partícula también borra las franjas.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Electrones de uno en uno a través de dos rendijas. Cada uno llega como un punto en algún sitio (izquierda, arriba); los puntos se amontonan donde la onda de dos rendijas es intensa (izquierda, abajo), siguiendo la densidad de probabilidad | |2 de la amplitud que pasó por ambas rendijas (derecha). La figura es la misma para fotones, neutrones y moléculas. — Electrones de uno en uno a través de dos rendijas. Cada uno llega como un punto en algún sitio (izquierda, arriba); los puntos se amontonan donde la onda de dos rendijas es intensa (izquierda, abajo), siguiendo la densidad de probabilidad $|\psi|^2$ de la amplitud que pasó por ambas rendijas (derecha). La figura es la misma para fotones, neutrones y moléculas.

30.3 Amplitudes, probabilidades y principio de indeterminación

Definición 30.8 (Función de onda)

El estado de una partícula lo describe una función de onda $\psi(x, t)$ (compleja), tal que $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ es la probabilidad de encontrar la partícula entre $x$ y $x + \dd x$ cuando se mira: $|\psi|^2$ es una densidad de probabilidad y $\int|\psi|^2\dd x = 1$ . Las amplitudes se suman (superposición): si dos caminos llevan al mismo punto, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ y $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — el último término es la interferencia. Una medida da uno de los resultados posibles, al azar con las probabilidades que prescriben las amplitudes, y deja a la partícula en el estado hallado.

Observación 30.9 (Qué es lo que ondula)

$\psi$ no es un campo físico como $\vect E$ : no se mide, solo se mide su cuadrado, y describe el mejor conocimiento posible de dónde se encontrará la partícula. Un electrón aislado no está repartido por la pantalla; se detecta entero, en un punto; lo que está repartido es la probabilidad. Ese es el contenido de la teoría, y nunca ha fallado en una prueba.

Teorema 30.10 (Principio de indeterminación de Heisenberg)

La posición y la cantidad de movimiento de una partícula según un mismo eje no pueden estar ambas bien definidas: sus desviaciones típicas, en cualquier estado, cumplen

\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .

Una partícula confinada en una región de tamaño $\ell$ tiene por tanto una dispersión de cantidad de movimiento de al menos $\hbar/2\ell$ , y con ella una energía cinética del orden de $\hbar^2/2m\ell^2$ que ningún enfriamiento puede quitar: el confinamiento cuesta energía.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 30.11 (El tamaño del átomo de hidrógeno)

Un electrón a menos de $r$ del protón tiene $p \gtrsim \hbar/r$ y energía $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ : el primer término se dispara si $r$ disminuye, y el segundo si crece. $\dd E/\dd r = 0$ en

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :

el radio de Bohr y la energía de ionización del hidrógeno, hasta la última cifra. La física clásica no podía explicar por qué el electrón no cae en espiral sobre el núcleo (radia) ni por qué todos los átomos de un elemento son idénticos; el principio de indeterminación responde a ambas cosas en una línea: el átomo es tan pequeño como puede serlo sin que la energía cinética supere a la de enlace.

30.4 La cuantización de la energía

Proposición 30.12 (Partícula en una caja)

Una partícula de masa $m$ confinada entre dos paredes impenetrables separadas una distancia $L$ solo admite, como la cuerda de Melde (Capítulo 5), las ondas estacionarias $\lambda_n = 2L/n$ , luego solo las cantidades de movimiento $p_n = nh/2L$ y las energías

E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

con funciones de onda $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$ . La energía está cuantizada; la menor, el estado fundamental $E_1 > 0$ , es la energía de confinamiento del principio de indeterminación hecha exacta; la partícula salta de un nivel a otro absorbiendo o emitiendo un fotón de energía $h\nu = E_p - E_n$ .

Demostración. $\psi$ ha de anularse en las paredes (la partícula no puede estar ahí), de modo que la onda encaja un número entero de semilongitudes de onda en $L$ — la condición de la cuerda; De Broglie da $p$ , y $E = p^2/2m$ . Que $\psi$ obedezca a una ecuación de ondas con esas condiciones de contorno se admite (la ecuación de Schrödinger, Año 2). ∎

A la izquierda: los tres estados más bajos de una partícula en una caja — las funciones de onda son las ondas estacionarias de una cuerda, las energías crecen como n2 y el estado fundamental no está en cero. A la derecha: los niveles del átomo de hidrógeno y sus dos primeras series de rayas; cada raya es un fotón de energía igual al salto que salva. — A la izquierda: los tres estados más bajos de una partícula en una caja — las funciones de onda son las ondas estacionarias de una cuerda, las energías crecen como $n^2$ y el estado fundamental no está en cero. A la derecha: los niveles del átomo de hidrógeno y sus dos primeras series de rayas; cada raya es un fotón de energía igual al salto que salva.

Proposición 30.13 (El átomo de hidrógeno)

El electrón del átomo de hidrógeno tiene las energías discretas

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,

siendo $n = 1$ el estado fundamental y $E \geq 0$ el átomo ionizado. Su espectro consta de rayas en $h\nu = E_p - E_n$ : la serie de Lyman, hasta $n = 1$ (ultravioleta, $122\,\mathrm{nm}$ para $2 \to 1$ ), la serie de Balmer, hasta $n = 2$ (visible: $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ , …), y así sucesivamente. El modelo de Bohr (1913) obtiene estas energías cuantizando el momento angular de una órbita circular, $m_evr = n\hbar$ (Ejercicio 30.9); la teoría completa sustituye las órbitas por funciones de onda, pero conserva las energías.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 30.14 (Colores a partir del tamaño: el punto cuántico)

Un nanocristal de semiconductor de unos pocos nanómetros confina sus electrones como una caja: cuanto menor es el cristal, mayor es la energía de confinamiento que se añade a la banda prohibida del semiconductor y más azul la luz que emite. Los puntos de seleniuro de cadmio de radio $2\,\mathrm{nm}$ brillan en azul, los de $3\,\mathrm{nm}$ en amarillo y los de $4\,\mathrm{nm}$ en rojo — un solo material, con los colores elegidos con una regla (Problema 30.1). Las pantallas de televisión los usan.

Observación 30.15 (Qué añade el resto de la teoría)

La ecuación de Schrödinger vuelve exactos la caja, el átomo y la molécula; predice que una partícula puede atravesar una barrera que no tiene energía para escalar (el efecto túnel, detrás de la radiactividad y del microscopio de efecto túnel); que las partículas idénticas son o bien sociables (los bosones — de ahí el láser, donde los fotones se amontonan en un solo modo) o bien exclusivas (los fermiones — de ahí la tabla periódica y la rigidez de la materia); y que el espín del electrón es un momento magnético sin equivalente clásico. Todo eso es del Año 2 y más allá; todo ello se apoya en las pocas ideas de este capítulo.

30.5 Ejercicios

Ejercicio 30.1 ★

Energía de un fotón de: radio a $100\,\mathrm{MHz}$ ; luz de $500\,\mathrm{nm}$ ; rayos X de $0.10\,\mathrm{nm}$ ; rayos gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ (dese su longitud de onda). Número de fotones por segundo de un láser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

$h\nu$ : $100\,\mathrm{MHz}$ : $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ ; $500\,\mathrm{nm}$ : $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$ ; $0.10\,\mathrm{nm}$ : $12.4\,\mathrm{keV}$ ; $1\,\mathrm{MeV}$ : $\lambda = 1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$ . Láser: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , luego $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ fotones por segundo.

Ejercicio 30.2 ★

Sodio, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$ : longitud de onda umbral; energía cinética máxima y potencial de frenado con luz de $400\,\mathrm{nm}$ ; ¿qué cambia si se duplica la intensidad? ¿Y con luz de $600\,\mathrm{nm}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$ . A $400\,\mathrm{nm}$ , $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$ : $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$ , $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$ . Duplicar la intensidad duplica la corriente y deja $V_s$ igual. A $600\,\mathrm{nm}$ ( $2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$ ): nada, sea cual sea la intensidad.

Ejercicio 30.3 ★

Longitud de onda de De Broglie de un electrón de $100\,\mathrm{eV}$ y de $1.0\,\mathrm{keV}$ ; de un neutrón de $0.025\,\mathrm{eV}$ ; de una bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuáles pueden difractarse en un cristal (separación $0.2\,\mathrm{nm}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

Electrón: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$ ; a $1\,\mathrm{keV}$ : $0.039\,\mathrm{nm}$ . Neutrón: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$ . Bola: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$ . Los tres primeros tienen una $\lambda$ del orden de la separación atómica y se difractan (cristalografía de electrones, de neutrones y de rayos X); la bola, nunca.

Ejercicio 30.4 ★

Un electrón en una caja de $1.0\,\mathrm{nm}$ : $E_1$ , $E_2$ y longitud de onda del fotón emitido en $2 \to 1$ . Un protón en una caja de $5\,\mathrm{fm}$ (un núcleo): $E_1$ en $\mathrm{MeV}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) = 6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$ ; fotón de $1.13\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (infrarrojo cercano). Protón en $5\,\mathrm{fm}$ : $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) = 1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — la escala de las energías nucleares, solo por confinamiento.

Ejercicio 30.5 ★★

Potenciales de frenado medidos en un metal: $0.40\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.23\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ y $2.05\,\mathrm{V}$ a $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . Dedúzcanse $h$ (con $e$ conocido) y el trabajo de extracción; longitud de onda umbral; ¿qué metal podría ser (cesio $2.1\,\mathrm{eV}$ , potasio $2.3\,\mathrm{eV}$ , cinc $4.3\,\mathrm{eV}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

Pendiente $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = e \times 4.1 \times 10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$ , umbral $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$ : cesio.

Ejercicio 30.6 ★★

Compton: un fotón de rayos X de $10\,\mathrm{pm}$ se dispersa $90{}^{\circ}$ en un electrón. Nueva longitud de onda; energías del fotón antes y después; energía cedida al electrón. Desplazamiento relativo para luz de $500\,\mathrm{nm}$ — por qué Compton necesitó rayos X.

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$ : $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$ . Antes: $1240/0.010 = 124\,\mathrm{keV}$ ; después: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$ ; el electrón se lleva $24\,\mathrm{keV}$ . Para la luz, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6}$ : inmedible en 1923 — los rayos X hicieron del desplazamiento un efecto del $25\%$ .

Ejercicio 30.7 ★★

La experiencia de Jönsson. Electrones de $50\,\mathrm{keV}$ (úsese $p = \sqrt{2m_eE}$ ), dos rendijas separadas $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ y pantalla a $35\,\mathrm{cm}$ . Longitud de onda; interfranja; por qué hizo falta una lente electrónica de aumento. En la versión de Tonomura, los electrones cruzan el aparato de uno en uno: ¿qué muestra la pantalla tras 10 y tras $10^5$ electrones, y qué enseña eso?

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (la relatividad lo corrige a $5.4\,\mathrm{pm}$ ); interfranja $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : invisible a ojo desnudo, de ahí la lente de aumento. Diez electrones: diez puntos, al parecer al azar; $10^5$ : las franjas. Cada electrón llega a un punto; la probabilidad de llegar sigue la onda de dos rendijas — la onda de un solo electrón pasa por ambas rendijas.

Ejercicio 30.8 ★★

Energía cinética mínima, según el principio de indeterminación, de: un electrón confinado en $0.1\,\mathrm{nm}$ (un átomo); un electrón confinado en $5\,\mathrm{fm}$ (un núcleo — úsese $E \approx pc$ si el resultado es relativista, y conclúyase si los núcleos pueden contener electrones); un grano de polvo de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ localizado en $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (dese $\Delta v$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

Átomo: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$ : la escala correcta. Núcleo: $\Delta p \geq 1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta p^2/2m_e$ daría $400\,\mathrm{MeV}$ , muy por encima de $m_ec^2$ , así que úsese $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$ : ninguna fuerza del núcleo podría retener un electrón tan energético — los núcleos no contienen electrones (los electrones beta se crean al emitirse). Grano: $\Delta v \geq \hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : irrelevante.

Ejercicio 30.9 ★★

El modelo de Bohr. Un electrón en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un protón: (a) rapidez y energía en función de $r$ (dinámica coulombiana, Capítulo 16); (b) impóngase $m_evr = n\hbar$ y dedúzcanse $r_n = n^2a_0$ , $E_n = E_1/n^2$ con $a_0$ y $E_1$ como en Ejemplo 30.11; (c) $v_1$ y $v_1/c$ ; (d) longitudes de onda de Lyman $\alpha$ ( $2 \to 1$ ) y de H $\alpha$ ( $3 \to 2$ ); (e) muéstrese que la órbita $n$ contiene exactamente $n$ longitudes de onda de De Broglie.

Solución

Solución de Ejercicio 30.9.

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ , $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ . (b) $m_evr = n\hbar$ y $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : divídase el cuadrado de la primera por la segunda: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$ , $r_n = n^2a_0$ , y $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0 = E_1/n^2$ con $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ . (c) $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_1/c = 1/137$ . (d) $2 \to 1$ : $\tfrac34 \times 13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ ; $3 \to 2$ : $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ . (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (ya que $m_ev_1a_0 = \hbar$ ), y $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ .

Ejercicio 30.10 ★★★

Sistemas hidrogenoides. (a) Para un núcleo de carga $Ze$ , muéstrese que $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ y $r_n = n^2a_0/Z$ : energía de ionización del He $^+$ y del último electrón del uranio ( $Z = 92$ ; coméntese). (b) Hidrógeno muónico: el muon tiene $207$ veces la masa del electrón: radio y energía fundamental; longitud de onda de su raya Lyman $\alpha$ ; por qué se usa para medir el tamaño del protón (radio $0.84\,\mathrm{fm}$ ). (c) Positronio (un electrón y un positrón, de masas iguales): muéstrese que la masa reducida divide por dos las energías: su Lyman $\alpha$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.10.

(a) Sustitúyase $e^2$ por $Ze^2$ : $a_0 \to a_0/Z$ , $E_1 \to Z^2E_1$ . He $^+$ : $54.4\,\mathrm{eV}$ . U $^{91+}$ : $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — pero $v_1 = Z\alpha c = 0.67c$ : allí el modelo no relativista es solo indicativo. (b) $a_0/207 = 256\,\mathrm{fm}$ , $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$ ; Lyman $\alpha$ : $2.1\,\mathrm{keV}$ , $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (rayos X). La órbita del muon mide solo $300$ radios del protón: sus niveles se desplazan de forma medible con el tamaño del protón, que es como se volvió a medir el radio del protón (2010). (c) Las dos partículas giran en torno a su centro común: la masa reducida $m_e/2$ divide por dos todas las energías: $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$ , Lyman $\alpha$ a $5.1\,\mathrm{eV}$ , $243\,\mathrm{nm}$ .

Ejercicio 30.11 ★★★

Puntos cuánticos. En un nanocristal esférico de radio $R$ , la energía de confinamiento de una partícula de masa efectiva $m^\ast$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido). CdSe: banda prohibida $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ , $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ , $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (el “hueco” que deja el electrón excitado también queda confinado). (a) Energía del fotón emitido $E_g + E_e + E_h$ y longitud de onda para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ y $4.0\,\mathrm{nm}$ ; colores. (b) Radio para emitir a $520\,\mathrm{nm}$ (verde). (c) ¿Por qué el CdSe masivo emite solo a $713\,\mathrm{nm}$ ? (d) Una dispersión de radios del $10\,\%$ en un lote: dispersión de longitudes de onda a $3\,\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.11.

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$ . $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/ (0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ , $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$ , total $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ : azul. $3\,\mathrm{nm}$ : confinamiento $\times4/9$ , $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ : amarillo. $4\,\mathrm{nm}$ : $\times1/4$ , $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ : rojo. (b) $520\,\mathrm{nm}$ son $2.38\,\mathrm{eV}$ : confinamiento $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$ , $R = 2.4\,\mathrm{nm}$ . (c) Sin confinamiento: solo $E_g$ , $713\,\mathrm{nm}$ . (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$ , el $4\%$ de $2.15\,\mathrm{eV}$ : unos $20\,\mathrm{nm}$ de dispersión — los colores puros exigen lotes monodispersos.

Ejercicio 30.12 ★★★

Energía de punto cero. (a) Para un oscilador armónico $E = p^2/2m + \tfrac12m\omega^2x^2$ , tómese $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ y minimícese $E \approx \Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ respecto de $\Delta x$ : muéstrese que $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (la energía fundamental exacta). (b) La molécula de H $_2$ vibra a $\omega = 8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : energía de punto cero en eV y temperatura más baja a la que su vibración es “térmica” ( $k_BT \sim \hbar\omega$ ). (c) El helio líquido no se congela nunca a presión atmosférica: estímese la energía de punto cero de un átomo de helio localizado en $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (una fracción de la distancia interatómica) en un cristal, y compárese con su energía de enlace en el sólido, de aproximadamente $1\,\mathrm{meV}$ . (d) Compárese la fórmula de la caja $E_1 = h^2/8mL^2$ con la cota de indeterminación para $\Delta x = L/2$ : ¿cuál es mayor y por qué ha de serlo?

Solución

Solución de Ejercicio 30.12.

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ ; derivada nula en $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ , donde ambos términos valen $\hbar\omega/4$ : $E_{\min} = \hbar\omega/2$ . (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ ; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — a temperatura ambiente la vibración está congelada en su estado fundamental. (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x = 1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times 10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$ : la mitad de la energía de enlace — los átomos no pueden quedarse lo bastante quietos para cristalizar; el helio sigue líquido hasta el cero absoluto salvo que se le comprima ( $25\,\mathrm{bar}$ ). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ frente a $\hbar^2/2mL^2$ : diez veces mayor, como ha de ser — la cota es un límite inferior, y el estado de la caja tiene $\Delta x \approx 0.18L$ , no $L/2$ .

El espectro de emisión visible del hidrógeno: las rayas de Balmer a 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm y 410\, nm, cada una un salto hasta n = 2. — El espectro de emisión visible del hidrógeno: las rayas de Balmer a $656\,\mathrm{nm}$ , $486\,\mathrm{nm}$ , $434\,\mathrm{nm}$ y $410\,\mathrm{nm}$ , cada una un salto hasta $n = 2$ .

Puntos cuánticos de un mismo material en viales: cuanto menor es el nanocristal, mayor es la energía de confinamiento y más azul la luz — el color lo elige el tamaño.

30.6 Problema: el espectro del hidrógeno y un punto cuántico

Problema 30.1

Problema de fin de semana — medir $h$ con luz y un voltímetro, construir el átomo de hidrógeno a partir de tres constantes y elegir con el tamaño el color de un cristal

Constantes: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$ , $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ .

Parte I — La medida de la constante de Planck. Se ilumina un fotocátodo de potasio con luz monocromática y se mide el potencial de frenado: $0.30\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $0.69\,\mathrm{V}$ a $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.13\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.50\,\mathrm{V}$ a $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ y $2.36\,\mathrm{V}$ a $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ .

Descríbase la célula y explíquese por qué una tensión inversa puede cortar la corriente y qué mide $eV_s$ .
Escríbase la relación de Einstein y dígase qué dan la pendiente y la ordenada en el origen de $V_s(\nu)$ .
A partir de los datos (por ajuste lineal o con los dos puntos extremos), dedúzcase $h$ ; compárese con el valor aceptado.
Trabajo de extracción del potasio en eV; frecuencia y longitud de onda umbral; ¿podría arrancar electrones un puntero láser rojo?
Se duplica la intensidad de la lámpara: ¿qué le ocurre a $V_s$ ? ¿Y a la corriente? ¿Por qué es esto incompatible con una imagen puramente ondulatoria?
Estimación clásica: una luz de $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ incide sobre el metal, y un átomo ofrece un área de unos $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : ¿cuánto tardaría en acumular $2.2\,\mathrm{eV}$ sobre un átomo? ¿Qué se observa en cambio?

Parte II — El átomo de hidrógeno de Bohr.

Un electrón en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un protón fijo: rapidez $v(r)$ y energía mecánica $E(r)$ .
Condición de Bohr $m_evr = n\hbar$ : muéstrese que $r_n = n^2a_0$ y dese $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ numéricamente.
$E_n = E_1/n^2$ con $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; valor numérico en eV.
Rapidez en la primera órbita y cociente $v_1/c$ (la constante de estructura fina $\alpha \approx 1/137$ ).
Longitudes de onda de las rayas $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ y $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ , H $\beta$ ): ¿cuáles son visibles?
Muéstrese que $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ y calcúlese la constante de Rydberg $R_H$ ; la longitud de onda más corta de Balmer.
Energía de ionización del hidrógeno desde el estado fundamental; longitud de onda del fotón que apenas lo ioniza.
De Broglie: muéstrese que la circunferencia de la órbita $n$ mide $n$ longitudes de onda — la condición de Bohr es una condición de onda estacionaria.
Dos cosas en las que falla el modelo, una en la que acierta exactamente, y qué sustituye a la órbita en la teoría completa.

Parte III — El punto cuántico. Un nanocristal de CdSe de radio $R$ confina un electrón excitado (masa efectiva $m_e^\ast = 0.13\,m_e$ ) y el hueco que deja ( $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ ); la energía de confinamiento de cada uno en una esfera de radio $R$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido), y la banda prohibida del CdSe masivo es $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$ .

Dedúzcanse las energías $E_n = n^2h^2/8mL^2$ de una partícula en una caja unidimensional a partir de la condición de onda estacionaria, y coméntese la analogía con la fórmula de la esfera.
Energías de confinamiento del electrón y del hueco para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
Energía y longitud de onda del fotón emitido para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ y $4.0\,\mathrm{nm}$ ; colores.
Explíquese en una frase por qué los puntos más pequeños son más azules.
Compruébese el orden de magnitud con el principio de indeterminación: $\Delta p \sim \hbar/R$ para el electrón en $R = 2\,\mathrm{nm}$ , y la energía cinética que implica.
Un punto emite $1.0\,\mathrm{nW}$ a $577\,\mathrm{nm}$ : fotones por segundo.

Parte IV — Contar cuantos.

Fotones por segundo de un láser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$ .
El ojo adaptado a la oscuridad detecta un destello de unos $100$ fotones de $500\,\mathrm{nm}$ que llegan en $0.1\,\mathrm{s}$ : potencia correspondiente.
Una antena de FM recibe $1.0\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ : fotones por segundo; ¿hay alguna esperanza de detectarlos uno a uno?
Resúmase: a partir solo de $h$ , $e$ y $m_e$ , ¿qué tres magnitudes del mundo atómico ha producido este problema y con qué valores?

Solución

Solución de Problema 30.1.

1. La luz libera electrones del cátodo con energías diversas; mantenido a $-V_s$ , el ánodo los repele y solo llegan los que tienen $E_k > eV_s$ . La corriente se anula cuando $eV_s = E_{k,\max}$ .

2. $eV_s = h\nu - W$ : pendiente $h/e$ , ordenada en el origen $-W/e$ ; $V_s = 0$ en el umbral $\nu_0 = W/h$ .

3. Puntos extremos: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$ , $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (un ajuste sobre los cinco da $6.62$ ): dentro del $0.5\%$ de $6.626 \times 10^{-34}$ .

4. $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W/h = 5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$ . Un puntero rojo ( $650\,\mathrm{nm}$ , $1.9\,\mathrm{eV}$ ) no arranca nada.

5. $V_s$ no cambia y la corriente se duplica: el doble de fotones, cada uno de la misma energía. Una onda daría a cada electrón más energía con más intensidad, y un umbral en intensidad y no en frecuencia.

6. $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ sobre el átomo; $2.2\,\mathrm{eV}$ $= 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ exigen $3.5 \times 10^7$ s — un año. La emisión se observa en nanosegundos: la energía llega en cuantos enteros.

7. $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$ : $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$ ; $E = \tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$ .

8. $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ y $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$ : $r_n = n^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$ , $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$ .

9. $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$ ; $E_1 = -2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$ .

10. $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} = 1/137$ .

11. $2 \to 1$ : $10.2\,\mathrm{eV}$ , $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta); $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (rojo); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (azul verdoso): las rayas de Balmer son las visibles.

12. $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$ : $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 = 1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ . Límite de Balmer ( $p \to \infty$ ): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$ .

13. $13.6\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$ .

14. $v_n = v_1/n$ , $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (ya que $m_ev_1a_0 = \hbar$ ); $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$ : la órbita contiene $n$ ondas enteras — la regla de Bohr es una regla de onda estacionaria.

15. Falla en que el electrón no tiene órbita (radiaría; el estado fundamental tiene momento angular nulo) y en que el modelo no sirve para ningún átomo de dos electrones. Acierta en los niveles del hidrógeno y, con ellos, en todas las rayas de su espectro. La órbita la sustituye una función de onda, una nube de probabilidad de tamaño $\sim n^2a_0$ .

16. Ondas estacionarias: $L = n\lambda/2$ , $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$ , $E_n = p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$ . La fórmula de la esfera es la misma con $L \to R$ : el estado fundamental encaja media longitud de onda en el radio.

17. $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$ ; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$ .

18. $R = 2\,\mathrm{nm}$ : $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$ , $464\,\mathrm{nm}$ , azul; $3\,\mathrm{nm}$ : $2.15\,\mathrm{eV}$ , $577\,\mathrm{nm}$ , amarillo; $4\,\mathrm{nm}$ : $1.97\,\mathrm{eV}$ , $629\,\mathrm{nm}$ , rojo.

19. La energía de confinamiento crece como $1/R^2$ : una caja más pequeña sube los niveles, el fotón es más energético y la luz más azul.

20. $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast = 1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$ : el orden correcto (el coeficiente exacto $\pi^2/2$ y lo tosco de $\Delta p$ explican el factor diez).

21. $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^9$ fotones por segundo.

22. $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ por segundo.

23. $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ en $0.1\,\mathrm{s}$ : $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$ .

24. $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$ : $1.5 \times 10^{13}$ fotones por segundo — y cada uno es $10^5$ veces menor que la energía térmica $k_BT$ de la antena: no hay esperanza, ni falta; allí la imagen ondulatoria es exacta.

25. El tamaño de los átomos, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$ ; su escala de energías, $13.6\,\mathrm{eV}$ (de ahí los fotones de unos eV, la química y el espectro visible); y la rapidez de sus electrones, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — las tres a partir de $h$ , $e$ y $m_e$ (y $\varepsilon_0$ ), sin ajustar nada.

Términos definidos en este capítulo

Función de onda

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